1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.. sinA<1 Phần 2: Các công thức lượng giác.. I[r]
(1)Lượng giác - Toán lớp 10 Phần 1: Hàm số lượng giác
A Kiến thức cần nhớ
1 Các đẳng thức
a) sin2x+cos2x =1 b) tan x=sin x
cos x c) cot x=
cos x sin x
d) 1+tan2x=
cos2x e) 1+cot
2x=
sin2x f)
tan x cot x=1
2 Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối b) Hai cung bù c) Hai cung khác π
cos (− x)=cos x sin(− x)=− sin x tan (− x)=− tan x cot(− x)=− cot x
sin(π − x )=sin x cos (π − x )=− cos x tan (π − x )=− tan x cot(π − x )=−cot x
sin(x +2 π )=sin x cos (x+2 π )=cos x tan (x+2 π )=tan x cot(x +2 π )=cot x
d) Hai cung khác π e) Hai cung phụ sin(π +x )=−sin x
cos (π +x )=− cos x tan (π +x )=tan x cot(π +x )=cot x
sin(π
2− x)=cos x ; cos(
π
2− x)=sin x tan(π
2− x)=cot x ; cot(
π
2− x)=tan x B Bài tập
1 Tìm giá trị α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
A=
1+sin α ; B= 1− cos α Xét dấu biểu thức sau:
a) sin 123o−sin 132o b) cot 304o− cot 316o Rút gọn biểu thức sau:
a) tan 540o+2 cos 1170o+4 sin 990o−3 cos 540o b) sin25 π
6 −3 tan 13 π
4 +2 cos 19 π
3 c) sin215o+sin235o+sin255o+sin275o d) cos215o+cos235o+cos255o+cos275o
e) sin2 π 12+sin
23 π 12 +sin
25 π 12 +sin
27 π 12 +sin
29 π 12 +sin
211 π 12
f) cos2 π 12+cos
23 π 12 +cos
25 π 12 +cos
27 π 12 +cos
29 π 12 +cos
211 π 12
g) sin(π +a)−cos(π
2+a)+cot (2 π − a)+tan( 3 π
(2)h) A=sin4a+cos2a+sin2a cos2a
i) B=(
sina 2+cos
a
2)
−1
tana 2−sin
a
2 cos
a
2
j) C=cos
2
696o+tan(− 260o) tan 530o− cos2156 tan2252o
+cot2342o
k) [tan17 π +tan(
7 π − b)]
2
+[cot13 π
4 +cot (7 π − b)]
l) (√1 −sin x 1+sin x −√
1+sin x 1− sin x)(√
1 −cos x 1+cos x−√
1+cos x 1 −cos x)
m) sin3a(1+cot a)+cos3a(1+tan a) n) tan b
tan b+cot b
o) 1 −cos
a − sin4a
cos4a
p)
sin(x − π ) cos(x −2 π) sin(2 π − x )
sin(π
2− x) cot(π − x ) cot( 3 π
2 +x)
q) [sin(π
2− x)+sin(π − x)]
+[cos(3 π
2 − x)+cos(2 π − x)]
r) sin(π
3− a) tan( 2 π
3 +a) cos( 5 π
3 +a)+tan(π +a) tan( 3 π
2 − a) s) cot(5,5 π −a)+tan(b − π)
cot(a− π)− tan(b − 3,5 π )
t) tan 50o tan 190o tan 250o tan 260o tan 400o tan 700o Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh:
a) sin( A+B)=sin C ; cos(B+C )=-cosA c) tan (A +C)=− tan B ; cot( A+B)=-cotC
b) sin A+B =cos
C
2 ; cos
B+C
2 =sin
A
2 d) tan
A +C
2 =cot
B
2; cot
A +B
2 =tan
C
2
5 Tìm giá trị lớn hàm số: y= 2+cos x
sin x +cos x −2
6 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng − π <x <π : y=cos x +2 sin x+3
2 cos x − sin x +4 Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC
(3)c) Chứng minh: 0<sin A+sin B+sin C-sinA sinB-sinB sinC-sinC sinA<1 Phần 2: Các công thức lượng giác
I Công thức cộng
A Kiến thức cần nhớ
¿
1(a ± b)=sin a cos b ±sin b cos a¿2¿cos (a ± b)=cos a cos b∓sin a sin b¿
3¿tan(a ±b)=tan a ± tan b
1∓tan a tan b
B Bài tập
