V. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH
2)Vị trí t•ơng đối giữa đ•ờng thẳng (D) y=f(x) và parabol(P) y=g(x).
Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung của (D)và (P) là nghiệm của ph•ơng trình f(x)= g(x) (2).ph•ơng trình(2) là ph•ơng trình bậc hai.Ta thấy:
(D) và (P) không có điểm chung ph•ơng trình(2) vô nghiệm 0
D) tiếp xúc (P) ph•ơng trình(2) có một nghiệm = 0
D) cắt (P) tại hai điểm ph•ơng trình(2) có hai nghiệm 0
Sau đây là một số bài toán về sự biện luận giữa đ•ờng thẳng và parabol.
Dạng 1: Bài toán chứng minh
C/minh rằng:Đ•ờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P): y=2x2-4(2m-1)x+8m2- 3
Giải:
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của ph•ơng trình: 2x2-4(2m-1)x+8m2-3=4x-3 2x2-8mx+8m2=0 x2+4mx+4m2=0
Ta có: = 16m2 −16m2 = 0 với mọi giá trị của m nên Đ•ờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):y=2x2-4(2m-1)x+8m2-3
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ:Chứng minh rằng đ•ờng thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x2-x+3m a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P).
b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao điểm A và B khi m=3
Giải:
a)Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của ph•ơng trình: -x2-x+3m=x+2m -x2-2x+m=0
Đ•ờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) ph•ơng trình (3) có nghiệm kép
= 0 4+4m=0 m=-1.
b) Đ•ờng thẳng (D) cắt parabol (P) ph•ơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
0 4+4m>0 m>-1.
Khi m=3 thì hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của ph•ơng trình -x2-2x+3=0 x=1 hoặc x=3
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A,B của (D) và (P) là:A(1;7) B(3;9).
Dạng 3:Lập ph•ơng trình tiếp tuyến
a) đ•ờng thẳng (D) song song với đ•ờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
b)Đ•ờng thẳng (D) vuông góc với đ•ờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x2
c) đ•ờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x2-3x+2 tại điểm C(3;2) Giải:
a)Ta có: 2y+4x=5 y=-2x+5/2 nên ph•ơng trình đ•ờng thẳng (D) có dạng: y=-2x+b (b 5 ) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm đ•ợc b= 1
2 4
Vậy ph•ơng trình đ•ờng thẳng (D) là:y=-2x+1/4
b)Ta có: x-2y+1=0 y=1/2x+1/2.Đ•ờng thẳng (D) vuông góc với đ•ờng thẳng có ph•ơng trình:x-2y+1=0 a.1/2=-1 a=-2 suy ra (D):y=-2x+b
Theo cách làm của dạng 2,ta tìm đ•ợc b=1.Vậy ph•ơng trình đ•ờng thẳng (D) có ph•ơng trình là:y=-2x+1
c)Ta có:C(3;2)(D) 2=3a+b b=2-3a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm đ•ợc a=3 và suy ra b=-7 Vậy ph•ơng trình đ•ờng thẳng (D) có ph•ơng trình là:y=3x-7
Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm.
Ví dụ:Cho parabol (P):y=x2-2x-3
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đ/thẳng (D):y=- 4x.
Giải:
Gọi đ•ờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b 0) .Hoành độ điểm chung của (p) và (d) là nghiệm của ph•ơng trình: x2-2x-3=-4x+b x2+2x-3+b=0 (2)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P) ph•ơng trình (2) có nghiệm kép
= 0 4 +b = 0 b =−4
Khi đó nếu điểm A(x0;y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do A( p); A(d) nên ta có hệ ph•ơng trình;
y =x2 − 2x − 3 x0 =−1 0 0 0
y0 =−4x0 − 4 y0 = 0
Dạng 5:Xác định parabol.
Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax2+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đ•ờng thẳng (D) :y=-5x+15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5). b)(P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3.
Giải : a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)
Do đú parabol (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - 1. Hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trỡnh : ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 <=>ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (5)
38
Đăng ký học Toỏn lớp 9 chuẩn bị ụn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126 38
<=> ∆’ = 0 <=> 4(a - 1)2 - 16a = 0<=> (a + 1)2 = 0 <=> a = -1. Do đú : a = -1 ; b = 3 và c = -1.
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - 1.
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 nờn (P) đi qua điểm (0 ; 2). (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hoành độ là 1 và 3 <=> Giao điểm của (P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2).
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi