một số bài toán về cực trị hàm trùng phương

Hàm số và bài toán có liên quan luôn là một chủ đề hay, thường xuyên có trong các đề thi học sinh giỏi tỉnh, thi THPT Quốc gia. Mặc dù, các câu hỏi của chủ đề thường ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp, nhưng với nhiều học sinh, đặc biệt là các em có lực học yếu, trung bình thì đây cũng là một chủ đề không dễ dàng để các em vượt qua. Mỗi một vấn đề nhỏ trong chủ đề này đều chứa trong nó sự đa dạng, phong phú và thách thức với học sinh. Trong các bài toán về cực trị của hàm số ( đồ thị hàm số) thì cực trị của hàm số dễ làm học sinh nản lòng hơn cả. Nguyên nhân do các em thấy khó khi 3 điểm cực trị của hàm tạo thành một tam giác đặc biệt, và những bài toán xoay quanh tam giác lại vô cùng phong phú đa dạng, đòi hỏi các em phải biết tổng hợp kiến thức từ chương trình THCS. Nguyên nhân khác là do đôi khi giáo viên không đưa ra được những tình huống kích thích trí tò mò, sáng tạo, không khơi dậy được hứng thú học tập chủ đề này cho học sinh.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT GIAO THỦY C (TÊN CƠ QUAN, ĐƠN VỊ CHỦ QUẢN) (TÊN CƠ QUAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN) BÁO CÁO SÁNG KIẾN BÁO CÁO SÁNG KIẾN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Tên sáng kiến) y = ax + bx + c, (a ≠ 0) Tácgiả: giả: Tác VŨ THỊ LOAN Trìnhđộđộchuyên chuyênmôn: môn: Trình Cử nhân Toán Chứcvụ: vụ: Chức Giáo viên Nơicông công tác: tác: Nơi Trường THPT Giao Thuỷ C THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: M ộ t s ố b i t o n v ề c ự c t r ị h m s ố 1 Tên sáng kiến: Một số toán cực trị hàm số y = ax + bx + c, (a ≠ 0) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: chương trình lớp 12 môn Toán THPT Thời gian áp dụng sáng kiến Từ ngày 20 tháng 08 năm 2014 đến ngày 21 tháng 03 năm 2015 Tác giả: Họ tên: Vũ Thị Loan Năm sinh: 1985 Nơi thường trú: Hoành Sơn – Giao Thủy – Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Giao Thủy C Điện thoại: 0949.838.472 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 100% Đồng tác giả (nếu có) không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Giao Thủy C Địa chỉ: Hồng Thuận – Giao Thủy – Nam Định Điện thoại: 03503742046 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến Hàm số toán có liên quan chủ đề hay, thường xuyên có đề thi học sinh giỏi tỉnh, thi THPT Quốc gia Mặc dù, câu hỏi chủ đề thường mức độ thông hiểu vận dụng thấp, với nhiều học sinh, đặc biệt em có lực học yếu, trung bình chủ đề không dễ dàng để em vượt qua Mỗi vấn đề nhỏ chủ đề chứa đa dạng, phong phú thách thức với học sinh Trong toán cực trị hàm số ( đồ thị hàm số) cực trị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ 0) dễ làm học sinh nản lòng Nguyên nhân em thấy khó điểm cực trị hàm y = ax + bx + c, ( a ≠ 0) tạo thành tam giác đặc biệt, toán xoay quanh tam giác lại vô phong phú đa dạng, đòi hỏi em phải biết tổng hợp kiến thức từ chương trình THCS Nguyên nhân khác giáo viên không đưa tình kích thích trí tò mò, sáng tạo, không khơi dậy hứng thú học tập chủ đề cho học sinh Cần phải có cách dạy phù hợp, cần phải có tài liệu hệ thống, cần phải có sáng tạo người dạy lẫn người học Và hết người giáo viên phải tự làm phong phú nguồn kiến thức mình, tự nghiên cứu, học hỏi để tìm cách thức, phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh hy vọng thắp lửa, truyền lửa cho người học, đồng thời nâng cao chất lượng dạy – học Xuất phát từ tầm quan trọng chủ đề, từ thực tế tồn đơn vị công tác, từ trăn trở nghề nghiệp mong muốn hoàn thiện thân, tác giả chọn chủ đề “Một số toán cực trị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ 0) ” để nghiên cứu II Mô tả giải pháp Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trong số năm dạy chương trình lớp 12, nhận thấy có nhiều học sinh lúng túng đứng trước toán cực trị hàm số Nguyên nhân em thấy khó điểm cực trị hàm y = ax + bx + c, ( a ≠ 0) tạo thành tam giác đặc biệt, toán xoay quanh tam giác lại vô phong phú đa dạng, đòi hỏi em phải biết tổng hợp kiến thức từ chương trình THCS Nguyên nhân khác giáo viên không đưa tình kích thích trí tò mò, sáng tạo, không khơi dậy hứng thú học tập chủ đề cho học sinh Để khắc phục mặt tồn trên, tác giả lựa chọn chủ đề “Một số toán cực trị hàm số y = ax + bx + c, (a ≠ 0) ” để nghiên cứu Mô tả giải pháp sau có sáng kiến A – Kiến thức bổ trợ - Hệ thức lượng tam giác + Định lý cosin tam giác: cho tam giác ABC với BC = a, AC=b, AB =c Ta có a = b + c − 2bc cos A b = a + c − 2ac cos B c = a + b − 2ba cos C + Định lý sin tam giác: Với tam giác ABC ta có a b c = = = R , R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác sin A sin B sin C + Công thức tính diện tích tam giác: 1 2 1 S= ab sin c = ac sin b = bc sin A 2 abc S= 4R S= aha = bhb = chc S=p.r + Các hệ thức lượng tam giác vuông - Phương pháp tọa độ mặt phẳng bao gồm dạng phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình elip, góc hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Véc tơ phép toán véc tơ, độ dài véc tơ, góc hai véc tơ - Cực trị hàm số y = ax + bx + c, (a ≠ 0) Tập xác định: D = ¡ x = y = 4ax + 2bx, y = ⇔  −b x = 2a  ' ' + Trường hợp 1: Hàm số (đồ thị hàm số) có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm ⇔ −b ≤0 2a + Trường hợp 2: Hàm số (đồ thị hàm số) có ba điểm cực trị phương trình y ' = có ba nghiệm phân biệt ⇔ −b >0 2a Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0; c), E ( −b −b −b −b ; y( )) F ( − ; y( )) Điểm D thuộc Oy, E F đối xứng 2a 2a 2a 2a qua Oy, ta có tam giác DEF cân D B – Một số toán Trong khuôn khổ viết này, tác giả tập trung vào khai thác số toán cực trị hàm số y = ax + bx + c, (a ≠ 0) theo hướng phân loại dạng tập Trong dạng tập,tác giả phân tích số khó khăn mà học sinh gặp, số vấn đề dạy giáo viên cần quan tâm theo kinh nghiệm tác giả Đồng thời, tác giả đưa số toán điển hình, hướng dẫn giải toán tình hỏi thêm, phát triển thêm để tạo hứng thú cho người học, đồng thời giúp người học nắm bắt chất vấn đề Cuối cùng, tác giả đề xuất số toán tương tự Dạng Tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị x = Phân tích: Ta thấy y = 4ax + 2bx; y = ⇔  −b nên số điểm cực trị x = (1) 2a  ' ' hàm số phụ thuộc vào số nghiệm phương trình (1) Nếu phương trình (1) vô nghiệm phương trình y’ = có nghiệm x = y’ đổi dấu lần qua x = Khi hàm số có cực trị Nếu phương trình (1) có nghiệm kép có nghiệm kép x = 0, phương trình y’ = có nghiệm x = y’ đổi dấu lần qua x = Khi hàm số có cực trị Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm phân biệt khác 0, y’ đổi dấu qua nghiệm, trường hợp hàm số có điểm cực trị Như vậy, hàm số y = ax + bx + c, (a ≠ 0) có điểm cực trị có điểm cực trị Bài toán 1: Tìm giá trị m để hàm số y = x − (2m + 5m + 2) x + 3m − có điểm cực trị Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = y = x − 2(2m + 5m + 2) x ; y = ⇔  2m + 5m + x =  ' ' (1) Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm ⇔ ( 1) vô nghiệm có nghiệm kép x = ⇔ 2m + 5m + ≤ ⇔ m ∈ [-2;- ] Bài toán 2: Tìm giá trị m để hàm số y = x + (m + 5m + 6) x − 3m − có điểm cực trị Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = y = x + 2(m + 5m + 6) x; y = ⇔   x = − m + 5m + (1)  ' ' Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ ( 1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ −(m + 5m + 6) > ⇔ m ∈ (-3;-2) Bài tập tương tự a) y = x − ( 2m − 4m + − m) x + m − , m tham số Kết : ⇔ m ∈ [1;3] b) y = x − ( m + − 2) x + m − , m tham số Kết : m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) Dạng Tìm tham số để đồ thị hàm số có điểm cực trị ba đỉnh tam giác có số đo góc cho trước Phân tích: cần để ý hai khái niệm điểm cực trị hàm số điểm cực trị đồ thị hàm số khác Do đó, dạy học sinh cực trị giáo viên cần giúp học sinh hiểu rõ khái niệm để em hiểu rõ yêu cầu toán đưa ra, tránh hiểu lầm đáng tiếc Như tác giả phân tích, đồ thị hàm số y = ax + bx + c, (a ≠ 0) có điểm cực trị điểm cực trị luôn đỉnh tam giác cân, toán góc tam giác cân khai thác phong phú Bài toán 3: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có điểm cực trị đỉnh tam giác Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = ' ' Ta có y = x − 4mx; y = ⇔  x = m Đồ thị hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị : D(0; 2m + m ), E ( m ; m − m + 2m) F ( − m ; m − m + 2m) Ta có uuur DE m; −m ⇒ DE = m + m uuur DF − m; −m ⇒ DF = m + m ( ( ) ) FE = 4m Do tam giác DEF cân D nên tam giác DEF DE = EF m = 3 ⇔ 4m = m + m ⇔ −3m + m = ⇔   m=0 Vậy m = 3 Nhận xét: Do tam giác DEF cân D nên tam giác DEF tam giác có góc 600 Trong trường hợp vai trò góc nên µ = 600 Gọi H trung điểm FE, ta có tam giác DEH vuông ta chọn E 2 H H ( 0;m − m + 2m ) ,DH = m ,EH = m Trong tam giác vuông DEH ta có µ = tan E DH =m m ⇒m m = 3⇔m= 33 EH Hoặc ta dùng định lý cosin tam giác để giải toán Để phát triển tư sáng tạo tăng tính chủ động tìm tòi học sinh, giáo viên đưa toán nên tạo hội cho học sinh giải toán theo nhiều ta khác Đồng thời đưa nhiều cách đặt vấn đề cho nội dung Chẳng hạn, toán hỏi khác sau: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác, có góc 60 Sau học sinh hiểu cách giải toán ta đưa tình khác Tình Nếu toán hỏi “Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông” ta giải toán nào? Tình Nếu toán hỏi “Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có điểm cực trị đỉnh tam giác tù (nhọn) ” ta giải toán nào? Tình Nếu toán hỏi “Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có điểm cực trị đỉnh tam giác có góc 300 ” ta giải toán nào? Với cách đặt vấn đề vậy, giáo viên giúp học sinh hiểu cốt lõi vấn đề nằm yếu tố tam giác cân D mà giúp học sinh cảm thấy hào hứng với chủ đề này, không cảm thấy cực trị hàm trùng phương rắc rối, nhàm chán Đồng thời em tự tìm tòi lời giải cho toán tương tự, tự đưa tình giải tình Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác a) y = x − 2(m − 1) x + (m − 1) , m tham số b) y = x + 2mx + 2m + m3 , m tham số c) y = x − 2mx + m − m , m tham số Bài toán 4: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2m2 x + có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ y ' = x − 4m x x = y' = ⇔  2 x = m Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0;1), E (m; −m + 1) F (−m; −m + 1) Ta có DE = DF Suy tam giác DEF cân D Tam giác DEF vuông cân uuur uuur DE vuông góc DF ⇔ DE.DF = ⇔ m = ±1 (thỏa mãn) Cách hỏi khác: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông a) y = x − 2mx + 2m , m tham số b) y = x + 2(m + 1) x + + 2m + m , m tham số c) y = x + 2mx + 2m − m , m tham số Bài toán 5: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 2(m + 1) x − m có điểm cực trị đỉnh tam giác, có góc 120 Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ y ' = x + 4(m + 1) x x = y' = ⇔   x = −(m + 1) Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m < −1 Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0; −m), E ( −m − 1; −(m + 1) − m) F (− −m − 1; −(m + 1) − m ) Ta có DE = DF Suy tam giác DEF cân D, có góc 120 uuur uuur ⇔ cos( DE , DF ) = cos1200 ⇔ m = −1 − (thỏa mãn) 10 µ =α Lưu ý: Tam giác DEF cân D, mà tam giác có góc α ≥ 900 ⇒ D Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác, có góc 150 a) y = x − 2mx + 2m , m tham số b) y = x + 2mx + 2m + m , m tham số c) y = − x + 2m x + m − m3 , m tham số Bài toán 6: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác, có góc 30 y = x − 2(m + 1) x + m , m tham số Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = y ' = x3 − 4(m + 1) x; y ' = ⇔  x = m +1 Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m > −1 Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị : D(0; m), E ( m + 1; −(m + 1) + m) F ( − m + 1; −(m + 1) + m) Ta có DE = DF Suy tam giác DEF cân D Trường hợp 1: µ = 300 D uuur uuur ⇔ cos( DE , DF ) = cos300 ⇔ m = −1 + (2 + 3) (thỏa mãn) µ = F$ = 300 ⇒ D µ = 1200 Trường hợp 2: E uuur uuur cos( DE , DF ) = cos1200 ⇔ m = −1 + (thỏa mãn) µ = α Lưu ý: Tam giác DEF cân D, mà tam giác có góc α < 900 ⇒ D µ =F µ =α E Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông a) y = − x + 2mx − + m3 , m tham số b) y = − x + 2(m + 1) x + m , m tham số c) y = x − 2m x + m , m tham số 11 Dạng Tìm tham số để đồ thị hàm số có điểm cực trị ba đỉnh tam giác có chu vi, diện tích thỏa mãn điều kiện cho trước Phân tích: dạy phần tác giả cố gắng giúp học sinh nhận biết dấu hiệu dùng công thức diện tích tam giác Nếu học sinh phán đoán sai công thức diện tích toán có lời giải dài phức tạp, dựa vào kiện toán cho, học sinh tìm công thức dùng hiệu cao Đặc biệt, phần cần hạn chế học sinh sử dụng công thức Hê-rông để giải vấn đề, cồng kềnh phức tạp công thức, với toán không “đẹp” công thức bộc lộ nhiều hạn chế Bài toán 7: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 2mx + m có điểm cực trị đỉnh tam giác có diện tích Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = ' y ' = x + 4mx ; y = ⇔   x = −m Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m < Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0; m), E ( −m ; −m + m) F ( − −m ; −m + m) Tam giác DEF cân D Gọi H trung điểm EF ta có DH đường cao 2 tam giác H ( 0; −m + m ) ,DH = m ,FE = −m S DEF = 1 DH EF = m −4m = ⇒ m = − (thỏa mãn) 2 Nhận xét: Trong toán điểm D, E, F, H hoàn toàn xác định tọa độ nên độ dài đoạn thẳng DE, EF, DH hoàn toàn xác định Do khai thác công thức tính diện tích hợp lý Ngoài ta giải toán theo công thức tính diện tích S = a.b.sin C Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác có diện tích a) y = − x + 2mx + 2m − m , m tham số 12 b) y = − x + 2mx + 4m , m tham số c) y = x − 2m x + m − 2m , m tham số Bài toán 8: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 2mx + 2m + có điểm cực trị đỉnh tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = y ' = x + 4mx; y ' = ⇔   x = −m Hàm số có điểm cực trị y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m < Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị : D(0; 2m + 1), E ( −m ; m + 1) F (− −m ; m + 1) , gọi H trung điểm FE, ta có H ( 0;m + 1) ,DH = m ,FE = −m ,DE = DF = m − m S DEF = DE.DF EF DH EF = ⇒ DH = DE ⇔ 2m = m − m ⇔ m − 2m − m = 4R  m = −1 ⇔  m = − (thỏa mãn)  Nhận xét: toán liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác gợi cho ta liên hệ đến hai công thức phổ biến, công thức định lý sin tam giác, công thức tính diện tích áp dụng Theo đó, toán dùng công thức định lý sin giải sau µ = Trong tam giác DEF ta có sin E µ = ta có sin E DF DF = Mặt khác tam giác vuông DEH 2R DH DH DF ⇒ = ⇔ DH = DE.DF DE DE Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a) y = x + 2mx + 3m , m tham số b) y = x + 2mx + + 2m , m tham số 13 c) y = x − 2mx + m − , m tham số Bài toán 9: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m + có điểm cực trị đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = − Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = y ' = x − 4mx; y ' = ⇔  x = m Hàm số có điểm cực trị y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0; m + 1), E ( m ;1) F (− m ;1) Ta có DE = DF = m + m , FE = m 1 d ( D, EF).EF = m 4m , 2 DE + DF + EF = ( − 1) = m + m + m S DEF = S DEF ( )( ) −1 ⇒ m3 + − m 2 = m − ⇔ m = (thỏa mãn) Nhận xét: giả thiết toán cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác nên dấu hiệu công thức S = p.r rõ ràng Với học sinh không khó để em nhận cần phải tính diện tích tam giác theo cách khác nữa, với học sinh trung bình yếu phát công thức thành công, đưa dạng toán này, tác giả cố gắng phân tích lý phải tính diện tích theo cách khác nữa, đưa số toán tương tự để em tự học Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = a) y = x − 2mx + m − , m tham số b) y = x − 2mx + + m , m tham số c) y = x − 2mx + , m tham số Dạng Tìm tham số để đồ thị hàm số có điểm cực trị với điểm cho trước tạo thành tam giác, tứ giác có tính chất đặc biệt Phân tích : Để làm tốt số tập dạng học sinh cần vững kiến thức điểm đặc biệt tam giác trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn 14 ngoại tiếp Tương tự vậy, em cần nhớ dấu hiệu nhận biết, phương pháp chứng minh tứ giác hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang phần tác giả đưa số toán điển hình Bài toán 10: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − (3m − 1) x + 2m − có điểm cực trị đỉnh tam giác có trọng tâm G(0; - ) Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ y ' = x − 2(3m − 1) x x = y = ⇔  3m − x =  ' Hàm số có điểm cực trị y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0; 2m − 4), E ( 3m − 3m − 3m − 3m − ; −( ) + 2m − 4) F ( − ; −( ) + 2m − 4) 2 2 G trọng tâm tam giác DEF  xD + xE + xF = xG  3m −  ⇔ ⇔ ( 2m − ) −  ÷ = −8 ⇔ m = (thỏa mãn)    yD + y E + y F = yG Nhận xét: từ toán tác giả đưa cho học sinh tình khác Tình Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có trực tâm G(0; - ) ? Tình Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp G(0; - ) ? Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị đỉnh tam giác có trọng tâm G(0; ) a) y = x − 2mx + 2m + , m tham số 15 b) y = x − 2m x + m + , m tham số c) y = x − 2mx + , m tham số Bài toán 11: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x − (3m − 1) x + m + có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh hình vuông Hướng dẫn giải: Tập xác định: D = ¡ y ' = x3 − 2(3m − 1) x x = y = ⇔  3m − x =  ' Hàm số có điểm cực trị y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị : D(0; m + 1), E ( 3m − 3m − 3m − 3m − ; −( ) + m + 1) F (− ; −( ) + m + 1) 2 2 Vì D thuộc trục Oy, E F đối xứng qua Oy nên điểm D, E, F, O đỉnh hình vuông trung điểm OA thuộc EF EF = OD ⇔ m = (thỏa mãn) Bài toán 12: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = − x + 3mx − 5m + có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh hình thoi (hình bình hành) Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ y ' = −4 x + 6mx x = y = ⇔  3m x =  ' Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔m>0 Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị 16 3m 3m 3m 3m D(0; −5m + ), E ( ;( ) − 5m + ) F ( − ;( ) − 5m + ) 2 2 2 Vì D thuộc trục Oy, E F đối xứng qua Oy nên điểm D, E, F, O đỉnh hình thoi (hình bình hành) trung điểm OA thuộc EF m = ⇔ (thỏa mãn) m =  Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh hình thoi (hình bình hành) a) y = x − 3mx + 4m + , m tham số b) y = x − 4mx + 6m , m tham số a) y = − x + 2mx − 3m , m tham số Dạng Một số toán khác Bài toán 13: Tìm giá trị m để Parabol (P) y = − x + qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + 2mx + 2m + , m tham số Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ y ' = x + 4mx x = y' = ⇔   x = −m Hàm số có điểm cực trị phương trình y ' = có nghiệm phân biệt ⇔m[...]... (thỏa mãn) m = 1 9  Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi (hình bình hành) 1 2 4 2 a) y = x − 3mx + 4m + , m là tham số b) y = x 4 − 4mx 2 + 6m , m là tham số a) y = − x 4 + 2mx 2 − 3m , m là tham số Dạng 5 Một số bài toán khác Bài toán 13: Tìm các giá trị của m để Parabol... giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 8 3 tam giác có trực tâm G(0; - ) ? Tình huống 2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 8 3 tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp là G(0; - ) ? Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có trọng tâm G(0; 7 ) 3 a) y = x 4 − 2mx 2 + 2m + 1 , m là tham số. .. có 1 góc α ≥ 900 ⇒ D Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác, trong đó có 1 góc bằng 150 0 a) y = x 4 − 2mx 2 + 2m 2 , m là tham số b) y = x 4 + 2mx 2 + 2m + m 2 , m là tham số c) y = − x 4 + 2m 2 x 2 + m − m3 , m là tham số Bài toán 6: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác, trong đó... tích tam giác theo một cách khác nữa, nhưng với học sinh trung bình và yếu thì phát hiện ra công thức đã là một thành công, do đó khi đưa ra dạng toán này, tác giả cũng cố gắng phân tích lý do phải tính diện tích theo một cách khác nữa, và cũng đưa ra một số bài toán tương tự để các em tự học Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có... D, mà tam giác có 1 góc α < 900 ⇒ D µ =F µ =α E Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông a) y = − x 4 + 2mx 2 − 1 + m3 , m là tham số b) y = − x 4 + 2(m + 1) x 2 + m 2 , m là tham số c) y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 4 , m là tham số 11 Dạng 3 Tìm tham số để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác có chu vi, diện tích... x 2 + m 2 + 2 , m là tham số c) y = x 4 − 2mx 2 + 3 , m là tham số Bài toán 11: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − (3m − 1) x 2 + m + 1 có 3 điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông Hướng dẫn giải: Tập xác định: D = ¡ y ' = 4 x3 − 2(3m − 1) x x = 0 y = 0 ⇔  2 3m − 1 x =  2 ' Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y ' = 0... tham số 13 c) y = x 4 − 2mx 2 + m 2 − 1 , m là tham số Bài toán 9: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 − 1 Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ x = 0 y ' = 4 x 3 − 4mx; y ' = 0 ⇔  2 x = m Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 Khi đó, đồ thị hàm số. .. điểm cực trị đồ thị hàm số y = x 4 + 2mx 2 + 2m 2 + 1 , m là tham số Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡ y ' = 4 x 3 + 4mx x = 0 y' = 0 ⇔  2  x = −m Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔m ... thách thức với học sinh Trong toán cực trị hàm số ( đồ thị hàm số) cực trị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ 0) dễ làm học sinh nản lòng Nguyên nhân em thấy khó điểm cực trị hàm y = ax + bx + c, ( a ≠... xuất số toán tương tự Dạng Tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị x = Phân tích: Ta thấy y = 4ax + 2bx; y = ⇔  −b nên số điểm cực trị x = (1) 2a  ' ' hàm số phụ thuộc vào số nghiệm phương. .. thấy cực trị hàm trùng phương rắc rối, nhàm chán Đồng thời em tự tìm tòi lời giải cho toán tương tự, tự đưa tình giải tình Bài toán tương tự: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số sau có điểm cực trị