một số bài toán về cực trị hàm trùng phương

Hàm số và bài toán có liên quan luôn là một chủ đề hay, thường xuyên có trong các đề thi học sinh giỏi tỉnh, thi THPT Quốc gia. Mặc dù, các câu hỏi của chủ đề thường ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp, nhưng với nhiều học sinh, đặc biệt là các em có lực học yếu, trung bình thì đây cũng là một chủ đề không dễ dàng để các em vượt qua. Mỗi một vấn đề nhỏ trong chủ đề này đều chứa trong nó sự đa dạng, phong phú và thách thức với học sinh. Trong các bài toán về cực trị của hàm số ( đồ thị hàm số) thì cực trị của hàm số dễ làm học sinh nản lòng hơn cả. Nguyên nhân do các em thấy khó khi 3 điểm cực trị của hàm tạo thành một tam giác đặc biệt, và những bài toán xoay quanh tam giác lại vô cùng phong phú đa dạng, đòi hỏi các em phải biết tổng hợp kiến thức từ chương trình THCS. Nguyên nhân khác là do đôi khi giáo viên không đưa ra được những tình huống kích thích trí tò mò, sáng tạo, không khơi dậy được hứng thú học tập chủ đề này cho học sinh.

Trang 1

(TÊN CƠ QUAN, ĐƠN VỊ CHỦ QUẢN) (TÊN CƠ QUAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN)

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

(Tên sáng kiến)

Tác giả:

Trình độ chuyên môn:

Chức vụ:

Nơi công tác:

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: M ộ t s ố b à i t o á n v ề c ự c t r ị h à m s ố

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT GIAO THỦY C

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ

Tác giả: VŨ THỊ LOAN Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán Chức vụ: Giáo viên

Nơi công tác: Trường THPT Giao Thuỷ C

Trang 2

1 Tên sáng kiến: Một số bài toán về cực trị của hàm số

y= +bx +c a≠

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: chương trình lớp 12 môn Toán THPT.

3 Thời gian áp dụng sáng kiến

Từ ngày 20 tháng 08 năm 2014 đến ngày 21 tháng 03 năm 2015

4 Tác giả:

Họ và tên: Vũ Thị Loan

Năm sinh: 1985

Nơi thường trú: Hoành Sơn – Giao Thủy – Nam Định

Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Giao Thủy C

Điện thoại: 0949.838.472

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%

5 Đồng tác giả (nếu có) không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Giao Thủy C.

Địa chỉ: Hồng Thuận – Giao Thủy – Nam Định

Điện thoại: 03503742046

Trang 3

I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Hàm số và bài toán có liên quan luôn là một chủ đề hay, thường xuyên có trong các đề thi học sinh giỏi tỉnh, thi THPT Quốc gia Mặc dù, các câu hỏi của chủ

đề thường ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp, nhưng với nhiều học sinh, đặc

biệt là các em có lực học yếu, trung bình thì đây cũng là một chủ đề không dễ dàng

để các em vượt qua Mỗi một vấn đề nhỏ trong chủ đề này đều chứa trong nó sự đa dạng, phong phú và thách thức với học sinh Trong các bài toán về cực trị của hàm

số ( đồ thị hàm số) thì cực trị của hàm số y=ax4+bx2+c a, ( ≠0) dễ làm học sinh nản lòng hơn cả Nguyên nhân do các em thấy khó khi 3 điểm cực trị của hàm

y= +bx +c a≠ tạo thành một tam giác đặc biệt, và những bài toán xoay quanh tam giác lại vô cùng phong phú đa dạng, đòi hỏi các em phải biết tổng hợp kiến thức từ chương trình THCS Nguyên nhân khác là do đôi khi giáo viên không đưa ra được những tình huống kích thích trí tò mò, sáng tạo, không khơi dậy được hứng thú học tập chủ đề này cho học sinh Cần phải có một cách dạy phù hợp, cần phải có một tài liệu hệ thống, cần phải có sự sáng tạo ở cả người dạy lẫn người học

Và trên hết người giáo viên phải tự làm phong phú nguồn kiến thức của mình, tự nghiên cứu, học hỏi để tìm ra những cách thức, những phương pháp phù hợp nhất với đối tượng học sinh thì mới hy vọng thắp lửa, truyền lửa cho người học, đồng thời nâng cao chất lượng dạy – học Xuất phát từ tầm quan trọng của chủ đề, từ thực

tế còn tồn tại ở đơn vị đang công tác, từ những trăn trở nghề nghiệp và mong muốn hoàn thiện bản thân, tác giả chọn chủ đề “Một số bài toán về cực trị của hàm số

y= +bx +c a≠ ” để nghiên cứu

II Mô tả giải pháp

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong một số năm dạy chương trình lớp 12, tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh lúng túng khi đứng trước bài toán về cực trị của hàm số Nguyên nhân do các em thấy khó khi 3 điểm cực trị của hàm y=ax4+bx2+c a, ( ≠0) tạo thành một tam

Trang 4

giác đặc biệt, và những bài toán xoay quanh tam giác lại vô cùng phong phú đa dạng, đòi hỏi các em phải biết tổng hợp kiến thức từ chương trình THCS Nguyên nhân khác là do đôi khi giáo viên không đưa ra được những tình huống kích thích trí

tò mò, sáng tạo, không khơi dậy được hứng thú học tập chủ đề này cho học sinh Để

khắc phục những mặt còn tồn tại trên, tác giả lựa chọn chủ đề “Một số bài toán về

cực trị của hàm số y=ax4+bx2+c a, ( ≠0)” để nghiên cứu.

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

A – Kiến thức bổ trợ

- Hệ thức lượng trong tam giác

+ Định lý cosin trong tam giác: cho tam giác ABC với BC = a, AC=b, AB =c Ta có

C ba b

a c

B ac c

a b

A bc c

b a

cos 2

2 2 2

− +

=

− +

=

− +

=

+ Định lý sin trong tam giác: Với mọi tam giác ABC ta có

2 sin sin sin

a b c

R

A = B = C = , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Công thức tính diện tích tam giác:

S= ah a bh b ch c

2

1 2

1

=

S= ab c ac b bcsinA

2

1 sin 2

S=

R

abc

4

S=p.r + Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bao gồm các dạng phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình elip, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách

từ một điểm đến đường thẳng

- Véc tơ và các phép toán về véc tơ, độ dài véc tơ, góc giữa hai véc tơ

- Cực trị của hàm số y=ax4+bx2+c, (a≠0)

Tập xác định:D= ¡

2

0

2

x

x a

=





 =



Trang 5

+ Trường hợp 1: Hàm số (đồ thị hàm số) có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi

phương trình y' =0 có nghiệm duy nhất 0

2

b a

−

+ Trường hợp 2: Hàm số (đồ thị hàm số) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương

trình y' =0 có ba nghiệm phân biệt 0

2

b a

−

⇔ >

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

(0; ), ( ; ( )) à ( ; ( ))

D c E y v F y

− − − − − Điểm D thuộc Oy, E và F đối xứng

nhau qua Oy, do đó ta luôn có tam giác DEF cân tại D

Trang 6

B – Một số bài toán

Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả chỉ tập trung vào khai thác một số bài toán về cực trị của hàm số y=ax4+bx2+c a, ( ≠0)theo hướng phân loại các dạng bài tập Trong mỗi dạng bài tập,tác giả phân tích một số khó khăn mà học sinh có thể sẽ gặp, một số vấn đề khi dạy giáo viên cần quan tâm theo kinh nghiệm của tác giả Đồng thời, tác giả đưa ra một số bài toán điển hình, hướng dẫn giải của bài toán

đó và những tình huống có thể hỏi thêm, phát triển thêm để tạo ra được hứng thú cho người học, đồng thời giúp người học nắm bắt bản chất vấn đề Cuối cùng, tác giả đề xuất một số bài toán tương tự

Dạng 1 Tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị

0

(1) 2

x

x a

=





 =



nên số điểm cực trị của

hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)

Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0

và y’ đổi dấu một lần khi qua x = 0 Khi đó hàm số chỉ có một cực trị

Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì nó chỉ có thể có nghiệm kép x = 0, khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và y’ đổi dấu một lần khi qua x = 0 Khi đó hàm số chỉ có một cực trị

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì cả hai nghiệm phân biệt đó đều khác 0, khi đó y’ lần lượt đổi dấu khi qua các nghiệm, vì vậy trong trường hợp này hàm số có 3 điểm cực trị

Như vậy, hàm số y=ax4+bx2+c, (a≠0) hoặc là có một điểm cực trị hoặc là có

3 điểm cực trị

Bài toán 1: Tìm các giá trị của m để hàm số y x= 4−(2m2+5m+2)x2+3m−4có đúng một điểm cực trị

Hướng dẫn giải : Tập xác định: D= ¡

2

0

(1) 2

x

=





 =



Trang 7

Hàm số có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' =0 có nghiệm duy nhất⇔( )1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0

2

m m m

Bài toán 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y x= 4+(m2+5m+6)x2−3m−2 có 3

điểm cực trị

2

0

(1) 2

x

=





 = −



Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' =0 có 3 nghiệm phân biệt

( )1

⇔ có hai nghiệm phân biệt ⇔ −(m2+5m+ > ⇔ ∈6) 0 m (-3;-2)

Bài tập tương tự

a) y x= 4−( 2m2−4m+ −3 m x) 2+ −m 2, m là tham số

Kết quả : ⇔ ∈m [1;3]

b) y x= 4−( m2+ −3 2)x2+ −m 2, m là tham số

Kết quả : m∈ −∞ − ∪ +∞( ; 1) (1; )

Dạng 2 Tìm tham số để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác

có số đo góc cho trước.

