Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành4. Tìm các giới hạn sau:..[r]
(1)§1 Dãy số có giới hạn 0:
Định nghĩa: lim un → ∞n= ⇔ ∀ ε> 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 thì un <
Một số dãy có giới hạn 0: * lim
√n= 0; lim
1
3
√n; lim
1
nk=
* Định lý 1: Hai dãy số (un) (vn)
Nếu un vn n limvn = limun = 0.
* Định lý 2: Nếu q < limqn = 0.
§2 Dãy số có giới hạn hữu hạn:
Định nghĩa: limun = L lim(un – L) = 0.
Định lý 1: Giả sử limun = L Khi đó:
a) limun = L lim√3un=
3
√L;
b) Nếu un n L lim√un=√L.
Định lý 2: Nếu limun = L, limvn = M c số Khi đó:
lim(un + vn) = L + M; lim(un - vn) = L - M; lim(un.vn) = L.M;
lim(cun) = cL; lim
un vn
= L
M (nếu M ≠ 0).
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
S = u1+ u1q + u1q2+ = limu1(1 - q
n )
1 - q =
u1
1 - q
Bài tập áp dụng:
1 Dùng định nghĩa, chứng minh dãy sau có giới hạn 0:
a¿ un=a
nk với a số thực hữu hạn, k số tự nhiên hữu hạn b¿ un=
n - 2; c¿ un=
3n + ; d¿ un= 2n
n2+ 2n + 2 Cho a > Chứng minh rằng: lim n
an=
3 Chứng minh a¿ lim(√n + - √n)= 0; b¿ lim2n sinn
n2+ =
4 Ba dãy vn, un, wn thỏa vn un wn n, limvn = L, limwn = L CMR: limun = L
5 Biết limun = limun-1 = limun-2 = limun-k với k số hữu hạn CMR: Dãy un
tăng (giảm) bị chặn (và bị chặn dưới) có giới hạn. 6 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0:
- 1¿nsinn2+ cosn
- 1¿n
¿ ¿
(¿ ¿2√3n+ ;c) un=¿
a¿ un= √5 n 3n
(2)d¿ un=
n + cosnπ
n√n+√n ;e¿ un=√n
2
+ - √n2+ ; f¿ un=n!
nn
7 Tìm giới hạn limun với: a¿ un=2n
5+ 3n2 - 7
n - 6n5 ; b¿ un=
n2− 3n + 5
√3n4 - n3+ 1; c¿ un=
n2
+ 3cos3n - 2n3 - 6n2
+ ;
d¿ un= n
2
+ 2n
n2+ 2n + ;
e¿ un=2 n
+ 4n
2 3n+ 4n; f¿ un=
3 2n− 3n
2n+ 1+3n+1; g¿ un=√
n7
+ 3n2 -2 4n7 - n5
+ 1;
- 2¿n+ 3n ¿
-2¿n +1+ 3n+1
¿ ¿ ¿
h¿ un=¿
8 Chứng minh a¿ lim2(√n2+ - n)= 0; b¿ limn
2
+ 2n +1
n2
√n+ 3 =
9 Cho dãy xác định bởi:
¿
u1=1
un+ 1= un
2
+un
¿{
¿
a) CMR: với n
0 < un<1
un+1 un
≤3
4;
b) Từ suy limun = 0.
10 Cho dãy xác định bởi:
¿
u1=1
un+ 1=
un
n +
¿{
¿
a) CMR: với n
< un un +1 un
≤1
2;
b) Từ suy limun = 0.
11 Tìm giới hạn dãy sau:
a¿ un=( 1 2+
1 3+ .+
1
n(n + 1)); b¿ un=
1
√n3
+1
+
√n3
+2
+ +
√n3
+n
;
c¿ un=( 1 3+
1
2 4+ +
1
n (n + 1)(n + 2)); d¿ un=
2 12+ 22+ +(n + 1).n2
n4
e¿ un= √n2
+1
+
√n2
+2
+ + √n2
+n
; f¿
2+ 22+
5 23+ +
(3)12 Cho dãy xác định bởi:
¿
u1= 10
un+ 1=√un
¿{
¿
a) CMR: với n
un> un -
2 > un+1 - 1; b) Tìm limun.
