sang kien kinh nghiem ung dung dinh li viet

Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI - ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI CĨ THAM SỐ ” Lĩnh vực: Tốn Cấp học: THPT Người viết đề tài: Nguyễn Thanh Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tân Lập 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT có nhiều tốn có tham số liên quan tới phương trình bậc 2, quy bậc 2, số xuất nhiều đa dạng tốn “Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, bốn nghiệm …” Đây thực chất toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực α , xem xét dạng toán theo quan điểm, chương trình sách giáo khoa cũ em học sinh khơng khó để giải chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10, em trang bị đầy đủ nội dung định lý thuận, đảo dấu tam thức bậc hệ Nhưng theo sách giáo khoa phát hành phần kiến thức liên quan tới định lý đảo hệ giảm tải Đứng trước vấn đề “Không có cơng cụ cần tìm hướng để kiến thức em học sách giáo khoa em giải dạng tốn đó?” Với suy nghĩ nhằm giúp em tìm tịi, phát hiện, tạo hứng thú q trình học mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng định lý Viét giải số dạng tốn phương trình bậc – quy bậc có tham số” 2/ Mục đích nghiên cứu Qua đề tài này, muốn giúp học sinh phát triển tư duy, nâng cao kỹ ứng dụng định lý Vi- ét giải toán phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số 3/ Pham vi đối tượng nghiên cứu: “Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng toán phương trình bậc – quy bậc có tham số” + Hệ thống số dạng tốn điển hình phương pháp giải + Lấy ví dụ mẫu từ dễ đến khó, hướng dẫn cho học sinh phân tích, định hướng cách giải, cho học sinh làm theo nhóm + Giao tập nhà cho học sinh làm, kiểm tra chỉnh sửa lỗi cho học sinh 4/ Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu lý luận: đọc tài liệu liên quan tới đề tài + Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học: giao cho học sinh làm tốn từ đơn giản đến khó, với tốn khó tạo tình gợi vấn đề giúp học sinh định hướng cách giải tự giải tốn + Tổng kết rút kinh nghiệm: tìm thuận lợi, khó khăn giải toán lớp trước 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A CƠ SỞ LÝ THUYẾT KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Định nghĩa • Phương trình bậc hai ẩn x ∈ R phương trình có dạng: ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ 0)  Cách giải  Tính ∆ = b − 4ac  Nếu ∆ < phương trình (1) vơ nghiệm  Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = − b 2a x1 = −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a  Nếu ∆ > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  Định lý Vi-et – Dấu nghiệm  ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ ) Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x ∈ R : có hai nghiệm −b c x1 , x2 S = x1 + x2 = a , P = x1 x2 = a  Dấu nghiệm:  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ∆ ≥ ⇔ P >  Phương trình (1) có hai nghiệm dấu  Phương trình (1) có hai nghiệm dương  Phương trình (1) có hai nghiệm âm ∆ ≥  ⇔ P > S >  ∆ ≥  ⇔ P > S <  1.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Trong phần tơi trình bày phương pháp giải cách tổng quát số dạng toán liên quan đến phương trình bậc 2, quy bậc tập số thực R: Thay so 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số sánh nghiệm phương trình bậc với số thực α , ta biến đổi để đưa so sánh nghiệm phương trình bậc với số Phương trình dạng ax2 + bx + c =0 Các bước giải tốn: “Tìm giá trị tham số để phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K” Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Áp dụng định lí Vi – ét tính: x1 + x2 ; x1 x2 Bước 