1 Chứng minh công thức sau:
a) cos a+sin a=√2 cos(π
4− a)=√2 sin(
π
4+a) b) cos a − sin a=√2 cos(π
4+a)=√2 sin(
π
4− a) Rút gọn biểu thức:
a)
√2cos a −2 cos(π 4+a)
−√2sin a+2sin(π 4+a)
b) cos 10o+cos 11o cos 21o+cos 69o cos 79o c) (tan a− tan b).cot (a −b)− tan a tan b
3 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) tan A+tanB+tanC=tanA tanB tanC b)
tan A tan
B
2+tan
B
2 tan
C
2+tan
C
2 tan
A
2=1
c) cot A cot B+cot B cot C +cot C cot A=1 d)
cot A 2+cot
B
2+cot
C
2=cot
A
2 cot
B
2 cot
C
2
4 a) Cho a −b=π
4 , chứng minh:
1+tan b
1 − tan b=tan a
1 − tan a
1+tan a=− tan b b) Cho a+b=π
4 , chứng minh: (1+tan a)(1+tan b)=2 (1− cot a)(1 −cot b)=2
c) Cho tan (x+a)=m
tan (a − y )=n Chứngminh: tan (x+ y )=
a −b
1+ab
d) Cho tan a=2
5 , tan b=
7 (0<a, b <1 v) Tìm a + b
e) Cho tan a=−1
2 (
π
2<a<π ) tan b=3 (0<b <
π
(4)f) Cho tan a=12
3 , tan b=
4 (0<a, b <1 v) Tìm a - b
g) Cho tan a=
12 , tan b=
5 , tan b=
3 Chứng minh a + b + c = 45o Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: 15o π
12 75o 5 π 12
6 Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α+ β+γ=π
2 Tìm giá trị lớn biểu thức:
A=√1+tan α tan β+√1+tan β tan γ +√1+tan γ tan α
7 Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức sau tam giác ABC cân:
a) cos
2A+cos2B sin2A +sin2B =
1 2(cot
2A+cot2B)
b) sin B
sin C=2 cos A
c) a+b=tan A
2 (a tan A +b tan B) d) tan A+2 tan B=tan A tan2B II Công thức nhân đôi nhân ba.
A Lý thuyết cần nhớ
2 2
2
3
sin 2sin cos
2 tan cos cos sin 2sin 2cos ; tan
1 tan sin 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos
a a a
a
a a a a a a
a
a a a a a a
B Bài tập
1 Rút gọn biểu thức sau:
a) sin(
π
4− a) sin(
π
4+a) sin a cos a − cos a sin a
b) tan 2π
8 −1 tan π /8
c) cos 20o cos 40o cos 80o d) 2 sin a cos a(cos2
a −sin2a)
e) cos4a −6 sin2a cos2a+ sin4a f) cos2a − sin2a
2cos 2a
2
g) 1− sin2a cos2a h) cos 10ocos 20ocos 40o i) sin3a cos a+4 cos3a sin a j) 4 sin44 a+sin22 a
k) cosπ 5cos
2 π
5 l) cos 20ocos 40ocos 60ocos 80o m) tan a+2 tan 2a+4 tan a+8 tan a+16 tan 16 a+32 tan 32 a
n) sin
a+sin a
cos3a − cos a o)
cos a − cos a sin a+sin a
(5)a) sin a sin(π
3− a)sin(
π
3+a)=
4sin a Áp dụng với a=
π
9
b) sin318+8 sin218=1
c) 8+4 tanπ 8+2 tan
π
16+tan
π
32=cot
π
32 d) tan236otan272o=5
e) cos a cos(π
3−a)cos(
π
3+a)=
4cos a Tính: cos
π
18 cos 5 π 18 cos
7 π 18
f) tan a=3 tan a − tan
a
1− tan2a
g) tan a tan(π
3− a)tan(
π
3+a)=tan a Chứng minh: tan o
tan 54otan66o= √5 −1
√10+2√5 a) Cho sin α=2√ab
a+b (a ,b>0) Tìm sin α , cos α , tan α
b) Cho cos α= 2 a
1+a2 Tìm sin α , cos2 α , tan α
c) Cho sin α+cos α=5
4 Tìm sin α , cos α , tan α Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau:
a) y=sin(x+π
4)sin(x −
π
4) b) y=cos4x − sin4x c)
y=1 −8 sin2x cos2x
III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t=tana
2 .
A Lý thuyết cần nhớ
1+cos a=2 cos2a
1− cos a=2sin2a sin a=
2 t
1+t2 cos a=
1− t2 1+t2
tan a= 2 t 1− t2
B Bài tập
1 Chứng minh biểu thức sau:
a) 2 sin a − sin2 a2 sin a+sin a=tan2a
2 b)
1 −sin a+cos a 1+sin a+cos a=tan(
π
4− a)
c)
cos a+cos b¿2=4 cos2a+b
2 sin a+sin b¿2+¿
¿
d) tana 2=cot
a
(6)e) 1+sin a 1 −sin a=cot
2
(π4−
a
2) f) tan
o
30 '=(√3 −√2)(√2 −1)
g) sin a(sin a+sin b)+cos a (cos a+cos b)=2 cos2a −b
h)
cos a − cos b¿2=4 sin2a −b sin a −sin b¿2+¿
¿
i) sin(
π
4+
a
2)
√1− sin a − sin(π
4−
a
2)
√1+sin a
(0<a<π)
2 Rút gọn biểu thức sau:
a) √1 2+ 2√ 2+
2cos α (0<α ≤ π ) b) √
1 2− 2√ 2+
2cos α (0<α ≤ π )
c)
2cota
1+cot2a
d) cota
2− tan
a
2
cota 4+tan
a e) tana 1+tana + tana
1 − tana
f)
1 1 − tana
2
−
1+tana
g) 1 −cos α+cos α
sin α −sin α h)
sin α 1+cos α
cos α 1+cos α Tìm giá trị biểu thức
a) sin a
3 − 2cos a biết tan
a
2=2 b)
tan a+sin a
tan a − sin a Biết tan
a
2= 15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
a) y=2 cos x+sin2x b) y=2 sin2x − cos x c)
sin x − cos x¿2
y=sin2(π
4− x)+¿ IV Cơng thức biến đổi tổng tích
A Lý thuyết cần nhớ
1 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin cos sin( ) sin( ) ;cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b
(7)sin a+sin b=2 sin a+b cos
a − b
2 sin a −sin b=2 cosa+b
2 sin
a − b
2 cos a+cos b=2 cosa+b
2 cos
a − b
2 cos a − cos b=−2 sina+b
2 sin
a −b
2
tan a+tan b=sin(a+b) cos a cos b tan a − tan b=sin(a− b) cos a cos b cot a+cot b=sin (a+b)
sin a sin b cot a −cot b=−sin(a − b)
sin a sin b
B Bài tập
1 Rút gọn biếu thức
a) cos a+cos(a+b)+cos (a+2 b)+ +cos (a+nb)(n∈ N )
b) cosa − cos a+cos5 a− cos7 a
sin a+sin a+sin5 a+sin a c)
cos a+2cos 2a+cos a sin a+sin a+sin a
d)
cos a −
cos(2a −π
6)−cos(2 a+
π
6) 2cos a
e)
cos(a+π
3)+cos(a −
π
3)
cot a −cota
f) cos a cos2a −
4cos a−
2cos a g) cos23+cos21 −cos cos 2 h) sin 1o+sin 91o+2 sin 203o(sin 112o
+sin 158o) i) cos35o
+cos125o+2 sin 185o(sin 130o+sin 140o)
j) sin 20osin 40osin 60osin 80o k) tan 20otan 40otan 60otan 80o Chứng minh:
a) sin 20osin 40osin 60osin 80o= 16
b) sin a+sin a+sin5 a+ +sin(2 n −1)a
cos a+cos a+cos a+ +cos (2 n− 1)a=tan na
c) sin a+sin a+sin a+ +sin na= sinna
2 sin
(n+1)a
2 sina
2
d) cos a+cos a+cos a+ +cos na = sinna
2 cos
(n+1)a
sina Chứng minh tam giác ABC ta có:
a) sin A +sin B+sin C=4 cosA cos
B
2 cos
C
2
b) cos A+cos B+cos C=1+4 sin A sin
B
2sin
C
(8)c) sin2A +sin2B+sin2C=2(1+cos A cosB cos C ) d) cos2A+cos2B+cos2C=1 −2 cos A cos B cos C
e) sin A +sin B− sin C=4 sin A sin
B
2cos
C
2
f) cos A+cos B − cos C=4 cosA cos
B
2 sin
C
2−1 g) sin A+sin B+sin C=4 sin A sin B sinC
h) cos A +cos B+cos C=−1 −4 cos A cos B cos C i) sin2A +sin2B − sin2C=2 sin A sin B cos C
4 Chứng minh bất đẳng thức: sinx + y ≥
1
2(sin x +sin y ) với 0<x , y <π Tính giá trị biểu thức sau:
a) sin4 π 16+sin
43 π 16 +sin
45 π 16 +sin
47 π
16 b) tan 67o5 ' − cot 67o5' +cot 7o5 ' − tan 7o5'
c) cos 5ocos 55ocos 65o d)
cos π 11+cos
3 π 11 +cos
5 π 11 +cos
7 π 11 +cos
9 π 11
6 Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) √4 sin4x+sin22 x+4 cos2(π 4−
x
2) với π <x< 3 π
2 b) cos4x +cos22 x − cos2x cos x
c) cos2x+cos2(π
3+x)+cos
(π3− x) d) sin
x+sin2(2 π
3 +x)+sin
(2 π3 − x)
7 Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là: sin A=sin B+sin C cos A +cos B
8 Chứng minh góc Δ ABC thoả mãn: cos A+cos B+cos C=3
2 tam giác
9 Chứng minh cạnh góc Δ ABC thoả mãn hệ thức:
cos A+cos B=b+c
a tam giác tam giác vng
10 Cho tam giác ABC tan A tan
B
2=1 Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) Phần 3: Phương trình lượng giác
I Phương trình lượng giác bản
(9)1 Phương trình: sin x=sin α⇔ x=π − α+ k πx=α+ k π Phương trình: cos x=cos α⇔ x=± α+k π
3 Phương trình: tan x=tan α⇔ α+kπ Phương trình: cot x=cot α⇔α+kπ
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) sin(3 x −π 6)=
√3
2 b) sin(3x - 2) = -1 c) √2cos(2 x −
π
5)=1
d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tanπ
3 f) cot(45o - x) = √ 3
g) sin3x - cos2x = h) sin(x +2 π
3 )=cos x i) sin(3 x − 5 π
6 )+cos(3 x +
π
4)=0
j) cosx
2=− cos(2 x −30 o
) k) cos2x = cosx l) sin(π
4+x)=sin(2 x −
π
4)
m) sin(x − π
12)=1 n) sin(12 x+
π
6)=
2 o) cos(6 x+
π
2)=
√3
p) cos (π −5 x )=−1 q) tan (3 π −6 x )=1 r) tan ( x − π )=√3 s) tan(π
4− x)=
√3 t) cot( 5 π
6 +12 x)=√3 u) cot( 12 π
7 −5 x)=
√3
v) sin (12 π −3 x )=√2
2 w) cos (2 x − a)=sin x x) sin(3 x − b)=cos x
y) tan(π
4− x)=cot( 5 π
6 +x) z)
cot (3 π − x )=tan(7 π 12 +7 x)
II Phương trình bậc hàm số lượng giác
A Lý thuyết cần nhớ
Là phương trình bậc hay bậc hai hàm sinx, cosx, tanx hay cotx Phương pháp: Đặt ẩn phụ t giải phương trình bậc hay bậc với t
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) sin22 x +7 cos x −3=0 b) cos2x+5 sin x −7=0 c) cos x −5 sin x − 3=0
d) cos2 x+cos x+1=0 e) sin23 x +cos 12 x=14 f) 4 sin4x+12cos2x=7 g) sin2x −cos x=5
(10)a) cot2(x +π
5)=1 b) tan
2
(2 x −π 4)=3
c) 7 tan x − cot x=12 d) cot2x+(
√3− 1)cot x −√3=0 III Phương trình bậc sinx cosx
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a sin x+b cos x=c
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c2.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho √a2
+b2 đặt: cos α= a √a2
+b2 ;
sin α= b √a2
+b2
Đưa phương trình dạng: cos α sin x +sin α cos x=sin β⇔ sin(x+α)=sin β Giải tìm x
B Bài tập
1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:
a) y=(2−√3)sin x +cos x b) sin x − cos x¿2+2 cos x+3 sin x cos x
y =¿
c) y=(sin x −2 cos x )(2 sin x +cos x )− 1 d) y=cos x +2 sin x+3
2 cos x − sin x +4 Giải phương trình sau:
a) 4 sin x −3 cos x=5 b) 3 cos x+2√3 sin x=9
2 c) 3 sin x +2 cos x =3 d) 2 sin2 x +3 cos x =√13 sin 14 x
e) 4 sin x −3 cos x=2 f) sin x −√3 cos x=1
3 Tìm giá trị x∈(−3 π
4 ; π) thoả mãn phương trình sau với m:
m2sin x − msin2x − m2cos x +m cos2x=cos x − sin x
4 Tìm giá trị α để phương trình:
a) (cos α +3 sin α −√3) x2+(√3cos α −3 sin α −2)x +sin α − cos α+√3=0 có nghiệm x = b) (2 sin α −cos2α+1)x2−(√3 sin α) x+2cos2α −(3−√3)sin α=0 có nghiệm x = √3 Giải phương trình:
a) 12 cos x+5 sin x +
12 cos x+5 sin x +14+8=0
b) 4 sin x −5 cos x¿2− 13(4 sin x −5 cos x )+42=0
¿
c) 3 cos x+4 sin x +
3 cos x+4 sin x +1=6
IV Phương trình sinx cosx
(11)Dạng phương trình: a sin2x+b sin x cos x +c cos2x=d
- Nếu cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm
- Nếu cos x ≠ 0 Chia vế phương trình cho cos2x tiến hành giải phương trình bậc hai tanx: (a − d)tan2x+b tan x+c − d=0
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) sin2x −2 sin x cos x −3 cos2x=0 b) sin2x+sin x cos x − cos2x=2
c) sin x −2 sin2x =2cos x d) 2 sin22 x − 2sin x cos x +cos22 x=2 e) 4 sin x cos(x −π
2)+4 sin(π +x)cos x +2 sin( 3 π
2 − x)cos (π +x)=1 f) sin2x − sin x cos x +2 cos2x=1
2 Giải phương trình sau:
a) sin3x +4 cos3x=3 sin x
b) sin2x 2cos(
3 π +
x
2)+3 sin 2x
2cos
x
2=sin
x
2cos x
2+sin
(x2+
π
2)
3 Số đo độ góc tam giác vng ABC nghiệm phương trình:
sin3x+sin x sin x −3 cos3x=0 Chứng minh tam giác ABC vuông cân V Phương trình đối xứng sinx cosx.
A Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a(sin x ± cos x)+b sin x cos x=c
Cách giải: Đặt t=sin x ± cos x , ta có: ¿t∨≤√2 →t2=1 ±2 sin x cos x=1± sin x Thay vào phương trình giải t
B Bài tập
1 Giải phương trình sau:
a) cot x − tan x=sin x+cos x b) 2 sin x +cot x=2 sin x +1
c) cos3x − sin3x=−1 d) ¿sin x − cos x∨+4 sin x=1
e) 1+sin32 x +cos32 x=3
2sin x f) (1+cos x)(1+sin x )=2 VI Một số dạng phương trình lượng giác khác
1 Giải phương trình lượng giác sau:
a) cos x+cos3 x
4 − 2=0 b) sin
4
x +cos4x
sin x =
1
2(tan x+cot x ) c) cos2x+3 tan2x −4√3 cos x +2√3 tan x+4=0 d) √1+sin x +√1− sin x=2 cos x e) sin x cos x − sin22 x=4 sin2(π
4−
x
2)−
2 f)
1
2tan x − cos x +
(12)g) (4 −6 m)sin3x+ 3(2 m−1)sin x +2(m−2)sin2x cos x −(4 m− 3)cos x=0 (Biện luận theo m). h) 1− tan2x=2 tan x tan x i) sin x=2cos2x −1
j) cos4x −cos x=1 k) 1+cos2 x+sin x=2cos2x
2
l) sin22 x +sin24 x=3
2 m) tan x +tan x=sin x cos x
n) tan x − cot x=4 (sin x+√3 cos x ) o) sin3x+cos3x=cos x
p) sin x=tan x q) sin x − sin x −(cos x − cos x)=1 r) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 s) cos x −√3sin x=−√2
t) tan x − 2√2 sin x=1 u) cos3x=sin x
v) tan2x=1+cos x
1− sin x w) sin
6x+cos6x=5 6(sin
4x +cos4x )
x)
sin42 x+cos42 x
tan(π
4− x)tan(
π
4+x)
=cos44 x
y)
sin6x+cos6x tan(π
4− x)tan(
π
4+x) =−1
4
z) cos x+sin2x +2 cos x+1=0
2 Giải phương trình lượng giác sau:
a) 1 − tan x
1+tan x=1+sin x b) 2√2 sin(
π
4+x)= cos x +
1 sin x
c) 9 sin x+6 cos x − 3sin x+cos x=8 d) cos2 x − cos x¿2=6 +2sin x
¿
e) sin x
5 sin x=1 f)
cos x cosx 2cos
3 x
2 −sin x sin
x
2sin 3 x
2 =
g) sin24 x −cos26 x=sin (10 ,5 π +10 x) Tìm nghiệm thuộc khoảng
(0 ;π 2)
h) sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x )+5
4cos x i) √3 sin2 x − 2cos2x =2√2+2 cos x j) sin2x+sin22 x+sin23 x=3
2 k) √3 sin x +cos x=
1 cos x l) cot 2x=tan 2x+2 tan 2x+1 m)
2 cos x+√2 sin 10 x=3√2+2 cos 28 x sin x
n) sin x +2 cos x=1+sin x − cos x o) sin x +2 tan x=3
p) (√1− cos x+√cos x)cos2 x =1
2sin x q) tan x +cot x1 =
(13)r) sin3(π
4+x)=√2 sin x s)
8√2cos6x +2
√2sin3x sin3 x −6
√2cos4x − 1=0
t) cos3x +sin3x=sin x +sin x +cos x u) 3 −4 cos2x=sin x (2 sin x +1)
v) 4√3 sin x cos x cos x=sin x w) tan2x cot22 x cot x=tan2x −cot22 x +cot x
x) cos 4 x
3 − cos 2x √1− tan2x =0
y) sin(3 x −π
4)=sin x sin(
π
4+x) z) sin x+cos x=cos x
3 Giải phương trình lượng giác sau: a) 9cot x
+3cot x−2=0 b) cos2x+sin x+1=0
c) sin x+2 cos x − 2=0 d) sin x −sin x +sin x =0 e) cos2 x+3 cos x+2=0 f) 3 cos x −2 cos23 x=1
g) 1+3 cos x+cos x =cos x+2sin x sin2 x h) tan x +tan x=−sin x cos x i) tan2x=1+cos x
cos x j) 1+sin
3
2 x +cos32 x=3 2sin x k) tan x +cot x=2(sin x+cos2 x ) l) 2√2(sin x +cos x )cos x =3+cos x m) sin4x +sin4(x −π
4)+sin
(x +π 4)=
9
8 n)
sin x
1+sin x+2cos x =0
o) cos3x +sin x −3 sin2x cos x=0 p) sin3x +cos x=sin x
q) √3− cos x −√1+cos x=2 r) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2 s) cos x cos x cos x cos8 x=
16 t) sin2x+sin23 x=cos22 x+cos24 x
u) sin x(cos x − 2sin x)+cos x (1+sin x − cos x )=0
v) tan3x − tan x+3(1+sin x )
cos2x −8 cos
2
(π4 −
x
2)=0
w) cos3x=sin x x) cos x −√3 sin x −√3 sin x − cos x+4=0 y) cos x=cos2x
√1+tan x z)
3 cot2x +2√2sin2x=(2+3√2)cos x Giải phương trình sau:
a) tan x − sin x −cos x +2(2 cos x −
cos x)=0 b) 4 (sin x − cos x )=5(sin x −1)
c) 2 cos x +sin2x cos x +sin x cos2x=2(sin x+ cos x)
(14)f) 48 − cos4x −
2
sin2x(1+cot x cot x)=0 g) sin
6
x+cos6x=cos x
h) cos3x +cos2x+2sin x − 2=0 i) 2+cos x=2 tanx
2
j) cos x+√2 − cos23 x=2(1+sin22 x) k) sin x+sin2 x +sin x=0
l) cot x − tan x=sin x+cos x m) sin x+cos x=1+2 sin x cos x
n) 2 cos x −8 cos x +7=
cos x o) cos x cos
3
x −sin x sin3x=cos34 x +1
p) 9 sin x+6 cos x − 3sin x+cos x=8 q) sin3x cos x +cos3x sin3 x=sin34 x r) sin x+sin2x +sin3x+sin4x=cos x +cos2x +cos3x +cos4x
s) sin2x −sin x cos x −cos2x=− 1 t) sin
2 x +cos42 x −1
√sin x cos x =0 u) sin3x −cos x+cos x=0 v) 1+cos3x − sin3x =sin x
w) 1+cos x +cos x+cos3 x =0 x) cos x +cos x+cos x+cos x=0 y) cos2x+sin3x +cos x =0 z) cos x sin x +¿cos x +sin x∨¿1 Giải phương trình sau:
a) 2+cos x=−5 sin x b) sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x)
c) sin2x=cos22 x +cos23 x d) cos3
(x+π
3)=cos x
e) ¿sin x − cos x∨+¿sin x+cos x∨¿2 f) 2 sin x +cot x=2 sin x +1
g) cos6x − sin6x=13 cos
22 x
h) 1+3 tan x=2 sin x
i) sin x=cos x cos2 x (tan2x + tan2 x) j) 9sin2
x +9cos
2
x=10
k) cos3x+3√2 sin x=8 cos x l) 1−x
2 =cos x
m) sin3(x +π
4)=√2 sin x n)
sin x
3 =
sin x
VII Hệ phương trình lượng giác
1 Giải hệ phương trình lượng giác sau:
a)
tan x tan y=1
x+ y =π
3
b) sin x cos y = 3 tan x=tan y
c)
x + y +z=π
tan x tan y=3 tan y tan z=6
d) sin x+sin y=√2
cos x +cos y=√2 e)
sin2x=cos x cos y
cos2x=sin x sin y f)
(15)g)
tan x +cot x=2 sin(π 4+y) tan y +cot y=2sin(x −π
4)
h)
sin x+cos y=√3 cos2x+sin2y=5
4
VIII Các dạng tập khác
1 Tìm tất nghiệm phương trình 1− sin x +2 cos2x=0 thoả mãn cos x ≥ 0 . Tìm giá trị lớn hàm số y=sin x√cos x+cos x√sin x
3 Chứng minh tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin2A +sin2B+sin2C=m Nếu m = tam giác ABC vng, m > ba góc A, B, C nhọn m < tam giác có góc tù
4 Cho góc tam giác ABC thoả mãn: sin A +sin B+sin C −2 sin A sin
B
2=2 sin
C
2 Chứng minh số đo góc C 120o.
5 Hai góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan A 2+tan
B
2=1 Chứng minh rằng:
3 4≤ tan
C
2<1
6 Biện luận theo tham số a số nghiệm PT: √2− x2sin x+√2+x2cos x=¿a+1∨+¿a −1∨¿
7 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC có hệ thức:
sin A + sin B+
1
sin C−(cot A+cot B+cotC )=√3
8 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos A +cos B+cos2 C+1=0 tam giác tam giác vng
9 Chứng minh tam giác có: (b2+c2)sin (C − B)=(c2− b2)sin(C +B) tam giác vng cân
10 Tìm giá trị lớn hàm số: y=5 cos x −cos5 x [−π
4;
π
4]
11 Cho phương trình: msin x − 2
m−2 cos x=
mcos x −2 m− 2sin x
a) Giải phương trình m =
b) Khi m≠ 0 m≠ ±√2 , phương trình có nghiệm nằm đoạn [20 π , 30 π ] 12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2 b=a+c⇔cotA
2cot
C
2=3
13 Cho tam giác ABC có: tan A tan
B
2=1 Chứng minh rằng: 3 c=2(a+b)
(16)16 Tìm t để phương trình sau có nghiệm x∈[0 , π ] : sin x+22 sin x +1=t
17 Cho tam giác ABC Chứng minh: cot A +cot B+cot C=a
+b2+c2
4 S
18 Chứng minh với 0<x <π
2 thì: 22 sin x+2tan x>2 2x +1
19 Cho tam giác ABC thoả mãn: a cos A +b cos B+c cos Ca+b+c =1
2 Chứng minh tam giác ABC
20 Tìm giá trị lớn hàm số: y=2(1+sin x cos x )−1
2(cos x − cos x) 21 Giải phương trình sau: 9cot x+3cot x−2=0
22 Cho tam giác ABC thoả mãn: b cos B+
c
cos C=
a
sin B sin C Chứng minh tam giác ABC vuông 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta ln ln có: cos A+cos B+cos C>1
24 Chứng minh tam giác ABC vuông cân
a cos B −b cos A=a sin A − b sin B
25 Chứng minh tam giác ABC có: tan A+tan B=2 cotC
2 tam giác ABC cân
26 Tìm giá trị lớn bé hàm số đoạn: y=sin x −cos2x +1
27 Cho y=sin25 x Tính y(n) .
28 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y=1+ 3sin x
2+cos x
29 Tìm giá trị lớn bé hàm số: y=sin 2 x 1+x2+cos
4 x 1+ x2+1
30 Xác định m để phương trình sau có nghiệm (0 ;π 4) :
mcos22 x − sin x cos x +m− 2=0
31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=cot4a+cot4b+2 tan2a tan2b+2
32 Với giá trị a phương trình: 1+sin2na=cos x có nghiệm
33 Tìm m để bất phương trình: sin2x −m cos x −3 ≤ 0 nghiệm ∀ x ∈(0 ;π 2)
34 Tính góc tam giác ABC góc thoả mãn: cos A +√3(cos B+cos C)+5 2=0
35 Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A+btanB=(a+b)tan A+B
2 Chứng minh tam giác ABC cân
(17)37 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn cos B+cosC=b+c
a tam giác ABC vng
38 Cho phương trình: cos3x +sin3x=k sin x cos x a) Giải phương trình với k =√2
b) Với giá trị k phương trình có nghiệm
39 Giải biện luận phương trình: 2 m(cos x+sin x )=2 m2
+cos x − sin x +3
40 Cho phương trình: cos x=m(cos2x)√1+tan x a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm đoạn
41 Chứng minh ∀ x ∈(0 ;π
2) ta có: cos x +sin x+tan x+cot x + sin x+
1 cos x >6 42 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y=sin20x+cos20x .
43 Chứng minh cot A ,cot
B
2 ,cot
C
2 theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng
cot A cot
C
2=3
44 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y=
sin x+
cos x với x∈(0 ;
π
2)
45 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn a+b=tanC