13 Dãy xác dịnh bởi:
¿
u1= -
un+ 1=2 3un -
¿{
¿
Gọi (vn) dãy xác định vn = un + 18.
a) CMR: vn cấp số nhân lùi vơ hạn.
b) Tính tổng cấp số nhân (vn) tìm limun.
14 CMR: dãy un=(1 +1n) n
có giới hạn hữu hạn.
15 Đặt lim (1 +1
n)
n
= e Tính giới hạn sau: lim (n + n - )
n +
; lim (n − 2 n + )
n +
§3 Dãy số có giới hạn vơ cực:
lim un → ∞n=+∞ ⇔ ∀ M > 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 un > M.
lim un → ∞n=− ∞ ⇔∀ M < 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 un < M.
limun= + lim
1
un=0
Quy tắc 1 Quy tắc 2 Quy tắc 3
limun limvn lim(unvn) limun Dấu L lim(unvn) Dấu L Dấu vn lim
un vn
+ + + + + + + + +
+ - - + - - + - -
- + - - + - - + -
- - + - - + - - +
Bài tập áp dụng:
1 CMR: a) Nếu q > limqn = + ; b) Nếu n
√un= L > lim un = +
2 Tìm giới hạn: a¿ lim √3n
2+ - √n2 - 1
n ; b¿ lim(
3
√n3 - 2n2 - n)
c¿ lim
√n2+ - √n2+ 4; d¿ lim n(
3
√n3+ n2 - n); e
¿ lim2n
3
- 11n +
(4)3 Cho hình vuông cạnh a Nối trung điểm bốn cạnh ta hình vng nhỏ Lại làm hình vng Cứ tiếp tục thế mãi Tìm giới hạn tổng diện tích tất hình vng tạo thành.
4 Tìm giới hạn sau: lim1 + a + a
2
+ + an
1 + b + b2+ + bn với a < b <
5 Tìm giới hạn:
- 2¿n+ 3n
¿
- 2¿n+1+ 3n +1
(¿; c) lim√n + 1(√n + - √n); ¿
a¿ lim n√n
3
- 5n2
+ ; b¿ lim¿
d¿ lim n√1 + + + .+ 2n
3n2+ n - ; e¿ lim
1 - + - + +(2n - 1) - 2n
2n +
6 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim (√3n2 - n3+ n); b¿ lim √n
2+1+
√n √n2
+n - √n; c¿ lim
12
+ 22+ 32+ + n2 5n3
+ n + ;
7 CMR: dãy số sau có giới hạn tìm giới hạn đó:
¿
1
k2; d
a¿u1= 1¿un+ 1= un + un
¿ ; b¿ ¿ ¿u1=√2¿un +1=√2 + un¿; c¿ un= ∑ k=1 n
¿ √2 +√2 +√2 + +√2 +√2¿ ¿ ¿{¿
§4 Giới hạn hàm số:
Định nghĩa 1: limf (x )x→ x
0
= L dãy (x
n), limxn = x0 ta có limf(xn)
= L Trong x0 (a, b), f(x) xác định (a, b) \ {x0}, xn (a, b) xn
≠ x0.
Định nghĩa 2: limf (x )x→+ ∞ = L dãy (xn), limxn = + có limf(xn)
= L Trong f(x) xác định (a, +), xn (a, +) n.
Định lý 1: Nếu lim f x→ x(x)
0
= L lim g (x) x → x0
= M (L, M R) thì: lim [f (x )± g(x )]
x → x0
= L ± M; lim [f (x) g (x)] x → x0
= L M; lim [c g(x)] x → x0
= cL; lim x → x0
f (x ) g (x)
L
M (M ≠ 0).
Định lý 2: Giả sử limf (x)x→ x
0
= L Khi đó: lim |f (x )|
x → x0
=|L|; lim3
√ f (x )
x→ x0
3
√L; Nếu f(x) x J L và
lim√ f (x)
x → x0
=√L.
