1. Trang chủ
  2. » Nghệ sĩ và thiết kế

Giới hạn hàm số, dãy số lớp 11

11 27 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 36,48 KB

Nội dung

Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành4. Tìm các giới hạn sau:..[r]

(1)

§1 Dãy số có giới hạn 0:

Định nghĩa: lim un → ∞n= ⇔ ∀ ε> 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 thì un < 

Một số dãy có giới hạn 0: * lim

n= 0; lim

1

3

n; lim

1

nk=

* Định lý 1: Hai dãy số (un) (vn)

Nếu un  vn n limvn = limun = 0.

* Định lý 2: Nếu q < limqn = 0.

§2 Dãy số có giới hạn hữu hạn:

Định nghĩa: limun = L  lim(un – L) = 0.

Định lý 1: Giả sử limun = L Khi đó:

a) limun = L lim√3un=

3

L;

b) Nếu un  n L  lim√un=√L.

Định lý 2: Nếu limun = L, limvn = M c số Khi đó:

lim(un + vn) = L + M; lim(un - vn) = L - M; lim(un.vn) = L.M;

lim(cun) = cL; lim

un vn

= L

M (nếu M ≠ 0).

Tổng của cấp số nhân lùi hạn:

S = u1+ u1q + u1q2+ = limu1(1 - q

n )

1 - q =

u1

1 - q

Bài tập áp dụng:

1 Dùng định nghĩa, chứng minh dãy sau có giới hạn 0:

a¿ un=a

nk với a số thực hữu hạn, k số tự nhiên hữu hạn b¿ un=

n - 2; c¿ un=

3n + ; d¿ un= 2n

n2+ 2n + 2 Cho a > Chứng minh rằng: lim n

an=

3 Chứng minh a¿ lim(√n + - √n)= 0; b¿ lim2n sinn

n2+ =

4 Ba dãy vn, un, wn thỏa vn  un  wn n, limvn = L, limwn = L CMR: limun = L

5 Biết limun = limun-1 = limun-2 = limun-k với k số hữu hạn CMR: Dãy un

tăng (giảm) bị chặn (và bị chặn dưới) có giới hạn. 6 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0:

- 1¿nsinn2+ cosn

- 1¿n

¿ ¿

(¿ ¿2√3n+ ;c) un=¿

a¿ un= √5 n 3n

(2)

d¿ un=

n + cos

nn+n ;e¿ un=√n

2

+ - √n2+ ; f¿ un=n!

nn

7 Tìm giới hạn limun với: a¿ un=2n

5+ 3n2 - 7

n - 6n5 ; b¿ un=

n2− 3n + 5

√3n4 - n3+ 1; c¿ un=

n2

+ 3cos3n - 2n3 - 6n2

+ ;

d¿ un= n

2

+ 2n

n2+ 2n + ;

e¿ un=2 n

+ 4n

2 3n+ 4n; f¿ un=

3 2n− 3n

2n+ 1+3n+1; g¿ un=√

n7

+ 3n2 -2 4n7 - n5

+ 1;

- 2¿n+ 3n ¿

-2¿n +1+ 3n+1

¿ ¿ ¿

h¿ un=¿

8 Chứng minh a¿ lim2(√n2+ - n)= 0; b¿ limn

2

+ 2n +1

n2

n+ 3 =

9 Cho dãy xác định bởi:

¿

u1=1

un+ 1= un

2

+un

¿{

¿

a) CMR: với n

0 < un<1

un+1 un

3

4;

b) Từ suy limun = 0.

10 Cho dãy xác định bởi:

¿

u1=1

un+ 1=

un

n +

¿{

¿

a) CMR: với n

< un un +1 un

1

2;

b) Từ suy limun = 0.

11 Tìm giới hạn dãy sau:

a¿ un=( 1 2+

1 3+ .+

1

n(n + 1)); b¿ un=

1

n3

+1

+

n3

+2

+ +

n3

+n

;

c¿ un=( 1 3+

1

2 4+ +

1

n (n + 1)(n + 2)); d¿ un=

2 12+ 22+ +(n + 1).n2

n4

e¿ un= √n2

+1

+

n2

+2

+ + √n2

+n

; f¿

2+ 22+

5 23+ +

(3)

12 Cho dãy xác định bởi:

¿

u1= 10

un+ 1=√un

¿{

¿

a) CMR: với n

un> un -

2 > un+1 - 1; b) Tìm limun.

13 Dãy xác dịnh bởi:

¿

u1= -

un+ 1=2 3un -

¿{

¿

Gọi (vn) dãy xác định vn = un + 18.

a) CMR: vn cấp số nhân lùi vơ hạn.

b) Tính tổng cấp số nhân (vn) tìm limun.

14 CMR: dãy un=(1 +1n) n

có giới hạn hữu hạn.

15 Đặt lim (1 +1

n)

n

= e Tính giới hạn sau: lim (n + n - )

n +

; lim (n − 2 n + )

n +

§3 Dãy số có giới hạn vơ cực:

lim un → ∞n=+∞ ⇔ ∀ M > 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 un > M.

lim un → ∞n=− ∞ ⇔∀ M < 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 un < M.

 limun= +  lim

1

un=0

Quy tắc 1 Quy tắc 2 Quy tắc 3

limun limvn lim(unvn) limun Dấu L lim(unvn) Dấu L Dấu vn lim

un vn

+ + + + + + + + +

+ - - + - - + - -

- + - - + - - + -

- - + - - + - - +

Bài tập áp dụng:

1 CMR: a) Nếu q > limqn = + ; b) Nếu n

un= L > lim un = + 

2 Tìm giới hạn: a¿ lim √3n

2+ - √n2 - 1

n ; b¿ lim(

3

n3 - 2n2 - n)

c¿ lim

n2+ - √n2+ 4; d¿ lim n(

3

n3+ n2 - n); e

¿ lim2n

3

- 11n +

(4)

3 Cho hình vuông cạnh a Nối trung điểm bốn cạnh ta hình vng nhỏ Lại làm hình vng Cứ tiếp tục thế mãi Tìm giới hạn tổng diện tích tất hình vng tạo thành.

4 Tìm giới hạn sau: lim1 + a + a

2

+ + an

1 + b + b2+ + bn với a < b <

5 Tìm giới hạn:

- 2¿n+ 3n

¿

- 2¿n+1+ 3n +1

(¿; c) lim√n + 1(√n + - √n); ¿

a¿ lim nn

3

- 5n2

+ ; b¿ lim¿

d¿ lim n√1 + + + .+ 2n

3n2+ n - ; e¿ lim

1 - + - + +(2n - 1) - 2n

2n +

6 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim (√3n2 - n3+ n); b¿ lim √n

2+1+

nn2

+n - n; c¿ lim

12

+ 22+ 32+ + n2 5n3

+ n + ;

7 CMR: dãy số sau có giới hạn tìm giới hạn đó:

¿

1

k2; d

a¿u1= 1¿un+ 1= un + un

¿ ; b¿ ¿ ¿u1=√2¿un +1=√2 + un¿; c¿ un= ∑ k=1 n

¿ √2 +√2 +√2 + +√2 +√2¿ ¿ ¿{¿

§4 Giới hạn hàm số:

Định nghĩa 1: limf (x )x→ x

0

= L   dãy (x

n), limxn = x0 ta có limf(xn)

= L Trong x0  (a, b), f(x) xác định (a, b) \ {x0}, xn  (a, b) xn

≠ x0.

Định nghĩa 2: limf (x )x→+ ∞ = L   dãy (xn), limxn = + có limf(xn)

= L Trong f(x) xác định (a, +), xn  (a, +) n.

Định lý 1: Nếu lim f x→ x(x)

0

= L lim g (x) x → x0

= M (L, M  R) thì: lim [f (x )± g(x )]

x → x0

= L ± M; lim [f (x) g (x)] x → x0

= L M; lim [c g(x)] x → x0

= cL; lim x → x0

f (x ) g (x)

L

M (M ≠ 0).

Định lý 2: Giả sử limf (x)x→ x

0

= L Khi đó: lim |f (x )|

x → x0

=|L|; lim3

f (x )

x→ x0

3

L; Nếu f(x)  x  J L  và

lim√ f (x)

x → x0

=√L.

Bài tập áp dụng:

(5)

x + h¿3 - 2x3

2(¿¿h ; c) lim

x → 0

√x + - √x2+ x +

x ;

a¿ lim

x →1

x3 - x2

+ x -

x - ; b¿limh→ 0¿

d¿ lim

x → 2

x - √x +

√x + - ; e¿ limx→ 0

1 - √31 - x

3x ; f¿ limx→ - 1

3

√x +

x2+ -

;

2 Tìm giới hạn sau: x - 2¿2

(¿; b) lim

x → 1

2x2 - 3x +

x3 - x2 - x + 1; c

a¿ lim

x →2

x2 - 3x + 2

¿ limx→+ ∞

3x2 - 5x + 1

x2 - ; 7x + 2¿2

¿

2x + 1¿4

(¿; e) lim

x →+∞

(3x2+ 1)(5x + 3)

(2 x3 - 1)(x + 1) ; f

x - 1¿2¿

¿

d¿ lim

x → - ∞¿

3 Tính A = lim x →+∞

a0xm+ a1xm-1+ + am

b0x

p + b1x

p-1

+ + bp 4 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x→ 1

x3 - 1

x2 - 2x + 1; b¿ lim

x → - 2

x3 - 2x + 3

x2+ 2x ; c¿ lim

x → 2

x - √x + √4x + - 3; 5 Chứng minh rằng: lim

x → 0 sinx

x =

6 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x→ 0 sin5x

x ; b¿ limx→ 0

1 - cos7x

x2 ; c¿ lim

x → 0

cosx - cos3x

sin2x ; d¿ lim

x →π

2

(cos x1 - tanx) §5 Giới hạn bên:

Định nghĩa 1: x → x0

+¿

limf (x)= L

¿

  dãy (xn), xn  (x0, b), limxn = x0 thì

limf(xn) = L.

Định nghĩa 3: limf (x)= L x → x

0   dãy (xn), xn  (a, x0,), limxn = x0 thì

(6)

* Nhận xét:

limf (x)= L

x → x0

x → x0+¿

limf (x) x → x0

x → x0+¿ =limf(x )= L

x → x0

∃ limf (x),

¿ limf(x )¿

¿

{

Giới hạn vô cực:

* Các định nghĩa limf (x)=± ∞,x → x

0±

limf(x )=∓∞

x → x0 được

nêu tương tự.

* Nhận xét cho giới hạn vô cực.

Bài tập áp dụng:

1 Tìm giới hạn sau: -1¿

x → 2+¿|2x + 1|

x − 2 ; d x →(¿x

2

+

x + ; c) lim ¿

lim

x → −

|2x + 1|

x − 2 x →(-1¿+¿x

2

+

x + ; b) lim ¿

a¿ lim

¿

2 Tìm giới hạn sau: x →(-1¿+¿x

2+ 3x + 2

√x + ; b) lim x → −

5√x - x

√2x+ x c x → 1+¿ x3 -

x2− 1; d

a¿ lim

¿ lim¿ x → 1lim

1 - x3 x − 1

3 Cho hàm số

¿

√4 - x2 x < 2

1 x =

x2 - x > 2

¿f (x )={ { ¿

Tìm giới hạn sau (nếu có)

x → +¿ ; limf (x) x → −

; limf (x)

x →

limf (x)

¿

4 Cho thấu kính hội tụ có tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f Gọi d, d’ là khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính.

(7)

b) Tìm d → f

+¿ ; lim ϕ

(d )

d → f −

; lim ϕ (d)

d →+∞

lim ϕ(d)

¿

giải thích ý nghĩa.

5 Tìm giới hạn sau: x → +¿ x3 -

x2 - 1; c x →(-1¿+¿2x

2

+ 5x +

|x + 1| ; b) lim¿

lim

x → −

x3 -

x2 -

a¿lim

¿

6 Ta gọi phần nguyên số thực x số nguyên không vượt x ký hiệu là [x] Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] tìm giới hạn sau (nếu có).

x → +¿ ; limf (x)

x → −

; limf (x)

x →

limf (x)

¿

§6 Vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực:Định lý: lim

x → x0|f (x )| =+∞ lim x → x0

1

f (x )

Quy tắc 1 Quy tắc 2

limf ( x)

x → x0 Dấu L

limf ( x)

x → x0 Dấu L Dấu g(x)

lim

x → x0

f (x) g (x)

+ + + + + +

+ - - + - -

- + - - + -

- - + - - +

Bài tập áp dụng:

1 Tìm giới hạn sau: x + 2¿2

-1¿

x →(¿x

2

+

x + ; c) lim x →

2 - x2

x2− 2x; d

(¿; b) lim

¿ lim x → - ∞

√2000 x - x3.

a¿ lim

x → -2

x2+

¿

2 Tìm giới hạn sau: x + 2¿2

(¿; b) lim

x → 1

x2 -

x2

+ 4x - 3; c

a¿ lim

x → -2

4 - x2

¿ lim x →

9 - x2

x2+ 3x; d¿ lim x → - ∞

x2+ 3x -

4x +

(8)

a¿ lim x → -2 (1

x−

1 2)

1

( x −2)2; b¿ lim x → 0

x2+

x2+ 4x; c¿ lim x →

7

x2− 3x; d¿ lim x →+∞

x2− 3x

4x - 4 Tìm giới hạn:

a¿ lim

x →

x + x2

+ + xn - n

x -

5 Biết lim

x → 0 (1+ x)

1

x

= e Tìm giới hạn:

a¿ lim

x →+∞ (1+

1

x)

x

; b¿ lim

x →+∞ (1−

1

x)

x

; c¿ lim

x →+ ∞(1−

1

x)

-x

; d¿ lim

x →+∞ (

x + x - )

x +

6 Tìm giới hạn a¿ lim

x →+∞xsin

1 2x 7 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x →

cos3x - cos5x

x2 ; b¿ lim x →

cos3x - cos5x

x (sin5x - sin7x); lim x →

cos3x - cos10x cosx - cos8x 8 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x →π

sinx - cosx

1 - tanx ; b¿ lim x →+ ∞(sin√x + - sin√x); c

¿ lim

x → 0

4 sin(π

6+ x)sin(

π

6+ 2x) -

sinx

§7 Các dạng vơ định:

Trong chương trình, ta xét dạng vơ định 00,∞

∞, ∞ , ∞ - ∞ .

Nguyên tắc chung để tìm giới hạn dạng phải khử dạng vô định.

Bài tập áp dụng:

1 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x → 2

√x + -

x - ; b¿ lim x → 2

√x + -

√x + - 3; c¿ lim x → 0

√2x + - √3 x2+

sin x

2 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x →π

sin3x

1 - 2cosx ; b¿ lim x →+∞

x2+ 2x + 3+ 2x

√4x2

+ - x +

; c¿ lim

x → 1

√x + - √5 - x2

x -

3 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x →

tanx - sinx

xsin2x ; b¿ lim x → 0

2sinx - sin2x

x3 ; c¿ lim x →0

1 -

√cosx sin2x

4 Tìm giới hạn sau: a¿ lim

x →

3x3 - 5x2 - 3x +

- x3+ 3x2 - x - ; b¿ lim x →1

√x + - √5 - x2

x4 - ;

c¿ lim

x → -3

x3+ 3x2+ x +

3x4+ 9x3+ 2x2+ 6x ; d¿ lim x → 0

√2x + +√35x + - √3x + -

(9)

e¿ lim

x → -

- 2x3+ 5x2+ 6x + 3

4x3

+ 14x2+ 14x + ; f¿ lim x →2

√10x + -

√x + -

√15x -

x2 - 3x + 2 ;

g¿ lim

x →

1 - √2x + 1

√3x + - - 4; h¿ lim x → 0

√x + - √3 2x +

5x2 - 6x ;

i¿ lim

x →

x2+ x + - √3 x3+

x ; k¿ lim x → 0

x + x2+ .+ xn - n

x - ;

6x + 6¿7

¿

7 - 2x¿3

6 − 3x¿9(¿; m) lim

x →+∞(

x3+ - x);

3 - 2x¿5¿

¿

5x + 3¿6¿

2x - 3¿4¿

¿

l¿ lim

x →+∞

¿

n¿ lim

x →+∞(√x

+ 2x + - x); p¿ lim x

x → - ∞ (

√8x3 - - √4x2+ 1)

q¿ lim

x →+ ∞x(√x

+ - x); r¿ lim x

x → - ∞ (√4x

2+ 1+ 2x).

5 Tìm giới hạn sau:

x2 - x - 2

¿20 ¿

x3 - 12x + 16¿10

(¿; b) lim

x →1

x100 - 2x +

x50 - 2x + 1 ; c

¿

a¿ lim

x → ¿

§8 Hàm số liên tục:

1 Hàm số liên tục điểm: Hàm số f(x) xác định (a; b) x0  (a; b).

 f(x) liên tục điểm x0  limf (x)x → x

0

= f(x0)

 Hàm số không liên tục x0 gọi lại gián đoạn điểm x0.

2 Hàm số liên tục khoảng:

 Hàm số f(x) có xác định J f(x) liên tục J  f(x) liên tục x0  J.

 Hàm số f(x) xác định [a; b], f(x) liên tục [a; b] f(x) liên tục trên (a; b) x → a

+¿ = f(a), limf (x )

x → b−

f (b). limf (x)

¿

Định lý 1: Các hàm số đa thức, phân thức, rhức hàm số lượng giác liên tục tập xác định chúng.

(10)

Định lý 2: f(x) xác định [a; b] Nếu f(a) ≠ f(b) M nằm f(a) và

f(b), c  (a; b) f(c) = M.

Hệ quả: f(x) liên tục [a; b] f(a)f(b) < c  (a; b) f(c) = 0. Ý nghĩa hình học hệ quả: f(x) liên tục [a; b] f(a)f(b) < đồ

thị hàm số y = f(x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c  (a; b).

Bài tập áp dụng:

1 Xét liên tục hàm số f(x) x = x0 cho tập R.

¿

x3 - 1

x - x ≠ 1 x = 1 - √3cosx

x - x ≠ 0 x = , x0= 0;

¿, x0= 1; b

(x)={¿a¿ f( x)={¿ ¿

¿

3x2

|x|

x x ≠ 0

1 x = sinx +|x|

x x ≠ 0

2 x = , x0= 0;

¿, x0= 0; b

(x)={¿a¿ f(x)={¿¿

2

¿

x2 -

a x ≥ 2

3x + a x < , x0=

¿a

(x)={¿ ¿ Tìm a để f(x) liên tục x = Vẽ đồ thị f(x)

¿

2sinx + cosx x < Asin(x +π

6) ≤ x <

π

2

− Bcos(x +π

6) x ≥

π

2

¿b

(x)={ {¿ ¿ Tìm A, B để f(x) liên tục R.

3 Chứng minh phương trình: a) x4 – 5x + = có nghiệm x

0  (0; 1).

b) x3 + 3x2 – = có nghiệm phân biệt.

c) x3 + ax2 + bx + c = với 4a + 8b + 21c + = ln có N

0 x0  [-1; 0,5].

Bài tập ôn tập chương IV:

(11)

a¿ un=√n2+ 2n + - n b¿ un= n

2

- 4n +

n3+ 3n + 3;

c¿ un=√327n3+ 8n2+ - 3n d¿ un= 2n

2

- 3n +

2n − 3 ;

e¿ un=√4n2+ 4n + - √4n2+ 1; f¿ un= √n

2

+ 2n + 2n - √4n2+ 1;

− 4¿n + 2+ 5n + ¿

− 4¿n + 5+ 5n + ¿ ¿ ¿

g¿ un=√38n3+ 7n + - √4n2+ 1; h¿ un= ¿

i¿ un=√9n2+ 3n + 1+√38n3+ 6n + - 5n; k¿ un= 1 4+

1 5+ +

1

n (n + 3);

l¿ un= cos√n + - cos√n + ; m¿ un= 2007n

2

sin2n + 2008n3cos2n

3n2009+ 7n2010

2 Tìm giới hạn sau:

a¿ lim

x →

sinx

√x + - 3; b¿ lim x → 0

sinax

sinbx (ab ≠ 0); c¿ lim

x →

√1 + x2 - cosx

x2 ; d¿ lim x →0

1 - cos2009x

x sinx ;

e¿ lim

x →π

π

2 - x

- cotx ; f¿ lim x →

√1 + sin2x - √1 - sin2x

3x ;

3 Giải phương trình: - 1¿nxn+ = 16

3 (|x| < 1) 2x + + x2 - x3+ x4 - x5+ +

¿

4 Xét tính liên tục hàm số sau:

a¿ f(x )=2x

5 - 8x2

+ 11

x4+ 4x3+ 8x2+ 8x + 4; b¿ f(x)=

3sin3x + cos2x + 1

4cosx -

5 Chứng minh phương trình: a) sinx – x + = 0;

b) m(x – 1)(x – 2) + (2x – 3)x3 = ln có nghiệm m;

c) atan2x + btanx + c = có nghiệm khoảng

(kπ ; π

4+ k π), k ∈ Z d) ax3 + bx2 + cx + c = với a

12+

b

9+

c

2= ln có nghiệm x0  (0; 1);

6 Chứng minh phương trình x4 – x – = ln có N

Ngày đăng: 25/12/2020, 15:43

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w