được cũng như kết quả trên.[r]
(1)1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đáp án Thang điểm
***** ĐỀ THI GIỮA KỲ HỌC PHẦN GIẢI TÍCH
(Học kỳ II năm học 2016-2017)
Câu 1.(1,25đ) Khảo sát tính liên tục điểm O(0,0) hàm số
) , ( ) y , x ( a
) , ( ) y , x ( y x
1 sin y x ) y , x (
f 2
2
a tham số
Bài giải
Miền xác định hàm số f(x,y) xét D = R2.(0,25đ)
Vì
y x
1 sin 2 2
với (x,y) nên 2
2 2 2
y x
1 sin y x y x
1 sin y x ) y , x ( f x2y2.1x2 y2 0
khi (x,y) (0,25đ) nên theo nguyên lý kẹp
y x
1 sin y x lim )
y , x ( f
lim 2 2 2
) , ( ) y , x ( )
0 , ( ) y , x
( (0,25đ)
Do đó, a = f(0,0) = f(x,y) f(0,0) lim
) , ( ) y , x
( hàm số f(x,y) xét liên tục
điểm (0,0) (0,25đ); ngược lại, a f(0,0) = a tức
f(x,y) f(0,0) lim
) , ( ) y , x
( hàm số f(x,y)
đang xét không liên tục điểm (0,0).(0,25đ)
Câu 2.(1,5đ) Cho hàm số x2y xy2
y xy ) y , x (
f
2.1 Tìm miền xác định D hàm số f(x,y); 2.2 Tìm lim f(x,y) ) , ( ) y , x
(
Bài giải
2.1 Hàm số x2y xy2 y xy ) y , x (
f xác định x2y + xy2 xy(x + y)
0 y x
0 y
0 x
miền xác định hàm số D = {(x,y)R2x 0}{(x,y)R2y 0}{(x,y)R2 x + y 0}, tức tập
hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy không nằm hai trục tọa độ Ox, Oy đường thẳng y = -x.(0,5đ)
2.2 Biến đổi
2
2
2
2 2
2 xy xy
y xy
xy xy
y x
y xy xy
1 xy
y x
y
xy xy
1 xy
1 ) y , x ( f
x y
y
xy
2
2 xy
1
x y
y lim
xy )
3 , ( ) y , x ( xy y x
y )
3 , ( ) y , x ( )
3 , ( ) y , x (
2 ) , ( ) y , x ( 2
2
xy lim xy
1 lim )
y , x ( f
lim
Đặt t = xy2 t (x,y) (0,3) lim 1 xy lim1 t e
t
0 t xy
1 )
3 , ( ) y , x (
2
Ta có
3
3 y lim x lim
y lim
y x
y lim
2
3 y y
2 y
) , ( ) y , x
(
Suy
) , ( ) y , x
( lim f(x,y)e (1,0đ)
Câu 3.(0,75đ) Chứng minh hàm số
2
y x
1 ln ) y , x ( f
thỏa mãn phương trình Laplace
0 y
) y , x ( f x
) y , x ( f
2
2
không gian R2
(2)2
Bài giải
Ta có 2
1 2
2 2ln x y
1 y
x ln y x
1 ln ) y , x (
f
2 22
2
2 2
2
2
2 2
2
y x
y x
y x
x x ) y x ( x
) y , x ( f y
x x y
x x x
) y , x ( f
(0,5đ), tương
tự ta có
2 22 2
2
y x
x y y
) y , x ( f
0 y
) y , x ( f x
) y , x ( f
2
2
(0,25đ)
Câu 4.(1,25đ) Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2 Tính gradf(x,y,z)
l ) z , y , x ( f
điểm M0(1,1,1), biết
rằngl xác định véc tơ M0M1với M1(-1,-1,2)
Bài giải
+ Ta có
2 z
) , , ( f
2 y
) , , ( f
2 x
) , , ( f
z y x z
) z , y , x ( f
yz x y
) z , y , x ( f
z xy x
) z , y , x ( f
2
2
2
2
2
2
(0,25đ)
k 2i j 2k
z ) , , ( f j y
) , , ( f i x
) , , ( f ) , , (
gradf (0,25đ)
+ Ta có M0M1(11)i(11) j(21)k2i2 jk M0M1 (2)2(2)212 3
do cosin phương véc tơ l ,
cos ,
3 cos
3
cos (0,5đ)
+ Suy
2i j 2k cos i cos j cos k l
) , , ( f
2 k j i k j i
2
(0,25đ)
Câu 5.(2,0đ) Khảo sát cực trị hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y +
Bài giải
Miền xác định hàm số f(x,y) xét D = R2
- Ta có
) y y x x ( 36 y 30 y 12 x 24 x y
) y , x ( f
) y )( x ( 12 x y xy 12 24 x 12 y 24 xy 12 x
) y , x ( f
2
2
Suy hệ phương trình để xác định điểm dừng (nếu có) hàm số xét
0 y y x x
0 ) y )( x ( ) y y x x (
0 ) y )( x ( 12
y ) y , x ( f
0 x
) y , x ( f
2
2
2 (0,25đ)
(3)3
3 x
1 x
1 y
2 y
2 y
2 x