Bài tập áp dụng:
(5)x + h¿3 - 2x3
2(¿¿h ; c) lim
x → 0
√x + - √x2+ x +
x ;
a¿ lim
x →1
x3 - x2
+ x -
x - ; b¿limh→ 0¿
d¿ lim
x → 2
x - √x +
√x + - ; e¿ limx→ 0
1 - √31 - x
3x ; f¿ limx→ - 1
3
√x +
√x2+ -
;
2 Tìm giới hạn sau: x - 2¿2
(¿; b) lim
x → 1
2x2 - 3x +
x3 - x2 - x + 1; c
a¿ lim
x →2
x2 - 3x + 2
¿ limx→+ ∞
3x2 - 5x + 1
x2 - ; 7x + 2¿2
¿
2x + 1¿4
(¿; e) lim
x →+∞
(3x2+ 1)(5x + 3)
(2 x3 - 1)(x + 1) ; f
x - 1¿2¿
¿
d¿ lim
x → - ∞¿
3 Tính A = lim x →+∞
a0xm+ a1xm-1+ + am
b0x
p + b1x
p-1
+ + bp 4 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x→ 1
x3 - 1
x2 - 2x + 1; b¿ lim
x → - 2
x3 - 2x + 3
x2+ 2x ; c¿ lim
x → 2
x - √x + √4x + - 3; 5 Chứng minh rằng: lim
x → 0 sinx
x =
6 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x→ 0 sin5x
x ; b¿ limx→ 0
1 - cos7x
x2 ; c¿ lim
x → 0
cosx - cos3x
sin2x ; d¿ lim
x →π
2
(cos x1 - tanx) §5 Giới hạn bên:
Định nghĩa 1: x → x0
+¿
limf (x)= L
¿
dãy (xn), xn (x0, b), limxn = x0 thì
limf(xn) = L.
Định nghĩa 3: limf (x)= L x → x
0− dãy (xn), xn (a, x0,), limxn = x0 thì
(6)* Nhận xét:
limf (x)= L
x → x0
⇔
x → x0+¿
limf (x) x → x0−
x → x0+¿ =limf(x )= L
x → x0−
∃ limf (x),
¿ limf(x )¿
¿
{
Giới hạn vô cực:
* Các định nghĩa limf (x)=± ∞,x → x
0±
limf(x )=∓∞
x → x0∓ được
nêu tương tự.
* Nhận xét cho giới hạn vô cực.
Bài tập áp dụng:
1 Tìm giới hạn sau: -1¿−
x → 2+¿|2x + 1|
x − 2 ; d x →(¿x
2
+
x + ; c) lim ¿
lim
x → −
|2x + 1|
x − 2 x →(-1¿+¿x
2
+
x + ; b) lim ¿
a¿ lim
¿
2 Tìm giới hạn sau: x →(-1¿+¿x
2+ 3x + 2
√x + ; b) lim x → −
5√x - x
√2x+ x c x → 1+¿ x3 -
x2− 1; d
a¿ lim
¿ lim¿ x → 1lim−
1 - x3 x − 1
3 Cho hàm số
¿
√4 - x2 x < 2
1 x =
√x2 - x > 2
¿f (x )={ { ¿
Tìm giới hạn sau (nếu có)
x → +¿ ; limf (x) x → −
; limf (x)
x →
limf (x)
¿
4 Cho thấu kính hội tụ có tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f Gọi d, d’ là khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính.
(7)b) Tìm d → f
+¿ ; lim ϕ
(d )
d → f −
; lim ϕ (d)
d →+∞
lim ϕ(d)
¿
giải thích ý nghĩa.
5 Tìm giới hạn sau: x → +¿ x3 -
√x2 - 1; c x →(-1¿+¿2x
2
+ 5x +
|x + 1| ; b) lim¿
lim
x → −
x3 -
√x2 -
a¿lim
¿
6 Ta gọi phần nguyên số thực x số nguyên không vượt x ký hiệu là [x] Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] tìm giới hạn sau (nếu có).
x → +¿ ; limf (x)
x → −
; limf (x)
x →
limf (x)
¿
§6 Vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực: Định lý: lim
x → x0|f (x )| =+∞ lim x → x0
1
f (x )
Quy tắc 1 Quy tắc 2
limf ( x)
x → x0 Dấu L
limf ( x)
x → x0 Dấu L Dấu g(x)
lim
x → x0
f (x) g (x)
+ + + + + +
+ - - + - -
- + - - + -
- - + - - +
Bài tập áp dụng:
1 Tìm giới hạn sau: x + 2¿2
-1¿−
x →(¿x
2
+
x + ; c) lim x →
2 - x2
x2− 2x; d
(¿; b) lim
¿ lim x → - ∞
√2000 x - x3.
