b.TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c... c.®êng trung b×nh øng víi AB.[r]
(1)Đề cơng ôn tập hè Môn : Toán 10-năm 2010
A Đại số Tiết 1+2: Bài 1: Hàm số I.Hàm số bậc nhất:
1.Định nghĩa tính chất: +Dạng : y= ax+b (a0) +TXD: D=R
+Hàm số đồng biến a > + Hàm số nghịch biến a <0
b a
+đồ thị đờng thẳng qua hai điểm A(0;b) B(;0) 2.Các dạng tập bản:
Dạng 1: vẽ đồ thị hàm số: Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:
a y= 2x-3 b y= -x+2 c y= -3x -2 d y= 4x+3 Dạng2: X ác định hàm số biết tính chất nó:
Bài2: Tìm a cho hàm số sau: y=2x - a(x-1) a.Đi qua gốc toạ độ O
b.§i qua A(-1;2)
c song song với đờng thẳng y= -3x-2
Bài 3: Trong trờng hợp sau xác định a b cho đờng thẳng y=ax+b
a.Cắt đờng thẳng y=2x+5 điểm có hồnh độ -2 cắt đờng thẳng y=-3x+4 điểm có tung độ -2
1 2x
1 y x
b.Song song với đờng thẳng y= qua giao điểm hai đờng thẳng y=3x+5 Tiết 3+4: II.Hm s bc hai:
1.Định nghĩa c¸c tÝnh chÊt:
2 ( 0)
ax bx c a +Dạng: y= + TXD: D=R
+Bảng BiÕn thiªn:
2 ( 0)
ax bx c a 2 ; 4 b
a a
2 b
a
+Dạng đồ thị : Đồ thị hàm số y= parabol có đỉnh điểm () ;có trục đối xứng đờng thẳng x=;hớng bề lõm lên a>0 xuống a<0
*Phép tịnh tiến đồ thị:Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C) ;p q hai số không âm. +Khi tịnh tiến (C) lên q đơn vị , ta đợc đồ thị hàm số y= f(x)+q
+ Khi tịnh tiến (C) xuống dới q đơn vị ,ta đợc đồ thị hàm số y=f(x)-q +Khi tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ,ta đợc đồ thị hàm số y=f(x+p) +Khi tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị , ta c th hm s y=f(x-p)
2.Các dạng tập bản:
2
1
2x Bµi1: Cho hµm sè: y= (C)
a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số cho
(2)2
2 y x
Bài2: Cho hàm số (C) a.Vẽ đồ thị (C) hàm số
b.Từ độ thị (C) ,bằng phép tịnh tiến vẽ đồ thị hàm số sau:
2
2 y x
+
2
2 y x
+
2
2 ( 2) y x
+
2
2 ( 3) y x
+
2
2
( 1)
y x +
2
4
x x Bài 3: Cho hàm số: y= (C) a.Vẽ đồ thị (C) hàm số cho
b Dựa vào đồ thị (C) khoảng mà hàm số nhận giá trị dơng c Dựa vào đồ thị (C) khoảng mà hàm số nhận giá trị âm
Bµi tËp t ¬ng tù
Bài 1:Tìm hàm số y=ax+b mà đồ thị qua hai điểm A(2;-1) B(-1;8).Hãy vẽ đồ thị
Bài 2: a Tìm hàm số y=ax +b mà đồ thị song song với đờng thẳng y=3x qua giao điểm hai đờng thẳng y=-x+1 y=2x-3
b.xác định hệ số avà b cho đồ thị hàm số y= ax+b qua điểm sau:
; 2)
3 +A( vµ B(0;1) + M(-1;-2) vµ N(99;-2) + P(4;2) vµ Q(1;1)
Bài 3:Tìm giao điểm hai đồ thị sau:
2
6x 3x1a.y= vµ y= 2x+5
2
8 14
y x x y7x24x6b vµ
bài 4:Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:
2 2 2
y x x a.
2 4 3
y x x b
2
4
ax x c Bài 5: Xác định hàm số bậc hai y=, biết đồ thị : a.Đi qua hai điểm A(1;-2) B(2;3)
b.Có đỉnh I(-2;-1)
c.Có hồnh độ đỉnh -3 qua điểm P(-2;1)
d.Có trục đối xứng đờng thẳng x=2 cắt trục hoành điểm Q(3;0)
(3)I.ph ơng trình dạng :ax+b=0 + Dạng : ax+b=0 (1)
+ Cách giải biện luận : (1) ax=-b
b a
- Nếu a , phơng trình (1) có nghiệm nhất: x= -Nếu a=0 (1) 0x=-b
Nếu b=0 phơng trình với xR Nếu b0 phơng trình (1) vơ nghiệm
1 Dạng : Giải biện luận phơng trình dạng ax+b =0 ví dụ 1: Giải biện luận phơng trình sau:
a m(x+2)=3x+1
2( 1) 4 2
m x x mb. c.3(m-2)x+5=3x-2(m+1)
2
2
2
( 2) 4( )
( 1)
.( 1) (3 )
d m x x m
e x m m x
f m x x m
2.D¹ng 2: Ph ơng trình quy dạng ax+b=0
1 2
(a x b a x b )( ) 0
* D¹ng (1)
1
2
0(2) 0(3) a x b
a x b
+ Biến đổi (1)
+ Giải biện luận (2) (3) + kết luận
Ví dụ2: Giải phơng trình sau:
a.(2x-3)(3+4x)=0 b.(3x+4)(5x-2)=0 3.Dạng 3:
2
( ) ( ) (1)
(1)
( )
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
Ví dụ 3: giải phơng trình sau:
2 2 2
.(2 3) (5 ) ; (3 4) (2 3) ; (4 ) (3 1)
a x x b x x c x x
ax b cx d
4.D¹ng 4: (1)
2
2 y x
Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh sau:
3; 6; 1; 2
a x x b x x c x x d x x (1)
(1)
( )
ax b cx d ax b cx d
ax b cx d
5.D¹ng 5:
(4)
3
a x x
b x x
c x x
II.Ph ơng trình vô tỉ ( ) ( )(1)
f x g x
6.D¹ng 6: ( )
(1)
( ) ( ) f x
f x g x
(1) Ví dụ 6: Giải phơng trình sau:
2
2
2
2
a x x
b x x x x
c x x x x
( ) ( )(1) f x g x
7.d¹ng 7:
2
( ) ( ) ( ) g x
f x g x
(1) Ví dụ 7: Giải phơng trình sau:
2
4x 3x2 2 x1a.
2
2
3
3
b x x x
c x x x
dạng tập t ơng tự: Bài 1: Giải phơng trình sau:
a 2(x+3)-5=3(2-x)+4 b 3x-7=4(2x+2)-6 c.3-5x=4-(4-3x) d 6(2-5x)+3=4x-7 Bµi 2: Giải phơng trình sau:
2
(2x 5) (3x4) (1 ) x (2x3)2 (5x 2)2 (x1)2 0a b c
Bài 3: Giải phơng trình sau:
a.(3x+1)(2x-5)=0 b.(4x+3)(5x-2)=0 c.(3-7x)(4+6x)=0 d.(1-3x)(9x+2)=0 Bài 4: Giải phơng trình sau:
4x x x3 3x5 2x 3 x8 2x 1 x
a b c d Bµi 5: Giải phơng trình sau:
5
x x 4 x x 3x 1 x 0 5x 3 x 0
a b c d Bài 6: Giải phơng trình sau:
2 1 2
x x x x23x2 x4 3x2 5x 1 x 4a b c.
3
x x 2x2 3x1 x3 2x 3 3x2 6x1d c c.
III
(5)2 0
ax bx c 1.Giải biện luận phơng trình dạng Ví dụ: Giải biện luận phơng trình sau:
2
2
2 2
.( 1) ( 3)
.(4 1) 4( 1)
.( 1) 2( 1)
a m x m x
b m x m x m
c m x m x m
2.Các dạng ph ơng trình quy bậc hai: a.Phơng trình trùng phơng:
4 0
ax bx c a 0)+ D¹ng: (
2( 0)
x t +Cách giải: Đặt t= Ví dụ1: Giải phơng trình sau:
4
4
.3
a x x
b x x
b Phơng trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e a+b=c+d
* Cách giải: Đặt (x+a)(x+b) = t (*) (đk ) Ta có phơng trình bậc hai ẩn t giải pt bậc hai tìm t So sánh đk thay vào (*) giải tìm x
VÝ dơ 2: Gi¶i phơng trình sau:
2
2
.( 1)( 6)( 5)( 2) 252; 16( 1)( 15) 105
.( 1)( 2)( 3)( 4) 3; ( 4)( 6) 24
a x x x x b x x x
c x x x x d x x x x
4
(x a ) (x b ) cc.D¹ng :
;
2 2
a b a b a b
x t x a t x b t
2 a b
* Cách Giải: §Ỉt §Ỉt, ta cã pt:
4
4 2
( ) ( )
2 12
t t c
t t c
VÝ dụ 3: giải phơng trình sau:
4 4 4
.( 3) ( 5) 2; ( 5) ( 2) 17; ( 6) ( 8) 15 a x x b x x c x x
4 0(*)
ax bx cx bx a d.Phơng trình dạng : *Cách giải: + Xét x=0
0 x
2
1
( ) ( )
a x b x c
x x
+ , chia hai vế (*) cho x ,ta đợc pt:
(x ) x
Đặt t= ta có phơng trình bậc hai ẩn t Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:
4
4
4
10 26 10
4
a x x x x
b x x x x
c x x x x
( ) ( )
a f x b f x c
e.Phơng trình dạng: ( ) ( : )
f x t dk
+ cách giải: Đặt
2 0
(6)2 2
2 2
.( 1)( 4) 6; 12
9 12; 4 20 10
3
1
a x x x x b x x x x
c x x x x d x x x x
e x
x
Bài tập tơng tự: Phơng trình quy phơng trình bậc bậc hai: Phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) f x g x f x g x
f x g x
D¹ng 1:
Ví dụ :Giải pt sau:
; ; 3 ; 4; a x x b x x c x x d x e x
( )
( ) ( 0)
( ) f x m f x m m
f x m
D¹ng 2:
( ) ( ) f x g x
D¹ng 3: (1)
Cách 1: bình phơng hai vế pt (1), Ta đợc pt hệ quả:
2
1
(1) f x( )g x( ) x ;x x x1; 2
Thay vào pt (1) loại nghiệm không thoả m·n
,
,
A khiA A
A KhiA
Cách 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối : + Nếu f(x) 0; Ta có pt f(x)=g(x)
+ nÕu f(x) < 0; ta cã pt -f(x)=g(x) ( )
( ) ( ) (1)
( ) ( ) ( ) g x
f x g x g x
f x g x
C¸ch 3:
Ví dụ: Giải phơng trình sau:
5; ; ; 3
a x x b x x c x x d x x 2.Phơng trình chứa ẩn dấu căn:
( ) ( 0)(1)
f x m m f x ( ) 0D¹ng 1: Đkxđ pt:
2
(1) f x( )m Ví dụ: Giải pt sau:
3; 4; 5; 6; a x b x c x d x e x
( ) ( )(1); : ( ) f x g x Dkxd f x
D¹ng2:
2
( ) (1)
( ) ( ) g x
f x g x
C¸ch1:
2
( ) ( )
(7)2
2
3 ; 2 ; 2; 1;
3 5; 7;
4 ; 2 1; 4
a x x b x x c x x d x x e x x
f x x g x x h x x
k x x l x x x m x x x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) f x
f x g x
f x g x
D¹ng 3:
Ví dụ: Giải pt sau:
2
; 1; 4; 2
a x x b x x c x x x d x x x
IV
Hệ ph ơng trình bậc nhÊt hai Èn:
1 1
2 2
a x b y c a x b y c
*.D¹ng:
** Cách giải: Có thể dùng pp cộng đại số dùng định thức(quy tắc crame):
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2
; x ; y
a b c b a c
D a b a b D c b c b D a c a c
a b c b a c
+TÝnh :
x
y D x
D D y
D
+ Biện luận:-Nếu D0,hệ có nghịêm nhÊt
x
D D y 0 -Nếu D=0 vàhoặc hệ vô nghiệm
x y
D D a x b y c1 1 1
-NÕu D= hệ có vô số nghiệm thoả mÃn pt: 1.Dạng toán 1: Giải hệ phơng trình bậc hai ẩn b»ng quy t¾c crame:
2 5
3
x y x y x y
a b c
x y x y x y
Ví dụ 1:Giải hệ phơng trình sau:
2 Giải biện luận hệ phơng trình bậc hai ẩn: Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phơng trình sau:
1
2
mx y m mx y m x my
a b c
x my x my m mx y m
4
mx y m
x my m
Ví dụ : Cho hệ phơng trình: a.tìm m để hệ có nghiệm
b.Tìm m ngun để hệ có nghiệm ngun
2
2 3
x y m
x y m
Ví dụ 4: Cho hệ phơng trình: a.Tìm m để hệ cú nghim nht
b.Tìm hệ thức liên hệ nghiệm (x;y) hệ không phụ thuộc vào m
2
x y c.Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn:đạt giá trị bé nhất. bài tập t ơng tự
(8)( 2) ( 1) 2 ;
2 3( 1) ( 1)
mx m y m x y m
b
mx m y x m y m
a
2
mx y m
x my m
Bài 2:Cho hệ :
a.Giải biện luận hệ phơng trình theo m
0; )0
x y x y0, 0
b.Khi hệ có nghiệm ( tìm hệ thức liên hệ kh«ng phơ thc m
0; ),0
x y x y0, 0
c.Khi hÖ cã nghiÖm nhÊt (tìm giá trị nguyên m cho sè nguyªn
4
mx y x my
Bài 3: Tìm m để hệ pt sau có vơ số nghiệm Bài 4: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm (x;y) nguyên
2
;
2 2
mx y m mx y m
b
x my m x my m
a
Bµi 5: Cho hƯ pt:
2
( 1)
2
m x my m
mx y m
a.
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích x.y đạt giá trị lớn V.Hệ ph ơng trình bậc hai hai ẩn
1.HƯ gåm 1pt bËc nhÊt vµ pt bËc hai:
2
1 1
(1) (2)
ax bxy cy dx ey f a x b y c
+ Dạng :
+Cách giải: rút 1ẩn từ pt (2) vào pt (1) VÝ dơ 1: gi¶i hƯ pt sau:
2
9 36
2
x y
a
x y
VÝ dụ 2: Giải biện luận hệ pt sau theo m:
2 4 8 9 16 144
2
x y x y
a b
x y m x y m
Ví dụ 3: tìm a để hệ pt sau có nghiệm nhất;
2 1
x y
x y a
2.Hệ pt đối xứng loại I:
+ ĐN : Hệ hai pt chứa ẩn x,y gọi đối xứng loại pt hệ khơng thay đổi ta hốn vị xvà y x y S
xy P
S2 4 )P + Cách Giải: Đặt : , ( biến đổi hệ cho hệ hai ẩn S P.Giải hệ tìm SvàP.
2 4 )
S P X2 SX P 0
Với cặp (S;P),(, x;y la nghiệm pt : Lu ý : nÕu hÖ cã nghiÖm (x;y) th× cịng cã nghiƯm (y;x)
(9)2
2 2
1
4 11 2
; ; 5 ;
0
13 30 ( )
2
2
x y xy x y xy
x y x xy y
a b c x y d
x xy y x y xy xy x y
y x 2
x y m
x y
VÝ dơ :Cho hƯ pt: a.Gi¶i hƯ m=26
b.Tìm m để hệ vơ nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm d.Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ : tìm m để hệ pt sau có nghiệm :
2 2
2
;
1
x y xy m xy x y m
a b
x y m x y xy m
Hd: -Điều kiện cần: Nếu hệ có nghiệm (a;b) có nghiệm(b;a),thay vào hệ ,suy m -Điều kiên đủ: thay giá trị m vừa tìm đợc vào hệ thử lại kết lun
Ví dụ 3: giải hệ pt sau:
2 2 2 2 2 2
2 4 15
( : (3; 5), ( 5;3))
19
3 3 2
1 2
1 : ( ; ),( ; )
3 3
2 2
2
15
: ( )
2
3 `1
3
x y xy x y
a ds
x xy y
x y xy x y
b ds
x xy y x y
x y xy x y
c ds t x
x xy y
x y xy x y
d
x y x
1 37 37 37 37
: ( ; ),( ; )( )
6 6
2 ds t x
y
3 Hệ đối xứng loại II
+ĐN: Hệ hai pt ẩn x,y đợc gọi đối xứng loại II hoán vị x,y pt biến thành pt hệ +Cách giải: Trừ vế với vế hai pt hệ ,ta đợc pt có dạng(x-y)g(x,y)=0
Từ ta có hai h pt
Ví dụ : Giải hÖ pt sau;
2 2
2 2
3
13
; ; ;
13 3 4
y
x y
x y y x x y x x y x
a b c d
x
y x x y y x y y x y x
y 2
x y y m
y x x m
VÝ dơ 2: Cho hƯ :
a.Gi¶i hƯ m=0
b.Tìm m để hệ có nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm nhất.(hệ có nghiệm (a;b)thì có nghiệm (b;a) suy a=b)suy m=1
2
2
x y axy y x axy
(10)Tìm a để hệ có nghiệm nhất.ĐS: a=1
2 2
2 2
1
3 2
; ;
3 2
x y
x x y x y x y
b c
y y x y x y x y x
Ví dụ 4: Cho hệ Giải hệ pt trªn
2
2
4
4
x x my
y y mx
VÝ dơ 5: Cho hƯ:
a.Gi¶i hƯ m=1
b.tìm m để hệ cú hai nghim
Bài 4: bất phơng trình I.Dấu cđa nhÞ thøc bËc nhÊt : y= ax+b (a0)
1 B¶ng xÐt dÊu:
+ a> 0: x
b a
- + f(x) - +
+ a< 0: x
b a
- + f(x) +
-2 øng dơng :
* XÐt dÊu biĨu thøc chøa nhÞ thøc bËc nhÊt :
vÝ dơ 1: xÐt dấu nhị thức sau:
a f(x)= 2x-5 b.f(x)= -5x-6 c.f(x)= -4x+1 d.f(x) = 2x+3 vÝ dơ 2:xÐt dÊu c¸c biĨu thøc sau:
(2 3)(3 7)
x x
x
a f(x)= (2x-3)(3x+5) b.f(x)= (2-5x)(3x-1)(x+2) c f(x)=
2 4)(2 )
x x
3
( )
x f x
x
(2 5)(1 )
x x
x
1
( )
2
f x
x x
d.f(x) = ( e g.f(x) = h.
* Giải bất phơng trình
ví dụ 3: Giải bất phơng trình sau:
1 3
2; 4; 1; 2; (2 3)(4 ) 0; ( 3)(3 5)
2 3
a b c d e x x f x x
x x x x
vÝ dô 4: Giải bất phơng trình sau:
2 5; 0;
a x x x b x x c x x ví dụ 5: Giải bất phơng tr×nh sau:
2x 3 2 x 5 3x 4; 4d x 2 2x 3x2
a b c d 4x3 5x ; 3f x 4x2 ; 3g x 3x1
e ví dụ 6: Giải bất phơng tr×nh sau:
2 3 0; 5; 2;
a x x b x x c x x d x x vÝ dô 7: Giải bất phơng trình sau:
1 1
; ;
2 3
a b c d
x x x x x x x x
(11)
II.DÊu cña tam thøc bËc hai:
2
ax bx c 1.đồ thị hàm số y=(a0) dấu f(x)
2 øng dông :
! xÐt dÊu tam thøc bËc hai:
2
2x 3x4 x2 3x2 x26x9 2x2 5x 7a.f(x)= b f(x)= c.f(x)= d.f(x)=
!!.gi¶i bÊt phơng trình bậc hai:
ví dụ1 : giải bất phơng trình sau:
2
2x 3x 0 x27x 0 x212 2x 0 a b
c.-2
3
1
4
x x
2
2
3
1
4
x x
x x
2
2
2
0
3
x x
x x
d e f
!!! xÐt dÊu c¸c biĨu thøc
vÝ dơ 2: xÐt dÊu c¸c biĨu thøc sau:
2
(x 8x15)(x 3x 4) x2 9)(3x2 4x1)a.f(x)= b.f(x)=(
2
2
2
( ) ; ( )
5
x x x
f x d f x
x x x
c.
VÝ dô 3: Giải hệ bất phơng trình sau:
2
2
3
2
x x
x x
2
2
2 13 18
3 20
x x
x x
2
2
6
5
x x
x x
2
2
7 12
2
x x
x x
a b c d.
*Dạng tốn 1: Tìm giá tri tham số để tam thức bậc hai giữ nguyên dấu.
2
ax bx c pp: Cho tam thøc bËc hai f(x) =(a0)
2
ax bx c
0 a
+ f(x) => víi mäi x
2
ax bx c
0 a
+ f(x) =< víi mäi x
2
ax bx c
0 a
+ f(x) = víi mäi x
2
ax bx c
0 a
+ f(x) = víi mäi x
(12)2
(2m3)x 6mx 4 (1 ) m x23(m2)x m 0
20 163 m
a (vn) b () Ví dụ 5: Tìm m ,để bất phơng trình sau với x:
2 (2 1) 3 0
x m x
(m1)x2 2(m1)x3m 0 a b.
Ví dụ 6: Tìm m để pt sau có nghiệm:
2
2
( 4) 2( 2) 0; (2 1) (3 1)
.( 5) ( 4)
m x m x m b m x m x m
c m x m x
Ví dụ 7: Tìm m để biểu thức sau dơng :
2
a x x m x2(m 2)x2m1(2m1)x2 (m 3)x 5 b c.
Ví dụ 8: Tìm tập xác đinh hàm sè sau :
2
2
2
( ) ; ( ) ; ( )
4 3
x x x
a f x b f x c f x
x x x x
Bài tập t ơng tù: Bµi 1:
2
1) 4( 1)
m x mx m Cho tam thức bậc hai: f(x)=( a.Tìm m để f(x)>0 với x
b tìm m để f(x) với x
c.tìm m để bất phơng trình f(x) >0 vơ nghiệm d.Tìm m đẻ bất phơng trình f(x) < vơ nghiệm Bài 2:Tìm m cho với x,ta có:
2
5x x m 0 mx210x 0 a b
2 2( 1) 4 0
mx m x m m2)x2 (3m1)x m 1 0 c d.(
2 2( 1) 3 0
mx m x m Bài 3:Tìm giá trị m cho phơng trình: a.Có hai nghiệm ttrái dấu
b.Có hai nghiệm dơng c Có hai nghiệm âm
4 (1 ) 2 1 0
x m x a Bµi 4: Tìm m cho phơng trình:
a Vụ nghiệm; b.có nghiệm c Có hai nghiệm d Có nghiệm e Có nghiệm
2 2mx 4(m 1)
Bài : Cho tam thức f(x)= (m+1)x a.Tìm m để f(x)>0 với x
b Tìm m để f(x) với x. c.Tìm m để bất pt f(x)>0 vơ nghiệm d.Tìm m để bất pt f(x) < vơ nghiệm
(13)2
a x x m x2 (m2)x8m1 b
2
( 1)
c x x m (3m1)x2 (3m1)x m 4 c d.
Bài 7: Tìm m để biểu thức sau âm:
2
(m 4)x (m1)x2m1(m2)x25x 4 a b.
Bài 8: giải bất phơng trình sau:
2
1
x x
a
x x
2
2
2
4
x x
x x
2
2
3
1
x x
x x
b c.
Dạng toán 2: Giải bất phơng trình chứa thức
f (x )<g(x)
(1)⇔ f (x )≥ 0 g (x)≥ 0 f (x)≤ g2
(x )
¿{ {
1 (1)
Bài tập 1: Giải bất phơng trình sau:
PhầnIII: Tiết14-23 : Góc lợng giác công thức lợng giác I.Kiến thức bản:
1.các công thức lợng giác bản:
2 2
2
2
2
1
.sin cos 1; tan , ,
cos
1
.1 cot , , ; tan cot 1, ,
sin
a b k k Z
c k k Z d k k Z
2.Giá trị lợng giác cung đối nhau:
.cos( ) cos ; sin( ) sin ; tan( ) tan ; cot( ) cot
a b c d
3 Gia trị lợng giác hai cung bï nhau:
.sin( ) sin ; cos( ) cos ; tan( ) tan ; cot( ) cot
a b c d
4 Giá trị lợng giác cung :
.sin( ) sin ; cos( ) cos ; tan( ) tan ; cot( ) cot a b c d 5.Gia trị lợng gi¸c cđa c¸c cung phơ nhau:
.sin( ) cos ; cos( ) sin ; tan( ) cot ; cot( ) tan
2 2
a b c d
2
6.Giá trị lợng giác cung h¬n kÐm :
.sin( ) cos ; cos( ) sin ; tan( ) cot ; cot( ) tan
2 2
a b c d
7.C«ng thøc céng:
a cos(a-b)= cosacosb+ sinasinb b.cos(a+b)= cosacosb- sinasinb c.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb d.sin(a+b)= sinacosb+ cosasinb
tan tan tan tan
a b
b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
b
(14)cot cot cot cot
.cot( ) ; cot( )
cot cot cot cot
a b a b
g a b h a b
a b a b
8.Cơng thức góc nhân đơi:
2 2
2
2
2
cos sin (sin cos )
2 tan cot
.cos 2 cos ; sin 2sin cos ; tan ; cot
1 tan 2cot
1 2sin (sin cos )
a a a a
a a
a a a b a a a c a d a
a a
a a a
2
2
1 tan tan
cos ; sin
1 tan tan
a a
a b a
a a
Ta còng cã : a
2 a
9.C«ng thøc biĨu diƠn theo t=tan
2
2 2
2
.sin ; cos ; tan ; cot
1 1
t t t t
a a b a c a d a
t t t t
10 C«ng thøc nh©n ba:
3
2
2
.sin 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos
tan (3 tan ) cot 3cot
.tan ( ,3 ); cot
1 3tan 3cot
a a a a b a a a
a a a a
c a a a k d a
a a
11.C«ng thøc h¹ bËc :
2
2 3
1 cos cos
.cos ; sin ; sin cos sin
2 2
1 cos sin 3sin cos3 3cos
.tan ; sin ; cos
1 cos 4
a a
a a b a c a a a
a a a a a
d a e a f a
a
12.Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
.cos cos cos( ) cos( ) ; sin sin cos( ) cos( )
2
1
.sin cos sin( ) sin( ) ; cos sin [sin( ) sin( )]
2
a a b a b a b b a b a b a b
c a b a b a b d a b a b a b
*Đặc biệt:
.4cos cos( ) cos( ) cos3 ; 4cos cos( ) cos( ) cos3
3 3
.4 tan tan( ).tan( ) tan
3
a x x x x b x x x x
c x x x x
13.Cơng thức biến đổi tổng thành tích :
.cos cos 2cos cos ; cos cos 2sin sin
2 2
.sin sin 2sin cos ; sin sin cos sin
2 2
a b a b a b a b
a a b b a b
a b a b a b a b
c a b d a b
sin( ) sin( ) sin( )
.tan tan ( , );; cot cot ( , ); cot cot
cos cos sin sin sin sin
a b a b b a
e a b a b k f a b a b k g a b
a b a b a b
2 cos( )
.tan cot ; cot tan ; cot tan 2cot
sin sin cos
a b
h a a k a b l a a a
a a b
(15)2
sin cos sin( )
yA x B x A B x A2B2cos(a ))Đặc biệt :( y=
2 2
cos A ;sin B
A B A B
A2B2 0;0 ) Trong đó: (
*sin cos sin( ) ( )
4
*sin cos sin( ) cos( )
4
x x x cos x
x x x x
*cos sin sin( ) cos( )
4
a a a a
14.bảng giá trị lợng giác cung đặc biệt
a hslg
-0 90 -3 -0 60 -4 -0 45 -6 -0 30 0 30 45 60 90 120 135 150 180 sina -1 2 -1
2-
2 22 23 23 22
1
2
cosa
12
2
3
2
3
2
1
2
1 2
-1
tana
kx® 3 -1 13 13
3 kx® 3 -1
1 0 cota -1
kx® 3 1 13 0 13
-1 3 kx®
Ví dụ 1: Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng tổng thành tích để tính :
0
0 0
1
70 ( 2)
sin10
.cos14 cos134 cos106 ( 0)
a Sin DS
b DS
VÝ dô 2: CMR:
0 0
0
0
0 0
.sin 20 2sin 40 sin100 sin 40 sin(45 ) cos(45 )
