Phân tích các hướng giải cho một bài toánphương trình vô tỷ ưu và nhược điểm

PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Chúng ta tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có nhiều phương pháp tiếp cận xử lý Tuy nhiên đứng trước tốn phương trình vơ tỷ làm để tiếp cận đưa lời giải cho câu hỏi lớn cịng bỏ ngỏ Với mục đích mở hướng đi, suy nghĩ cần có trước phương trình vơ tỷ chủ đề chúng tơi xin đưa số phân tích suy luận để giải thích lại giải tốn Trong chủ xin giới thiệu số nội dung • Phân tích suy luận đứng trước phương trình vơ tỷ • Lựa chọn phương án hợp lý để tìm lời giải tối ưu • Những hướng tiếp cận khác – khó khăn hướng khắc phục Ví dụ Giải phương trình x2 + 6x − = 4x 2x − Phân tích lời giải Trước phương trình vơ tỷ, cho dù chọn phương pháp mục đích cuối làm cho phương trình thức cách đơn giản đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều giải phương trình vơ tỷ cần cố gắng nhẩm nghiệm để phán đốn hướng cách đắn Khơng q khó khăn ta nhân thấy phương trình xét có nghiệm x = Phương trình chứa dấu thức bậc hai nên loại bỏ thức bậc hai phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ,… • Hướng Trước hết ta có điều kiện xác định phương trình x  ( ) Phương trình cho tương đương với x + 30x + 12x − 36x + = 16x ( 2x − 1)  x + 20x + 46x − 36x + = Nhận xét x x2 + 6x −  0, x   x ( x − 1) − 18x ( x − 1) + ( x − 1) = ( )   x − 18x + ( x − 1) =  x  − 2;1; + 2    Kết hợp với điều kiện đinh ta thu tập nghiệm S = − 2;1; + 273 2x − ta biến đổi phương trình • Hướng Phương trình có chứa thức thực đặt ẩn phụ Để ý phương trình cho tương đương với x2 − 4x 2x − + ( 2x − 1) = Khi ta thực phép đặt 2x − = y ( y  ) Lúc phương trình thu x2 − 4xy + 3y2 = , phương trình đồng bậc ý đến hệ số ta phân tích x − 4xy + 3y =  x ( x − y ) − 3y ( x − y ) =  ( x − y )( x − 3y ) = + Trường hợp Với   x  x  x − y =  x − 2x −     x =1 x − =  ( ) x − 2x + =   x   x =96 + Trường hợp Với x − 3y =  x = 2x −   x − 18x + =   Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm S = − 2;1; + • Hướng Do phương trình nhẩm nghiệm đẹp x = , ta nghĩ đến phương pháp nhân lương liên hợp để làm xuất nhân tử chung x − ( ) 4x x − − = 3x − 6x +   ( x − 1) ( 4x ( x − 1) x + 2x − x = −1 − x =    x = − = ( x − 1) ) x   x  − 2; + Đối chiếu điều kiện ta Ta có x = −   x − 18x + = thu ba nghiệm   • Hướng Phương trình cho có đại lượng 4x 2x − nên ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng A = B2 A2 + B2 = Với định hướng ta viết phương trình cho vè dạng sau + Khi viết phương trình dạng A = B2 ta thấy có khả sau ( ) Với x2 + 6x − = 4x 2x −  5x2 + 8x − = 2x − 2x − , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương ( ) Với x2 + 6x − = 4x 2x −  2x2 + 16x − = x + 2x − , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương 274 ( Với x2 + 6x − = 4x 2x −  x − 2x − 2x − = ( ) ) = 2x − , dễ thấy 2x − Như ta giải tốn Khả biến đổi viết phương trình dạng A2 + B2 = khơng thực nên ta trình bày lời giải cho phương trình sau Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( x2 − 4x 2x − + ( 2x − 1) = 2x −  x − 2x − ) =( 2x − )  x = 2x −   x = 2x − x   x  − 2; + + Với x = 2x −   x − 18x + = x   x   + Với x = 2x −     x=1 x − =  ( ) x − 2x + =   Đối chiếu với điều kiện x  , kết luận tập nghiệm S = − 2;1; +     Nhận xét Qua ví dụ ta nhận thấy đứng trước phương trình vơ tỷ lối giải tốn đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào trình phân tích gỡ rối cho hiệu Trong lời giải lời giải có điểm thú vị Do phương trình có nghiệm kép x = nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa cách giải gọn gàng ( ) Ví dụ Giải phương trình x − + 4x = 4x 4x − Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ đầu nên ta có hướng tiếp cận lời giải cho phương trình sau Nhẩm số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp x = x = • Hướng Phương trình cho có chứa thức bậc hai biểu thức có dạng tam thức bậc hai Do thực phep nâng lên lũy thừa phương trình thu có bậc Chú ý phương