Công thức lượng giác lớp 10

1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.. sinA<1 Phần 2: Các công thức lượng giác.. I[r]

Lượng giác - Toán lớp 10

Phần 1: Hàm số lượng giác

A Kiến thức cần nhớ

1 Các đẳng thức

a) sin2x+cos2x =1 b) tan x=sin x

cos x c) cot x=

cos x sin x

d) 1+tan2x=

cos2x e) 1+cot

2x=

sin2x f)

tan x cot x=1

2 Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt

a) Hai cung đối b) Hai cung bù c) Hai cung khác π

cos (− x)=cos x sin(− x)=− sin x tan (− x)=− tan x cot(− x)=− cot x

sin(π − x )=sin x cos (π − x )=− cos x tan (π − x )=− tan x cot(π − x )=−cot x

sin(x +2 π )=sin x cos (x+2 π )=cos x tan (x+2 π )=tan x cot(x +2 π )=cot x

d) Hai cung khác π e) Hai cung phụ sin(π +x )=−sin x

cos (π +x )=− cos x tan (π +x )=tan x cot(π +x )=cot x

sin

(

π

2− x

)

=cos x ; cos

(

π

2− x

)

=sin x tan

(

π

2− x

)

=cot x ; cot

(

π

2− x

)

=tan x B Bài tập

1 Tìm giá trị α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

A=

1+sin α ; B= 1− cos α Xét dấu biểu thức sau:

a) sin 123o−sin 132o b) cot 304o− cot 316o Rút gọn biểu thức sau:

a) tan 540o+2 cos 1170o+4 sin 990o−3 cos 540o b) sin25 π

6 −3 tan 13 π

4 +2 cos 19 π

3 c) sin215o+sin235o+sin255o+sin275o d) cos215o+cos235o+cos255o+cos275o

e) sin2 π 12+sin

23 π 12 +sin

25 π 12 +sin

27 π 12 +sin

29 π 12 +sin

211 π 12

f) cos2 π 12+cos

23 π 12 +cos

25 π 12 +cos

27 π 12 +cos

29 π 12 +cos

211 π 12

g) sin(π +a)−cos

(

π

2+a

)

+cot (2 π − a)+tan

(

3 π

h) A=sin4a+cos2a+sin2a cos2a

i) B=

(

sina 2+cos

a

2

)

−1

tana 2−sin

a

2 cos

a

2

j) C=cos

2

696o+tan(− 260o) tan 530o− cos2156 tan2252o

+cot2342o

k)

[

tan17 π +tan

(

7 π − b

)

]

2

+

[

cot13 π

4 +cot (7 π − b)

]

l)

(

√

1 −sin x 1+sin x −

√

1+sin x 1− sin x

)(

√

1 −cos x 1+cos x−

√

1+cos x 1 −cos x

)

m) sin3a(1+cot a)+cos3a(1+tan a) n) tan b

tan b+cot b

o) 1 −cos

a − sin4a

cos4a

p)

sin(x − π ) cos(x −2 π) sin(2 π − x )

sin

(

π

2− x

)

cot(π − x ) cot

(

3 π

2 +x

)

q)

[

sin

(

π

2− x

)

+sin(π − x)

]

+

[

cos

(

3 π

2 − x

)

+cos(2 π − x)

]

r) sin

(

π

3− a

)

tan

(

2 π

3 +a

)

cos

(

5 π

3 +a

)

+tan(π +a) tan

(

3 π

2 − a

)

s) cot(5,5 π −a)+tan(b − π)

cot(a− π)− tan(b − 3,5 π )

t) tan 50o tan 190o tan 250o tan 260o tan 400o tan 700o Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh:

a) sin( A+B)=sin C ; cos(B+C )=-cosA c) tan (A +C)=− tan B ; cot( A+B)=-cotC

b) sin A+B =cos

C

2 ; cos

B+C

2 =sin

A

2 d) tan

A +C

2 =cot

B

2; cot

A +B

2 =tan

C

2

5 Tìm giá trị lớn hàm số: y= 2+cos x

sin x +cos x −2

6 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng − π <x <π : y=cos x +2 sin x+3

2 cos x − sin x +4 Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC

c) Chứng minh: 0<sin A+sin B+sin C-sinA sinB-sinB sinC-sinC sinA<1 Phần 2: Các công thức lượng giác

I Công thức cộng

A Kiến thức cần nhớ

¿

1(a ± b)=sin a cos b ±sin b cos a¿2¿cos (a ± b)=cos a cos b∓sin a sin b¿

3¿tan(a ±b)=tan a ± tan b

1∓tan a tan b

B Bài tập

1 Chứng minh công thức sau:

a) cos a+sin a=

√

2 cos

(

π

4− a

)

=

√

2 sin

(

π

4+a

)

b) cos a − sin a=

√

2 cos

(

π

4+a

)

=

√

2 sin

(

π

4− a

)

Rút gọn biểu thức:

a)

√

2cos a −2 cos

(

π 4+a

)

−

√

2sin a+2sin

(

π 4+a

)

b) cos 10o+cos 11o cos 21o+cos 69o cos 79o c) (tan a− tan b).cot (a −b)− tan a tan b

3 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) tan A+tanB+tanC=tanA tanB tanC b)

tan A tan

B

2+tan

B

2 tan

C

2+tan

C

2 tan

A

2=1

c) cot A cot B+cot B cot C +cot C cot A=1 d)

cot A 2+cot

B

2+cot

C

2=cot

A

2 cot

B

2 cot

C

2

4 a) Cho a −b=π

4 , chứng minh:

1+tan b

1 − tan b=tan a

1 − tan a

1+tan a=− tan b b) Cho a+b=π

4 , chứng minh: (1+tan a)(1+tan b)=2 (1− cot a)(1 −cot b)=2

c) Cho tan (x+a)=m

tan (a − y )=n Chứngminh: tan (x+ y )=

a −b

1+ab

d) Cho tan a=2

5 , tan b=

7 (0<a, b <1 v) Tìm a + b

e) Cho tan a=−1

2 (

π

2<a<π ) tan b=3 (0<b <

π

f) Cho tan a=12

3 , tan b=

4 (0<a, b <1 v) Tìm a - b

g) Cho tan a=

12 , tan b=

5 , tan b=

3 Chứng minh a + b + c = 45o Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: 15o π

12 75o 5 π 12

6 Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α+ β+γ=π

2 Tìm giá trị lớn biểu thức:

A=

√

1+tan α tan β+

√

1+tan β tan γ +

√

1+tan γ tan α

7 Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức sau tam giác ABC cân:

a) cos

2A+cos2B sin2A +sin2B =

1 2(cot

2A+cot2B)

b) sin B

sin C=2 cos A

c) a+b=tan A

2 (a tan A +b tan B) d) tan A+2 tan B=tan A tan2B II Công thức nhân đôi nhân ba.

A Lý thuyết cần nhớ

2 2

2

3

sin 2sin cos

2 tan cos cos sin 2sin 2cos ; tan

1 tan sin 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos

a a a

a

a a a a a a

a

a a a a a a



      



   

B Bài tập

1 Rút gọn biểu thức sau:

a) sin

(

π

4− a

)

sin

(

π

4+a

)

sin a cos a − cos a sin a

b) tan 2π

8 −1 tan π /8

c) cos 20o cos 40o cos 80o d) 2 sin a cos a(cos2

a −sin2a)

e) cos4a −6 sin2a cos2a+ sin4a f) cos2a − sin2a

2cos 2a

2

g) 1− sin2a cos2a h) cos 10ocos 20ocos 40o i) sin3a cos a+4 cos3a sin a j) 4 sin44 a+sin22 a

k) cosπ 5cos

2 π

5 l) cos 20ocos 40ocos 60ocos 80o m) tan a+2 tan 2a+4 tan a+8 tan a+16 tan 16 a+32 tan 32 a

n) sin

a+sin a

cos3a − cos a o)

cos a − cos a sin a+sin a

a) sin a sin

(

π

3− a

)

sin

(

π

3+a

)

=

4sin a Áp dụng với a=

π

9

b) sin318+8 sin218=1

c) 8+4 tanπ 8+2 tan

π

16+tan

π

32=cot

π

32 d) tan236otan272o=5

e) cos a cos

(

π

3−a

)

cos

(

π

3+a

)