tan
sin(45 ) cos(45 )
3 sin 200 sin 310 _ cos340 cos50
2 a a a b a a a c
Ví dụ 3: biến đổi thành tích:
a.A=sina+sinb+ sin(a+b) b.B= cosa+cosb+cos(a+b)+1 c.C=1+sina+sinb d.D=sin3a=sin3a+sin 5a+sin7a II C¸c dạng tập bản:
1.sử dụng công thức lợng giác :
Bài : Tính giá trị lợng giác cung biết :
.sin
a
2
cos 2, ; tan 3, ; cot 2,0
3 2
b c d
(16)3 4
2 2 4
sin
, : cos cos ; sin cos 2cos
2 tan cot
.tan sin tan sin ; sin 4cos cos 4sin
k
k Z b a a a
c a a a a d a a a a
Bµi 2: CMR: a.víi
3
cos a sin aBµi 3: Cho cosa - sin a = 0,2 Tính giá trị biểu thøc A = ( A=0,296)
3 a A sin cos ; a a b Bsin3acos ; 3a c C sina cosa Bài 4:cho sina+ cosa=.Tính gia trị biĨu thøc sau :
Bµi 5:CMR:
2 Sử dụng hệ thức giá trị lợng giác cung có liên quan đặc biệt : Bài : CMR:
3
.sin( ) cos ; cos( ) sin
2
3
sin( ) cot( )
2
sin
3
tan( ) tan( )
2
a a a b a a
a a
c a
a a
0 0
tan120 cot135 sin 315 2cos 210
2
2
Bµi : Tính giá trị biểu thức : A= ( A=)
2
5
1 sin( ) cos( )
4 ( 1)
sin ( ) sin ( )
4
a a
B
a a
Bµi 3: Rót gän biĨu thøc sau: B= sư dơng c«ng thøc céng :
sin( ) sin( ) sin( )
0 cos cos cos cos cos c os
a b b c c a
A
a b b c c a
Bµi : CMR :
sin(2 );cos(2 )
6
a a sin 4;
a a
Bµi : TÝnh : BiÕt :
5 a
)
3
Bµi 3: a.BiÕt sin a= vµ tÝnh tan(a+
0 0
4
sin (0 90 ),sin (90 180 )
5 17
a a b b
b.BiÕt : TÝnh: cos(a+b) vµ sin(a-b)
1
; tan
2 b 3 c cho hai gãc nhän a vµ b víi tana=.TÝnh a+b
) ,
4 m m
d.BiÕt tan(a+.TÝnh tana
Sử dụng công thức nhân đôi công thức hạ bậc : Bài : CMR:
4 6
.cos sin cos ; cos sin cos
4 8
a a a a b a a a
(17)0 0
sin cos cos ; sin10 sin 50 sin 70
16 16
a A b B
1 cos8
8 xBài 3: CMR: sinxcosxcos2xcos4x= áp dụng tính giá trị :
0 0
sin sin 42 sin 66 sin 78 ; cos cos cos
7 7
a A b B
Bµi 4: CMR:
2
2 sin cos
.cot tan ; cot tan cot ; tan ; tan
sin cos cos
a a
a a a b a a a c a d a
a a a
Bµi 5: tÝnh:
2
11 5 11 11
sin cos ( sin ); sin sin sin sin (sin cos )
12 12 12 24 24 24 24 24 24
a A A b B
0 0 0
cos10 cos50 cos 70 ; cos 20 cos 40 cos80 ( )
c C d D D
tan
; sin sin
tan tan a
a b a a
a a Bµi 6: Rót gän :
Bµi 7: Chõng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a:
6 4
4
8
2(sin ) 3(sin cos )
4(sin cos ) cos
8(cos sin ) cos cos
a A a coa a a a
b B a a a
c C a a a a
5 Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng :
Bµi 1: cho A =cos(a+b) sin(a-b)+cos(b+c) sin(b-c)+ cos(c+d) sin(c-d)+cos(d+a)sin(d-a) CMR : A=
0 0
sin 20 sin 40 sin 80
Bài 2: CMR: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích : Bài 1; Cho tam giác ABC CMR:
2 2
.sin sin sin 4cos cos ; cos cos cos 2cos cos cos
2 2
A B C
a A B C cos b A B C A B C
sin sin sin ; sin sin sin 4sin sin sin
2 2
A B C
d A B C A B C
c.cosA+ cosB+cosC=1+ Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC CMR:
2
3 sin (sin sin )
.tan tan tan tan tan 1; sin cos( )
2 2 2 2
A B B C C A A B C
a tan b A B C
5
cos cos cos
9 9
Bµi 3: CMR:
2
cos cos cos ( :
7 7 HD
sin )( 1)
7 A
Bài 4: Tính A= nhân hai vế với
ôn tập hè : Môn hình học Bài 1: TiÕt:1 VÐc t¬
(18)AB BC AC
1 phÐp céng vÐc t¬:
OB OA AB
2 HiƯu cđa hai vÐc t¬: TÝch vÐc t¬ vÐct¬ mét sè:
ab b ( 0) a b , a kb +Cho phơng : có số k cho: AB k AC
+ Ba điểm A,B ,C thẳng hàng có số k khác để : 4.trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác:
2 MA MB MI
+ Nếu I trung điểm AB th× víi mäi M,ta cã:
MA MB MC MG
+ Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M, ta có: II Hệ trục toạ độ:
1.Hệ trục toạ độ toạ độ véc tơ: a Hệ trục toạ độ:
U U ( ; )x y U xi y j b.toạ độ véc tơ: Trong mặt phẳng Oxy,cho véctơ ,khi ta nói:
, ,
( ; ); ( ; ) U x y V x y
,
,
x x U V
y y
Lu ý: cho th×: OM xi y j
c.Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M ta nói M (x;y) hay M=(x;y)
d Lien hệ toạ độ véc tơ toạ độ điểm mặt phẳng; ; ); ( ; )
A A B B
x y B x y AB(xB x yA; B yA)
Cho ẶTa cã:
; ;
u v u v ku 2.Toạ độ véc tơ
3.Toạ độ trung điểm đoạn thẳng , toạ độ trọng tâm tam giác :
2
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+ Gọi M trungđiểm đoạn th¼ng AB, ta cã:
3
3
B
A B C
G
A C
G
x x x
x
y y y
y
+Gọi G trọng tâm tam giác ABC, Ta có: III.các dạng tập áp dụng:
1.Tìm toạ độ điểm
Ví dụ1: cho tam giác ABC b Biết trung điểm BC, CA, AB lần lợt M(-1;2);N(1;1) P( 3:4) Ví dụ 2:cho hình bình hành ABCD Biết A(3;2) , B(-11;0) C(5;4) tìm toạ độ điểm D
VÝ dơ 3: cho ba điểm A(1;4) B(-2;2) C(4;0)
a Chng minh A,B,C ba đỉnh tam giác AM
(19)(2 1;3 2); (2;1)
a m m b Ví dụ 4: cho véctơ a.tìm m để hai véctơ phơng
bb.Tìm toạ độ véctơ có độ dài vàcùng phơng với
VÝ dô 5: cho hai điểm A(-2;1) B(-4;5)
a.Tìm điểm M trục Ox cho A,B,M thẳng hàng
b.Tỡm N trục Ox cho ABNO hình thang cạnh đáy AO; c.Tìm giao điểm I hai đờng chéo ca hỡnh thang
Bài tập tơng tự:
Bi 1: Cho tam giác ABC, biết A(2;-2) ,B(10;-6), C nằm Oy, trọng tâm G nằm trục Ox.Tìm toạ độ C G
Bµi :a Cho A(-1;8), B(1;6) C(3;4) CMR A,B,C thẳng hàng
b Cho A(1;1) , B(3;2) C (m+4;2m+1) tìm m để A,B ,C thẳng hàng
Bài : Cho tam giác ABC Các điểm M(1;1) N(2;3) ,P(0;-4) lần lợt trung điểm cạnh BC , CA;AB Tính toạ đọ đỉnh tam giác ABC
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ ,cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) ,C(9;-5) a.CMR A,B ,C thẳng hàng
b.Tìm toạ độ điểm D cho a trung điểm BD c.Tìm toạ độ điểm E Ox cho A ,B ,E thẳng hàng Bài 5: TRong mặt phẳng cho điểm A(1;2) ,B(4;0) C(m;m-2) a.Tìm m để C nằm trục hồnh , trục tung
b.Tìm toạ độ điểm D để tứ giác OADB hình bình hành c.Tìm m để tứ giác OACB hình thang
Bài : Trong mặt phẳng toạ độ , cho ba điểm A(-1;3) ; B(4;2) ; C(3;5) a CMR : A, B ,C không thẳng hàng
3 AD BC
b Tìm toạ độ điểm D cho
c.Tìm toạ độ điểm E cho O trọng tâm tam giỏc ABE
Bài 2: tích vô hớng hai véctơ ứng dụng I Kiến thức bản:
.cos( ; ) a b a b a b
1.Định nghĩa: Công thức toạ độ :
1 2
( ; ); ( ; )
a x y b x y a b x x 1 2y y1 2
(20)3.Độ dài véctơ ,góc hai vectơ;
1 2
( ; ); ( ; ) a x y b x y
Cho hai vectơ;,khi ta có:
2
1
a a x y
1 2
2 2
1 2
cos( ; )
x x y y a b
a b
a b x y x y
b
1 2
0
a b a b x x y y c
2
( ;A A); ( ;B B) ( B A; B A) ( B A) ( B A) A x y B x y AB x x y y AB x x y y
d.cho II Các dạng tập bản:
Bài 1: Cho tam giác ABC,với A(10;5);B(-1;-1);C(6;0).CMR tam giác ABC vuông B
)
2 Bi 2:Trong mặt phẳng toạ độ , cho tam giác ABC,có A(4;6),B(1;4),C(7:. a.CMR;tam giác ABC vng A
b.Tính độ dài cạnh tam giác ABC ,
a b Bài 3: Tính góc hai vectơ trêng hỵp sau: (1; 2); ( 1; 3)
(3; 4); (4;3) (2;5); (3; 7)
a a b
b a b
c a b
Bài 3: Cho hai điểm A(2;4) B(1;1).Tìm toạ độ điểm C,sao cho tam giác ABCvuông cân B (C(4;0) C(-2;2) )
Bài 4: Cho hai điểm A(5;4) ,B(3;-2).một điểm M di động Ox,tìm giá trị nhỏ :
MA MB
A=
Bài 5: Cho tam giác ABC, có A(-4;1), B(2;4),C(2;-2)
5a Tính chu vi diện tích tam giác ABC.(C=6(1+);S=18)
2 GH GI
1;1
2
;1)
4 b.Tìm toạ độ trọng tâm G,trực tâm H,và tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Từ suy
(H();I(-Bài 6:Cho tam giác ABC,có A(5;3),B(2;-1),C(-1;5) a Tính toạ độ trực tâm H tam giác ABC b.Tính toạ độ chân đờng cao hạ từ A
Bài 7: Cho hai điểm A(1;2),B(6;3).Tìm toạ độ điểm C nằm Ox cho tam giác ABC vuông C Bài 8:Cho ba điểm A(1;-3),B(0;2),C(4;5).Xác định toạ độ ba điểm E,F,G,biết rằng:
a CE AB AC
b AF BF CF
17 20 ;
3 Bài 9:Cho ba điểm A(1;2),B(4;6),C(9;8).xác định toạ độ chân đờng phân giác trongcủa góc BAC ( D() )
Bài 10: cho tam giác ABC,có A(-3;6),B(1;-2),C(6;3)xác định toạ độ tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS:I(1;3)
Bài 11: Biết A(1;-1) B(3;0) hai đỉnh hình vng ABCD Tìm toạ độ đỉnh C Bài 3: Hệ thức lợng tam giỏc
I.Kiến thức bản:
(21)2 2
2 2
2 2
2 cos cos cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
2 2
2 2
2 2
.cos
2
.cos
2
.cos
2
b c a
a A
bc
a c b
b B
ac
a b c
c C
ab
HƯ qu¶: sin sin sin
a b c
R
A B C 2 Định lí sin:Trong tam giác ABC, ta cã: 3.C«ng thøc trung tuyÕn :
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
a
b
c
b c a
a m
a c b
b m
a b c
c m
1 1
2 2
1 1
sin sin sin
2 2
( )( )( )
a b c
a S ah bh ch
b S bc A ac B ab C
abc c S
R d S pr
e S p p a p b p c
4.C«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tamgiác : II.Các Dạng toán bản:
Dng toỏn 1: Tính số yếu tố tam giác theo số yếu tố cho trớc pp:+ sử dụng trực tiếp định lí sin định lí cơsin
+ sư dơng c¸c hƯ thøc kh¸c
5Ví dụ 1: Cho tam giác ABC,có b=7cm,c=5cmvà cosA=. a.Tính a,sinA diện tích S tam giác ABC
a h
b Tính đờng cao xuất phát từ đỉnh A bán kính R đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC,có BC=40cm,CA=13cm,AB=37cm.Tính góc nhỏ tam giác
0
a h
Ví dụ 3:Cho tam giác ABC,biết A=60, b=8cm,c=5cm Tính đờng cao ,bán kính R đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
AB AC
VÝ dô 4: Cho tam giác ABC,có AB=5cm,BC=7cm,CA=8cm.Tính góc A Ví dụ 5: Cho tam gi¸c ABC biÕt a=21cm,b=17cm,c=10cm
a h
a.Tính diệnn tích tam giác chiều cao b.tính bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác
a m
(22)Dạng toán 2: chứng minh hệ thức mối quan hệ yếu tố tam giác. pp: dùng hệ thức học để biến đổi
2 2 1( 2 2)
3
GA GB GC a b c
VÝ dô 1: cho tam giác ABC.gọi G trọng tâm tam giác CMR: VÝ dơ 2:trong tam gi¸c ABC.CMR: a=bcosC+ccosB
Ví dụ 3: tam giác ABC, có BC=a,CA=b,AB=c đờng trung tuyến AM=c CMR:
2 2
2 2
2( )
.sin 2(sin sin )
a a b c
b A B C
Dạng toán 3: Giải tam giác: *giả thiết toán cho:
+Biết cạnh hai góc kề cạnh (g,c,g); + Biết góc hai cạnh kề vế (c,g,c); + biết ba cạnh (c,c,c)
pp:Để tìm yếu tố lại tra sử dụng định lí sin,cosin, định lí tổng ba góc tam giác sử dụng hệ thức tam giỏc vuụng
Ví dụ 1; Giải tam giác ABC, biÕt :
0 0
35 , 40 , 120 ; , 23 , 130 ; 14 , 18 , 20
a c cm A C b a cm b cm C c a cm b cm c cm Bài tập t ơng tù :
0
60 ,C 45 Bài1: cho tam giác ABC,có B BC=a. a.Tính độ dài hai cạnh AB AC
0
cos 75
4
b.CMR:
0
60
A Bài 2: Cho tam giác ABC,cã c=35,b=20, aa TÝnh chiỊu cao h.
b.Tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác c.Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
2 2
cotA cotB cotC a b c R abc
Bµi 3: CMR tam giác ABC,ta có : Bài 4: CMR tam gi¸c ABC, ta cã :
2 2
( cos cos ); ( )cos ( cos cos ; sin sin cos sin cos
a b c a b C c B b b c A a c C b B c C A B B A Bài 5:Tam giác ABC,có BC=12,CA=13,trung tun AM=8
a.TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC b.TÝnh góc B
Bài 6: Giải tam giác ABC, biết :
0
54
C a.a=6,3;b=6,3;.
0
60 ; 40
A B b.c=14;. c.a=6;b=7,3;c=4,8
Bài 4: Phơng trình tổng quát phơng trình tham số đờng thẳng A.Kiến thức :
(23)1
( ; )
U u u M x y( ; )0 0
0
0
( )
x x u t t R y y u t
1Cho đờng thẳng d có véctơ phơng ;đi qua điểm Khi pt tham số đờng thẳng d là:
1
( ; ) U u u
2
1
u
u M x y0( ; )0 0 y y 0 k x x( 0)
+Nếu d có véctơ phơng ,thì có hệ số góc k=.pt đờng thẳng qua ,có hệ số góc k là:
(1; )
U k + NÕu k hệ số góc d véctơ phơng d 2.Ví dụ:
vớ dụ1; viết pt tham số đờng thẳng d trờng hợp sau: (3; 2)
U
a.d qua A(-2;3) cã vÐct¬ chØ ph¬ng b d qua hai điểm M(1;-3) N(-2;5)
c d qua B(3;-2) cã hƯ sè gãc k=2
II.phơng trình tổng quát đờng thẳng: ( ; )
n A B
0( ; )0
M x y A x x( 0)B y y( 0) 0 (Ax0By0)
1 Cho đờng thẳng d có véctơ pháp tuyến qua điểm Khi phơng trình tổng qt đờng thẳng d có dạng: ,hay Ax+By +C=0(với C=)
( ; ) : ( ; )( ( ; )) n A B vtcp u B A u B A
+nếu d có véctơ pháp tuyến 2.Vị trí tơng đối hai đờng thẳng:
Cho hai đờng thẳng ;
1 1
2 2
:
;
A x B y C A x B y C
1, 2
Khi để xét vị trí tơng đối ta xét hệ:
1 1
2 2
0 A x B y C A x B y C
(I)
1
2
+NÕu hÖ (I) th× song song víi
1
2
+ Nếu hệ (I) có nghiệm cắt
1
2
+ NÕu hÖ (I) có vô số nghiệm trùng
Vớ d 1: Xét vị trí tơng đối cặp đờng thẳng sau:
1
3
5
: 0; :
: 0; :
: 0; :
a d x y d x y
b d x y d x y
c d x y d x y
1: 3x 4y 0; 2: 4x 3y
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng a.Tìm giao điểm hai đờng thẳng
1
2
b.tính góc hai đờng thẳng 3.Góc hai đờng thẳng:
1;
n A B n A B1( ; ); ( ;1 2 2)
cho hai đờng thẳng lần lợt có véctơ pháp t uyến là:thì:
1 2
1
1 2 2 2 2 2
1 1 2
cos( ; ) cos( ; )
A A B B n n
n n
n n A B A B
(24)0( ; )0
M x y
0
0; ) 2 2
Ax By C
M
A B
+khoảng cách từ đến đờng thẳng : Ax+By +C=0 là:d( +đờng thẳng chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa có bờ đờng thẳng , ta ln có:
1( ; )1
M x y (M1)Ax1By1C0
*Một nửa mf chứa điểm,thoà mÃn:
2( ; )2
M x y (M2)Ax2By2C
* Một nửa mf chứa điểm ,thoả mãn:< Ví dụ 1: viết pt tổng quát đờng thẳng d trờng hợp sau:
(5; 2) n
a.d qua A(3;4) có véctơ pt (4; 3)
u b.d qua B(-2;5) cã vÐct¬ phơng Ví dụ 2: cho tam giác ABC có A(3;-1),B(6;2) C(1;4) a Viết pttq cạnh cđa tam gi¸c ABC
b.Viết phơng trình tổng qt đờng cao tam giác c.Viết pt đờng trung tuyến tam giác ABC
ví dụ 3: a.tính khoảng cách từ A(3;5) đến đờng thẳng a:3x+4y+1=0 b.Tính khoảng cách từ B(2;4) đến đờng thẳng b: 4x-3y+2=0 Ví dụ 4: Cho đờng thẳng d:x-y+2=0 hai điểm O(0;0), A(2;0) a.Chứng tỏ Avà O nằm phía so với d
,
O b.Tìm điểm đối xứng với O qua d.
c.Tìm điểm M d cho độ dài đoạn gấp khúc OMA ngắn B.các dạng tập :
1 lập pt đờng thẳng:
bài 1: Cho tam giác ABC,có A(3;2),B(1;1),C(-1;4).Viết pt tổng quát : a.đờng cao AH đờng thẳng BC
b.Đờng trung trực AB c.đờng trung bình ứng với AB d.Đờng phân giác góc A
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD,biết pt cạnh AB là: 2x-y+5=0,đờng thẳng AD qua gốc toạ độ O tâm hình chữ nhật I(4;5).Viết pt cạnh cịn lại
Bài 3: Cho đờng thẳng d: 3x-4y-12=0
a tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục toạ độ ;
,
d b.viết pt đờng thẳng đối xứng với d qua Ox;
,,
d c Viết pt đờng thẳng đối xứng với d qua điểm I(-1;1).