trình có hai nghiệm x = x = nên phân tích phương trình thành tích phương trình có chứa nhân tử ( x − 1)( x − ) nhân tử lại tam thức bậc hai nên ta giải 275 Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với 9x + 24x − 2x − 24x + = 16x ( 4x − )  9x − 40x + 46x − 24x + = x =  ( x − 1)( x − ) 9x − 4x + =   x = ( ) Phương trình 9x2 − 4x + = vô nghiệm   Kết hợp điều kiện xác định ta thu tập nghiệm S = 1; 3 • Hướng Hồn tồn tương tự ví dụ thứ nhất, phương trình chứa 4x − nên ta thực phép đặt 4x − = y ( y  ) để đưa phương trình dạng đồng bạc hai, Phương trình cho tương đương với 3x + 4x − = 4x 4x − Đặt 4x − = y ( y  ) , ta thu phương trình x = y 3x2 − 4xy + y =  ( x − y )( 3x − y ) =    3x = y Ta xét hai trường hợp sau x   x  1; 3 + Trường hợp Với x = y  x = 4x −   x − 4x + = x  + Trường hợp Với 3x = y  3x = 4x −   , hệ vô nghiệm 9x − 4x + = So sánh điều kiện xác định ta thu tập nghiệm S = 1; 3 • Hướng Để ý phương trình ta thấy có đại lượng 4x 4x − lại có 3x2 = 4x2 − x2 nên ta viết phương trình lại thành ( 4x2 − 4x 4x − + 4x − = x2  2x − 4x − ) = x Đến ta có lời giải cho phương trình Phương trình cho tương đương với 3x − 4x − = 4x 4x −  4x − 4x 4x − + 4x − = x (  2x − 4x − 276 )  x = 4x − = x2    3x = 4x − x   x  1; 3 + Với x = 4x −   x − 4x + = x  + Với 3x = 4x −   , hệ vô nghiệm 9x − 4x + = So sánh điều kiện thu tập nghiệm S = 1; 3 • Hướng Phương trình có hai nghiệm x = x = nên ta sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử x2 − 4x + Lại có (x − )( ) 4x − x + 4x − = x2 − 4x + Đến ta giải phương trình phương pháp nhân lương liên hợp Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) 4x x − 4x − = x − 4x +  (  x − 4x + )( ) ( 4x x − 4x + x + 4x − ) =x − 4x + 4x − − 3x = + Với x − 4x + =  x  1; 3 x  + Với 3x = 4x −   , hệ vô nghiệm 9x − 4x + = Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm S = 1; 3 Nhận xét Trong ví dụ thứ hai ta lại thấy nhiều hướng tìm lời giải cho tốn Các hướng phân tích có tính hợp lý dựa liên hệ đại lượng cho phương trình lời giải có tính tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 3x2 + 2x + = ( x + 1) x + Phân tích lời giải Phương trình có chứa thức bậc hai nên suy nghĩ đâu tiên tiếp cận phương trình làm triệt tiêu thức bậc hai Chú ý đại lượng nhị thức bậc tam thức bậc hai nên để làm triệt tiêu thức bậc hai ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phép đặt ẩn phụ Nhẩm số giá trị ta nhận x = nghiệm phương trình Do với phương trình ta có số hướng tiếp cận sau 277 • Hướng Nhận thấy đại lượng có ngồi có bậc nhât bậc hai, đại lượng đa thức bậc hai Ngoài để ý đến hệ số cao đại lượng ta thấy nên sử dụng pháp nâng lên lũy thừa phương trình thu phương trình bậc ba Mà phương trình lại có nghiệm x = nên phương trình bậc ba giải Đến ta giải tốn Điều kiện xác định phương trình x  −1 ( ) ( ) Để ý 3x + 2x + = ( x + 1) + x +  với x  −1 , phương trình cho tương đương với ( 3x + 2x + ) = ( x + 1) x + 2  9x + 12x + 46x + 28x + 49 = 9x + 18x + 36x + 54x + 27 ( )  6x − 10x + 26x − 22 =  ( x − 1) 6x − 4x + 22 = Dễ thấy phương trình 6x2 − 4x + 22 = vơ nghiệm Do từ phương trình ta x = nghiệm phương trình • Hướng Chú ý đến đại lượng ( x + 1) x + , để làm triệt têu thức ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Khi phương trình viết lại thành ( x + 1) ( ) − ( x + 1) x + + x + = thực đặt ẩn phụ a = x + 1; b = x2 + ta viết phương trình dạng phương trình đẳng cấp bậc hai Điều kiện xác định phương trình x  −1 Phương trình cho tương đương với ( x + 1) ( ) − ( x + 1) x + + x + = Đặt a = x + 1; b = x2 +  Khi phương trình trở thành a = b a − 3ab + 2b2 =  ( a − b )( a − 2b ) =   a = 2b Ta xét hai trường hợp  x  −1 x +  + Với a = b ta x + = x2 +     x =  2 2x = x + = x + ( )    278   x +  x  −1 + Với a = 2b ta x + = x +   , hệ   2 3x − 2x + 11 = x + = 4x + 12  ( )    vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình • Hướng Lại để ý đến đại lượng ( x + 1) x + ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng hiệu