Phân tích: cần để ý rằng hai khái niệm điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của

đồ thị hàm số là khác nhau Do đó, khi dạy học sinh về cực trị giáo viên cần giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm này để các em hiểu rõ yêu cầu của mỗi bài toán đưa

ra, tránh sự hiểu lầm đáng tiếc

Như ở trên tác giả đã phân tích, khi đồ thị hàm số y=ax4+bx2+c, (a≠0) có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị ấy luôn luôn là 3 đỉnh của một tam giác cân, khi đó các bài toán về góc của tam giác cân được khai thác khá phong phú

Trang 8

Bài toán 3: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y x= 4−2mx2+2m m+ 4 có 3 điểm

cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

Hướng dẫn giải :

Tập xác định: D= ¡

2

0

y x mx y

x m

=





Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' =0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ >m 0

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :

D m m+ E m m −m + m v F − m m −m + m

Ta có

2 4

DE m; m DE m m

DF m; m DF m m

FE m

=

uuur uuur

Do đó tam giác DEF cân tại D nên tam giác DEF đều khi và chỉ khi DE = EF

3

0

m

m m m m m

m

 =



Vậy m= 33

Nhận xét: Do tam giác DEF cân tại D nên tam giác DEF đều khi và chỉ khi tam

giác có một góc bằng 600 Trong trường hợp này vai trò của các góc là như nhau nên

ta có thể chọn µE =600 Gọi H là trung điểm của FE, ta có tam giác DEH vuông tại

H và H(0;m4−m2+2m ,DH) =m ,EH2 = m Trong tam giác vuông DEH ta có

tan E m m m m m

EH

Hoặc ta có thể dùng định lý cosin trong tam giác để giải bài toán trên

Để phát triển tư duy sáng tạo và tăng tính chủ động tìm tòi của học sinh, giáo viên khi đưa ra bài toán này nên tạo cơ hội cho học sinh giải quyết bài toán theo nhiều ta

Trang 9

sẽ khác nhau Đồng thời đưa ra nhiều cách đặt vấn đề cho cùng một nội dung

Chẳng hạn, bài toán trên có thể hỏi khác đi như sau: Tìm các giá trị của m để đồ

thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác, trong đó có một góc bằng 600.

Sau khi học sinh hiểu được cách giải quyết bài toán trên ta có thể đưa ra các tình huống khác

Tình huống 1 Nếu bài toán hỏi “Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số

4 2 2 2 4

y x= − mx + m m+ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông” thì ta sẽ giải quyết bài toán như thế nào?

4 2 2 2 4

y x= − mx + m m+ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác tù (nhọn) ” thì ta

sẽ giải quyết bài toán như thế nào?

4 2 2 2 4

y x= − mx + m m+ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có ít nhất một góc bằng 300 ” thì ta sẽ giải quyết bài toán như thế nào?

Với những cách đặt vấn đề như vậy, giáo viên không những giúp học sinh hiểu cốt

lõi của vấn đề nằm ở yếu tố tam giác cân tại D mà còn giúp học sinh cảm thấy hào

hứng với chủ đề này, không còn cảm thấy cực trị của hàm trùng phương là rắc rối, nhàm chán Đồng thời các em sẽ tự mình tìm tòi lời giải cho các bài toán tương tự, hay là tự đưa ra các tình huống rồi giải quyết các tình huống đó

Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3

đỉnh của một tam giác đều

a) y x= 4−2(m−1)x2+(m−1)2, m là tham số

b) y=x4+2mx2+2m m+ 3, m là tham số

c) y x= 4−2mx2+m2−m4, m là tham số

Bài toán 4: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y x= 4−2m x2 2+1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Trang 10

' 3 2

'

2 2

4 4

0 0

y x m x

x y

x m

=





0

m

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0;1), ( ;E m m− 4+1) àv F m m(− −; 4+1)Ta có

DE = DF Suy ra tam giác DEF cân tại D Tam giác DEF vuông cân khi và chỉ khi

DE vuông góc DF ⇔ DE DFuuur uuur = ⇔ = ±0 m 1 (thỏa mãn)

Cách hỏi khác: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh

của một tam giác vuông

đỉnh của một tam giác vuông

a) y x= 4−2mx2+2m2, m là tham số

b) y x= 4+2(m+1)x2+ +1 2m m+ 2, m là tham số

c) y x= 4+2mx2+2m2−m4, m là tham số

Bài toán 5: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y x= 4+2(m+1)x2−m có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác, trong đó có 1 góc bằng 1200

' 3

'

2

0 0

y x m x

x y

x m

=





1

m

⇔ < −

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Ta có DE = DF Suy ra tam giác DEF cân tại D, có 1 góc bằng 1200

0

3

1 os( , ) os120 1

3

c DE DF c m

⇔ uuur uuur = ⇔ = − − (thỏa mãn)

Trang 11

Lưu ý: Tam giác DEF cân tại D, mà tam giác có 1 góc 0 µ

đỉnh của một tam giác, trong đó có 1 góc bằng 1500

a) y x= 4−2mx2+2m2, m là tham số

b) y=x4+2mx2+2m m+ 2, m là tham số

c) y= − +x4 2m x2 2+ −m m3, m là tham số

Bài toán 6: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh

của một tam giác, trong đó có ít nhất 1 góc bằng 300

y x= 4−2(m+1)x2+m, m là tham số

2

0

1

x

y x m x y

x m

=





1

m

⇔ > − Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :

D m E m+ − +m +m v F − m+ − +m +m

Ta có DE = DF Suy ra tam giác DEF cân tại D

Trường hợp 1:

os( , ) os30 1 (2 3)

c DE DF c m

⇔ uuur uuur = ⇔ = − + + (thỏa mãn)

Trường hợp 2:

0

3

1 os( , ) os120 1

3

c uuur uuurDE DF =c ⇔ = − +m (thỏa mãn)

E= =F α.

đỉnh của một tam giác vuông

a) y= − +x4 2mx2− +1 m3, m là tham số

b) y= − +x4 2(m+1)x2+m2, m là tham số

4 2 2 4

µ 0

D 30=

$ 0

F 30= ⇒

µE= D 120µ = 0

Trang 12

Dạng 3 Tìm tham số để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác

có chu vi, diện tích thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phân tích: khi dạy phần này tác giả luôn cố gắng giúp học sinh nhận biết được dấu

hiệu dùng các công thức diện tích tam giác Nếu học sinh phán đoán sai công thức diện tích thì có thể bài toán có lời giải rất dài và phức tạp, còn nếu dựa vào dữ kiện của bài toán cho, học sinh tìm đúng công thức sẽ dùng thì hiệu quả sẽ cao hơn Đặc biệt, trong phần này cần hạn chế học sinh sử dụng công thức Hê-rông để giải quyết vấn đề, vì sự cồng kềnh phức tạp của công thức, và với những bài toán không “đẹp” thì công thức này bộc lộ nhiều hạn chế

Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y x= 4+2mx2 +m có 3 điểm cực

trị là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 2

' 4 3 4

y = x + mx; y' 0 x2 0

x m

=





0

m

⇔ < Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

D m E − −m m +m v F − − −m m +m

Tam giác DEF cân tại D Gọi H là trung điểm của EF ta có DH là đường cao của

H ; m− +m ,DH =m ,FE = −m

EF

D

S = DH EF = m − m= ⇒ = −m (thỏa mãn)

Nhận xét: Trong bài toán này các điểm D, E, F, H hoàn toàn xác định được tọa độ

nên độ dài của các đoạn thẳng DE, EF, DH là hoàn toàn xác định Do đó khai thác

công thức tính diện tích như trên là hợp lý Ngoài ra ta còn có thể giải quyết bài toán

theo công thức tính diện tích 1 .sin

2

S = a b C

đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 2

a) y= − +x4 2mx2+2m m− 2, m là tham số

Trang 13

b) y= − +x4 2mx2+4m2, m là tham số

c) y x= 4−2m x2 2+m2−2m4, m là tham số

Bài toán 8: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y x= 4+2mx2+2m2+1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1

2

0

y x mx y

x m

=





Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y' =0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ <m 0 Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :

D m + E −m m + v F − −m m + , gọi H là trung điểm FE, ta có

H ;m + ,DH =m ,FE = −m ,DE DF= = m −m

EF

D

DE DF

S DH EF DH DE m m m m m m

R

1

1 5

2

m

= −





 =



(thỏa mãn)

Nhận xét: những bài toán liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

luôn gợi cho ta liên hệ đến hai công thức rất phổ biến, đó là công thức của định lý sin trong tam giác, và công thức tính diện tích áp dụng ở trên Theo đó, bài toán này dùng công thức định lý sin thì được giải quyết như sau

Trong tam giác DEF ta có µ

DF DF sin E

R

= = Mặt khác trong tam giác vuông DEH

2

DH DH DF sin E DH DE.DF

DE DE

đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1

a) y x= 4+2mx2+3m, m là tham số

b) y=x4+2mx2+ +1 2m2, m là tham số

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	580,5 KB