Trắc nghiệm giới hạn dãy số - Giáo viên Việt Nam

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương. cộng với 1[r]

(1)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

1 Giới hạn đặc biệt:

lim

n n 

;

1

lim k ( )

n n k

  

  

lim n ( 1)

n q q

 

; nlim C C 2 Định lí :

a) Nếu lim un = a, lim = b

 lim (un + vn) = a + b

 lim (un – vn) = a – b

 lim (un.vn) = a.b

 lim n

n

u a

v b (nếu b  0)

b) Nếu un  0, n lim un= a

a  lim un  a

c) Nếu un vn,n lim =

thì lim un =

d) Nếu lim un = a lim un a

3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

1

u q

  q 1

lim n  limnk (k )    limqn (q1)

2 Định lí:

a) Nếu limu n

lim

n

u 

b) Nếu lim un = a, lim =  lim n n

u v = 0

c) Nếu lim un = a  0, lim =

thì lim

n n

u v =

nn

neáu a v neáu a v

 



  



d) Nếu lim un = +, lim = a

thì lim(un.vn) =

0 nếu a nếu a

 



  



* Khi tính giới hạn có dạng vô

định: 0,



,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vô định

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Phương pháp:

 Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với số a0 nhỏ tùy ý tồn số na

sao cho un a  n na.

 Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0 .

 Để chứng minh limun  ta chứng minh với số M 0 lớn tùy ý, tồn số tự

nhiên n cho M un M  n n M

 Để chứng minh limun   ta chứng minh lim(un)

(2)

Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A Nếu limu n , limu  n B Nếu limu n , limu   n

C Nếu limu  , limn u n 0. D Nếu limun a, limun  a

Câu Giá trị lim

1 

n bằng:

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu Giá trị lim k

n (k *) bằng:

A 0 B 2 C 4 D 5

Câu Giá trị

2

sin lim

2 

n n bằng:

A 0 B 3 C 5 D 8

Câu Giá trị lim(2n1) bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu Giá trị

2

1 lim  n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu Giá trị

2 lim

1 

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu Giá trị cos sin lim

1 



n n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu Giá trị

1 lim

2   n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 10 Giá trị

3

2

3 lim n n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 11 Giá trị lim

1 

 n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

2 lim

2  



n A

n bằng:

A  B   C 2 D 1

2

lim  



n B

n bằng:

A  B   C 0 D 1

2 1

lim  



n C

(3)

2 lim

2 

 n n

A

n bằng:

A  B   C

1

2 D 1

2

sin

lim 

 n n n

B

n bằng:

A  B   C  3 D 1

2



 

C

n n bằng:

A  B   C 0 D 1

4

lim

3

 

 

n D

n n bằng:

A  B   C 0 D 4

Câu 19 Giá trị lim !0

n

a

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 20 Giá trị limn a với a0 bằng:

A  B   C 0 D 1

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Phương pháp:

 Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn

 Khi tìm

( ) lim

( ) f n

g n ta thường chia tử mẫu cho nk

, k bậc lớn tử mẫu

 Khi tìm limk f n( ) mg n( ) lim ( ) lim ( )f n  g n  ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên

+ Dùng đẳng thức:

 a b  a b a b; 3a 3b3a23ab3b2  a b

 Dùng định lí kẹp: Nếu un vn,n lim = lim un =

Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:  Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn

 Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu

 Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu

Câu Cho dãy số  un với n 4n n u

1

2

 

n n

u

(4)

A

4 B

1

2 C D 1.

Câu Kết cos lim

1

 



 



 

n n

n là:

A 4. B 5. C –4. D 4

1

Câu Giá trị

2 lim

1  



n A

n bằng:

A  B   C

2 

D 1

Câu Giá trị

2

4

lim

(3 1)

 





n n

B

n bằng:

A  B   C

4

9 D 1

Câu Kết

2

4

2 lim

3

  



n n

n là

A 3 

B

2 

C

1 

D

1

Câu Giới hạn dãy số  un với

4

3

4

 



n

n n u

n là:

A   B . C

3

4 D 0

Câu Chọn kết

3 2 5

lim

3

 



n n

n :

A 5 B

2

5 C   D .

Câu Giá trị

2

lim

3

 



 

n n

A

n n bằng:

A  B   C

2

3 D 1

Câu Giá trị

2

2 lim

3

 

 

n n

B

n n bằng:

A  B   C 0 D

1 1

 4 9

17

2

lim

1

 





n n

C

n bằng:

(5)

3

2

4

1

lim

2

  



  

n n

D

n n n bằng:

A  B   C

3

4

1

2 

 D 1

3

4

3

lim

2

  

  

n n

C

n n n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 13 Giá trị

7

2

( 2) (2 1) lim

( 2)

 





n n

F

n bằng:

A  B   C 8 D 1

3

2

1 lim

(2 1)  



n C

n n bằng:

A  B   C

1

4 D 1

3

4

3

lim

4

 



 

n n

D

n n bằng:

A  B   C 0 D 1

3 2 1

lim

2

 





n n

E

n bằng:

A  B   C 0 D 1

4

3

2

lim

  



 

n n n

F

n n n bằng:

A  B   C

3

3 1 D 1

Câu 18 Cho dãy sốu với n  

2

1

1   

 

n

u n

n n Chọn kết limu là:n

A.  B.0 C.1 D..

Câu 19

10 lim

1

 

n n :

A. B.10 C.0 D. 

Câu 20 Tính giới hạn:

1 lim

1    

n

n n

A.1. B.0 C.1 D.

1

 

2

1 lim

3

    

 n n

A.0 B.

1

3 C.

2

(6)

Câu 22 Chọn kết

2

1 lim

3



 

 n

n

n .

A 4. B 3 C 2. D

1

lim

  



  

k k

p p

a n a n a D

b n b n b (Trong k p, số nguyên dương;



k p

a b ). bằng:

A  B   C Đáp án khác D 1

Câu 24 Kết

2

2 lim

3 2.5



 

n n n

là:

A 

B

1 50 

C

5

2 D

25 

Câu 25

1

3 4.2

lim

3.2



 



n n n n

bằng:

A . B   C 0 D 1.

Câu 26 Giá trị 1

3.2 lim

2  

 



n n n n

C

bằng:

A  B   C

1 

D 1

Câu 27 Giá trị lim 3  

n n

là:

A   B . C 2. D 2.

Câu 28 Giá trị 1 3.2 lim

2  3

 



n n n n

K

bằng:

A

1 

B   C 2 D 1

Câu 29

5 lim

3  

n n

:

A. B.1 C.0 D. 

Câu 30

1

2

4

lim

3



 

n n n n

:

A.0 B.

1

2 C.

1

4 D..

3 

 



n n

n n C

bằng:

A  B

1

2 C 0 D 1

1;

a b

2

1

lim     

n

a a a

(7)

A  B   C 1  

b

a D 1

Câu 33 Tính giới hạn dãy số

1

lim

 

   



   

k k

p p

a n a n a n a A

b n b n b n b với a bk p 0 :

Câu 34

2

lim sin

5

 



 

 

n

n  n

bằng:

A . B 0 C 2. D  

Câu 35 Giá trị  

2

lim

  

M n n n

bằng:

A  B   C 3 D 1

2

lim

   

H n n n

bằng:

A  B   C

1

2 D 1

Câu 37 Giá trị  

2

lim

  

B n n

bằng:

A  B   C 0 D 1

Bài 40 Giá trị  

2

lim

  

K n n n

bằng:

A  B   C

1

2 D 1

2

lim n 1 3n 2 là:

A . B   C 0 D 1.

2

lim

  

A n n n

bằng:

A  B   C 3 D 1

3

lim

  

B n n n

bằng:

A  B   C 0 D 3

3

2

lim 2

   

D n n n n

bằng:

A  B   C

1

3 D 1

3

lim

   

M n n n

bằng:

A

1 12 

B   C 0 D 1

3

2

lim

   

N n n n

bằng:

(8)

3 2

lim

      

K n n n n n

bằng:

A  B   C

5 12 

D 1

3

lim

   

N n n n

bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 46 Giá trị lim n n 1 n1 là:

A 1. B 0 C 1. D .

3

lim

   

H n n n n

bằng:

A  B   C

2 

D 1

2

lim 2

   

A n n n

bằng:

A  B   C 2 D 1

Câu 49 lim 200 35  n52n :2

A.0 B.1. C.. D. 

3

2 sin lim

1

 





n n

A

n bằng:

A  B   C 2 D 1

n

3

! lim

2 

 n B

n n bằng:

A  B   C 0 D 1

1 lim

( 3 1)

 

  

n D

n n n bằng:

A  B   C

2

3 D 1

Câu 53 Giá trị Elim( n2   n )n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 54 Giá trị F lim n 1 n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 55 Giá trị H lim(k n2 1 pn21) bằng:

1 1

2 2 ( 1)

   

    

n

u

n n n n :

A  B   C 0 D 1

3 3

3

( 1)

3

   



 

n

n n

u

(9)

A  B   C

9 D 1

1 1

(1 )(1 ) (1 )

   

n

u

T T T

( 1)

 

n n n T

:

A  B   C

1

3 D 1

3 3

2 1

  



  

n

n u

n :

A  B   C

2

3 D 1

2



 

n

n k

k

k u

:

A  B   C 3 D 1

Câu 61 Tính giới hạn dãy số un  q 2q2 nqn với q 1 :

A  B   C  

2

1 q

q

D  

2

1 q

q

Câu 62 Tính giới hạn dãy số 1







n n

k

n u

n k :

A  B   C 3 D 1

3

2

1

lim

(2 3)

    





n n n n

B

n :

A  B   C 3 D

3 

Câu 64 Tính giới hạn dãy số  

2

lim

   

C n n n

:

A  B   C 3 D

1

3

2

lim

      

D n n n n n

:

A  B   C

1 

D 1

Câu 66 Cho dãy số ( )x xác định n

2

1

, ,

2 

 n  n  n  

x x x x n

Đặt

1 1

   

   

n

S

x x x Tính limS n

A  B   C 2 D 1

Câu 67 Cho dãy ( )x xác định sau: k

1

2! 3! ( 1)!

   



k

k x

k

Tìm limu với n     2011

n n n

n n

u x x x

(10)

A  B   C 1

2012! 

D

1

2012! 

Câu 68 Cho dãy số ( )u xác định bởi: n

0

1

2011



   

 



 n n n

u

u u

u Tìm

3

limun

n .

A  B   C 3 D 1

Câu 69 Cho dãy x0 xác định sau:

1 ( ) x  f x

x Tìm 0; .

A  B   C 2010 D 1

Câu 70 Tìm limu biết n

(2 1)

2

    





n

n n

u

n

A  B   C

1

2 D 1

3 2 2 1

( ) 1

3

   

 

 

  



x x

x

f x x

m x

A  B   C 2 D

3 6

2

Câu 72 Tìm limu biết n

2

1

( )

2   

 



   



x

f x x

x m x

A  B   C 2 D 1

2

( ) 1

2

   



 

 

  



x x

f x x

x

x mx m x1.

A  B   C

1

3 D 1

1



 

n n

k u

n k

A  B   C 3 D 1

Câu 75 Tìm limu biết n dau can

2 

    

n n u

A  B   C 2 D 1

Câu 76 Gọi g x( ) 0,   x dãy số xác định  Tìm xlim ( ) lim2 f x x2 2x 3  3

A  B   C

4

(11)

Câu 77 Cho dãy số

2

2 2

1 2 2

1 1

3

2

   

        

   

A x x x x x x x x

xác định sau

1

 x x

Đặt 

x

Tìm  x32x 3 2 x 0 .

A  B   C

1

2 D 1

Câu 78 Cho a b, å,( , ) 1;a b  nab1,ab2,  Kí hiệu r số cặp số ( , ) n u v å å

sao cho n au bv Tìm 

1 lim

  

n n

r

n ab

A  B   C

1

ab D ab1

Câu 79 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định :

1

,

2



    

  

 

 n n

u

u n

u Tìm kết của

limu n

A.0 B.1. C.1. D.

1

Câu 80 Tìm giá trị

1 1

2

 

        

 n 

S

A. 1 B. 2 C.2 2 D.

1 .

Câu 81 Tính giới hạn:  

1 1

lim

1.2 2.3

 

  

 



 n n 

A.0 B.1. C.

3

2 D Khơng có

giới hạn

1 1

lim

1.3 3.5

 

  

 



 n n 

A.1. B.0 C.

2

3 D.2.

1 1

lim

1.3 2.4

 

  

 



 n n 

A.

3

4 B.1. C.0 D.

(12)

1 1

lim

1.4 2.5 ( 3)

 

  

 



 n n  .

A 11

18 B 2. C 1. D

3

Câu 85 Tính giới hạn: 2

1 1

lim 1

2

     

  

     

 

     

 n  .

A 1. B

1 C

1

4 D

3

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

lim

n n  ;

1

lim k ( )

n n k

  

  

lim n ( 1)

n q  q  ; nlim C C

2 Định lí :

a) Nếu lim un = a, lim = b

 lim (un + vn) = a + b

 lim (un – vn) = a – b

 lim (un.vn) = a.b

 lim n

n

u a

v b (nếu b  0)

b) Nếu un  0, n lim un= a

a  lim un  a

c) Nếu un vn,n lim =

thì lim un =

d) Nếu lim un = a

lim un a 3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

1

u q

  q 1

lim n  limnk (k )    limqn (q1)

2 Định lí:

a) Nếu lim u n

lim

n

u 

b) Nếu lim un = a, lim =  lim n n

u v

= c) Nếu lim un = a  0, lim =

thì lim

n n

u v

=

nn

neáu a v neáu a v

 

  



d) Nếu lim un = +, lim = a

thì lim(un.vn) =

0 neáu a neáu a

 

  



* Khi tính giới hạn có dạng vơ

định: 0,



,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định

(13)

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Phương pháp:

 Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với số a0 nhỏ tùy ý tồn số

a

n cho un a  n na

 Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0

 Để chứng minh limun  ta chứng minh với số M 0 lớn tùy ý, tồn số tự

nhiên n cho M un M  n n M

 Để chứng minh limun   ta chứng minh lim(un)

 Một dãy số có giới hạn giới hạn

Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A Nếu limu n , limu  n B Nếu limu n , limu   n

C Nếu limu  , limn u n 0. D Nếu limun a, limun  a

Hướng dẫn giải: Chọn C.

Theo nội dung định lý.

Câu Giá trị lim

1 

n bằng:

A 0 B 1 C 2 D 3

Hướng dẫn giải: Chọn A.

Với a0 nhỏ tùy ý, ta chọn

1  

a n

a ta có

1

1 1  

 a  a

a n n

n n nên có

1

lim

1 

n .

Câu Giá trị lim k

n (k *) bằng:

A 0 B 2 C 4 D 5

1 k a n

a ta có

1

    a

k k a

a n n

n n nên có

1 lim k 0

n .

Câu Giá trị

2

sin lim

2 

n n bằng:

A 0 B 3 C 5 D 8

2  

a n

a ta có

2

sin 1

2  2 2  

  a  a

n

a n n

n n n nên có

2

sin

lim

2  

n

(14)

Câu Giá trị lim(2n1) bằng:

A  B   C 0 D 1

Với số dương M lớn tùy ý ta chọn

1

 

M M n

Ta có: 2n 1 2nM  1 M  n nM  lim(2n1).

Câu Giá trị

2

1 lim  n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Với số dương M lớn tùy ý ta chọn n thỏa M

2 1

 

M M n

M n

2 4

2

 

 nM  M M

Ta có:

2 1 1

lim

 

   M  

n n

M n n

n n

Vậy

2

1

lim  n  

n .

Câu Giá trị

2 lim

1 

n bằng:

A  B   C 0 D 1

2

1

 

   

 

a

n a

Suy

2

lim

1    1

 a n na 

n n .

Câu Giá trị cos sin lim

1 



n n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Ta có 2

cos sin 

n n

n n mà 2

1 cos sin

lim lim

1 

  



n n

Câu Giá trị

1 lim

2   n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

(15)

Với số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn

1

 

   

 

a

n a

Ta có:

1 1

lim

2

 

     

  a 

n n

a n n

n n n .

3

2

3 lim n n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Với M 0 lớn tùy ý, ta chọn    

 

M

M n

Ta có:

3

2

3



     M

n n

n M n n

n n

Vậy

3

2

3

lim n n

n .

1 

 n

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Với M 0 lớn tùy ý, ta chọn

2

1

3

 

   

 

M n

a

Ta có:

2

1



        

  M

n

n n M n n

n n

Suy lim

1 

  

n

n .

2 lim

2  



n A

n bằng:

A  B   C 2 D 1

2   

a n

a

Ta có:

2 5

2

2 2



     

  a a

n

a n n

n n n

Vậy A2.

2

lim  



n B

n bằng:

A  B   C 0 D 1

(16)

Chọn C.

Với số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn n thỏa a

2

1 

 

a a

n

a n

2

1  13

 na  a a

a

Ta có:

2

1 

    

 a

n

a n n B

n .

2 1

lim  



n C

n bằng:

A  B   C 0 D 1

Hướng dẫn giải: Chọn D.

1  

a n

a

Ta có:

2 1 2 1

1

1 1

 

      

  a a

n n

a n n

n n n

Vậy C1

2 lim

2 

 n n

A

n bằng:

A  B   C

1

2 D 1

2

sin

lim 

 n n n

B

n bằng:

A  B   C  D 1

2



 

C

n n bằng:

A  B   C 0 D 1

4

lim

3

 

 

n D

n n bằng:

A  B   C 0 D 4

Câu 19 Giá trị lim !0

n

a

n bằng:

(17)

Chọn C.

Gọi m số tự nhiên thỏa: m 1 a Khi với n m 1

Ta có:

0

! !



 

    

   

n m m

n a a

a a a a a a

n m m n m m

Mà

lim

1



 



 



 

n m

a

m Từ suy ra: lim !0

n

a

n .

Câu 20 Giá trị limn a với a0 bằng:

A  B   C 0 D 1

Nếu a1 ta có đpcm

 Giả sử a1 Khi đó:  1  1

 

    

 

n

n n

a a n a

Suy ra: 0  1 

na a

n nên limn a 1

 Với 0 a

1

1 lim lim

  n   n a 

a a .

Tóm lại ta ln có: limna 1 với a0

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Phương pháp:

 Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn

 Khi tìm

( ) lim

( ) f n

g n ta thường chia tử mẫu cho nk

, k bậc lớn tử mẫu

 Khi tìm limk f n( ) mg n( ) lim ( ) lim ( )f n  g n  ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên

+ Dùng đẳng thức:

 a b  a b  a b; 3a 3b3a23ab3b2 a b

 Dùng định lí kẹp: Nếu un vn,n lim = lim un =

Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:  Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn

 Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu

(18)

Câu Cho dãy số  un với n 4n n u

1

2

 

n n

u

u Chọn giá trị limu số n sau:

A

4 B

1

2 C 0 D 1.

Chứng minh phương pháp quy nạp tốn học ta có n2 ,n   n

Nên ta có :

1

2

2 2

 

       

 

n n

n n n n n

n n n

n

Suy :

1

2       

n

n u

, mà

lim lim

2  

  

   

n

n u

Câu Kết cos lim

1

 



 



 

n n

n là:

A 4. B 5. C –4. D 4

1

2 2

cos

1 1

  

  

n n n n

n n n

Ta có 2

1

lim

1 /

lim

1

   

 

n

n n n ;lim 210

n

n 

2

cos cos

lim lim 5

1

   

      

 

   

n n n n

n n .

Câu Giá trị

2 lim

1  



n A

n bằng:

A  B   C

2 

D 1

Câu Giá trị

2

4

lim

(3 1)

 





n n

B

n bằng:

A  B   C

4

9 D 1

Câu Kết

2

4

2 lim

3

  



n n

n là

A 3 

B

2 

C

1 

D

(19)

Chọn A.

 2

2

4

1 / 1/

2 1 0

lim lim

3

3 /

  

     

  



 

n n

n n .

Câu Giới hạn dãy số  un với

4

3

4

 



n

n n u

n là:

A   B . C

3

4 D 0

4

3

3 /

lim lim lim

4 5 /

 

   

 

n

n n n

u n

n n .

Vì

3 /

lim ;lim 1

4 /

 



 

 n 

n n

Câu Chọn kết

3 2 5

lim

3

 



n n

n :

A 5 B

2

5 C   D .

 3

3 2 5 / /

lim lim

3 /

 

 

 

n n

n

n n .

Vì

1 / 5 / 3

1

lim ;lim

3 / 5

 

 



n n

n

n .

Câu Giá trị

2

lim

3

 



 

n n

A

n n bằng:

A  B   C

2

3 D 1

Ta có:

2

3

2 2

lim

1 3

3  

 

 

n n A

n n .

Câu Giá trị

2

2 lim

3

 

 

n n

B

n n bằng:

A  B   C 0 D

1 1

(20)

Ta có:

2

1

lim lim

1

3 1 3



  



 

n n

B

n n

 4 9

17

2

lim

1

 





n n

C

n bằng:

A  B   C 16 D 1

Ta có:

8 9

2

17

17 17

1 2

(2 ) (1 ) (2 ) (1 )

lim lim 16

1

(1 )

   

  

 

n n

n n n n

C

n

n n

3

2

4

1

lim

2

  



  

n n

D

n n n bằng:

A  B   C

3

4

1

2 

 D 1

Ta có:

3

2 3

4

3

1

lim

2

1

2

 

  

 



 

 

  

  

 

 

n

n n

D

n

n n

3

4

3

lim

2

  

  

n n

C

n n n bằng:

A  B   C 0 D 1

Chia tử mẫu cho n2 ta có

4

5

3

3 1

lim

3 1

2

 

 

  

n n n

C

n n n .

7

2

( 2) (2 1) lim

( 2)

 





n n

F

n bằng:

A  B   C 8 D 1

(21)

Ta có:

7

5

2

1

lim

5

   

 

   

   

 

 



 

 

n n

F

n

3

2

1 lim

(2 1)  



n C

n n bằng:

A  B   C

1

4 D 1

3

4

3

lim

4

 



 

n n

D

n n bằng:

A  B   C 0 D 1

3 2 1

lim

2

 





n n

E

n bằng:

A  B   C 0 D 1

4

3

2

lim

  



 

n n n

F

n n n bằng:

A  B   C

3

3 1 D 1

Câu 18 Cho dãy sốu với n  

2

1

1   

 

n

u n

n n Chọn kết limu là:n

A.  B.0 C.1 D.

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có:

 

2

lim lim

1 

 

 

n

u n

n n

  2 

4

1 2

lim

1

 



 

n n

3

4

2 2

lim

1

  



 

n n n

n n

(22)

2

2 2

lim

1

  

 

 

n n n n

n n

Câu 19

10 lim

1

 

n n :

A.. B.10 C.0 D. 

Hướng dẫn giải: Chọn C

Ta có:

4

2

10 10

lim lim

1

1  1

   

n n n

n n

Nhưng

1

lim 1  1

n n

10 lim 0

n

Nên

10

lim

1

 

n n

1 lim

1  

 

n

n n

A.1. B.0 C.1 D.

1

Ta có:

2

1

lim lim

1

1 1

1

 

  

 

n n n n

n n

n n

 

2

1 lim

3

    

 n n

A.0 B.

1

3 C.

2

3 D.1.

Ta có:

 

2

1 1

lim lim lim

4

3 4 3

    

  

  

n n

n

Câu 22 Chọn kết

2

1 lim

3



 

 n

n

n .

A 4. B 3 C 2. D

1

(23)

2

1 lim

3



 

 n

n n

2

1

1 1

lim

3 2

1 

  



n n

n

1

3

1

   

1

lim

  



  

k k

p p

a n a n a D

b n b n b

(Trong k p, số nguyên dương;



k p

a b ). bằng:

Ta xét ba trường hợp sau

 k p Chia tử mẫu cho nk ta có:

1

0

if 0

lim

if



    



 

  

   

k

k k k p

p k p

p k k

a a

a a b

n n

D

b b a b

n n .

 kp Chia tử mẫu cho nk ta có:

1

0

lim



  

 

 

k

k k

k

k k

a a

n n

D

b b

b

n .

 k p Chia tử mẫu cho np :

0

lim

  

 

 

k

p k p

p p

a a

n n

D

b b

n .

Câu 24 Kết

2

2 lim

3 2.5



 

n n n

là:

A 

B

1 50 

C

5

2 D

25 

2 1

2 5 25 25

lim lim

3 2.5 50

2

  



  

   

    

n n

n n n

Câu 25

1

3 4.2

lim

3.2



 



n n n n

bằng:

A . B   C 0 D 1.

(24)

1

2

3

3 4.2 3 2.2

lim lim lim

3.2 3.2 2

4



     

 

     

     

     

 

     

        

 

n n

n

n n n n

n n n n n

n

2

1

3

lim

4 2

3

4

     

 

     

     

   

   

 

   

        

 

n n

n

3.2 lim

2  

 



n n n n

C

bằng:

A  B   C

1 

D 1

Ta có:

1

2

3

3.2 3

lim lim

2 3

2

3

 

    

  

  

  

    

n

n n

n n n

C

Câu 27 Giá trị lim 3  

n n

là:

A   B . C 2. D 2.

 

lim lim

5          

  

 

n

n n n

Vì

3

lim ;lim 1

5        

 

n n

2  3

 



n n n n

K

bằng:

A

1 

B   C 2 D 1

2

3

1

lim

3

2

3  

    

 

      

n

K

5 lim

3 

(25)

A. B.1 C.0 D. 

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có:

1

5

lim lim

3

5                        n n n n n Nhưng

lim 1

5                  n , lim 5               n n * 5                  n n n Nên lim    n n Câu 30 4 lim     n n n n :

A.0 B.

1

2 C.

1

4 D..

Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: 4 lim     n n n n 2 lim 4           n n 1 2 lim 4                 n n Vì

lim 0; lim

2               n n

3 

   n n n n C bằng:

A  B

1

2 C 0 D 1

Câu 32 Cho số thực a,b thỏa a 1;b 1 Tìm giới hạn

2 lim          n n

a a a

I

b b b .

A  B   C

1  

b

a D 1

Ta có 1, , , ,a a2 a cấp số nhân công bội n a

1 1         n n a

a a a

a Tương tự 1         n n b

b b b

(26)

Suy lim

1

lim

1





 

 

 



n

a

b a

I

b a

b

( Vì a 1,b1  liman1limbn10).

1

lim

 

   



   

k k

p p

a n a n a n a A

b n b n b n b

với a bk p 0 :

Ta chia làm trường hợp sau

TH 1: n k , chia tử mẫu cho nk, ta

1

1 0

lim



  

 

  

k

k k

k

p p

p k

a a

n n

A

b b b

b

n n .

TH 2: k p, chia tử mẫu cho nk, ta

1

0

lim



  

    



 

  

 

  

k

k k k p

p p k p

k p k p k

a a

a a b

n n

A

b b b a b

n n n

TH 3: k p, chia tử mẫu cho np, ta

1

1 0

lim



  



  

 

  

k k

p k p k p

p

p p

a a a

n n n

A

b b

b

n n .

Câu 34

2

lim sin

5

 



 

 

n

n  n

bằng:

A . B 0 C 2. D  

2 3 sin

lim sin lim

5

n n

n n n

n  

 

 

 

     

 

   

 

Vì

3 sin

lim ;lim 2

n n

n 

 

 

   

 

 

sin 1 1 sin

5 ;lim 0 lim 2 2

n n

n n n n

   

 

     

 

  .

 

lim

  

(27)

A  B   C 3 D 1

2

6

lim

6

 

 

n M

n n n

2

lim

   

H n n n

bằng:

A  B   C

1

2 D 1

Ta có:

2

1

lim lim

2 1

1 1 1

 

  

  

n n

H

n n n

n n

2

lim

  

B n n

bằng:

A  B   C 0 D 1

Ta có:

1 lim  1

    

 

 

B n

n

Bài 40 Giá trị  

2

lim

  

K n n n

bằng:

A  B   C

1

2 D 1

2

lim n 1 3n 2 là:

A  B   C 0 D 1.

 2   2

lim n 1 3n 2 limn 1/ n  / n  

Vì  

2

limn;lim 1/ n  / n  1 0

2

lim

  

A n n n

bằng:

A  B   C 3 D 1

Ta có  

2

6

lim lim

6  

   

 

n n n

A n n n

(28)

2

6

lim lim

6

6 1 1

  

   

n

n n n

n

3

lim

  

B n n n

bằng:

A  B   C 0 D 3

Ta có:  

3

lim

  

B n n n

 

2

2 3

3 2

3

9 lim

9



   

n

n n n n n n

2

9

lim

9

1 1

 

 

   

 

 n n

3

2

lim 2

   

D n n n n

bằng:

A  B   C

1

3 D 1

Ta có:    

3

2

lim lim

     

D n n n n n n

2

3

2 3 2 2

2

lim lim

2 ( )

 

     

n n

n n n n n n n n n

2

3

2

lim lim

3

2 2

1 (1 ) 1

  

     

n n n .

3

lim

   

M n n n

bằng:

A

1 12 

B   C 0 D 1

Ta có:

2

3

2 2

3

1

lim

12

(1 )



 

     

n M

n n n n n n

3

2

lim

   

N n n n

bằng:

A  B   C 0 D 1

(29)

Ta có:    

3

2

lim lim

     

N n n n n n

Mà:  

2

1

lim lim

4

   

 

n n

3 

3

2 2

3

lim lim

(8 )

   

   

n n n n

n n n n n n

Vậy N 0

3 2

lim

      

K n n n n n

bằng:

A  B   C

5 12 

D 1

Ta có:    

3 2

lim 3lim

       

K n n n n n n

Mà:  

3

lim

3

   

n n n

;  

2

lim

4

   

n n n

Do đó:

1

3 12

  

K

3

lim

   

N n n n

bằng:

A  B   C 0 D 1

2

3

3 2 2

3

lim

( 1)



 

     

n N

n n n n n n

Câu 46 Giá trị lim n n 1 n1 là:

A 1. B 0 C 1. D .

   

 

1

lim 1 lim lim

1 1 1/ 1/

    

         

         

 

n n n n

n n n

n n n n n

3

lim

   

H n n n n

bằng:

A  B   C

2 

D 1

3   

lim lim

3

      

(30)

2

lim 2

   

A n n n

bằng:

A  B   C 2 D 1

Ta có

2

lim  1

     

 

A n

n n

Do

2

lim ;lim 1  12

 

 

n

n n

Câu 49 lim 200 35  n52n :2

A.0 B.1. C.. D. 

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có:

5 5

5

200

lim 200 3 n 2n limn  3

n n

Nhưng

5

200

lim  3  3 0

n n lim n

Nên lim 200 35  n52n2  

3

2 sin lim

1

 





n n

A

n bằng:

A  B   C 2 D 1

3

sin 2

lim

1

 

 



n n A

n

3

! lim

2 



n B

n n bằng:

A  B   C 0 D 1

Ta có:

n n

3 3

!

0

2     

  

n

n n n

B

n n n n n n

1 lim

( 3 1)

 

  

n D

n n n bằng:

A  B   C

2

3 D 1

(31)

Câu 53 Giá trị Elim( n2  n )n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 54 Giá trị F lim n 1 n bằng:

A  B   C 0 D 1

Câu 55 Giá trị H lim(k n2 1 pn21) bằng:

Xét trường hợp

TH1: k  p H   TH 2: k p H  TH 3: k p H 0

1 1

2 2 ( 1)

   

    

n

u

n n n n :

A  B   C 0 D 1

Ta có:

1 1

(k1) k k k 1 k  k1

Suy

1

1 lim

1

   



n n

u u

n

3 3

3

( 1)

3

   



 

n

n n

u

n n :

A  B   C

1

9 D 1

Ta có:

2

3 3 ( 1)

1

3 

 

    

 

n n n

Suy

2

3

( 1)

lim

3(3 2)



  

 

n n

n n

u u

n n .

1 1

(1 )(1 ) (1 )

   

n

u

T T T

( 1)

 

n n n T

:

A  B   C

1

3 D 1

(32)

Ta có:

1 ( 1)( 2)

1

( 1) ( 1)

 

   

 

k

k k

T k k k k

Suy

1

lim

3



  

n n

n

u u

n .

3 3

2 1

  



  

n

n u

n :

A  B   C

2

3 D 1

Ta có

3

1 ( 1)( 1)

1 ( 1)[( 1) ( 1) 1]

   



     

k k k k

Suy

2

lim

3 ( 1)

 

   



n n

u u

n n

2



 

n

n k

k

k u

:

A  B   C 3 D 1

Ta có: 1

1 1 1

2 2 2  



 

      

 

n n n n

n

u u

1

lim

2 2 



 n   n  n 

n

u u

Câu 61 Tính giới hạn dãy số un  q 2q2 nqn với q 1 :

A  B   C  

2

1

q q

D  

2

1

q q

Ta có: un  qun  q q2q3 qn  nqn1

1

1 (1 )

1





   



n n n

q

q u q nq

q Suy lim n 1 2

q u

q

Câu 62 Tính giới hạn dãy số 1







n n

k

n u

n k :

A  B   C 3 D 1

Ta có: 2 2

1

1 1

 

     

 n   n 

n n n

n u n u

n n n n n

2

1 lim

1

 n    n 

n

u u

(33)

3

2

1

lim

(2 3)

    





n n n n

B

n :

A  B   C 3 D

3 

Chia tử mẫu cho n2 ta có được:

3

5

2

1

lim

4

3

    



  

 



 

 

n n n n

B

n .

2

lim

   

C n n n

:

A  B   C 3 D

1

Ta có:

2

1

lim lim

4 1

4 4 2

 

  

  

n n

C

n n n

n n

3

2

lim

      

D n n n n n

:

A  B   C

1 

D 1

Ta có:    

3

2

lim 2lim

       

D n n n n n n

Mà:  

2

1

lim lim

1 

   

   n

n n n

1

1 1

lim

2 1

1



 

  

n

n n

3 

3

3 2 2

3

1

lim lim

( 1)



   

     

n

n n n

n n n n n n

2

3

4

1

1 1

lim

3

1 1



 

 

     

 

 

n

n n n n

Vậy

1

2

  

D

(34)

Câu 66 Cho dãy số ( )x xác định n

2

1

, ,

2 

 n  n  n  

x x x x n

Đặt

1 1

   

   

n

S

x x x Tính limS n

A  B   C 2 D 1

Từ công thức truy hồi ta có: xn1xn,  n 1, 2,

Nên dãy ( )x dãy số tăng.n

Giả sử dãy ( )x dãy bị chặn trên, tồn lim n xn x

Với x nghiệm phương trình : xx2x x 0 x1 vơ lí Do dãy ( )x không bị chặn, hay lim n xn

Mặt khác:

1 1

( 1)



  

 

n n n n n

x x x x x

Suy ra:

1 1

1   

n n n

x x x

Dẫn tới: 1 1

1 1

2 lim lim

  

       

n n

n n n

S S

x x x x

Câu 67 Cho dãy ( )x xác định sau: k

1

2! 3! ( 1)!

   



k

k x

k

Tìm limu với n     2011

n n n

n n

u x x x

A  B   C

1

2012! 

D

1

2012! 

Ta có:

1

( 1)! ! ( 1)! k

k k k nên

1

( 1)!  



k

x

k

Suy 1

1

0 ( 2)! ( 1)!

 

     

 

k k k k

x x x x

k k

Mà: 2011    2011  2011 2011

n n n n

n

x x x x x

Mặt khác: 2011 2011 2011

1

lim lim 2011

2012!

 n   

x x x

Vậy

1

lim

2012!  

n u

Câu 68 Cho dãy số ( )u xác định bởi: n

0

1

2011



   

 



 n n n

u

u u

u Tìm

3

limun

n .

(35)

Chọn C.

Ta thấy un 0, n

Ta có:

3

1

3

    

n n

u u

u u (1) Suy ra: un3 u3n1 3 un3u033n (2)

Từ (1) (2), suy ra:  

3 3

1 3 2

0 0

1 1

3

3 3

        

 

n n n

u u u

u n u n n n

Do đó:

3

0

1

1 1

3

3  

     

n n

n

k k

u u n

k k (3)

Lại có:

1 1 1

1 2

1.2 2.3 ( 1)



       





n

k k n n n

2

1

2

 

 

 

n n

k k

n n

k k

Nên:

3 3

0

2

3

9

  n     n

u n u u n

Hay

3 3

0 2

3

9

u un  u  

n n n n n

Vậy

3

limun 3

n .

Câu 69 Cho dãy x0 xác định sau:

1 ( ) x  f x

x Tìm 0;  .

A  B   C 2010 D 1

Ta có

2

1

2010 2010

 



  n  n n  n

n n

n n n

u u u u

u u

u u u

1

2010

 

 

    

 

n

n n n

u

u u u

Ta có 1 1

1 1

2010( ) 2010(1 )

  

   

 n

n n n

u

u u u u

Mặt khác ta chứng minh được: limun 

Nên

lim( ) 2010





 u n

u

u .

(2 1)

2

    





n

n n

u

n

A  B   C

1

2 D 1

Ta có: 2    n1n2 nên

1 lim

2 

(36)

3 2 2 1

( ) 1

3

   

 

 

  



x x

x

f x x

m x

A  B   C 2 D

3 6

2

Ta có:

( 1)

2     n n n

2 2 ( 1)(2 1)

1

6

 

  n n n n

Nên

3 6

lim

2 

n u

Câu 72 Tìm limu biết n

2

1

( )

2   

 



   



x

f x x

x m x

A  B   C 2 D 1

Ta có:

1 1

(k1) k k k 1 k  k1 Suy

1

1 lim

1

   



n n

u u

n

2

( ) 1

2

   



 

 

  



x x

f x x

x

x mx m x1.

A  B   C

1

3 D 1

Ta có:

1 ( 1)( 2)

1

( 1) ( 1)

 

   

 

k

k k

T k k k k Suy

1

lim

3



  

n n

n

u u

n .

1



 

n n

k u

n k

A  B   C 3 D 1

Ta có: 2

1 1

, 1, 2, ,

  

  

k n

n n n k n Suy   1

 n 

n n

u

n n n

Mà 2

lim lim

1

 

 

n n

n n n nên suy limun 1.

Câu 75 Tìm limu biết n dau can

2 

    

(37)

Ta có:

2

1

1 1 1

2

2 2

2

  

    

 

 

n n

n

u ,nên

1

2

lim lim 2

      

 

n

u .

Câu 76 Gọi g x( ) 0,   x dãy số xác định  Tìm xlim ( ) lim2 f x x2 2x 3  3

A  B   C

4

3 D 1

Ta có 3

4 8

0 3

9 9

u u  u   u    u u

nên dãy ( )u dãy tăng n

Dễ dàng chứng minh

*

4 ,

   

n

u n

.Từ tính

4 lim

3 

n u

Câu 77 Cho dãy số

2

2 2

1 2 2

1 1

3

2

   

        

   

A x x x x x x x x

xác định sau

1

 x x

Đặt 

x

Tìm  x32x 3 2 x 0 .

A  B   C

1

2 D 1

Ta có:

2 2

1 ( )( 2) ( 1)

        

n n n n n n n

u u u u u u u

un23un1

Suy ra: 1

1 1

1 ( 1)( 2)

1



      

  

n n n

u u u

Suy ra:

1 1

2  1 

  

n n n

u u u

Do đó, suy ra: 1 1

1 1 1

1 1

   

 

      

    

 



n n

i i i n n

v

u u u u u

Mặt khác, từ un1 un23un1 ta suy ra: 13

n n

u

Nên

1

lim

1



 

n

u Vậy

1 lim

2 

n v

Câu 78 Cho a b,  ,( , ) 1;a b  nab1,ab2, 

å

Kí hiệu r số cặp số ( , ) n u v å å

sao cho n au bv Tìm 

1 lim

  

n n

r

(38)

A  B   C

ab D ab1

Xét phương trình

1 0; 

 

 

 

n

n (1)

Gọi ( , )u v nghiệm nguyên dương (1) Giả sử 0 ( , )u v nghiệm nguyên dương

khác ( , )u v (1) 0

Ta có au0bv0 n au bv n suy ,   a u u(  0)b v v(  0) 0 tồn k nguyên dương

sao cho u u 0kb v v,  0 ka Do v số nguyên dương nên

0

1

1 

   v

v ka k

a (2)

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên dương

cộng với Do

01 1 1

   

     

   

n

v n u

r

a ab b a .

Từ ta thu bất đẳng thức sau:

0 1 1.

 u   n  u  

n n

r

ab b a ab b a

Từ suy :

0

1 1 1

 u  rn   u  

ab nb na n ab nb na n

Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có

1 lim

  

n n

r

n ab

Câu 79 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định :

1

,

2



    

  

 

 n n

u

u n

u

Tìm kết limu n

A.0 B.1. C.1. D.

1

Ta có:

1

; ; ; ; ;

2

    

u u u u u

Dự đoán n  1

n u

n với n *

Dễ dàng chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp

Từ

1

lim lim lim

1

1 1

  

 

n

n u

n

n .

Câu 80 Tìm giá trị

1 1

2

 

        

 n 

S

(39)

A. 1 B. 2 C.2 2 D.

1 .

Hướng dẫn giải: Chọn C

Ta có:

1 1 1

2 2

1

2 1

2

 

         

 n  

S

1 1

lim

1.2 2.3

 

  

 



 n n 

A.0 B.1. C.

3

2 D Khơng có

giới hạn

Đặt :

 

1 1

1.2 2.3

   



A

n n  1 2 31 1   1n n 11  1 n11nn1

 

1 1

lim lim lim

1

1.2 2.3 1 1

 

        

 

  

n

n n n

n

1 1

lim

1.3 3.5

 

  

 



 n n 

A.1. B.0 C.

2

3 D.2.

Đặt

 

1 1

1.3 3.5

2 2

2

1.3 3.5

1 1 1 1

2

3 5

1

2

   



    



         



   

 

 



A

n n

A

n n

A

n n n

A

n n

n A

n

Nên

 

1 1 1

lim lim lim

1

1.3 3.5 2 2

 

     

 

 

  

n

n n n

(40)

1 1

lim

1.3 2.4

 

  

 



 n n 

A.

3

4 B.1. C.0 D.

2

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có :    

1 1 2

lim lim

1.3 2.4 2 1.3 2.4

   

      

   

 

 n n   n n 

1 1 1 1

lim

2

 

         



 n n 

1 1

lim

2 2

 

    



 n 

1 1

lim

1.4 2.5 ( 3)

 

  

 



 n n  .

A 11

18 B 2. C 1. D

3

Cách 1:

1 1 1 1 1 1

lim lim

1.4 2.5 ( 3)

    

             

     

 

 

 n n  n n

1 1 1

lim

3 3

  

        

  

 

 n n n 

     

2

11 12 11 11

lim

18 18

   

    

  

 

n n

n n n

Cách 2: Bấm máy tính sau:  

100

1

1  x x

so đáp án (có thể thay 100 số nhỏ lớn hơn)

Câu 85 Tính giới hạn: 2

1 1

lim 1

2

     

  

     

 

     

 n  .

A 1. B

1

2 C

1

4 D

3

Cách 1:

2 2

1 1 1 1 1

lim 1 lim 1 1 1

2 2 3

                 

         

                 

   

                 

 n   n n 

1 1

lim 2 3

 

 

  

 

n n

1 1

lim

2



 n 

n

Cách 2: Bấm máy tính sau:

100

2

1

 



 

 

 x