=

4cos a Tính: cos

π

18 cos 5 π 18 cos

7 π 18

f) tan a=3 tan a − tan

a

1− tan2a

g) tan a tan

(

π

3− a

)

tan

(

π

3+a

)

=tan a Chứng minh: tan o

tan 54otan66o=

√

5 −1

√

10+2

√

5 a) Cho sin α=2

√

ab

a+b (a ,b>0) Tìm sin α , cos α , tan α

b) Cho cos α= 2 a

1+a2 Tìm sin α , cos2 α , tan α

c) Cho sin α+cos α=5

4 Tìm sin α , cos α , tan α Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau:

a) y=sin

(

x+π

4

)

sin

(

x −

π

4

)

b) y=cos4x − sin4x c)

y=1 −8 sin2x cos2x

III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t=tana

2 .

A Lý thuyết cần nhớ

1+cos a=2 cos2a

1− cos a=2sin2a sin a=

2 t

1+t2 cos a=

1− t2 1+t2

tan a= 2 t 1− t2

B Bài tập

1 Chứng minh biểu thức sau:

a) 2 sin a − sin2 a2 sin a+sin a=tan2a

2 b)

1 −sin a+cos a 1+sin a+cos a=tan

(

π

4− a

)

c)

cos a+cos b¿2=4 cos2a+b

2 sin a+sin b¿2+¿

¿

d) tana 2=cot

a

e) 1+sin a 1 −sin a=cot

2

(

π4−

a

2

)

f) tan

o

30 '=

(

√

3 −

√

2

)(

√

2 −1

)

g) sin a(sin a+sin b)+cos a (cos a+cos b)=2 cos2a −b

h)

cos a − cos b¿2=4 sin2a −b sin a −sin b¿2+¿

¿

i) sin

(

π

4+

a

2

)

√

1− sin a − sin

(

π

4−

a

2

)

√

1+sin a

(0<a<π)

2 Rút gọn biểu thức sau:

a)

√

1 2+ 2

√

2+

2cos α (0<α ≤ π ) b)

√

1 2− 2

√

2+

2cos α (0<α ≤ π )

c)

2cota

1+cot2a

d) cota

2− tan

a

2

cota 4+tan

a e) tana 1+tana + tana

1 − tana

f)

1 1 − tana

2

−

1+tana

g) 1 −cos α+cos α

sin α −sin α h)

sin α 1+cos α

cos α 1+cos α Tìm giá trị biểu thức

a) sin a

3 − 2cos a biết tan

a

2=2 b)

tan a+sin a

tan a − sin a Biết tan

a

2= 15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:

a) y=2 cos x+sin2x b) y=2 sin2x − cos x c)

sin x − cos x¿2

y=sin2

(

π

4− x

)

+¿ IV Cơng thức biến đổi tổng tích

A Lý thuyết cần nhớ

1 Công thức biến đổi tích thành tổng













1

sin cos sin( ) sin( ) ;cos cos cos( ) cos( )

2

1

sin sin cos( ) cos( )

2

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

       

   

sin a+sin b=2 sin a+b cos

a − b

2 sin a −sin b=2 cosa+b

2 sin

a − b

2 cos a+cos b=2 cosa+b

2 cos

a − b

2 cos a − cos b=−2 sina+b

2 sin

a −b

2

tan a+tan b=sin(a+b) cos a cos b tan a − tan b=sin(a− b) cos a cos b cot a+cot b=sin (a+b)

sin a sin b cot a −cot b=−sin(a − b)

sin a sin b

B Bài tập

1 Rút gọn biếu thức

a) cos a+cos(a+b)+cos (a+2 b)+ +cos (a+nb)(n∈ N )

b) cosa − cos a+cos5 a− cos7 a

sin a+sin a+sin5 a+sin a c)

cos a+2cos 2a+cos a sin a+sin a+sin a

d)

cos a −

cos

(

2a −π

6

)

−cos

(

2 a+

π

6

)

2cos a

e)

cos

(

a+π

3

)

+cos

(

a −

π

3

)

cot a −cota

f) cos a cos2a −

4cos a−

2cos a g) cos23+cos21 −cos cos 2 h) sin 1o+sin 91o+2 sin 203o(sin 112o

+sin 158o) i) cos35o

+cos125o+2 sin 185o(sin 130o+sin 140o)

j) sin 20osin 40osin 60osin 80o k) tan 20otan 40otan 60otan 80o Chứng minh:

a) sin 20osin 40osin 60osin 80o= 16

b) sin a+sin a+sin5 a+ +sin(2 n −1)a

cos a+cos a+cos a+ +cos (2 n− 1)a=tan na

c) sin a+sin a+sin a+ +sin na= sinna

2 sin

(n+1)a

2 sina

2

d) cos a+cos a+cos a+ +cos na = sinna

2 cos

(n+1)a

sina Chứng minh tam giác ABC ta có:

a) sin A +sin B+sin C=4 cosA cos

B

2 cos

C

2

b) cos A+cos B+cos C=1+4 sin A sin

B

2sin

C

c) sin2A +sin2B+sin2C=2(1+cos A cosB cos C ) d) cos2A+cos2B+cos2C=1 −2 cos A cos B cos C

e) sin A +sin B− sin C=4 sin A sin

B

2cos

C

2

f) cos A+cos B − cos C=4 cosA cos

B

2 sin

C

2−1 g) sin A+sin B+sin C=4 sin A sin B sinC

h) cos A +cos B+cos C=−1 −4 cos A cos B cos C i) sin2A +sin2B − sin2C=2 sin A sin B cos C

4 Chứng minh bất đẳng thức: sinx + y ≥

1

2(sin x +sin y ) với 0<x , y <π Tính giá trị biểu thức sau:

a) sin4 π 16+sin

43 π 16 +sin

45 π 16 +sin

47 π

16 b) tan 67o5 ' − cot 67o5' +cot 7o5 ' − tan 7o5'

c) cos 5ocos 55ocos 65o d)

cos π 11+cos

3 π 11 +cos

5 π 11 +cos

7 π 11 +cos

9 π 11

6 Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

a)

√

4 sin4x+sin22 x+4 cos2

(

π 4−

x

2

)

với π <x< 3 π

2 b) cos4x +cos22 x − cos2x cos x

c) cos2x+cos2

(

π

3+x

)

+cos

(

π3− x

)

d) sin

x+sin2

(

2 π

3 +x

)

+sin

(

2 π3 − x

)

7 Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là: sin A=sin B+sin C cos A +cos B

8 Chứng minh góc Δ ABC thoả mãn: cos A+cos B+cos C=3

2 tam giác

9 Chứng minh cạnh góc Δ ABC thoả mãn hệ thức:

cos A+cos B=b+c

a tam giác tam giác vng

10 Cho tam giác ABC tan A tan

B

2=1 Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) Phần 3: Phương trình lượng giác

I Phương trình lượng giác bản

1 Phương trình: sin x=sin α⇔ x=π − α+ k πx=α+ k π Phương trình: cos x=cos α⇔ x=± α+k π

3 Phương trình: tan x=tan α⇔ α+kπ Phương trình: cot x=cot α⇔α+kπ

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) sin

(

3 x −π 6

)

=

√

3

2 b) sin(3x - 2) = -1 c)

√

2cos

(

2 x −

π

5

)

=1

d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tanπ

3 f) cot(45o - x) =

√

3

g) sin3x - cos2x = h) sin

(

x +2 π

3

)

=cos x i) sin

(

3 x − 5 π

6

)

+cos

(

3 x +

π

4

)

=0

j) cosx

2=− cos(2 x −30 o

) k) cos2x = cosx l) sin

(

π

4+x

)

=sin

(

2 x −

π

4

)

m) sin

(

x − π

12

)

=1 n) sin

(

12 x+

π

6

)

=

2 o) cos

(

6 x+

π

2

)

=

√

3

p) cos (π −5 x )=−1 q) tan (3 π −6 x )=1 r) tan ( x − π )=

√

3 s) tan

(

π

4− x

)

=

√

3 t) cot

(

5 π

6 +12 x

)

=

√

3 u) cot

(

12 π

7 −5 x

)

=

√

3

v) sin (12 π −3 x )=

√

2

2 w) cos (2 x − a)=sin x x) sin(3 x − b)=cos x

y) tan

(

π

4− x

)

=cot

(

5 π

6 +x

)

z)

cot (3 π − x )=tan

(

7 π 12 +7 x

)

II Phương trình bậc hàm số lượng giác

A Lý thuyết cần nhớ

Là phương trình bậc hay bậc hai hàm sinx, cosx, tanx hay cotx Phương pháp: Đặt ẩn phụ t giải phương trình bậc hay bậc với t

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) sin22 x +7 cos x −3=0 b) cos2x+5 sin x −7=0 c) cos x −5 sin x − 3=0

d) cos2 x+cos x+1=0 e) sin23 x +cos 12 x=14 f) 4 sin4x+12cos2x=7 g) sin2x −cos x=5

a) cot2

(

x +π

5

)

=1 b) tan

2

(

2 x −π 4

)

=3

c) 7 tan x − cot x=12 d) cot2x+(

√

3− 1)cot x −

√

3=0 III Phương trình bậc sinx cosx

A Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: a sin x+b cos x=c

Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c2.

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho

√

a2

+b2 đặt: cos α= a

√

a2

+b2 ;

sin α= b

√

a2

+b2

Đưa phương trình dạng: cos α sin x +sin α cos x=sin β⇔ sin(x+α)=sin β Giải tìm x

B Bài tập

1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y=(2−

√

3)sin x +cos x b) sin x − cos x¿2+2 cos x+3 sin x cos x

y =¿

c) y=(sin x −2 cos x )(2 sin x +cos x )− 1 d) y=cos x +2 sin x+3

2 cos x − sin x +4 Giải phương trình sau:

a) 4 sin x −3 cos x=5 b) 3 cos x+2

√

3 sin x=9

2 c) 3 sin x +2 cos x =3 d) 2 sin2 x +3 cos x =

√

13 sin 14 x

e) 4 sin x −3 cos x=2 f) sin x −

√

3 cos x=1

3 Tìm giá trị x∈

(

−3 π

4 ; π

)

thoả mãn phương trình sau với m:

m2sin x − msin2x − m2cos x +m cos2x=cos x − sin x

4 Tìm giá trị α để phương trình:

a) (cos α +3 sin α −

√

3) x2+(

√

3cos α −3 sin α −2)x +sin α − cos α+

√

3=0 có nghiệm x = b) (2 sin α −cos2α+1)x2−(

√

3 sin α) x+2cos2α −(3−

√

3)sin α=0 có nghiệm x =

√

3 Giải phương trình:

a) 12 cos x+5 sin x +

12 cos x+5 sin x +14+8=0

b) 4 sin x −5 cos x¿2− 13(4 sin x −5 cos x )+42=0

¿

c) 3 cos x+4 sin x +

3 cos x+4 sin x +1=6

IV Phương trình sinx cosx

Dạng phương trình: a sin2x+b sin x cos x +c cos2x=d

- Nếu cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm

- Nếu cos x ≠ 0 Chia vế phương trình cho cos2x tiến hành giải phương trình bậc hai tanx: (a − d)tan2x+b tan x+c − d=0

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) sin2x −2 sin x cos x −3 cos2x=0 b) sin2x+sin x cos x − cos2x=2

c) sin x −2 sin2x =2cos x d) 2 sin22 x − 2sin x cos x +cos22 x=2 e) 4 sin x cos

(

x −π

2

)

+4 sin(π +x)cos x +2 sin

(

3 π

2 − x

)

cos (π +x)=1 f) sin2x − sin x cos x +2 cos2x=1

2 Giải phương trình sau:

a) sin3x +4 cos3x=3 sin x

b) sin2x 2cos

(

3 π +

x

2

)

+3 sin 2x

2cos

x

2=sin

x

2cos x

2+sin

(

x2+

π

2

)

3 Số đo độ góc tam giác vng ABC nghiệm phương trình:

sin3x+sin x sin x −3 cos3x=0 Chứng minh tam giác ABC vuông cân V Phương trình đối xứng sinx cosx.

A Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: a(sin x ± cos x)+b sin x cos x=c

Cách giải: Đặt t=sin x ± cos x , ta có: ¿t∨≤

√

2 →t2=1 ±2 sin x cos x=1± sin x Thay vào phương trình giải t

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) cot x − tan x=sin x+cos x b) 2 sin x +cot x=2 sin x +1

c) cos3x − sin3x=−1 d) ¿sin x − cos x∨+4 sin x=1

e) 1+sin32 x +cos32 x=3

2sin x f) (1+cos x)(1+sin x )=2 VI Một số dạng phương trình lượng giác khác

1 Giải phương trình lượng giác sau:

a) cos x+cos3 x

4 − 2=0 b) sin

4

x +cos4x

sin x =

1

2(tan x+cot x ) c) cos2x+3 tan2x −4

√

3 cos x +2

√

3 tan x+4=0 d)

√

1+sin x +

√

1− sin x=2 cos x e) sin x cos x − sin22 x=4 sin2

(

π

4−

x

2

)

−

2 f)

1

2tan x − cos x +

g) (4 −6 m)sin3x+ 3(2 m−1)sin x +2(m−2)sin2x cos x −(4 m− 3)cos x=0 (Biện luận theo m). h) 1− tan2x=2 tan x tan x i) sin x=2cos2x −1

j) cos4x −cos x=1 k) 1+cos2 x+sin x=2cos2x

2

l) sin22 x +sin24 x=3

2 m) tan x +tan x=sin x cos x

n) tan x − cot x=4 (sin x+

√

3 cos x ) o) sin3x+cos3x=cos x

p) sin x=tan x q) sin x − sin x −(cos x − cos x)=1 r) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 s) cos x −

√

3sin x=−

√

2

t) tan x − 2

√

2 sin x=1 u) cos3x=sin x

v) tan2x=1+cos x

1− sin x w) sin

6x+cos6x=5 6(sin

4x +cos4x )

x)

sin42 x+cos42 x

tan

(

π

4− x

)

tan

(

π

4+x

)

=cos44 x

y)

sin6x+cos6x tan

(

π

4− x

)

tan

(

π

4+x

)

=−1

4

z) cos x+sin2x +2 cos x+1=0

2 Giải phương trình lượng giác sau:

a) 1 − tan x

1+tan x=1+sin x b) 2

√

2 sin

(

π

4+x

)

= cos x +

1 sin x

c) 9 sin x+6 cos x − 3sin x+cos x=8 d) cos2 x − cos x¿2=6 +2sin x

¿

e) sin x

5 sin x=1 f)

cos x cosx 2cos

3 x

2 −sin x sin

x

2sin 3 x

2 =

g) sin24 x −cos26 x=sin (10 ,5 π +10 x) Tìm nghiệm thuộc khoảng

(

0 ;π 2

)

h) sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x )+5

4cos x i)

√

3 sin2 x − 2cos2x =2

√

2+2 cos x j) sin2x+sin22 x+sin23 x=3

2 k)

√

3 sin x +cos x=

1 cos x l) cot 2x=tan 2x+2 tan 2x+1 m)

2 cos x+

√

2 sin 10 x=3

√

2+2 cos 28 x sin x

n) sin x +2 cos x=1+sin x − cos x o) sin x +2 tan x=3

p) (

√

1− cos x+

√

cos x)cos2 x =1

2sin x q) tan x +cot x1 =

r) sin3

(

π

4+x

)

=

√

2 sin x s)

8

√

2cos6x +2

√

2sin3x sin3 x −6

√

2cos4x − 1=0

t) cos3x +sin3x=sin x +sin x +cos x u) 3 −4 cos2x=sin x (2 sin x +1)

v) 4

√

3 sin x cos x cos x=sin x w) tan2x cot22 x cot x=tan2x −cot22 x +cot x

x) cos 4 x

3 − cos 2x

√

1− tan2x =0

y) sin

(

3 x −π

4

)

=sin x sin

(

π

4+x

)

z) sin x+cos x=cos x

3 Giải phương trình lượng giác sau: a) 9cot x

+3cot x−2=0 b) cos2x+sin x+1=0

c) sin x+2 cos x − 2=0 d) sin x −sin x +sin x =0 e) cos2 x+3 cos x+2=0 f) 3 cos x −2 cos23 x=1

g) 1+3 cos x+cos x =cos x+2sin x sin2 x h) tan x +tan x=−sin x cos x i) tan2x=1+cos x

cos x j) 1+sin

3

2 x +cos32 x=3 2sin x k) tan x +cot x=2(sin x+cos2 x ) l) 2

√

2(sin x +cos x )cos x =3+cos x m) sin4x +sin4(x −π

4)+sin

(x +π 4)=

9

8 n)

sin x

1+sin x+2cos x =0

o) cos3x +sin x −3 sin2x cos x=0 p) sin3x +cos x=sin x

q)

√

3− cos x −

√

1+cos x=2 r) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2 s) cos x cos x cos x cos8 x=

16 t) sin2x+sin23 x=cos22 x+cos24 x

u) sin x(cos x − 2sin x)+cos x (1+sin x − cos x )=0

v) tan3x − tan x+3(1+sin x )

cos2x −8 cos

2

(

π4 −

x

2

)

=0

w) cos3x=sin x x) cos x −

√

3 sin x −

√

3 sin x − cos x+4=0 y) cos x=cos2x

√

1+tan x z)

3 cot2x +2

√

2sin2x=(2+3

√

2)cos x Giải phương trình sau:

a) tan x − sin x −cos x +2

(

2 cos x −

cos x

)

=0 b) 4 (sin x − cos x )=5(sin x −1)

c) 2 cos x +sin2x cos x +sin x cos2x=2(sin x+ cos x)

f) 48 − cos4x −

2

sin2x(1+cot x cot x)=0 g) sin

6

x+cos6x=cos x

h) cos3x +cos2x+2sin x − 2=0 i) 2+cos x=2 tanx

2

j) cos x+

√

2 − cos23 x=2(1+sin22 x) k) sin x+sin2 x +sin x=0

l) cot x − tan x=sin x+cos x m) sin x+cos x=1+2 sin x cos x

n) 2 cos x −8 cos x +7=

cos x o) cos x cos

3

x −sin x sin3x=cos34 x +1

p) 9 sin x+6 cos x − 3sin x+cos x=8 q) sin3x cos x +cos3x sin3 x=sin34 x r) sin x+sin2x +sin3x+sin4x=cos x +cos2x +cos3x +cos4x

s) sin2x −sin x cos x −cos2x=− 1 t) sin

2 x +cos42 x −1

√

sin x cos x =0 u) sin3x −cos x+cos x=0 v) 1+cos3x − sin3x =sin x

w) 1+cos x +cos x+cos3 x =0 x) cos x +cos x+cos x+cos x=0 y) cos2x+sin3x +cos x =0 z) cos x sin x +¿cos x +sin x∨¿1 Giải phương trình sau:

a) 2+cos x=−5 sin x b) sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x)

c) sin2x=cos22 x +cos23 x d) cos3

(

x+π

3

)

=cos x

e) ¿sin x − cos x∨+¿sin x+cos x∨¿2 f) 2 sin x +cot x=2 sin x +1

g) cos6x − sin6x=13 cos

22 x

h) 1+3 tan x=2 sin x

i) sin x=cos x cos2 x (tan2x + tan2 x) j) 9sin2

x +9cos

2

x=10

k) cos3x+3

√

2 sin x=8 cos x l) 1−x

2 =cos x

m) sin3

(

x +π

4

)

=

√

2 sin x n)

sin x

3 =

sin x

VII Hệ phương trình lượng giác

1 Giải hệ phương trình lượng giác sau:

a)

tan x tan y=1

x+ y =π

3

b) sin x cos y = 3 tan x=tan y

c)

x + y +z=π

tan x tan y=3 tan y tan z=6

d) sin x+sin y=

√

2

cos x +cos y=

√

2 e)

sin2x=cos x cos y

cos2x=sin x sin y f)

g)

tan x +cot x=2 sin

(

π 4+y

)

tan y +cot y=2sin

(

x −π

4

)

h)

sin x+cos y=

√

3 cos2x+sin2y=5

4

VIII Các dạng tập khác

1 Tìm tất nghiệm phương trình 1− sin x +2 cos2x=0 thoả mãn cos x ≥ 0 . Tìm giá trị lớn hàm số y=sin x

√

cos x+cos x

√

sin x

3 Chứng minh tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin2A +sin2B+sin2C=m Nếu m = tam giác ABC vng, m > ba góc A, B, C nhọn m < tam giác có góc tù

4 Cho góc tam giác ABC thoả mãn: sin A +sin B+sin C −2 sin A sin

B

2=2 sin

C

2 Chứng minh số đo góc C 120o.

5 Hai góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan A 2+tan

B

2=1 Chứng minh rằng:

3 4≤ tan

C

2<1

6 Biện luận theo tham số a số nghiệm PT:

√

2− x2sin x+

√

2+x2cos x=¿a+1∨+¿a −1∨¿

7 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC có hệ thức:

sin A + sin B+

1

sin C−(cot A+cot B+cotC )=

√

3

8 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos A +cos B+cos2 C+1=0 tam giác tam giác vng

9 Chứng minh tam giác có: (b2+c2)sin (C − B)=(c2− b2)sin(C +B) tam giác vng cân

10 Tìm giá trị lớn hàm số: y=5 cos x −cos5 x

[

−π

4;

π

4

]

11 Cho phương trình: msin x − 2

m−2 cos x=

mcos x −2 m− 2sin x

a) Giải phương trình m =

b) Khi m≠ 0 m≠ ±

√

2 , phương trình có nghiệm nằm đoạn [20 π , 30 π ] 12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2 b=a+c⇔cotA

2cot

C

2=3

13 Cho tam giác ABC có: tan A tan

B

2=1 Chứng minh rằng: 3 c=2(a+b)

16 Tìm t để phương trình sau có nghiệm x∈[0 , π ] : sin x+22 sin x +1=t

17 Cho tam giác ABC Chứng minh: cot A +cot B+cot C=a

+b2+c2

4 S

18 Chứng minh với 0<x <π

2 thì: 22 sin x+2tan x>2 2x +1

19 Cho tam giác ABC thoả mãn: a cos A +b cos B+c cos Ca+b+c =1

2 Chứng minh tam giác ABC

20 Tìm giá trị lớn hàm số: y=2(1+sin x cos x )−1

2(cos x − cos x) 21 Giải phương trình sau: 9cot x+3cot x−2=0

22 Cho tam giác ABC thoả mãn: b cos B+

c

cos C=

a

sin B sin C Chứng minh tam giác ABC vuông 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta ln ln có: cos A+cos B+cos C>1

24 Chứng minh tam giác ABC vuông cân

a cos B −b cos A=a sin A − b sin B

25 Chứng minh tam giác ABC có: tan A+tan B=2 cotC

2 tam giác ABC cân

26 Tìm giá trị lớn bé hàm số đoạn: y=sin x −cos2x +1

27 Cho y=sin25 x Tính y(n) .

28 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y=1+ 3sin x

2+cos x

29 Tìm giá trị lớn bé hàm số: y=sin 2 x 1+x2+cos

4 x 1+ x2+1

30 Xác định m để phương trình sau có nghiệm

(

0 ;π 4

)

:

mcos22 x − sin x cos x +m− 2=0

31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=cot4a+cot4b+2 tan2a tan2b+2

32 Với giá trị a phương trình: 1+sin2na=cos x có nghiệm

33 Tìm m để bất phương trình: sin2x −m cos x −3 ≤ 0 nghiệm ∀ x ∈

(

0 ;π 2

)

34 Tính góc tam giác ABC góc thoả mãn: cos A +

√

3(cos B+cos C)+5 2=0

35 Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A+btanB=(a+b)tan A+B

2 Chứng minh tam giác ABC cân

37 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn cos B+cosC=b+c

a tam giác ABC vng

38 Cho phương trình: cos3x +sin3x=k sin x cos x a) Giải phương trình với k =

√

2

b) Với giá trị k phương trình có nghiệm

39 Giải biện luận phương trình: 2 m(cos x+sin x )=2 m2

+cos x − sin x +3

40 Cho phương trình: cos x=m(cos2x)

√

1+tan x a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm đoạn

41 Chứng minh ∀ x ∈(0 ;π

2) ta có: cos x +sin x+tan x+cot x + sin x+

1 cos x >6 42 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y=sin20x+cos20x .

43 Chứng minh cot A ,cot

B

2 ,cot

C

2 theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng

cot A cot

C

2=3

44 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y=

sin x+

cos x với x∈

(

0 ;

π

2

)

45 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn a+b=tanC