Công thức giải nhanh cực trị hàm trùng phương - Giáo viên Việt Nam

Mớ thủ thuật này chỉ mang tính hỗ trợ các em trong quá trình học tập các em phải luôn nghĩ như vậy nhé.[r]

(1)

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH BÀI TOÁN

CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

  

y ax bx c, a  0

A)Kiến thức sở

Bài Toán : cho hàm số

yax bx c,có đồ thị ( )C tìm điều kiện a,b,c cho ( )C có điểm cực trị A,B,C điểm A thc trục tung

Lời giải : Đạo hàm :

'

y  ax  bx

Ta có :

2

0

2 '

x

ax bx b

x a y

       

  

 

Để ( )C có điểm cực trị

b a 

  , đặt : b24ac

Lúc :

,C 0

2 '

A

B

x

b x

a y

  

    

 

0

4

A

B c

y y

y a 

   



   

Biểu thức tọa độ điểm cực trị : A(0, )c , B ;

b a a  



 

  , B ;4

b a a  

 

 

 

Độ dài đoạn AB,BC,CA :

4

2

16

b b AB AC

a a

   2

b BC

a  

B)Các kết đáng nhớ

Gọi là góc đỉnh tam giác cân ABC ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 

  (1)

Gọi Slà diện tích tam giác cân ABC ta có :

2

4

b b S

a a   (2)

Gọi (Cr) đường trịn tâm I, bán kính R ngoại tiếp tam giác cân ABC phương trình (Cr) :

2 2

0

4

x c y c

b a b

y

a        

   

  

  

  (3)

1 0;

2

c I

b a 

 

      

2

8

1 (

2

)

c b

R c

b a b b

a

a a

   

           

(2)

3

C)Áp dụng :

Bài : cho hàm số

2

yx  mx  có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

Điều kiện có cực trị 0

2

b m

m a



    

Để tam giác góc đỉnh cân 60 độ , áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 co ( )33 8.1

8 s 60

2 )

(

m m

   

  8

2 8

m m m 

   

  ( nhận )

Bài : cho hàm số yx42mx23

có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a



    

Để tam giác vng góc đỉnh cân 90 độ , áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 co ( )33 8.1

8 s90

2 )

(

m m

   

  8

8

m m m 

   

  ( nhận)

có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a



    

Để tam giác có góc 120 độ góc đỉnh cân 120 độ , áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 cos1 ( )33 8.1

8.1 20

( )

m m

   

  8

2 8

m m m  

   

  ( nhận)

có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 135 độ

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a

(3)

4

Để tam giác có góc 135 độ góc đỉnh cân 120 độ , áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 cos1 ( )33 8.1

8.1 35

( )

m m

   

  8 2

2 8

m m m  

    

  ( nhận)

Bài 5: cho hàm số yx42mx23có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 30 độ

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a



    

Để tam giác có góc 30 độ ta có trường hợp :

TH1 : Góc đỉnh cân 30 độ , áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 co ( )33 8.1

8 s30

2 )

(

m m

   

  8

2 8

m m m 

    

  ( nhận)

TH2 : Góc đáy 30 độ góc đỉnh cân 120 độ, áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 cos1 ( )33 8.1

8.1 20

( )

m m

   

  8

2 8

m m m  

   

  ( nhận)

2

yx  mx  có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác cân có cạnh bên gấp lần cạnh đáy

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a

     

Theo giả thuyết AB=2BC ,áp dụng đinh lý hàm cos cho góc đỉnh cân ta có :

2 2 2 .

BC AB AC  ABAC c so

2

2 2AB 2AB cos c

B

os

A    

 

   

 

áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 ( )33

8 ( )

1

2

m m

 

  



7 8

15

8 8

m m m 

   

  ( nhận)

2

yx  mx  có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh với cạnh đáy

(4)

5 Điều kiện có cực trị 0

2

b m

m a

     

, Gọi M trung điểm BC

Theo giả thuyết AMBC hay

2

BC

AB   BC  

2

AB BC  

áp dụng đinh lý hàm cos cho góc đỉnh cân ta có :

2 2 2 .

BC AB AC  ABAC c so 2 2 5AB AB AB cos cos

    

Áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 ( )33

5 ( )

1

2

m m

 

  



3 8

4

5 8

m m m 

   

  (nhận)

2

yx  mx  có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác có độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a



     ,

Gọi M trung điểm BC, R bán kính đường trịn ngoại tiếp Theo giả thuyết R=1

Ta có : diện tích tam giác ABC

2

1

.BC S

2

BC S AM   AB  BC

Lại có:

áp dụng đinh lý hàm cos cho góc đỉnh cân ta có :

2 2 2 .

BC AB AC  ABAC c so 2 2 5AB AB AB cos cos

    

Áp dụng kết (1) ta có :

3

3 8 cos

a b a b

 



 ( )33

5 ( )

1

2

m m

 

  



3 8

4

5 8

m m m 

   

  (nhận)

2

yx  mx  có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a



(5)

6

Áp dụng kết thứ ta có :

2

4

b b S

a a 

 1 ( ) 2

4 2.1

m m

m 

    (nhận)

Bài 10 : cho hàm số

2

yx  mx  có đồ thị ( )C , tìm m để ( )C có điểm cực trị tạo thành tam giác có độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c3

2

b m

m a

     

Gọi M trung điểm BC, R bán kính đường trịn ngoại tiếp, theo giả thuyết R1

3 (

)

b R

a a b 



1

1 (( m)

1

8 ( )

1 8.1)

5

m

m m

m 

   

   

   

 

    

1

2

m

m   

     

Bài 11 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số 2

2(1 )

yx  m x  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn

Giải : Ta có

1, 2(1 ),

a b  m c m

Điều kiện có cực trị :

2

2 ( 2(1

0 1

2.1 ))

m

m m

          

2

4

b b S

a a 

 ( 2(1 2))2 2(1 2)  25

4 2.1

m m

S    S m

       m 0(nhận)

Bài 12 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4

2

yx  mx  m m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính nhỏ

Giải : Ta có

1, ,

a b  m c mm

Điều kiện có cực trị : ( 0 2.1

)

m

m  

  

(6)

7

8 (

)

b R

a a b 

 (( m)

8

)

( )

8.1

R

m  

  

3 2

3

1 1 1

2 2 4 4

1

2

m m m m

R

m m m m m m

         

Dấu " " xảy

2

m m



m  

3

2

m

  (nhận)

Bài 13 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số 2

2

yx  m x m  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C, O nằm đường tròn ?

Giải : Ta có

1, ,

a b  m cm 

Điều kiện có cực trị :

2

2 (

0 0

2.1 )

m

m m

      

Đặt : 2

4 ( ) 4( 1)

b ac m m

        

Áp dụng kết thứ , ta có phương trình đường trịn qua A,B,C :

(Cr): 2 2

0

4

x c y c

b a b

y

a        

   

  

  

 

O(0 ;0) thuộc (Cr) :

c

b a       



4

2

( 1)

2 4.1

m

m 

 

   

 



 

2 1

m

    m

Bài 14 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số

2

yx  mx  có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua điểm 9;

5

A 

 

Giải : Ta có a1,b 2 ,m c2

Điều kiện có cực trị : ( 0 2.1

)

m

m  

  

Đặt :  b24ac ( )m 24.1.24m28

Áp dụng kết thứ , ta có phương trình đường trịn qua A,B,C :

(Cr): 2 2

0

4

x c y c

b a b

y

a        

   

  

  

(7)

8

3 ; 5

A 

  thuộc (Cr) :

2

2 4.1 4.1

18 8

5 m

m

m m

   

     

    

   

  

2

1

(m 2) (m 2)

m m

   

        

 

   

2

1

2

1

( 2)

2

5

m

m m

m m m

m

  

  

 

 

    

 

       

 

 

  

 



   

Nhắc nhở : em không nên lạm dụng phải học trình bày tự luận cho đàng hồng đụng mà áp dụng áp dụng, thân ko tán thành việc giải tốn Mớ thủ thuật mang tính hỗ trợ em trình học tập em phải nghĩ Hãy nhớ việc học phải ghi chép phải quan sát phải nhìn ngắm ko phải đè cơng thức mà làm

Ví dụ : Tìm tham số m để đồ thị hàm số

2( 1)

yx  m x m có ba điểm cực trị A, B, C cho độ dài OA BC với A cực trị thuộc trục tung ? (ĐH B – 2011)

Quá rõ ràng em bế tắc khơng cơng thức khơng thể áp dụng cho này, buột lịng em có cách biến đổi tính tốn cho :

Giải : điều kiện có cực trị : 1

b

m m

a

        ,

Đặt : b24ac4(m1)24m4m24m4

Tọa độ điểm cực trị : A(0, )c , B ;

2

b a a  



 

  , ;4

b C

a a  

 

 

 

 A(0, m), B m1;m2 m 1 , C m1;m2 m 1

Vậy OA BC  m2  4(m1)   m 2

(8)

