Căn bậc hai: Khái niệm, hằng đẳng thức, ĐKXĐ, các phép biến đổi. Phương trình, bất ph/trình, hệ ph/ trình bậc nhất một ẩn: Dạng, ph/pháp giải. IV.Giải bài toán bằng cách lập hệ phương tr[r]
(1)Gia Sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TỐN LÊN 10
===========***===========
I VÒNG 1: ( 18 TIẾT): NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A.Đại số:
I Căn bậc hai: Khái niệm, đẳng thức, ĐKXĐ, phép biến đổi (2 tiết ) II Phương trình, bất ph/trình, hệ ph/ trình bậc ẩn: Dạng, ph/pháp giải (2
tiết )
III Hàm số bậc nhất, bậc hai: Đ/n, t/c, đồ thị, tương giao đồ thị (2 tiết )
IV.Giải tốn cách lập hệ phương trình, phương trình (2 tiết )
V.Phương trình bậc hai: Dạng, cơng thức nghiệm, Định lý Viet, ứng dụng (2 tiết )
B.H ình học:
I Hệ thức lượng tam giác vng Tỉ số lượng giác góc nhọn (2 tiết ) II Chứng minh Bằng – Song song; vng góc - Đồng quy; thẳng hàng (2 tiết )
III Chứng minh hai tam giác đồng dạng Hệ thức hình học (2 tiết ) IV.Tứ giác nội tiếp: Khái niệm, tính chất, dấu hiệu (2 tiết )
II VÒNG 2: ( 12 TIẾT): NHỮNG CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN SÂU I Cực trị đại số (2 tiết )
II Sự tương giao đường thẳng parabol mặt phẳng toạ độ (2 tiết ) III Hệ thức Vi-et ứng dụng (2 tiết )
IV Cực trị hình học (2 tiết ) V Phương trình vơ tỉ (2 tiết ) VI Bất đẳng thức (2 tiết )
III VÒNG 2: ( 12 TIẾT): THAM KHẢO MỘT SỐ ĐỀ THI VÀO THPT I Đề số 1:
(2)−A A
VÒNG 1: ( 18 TIẾT)
NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
§1.CĂN BẬC HAI A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x bậc hai số không âm a x2 = a Kí hiệu: x =
2.Điều kiện xác định biểu thức A
Biểu thức xác định A
3 Hằng đẳng thức bậc hai
= A = A A
4 Các phép biến đổi thức
+) =
+) = A
B
(A 0; B 0)
(A 0; B 0)
+) A2B = A (B 0)
+) A = A.B (A.B 0; B 0)
B B
+) m = m.(A B ) (B 0; A2 B) A B A2 − B
+) n = n.( A B ) (A 0; B 0; A B)
A B A − B
+)
với
A B =
m + n = A
m.n = B
m m.n + n = =
A
(3)3
3
3 − 2
2 +
2 +1
4 −
x2 + x x − x +1
x − x +1
(
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị biểu thức
A = (3 − )(−2 )+ (3 + 1)
2
B = + + + − + +
C = −
D = +
Giải
A = −6 + + 27 + +1 = 34 ( 3 + 2) ( 2 +1)
B = + − − = + + − − =
C =
D = 2.( −
+ −
=
3 )=
− = +1− − = −1
+ = +
D = + 1+ −1 = D =
VD2.Cho biểu thức y = +1−
Giải
a) Rút gọn y Tìm x để y =
b) Cho x > Chứng minh y − y =
c) Tìm giá trị nhỏ y
( x )
3
+1 x (2 +1)
a) y = + 1− = x ( + 1)+ 1− −1 = x −
y = x − x = x − − = ( +1)( − 2)=
− = = x =
(Ở ta áp dụng giải phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ) b) Có y − y = x − − x −
6 +
2 −
2 + +
2x + x
(4)1998 −1 1998 +
2.1998 + 19982
72 2
2 + − 14 12
Do x 1 x x − x − = x −
y − y =
c) Có: 2 2
1 1 2 1
y = x − = ( x ) − = ( x ) − x + − = + − −
2 4
Vậy Min y = − = = x =
2 4
4 2
VD3.So sánh hai số sau
a = + b =
Giải
a = + =
Có
= 2.1998 + 19982 −1 =
Vậy a < b
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Thực phép tính, rút gọn biểu thức
A = + 2 − 57 + 40
B = 1100 − 44 + 176 − 1331
C = (1− 2002 )2 2003 + 2002
D = − + 4,5 +
3
E = + 2 − − − (− )
2 .
F = −
G = −
H = + −
I = − − +
K = (2 + − ).(
L =
− − 2 )
1998
27
(5)1 − − 2x
12 −
x x −
x −
= =
(5 + 50 )(5 − 24 )
M =
75 −
N = +
3 − + − 5 +
P = − 12 + 20 18 − 27 + 45
Q = −
2
2 −
(2 + ) − R = + 13 + 48
2 Tính giá trị biểu thức
A = − a = ; b =
a +1 b +1 +
B = 5x2 − 5x + x = +
C = + 2x + − 2x x =
3
1+
3 Chứng minh
1+ 2x
a) + + =
2
b) + +
c) +
=1
+ − =
2 +
d) S =
2 + −
1 +
2 −
+ + số nguyên
99 + 100
4 Cho A 2x − x − ; B x −
a) Rút gọn A B b) Tìm x để A = B
( x )3 − x + 2x − +
5 Cho A = x + Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên x −
6 Tìm x, biết:
a) (4 − x )2 81 = 36 b) x +1 = c) =1
7 −
(6)§2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago
ABC vuông A AB2 + AC2 = BC2
2 Hệ thức lượng tam giác vuông
A
B
H C
1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC
3) AH2 = BH.HC
4)
AH2 = AB2 + AC2 Kết quả:
-Với tam giác cạnh a, ta có: h =
3 Tỉ số lượng giác góc nhọn
Đặt ACB = ; ABC = đó:
; S =
2
sin = AB = AH ; cos = AC = HC ; tg = AB = AH ; cot g = AC = HC
BC AC BC AC AC HC AB AH
b = a sin B = acosC = ctgB = ccot gC c = acosB = asinC = bctgB = btgC Kết suy ra:
(7)1) sin = cos; cos = sin; tg = cotg; cot g = tg
2) sin 1; cos<1; tg = sin ; cot g = cos
3) sin2 + cos2 = 1; tg.cot g =1;
cos sin2
sin
=1+ cot g;
cos2 =1 + tg 4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó:
a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA; S = bcsin A
B.M ỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh:
2 2 BC
2
a) AB + AC = 2AM + b) AB2 − AC2 = 2BC.MH
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm
a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC=700
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C
BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI
2 Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E
cắt đường thẳng DC F
Chứng minh:
AE2 + = AF2 a2
3 Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; BAC = ; 450 Kẻ đường cao
AE, BF
a) Tính cạnh tam giác BFC theo a tỉ số lượng giác góc b) Tính theo a, theo tỉ số lượng giác góc 2 , cạnh tam giác ABF, BFC
c) Từ kết trên, chứng minh đẳng thức sau:
(8)
1) sin 2 = 2sin cos;
2) cos2=cos2 − sin2 ;
3) tg2= 2tg − tg2
§3.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phương trình bậc ẩn -Quy đồng khử mẫu
-Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0)
-Nghiệm x = −b a 2 Phương trình chứa ẩn mẫu
-Tìm ĐKXĐ phương trình -Quy đồng khử mẫu
-Giải phương trình vừa tìm
-So sánh giá trị vừa tìm với ĐKXĐ kết luận 3 Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta cần giải phương trình thành phần Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) =
A (x ) = B(x ) =
C(x ) =
4 Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải biện luận phương trình)
Dạng phương trình sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm phương trình
-Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x = −b
(9)−A A
x = −4 DKXD -Nếu a = b ≠ phương trình vơ nghiệm
5 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần ý khái niệm giá trị tuyệt đối biểu thức
6 Hệ phương trình bậc
A = A A
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ số trường hợp xuất biểu thức giống hai phương trình
7 Bất phương trình bậc
Với bất phương trình bậc việc biến đổi tương tự với phương trình bậc Tuy nhiên cần ý nhân hai vế với số âm phải đổi chiều bất phương trình
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải phương trình sau
a) 2(x − 3) +1 = 2(x +1) − b) 7x − 5(x − 9) = 20x +1,5
8
c) 13 + = d) x − + x − =10(*)
Giải
2x2 + x − 21 2x + x2 −
a) 2(x − 3) +1 = 2(x +1) − 2x − = 2x − −5 = −7 (Vô lý) Vậy phương trình vơ nghệm
b) 7x − 5(x − 9) = 20x +1,5 21x −120x +1080 = 80x + −179x = −1074 x =
8
Vậy phương trình có nghiệm x =
c) 13 + = 13 + =
2x2 + x − 21 2x + x2 − (x − 3)(2x + 7) 2x + (x − 3)(x + 3)
ĐKXĐ: x 3; x − 7
2
13(x + 3) + (x − 3)(x + 3) = 6(2x + 7) 13x + 39 + x2 − =12x + 42
x2 + x −12 = (
x − 3)(x + 4) = x = 3 DKXD
Vậy phương trình có nghiệm x = -
d) Lập bảng xét dấu
(10)x – - + +
x - - - +
-Xét x < 3:
(*) − x + 3(7 − x) =10 24 − 4x =10 −4x = −14 x =
2 (loại) -Xét x 7:
(*) x − + 3(7 − x) =10 −2x +18 =10 −2x = −8 x = (t/mãn) -Xét x :
(*) x − + 3(x − 7) =10 4x − 24 =10 4x = 34 x = 17
2 (loại) Vậy phương trình có nghiệm x =
VD2.Giải biện luận phương trình sau
x + a − b x + b − a b2 − a2
a) − = (1)
a b ab
b) ax −1 + =
a (x2 +1) (2)
Giải x −1 x +1 x
2 −1
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠
(1) b(x + a − b) − a (x + b − a ) = b2 − a2 bx + ab − b2 − ax − ab + a2 = b2 − a2
(b − a )x = 2(b − a )(b + a )
-Nếu b – a ≠ b a x = 2(b − a )(b + a ) = 2(b + a ) b − a
-Nếu b – a = b = a Vậy:
thì phương trình có vơ số nghiệm
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) -Với b = a, phương trình có vơ số nghiệm
b) ĐKXĐ: x 1
(2) (ax-1)(x +1) + 2(x −1) = a (x2 +1) ax2 + ax − x −1 + 2x − = ax2 + a
(a + 1)x = a +
-Nếu a + ≠ a −1 x = a + a +
(11)
21−17y = y = y =
-Với a ≠ -1 a ≠ -2 phương trình có nghiệm
-Với a = -1 a = -2 phương trình vơ nghiệm
x = a + a +
VD3.Giải hệ phương trình sau
+ = x + 2y − 3z =
x + 5y =
a) b) x + y x − y c) x − 3y + z =
3x − 2y = − = x − 5y =
Giải
x − y x + y
a) x + 5y = 3x − 2y =
x = − 5y
3(7 − 5y) − 2y =
x = − 5y
x = − 5y
x =
hoặc x + 5y = 3x +15y = 21 17y = 17 y =1 3x − 2y = 3x − 2y = 3x − 2y = x =
b) ĐK: x y
đặt = u; = v
x + y x − y
u + v = 2v = v =
Khi đó, có hệ
3 u + v =
−u + v =
u =
Thay trở lại, ta được: x + y = x = x − y = y =
x + 2y − 3z =
x = + 5y x = + 5y x =
c) x − 3y + z = + 5y + 2y − 3z = − 3z = y =
1 7y
x − 5y = 1 + 5y − 3y + z = 2y + z = z =
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Giải phương trình sau
(12)
2x − 5y + 12 =
a) 3(x + 4) − 5(x − 2) = 4(3x −1) + 82 b) x + 17 − 3x − = −2
5
c) x + + x + = x + + x + d) x −1 − x = 7x −
65 64 63 62 x + x − − x2
e) x + − = f ) x + =
x − x x (x − 2)
g) 3x −1 = 2x + h) − x − 2x + =
i) + 3x (x + 3) (3x −1)(x + 2)
2 Giải biện luận phương trình sau
k) 4x + − x −1 2x − − x +
3
a) x − a + b = x − b + a
a b
b) a2 (x −1) − 3a = x
ax-1 x + a a2 +
c) − =
a+1 − a a2 −1
d) a + = a −1 + a + x − a x + x − a x +
3 Giải hệ phương trình sau
m + n + p = 21 x + y = 24
a) x + y =
9
b) 3x + 4y − = c)
(m + 1)x − y =
2u2 − v2 =
u2 + 2v2 = 66
n + p + q = 24 d)
p + q + m = 23 q + m + n = 22
4 Cho hệ phương trình
a) Giải hệ với m = -
mx + y = m
b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x + y dương
§4.CHỨNG MINH
BẰNG NHAU – SONG SONG, VNG GĨC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
(13)
a) Khái niệm: ABC = A 'B'C' A = A '; B = B'; C = C' AB = A 'B'; BC = B'C'; AC = A 'C'
b) Các trường hợp hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g
c) Các trường hợp hai tam giác vuông: hai cạnh góc vng; cạnh huyền cạnh góc vng; cạnh huyền góc nhọn
d) Hệ quả: Hai tam giác đường cao; đường phân giác; đường trung tuyến tương ứng
2 Chứng minh hai góc
-Dùng hai tam giác hai tam giác đồng dạng, hai góc tam giác cân, đều; hai góc hình thang cân, hình bình hành, …
-Dùng quan hệ góc trung gian với góc cần chứng minh -Dùng quan hệ góc tạo đường thẳng song song, đối đỉnh
-Dùng mối quan hệ góc với đường trịn.(Chứng minh góc nội tiếp chắn cung hai cung đường tròn, …)
3 Chứng minh hai đoạn thẳng -Dùng đoạn thẳng trung gian
-Dùng hai tam giác
-Ứng dụng tính chất đặc biệt tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng, hình thang cân, hình chữ nhật, …
-Sử dụng yếu tố đường tròn: hai dây cung hai cung nhau, hai đường kính đường trịn, …
-Dùng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, … 4 Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song
-Dùng mối quan hệ góc: So le nhau, đồng vị nhau, phía bù nhau, …
-Dùng mối quan hệ song song, vng góc với đường thẳng thứ ba -Áp dụng định lý đảo định lý Talet
-Áp dụng tính chất tứ giác đặc biệt, đường trung bình tam giác -Dùng tính chất hai dây chắn hai cung đường tròn 5 Chứng minh hai đường thẳng vng góc
-Chứng minh chúng song song với hai đường vng góc khác
-Dùng tính chất: đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại
-Dùng tính chất đường cao cạnh đối diện tam giác -Đường kính qua trung điểm dây
-Phân giác hai góc kề bù 6 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
-Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d A, B, C thẳng hàng
-Áp dụng tính chất điểm đặc biệt tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, …
(14)3R2
−
-Áp dụng tính chất: Hai góc có hai cạnh nằm đường thẳng hai cạnh nằm hai nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng
-Chứng minh AC đường kính đường trịn tâm B 7 Chứng minh đường thẳng đồng quy
-Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác
-Chứng minh đường thẳng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm chứng minh đường thẳng cịn lại qua điểm
-Dùng định lý đảo định lý Talet
B.M ỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O; R) Hai tiếp
tuyến B D cắt T
a) Chứng minh OT//AB.(góc BAD = góc TOD)
b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phân giác BOD; song song với AB)
c) Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R.(P = 3R ; S = ) d) Tính theo R diện tích giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD
(S = R2
3
VD2.Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M trung điểm AO Các đường
vng góc với AB M O cắt nửa đường trịn D C a) Tính AD, AC, BD DM theo R.(AD = R; AC = R R
)
; BD = R ; DM =
b) Tính góc tứ giác ABCD.(ABD = 300; ABC = 450; BCD = 1200; ADC = 1350)
c) Gọi H giao điểm AC BD; I giao điểm AD BC Chứng minh IH vng góc với AB.(AC, BD đường cao tam giác IAB)
VD3.Cho tam giác ABC cạnh a Kéo dài BC đoạn CM = a
a) Tính góc tam giác ACM.(ACM = 1020; CAM = CMA = 300) b) Chứng minh Am vng góc với AB.(MAB = 900)
c) Kéo dài CA đoạn AN = a kéo dài AB đoạn BP = a Chứng tỏ tam giác MNP đều.(tgMCN = tgNAP = tgPBM)
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho hình vng ABCD Lấy điểm M đường chéo BD Gọi E, F hình
chiếu M lên AB AD
(15) −c a
b) Chứng tỏ: CM = EF CM vng góc với EF (tgCKM = tgFME, K giao của FM CB)
c) Chứng minh đường thẳng CM, BF, DE đồng quy.(CM, ED, FB ba đường cao tam giác CEF)
2 Cho tam giác ABC vng A Đường trịn qua tâm O qua A tiếp xúc với BC B
và đường tròn tâm I qua A tiếp xúc với BC C
a) Chứng minh hai đường tròn (O) (I) tiếp xúc A.(tgOAB; tgIAC
cân; OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng)
b) Từ O kẻ đường vng góc với AB từ I kẻ đường vng góc với AC Chứng minh chúng cắt trung điểm M BC.(MA = MB = MC)
c) Chứng minh MO vng góc với MI.(OMI = 900)
d) Kéo dài BA cắt đường tròn tâm I P Chứng minh C, P, I thẳng hàng.(tính
chất góc nội tiếp PIA + AIC = 1800)
3 Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt A B cho góc OAO’ 900 Qua A kẻ cát tuyến MAM’ vng góc với AP P trung điểm OO’ M, M’ theo thứ tự giao điểm cát tuyến với hai đường tròn (O); (O’) Chứng minh:
a) AM = AM’.(A trung điểm DC; OC, O’D vng góc với MM’) b) Tam giác ABM cân.(tgOAC = tgOHA)
c) BM vng góc với BM’.(AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vng)
d) Với vị trí cát tuyến MAM’ MM’có độ dài lớn nhất.(MM’=2OO’; MM’//OO’)
-
§5.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải biện luận, cần ý a = phương trình trở thành bậc ẩn (§5)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các dạng cách giải
Dạng 1: c =
x =
(1) ax2 + bx = x (ax+b) = b x =−
a
Dạng 2: b =
(1) ax2 + c = x2 = −c a
-Nếu −c
(16)
P
-Nếu −c
a phương trình vơ nghiệm
Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
= b2 − 4ac ' = b'2 − ac
: phương trình có nghiệm phân biệt
x = −b + ; x = −b −
2a 2a
' 0: phương trình có nghiệm phân biệt
x = 1 −b'+ ' ; x = −b'− '
a a
= : phương trình có nghiệm kép x = x = −b
1
2a
' = 0: phương trình có nghiệm kép x = x = −b'
1
a
: phương trình vơ nghiệm ' : phương trình vơ nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa phương trình bậc hai
Cần ý dạng trùng phương, phương trình vơ tỉ dạng đặt ẩn phụ, dạng chứa ẩn mẫu dạng tích nói §5
3.Hệ thức Viet ứng dụng
-Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
S = x
+ x2 = −
b
a c P = x x =
a
-Nếu có hai số u v cho
phương trình x2 – Sx + P =
u + v = S
uv = P (S
2 4P)
thì u, v hai nghiệm
-Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = c a
-Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 =
4.Điều kiện có nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)
-(1) có nghiệm ; có nghiệm phân biệt
− c a
-(1) có nghiệm dấu
-(1) có nghiệm dương
(17)−b + −b −
-(1) có nghiệm âm
P S
-(1) có nghiệm trái dấu ac < P <
5 Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện
đó
a) x + x = ; b) x + x = m; c) + = n
1 2
x1 x2 d) x + x h; e) x + x = t;
1 2
Trong trường hợp cần sử dụng hệ thức Viet phương pháp giải hệ phương trình
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải phương trình sau
a) 3x2 + 2x = b) − x2 + = c) x2 + 3x −10 =
d) 2x2 + ( −1)x +1− = e) x − + = f )
Giải
x =
(x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =
a) 3x2 + 2x = x (3x + 2) = 2 x =−
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … b) − x2 + = x2 = 16 x = 4
2
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … c) a = 1; b = 3; c = −10
= b2 − 4ac = 32 − 4.1.(−10) = 49
x = = −3 + = 2; x
1
2a 2.1 = =
−3 − = −5
2a 2.1
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … d) a = 2; b = −1; c =1− 2
Có a + b + c = + −1+1− 2 =
Theo hệ thức Viet, có: x = 1; x = c = 1− 2 = −
1
a 2
(18)−5 + 13 −5 − 13
−b + −b −
t = −3 Vậy t1 = 1; t2 =
Suy ra: x1 = 1; x2 =
f) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6)= Đặt x2 + 5x + = t, ta có:
t (t + 2) = t2 + 2t − = (t −1)(t + 3) = t = x2 + 5x + = x2 + 5x + =
Suy ra: x2 + 5x + = −3 x2 + 5x + = x1 =
2 ; x2 =
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2.Cho phương trình x2 + 3x – m = (1)
a) Giải phương trình với m =
b) Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2 Tìm nghiệm cịn lại
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện sau:
1 2x1 + 3x2 = 13
2 Nghiệm lớn nghiệm ba đơn vị x 1 2 + x 2 2 = 11
e) Chứng tỏ ; x1 x2
là nghiệm phương trình mx2 – 3x – = Trong
đó x1, x2 hai nghiệm (1)
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Em có nhận xét hai nghiệm
Giải
a) Với m = ta có: x2 + 3x – = (a = 1; b = 3; c = -4) Nhận thấy: a + b + c = + + (-4) =
Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 = c = −4 a b) có: = b2 − 4ac = + 4m
+ 4m m −
x = = −3 + + 4m ; x = = −3 − + 4m
2a 2 2a
= + 4m = m = −
x1 = x2 = −b = −
2a
+ 4m m −
(19)
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, đó:
(-2)2 + 3(-2) – m = m = -2 -Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình cho: x2 + 3x + = có a – b + c = – + = nên x1 = -1; x2 =
Vậy nghiệm lại x = -
−c = −2 a
Cách 2: Ta có x1 + x2 = − b x = − b − x = −3 − (−2) = −1
a a
Cách 3: Ta có x1x2 = c x = c : x = −m = −1
a a −2
b
x1 + x2 = −
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13 a x x = c
a
m −
2x + 3x
1 = 13
x + x = −3 giải hệ tìm x = -22; x = 19; m = 418
2
x1x2 = −m
2x1 + 3x2 = 13
-Tương tự ta tìm (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1) + = x1 + x2 =
x x x x m 2 9 + 4m
e) Ta có 2 mà − 4 − = + =
1 1 m m m2 m m2
x1 x2
= = −
x1.x2 m
Vậy ;
x1 x2 hai nghiệm phương trình
x2 − x − = mx2 − 3m −1 =
m m
m − 9
f) Phương trình có hai nghiệm dấu P − m 4
(20)2
2
Hai nghiệm ln âm Vì S = -
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Giải phương trình sau
a) x2 − 5x = b) 2x2 + = c) x2 −11x + 30 = d) x2 − (1+ )x + =
e) x4 − 7x2 +12 = f ) (x − 2)2 − x − + =
g) − 1 + x − = h) (x +1)(x + 2)(x + 5)(x − 2) = −20 x2 − x (x − 2) x (x + 2)
i) 2x2 − 8x − 2x2 − 4x − =12 k) x2 + − 4,5 x + + =
x2 x
2 Cho phương trình
x2 − 3x +1 = , có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau:
2 3 3x
2 + 5x x + 3x
A = x1 + x2 ; B = x1 + x
2 ; C =
1 2
4x 3x + 4x x
3 Cho phương trình x2 + mx + m+3 = a) Giải phương trình với m = -2
1 2
b) Giải biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x ; x + x theo m
d) Xác định giá trị m để x12 + x22 = 10 e) Tìm m để 2x1 + 3x2 =
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm cịn lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm dấu dương
4.Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – = a) Giải phương trình với m =
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối
d) Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
5.Cho phương trình x2 – mx + m – = 0, ẩn x, tam số m
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) giá trị tương ứng m
b) Đặt A = x12 + x 2 – 6x x
+) Chứng minh A = m2 – 8m + +) Tìm m để A =
(21)a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2
(22)d) Lập phương trình nhận hai số
e) Lập phương trình nhận hai số
; x1 x1
; x2
1 làm nghiệm x2
x2
làm nghiệm x1
-
§6.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Tam giác đồng dạng
A = A '; B = B'; C = C' -Khái niệm: ABC A 'B'C' AB = AC = BC
A 'B' A 'C' B'C'
-Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền - cạnh góc vng…
*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bình phương tỉ số đồng dạng
2 Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác vuông, …
Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD
-Chứng minh hai tam giác MAC MDB đồng dạng hai tam giác MAD MCB
-Trong trường hợp điểm nằm đường thẳng cần chứng minh tích tích thứ ba
Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB chứng minh hai tam giác MTA MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba
(23)B.M ỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho hình bình hành ABCD Từ đỉnh A kẻ cát tuyến cắt đường chéo BD
E, cắt cạnh BC F cắt cạnh CD G Chứng minh: a) Các tam giác DAE BFE đồng dạng
b) Các tam giác DGE BAE đồng dạng c) AE2 = EF.EG
d) Tích BF.DG không đổi cát tuyến qua A thay đổi
VD2.Cho hình bình hành ABCD Từ C kẻ CM vng góc với AB, CN vng góc với
AD Giả sử AC > BD Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC2
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H
Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua H vng góc với MH cắt AB P, cắt AC Q Chứng minh:
a) AHP ~ CMH b) QHA ~ HMB c) HP = HQ
2 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Lấy P cạnh AB, Q
cạnh AC cho góc PMQ 600
a) Chứng minh MBP ~ QCM Từ suy PB.CQ có giá trị khơng đổi b) Kẻ MH vng góc với PQ, chứng minh MBP ~ QMP; QCM ~ QMP c) CHứng minh độ dài MH không đổi P, Q chạy AB, AC thỏa mãn điều kiện góc PMQ 600
3 Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE
b) Vẽ hình bình hành BEKD, chứng minh CE > EK c) Chứng minh CE > BD
§7.GIẢI BÀI TỐN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
(24)Bước Gọi ẩn đặt điều kiện: Gọi (hai) số điều chưa biết làm ẩn đặt điều kiện cho ẩn
Bước Biểu diễn đại lượng chưa biết lại qua ẩn
Bước Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ đại lượng biết chưa biết
Bước Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập
Bước Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm với điều kiện kết luận *Chú ý việc tóm tắt tốn trước làm
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
1.Để đoạn đường từ A đến B, xe máy hết 3h20 phút, cịn ơtơ hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h
Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tốc (km/h)
Xe máy x 3h20ph =
10 h
3 x: 10 = 3x 10
Ơtơ x 2h30ph =
5 h
2 x: = 2x Từ có phương trình 2x − 3x = 20 , giải x = 200 km
5 10
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x - 20 3h20ph =
10 h
10 (
x − 20)
Ơtơ x 2h30ph = h
2
5 x
Từ có phương trình x = 10 (x − 20), giải x = 80 km/h
2
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x 3h20ph =
10 h
10 x
Ơtơ x + 20 2h30ph =
5 h
5 (
x + 20)
Từ có phương trình 10 x = (x + 20), giải x = 60 km/h
3
*Nhận xét: Trong cách làm cách thứ ngắn gọn
(25)1 Cho 200g dung dịch có nồng độ muối 10% Phải pha thêm vào dung dịch
lượng nước để dung dịch có nồng độ muối 8%
2 Có hai vịi nước, vòi chảy đầy bể 1,5 giờ, vòi chảy đầy bể
Người ta cho vịi chảy thời gian, khóa lại cho vòi chảy tiếp, tổng cộng 1,8 đầy bể Hỏi vịi chảy bao lâu?
3 Tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị số có hai chữ số
bằng 18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số ban đầu 54 Tìm số ban đầu
4 Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m chiều rộng
3m diện tích tăng thêm 225m2 Tính kích thước hình chữ nhật
5 Một cửa hàng ngày bán số xe đạp xe máy Biết số xe đạp
bán nhiều số xe máy tổng bình phương hai số 97 Hỏi cửa hàng bán xe loại
6 Dân số địa phương 41618 người Cách năm dân số địa
phương 40000 người Hỏi trung bình năm dân số địa phương tăng phần trăm
-
§8.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp chứng minh
-Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù
-Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc
-Chứng minh tổng góc ngồi đỉnh với góc đối diện bù -Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB tứ giác ABCD nột tiếp (Trong M = AB CD; N = AD BC )
-Nếu PA.PC = PB.PD tứ giác ABCD nội tiếp (Trong P = AC BD ) -Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vng; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm thuộc đường tròn ta chứng minh điểm lúc Song cần ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường trịn”
B.M ỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, có điểm M Trên đường kính
AB lấy điểm C cho AC < CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By A B với (O) Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P, đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CQ BM Chứng minh:
(26)c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng
VD2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AA’, đường cao AM
a) Hai đường cao BN, CP cắt H PN cắt AA’ S Chứng minh tứ giác BPNC A’SNC nội tiếp
b) Chứng minh PN vng góc với AA’
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho (O; R) dây cung AB ( AB < 2R) Trên tia AB lấy điểm C cho AC > AB
Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn P K Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác ACP PCB đồng dạng Từ suy CP2 = CB.CA
c) Gọi H trực tâm tam giác CPK, tính PH theo R
d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối tia BK tia phân giác góc CBP 2.Cho tam giác ABC cân A, cung trịn phía tam giác tiếp xúc với AB, AC B C Từ điểm D cung BC kẻ đường vng góc DE với BC, DF với AC DG với AB Gọi M giao điểm BD GE, N giao điểm EF DC Chứng minh:
a) Các tứ giác BEDG CEDF nội tiếp b) DE2 = DF.DG
c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy MN vng góc với DE d) Nếu GB = GE EF = EC
3 Từ điểm M đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ đường vng góc hạ
xuống ba cạnh tam giác MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC Chứng minh: a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp
b) Ba điểm H, I, K nằm đường thẳng (đường thẳng Simson)
-
§9.HÀM SỐ - ĐỒ THỊ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Tính chất hàm số bậc y = ax + b (a ≠0) -Đồng biến a > 0; nghịch biến a <
-Đồ thị đường thẳng nên vẽ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị +Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số qua gốc tọa độ
+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm b -Đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc , mà tg= a
-Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA + b 2 Vị trí hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ
(27)A -Hai đường thẳng trùng a1 = a2 b1 = b2
-Hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2
+Nếu b1 = b2 chúng cắt b1 trục tung +Nếu a1.a2 = -1 chúng vng góc với
3 Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)
-Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > -Đồ thị hàm số Parabol qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > parabol có điểm thấp gốc tọa độ +) Nếu a < Parabol có điểm cao gốc tọa độ -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = ax 4 Vị trí đường thẳng parabol
-Xét đường thẳng x = m parabol y = ax2:
+) ln có giao điểm có tọa độ (m; am2) -Xét đường thẳng y = m parabol y = ax2:
+) Nếu m = có giao điểm gốc tọa độ
+) Nếu am > có hai giao điểm có hồnh độ x =
+) Nếu am < khơng có giao điểm -Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) parabol y = ax2:
+) Hoành độ giao điểm chúng nghiệm phương trình hồnh độ ax2 = mx + n
B.M ỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho (P): y = x2
1 Vẽ (P) hệ trục Oxy
2 Trên (P) lấy hai điểm A B có hồnh độ Hãy viết phương trình đường thẳng qua A B
3 Lập phương trình đường trung trực (d) AB Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
5.Tính diện tích tứ giác có đỉnh A, B điểm 1; trục hoành
VD2.Trong hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) đồ thị hàm số
x2
y = − ; y = x +1
toán
a) Vẽ (P) (d)
b) Dùng đồ thị để giải phương trình x2 + 4x + = kiểm tra lại phép
Phương trình cho
x2
− x2
4 = x + Nhận thấy đồ thị hai hàm số vừa vẽ
đồ thị y =− y = x +1
(28)
Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc A nên phương trình có nghiệm kép hồnh độ điểm A
c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ - Tìm giao điểm lại (d1) với (P)
VD3.Cho (P): y = 1 x2
4 đường thẳng (d) qua hai điểm A, B (P) có hồnh độ –
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm M cung AB (P) tương ứng với hoành độ x chạy khoảng từ - đến cho tam giác MAB có diện tích lớn
Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn đường cao MH lớn MH lớn khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB tiếp xúc với (P)
Tìm tọa độ M 1; 4
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho (P): y = ax2
a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(1; 1) Hàm số đồng biến, nghịch biến
b) Gọi (d) đường thẳng qua A cắt trục Ox điểm M có hồnh độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) tìm m để (d) (P) có điểm chung
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) đường thẳng (d1):
y = -2(x+1) a) Giải thích A nằm (d1)
b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A
c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A vng góc với (d1)
d) Gọi A, B giao điểm (P) (d2); C giao điểm (d1) với trục tung Tìm tọa độ B C Tính diện tích tam giác ABC
3 Cho (P): y = x2 (d): y = 2x + m Tìm m để (P) (d): a) Cắt hai điểm phân biệt
b) Tiếp xúc c) Không giao
4 Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) đồ thị hàm số y = x2 a) Vẽ (P)
b) Gọi A, B hai điểm thuộc (P) có hoành độ – Viết phương trình đường thẳng AB
(29)7 + −
5 Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình là:
y = (m-2)x + y = mx + m +
a) Tìm m để (d1) qua điểm A(1; 5) Vẽ đồ thị hai hàm số với m vừa tìm
b) Chứng tỏ (d1) qua điểm cố định với m ≠ c) Với giá trị m (d1) //(d2); (d1) ⊥ (d2)
d) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng (d1), (d2) trục hoành trường hợp (d1) ⊥ (d2)
-
PHẦN BÀI LUYỆN GIẢI CƠ BẢN I BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
Bài Tìm điều kiện xác định biểu thức sau
a) − 5x b) c) 6x − d)
1− x x − 1− x
Bài Thực phép tính, rút gọn biểu thức
a) 18 + − 32 − 50 b) (7 48 + 27 − 12 ): c) − 18 + 50 d) 12 + 75 − 48
e) + −
g)
4 − −
h)
2 f )
3
2 +
2 + 2 + +
Bài Giải phương trình, bất phương trình sau
a) 1+ 2x =10 b) (7 + x )(8 − x )= x +11 c) =
d) = 3x + e) 72 f )
II HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(30)
( ) 10.
x2
Bài Giải hệ phương trình sau
3x + 5y = 2x + 3y = −2 3u + v = x = − y
1.
5x + 2y = 2. 3x − 2y = −3 3. 7u − 2v = 23
5 15
2x − 5y = 10
5.x − 6y = 17 6.40x + 3y = 10
1
x + y − =
7 8.4a − 5b −10 =
a b
5x + y = 23 20x − 7y = − + =
5x − y = 11 5 3
6(x + y) = + 2x − 3y 9.
5 y − x = + 3x + 2y
−2(2x +1) +1,5 = 3(y − 2) − 6x 11,5 − 4(3 − x ) = 2y − (5 − x )
2 + =
(x −1)
11. − (x + 2) 2
= 9y
12. x − y −1
3x2 + y2 =
13.
x2 − 3y2 = (y − 3) − (y + 2) = 5x − =
x − y −1
x = + z x + y = x + y + z = 12
14.y = + 3z 15.y + z = 16.2x − 3y + z = 12 z − 3x − 3y = −2 z + x = x + y − 2z = −9
Bài Với giá trị tham số m
a) x + y = m + có nghiệm nguyên b) 3x + 5y = 2m
mx − 2y =
vô nghiệm 3x + y =
III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài Giải phương trình sau
a) 3x2 +12x = b) 5x2 −10x = c) 3x2 −12 = d) 3x2 −1 = e) x2 + 5x + = f ) 3x2 − 7x + = g) 5x2 + 31x + 26 =
h) x2 −15x −16 = i) 19x2 − 23x + = k) 2x2 + 3x +11 =
l) y + = m) 9x +12 − =
y2 − 6y + 2y2 y2 − 3y x3 − 64 x2 + 4x +16 x −
n) 3x − x +14 = p) (x2 + x +1)(x2 + x +12)=12 q) x2 + + x + = 27
x
Bài Cho phương trình x2 + 5x + = Khơng giải phương trình tính: a) x 2x + x x b) x1 + x
2 c) (x + 2x )(2x + x ) d) x + + x
1 2
x x 2 x x
2
(31)Bài Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x2 – 7x – = Hãy lập phương trình có nghiệm là:
a) 3x ; 3x b) ; c) x x ; x 2x d) ; e) x1 ; x2
f ) x + 2x ; 2x + x
1
x x1 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2 x 1 2
Bài Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m =
a) Giải biện luận số nghiệm phương trình
b) Phương trình có nghiệm x = Tìm m nghiệm cịn lại
c) Tìm m để x1 + x2 x2 x1
=
d) Tìm m để (2x1 + x2 )(x1 + 2x2 )
e) Tìm biểu thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Có nhận xét hai nghiệm
IV HÀM SỐ
Bài Cho hàm số y = (a – 3)x + b (d) Tìm giá trị a, b cho đường thẳng
(d):
a) Đi qua hai điểm A(1; 2) B(-3; 4)
b) Cắt trục tung điểm 1− cắt trục hoành điểm 1+
c) Cắt hai đường thẳng 2y – 4x + = ; y = x – điểm song song với đường thẳng y = -2x +
d) Đi qua điểm C (1; -3) vng góc với đường thẳng y = x +
e) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng câu d trục tung
Bài Cho hai hàm số y = x2 (P); y = x + 2m – (d)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ (d) qua điểm A(1; 1) b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm
c) Tìm m để (d1): y = 2x – cắt (d) (P) điểm
(32)V GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1 Cách 18 năm, hai người tuổi gấp đơi Nhưng năm tuổi
của người thứ
4 tuổi người thứ hai Tính tuổi người
2 Một ôtô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận
tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qng đường AB thời gian dự định lúc đầu
3 Tìm hai số biết bốn lần số thứ hai với năm số thứ 18040 ba lần số thứ hai lần số thứ hai 2002
4 Hai thùng nước có dung tích tổng cộng 175 lít Một lượng nước đổ đầy thúng thứ
nhất
thùng thứ hai đổ đầy thùng thứ hai
2 thùng thứ Tính dung tích thùng
5 “Cô gái làng bên lấy chồng Họ hàng kéo đến thật đông Năm người cỗ
thừa ba cỗ Ba người cỗ chín người khơng.” Hỏi có người, cỗ
6 Hai vịi nước chảy vào bể khơng sau đầy bể Nếu vịi thứ
chảy giờ, vòi thứ hai chảy
5 bể Hỏi vịi chảy đầy bể
7 Một phong họp có 120 chỗ ngồi, số người đến họp 165 người Do người
ta phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải thêm người ngồi Hỏi phịng họp lúc đầu có dãy ghế, biết phịng họp có khơng q 20 dãy ghế ?
8 Một tầu thủy khúc sông dài 100 km Cả hết 10giờ 25 phút Tính
vận tốc tầu thủy, biết vận tốc dòng nước km/h
9 Cạnh huyền tam giác vuông 10m Hai cạnh góc vng 2m
Tính độ dài cạnh góc vng tam giác
==================@@@==================
VÒNG 2: ( 12 TIẾT)
(33)CHUYÊN ĐỀ 1: CỰC TRỊ ĐẠI SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Tìm giá trị lớn (max) hay giá trị nhỏ (min) biểu thức xác định giá trị biến để biểu thức đạt giá trị lớn hay nhỏ
-Giá trị lớn biểu thức A: maxA
Để tìm maxA cần A M, M số Khi maxA = M -Giá trị nhỏ biểu thức A: minA
Để tìm minA cần A m , m số Khi minA = m
2 Các dạng tốn thường gặp
2.1 Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường bậc hai):
Nếu A = B2 + m (đa thức biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … A có giá trị nhỏ minA = m
Nếu A = - B2 + M (đa thức biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), … A có giá trị lớn maxA = M
2.2 Biểu thức A có dạng phân thức:
2.2.1 Phân thức A = m , m số, B đa thức
B
nhất
-Nếu mB > A lớn B nhỏ nhất; A nhỏ B lớn
-Nếu mB < (giả sử m < 0) A lớn B lớn nhất; A nhỏ B nhỏ
2.2.2 Phân thức A = B , B có bậc cao bậc C
C
Khi ta dùng phương pháp tách giá trị nguyên để tách thành A = n + m ; A = n + D
C C m, n số; D đa thức có bậc nhỏ bậc C
2.2.3 Phân thức A = B , C có bậc cao bậc B
C
lại
Cần ý tính chất: A có giá trị lớn
A có giá trị nhỏ ngược
2.3 Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa thức bậc hai:
-Chia khoảng giá trị để xét -Đặt ẩn phụ đưa bậc hai
-Sử dụng tính chất giá trị tyệt đối:
(34)1 n n 1 2 n n
-Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc
Bất đẳng thức Côsi: a ,a , ,a (a + a + + a )
1 n
dấu “=” xảy a1 = a2 = …= an n
1 n
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: a1,a2 , ,an ;b1,b2 , ,bn
có (a + a + + a )(b + b + + b ) (a b + a b + + a b )2 dấu “=” xảy
khi a1 = a2 = = an
b1 b2 bn B.MỘT SỐ VÍ DỤ
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có biểu thức sau
A = −x2 − 3x + 3; B = 2x2 + 2y + y2 − 2x + 2xy + 2007
3 x2
C = ; D =
4x2 − 4x + x −1 (x 1)
E = x −1 + x − ; F = 2x −12 − 2x −1 +
G = x + − x; H = +
Giải
3 2 2
3 2 21 21 * A = − x2 + 2.x + + + = − x + + x
4
Dấu “=” xảy x = − Vậy maxA = 21
4
khi x = -
B = (x2 + 2xy + y2 + 2y + 2x +1)+ (x2 − 4x + 4)+ 2002 *
= (x + y +1)2 + (x − 2)2 + 2002 2002 x, y Dấu “=” xảy x + y +1 = x =
x − = y = −3
Vậy minB = 2002 x = y = -
* C =
(2x −1)2 +
mà (2x −1)2 + x C = x
Dấu “=” xảy x = Vậy maxC =
2 x =
(35)
3
x2 −1+ 1
* D = = x + 1+ = x −1+ +
x −1 x −1 x −1
Do x > nên x −1 0;
x −1 theo Bđt Cơsi có x −1+ (x −1) = =
x −1 x −1
D Dấu “=” xảy x −1+ = x −1 = = x =
Vậy minD = x =
*
x −1 x −1
x
x – - + +
x - - - +
Khi x < 1: E = – x + – x = – 2x > – 2.1 = Khi 1 x 3: E = x – + – x =
Khi x > 3: E = x – + x – = 2x – > 2.3 – = Vậy minE = 1 x
* Đặt t = 2x −1 F = t2 − 3t + = t −
3 2
− − t 4
x = Dấu “=” xảy t = 2x −1 = 2x −1 =
2 2
x =−
Vậy minF = −
4 x =
4 x =−
* ĐKXĐ: x
Đặt t = t2 = − x x = − t2
G = − t2 + t = − t −
1 2
+ t 4 Dấu “=” t =
2
2 − x = x =
2
Vậy maxG =
2
(36)(37)2
y=g(x)
* ĐKXĐ: −1 x 1
H = 1− x + 1+ x H2 = + 1− x2
Có 1− x2 1 1− x2
H2 H
Dấu “=” thứ xảy x = Dấu “=” thứ hai xảy x = Vậy minA = x = 1; maxA = x =
CHUYÊN ĐỀ 2:
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
I) Vị trí t•ơng đối đ•ờng thẳng (D) y=f(x) đ-ờng thẳng (D’) y=g(x)
Tr•ớc hết ta cần nhớ lại kiến thức t•ơng giao hai đ•ờng thẳng: Cho (C) đồ thị hàm số y=f(x) điểm A(xA;yA) ta có:
A(C) YA = f (X A ) ; A(C) YA f ( X A )
Muốn tìm toạ độ điểm chung đồ thị hàm số y=f(x) y=g(x) ta tỡm nghim ca h
phãơng trình: y=f(x)
Vì hồnh độ giao điểm chung hai đồ thị nghịêm hệ ph•ơng trình
Ta củng cần nhớ lại vị trí t•ơng đối hai đ•ờng thẳng: cho đ•ờng thẳng y=ax+b (a ) (D) y= ax + b(a 0)
giao điểm chung (D) (D) lµ: (a − a) x = b − b (1)
(D) ph•ơng trình hồnh độ
- (D) // (D) phãơng trình (1) nghiệm a=a,và b b,
- (D) trùng (D) phãơng trình(1) có vô số nghiêm a=a, b b, - (D) cắt (D) phãơng trình(1) có nghiệm a a,
Dạng1:Tìm toạ độ giao điểm hai ãng thng
Ví dụ1: cho hai hàm số y=x+3 (d) vµ hµm sè y=2x+1 (d,)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ b)Tìm toạ độ giao điểm có hai đồ thị
Gi¶i:
(38)b) Hồnh độ giao điểm nghiệm ph•ơng trình:x+3=2x+1 x=2 suy y=5 Ví dụ2: Cho đ•ờng thẳng lần l•ợt có ph•ơng trình:
(D1) y=x+1 ; (D2) y=-x+3 ; (D3) y=(m2-1)x+m2-5 (với m 1) Xác định m để đ•ờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy
Gi¶i:
Hồnh độ giao điểm B (D1) ,(D2) là:-x+3=x+1 x=1 thay vào y=x+1suy y=2 để
3 đ•ờng thẳng đồng quy (D3)phảI qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào ph•ơng
tr×nh (D3) ta cã: 2=(m2-1)1+m2-5 m2=4 m=2;m=-2
Vậy với m=2;m=-2thì đ•ờng thẳng (D1) ,(D2), (D3) đồng quy
2) Vị trí t•ơng đối đ•ờng thẳng (D) y=f(x) parabol (P) y=g(x)
Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung (D)và (P) nghiệm ph•ơng trình f(x)= g(x) (2).ph•ơng trình(2) phãng trỡnh bc hai.Ta thy:
(D) (P) điểm chung phãơng trình(2) vô nghiệm D) tiếp xúc (P) phãơng trình(2) có mét nghiƯm =
D) c¾t (P) hai điểm phãơng trình(2) có hai nghiệm Sau số toán biện luận đãờng thẳng parabol Dạng 1: Bài toán chứng minh
C/minh rằng:Đãờng thẳng (D):y=4x-3 tiÕp xóc víi parabol (P): y=2x2-4(2m-1)x+8m2-
Gi¶i:
Hoành độ giao điểm chung (D) (P) nghiệm ph•ơng trình: 2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-3 2x2-8mx+8m2=0 x2+4mx+4m2=0 Ta có: = 16m2 −16m2 =
với giá trị m nên Đãờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ:Chứng minh đãờng thẳng (D):y=x+2m parabol(P):y=-x2-x+3m a)Với giá trị m th×(D) tiÕp xóc víi parabol(P)
b) Với giá trị m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A B.tìm toạ độ giao điểm A B m=3
Gi¶i:
a) Hồnh độ giao điểm chung (D) (P) nghiệm ph•ơng trỡnh: -x2-x+3m=x+2m -x2-2x+m=0
Đãờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) phãơng trình (3) có nghiệm kép
= 4+4m=0 m=-1
b) Đãờng thẳng (D) cắt parabol (P) phãơng trình (3) cã nghiƯm ph©n biƯt 4+4m>0 m>-1
Khi m=3 hồnh độ giao điểm (D) (P) nghiệm ph•ơng trình -x2-2x+3=0 x=1 x=3
Từ suy toạ độ giao điểm A,B (D) (P) là:A(1;7) B(3;9) Dạng 3:Lập ph•ơng trình tiếp tuyến
(39)a) đãờng thẳng (D) song song với đãờng thẳng 2y+4x=5 tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
b)Đãờng thẳng (D) vuông góc với đãờng thẳng x-2y+1=0 tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
c) đãờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 điểm C(3;2) Giải:
a) Ta có: 2y+4x=5 y=-2x+5/2 nên phãơng trình đãờng thẳng (D) có dạng: y=-2x+b (b ) theo cách tìm dạng ta tìm đãợc b=
2
Vậy phãơng trình đãờng thẳng (D) là:y=-2x+1/4
b) Ta có: x-2y+1=0 y=1/2x+1/2.Đãờng thẳng (D) vuông góc với đãờng thẳng có phãơng trình:x-2y+1=0 a.1/2=-1 a=-2 suy (D):y=-2x+b
Theo cách làm dạng 2,ta tìm đãợc b=1.Vậy phãơng trình đãờng thẳng (D) có phãơng trình là:y=-2x+1
c)Ta có:C(3;2) (D) 2=3a+b b=2-3a
Theo cách làm dạng ta tìm đãợc a=3 suy b=-7 Vậy phãơng trình đãờng thẳng (D) có phãơng trình là:y=3x-7
Dng 4:Xỏc nh to độ tiếp điểm Ví dụ:Cho parabol (P):y=x2-2x-3
Tìm điểm (P) mà tiếp tuyến (P) điểm song song với đ/thẳng (D):y=- 4x
Gi¶i:
Gọi đãờng thẳng tiếp xúc với (P) (d)
Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b 0) Hoành độ điểm chung (p) (d) nghiệm ph•ơng trình: x2-2x-3=-4x+b x2+2x-3+b=0 (2)
Ta thÊy: (d) tiÕp xóc víi (P) phãơng trình (2) có nghiệm kép
= + b = b = −4
Khi điểm A(x0;y0) tiếp điểm (P) (d) thì(do A( p); A(d) nên ta cú h
phãơng trình;
y = x2 − 2x − x = −1
0
y0 = −4x0 − y0 =
Dạng 5:Xác định parabol
Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c tho món:
a) (P) tiếp xúc với đãờng thẳng (D) :y=-5x+15 qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5) b) (P) cắt trục tung điểm có tung độ cắt đường thẳng (D) : y = x - hai điểm có hồnh độ
Giải : a) (P) qua hai điểm (0 ; -1) (4 ; -5)
Do parabol (P) đồ thị hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - Hoành độ điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình : ax2 - (1 + 4a)x - = -5x + 15 <=>ax2 - 4(a - 1)x - 16 = (5)
(40)38 Đăng ký học Toán lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126 38 <=> ∆’ = <=> 4(a - 1)2 - 16a = 0<=> (a + 1)2 = <=> a = -1
Do : a = -1 ; b = c = -1
Vậy (P) đồ thị hàm số y = -x2 + 3x -
b) Parabol (P) cắt trục tung điểm có tung độ nên (P) qua điểm (0 ; 2) (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - hai điểm có hồnh độ <=> Giao điểm (P) với đường thẳng (D) : (1 ; 0) (3 ; 2)
Vậy parabol (P) qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) (3 ; 2)