0 x x
1 y
0 y y
2 x
0 y y x x
0 y
0 y y x x
0 x
2
2
2
(0,25đ)
Như vậy, hàm số xét có điểm dừng M1(2,2); M2(2,12);M3(1,1);M4(3,1)
- Ta có
) y ( y
) y , x ( f ) y , x ( C ) y ( 30 y 24 y
) y , x ( f
) x ( 12 y x
) y , x ( f ) y , x ( B ) x ( 12 24 x 12 y x
) y , x ( f
) y ( 12 x
) y , x ( f ) y , x ( A y 12 12 y 12 x
) y , x ( f
2
2
2
2
2
2(x 2) (y 1)(4y 5)
72 ) y ( ) y ( 12 ) x ( 12 ) y , x ( C ) y , x ( A ) y , x ( B ) y , x
( 2 2
(0,5đ)
+ Tại điểm dừng M1(2,2) ta có
0 12 ) , ( A
0 216 )
2 , (
nên điểm cực tiểu giá trị cực tiểu fct = f(2,2) = 21.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M2(2,12) ta có
0 ) , ( A
0 108 )
2 , (
nên điểm cực đại giá trị cực đại fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M3(1,1) ta có (1,1)1440nên khơng phải điểm cực trị.(0,25đ) + Tại điểm dừng M4(3,1) ta có (3,1)1440nên khơng phải điểm cực trị.(0,25đ)
Câu 6.(1,5đ) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x,y) = xy miền đóng D hình
tròn x2 + y2
Bài giải
Miền xác định hàm số xét R2 hiển nhiên hàm số f(x,y) xét liên tục với
x, y miền xác định nó, nên hàm số đạt GTLN GTNN miền đóng D.(0,25đ)
Ta có hệ phương trình
0 x y
) y , x ( f
0 y x
) y , x ( f
để xác định điểm dừng Hệ phương trình có
nghiệm
0 y
0 x
, tức có điểm dừng (0,0) điểm D giá trị hàm số f(x,y) điểm f(0,0)0.00.(0,25đ)
Bây ta xét giá trị hàm số f(x,y) biên miền D, tức x, y thỏa mãn x2 + y2 =
y2 = – x2, y2 nên – x2 -1 x 1, f(x,y)xyx 1x2 g(x)với -1 x (0,25đ)
Khảo sát cực trị hàm số g(x) trường hợp (y y 0) với -1 x ta nhận
2
2 ,
2 f
2 ,
2 f
fmin
2
2 ,
2 f
2 ,
2 f
fmax
(0,75đ)
(4)4 So sánh giá trị hàm f(x,y) tìm ta nhận
2 ) f (
GTNN điểm
2 ,
2
,
2 ,
2
2 ) f (
GTLN điểm
2 ,
2
,
2 ,
2
.(0,25đ)
Cách khác (1) Phương trình tham số đường trịn x2 + y2 =
t sin y
t cos x
với 0t2,
đó hàm số sin2t
2 t sin t cos xy ) y , x (
f với 0t2 Vì -1 sin2t
2 ) y , x ( f 2
1 xy
nên ta nhận kết
(2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
2 xy xy
2 xy y x
y x2
2 ) y , x ( f
1
nên ta nhận kết
Câu 7.(1,75đ) Tìm cực trị hàm số xy
e ) y , x (
f với điều kiện x + y =
Bài giải
Ta có x + y = x + y – = (x,y) = x + y – =
Lập hàm L(x,y,) = f(x,y) + (x,y) = exy + (x + y – 1)(0,25đ)
1 y x ) , y , x ( L
xe y
) , y , x ( L
ye x
) , y , x ( L
xy xy
, (0,25đ)
do ta hệ phương trình xác định điểm dừng
2 e
2 y x
0 y x
0 xe
0 ye
4
0 0 xy
xy
(0,25đ)
Tại
2 e
0
ta có
4 e y
2 , f C
4 e y
x , f B
4 e x
2 , f A
e x y
) y , x ( f
) xy ( e y x
) y , x ( f
e y x
) y , x ( f
xe y
) y , x ( f
ye x
) y , x ( f
4
2
4
4
2
xy 2
2
xy
xy 2
2
xy xy
(0,25đ)
4
2 2
0
dy
e dxdy
e dx
e Cdy Bdxdy Adx ) y , x ( f
d
(0,25đ) Mặt khác ta
có (x,y) = x + y – = d(x,y) = dx + dy = dy = -dx d f(x ,y ) 24 edx2 0
0
2
, tức
dạng toàn phương d2f(x
0,y0) xác định âm, (0,25đ) hàm số f(x,y) = exy đạt cực đại điểm
2 , ) y , x
( 0 0 giá trị cực đại
max e
2 , f
f
(0,25đ)
Cách khác Vì e > nên hàm số f(x,y) = exy đồng biến với hàm số g(x,y) = xy, nên để đơn giản, ta xét cực trị hàm số g(x,y) = xy, sau suy cực trị hàm số f(x,y) = exy = eg(x,y) Kết nhận
được kết