9

D) Bài Tập Áp Dụng

BT Tìm tham số m để đồ thị hàm số sau có ba điểm cực trị ?

a)

2 (8 1) 2015

y x  mx  m x  b) 2

( 9) 10

y mx  m  x 

c)

( 2)

y m x  mx  m d)

2( 1)

yx  m x 

e) 2

( 4)

yx  m  x  f)

( 1)

yx  m x 

BT Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu theo sau toán:

a) Cho hàm số

( 1)

y mx  m x   m Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị ?

b) Cho hàm số

4 3( 1)

yx  mx  m x Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại ?

c) Cho hàm số

( 1)

y m x  mx  Tìm m để hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu ?

d) Cho hàm số

( 1)

y m x  mx  Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại ?

BT Cho hàm số:

2

yx  mx  m

1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m4

2) Tìm tham số m để hàm số có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có trực tâm gốc tọa độ O

Đáp số: m1

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Cao Bá Quát – Quảng Nam

BT Cho hàm số: 2

2( 1)

yx  m  x 

1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m0

2) Tìm tham số m để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn

Đáp số: m0

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Mạc Đỉnh Chi – Tp Hồ Chí Minh

BT Tìm tham số m để đồ thị hàm số 2

2( 1)

yx  m x m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông ? (Đại học khối A – 2012) ĐS: m0

BT Tìm tham số m để đồ thị thàm số 2

2

yx  m x  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân ? ĐS: m 1

BT Tìm tham số m để đồ thị hàm số

(3 1)

yx  m x  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy

3 lần độ dài cạnh bên ? ĐS:

5

m  

2( 2) 5

yx  m x m  m có cực đại, cực tiểu tạo

thành tam giác ? ĐS:

2

m 

2

yx  mx m m có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành tam giác ? ĐS:

3

(9)

10

BT 10 Tìm tham số m để đồ thị hàm số

4( 1)

yx  m x  m có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành tam giác ? ĐS:

1 3/2

m 

BT 11 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 2

2

yx  mx m m có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o ? ĐS:

3

1

m  

2

yx  mx m m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 30o

? ĐS:

3

1

,

m m 

2

yx  mx  m m có cực đại, cực tiểu mà cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích ? ĐS: m1

–

yx m x  có ba cực trị A, B, C, đồng thời ba điểm tạo thành tam giác có diện tích 64 ? ĐS:

2

m 

2

y x m x m  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi ? ĐS: m 

( 1)

y x  m x  m có điểm cực đại A, hai điểm

cực tiểu B C cho tứ giác ABIC hình thoi với 0;

I  

  ? ĐS:

1

m 

2

yx  m x m  có ba điểm cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C, O nằm đường tròn ? ĐS: m 1

2

yx  mx m có ba điểm cực trị A, B, C, cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính ? ĐS:

5 1

2

m  m  

2

yx  mx  có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm 9;

5

A 

  ? ĐS:

  1, 

2

m m

2

yx  mx m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn ? ĐS: m2;

2

y  x mx  có ba điểm cực trị A, B, C cho ba điểm nằm trục tọa độ ? ĐS: m    ; 0  2

2( 1)

yx  m x m có ba điểm cực trị A, B, C cho độ dài OA BC với A cực trị thuộc trục tung ? (ĐH B – 2011) ĐS: m 2 2

2

yx  x  m có ba điểm cực trị A, B, C, đồng thời

O trọng tâm tam giác ABC ? ĐS:

3

(10)

11

2( 1)

yx  m  m x  m có khoảng cách hai

điểm cực tiểu đồ thị nhỏ ? ĐS:

2

m 

BT 25 Chứng minh với m đồ thị hàm số 2

2( 1)

yx  m  x  ln có ba điểm cực trị Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng qua hai điểm cực tiểu

đồ thị hàm số cho nhỏ ? ĐS: m0

BT 26 Cho đồ thị hàm số

1, ( )

y x  x  C đường thẳng d qua điểm cực đại (C) có hệ số góc m Tìm m để tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đồ thị (C) đến

đường thẳng d đạt giá trị nhỏ ? ĐS:

4

m  

2(1 )

yx  m x  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn ? ĐS: m0

2

yx  mx  m m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính nhỏ ? ĐS: 31

2

m 

(Cm) :yx 2(m  m 1)x m 1 có khoảng cách

hai điểm cực tiểu ngắn ?

BT 30 Xác định tham số m để đồ thị hàm số

(Cm) :yx 4(m1)x 2m1 có ba cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác