Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng các số hạng của cấp số nhân mới tạo thành bằng cách thay mỗi số hạng của cấp số nhân ban đầu bằng số nghịch đảo của nó là:A. A..[r]
(1)CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tùy ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n p, ta thực sau
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p;
+ bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k p phải chứng minh mệnh đề với n=k+1.
II VÍ DỤ VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
1 1
, *
2 2
n
n n n N
Giải
Bước 1: Với n = mệnh đề trở thành
1
22 mệnh đề đúng
Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k nghĩa là:
1 1
2 2
k
k k
Ta chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức cần chứng minh:
1
1 1
2 2
k
k k
Thật
1
1
1
1
1 1 1
2 2
2 1
2
2
2
k k
k
k k
k
k
VT
VP
Vậy mệnh đề cho với nN*
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
3 3 5
n
u n n n chia hết cho , n *
Giải
Bước 1: Với n 1, vế trái chi hết cho Mệnh đề cho
Bước 2: Giả sử mệnh đề cho với n k , tức là: uk k33k25k
chia hết cho
Ta chứng minh hệ thức cho với n k 1:
Ta có:
3
1
k
(2)
3 2
2
3 3
3 3
k
k k k k k
u k k
Vậy uk1chi hết cho 3, ta điều phải chứng minh III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài Chứng minh với n N*, ta có:
a) + + … + n =
( 1)
n n
b)
2 2 ( 1)(2 1)
6
n n n
n
c)
2
3 3 ( 1)
1
2
n n
n
d)
2 1.4 2.7 n n(3 1)n n( 1)
e)
( 1)( 2) 1.2 2.3 ( 1)
3
n n n
n n
f)
1
1.2 2.3 ( 1)
n
n n n
Bài Chứng minh với n N*, ta có:
a) n311n chia hết cho 6. b)
3 3 5
n n n chia hết cho 3.
c) 7.22 2n 32 1n chia hết cho 5. d) n32n chia hết cho 3.
e) 32 1n 2n2 chia hết cho 7. f)
13 1n chia hết cho 6. B DÃY SỐ
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa
: *
( )
u
n u n
dạng khai triển: (u
n) = u1, u2, …, un, …
2 Dãy số tăng, dãy số giảm:
(un) dãy số tăng un+1 > un với n N*.
un+1 – un > với n N*
1 1
n n
u
u với n N* ( u n > 0).
(un) dãy số giảm un+1 < un với n N*.
(3)
1 1
n n
u
u với
n N* (un > 0).
3 Dãy số bị chặn
(un) dãy số bị chặn M R: un M, n N*.
(un) dãy số bị chặn m R: un m, n N*.
(un) dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*.
II VÍ DỤ VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm dãy số:
1
) )
5
n n
n
a u b u
n n
Giải
1
1
)
1 1
2 0, *
1 ( 1)
n
n n
a u n
u u n N
n n n n
Nên dãy số giảm
2
2
2 )
5
5 2 10 19
1, *
2 10 19
n
n
n
n b u
n
u n n n n
n N
u n n n n
Nên dãy số giảm
Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng qt dãy số:
1 *
n n U
n N U 2U
Giải
Ta có: U1=3 U2=2U1=3.2 U3=2.U2=3.22
Dự đốn: Un=3.2n-1.Sau khẳng định quy nạp
III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi:
a)
2
2
1
n n
u n
b)
( 1)
n
n n
u
n
c)
1
n n
u n
d)
1
n
n
u
e) un n cos2n f)
( 1)!
n n n
u
(4)a) n n u n b) 4 n n n
u
c) ( 1) n n u n d) 2 1
n n n
u n
e) un n cos2n f)
2 n n u n
Bài 3: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi:
a) n n u n b) ( 1) n u n n
c) un n24
d)
2
2
n n n
u
n n
e) 2
n n
u
n n n
f) ( 1) cos2
n n
u
n
IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong dãy số sau, dãy số thõa mãn
0 1, 2, n 3 n1 n2, 2,3,
u u u u u n
A 1;2;4;8;16;36… B 1;2;8;16;24;54…
C u n 2n D
n n
u ( n=0;1;2….)
Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
2
2 víi nn
n n
u
u u
Ta có u5 bằng:
A 10 B 1024 C 2048 D 4096
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
1
2 víi mäi n
n n
u
u u n
Khi u50 bằng:
A 1274,5 B 2548,5 C 5096,5 D 2550,5
Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
1
2 víi mäi n
n n
u
u n u
Khi u11 bằng:
A 210.11! B -210.11! C 210.1110 D -210.1110
Câu 5: Cho dãy số (un):
1
1
víi n
n n
u
u u n
Ta có u11 bằng
A 36 B 60 C 56 D 44
Câu 6: Cho dãy số un với
1 n n 1 u
u víi n = 2, 3, u
Giá trị u4 bằng
A B C D
Câu 7: Cho dãy số (un) với u n
n n cos ) ( 1
Khi u12 bằng:
A 2
1
B
3
C
1
D
(5)Câu 8: Cho dãy số (un) với 1
n n
n u
Khi un1 bằng:
A n n
n u
2
1
B n n
n u
2
1
C
2
n n
n u
D n n
n u
2
1
Câu 9: Cho dãy số có
1 *
1
1
2
n n n
u
n N
u u u
Khi số hạng thứ n+3 là?
A un3 2un23un1 B un32un23un C un3 2un23un1 D un3 2un23un1
Câu 10: Cho dãy số có cơng thức tổng qt u n 2n số hạng thứ n+3 là?
A un3 23 B 3 8.2
n n
u C un3 6.2n D 3 6
n n u
Câu 11: Cho tổng Sn 1 n Khi S3 bao nhiêu?
A 3 B 6 C 1 D 9
Câu 12: Cho dãy số 1
n n
u Chọn khẳng định khẳng định sau đây?
A Dãy tăng B Dãy giảm C Bị chặn D Không bị chặn
Câu 13: Dãy số
1 n
u n
là dãy số có tính chất?
A Tăng B Giảm
C Khơng tăng không giảm D Tất sai
Câu 14: Cho dãy số un sin n
Chọn khẳng định sai khẳng định sau đây?
A un sinn
B Dãy số bị chặn
C dãy tăng D dãy số không tăng, không giảm.
Câu 15: Dãy số
3
3
n n u
n
dãy số bị chặn bởi?
A
1
2 B
1
3 C 1 D Tất sai
Câu 16: Trong dãy số (un) sau đây, chọn dãy số giảm:
A un = sin n B un =
2
1
n n
C un = n n D un =
1 n 2n
Câu 17: Trong dãy số (un) sau đây, chọn dãy số bị chặn
A un =
1
n B un = n +
1
n
C un = 2n + 1D un =
n n
Câu 18: Cho dãy số (un) vói un = 3n Hãy chọn hệ thức đúng:
A
1
5
2
u u
u
B
2
2
u u u
C
100
1 100
1
1
2
u
u u u
D u u1 u100u5050
(6)A 3n + 1 B 3n + 3 C 3n.3 D 3(n + 1)
Câu 20: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng u2n
A 2.3n B 9n C 3n + 3 D 6n
Câu 21: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng un - bằng:
A 3n - 1 B
3
n
C 3n - 3 D 3n - 1
Câu 22: Cho dãy số (un), biết un = 3n Số hạng u2n - bằng:
A 32.3n - 1 B 3n.3n - C 32n - 1 D 32(n - 1)
Câu 23: Hãy cho biết dãy số (un) nằo dãy số tăng, biết công thức số hạng
tổng quát un là:
A
1
1 n sin
n
B
2
1 n 5n
C
1
n n D
1
n n
Câu 24: Xét dãy
1, 2, 3, 4, … (1)
1 1 1, , ,
3 7 … (2)
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, … (3)
1 1 1 1, , , , ,
2 3 3, … (4)
Với dãy trên, kết luận sau đúng:
A (1) dãy đơn điệu giảm, (2) dãy đơn điệu giảm, (3) dãy đơn điệu không giảm, (4)
là dạy đơn điệu không tăng
B (1) dãy đơn điệu tăng, (2) dãy đơn điệu tăng, (3) dãy đơn điệu không giảm, (4)
là dạy đơn điệu không tăng
C (1) dãy đơn điệu tăng, (2) dãy đơn điệu giảm, (3) dãy đơn điệu không giảm, (4)
là dạy đơn điệu không giảm
D Cả ba câu sai.
Câu 25: Dãy số un xác định công thức un = 2n + với n = 0, 1, 2, … là:
A Dãy số tự nhiên lẻ B Dãy 1, 3, 5, 13, 17 C Dãy số tự nhiên chẵn.
D Dãy gồm số tự nhiên lẻ số tự nhiên chẵn Câu 26: Trong dãy số sau, dãy số thoả mãn:
u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - - 2un - , n = 2, 3, …?
A 1, 2, 4, 8, 16, 32, … B 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, …
C Dãy có số hạng tổng quát un = 2n + với n = 0, 1, 2, …
D Dãy có số hạng tổng quát un = 2n với n = 0, 1, 2, …
Câu 27: Xét câu sau:
Dãy 1, 2, 3, 4, … dãy bị chặn (dưới trên) (1)
Dãy
1 1 1, , ,
3 7 … dãy bị chặn không bị chặn (2)
Trong hai câu trên:
(7)C Cả hai câu đúng D Cả hai câu sai.
Câu 28: Đặt S1(n) = + + + … + n
S2(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 S3(n) = 13 + 23 + 33 + … + n3 Ta có
A
1
3n n S n
2
B
2
n n 2n
S n
3
C
2
2
3
n n S n
4
D Đáp án khác Câu 29: Dãy số sau dãy tăng:
A u n
n n sin ) ( 1
B
3 n n un
C
1 n n un D. ) ( ) (
n n
n u
Câu 30: Cho dãy số
2 n n u n
Số
9
41 số hạng thứ bao nhiêu?
A 10 B 9 C 8 D 11
Câu 31: Cho dãy số
1 n n u n
Số
8
15 số hạng thứ bao nhiêu?
A 8 B 6 C 5 D 7
Câu 32: Cho dãy số
1
1
5
n n
u u n
u
Số hạng tổng quát dãy số là?
A
1
2 n n n u B
1
5 n n n u C
1
5 n n n u D
1 2
5 n n n u
Câu 33: Cho dãy số
1 1 n n n u
u u
Số hạng tổng quát dãy số là?
A un 1 n B un 1 n C
2
1
n n
u D un n
Câu 34: Cho dãy số
1 1 n n u
u u n
Số hạng tổng quát dãy số là?
A
2 1 1
1
6 n
n n n
u
B
1 2 2
1
6 n
n n n
u
C
1 2 1
1
6 n
n n n
u
D Tất sai
Câu 35: Cho dãy số
1 2 n n u u u
Số hạng tổng quát dãy số là?
A n n u n B n n u n C n n u n
D n
n u
n
(8)Câu 36: Cho tổng S n 12 22 n2 Khi cơng thức S(n) là?
A
2 1
6
n n n
S n
B
1
n S n
C
2 1
6
n n n
S n
D
2 2 1
6
n n
S n
Câu 37: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+………….+(2n-1)-2n+(2n+1) là
A S(n)= n+1 B S n -n C S n 2n D S n n
Câu 38: Tính tổng
1 1
1.2 2.3 3.4
S n
n n
Khi cơng thức S(n) là?
A 2
n S n
n B 1
n S n
n C
2
2
n S n
n D
1 n
S n
Câu 39: Tính tổng s n( ) 1.4 2.7 n n(3 1) Khi cơng thức S n gì?
A S n n B
2
1
S n n
C
2
1
S n n n
D S n 4n
Câu 40: Tính tổng S n 1.1! 2.2! 2007.2007! Khi cơng thức S n là:
A 2007! B 2008! C 2008! 1 D 2007! 1
Câu 41: Cho dãy số hữu hạn xác định sau:
u0 = 1; u1 = -1; u2 = -1; u3 = 1; u4 = 5; u5 = 11; u6 = 19; u7 = 29; u8 = 41; u9 = 55 Hãy tìm cơng thức tổng quát cho 10 số hạng
A un n23n 1, n 0,1, , B
2 n
u n 3n 1, n 0,1, ,
C un n23n 1, n 0,1, , D Kết khác
Câu 42: Trong dãy số 1, 3, 2, … số hạng kể từ số hạng thứ số hạng đứng trước
nó trừ số hạng đứng trước số hạng này, tức un un 1 un 2 với n ≥ Tính tổng 100 số hạng dãy số Đáp số tốn là:
A 5 B 4 C 2 D 1
Câu 43: Cho dãy số xác định công thức truy hồi:
1
*
3
n n
u
u u n
Tìm cơng thức tính
số hạng tổng quát un dãy số
A
3 n n u
B
3 n n u
C
3
2
n n u
D
3
2
n n u
Câu 44: Cho dãy số xác định công thức truy hồi:
1
*
1
1
n n u
u u n
Tìm cơng thức tính
số hạng tổng quát un dãy số
A un 2n1 B un 2n1 C un 2n2 D un 2n3
Câu 45: Cho dãy số xác định công thức truy hồi:
1
1
1
n n
u
u u
Hỏi số 33 số hạng thứ
(9)A u15 B u17 C u14 D u16
C CẤP SỐ CỘNG (CSC) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa: (un) cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai)
2 Số hạng tổng quát: un u1(n1)d với
n 2
3 Tính chất số hạng:
1
2
k k
k
u u
u
với k 2
4 Tổng n số hạng đầu tiên:
1
( )
2 n
n n
n u u
S u u u
=
2 ( 1)
n u n d
II VÍ DỤ VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết:
1
1
10 17
u u u
u u
Giải
Ta có:
1
1
10 17
u u u
u u
1
1
2 10 16
2 17
u d u
u d d
Ví dụ 2: Một CSC có số hạng thứ 54 thứ -61 64 Tìm số hạng thứ 23. Giải
Ta có: un u1n1d
54
4
53 (1) (2)
u u d
u u d
Gi¶i hƯ ph ơng trình (1), (2) ta đ ợc :
1
23
143
,
2
33 22
2
u d
u u d
III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu
và cơng sai nó:
a) un = 3n – b)
3
n n
u
c) un n2
d) u n 3n e)
7
n n
u
f) n
n u
Bài 2: Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng, biết:
a)
2
10 26
u u u
u u
b)
3 14
15 18
u u
c)
7
8 75
u u
u u
d)
7 15 2 12
60 1170
u u
u u
(10)a) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số thứ 105, số cuối 999
b) Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 1/3, số thứ -1/3, số cuối -2007
Bài 4: Cho cấp số cộng có d > 0: có u13u153 302094 tổng 15 số hạng đầu 585 tìm cấp số cộng
Bài 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng
bình phương chúng 120
Bài 6: Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 25 tổng bình
phương chúng 165
Bài 7: Cho cấp số cộng un có u
5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng un
Bài 8: Cho cấp số cộng un có u
2 + u5 = 42 u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346 số hạng cấp số cộng
Bài 9: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng các
bình phương chúng 293
b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng
các bình phương chúng 66
Bài 10: Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây,
hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng?
IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Nếu cấp số cộng (un)) với công sai d có u5 0 u10 10 thì:
A u1 8 d = -2 B u1 8 d = C u1 8 d = D u1 8 d = -2
Câu 2: Một cấp số cộng có số hạng Số hạng 15 Tổng số hạng đó
bằng:
A 135 B 405 C 280 D Đáp số khác
Câu 3: Cho cấp số cộng (un) có u5 12 tổng 21 số hạng S21 504 Khi u1 bằng:
A 4 B 20 C 48 D Đáp số khác
Câu 4: Cho cấp số cộng (un) Tìm u1 cơng sai d biết
2
2
n
S n n
A u1 1;d 4 B u11;d 3 C u12;d 2 D u11;d 4
Câu 5: Cho cấp số cộng (un) Tìm u10 biết
2
3
n
S n n
A u 10 50 B u 10 53 C u 10 55 D u 10 60
Câu 6: Cho cấp số cộng (un) Tìm u1 công sai d biết u5 18; 4Sn S2n
A u1 2;d 3 B u12;d 2 C u12;d 4 D u13;d 2
Câu 7: Cho CSC : -2 ; u2 ; ; u4 Hãy chọn kết đúng:
A u2 = -6 ; u4 = -2 B u2 = ; u4 = C u2 = ; u4 = D u2 = ; u4 = 10
Câu 8: Chọn khẳng định Đúng khẳng định: Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng (khác
(11)A Nghịch đảo chúng lập thành cấp số cộng B Bình Phương chúng lập thành cấp số cộng C c,b,a theo thứ tự cúng lập thành cấp số cộng D Tất khẳng định sai
Câu 9: Cho CSC có tổng 10 số hạng 100 số hạng 100 10.
Khi tổng 110 số hạng là?
A 90 B -90 C 110 D -110
Câu 10: Chọn khẳng định sai khẳng định sau Cho CSC u n có d khác khơngkhi
đó:
A u2u17 u3u16 B u2u17 u4u15 C u2u17 u6 u13 D u2u17 u1u19
Câu 11: Cho CSN -2;4;-8….tổng n số hạng CSN là?
A
2
1
n
B
2 2
n
C
2
2
1
n
D
2 2
n
Câu 12: Viết số xen số 22 để CSC có số hạng.
A 7;12;17 B 6,10,14 C 8,13,18 D Tất sai
Câu 13: Cho dãy số un 7 2n Chọn khẳng định sai khẳng định sau đây?
A Ba số hạng dãy là: 5;3;1 B số hạng thứ n+1 dãy 8-2n
C CSC với d=-2 D Số hạng thứ dãy -1
Câu 14: Cho CSC có
1
,
4
u d
Chọn khẳng định khẳng định sau đây?
A
5
s
B
4
s
C
5
s
D
4
s
Câu 15: Cho CSC có d=-2 s 8 72, số hạng nhiêu?
A u116 B u116 C
1 16
u
D
1 16
u
Câu 16: Cho CSC có u1 1,d 2,sn 483 Hỏi số số hạng CSC?
A n=20 B n=21 C n=22 D n=23
Câu 17: Cho CSC có u1 2,d 2,s8 Chọn khẳng định khẳng định
sau?
A S tổng số hạng CSC B S tổng số hạng CSC C S tổng số hạng CSC D Tất sai
Câu 18: Xác định x để số 1 x x, ,12 x lập thành CSC.
A Khơng có giá trị x B x=2 x= -2
C x=1 -1 D x=0
Câu 19: Xác đinh a để số 1 , a a25,1 a lập thành CSC
A a 0 B a 1 C a D Tất sai.
Câu 20: Cho a,b,c lập thành CSC Đẳng thức sau đúng?
(12)Câu 21: Cho CSC có u4 12,u14 18 Khi số hạng công sai
A u120,d 3 B u1 22,d 3 C u121,d 3 D u121,d 3
Câu 22: Cho CSC có u4 12,u14 18 Khi tổng 16 số hạng CSC là?
A 24 B -24 C 26 D – 26
Câu 23: Cho CSC có u5 15,u20 60 Tổng 20 số hạng CSC là?
A 200 B -200 C 250 D -25
Câu 24: Trong dãy số sau dãy số CSC?
A u n 3n B
1
3 n n
u
C un 3n1 D Tất
CSC
Câu 25: Trong dãy số sau dãy số CSC?
A 1 n n u
u u
B 1 1 n n u
u u
C un n2 D
3
1 n
u n
Câu 26: Cho dãy số (an) xác định
1
321
3 n = 2, 3, 4,
n n
a
a a
Tổng 125 số hạng dãy số (an) là:
A 16875 B 63375 C 635625 D 166875
Câu 27: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 u3 - u15 = 84 Số hạng u17 là:
A 242 B 235 C 11 D 4
Câu 28: Trong dãy số (un) sau đây, dãy số nàolà cấp số cộng?
A 1 n n u
u u
B 1 n n u
u u n
C 1 n n u
u u
D 1 n n u
u u
Câu 29: Cho cấp số cộng: 6, x - 2, y Kết sau đúng?
A x y B x y C x y D x y Câu 30: Nếu cấp số cộng (un) với công sai d có u2 = u50 = 74
A u1 = d = B u1 = -1 d =
C u1 = 0,5 d = 1,5 D u1 = -0,5 d = 2,5
Câu 31: Cho cấp số cộng -2; x; 6; y Hãy chọn kết kết sau:
A x y B x y C x y D 10 x y Câu 32: Cho cấp số cộng -4; x; -9 Hãy chọn kết kết sau:
A x = 36 B x = -6,5 C x = 6 D x = -36
Câu 33: Cho cấp số cộng (un) Hãy chọn hệ thức hệ thức sau:
A 10 20 10 u u u u
B u19u20 2u150 C u u10 30 u20 D 10 30 20 u u u
Câu 34: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
1
150
3 víi mäi n
n n
u
u u
Khi tổng 100 số hạng
đầu tiên dãy số
(13)Câu 35: Cho cấp số cộng (un) có: u2 = 2001 u5 = 1995 Khi u1001
A 4005 B 4003 C 3 D 1
Câu 36: Cho cấp số cộng có tổng 10 số hạng 100 số hạng S10 = 100,
S100 = 10 Khi đó, tổng 110 sốhạng là:
A 90 B -90 C 110 D -110
Câu 37: Ba cạnh tam giác vng có độ dài số ngun dơng lập thành cấp
số cộng Thế cạnh có độ dài bằng:
A 22 B 58 C 81 D 91
Câu 38: Cho ba s thực a, b, c khác Xét hai câu sau:
(1) Nếu a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng (cơng sai khác 0) ba số
1 1 , , a b c
theo thứ tự lập thành cấp số cộng
(2) Nếu a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ba số
1 1 , ,
a b c theo thứ tự đó
cũng lập thành cấp số nhân Trong hai câu trên:
A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng
C Cả hai câu đúng D Cả hai câu sai.
Câu 39: Số số hạng cấp số cộng chẵn Tổng số hạng thứ lẻ số
hạng thứ chữan lần lợt 24 30 Biết số hạng cuối lớn số hạng đầu 10,5; số số hạng bao nhiêu? Đáp số toán là:
A 20 B 18 C 12 D 8
Câu 40: Cho p = 1, 2, …, 10 gọi Sp tổng 40 số hạng cấp số cộng mà số hạng
đầu p công sai 2p - Khi đó, S1 + S2 + … + S10 bằng:
A 80000 B 80200 C 80400 D 80600
Câu 41: Biết C , C , C1n 2n 3n lập thành cấp số cộng với n > 3, n bằng:
A 5 B 7 C 9 D 11
Câu 42: Xét câu sau:
(1) Dãy số u , u , u , gọi cấp số cộng với công sai d ≠ 0, un = un - 1 + d với n = 2, 3, …
(2) Nếu dãy số u , u , u , cấp số cộng với công sai d ≠ 0, un = u1 + (n + 1)d với n = 2, 3, …
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng
C Cả hai câu đúng D Cả hai câu sai.
Câu 43: Xét câu sau
(1) Dãy số u , u , u , gọi cấp số cộng với cơng sai d ≠
k k
k
u u
u
2
với k = 2, 3, …
(2) Nếu dãy số u , u , u , , u1 n cấp số cộng với công sai d ≠ 0,
1 n k n k
u u u u với k = 2, 3, …, n - 1
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng
(14)Câu 44: Tìm tất giá trị x để 1 sinx;sin ;1 sin 3 2x x số hạng liên tiếp CSC
A x k k,
Z
B x k2 ,k
Z
C
2
; ,
2
x k x k kZ
D.
5
; ; ,
2 6
x k x k x k kZ
Câu 45: Giải phương trình 1 13 x 280
A x 53 B x 55 C x 57 D x 59
Câu 46: Giải phương trình x+1 x+4x+28155
A x 11 B x C x 2 D x 1
Câu 47: Ba số 10;25;40 là:
A Ba số hạng liên tiếp cấp số cộng B Ba số hạng u u u1; ;4 8của cấp số cộng
C Ba số hạng cấp số cộng đó D Khơng thể ba số hạng cấp số cộng
Câu 48: Một tam giác vng có chu vi 3, cạnh lập thành cấp số cộng Tìm 3
cạnh
A
1
;1;
2 B
3
;1;
4 C
1
;1;
3 D
1
;1;
4
Câu 49: Bốn nghiệm phương trình x410x2m0 số hạng liên tiếp cấp số
cộng Hãy tìm m
A 16 B 21 C 24 D 9
Câu 50: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng thứ n un 1 3n cơng sai d bằng:
A 6 B 1 C -3 D 5
D CẤP SỐ NHÂN (CSN) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa: (un) cấp số nhân un+1 = un.q với n N*(q: công bội)
2 Số hạng tổng quát: unu q1 n1
với n 2
3 Tính chất số hạng: u2k uk1.uk1
với k 2
4 Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 (1 )
1
n
n n
S nu với q
u q
S với q
q
(15)Ví dụ 1: Tìm số hạng cấp số nhân ( )un có số hạng, biết: u3 3,u5 27
Giải
Ta có:
2
3
4
5 1
3
27 27
u u q
u u q
1
,
3
u q
Vậy có hai dãy số:
1
,1, 3, 9, 27
3
1
, 1, 3, 9, 27
Ví dụ 2: Tìm số hạng cấp số nhân mà tổng số 19 tích 216. Giải
Gọi số hạng liên tiếp cấp số nhân là: ; ;
a
a aq
q (với q công bội)
Theo giả thiết ta có:
216 (1)
19 (2)
a a aq q a
a aq q
Từ (1) (2) ta có a 6và
3
hc
2
q q
Vậy số hạng cần tìm là: 4, 6, hay 9, 6,
III BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Tìm CSN biết
a)
4
5
60 180
u u
u u
b)
7
1
728 91
u u
u u u
c)
7
1
1460 20
u u
u u
d)
7
1
325 65
u u
u u u
Bài 2: Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân sau:
a)
9
96 192
u u
b)
3
2
90 240
u u
u u
c)
20 17
3
8 272
u u
u u
d)
2
3
6
3
u u
u u
Bài 3: Cho số lập thành cấp số nhân Biết cơng bội ¼ số hạng tổng 2
số hạng đầu 25
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có góc tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tìm góc
ấy
Bài 5: Một cấp số nhân có số hạng đầu số hạng cuối 2187, công bội q = Hỏi cấp số
nhân có số hạng
Bài 6: Xác định cấp số nhân có cơng bội q = 3, số hạng cuối 486 tổng số hạng
728
Bài 7: Tìm cấp số nhân có số hạng, biết tổng số hạng đầu 31 tổng
5 số hạng sau 62
Bài 8: Tìm cấp số nhân có số hạng, biết tổng số hạng đầu số hạng cuối
27 tích hai số hạng lại 72
Bài 9: cho số x, y, z, theo thứ tự lập thành CSN, đồng thời chúng số hạng đầu, số hạng
(16)Bài 10: cho số x,y,z, theo thứ tự lập thành CSN với công bội q khác 1, đồng thời số
x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành CSC với cơng sai khác Tìm q
IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho CSN có
1
, 32
2
u u
Khi q ?
A
1
B 2 C 4 D Tất sai
Câu 2: Cho CSN có u11,u6 0,00001 Khi q số hạng tổng quát là?
A
1
,
10 10
n n
q u
B
1
1
, 10
10
n n
q u
C
1
,
10 10
n n
q u
D
1
1
,
10 10
n
n n
q u
Câu 3: Cho CSN có
1 1;
10
u q
Số 103
1
10 số hạng thứ bao nhiêu?
A Số hạng thứ 103 B Số hạng thứ 104 C Số hạng thứ 105 D Đáp án khác
Câu 4: Cho CSN có u1 3;q2 Số 192 số hạng thứ bao nhiêu?
A số hạng thứ 5 B số hạng thứ 6 C số hạng thứ 7 D Đáp án khác
Câu 5: Cho dãy số
; ,
2 b Chọn b để ba số lập thành CSN
A b=-1 B b=1 C b=2 D Đáp án khác
Câu 6: Cho CSN có
1
; 16
4
u u
Tìm q số hạng CSN?
A
1
;
2
q u
B
1
,
2
q u
C
1 4,
16
q u
D
1 4,
16
q u
Câu 7: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 24
11
16384
u
u Số hạng u
17 là:
A
3
67108864 B
3
368435456 C
3
536870912 D
3 2147483648
Câu 8: Cho cấp số nhân (un) biết u1 = ; u2 = -6 Hãy chọn kết đúng:
A u5 = -24 B u5 = 48 C u5 = -48 D u5 = 24
Câu 9: Tổng 10 số hạng cấp số nhân (un) với u1 = -3 công bội q = -2
A -511 B -1025 C 1025 D 1023
Câu 10: Cho cấp số nhân (un) có: u2 = -2 u5 = 54 Khi tổng 1000 số hạng cấp số nhân
A
1000
1
B
1000
3
2
C
1000
3
6
D
1000
1
Câu 11: Cho dãy 1, 2, 4, 8, 16, 32 , … cấp số nhân với:
A công bội phần tử 1 B công bội phần tử 1
C công bội phần tử 2 D công bội phần tử 2
Câu 12: Cho dãy: 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, … Đây cấp số nhân với
(17)C Công bội
2
3 phần tử 729 D Công bội
1
2 phần tử 729
Câu 13: Trong cấp số nhân gồm số hạng dương, hiệu số số hạng thứ thứ 4
là 576 hiệu số số hạng thứ số hạng đầu Tìm tổng số hạng cấp số nhân này:
A 1061 B 1023 C 1024 D 768
Câu 14: Nếu cấp số nhân (un) có cơng bội
1
q
1
6
u
thì:
A u1 8 B 128
1
1
u
C u1 8 D 128
1
1
u
Câu 15: Cho cấp số nhân (un) với u1 7, công bội q = tổng số hạng
7 889
S Khi số hạng cuối bằng:
A 484 B 996 C 242 D 448
Câu 16: Nếu cấp số nhân (un) với u4 u2 72 u5 u3 144 thì:
A u1 2;q12 B u1 12;q2 C u1 12;q2 D u1 4;q 2
Câu 17: Cho cấp số nhân 16; 8; 4; …; 64
1
Khi 64
số hạng thứ:
A 10 B 12 C 11 D Đáp số khác
Câu 18: Cho cấp số nhân (un)biết u 1 5; u 1 405 tông S n 1820, tìm n
A n B n C *n D n 7
Câu 19: Cho cấp số nhân (un)biết S 2 4; S 3 13 Tìm S5
A
181 121 hoac
16
S
B
35 121 hoac
16
S
C
185 144 hoac
16
S
D
183 141 hoac
16
S
Câu 20: Trong số sau, dãy số cấp số nhân:
A 1,-3,9,-27,81. B 1,-3,-6,-9,-12. C 1,-2,-4,-8,-16. D 0,3,9,27,81.
Câu 21: Cho cấp số nhân un , biết: u13,u2 6 Lựa chọn đáp án đúng.
A u3 12 B u3 12 C u3 18 D u3 18
Câu 22: Cho cấp số nhân un , biết: u1 3,u5 48 Lựa chọn đáp án đúng.
A u3 12 B u3 12 C u3 16 D u316
Câu 23: Cho cấp số nhân un , biết: u12,u2 8 Lựa chọn đáp án đúng.
A q 4 B q 4 C q 12 D q 10
Câu 24: Cho cấp số nhân un , biết: un 81,un19 Lựa chọn đáp án đúng.
A
1
q
B q 9 C q 9
D
1
q
(18)A
1
q
B q 3 C q 3
D
1
q
Câu 26: Cho cấp số nhân un , biết: u1 2,u2 10 Lựa chọn đáp án đúng.
A q 5 B q 8 C q 12 D q 12
Câu 27: Cho cấp số nhân un , biết: u12,u2 8 Lựa chọn đáp án đúng.
A u5 512 B u5 256 C S 5 256 D q 10
Câu 28: Cho cấp số nhân un có
1
, 32
2
u u
Khi q ?
A 2
B
1
C 4 . D Tất sai.
Câu 29: Cho cấp số nhân un có
1 1;
10
u q
Số 103
1
10 số hạng thứ bao nhiêu?
A số hạng thứ 103 B số hạng thứ 104 C số hạng thứ 105 D Đáp án khác
Câu 30: Cho cấp số nhân un , biết:
1 12,
2
q
u
Lựa chọn đáp án đúng.
A
8
3 64
u
B
8
1 64
u
C
8
1 64
S
D
8
1 264
S
Câu 31: Trong dãy số un cho số hạng tổng quát unsau, dãy số cấp số
nhân:
A
1 n n u
B
1 n n u
C
1 n
u n
D
2
3 n
u n
Câu 32: Cho cấp số nhân un có u1 3;q2 Số 192 số hạng thứ bao nhiêu?
A số hạng thứ 6 B số hạng thứ 5 C số hạng thứ 7 D Đáp án khác
Câu 33: Cho cấp số nhân un , biết: u12,u3 8 Lựa chọn đáp án đúng.
A S 6 130 B u5 256 C S 5 256 D q 4
Câu 34: Cho cấp số nhân un có
1
; 16
4
u u
Tìm q số hạng cấp số nhân?
A
1
1 4,
16
q u
B A.
1
;
2
q u
C
1
1
,
2
q u
D
1
1 4,
16
q u
Câu 35: Xác định x để số 2x-1;x; 2x+1 lập thành cấp số nhân.
A
1
x
B
1
x
(19)
Câu 36: Cho cấp số nhân un có
20 17
1
8 272
u u
u u
Công bội cấp số nhân là:
A q 2 B q 4 C q 4 D q 2
Câu 37: Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời
các số x,2y,3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Tìm q?
A
1
q
B
1
q
C
1
q
D q 3
Câu 38: Cho cấp số nhân un có
1
2
1
3
u u
u u
Tổng 10 số hạng cấp số nhân là:
A
10
63 32( 1)
S
B
10
63 32
S
C
10
63 32(1 2)
S
D
10
63 32( 1)
S
Câu 39: Cho cấp số nhân un có tổng n số hạng là:
3
n
n n
S
Số hạng thứ cấp số nhân?
A
5
2
u
B
5
1
u
C
5
5
u
D
5
5
u
Câu 40: Chọn khẳng định Sai khẳng định: Nếu a,b,c lập thành CSN (khác không) A Nghịch đảo chúng lập thành CSN
B Bình Phương chúng lập thành CSN C c,b,a theo thứ tự cúng lập thành CSC D Tất khẳng định sai
Câu 41: Trong dãy số sau, dãy số CSN.
A
1
2
1
n n
u
u u B un1 nun C
1
1
2
n n
u
u u D un1un1
Câu 42: Trong dãy số sau, dãy số CSN.
A
1 n n u
B
1 n n u
C
1 n
u n
D
2
3 n
u n
Câu 43: Xác định x để số 2x-1; x ; 2x+1 lập thành CSN?
A
1
x
B x
C
1
x
D Khơng có giá trị x
Câu 44: Cho dãy số (xn) xác định
1
12
n = 2, 3, 4,
n n
x x x
(20)A
28697812
1594323 B
28697813
1594323 C
717453
398581 D
28697813 1594324
Câu 45: Cho cấp số nhân: -2; x; -18; y Kết sau đúng?
A x=6 y=-54
B
x=-10 y=-26
C
x=-6 y=-54
D
x=-6 y=54
Câu 46: Trong dãy số cho công thức truy hồi sau, chọn dãy số cấp số
nhân:
A
1
2
2
n n u
u u
B
1
1
1
n n
u
u u
C
1
1
3
n n
u
u u
D n ch÷ sè
7, 77, 777, , 777
Câu 47: Dãy u , u , u , gọi cấp số nhân với công bội q ta có
A q số tuỳ ý un = un - 1q với n = 2, 3, …
B q ≠ 0; q ≠ un = un - 1q + un - 2q với n = 3, 4, …
C q ≠ 0; q ≠ un = un - 1q với n = 2, 3, 4, …
D q số khác un = un - + q với n = 2, 3, …
Câu 48: Xét câu sau:
(1) Nếu dãy số u , u , u , , u1 n cấp số nhân với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) un = u0qn - với n = 1, 2, 3, …
(2) Nếu dãy số u , u , u , , u1 n cấp số nhân với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1)
k k k
u u u với k = 2, 3, …
Trong hai câu trên:
A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng C Cả hai câu đúng D Cả hai câu
đều sai
Câu 49: Cho cấp số nhân u , u , u , , u1 n với công bội q (q ≠ 0; q ≠ 1) Đặt:
n n
S u u u Khi ta có:
A
n
1 n
u q S
q
B
n
1 n
u q S
q
C
n
1 n
u q
S
q
D
n
1 n
u q
S
q
Câu 50: Nếu s hạng cấp số nhân lùi vô hạn số nguyên dương, công
bội nghịch đảo số nguyên dương tổng dãy 3, tổng hai số hạng là:
A
1
3 B
2
3 C
8
3 D 2
Câu 51: Cho a1, a2, a3, … dãy số dương cho: an 2 a an n 1 với nguyên dương m Khi
A Dãy số a1, a2, a3, … cấp số nhân với giá trị dương a a2
B Dãy số a1, a2, a3, … cấp số nhân a1 = a2
C Dãy số a1, a2, a3, … cấp số nhân a1 =
(21)Câu 52: Cho cấp số nhân có n số hạng, số hạng 1, công bội r tổng s,
trong r s khác Tổng số hạng cấp số nhân tạo thành cách thay số hạng cấp số nhân ban đầu số nghịch đảo là:
A
1
s B n
1
r s C n
s
r D
n
r s
Câu 53: Các số x; 4; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân số x; 5; y theo thứ tự đó
lập thành cấp số cộng Khi |x - y| bằng:
A 6 B 10 C 4 D Đáp số khác
Câu 54: Giải phương trình 1 x x 2x2007 0
A x1 B x C x 11 D x 1 x2
Câu 54: Trong dãy số sau, dãy số CSN.
A.
1
2
1
n n
u
u u
B.un1nun C
1
1
2
n n
u
u u