Bài 4: Cho tam giác ABC,có A(1;2),B(3;-4),C(0;6).viết pt tham số tổng quát đờng thẳng sau: a.đờng thẳng BC;
b.đờng cao BH;
đờng thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC song song với đờng thẳng d:3x-7y=0 2.Tìm điểm đ ờng thẳng thỗ mãn điều kiện cho tr ớc :
2
x t
y t
Bài 1: cho đờng thẳng d; có pt:
(25)2 5BàI 2: a Tìm trục hồnh điểm cách đờng thẳng d: 2x+y-7=0 khoảng b.Tìm đờng thẳng a: x+y+5 =0 điểm cách đờng thẳngb: 3x-4y+4=0 khoảng
Bài 3: Cho hình vng ABCD,có pt cạnh AB: 3x-2y-1=0 ;CD:3x-2y-5=0 tâm I thuộc đờng thẳng x+y-1=0
a.Tìm toạ độ điểm I b Viết pt cạnh AD BC
Bài 4: Viết pt đờng thẳng d trờng hợp sau:
a.d qua M(-2;-4) cắt trục toạ độ lần lợt A B cho tam giác OAB vuông cân b.d qua N(5;-3) cắt trục toạ độ Avà B cho N trung điểm AB
c.d qua P(4;1)cắt Ox,Oy lần lợt Avà B phân biÖt cho OA+OB nhá nhÊt 2
: ; (3;1)
1
x t
M
y t
Bài 5: Cho đờng thẳng
13a.Tìm điểm A cho A cách M khoảng b.Tìm điểm B cho đoạn MB ngắn nhất.
1 :
2
x t
y t
Bài 6: cho hai điểm A(-1;2),B(3;1) đờng thẳng Tìm toạ độ điểm C cho :
a.Tam giác ABC cân b.tam giác ABC
Bài 5: đờng tròn I kiến thức bản
2 2
(x a ) (y b ) R *Phơng trình đờng trịn tâmI(a;b) bán kính R là:
2 2 2 0( 2 0)
x y ax by c a b c 2 Trong mf,phơng trình có dạng :
2
a b clà pt đờng tròn tâm I(-a;-b) bán kính R=
2 2
(x a ) (y b ) R M x y0( ; )0 0 03.Tiếp tuyến với đờng tròn (C):,Tại :Là đờng thẳng qua M
0( ; )
IM x a y b
0 0
(x a x x)( ) ( y b y y)( ) 0
và vng góc với vectơ ,có pt là: ( cụng thc phõn ụi to )
II.Các dạng bµi tËp :
Dạng tốn 1:xác định tâm bán kính điều kiện để pt đờng trịn: Ví dụ 1: xác định tâm bán kính đờng tròn sau:
2 2 2
.( 1) ( 2) 3; 0; 3
a x y b x y x y c x y x
2 2 2 3 4 0(*)
x y mx my m Ví dụ 2: Cho pt: a.Tìm m để (*) pt đờng trịn
b.Viết pt đờng trịn (*) biết có bán kính R=1
c.Tính bán kính đờng trịn (*) biết tiếp xúc với đờng thẳng d: 2x-y=0 Ví d 3: cho ng trũn (C):
a.Tìm tâm b¸n kÝnh cđa (C)
b.Cho A(3;-1).CMR:Alà điểm đờng tròn Viết ptđờng thẳng d qua A cắt (C) theo Một dây cung có độ dài nn
(26)Dạng toán 2: Lập pt đ ờng trßn:
2 2
: ( ) ( )
Pt x a y b R
+ cách 1:Tìm toạ độ tâm I(a;b) ,bán kính R
2 2 2 0
x y ax by c + c¸ch 2: lập pt dạng:(*) ,Tìm a,b,c từ giả thiết Lu ý:
2 2 2 2
0( ; )0 I ( ) ( ) 0 2 0
M x y M R x a y b R x y ax by c
* §t (I;R) qua ( ; )
d I R
*§t(I;R) tiÕp xóc víi b R
*§t(I;R) txóc víi Ox a R
*Đt(I;R)T xúc với Oy Ví dụ 1: Viết pt đờng trịn biết : a.Đờng kính AB,biết A(3;1),B(2;-2)
b.có tâmI(1;-2),tiềp xúc với đờng thẳng d: x+y-2=0 c.Có bán kính R=5, tâm thuộc Ox qua A(2;4)
2
(x 5) (y 3) 9d.Có tâm I(2;-1) tiếp xúc ngồi với đờng trịn:. e.Tiếp xúc với hai trục có tâm nằm đờng thẳng a: 2x-y-3=0 Ví dụ 2: Viếtpt đờng trịn
a qua A(-2;-1) ,B(-1;4), C(4;3)
b.Qua A(0;2),B(-1;1) có tâm nằm đờng thẳng 2x+3y=0
c qua A(5;3) tiếp xúc với đờng thẳng b: x+3y+2=0 điểm M(1;-1) Dạng toán 3: Lập pt tiếp tuyến đ ờng tròn:
0( ; )0
M x y + Nếu biết tiếp điểm lập pt dạng phân đôi toạ độ
d I( ; ) R+ NÕu cha biÕt tiÕp ®iĨm ta dïng ®iỊu kiƯn: ttcủa Đt (I;R)
2
2
(x 3) (y1) 25
Ví dụ1:a.Viết pttt đt ; điểm nằm dờng trịn có hồnh độ -1
2 4 2 5 0
x y x y b ViÕt pttt cña Đt (C):, giao điểm với trục Ox
2 2 2 3 0
x y x y Ví dụ 2: Cho đờng trịn (C):. a, Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trục Ox b.Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A(-2;3) đến đờng tròn (C)
2 4 6 7 0
x y x y Ví dụ 3; Cho đờng tròn (C):.
a.Điểm M(-1;1) hay ngồi đờng trịn Lập pt dây cung qua M có độ dài ngắn b.Lập pt đờng thẳng qua O,cắt (C)theo dây cung có độ di bng
Bài tập t ơng tự
Bài 1: Lập pt đờng trịn biết : a Có tâm I(3;-2),bán kính R=2; b.có tâm I(2;-4) ,và qua góc toạ độ ;
c.có tâm I(1;-2),và tiếp xúc với đờng thẳng x-y=0 d.qua A(0;4),B(-2;0),C(4;3)
e.Qua A(2;-1),B(4;1) vµ cã tâm Ox
f Qua A(3;5),v tip xỳc vi đờng thẳng x+y-2=0 điểm M(1;1)
2 2 8 1 0
x y x y Bài 2: Viết pt tiếp tuyến đờng tròn a.Biết tt song song với dt:x-y+3=0