hai bình phương Phương trình cho tương đương với 12x + 8x + 28 = 12 ( x + 1) x + ( ) ( )  x + 2x + − 12 ( x + 1) x + + x + = x + (  2x + − x + ) =( x2 + )  2x + − x + = x + x + = x +    2x + − x + = − x +  x + = x +  x  −1 x +  + Với a = b ta x + = x2 +     x =  2 2x = x + = x + ( )    + Với a = 2b ta hệ vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình • Hướng Chú ý phương trình có nghiệm x = nên ta nghĩ đến phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo nhân tử chung x − Phươg trình cho tương đương với ( ) ( x + 1) − ( x + 1) x + = 4x −  ( x + 1) x + − x + = ( x − 1)  )( ( ( x + 1) x + − x + x + + x + x + + x2 + ) = ( x − 1) x − =   = ( x − 1)   ( x + 1) =4 x + + x2 +  x +1+ x + ( x + 1)( x − 1) + Khi x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định 279 + Khi ( x + 1) x +  =  x + = x2 +   , hệ vô nghiệm 3x − 2x + 11 = x + + x2 + Vậy phương trình cho có nghiệm x = • Nhận xét Về mặt hình thức phương trình cho ví dụ ba hồn tồn tương tự ví dụ nên hướng tiếp cận phương trình hồn tồn tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 7x + + = x2 + x + x Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ ta có hướng tiếp cận phương trình sử dụng phép nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thành tích,… • Hướng Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với 7x + x + = 7x x + x +  x + x + − 7x x + x + + 6x = Đặt t = x + x +  , phương trình trở thành t = x t − 7xt + 6x2 =  ( t − x )( t − 6x ) =    t = 6x x  x   + Với t = x ta x + x + = x   , hệ vô nghiệm x + x + = x x + = + Với t = 6x hay x  + 281 x + x + = 6x   x= 70 x + x + = 36x Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 281 70 • Hướng Phương trình cho tương đương với 7x + x + = 7x x + x +  28x + 4x + = 28x x + x + ( ) (  x + x + − 28x x + x + + 49x = 25x  x + x + − 7x  x + x + − 7x = 5x  x + x + = 6x     x + x + − 7x = −5x  x2 + x + = x   x  x   + Với x + x + = x   , hệ vô nghiệm x + = x + x + = x  280 ) = ( 5x ) 2 + Với x  x  + 281 x + x + = 6x    x= 2 70 x + x + = 36x 35x − x − = + 281 70 • Hướng Dễ thấy 7x2 + x +  với x  Khi phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x = tương đương với (7x +x+2 ) ( = 7x x + x + )  49x + 14x + 29x + 4x + = 49x (x + x + ) ( 2 )  35x + 69x − 4x − =  ( x + ) 35x − x − = Do x  nên từ phương trình ta 35x2 − x − =  x = Kết hợp với điều kiện xác định ta x =  281 70 + 281 nghiệm 70 phương trình • Hướng Phương trình cho tương đương với 7x + x+2 x+2 = x2 + x +  = x + x + − 7x x x x+2  = x ( x2 + x + − x )( x2 + x + + x x2 + x + + x )  ( x + )  − x  =0 x2 + x + + x  Do x  nên từ phương trình ta x  + 281 − =  x + x + = 6x   x= x 70 35x − x − = x2 + x + + x Kết hợp với điều kiện xác định ta x = + 281 nghiệm 70 phương trình Ví dụ Giải phương trình x2 − 3x + = x3 − 6x2 + 11x − Phân tích lời giải Phương trình chứa dấu để ý x − 6x + 11x − = ( x − 1)( x − )( x − ) Cũng từ phân tích ta có điều kiện xác định x   x  , ta viết thức bậc hai thành x3 − 6x2 + 11x − = x − 11 ( x − )( x − ) Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta 281 phân tích x − 3x + = ( x − )( x − ) + ( x − 1) Đến ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình • Hướng Điều kiện xác định phương trình x  ( x − 1)( x − )( x − 3)   1  x   Phương trình cho tương đương với x2 − 5x + + ( x − 1) = x − x2 − 5x + Đặt a = x2 − 5x + 6; b = x − ( a  0; b  ) Khi phương trình trở thành a = b a + 2b2 = 2ab  ( a − b )( a − 2b ) =   a = 2b x2 − 5x + = x −  x2 − 6x + =  x =  + Với a = b ta + Với a = 2b ta x2 − 5x + = x −  x2 − 9x + 10 =  x =  41 Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm  + 41   − 41  S= ; − 2; + 2;      • Hướng Điều kiện xác định phương trình x  ( x − 1)( x − )( x − 3)   1  x   Nhận thấy x = nghiệm phương trình với điều kiện xác định x −  Phương trình cho tương đương với x − 5x + + ( x − 1) = x − x − 5x +  Đặt t = x − 5x + x −1 ( a  ) Khi ta có t x − 5x + x − 5x + +2 =3 x −1 x −1 t = + = 3t  ( t − 1)( t − ) =   t = • Với t = ta x2 − 5x + = x −  x2 − 6x + =  x =  • Với t = ta x2 − 5x + = x −  x2 − 9x + 10 =  x = Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm  + 41   − 41  S= ; − 2; + 2;      Ví dụ Giải phương trình x + + 2x + = 3x2 + 8x + Phân tích lời giải 282  41 hệ số chẵn Khỉa sử ta nhân hao vế với k chắn, ta có kx2 ta cần tách kx = 8x − ( − k ) x để viết vế cịn lại thành bình phương ta cần có − k số phương Do ta chọn k = Đến ta viết phương trình cho thành 8x2 + 4x + − 8x2 + 4x + + = 4x2 − 4x + Như ta thấy hai vế có dạng bình phương nên ta giải phương trình Điều kiện xác định phương trình x  R Phương trình cho tương đương với x + 2x + = 8x + 4x +  4x + 8x + = 8x + 4x +  8x + 4x + − 8x + 4x + + = 4x − 4x +  + Với ( 8x + 4x + − )  8x + 4x + − = 2x − = ( 2x − 1)    8x + 4x + − = − 2x 8x2 + 4x + − = − 2x  8x2 + 4x + = − 2x Phương trình tương đương với   2x −  2x −   x = −2   2  4x + 16x − = 8x + 4x + = 2x −  ( )    + Với 8x2 + 4x + − = 2x −  8x2 + 4x + = 2x + Phương trình tương đương với   2x +  2x +   2   4x + =  8x + 4x + = ( 2x + ) Hệ vơ nghiệm   Vậy phương trình cho có nghiệm S = −2 − 5; −2 + • Hướng Để ý ( x + 1) +  với x nên tat a sử dụng phương pháp bình phương hai vế phương trình Khi phương trình thu có bậc bốn Chú ý hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm phương trình x2 + 4x − = phương trình bậc bốn chi phân tích thành tích chứa nhân tử x + 4x − Do phương trình cho giải phương pháp nâng lên lũy thừa Ta có lời giải cho phương trình sau 357 Điều kiện xác định phương trình x  R Do ( x + 1) +  nên phương trình cho tương đương với (x ) + 2x + = 8x + 4x +  x + 4x + 8x + 8x + = 8x + 4x + ( )( )  x + 4x − 4x + 4x − =  x + 4x − x + = Dễ thấy x2 +  Do từ phương trình ta x + 4x − =  x = −2    Vậy phương trình cho có nghiệm S = −2 − 5; −2 + • Hướng Chú ý đến đai lượng 8x2 + 4x + ta viết phương trình cho dạng 8x2 + 4x + − 8x2 + 4x + − 4x2 + 4x + = Khi đặt t = 8x2 + 4x + ta có phương trình t − 4t − 4x2 + 4x + = Xem phương trình phương trình bậc hai ẩn t nên ta có ' = 2 + ( 4x − 4x − ) = ( 2x − 1) Như phương trình phân tích thành tích ta có lời giải cho phương trình Điều kiện xác định phương trình x  R Phương trình cho tương đương với x2 + 2x + = 8x + 4x +  4x + 8x + = 8x + 4x +  8x2 + 4x + − 8x + 4x + − 4x + 4x + = Khi đặt t = 8x2 + 4x + ta có phương trình t − 4t − 4x2 + 4x + = Xem phương trình phương trình bậc hai ẩn t nên ' = 2 + ( 4x − 4x − ) = ( 2x − 1)  t = 2x +  8x + 4x + = 2x +  Như phương trình có hai nghiệm  t = − 2x  8x + 4x + = − 2x  + Với 8x2 + 4x + = − 2x Phương trình tương đương với   2x −  2x −   x = −2   2  4x + 16x − = 8x + 4x + = 2x −  ( )    + Với 358 8x2 + 4x + = 2x + Phương trình tương đương với ta có   2x +  2x +   2   4x + =  8x + 4x + = ( 2x + ) Hệ vơ nghiệm   Vậy phương trình cho có nghiệm S = −2 − 5; −2 + • Hướng Chú ý phương trình có chứa nhân tử x + 4x − , sử dụng đại lượng liên hợp ta cần tạo nhân tử Do ta có biến đổi phương trình sau ( x + 1) + = 8x + 4x +  x + = 8x + 4x + − ( 2x + 1)  4x + =  8x + 4x + − ( 2x + 1)    2  8x + 4x + − 4x + 4x + =  8x + 4x + − ( 2x + 1)    2   8x + 4x + − ( 2x + 1)   8x + 4x + + ( 2x + 1)  =  8x + 4x + − ( 2x + 1)        8x + 4x + − ( 2x + 1) =  8x + 4x + = 2x +    8x + 4x + + ( 2x + 1) =  8x + 4x + = − 2x  ( + Với ) 8x2 + 4x + = − 2x Phương trình tương đương với   2x −  2x −   x = −2   2  4x + 16x − = 8x + 4x + = 2x −  ( )    + Với 8x2 + 4x + = 2x + Phương trình tương đương với   2x +  2x +   2   4x + =  8x + 4x + = ( 2x + ) Hệ vơ nghiệm   Vậy phương trình cho có nghiệm S = −2 − 5; −2 + Bài 40 Giải phương trình x2 + 3x + + 2x2 − = 3x − Phân tích lời giải Trước hết ta có điều kiện xác định phương trình 2x2 −  Phương trìn cho chứa hai thức bậc hai biểu thức khơng có mối liên hệ với Do để tìm mối liên hệ đại lượng ta nên loại bớt thức bậc hai Để thực điều ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa Tuy nhiên trước nâng lên lũy thừa ta biến đổi phương trình trước 359 x + 3x + + 2x − = 3x +  x + 3x + = 3x + − 2x −  x + 3x + = 11x + 6x − ( 3x + 1) 2x −  10x + 3x − = ( 3x + 1) 2x − Phương trình chứa thức bậc hai nên ta hoàn toàn nâng lên lũy thừa lần để tao phương trình bậc 4, nhiên khơng nhẩm nghiệm đẹp nên việc phân tích khó khăn Do ta khơng nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa trường hợp Để xử lý phương trình ta hướng đến phép đặt ẩn phụ Quan sát phương trình ta thực ý tưởng đặt ẩn phụ sau Để khỏi thức bậc hai ta đặt t = 2x − viết phương trình dạng phương trình bậc hai có ẩn t ( ) Ta viết phương trình lại thành 2x − − ( 3x + 1) 2x − + 2x + 3x − = hay phương trình bậc hai ẩn t có dạng 4t − ( 3x + 1) t + 2x + 3x − = Với phương ( trình ) ta có ' = ( 3x + 1) − 2x + 3x − = x − 6x + = ( x − ) 2 Đến xem phương trình phân tích thành tích ta có lời giải cho tốn Điều kiện xác định phương trình 2x2 −  Phương trình cho tương đương với x + 3x + + 2x − = 3x +  x + 3x + = 3x + − 2x −  x + 3x + = 11x + 6x − ( 3x + 1) 2x −  10x + 3x − = ( 3x + 1) 2x − ( ) Ta viết phương trình lại thành 2x − − ( 3x + 1) 2x − + 2x + 3x − = Đặt t = 2x − ( t  ) , ta có phương trình 4t − ( 3x + 1) t + 2x + 3x − = Xem phương trình có ẩn t, ( ) ' = ( 3x + 1) − 2x + 3x − = x − 6x + = ( x − ) 2  3x + + x − 2x − = t = Do phương trình có hai nghiệm  3x + − x + x + t = =  360 + Với t = 2x − ta 2x − = 2x −  2x − −1 +   x = 2 4 2x − = ( 2x − 1) ( ) x +  x+2 22   x = 2 2x − = x + ( )  Kết hợp với điều kiện xác định thử vào phương trình ta tập nghiệm + Với t = x+2 ta 2x − = ( )  −1 + +  S= ;    Bài 41 Giải phương trình x + + − x2 + ( x + 1) ( − x ) + x + 2x − 10x − 38 = Phân tích lời giải Quan sát phương trình ta thấy hình thức phương trình rắc rối, x + nhiên phương trình xoay quang hai thức − x2 , lập tích biểu thức đa thức bậc ba Do để bớt thức ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ Chú ý đến hệ số trước thức bậc hai ta nghĩ đến phân tích bình phương • Ta có x + − x + + = ( ( x + 1) ( − x ) = khác ta lại có phương ) x + − ; − x2 − − x2 + = ) ( − x − Mặt −x3 − x2 + 9x + Như với cách tính bình −x − x + 9x + − −x − x + 9x + + = ( −x − x + 9x + − ) ta có Cộng đẳng thức ta ( ) ( x +1 −1 + ) ( − x2 − + = −2 x + − − x − −x − x + 9x + − ( x + 1) ( − x ) − x ) − 2x + 10x + 38 Chú ý từ phương trình cho ta có −2 x + − − x2 − ( x + 1) ( − x ) − x − 2x2 + 10x + 38 = Điều có nghĩa ta giải phương trình lời giải trình bày sau Điều kiện xác định phương trình −1  x  Phương trình cho tương đương với 361 − x + − − x2 − ) ( ( ( x + 1) ( − x ) − x  x + − x + + + − x2 − − x2 + ( ) − 2x + 10x + 38 = ) +  ( x + 1) − x −   ( ) ( x +1 −1 + ) ( − x2 − + ( x + 1) ( − x ) +  = − x − x + 9x + − ) =0  x +1 −1 =  x+1 =     − x2 − =   − x2 = x=0   3  −x − x + 9x + − =  −x − x + 9x + = Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình • Cùng ý tưởng phân tích bình phương để đơn giản hóa phương trình ta đặt ẩn phụ a = x + 1; b = − x  ( x + 1) ( − x ) = ab Khi phương trình viết lại thành 2a + 6b + 6ab + x3 + 2x2 − 10x − 38 = Để phân tích phương trình ta cần biểu diễn x3 + 2x2 − 10x − 38 qua a ( ) b Muốn ta tính a = x + 1; b = − x ; ( ab ) = ( x + 1) − x = −x − x + 9x + Khi ta có ( ) ( ) x + 2x − 10x − 38 = − −x − x + 9x + − − x − ( x + 1) − 19 = − ( ab ) − b − a − 19 Như phương trình viết lại thành 2a + 6b + 6ab − ( ab ) − b − a − 19 =  ( ab ) + a + b − 2a − 6b − 6ab + 19 = ( ) ( ) 2 2  ( ab ) − 6ab +  + a − 2a + + b − 6b + =  ( ab − ) + ( a − 1) + ( b − ) =   Đến ta có lời giải hồn tồn • Nhận xét Mặc dù hình thức phương trình khủng thức phương trình gơi ý cho ta sử dụng đẳng thức bậc hai Lời giải thứ hai hình thành sử lời giải thứ phép ẩn phụ hóa làm cho lời giải trình bày đơn giản cịn chất khơng có thay đổi Bài 42 Giải phương trình ( x − 1) x2 − 2x + − 4x x2 + = ( x + 1) 362 Phân tích lời giải Dễ thấy phương trình xác định với x Phương trình chứa hai thức bậc hai biểu thức có bậc hai Trước hết ta kiểm tra xem phương trình có nghiệm đẹp khơng Thử số giá trị đặc biệt ta x = −1 nghiệm Do phân tích phương trình thành tích phương trình chứa nhân tử x + Ngoài biểu thức phương trình lại khơng có mối liên hệ đặc biệt nên ta sử dụng ẩn phụ Trong trường hợp có lẽ ta phải sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để xử lý phương trình Quan sát vế phải ta thấy có nhân tử x + , ta cần làm vế trái xuất nhân tử x + Cho x = −1 ta nhóm liên hợp x2 − 2x + = 2 , nhiên ta không nên x2 − 2x + với số 2 ta phải thêm bớt lượng 2 ( x − 1) Do ta nghĩ đến nhóm liên hợp với x + a , nhiên cho x = −1 ta có −1 + a = 2  a = 2 + số không đẹp Như ta cần nhóm liên hợp x2 − 2x + − k x2 + , khơng khó khăn ta xác định k = Điều có nghĩa ta có nhóm liên hợp x2 − 2x + − k x2 + Chú ý phương trình có biểu thức −4x x + để có nhóm liên hợp ta cẩn thêm bớt lượng 2x x2 − 2x + Khi ta viết phương trình dạng ( x − 1) x2 − 2x + + 2x x2 − 2x + − 4x x + = ( x + 1) + 2x x − 2x + Phân cịn lại phương trình ( x + 1) + 2x x2 − 2x + − ( x − 1) x − 2x + , thu gọn biểu thức ta ( x + 1) + ( x + 1) x − 2x + có xuất nhân tử x + Đến ta có lời giải cho phương trình Điều kiện xác định phương trình x  R Phương trình cho tương đương với 363 ( x − 1) x − 2x + + 2x x − 2x + − 4x x + = ( x + 1) + 2x x − 2x +  2x x − 2x + − 4x x + = ( x + 1) + 2x x − 2x + − ( x − 1) x − 2x +  2x ( ( 2x −3x − 2x +  ) x − 2x + − x + = ( x + 1) + ( x + 1) x − 2x + ) = ( x + 1) + ( x + 1) x − 2x + x − 2x + + x +   2x ( 3x − 1)  ( x + 1)  + + x − 2x +  =  x − 2x + + x +  2 • Với x + =  x = −1 • Với 2x ( 3x − 1) x − 2x + + x + 2 + + x2 − 2x + = Ta có phương trình tương đương với ( 6x − 2x + + x − 2x +  7x − 4x + + ( )( ) x − 2x + + x + = ) x − 2x + + x + + x − 2x + x + =  6x + ( x − ) + + 2 ( ) x − 2x + + x + + x − 2x + x + = Dễ thấy phương trình vơ nghiệm vế trái phương trình ln dương Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 • Nhận xét Có thể nói phương trình cho ví dụ tốn khó, may mắn phương trình có nghiệm đẹp Lời giải cho phương trình thêm lần cho thấy điểm mạnh phương pháp nhân lượng liên hợp cho phương trình chứa nhiều dấu ( Bài 43 Giải phương trình x3 + 22x2 − 11x − 6x2 + 12x − ) 2x − = Phân tích lời giải Phương trình chứa thức bậc hai, nhiên hạng tử ngồi có bậc cao nên ta tạm thời không sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý ta nhẩm x = nghiệm nên hướng đến giải phương trình phương pháp nhân lương liên hợp • Hướng Trước hết ta có điều kiện xác định phương trình x  Khi phương trình cho tương đương với 364 ( x + 16x − 23x + − x + 2x − ( )( ) 2x − − = ) ( ) ( )  ( x − 1) x + 17x − − x + 2x − x −1 =0 2x − + x =  x + 2x −   =0  ( x − 1)  x + 17x − − x + 2x −  2x − +  =0  x + 17x − −  2x − +  ( Đến ta cần xử ký phương trình x + 17x − − ) ( x + 2x − 2x − + ) = Trước hết ta viết lại phương trình thành (x + 17x − )( ) ( ) 2x − + − x2 + 2x − = Nhận thấy phương trình lại có nghiệm x = nên ta lại xử lý theo hướng nhân lượng liên hợp ( x + 17x − ) (  ( x + 17x − ) ( ) ( 2x − − 1) = 10x  ) 2x − + − x + 2x − = ( ( x − 1) x + 17x − 2x − + − 10x x = ) = 10x ( x − 1)   Đến ta lại phải xử lý tiếp phương trình    (x + 17x − 2x − + ( x + 17x − 2x − + ) = 10x ) = 10x Hay ta phương trình ( ) 10x 2x − + = x2 + 17x −  x − 5x 2x − + ( 2x − 1) = Đến ta sử dụng ẩn phụ phân tích phương trình thành tích kết (x −  x = 2x − 2x − x − 2x − =    x = 2x − )( )  x  x     x = 42 + Với x = 2x −   x = 2x − x − 8x + = ( )      x  x    x =96 + Với x = 2x −   x = 2x − x − 18x + = ( )     365   Đến ta có tập nghiệm phương trình S = 1;  3;  • Hướng Qua cách giải ta thấy phương trình có nghiệm kép x = Để ý từ phương trình cho biến đổi sử dụng phép nâng ên lũy thừa ta thu phương trình bậc Do phương trình có nghiệm kép x = nên phân tích thành tích có nhân tử ( x − 1) Nhân tử cịn lại có bậc khơng có nghiệm đẹp nên để phân tích thành tích ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta có phương trình cho tương đương với ( x3 + 22x2 − 11x = 6x2 + 12x − ) 2x − = Bình phương hai vế phương trình ta (x + 22x2 − 11x ) = ( 6x 2 + 12x − ) ( 2x − 1) ( ) Khai triển phân tích thành tích ta ( x − 1) x − 26x + 107x − 14x + 39 = Giả sử phương trình bậc bốn viết thành tích sau ( )( x4 − 26x3 + 107x − 14x + 39 = x + ax + b x + cx + d Khai triển ta có (x )( ) ) + ax + b x2 + cx + d = x + ( a + c ) x + ( b + d + ac ) x + ( ad + bc ) x + bd Do x − 26x + 107x − 14x + 39 = x + ( a + c ) x + ( b + d + ac ) x + ( ad + bc ) x + bd a + c = −26 a = −18    b + d + ac = 107  b = Đồng hệ số hai vế ta   ad + bc = − 144  c = −8  bd = 36 d = Như ta có phân tích x4 − 26x3 + 107x2 − 14x + 39 = x − 18x + x − 8x + ( )( ) Đến ta giải phương trình tập nghiệm • Nhận xét Rõ ràng lời giải thứ hai có tính tự nhiên điểm hạn chế phương trình thu có bậc 4, nhẩm nghiệm đẹp Do cần phải sử dụng đến phương pháp hệ số bất định để phân tích phương trình thành tích Hướng giải gây cho ta nhiều khó khăn Lời giải thứ sử dụng phương pháp nhân lương liên hợp dựa cở sử có nghiệm x = Tuy nhiên việc xử lý sau nhân lượng lương liên hợp khó khăn phương trình cịn nghiệm 366 Ví dụ 44 Giải phương trình 2x3 + x + 10x + = ( 3x + ) x + 3x Phân tích lời giải Phương trình cho chứa thức bậc hai, biểu thức nghồi có bậc ba Do ta khơng thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để loại bỏ thức phương trình thu có bậc sáu mà ta nhẩm nghiệm đẹp x = Như để loại bỏ thức ta sử dụng phép đặt ẩn phụ tiếp cận phương trình theo hướng phân tích phương tình thành tích • Hướng Chú ý đến biểu thức ( 3x + ) x + 3x ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng tổng hiệu hai bình phương Khi để viết phương trình dạng ta cần nhân vào hai vễ phương trình với số chẵn Giả sử ta nhân phương trình số 2k , phương trình cho trở thành ( ) 2k 2x + x + 10x + = 2k ( 3x + ) x + 3x  Khai triển phương trình ta   ( ) 4k x + 3x − 2k ( 3x + ) x + 3x + k k k k 3x + ) = x − x + ( 4   k k   k x + 3x − 3x + )  = ( x − 1) (   ( ) Đến ta chọn số k = thích hợp với phương trình Như ta có lời giải cho tốn Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) x + 3x − ( 3x + ) x + 3x + x + 4x + = (  16 ( x ) + 3x ) − ( 3x + )  16 x + 3x − ( 3x + ) x + 3x + 8x + 32x + 24 = x + 3x + ( 3x + ) = x − 2x +  x + 3x = x +  x + 3x − 3x − = ( x − 1)    x + 3x = x + ( + Với )  x +  x +   x3 + 3x = x +    x=1   x + x − = ( ) x + 3x = x + ( )     ( ) 367 x +  x +    x = + Với x + 3x = x +    ( x − 1) 4x + 3x + = 4 x + 3x = ( x + ) ( ( ) ) Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta có x = nghiệm • Hướng Chú ý theo hương thứ phương trình phân tích thành tích, sử dụng ẩn phụ đưa phương trình dạng pương trình bậc hai phương trình có hai nghiệm Từ ta có lời giải cho phương trình Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) x + 3x − ( 3x + ) x + 3x + x + 4x + = Đặt t = x3 + 3x ( t  ) Khi phương trình viết lại 2t − ( 3x + ) t + x + 4x + = Xem phương trình phương trình bậc hai ẩn t, ta có ( )  = ( 3x + ) − 2.4 x + 4x + = x − 2x + = ( x − 1) 2 t = x +  x + 3x = x +   Suy phương trình có hai nghiệm t = x +  x + 3x = x +  + Với  x +  x +   x3 + 3x = x +    x=1   x2 + ( x − 1) = x + 3x = x + ( )     ( ) x +  x +    x = + Với x + 3x = x +    ( x − 1) 4x + 3x + = 4 x + 3x = ( x + ) ( ) ( ) Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta có x = nghiệm • Hướng Phương trình cho có nghiệm x = Do ta xử lý phương trình cách nhân đại lương liên hợp Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với 2x + x + 10x + − ( x + 1)( 3x + ) = ( 3x + ) x + 3x − ( x + 1)( 3x + )  2x + x + 10x + − 3x − 8x − = ( 3x + )  x + 3x − ( x + 1)     2x − 2x + 2x − = ( 3x + )  x + 3x − ( x + 1)    368 x3 + 3x + x +  Do phương trình tương đương Chú ý với x  với ( ) x − x + x −1 = ( 3x + ) ( x − x2 + x − ) x + 3x + x + ( )  ( x − 1) x + =  x − x + x − =    x +   x=1   x + 3x = x +  4 x + 3x = ( x + )  ( ) Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta có x = nghiệm • Nhận xét Trong ba lời giải ta thấy lời giải có điểm mạnh riêng, nhiên lời giải thứ có điều đặc biệt phát đẳng thức bậc 2, điểm mấu chốt xác định số nhân vào phương trình Ngồi cách xác