a¿ lim
x → -2
x2+
¿
2 Tìm giới hạn sau: x + 2¿2
(¿; b) lim
x → 1
x2 -
x2
+ 4x - 3; c
a¿ lim
x → -2
4 - x2
¿ lim x →
9 - x2
x2+ 3x; d¿ lim x → - ∞
x2+ 3x -
4x +
(8)a¿ lim x → -2 (1
x−
1 2)
1
( x −2)2; b¿ lim x → 0
x2+
x2+ 4x; c¿ lim x →
7
x2− 3x; d¿ lim x →+∞
x2− 3x
4x - 4 Tìm giới hạn:
a¿ lim
x →
x + x2
+ + xn - n
x -
5 Biết lim
x → 0 (1+ x)
❑
1
x
= e Tìm giới hạn:
a¿ lim
x →+∞ (1+
1
x)
x
; b¿ lim
x →+∞ (1−
1
x)
x
; c¿ lim
x →+ ∞(1−
1
x)
-x
; d¿ lim
x →+∞ (
x + x - )
x +
6 Tìm giới hạn a¿ lim
x →+∞xsin
1 2x 7 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x →
cos3x - cos5x
x2 ; b¿ lim x →
cos3x - cos5x
x (sin5x - sin7x); lim x →
cos3x - cos10x cosx - cos8x 8 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x →π
sinx - cosx
1 - tanx ; b¿ lim x →+ ∞(sin√x + - sin√x); c
¿ lim
x → 0
4 sin(π
6+ x)sin(
π
6+ 2x) -
sinx
§7 Các dạng vơ định:
Trong chương trình, ta xét dạng vơ định 00,∞
∞, ∞ , ∞ - ∞ .
Nguyên tắc chung để tìm giới hạn dạng phải khử dạng vô định.
Bài tập áp dụng:
1 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x → 2
√x + -
x - ; b¿ lim x → 2
√x + -
√x + - 3; c¿ lim x → 0
√2x + - √3 x2+
sin x
2 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x →π
sin3x
1 - 2cosx ; b¿ lim x →+∞
√x2+ 2x + 3+ 2x
√4x2
+ - x +
; c¿ lim
x → 1
√x + - √5 - x2
x -
3 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x →
tanx - sinx
xsin2x ; b¿ lim x → 0
2sinx - sin2x
x3 ; c¿ lim x →0
1 -
√cosx sin2x
4 Tìm giới hạn sau: a¿ lim
x →
3x3 - 5x2 - 3x +
- x3+ 3x2 - x - ; b¿ lim x →1
√x + - √5 - x2
x4 - ;
c¿ lim
x → -3
x3+ 3x2+ x +
3x4+ 9x3+ 2x2+ 6x ; d¿ lim x → 0
√2x + +√35x + - √3x + -
(9)e¿ lim
x → -
- 2x3+ 5x2+ 6x + 3
4x3
+ 14x2+ 14x + ; f¿ lim x →2
√10x + -
√x + -
√15x -
x2 - 3x + 2 ;
g¿ lim
x →
1 - √2x + 1
√3x + - - 4; h¿ lim x → 0
√x + - √3 2x +
5x2 - 6x ;
i¿ lim
x →
√x2+ x + - √3 x3+
x ; k¿ lim x → 0
x + x2+ .+ xn - n
x - ;
6x + 6¿7
¿
7 - 2x¿3
6 − 3x¿9(¿; m) lim
x →+∞(
√x3+ - x);
3 - 2x¿5¿
¿
5x + 3¿6¿
2x - 3¿4¿
¿
l¿ lim
x →+∞
¿
n¿ lim
x →+∞(√x
+ 2x + - x); p¿ lim x
x → - ∞ (
√8x3 - - √4x2+ 1)
q¿ lim
x →+ ∞x(√x
+ - x); r¿ lim x
x → - ∞ (√4x
2+ 1+ 2x).
5 Tìm giới hạn sau:
x2 - x - 2
¿20 ¿
x3 - 12x + 16¿10
(¿; b) lim
x →1
x100 - 2x +
x50 - 2x + 1 ; c
¿
a¿ lim
x → ¿
§8 Hàm số liên tục:
1 Hàm số liên tục điểm: Hàm số f(x) xác định (a; b) x0 (a; b).
f(x) liên tục điểm x0 limf (x)x → x
0
= f(x0)
Hàm số không liên tục x0 gọi lại gián đoạn điểm x0.
2 Hàm số liên tục khoảng:
Hàm số f(x) có xác định J f(x) liên tục J f(x) liên tục x0 J.
Hàm số f(x) xác định [a; b], f(x) liên tục [a; b] f(x) liên tục trên (a; b) x → a
+¿ = f(a), limf (x )
x → b−
f (b). limf (x)
¿
Định lý 1: Các hàm số đa thức, phân thức, rhức hàm số lượng giác liên tục tập xác định chúng.
(10)Định lý 2: f(x) xác định [a; b] Nếu f(a) ≠ f(b) M nằm f(a) và
f(b), c (a; b) f(c) = M.
Hệ quả: f(x) liên tục [a; b] f(a)f(b) < c (a; b) f(c) = 0. Ý nghĩa hình học hệ quả: f(x) liên tục [a; b] f(a)f(b) < đồ
thị hàm số y = f(x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c (a; b).
Bài tập áp dụng:
1 Xét liên tục hàm số f(x) x = x0 cho tập R.
¿
x3 - 1
x - x ≠ 1 x = 1 - √3cosx
x - x ≠ 0 x = , x0= 0;
¿, x0= 1; b
(x)={¿a¿ f( x)={¿ ¿
¿
3x2
|x|
x x ≠ 0
1 x = sinx +|x|
x x ≠ 0
2 x = , x0= 0;
¿, x0= 0; b
(x)={¿a¿ f(x)={¿¿
2
¿
x2 -
a x ≥ 2
3x + a x < , x0=
¿a
(x)={¿ ¿ Tìm a để f(x) liên tục x = Vẽ đồ thị f(x)
¿
2sinx + cosx x < Asin(x +π
6) ≤ x <
π
2
− Bcos(x +π
6) x ≥
π
2
¿b
(x)={ {¿ ¿ Tìm A, B để f(x) liên tục R.
3 Chứng minh phương trình: a) x4 – 5x + = có nghiệm x
0 (0; 1).
b) x3 + 3x2 – = có nghiệm phân biệt.
c) x3 + ax2 + bx + c = với 4a + 8b + 21c + = ln có N
0 x0 [-1; 0,5].
Bài tập ôn tập chương IV:
(11)a¿ un=√n2+ 2n + - n b¿ un= n
2
- 4n +
n3+ 3n + 3;
c¿ un=√327n3+ 8n2+ - 3n d¿ un= 2n
2
- 3n +
2n − 3 ;
e¿ un=√4n2+ 4n + - √4n2+ 1; f¿ un= √n
2
+ 2n + 2n - √4n2+ 1;
− 4¿n + 2+ 5n + ¿
− 4¿n + 5+ 5n + ¿ ¿ ¿
g¿ un=√38n3+ 7n + - √4n2+ 1; h¿ un= ¿
i¿ un=√9n2+ 3n + 1+√38n3+ 6n + - 5n; k¿ un= 1 4+
1 5+ +
1
n (n + 3);
l¿ un= cos√n + - cos√n + ; m¿ un= 2007n
2
sin2n + 2008n3cos2n
3n2009+ 7n2010
2 Tìm giới hạn sau:
a¿ lim
x →
sinx
√x + - 3; b¿ lim x → 0
sinax
sinbx (ab ≠ 0); c¿ lim
x →
√1 + x2 - cosx
x2 ; d¿ lim x →0
1 - cos2009x
x sinx ;
e¿ lim
x →π
π
2 - x
- cotx ; f¿ lim x →
√1 + sin2x - √1 - sin2x
3x ;
3 Giải phương trình: - 1¿nxn+ = 16
3 (|x| < 1) 2x + + x2 - x3+ x4 - x5+ +
¿
4 Xét tính liên tục hàm số sau:
a¿ f(x )=2x
5 - 8x2
+ 11
x4+ 4x3+ 8x2+ 8x + 4; b¿ f(x)=
3sin3x + cos2x + 1
4cosx -
5 Chứng minh phương trình: a) sinx – x + = 0;
b) m(x – 1)(x – 2) + (2x – 3)x3 = ln có nghiệm m;
c) atan2x + btanx + c = có nghiệm khoảng
(kπ ; π
4+ k π), k ∈ Z d) ax3 + bx2 + cx + c = với a
12+
b
9+
c
2= ln có nghiệm x0 (0; 1);
6 Chứng minh phương trình x4 – x – = ln có N