định hệ số nhân vào ta thử số số chẵn 2, 4, 6, 8,… Tuy nhiên hướng xác định thời gian Hai lời giải cịn lại dự kết lời giải thứ Bài 45 Giải phương trình x+3 + x+2 x+3 + x+3 + x+2 ( ) = Phân tích lời giải Quan sát phương trình ta thấy phương trình chứa nhiều thức nhiên biểu thức có bậc phương trình có lặp lại thức x + 2; x + nên ta nghĩ đến phép ẩn phụ hóa để loại bỏ thức Vấn đề đặt chọn đặt ẩn phụ hay đặt hai ẩn phụ Nhẩm số giá trị đặc biết ta thấy phương trình có nghiệm x = −2 Ngồi hình thức phương trình làm ta nghĩ đến phương pháp nhân lương liên hợp phương pháp đánh giá • Hướng Đặt t = x + , ta x2 = t − phương trình cho viết lại thành t +1 = (2 t2 + + t t +1 + t ) =1 Điều kiện xác định phương trình x  −2 nên ta có t  Chú ta phương trình có nghiệm x = −2 nên t = Đến ta nghĩ đến phép nhân 369 liên hợp làm xuất nhân tử chung t Để làm điều ta biến đổi phương trình t +1 = (2 t2 + + t t +1 + t ) ( =  t2 + + t ) t2 + + ( ) ( t2 + = t2 + + ) −12t + 20t − 16t + 16  15t − 16t + 16 t + = −12t + 20t − 16t + 16  t + = −1 15t − 16t + 16 t =  t = t ( − 12t ) t2   =  − 12t 2 = t + + 15t − 16t + 16  t + + 15t − 16t + 16 ( Với ) = t2 + + + Nếu t  12 + Nếu  t  2 − 12t ta thấy 15t − 16t + 16 t2 + +  0; − 12t  nên phương trình vơ nghiệm 15t − 16t + 16 − 12t ta có  Khi phương trình viết lại 12 15t − 16t + 16 thành 15t − 16t + 16 = ( − 12t ) ( ) ( ) t + +  15t − 4t + 11 = ( − 12t ) t + ( )  15t − 4t + 11 = ( − 12t ) t +  81t + 177t + 32t + 95 = 2 Dễ thấy 81t + 177t + 32t + 95  với  t  nên phương trình vơ nghiệm 12 Vậy phương trình có nghiệm t = nên ta x + =  x = −2 Như phương trình có nghiệm x = −2 • Hướng Điều kiện xác định phương trình x  −2 Đặt u = x + 3; v = x + ( u  0; v  ) Khi ta u2 − v2 = Phương trình cho viết lại thành u+v u+ = Chú ý đến u2 − v2 = ta viết phương ( 2u + v ) trình thành u+v u+ =  3u + =4 2 u2 − v ( 2u + v ) u − v 2u + v ( )( ) ( ) Rõ ràng phương trình khơng thể xử lý phép biến đổi thông thường với hình thức phương trình ta để ý đến phép đánh giá bất đẳng thức Cauchy 370 Chú ý x = −2 u = 1; v = Từ ta có biến đổi phương trình sử dụng bất đẳng thức Cauchy 3u + = (u − v) + ( u − v )( 2u + v ) ( u − v )( 2u + v ) + 2 2 Như 3u + ( u − v )( 2u + v ) 2u + v 2u + v + + 2 ( u − v )( 2u + v )  2.2 ( u − v )( 2u + v ) ( u − v )( 2u + v ) ( u − v )( 2u + v ) =4 = xẩy  2u + v u − v = = ( u − v )( 2u + v ) u =  x + =     x = −2   v =  x + =  ( u − v )( 2u + v ) =  ( u − v )( 2u + v )  Như phương trình có nghiệm x = −2 • Nhận xét Phương trình cho phương trình khó Trong hai hướng tiếp cận lời giải ta thấy hướng đặt ẩn phụ đơn giản hướng đặt ẩn phụ Tuy nhiên phương trình thu sau phép đặt ẩn phụ lại phải xử ký phép nhân liên hợp chứng minh phương trình thu sau nhân lượng liên hợp khó khăn Với cách đặt hai ẩn phụ ta thu hệ phương trình khơng phát yếu tố sử dụng phương pháp đánh giá ta khơng thể giải hệ phương trình TỔNG KẾT • Qua ví dụ ta thấy nhiều hướng tiếp cận tìm lời giải cho cho phương trình Đứng trước phương trình vơ tỷ ta cần có bước phân tích suy luận cách hợp lý tìm mối liên hệ thức cốt lõi phương trình để từ có cách nhìn tồn diện tìm tịi lời giải Mỗi phương trình vơ tỷ dù khó hay dễ để có liên hệ chất mà tác giả phương trình mong muốn tìm • Cũng qua ví dụ ta thấy ưu nhược điểm cách giải cho phương trình khó khăn gặp phải Từ ta tìm hướng khắc phục khó khăn để có lời giải tối ưu Lời giải có hướng khác phải phép suy luận thực lôgic 371 ... phương trình vơ tỷ lối giải tốn đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào trình phân tích gỡ rối cho hiệu Trong lời giải lời giải có điểm thú vị Do phương trình. .. thừa cách giải gọn gàng ( ) Ví dụ Giải phương trình x − + 4x = 4x 4x − Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ đầu nên ta có hướng tiếp cận lời giải cho phương trình. .. liên hợp cho phương trình Từ phân tích ta có lời giải cho phương trình theo hướng phân tích thứ Điều kiện xác định phương trình x  Đặt t = x − ( t  ) Khi ta có x = t + phương trình cho trở