3: Biểu diễn điều kiện K theo x1 + x2 ; x1 x2 để tìm giá trị tham số thỏa mãn K Bước 4: Kết hợp giá trị tham số bước với điều kiện tham số để phương trình có nghiệm kết luận 2 Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 10 Giải + Phương trình có hai nghiệm khi: ∆ ≥ ⇔ ( m − ) − ( m + 5) ≥ ⇔ m − 8m − 16 ≥ ⇔ ( m − ) − 32 ≥ ⇔ m − ≥ 32( a) + Theo định lí vi-ét ta có:  x1 + x2 = − ( m − )   x1 x2 = m + x12 + x22 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 + Mà  m = −2 ⇔  − ( m − )  − ( m − ) = 10 ⇔ m − 6m − 16 = ⇔  m = + Kết hợp với điều kiện (a), ta m = -2 Vậy m = -2 giá trị cần tìm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: ( m + 3) x + ( m − 1) x − m + = có: a) Hai nghiệm trái dấu b) Hai nghiệm phân biệt dương Giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔P= −m + < ⇔ ( −m + 3) ( m + 3) < ⇔ m+3  m < −3 m >  26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương     − 17   + 17 m ∈ −∞ ; ∪ ; +∞   ÷  ÷  2m − 2m − >   ÷ ÷ ∆ ' >         −m +  ⇔ P > ⇔  >0 ⇔ m ∈ ( −3;3) S >  m+3    −2 ( m − 1)  m ∈ ( −3;1) >0    m+3   − 17  ⇔ m ∈  −3; ÷ ÷   Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải: + đặt t=x2, đk: t≥ + Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện ⇒ x Ví dụ 1: Giải phương trình x4−8x2−9 = 0(*) Giải Đặt y = x2 , y ≥ Khi đó: (*) y2-8y-9 =  y = -1 (loại) y =  với y =  x2 =  x = ±3 Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = (1) Tìm m để : a) Phương trình vơ nghiệm b) Phương trình có nghiệm c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt d)Phương trình có ba nghiệm phân biệt e) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt Giải Đặt y = x2 , y Khi đó:pt(1) trở thành y2+(1-2m)y+m2-1 = (2) ≥ ∆ = ( − 2m ) − ( m − 1) = −4m + 2 , S = 2m − , P = m − a) Pt(1) vơ nghiệm pt(2) có: 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số  ∆ < ⇔ − m + < ⇔ m >      m <  m <    ∆ >    S < ⇔ 2m − < ⇔  m < ⇔ m < −1  m2 − >   P >  m ∈ (−∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )       m> ⇔   m < −1 b) Pt(1) có nghiệm pt(2) có    ∆ =  m = ⇔ ⇔ m∈∅    y1 = y2 = m =      m<   ∆ > m <  ⇔ ⇔  y < = y   m <   2m − <   ⇔m< 1 2 ⇔m< c) Pt(1) có hai nghiệm phân biệt pt(1) có    ∆ =  m =  ⇔ ⇔m=   y1 = y2 > m >     P < ⇔ m − < ⇔ m < ⇔ −1 < m < d)Pt(1) có ba nghiệm phân biệt pt(2) có  m<  ∆ > m <  ⇔ ⇔   y1 = < y2 0 < 2m − m >  ⇔      5 ⇔  S > ⇔  2m − > ⇔  m > ⇔ m ∈ 1; ÷  4 P > m2 − >     m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)    26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số ax + bx + c = ( 1) ( Bài tốn Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x ≥ α b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x ≤ α a ≠ 0, x ∈ R ) c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 < α < x2 d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: α < x1 < x2 e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 < x2 < α Giải at + ( 2aα + b ) t + aα + bα + c = ( ) • Đặt t = x − α ⇒ x = t + α , thay vào pt (1) ta pt: a) Để phương trình (1) có nghiệm x ≥ α ⇔ pt (2) có nghiệm t ≥  TH1:Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤  ∆ ≥  ≤ t1 ≤ t ⇔  P ≥ S ≥  TH2: Phương trình (2) có nghiệm b) Phương trình (1) có nghiệm x ≤ α ⇔ pt (2) có nghiệm t ≤  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤  ∆ ≥  t1 ≤ t2 ≤ ⇔  P ≥ S ≤  TH2: Phương trình (2) có nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 < α < x2 ⇔ pt (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < d) Phương trình (1) có nghiệm thỏa α < x1 < x2 ⇔ pt (2) có nghiệm ∆ >  < t1 < t2 ⇔  P > S >  Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 < x2 < α ⇔ pt (2) có nghiệm ∆ >  t1 < t2 < ⇔  P > S <  e) − ( 2aα + b ) aα + bα + c ∆ = ( 2aα + b ) − 4a ( aα + bα + c ) , P = t1.t2 = , S = t1 + t2 = a a (Với ) 2 Nhận xét: Thoạt nhìn tốn mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm tam thức bậc với số thực α , cách làm ta hướng dẫn học sinh giải toán cách dễ dàng dựa vào định lý Viet ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức tam thức bậc giảm tải sách giáo khoa Ví dụ: Cho phương trình: x − 2mx + m − m + = ( 1) 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ≥ b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ≤ c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 < < x2 d) • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 < x2 < Giải Đặt t = x − ⇒ x = t + , thay vào pt (1) ta phương trình: t + ( − m ) t + m − 3m + = ( ) a) Để phương trình (1) có nghiệm x ≥ ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ m − 3m + ≤ ⇔ ≤ m ≤  TH2: Phương trình (2) có nghiệm : m − ≥ m ≥ ∆ ' ≥ m =    ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ ⇔ m − 3m + ≥ ⇔   m ≥ ⇔  m ≥ S ≥ m − ≥ m ≤    m ∈ [ 1; +∞ ) phương trình (1) có nghiệm x ≥ • Kết luận: với b) Để phương trình (1) có nghiệm x ≤ ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≤  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ m − 3m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ m − ≥ ∆ ' ≥   t1 ≤ t2 ≤ ⇔  P ≥ ⇔ m − 3m + ≥ ⇔ m = S ≥   m − ≤  TH2: Phương trình (2) có nghiệm • Kết luận: với b) Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 < < x2 ⇔ phương trình (2) có nghiệm: m ∈ [ 1; 2] phương trình (1) có nghiệm x ≤ t1 < < t2 ⇔ m2 − 3m + < ⇔ < m < • Kết luận: với < m < phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < x2  Phương trình (1) có nghiệm thỏa x1 < x2 < ⇔ phương trình (2) có nghiệm: m − > ∆ ' >   t1 < t2 < ⇔  P > ⇔  m2 − 3m + > S >   m − < (vơ nghiệm) • Kết luận: khơng tồn m để phương trình (1) có nghiệm x1 < x2 < Nhận xét: Đây ví dụ minh họa cho toán tổng quát, tương tự học sinh giải nhiều tốn với phương pháp mà không sử dụng kiến 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số thức tam thức bậc hai Rất nhiều em học sinh sau học ứng dụng đạo ) hàm để giải số dạng tốn “Tìm tham số m để phương trình ( có nghiệm?”, gặp tập lúng túng không giải khơng thể f x, m = đưa toán dạng: g ( m ) = h ( x ) để khảo sát Do cách chuyển hóa phương trình trên, đưa tốn so sánh nghiệm phương trình bậc với số dựa vào ứng dụng định lý Vi-et lựa chọn tối ưu bối cảnh kiến thức so sánh nghiệm tam thức bậc với số thực α giảm tải sách giáo khoa a) b) c) d) x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = k ( 1) Bài tốn Cho phương trình: ( với a + c = b + d Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải ⇔  x + ( a + c ) x + ac   x + ( b + d ) x + bd  = k ( ) • Ta biến đổi phương trình (1) •  a+c t = x + ( a + c) x +  ÷ ( t ≥ 0)   Đặt , thay vào (2) ta phương trình: 2 2  a + c)   ( a+c   a+c  t +  ac + bd − bd −  t +  ac −  ÷   ÷  − k = ( 3)           a) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤  TH2: Phương trình (2) có nghiệm ∆ ≥  ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau:  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P <  ∆ = 0 < t1 = t2 ⇔  S > TH2: Phương trình (2) có nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa: ∆ >  = t1 < t2 ⇔  P = S >  26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số d) Phương trình (1) có nghiệm phận biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa: ∆ >  < t1 < t2 ⇔  P > S >  (Trong ∆ biệt thức phương trình (2), P = t1.t2 , S = t1 + t2 ) Nhận xét:Trong tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo, cách giải đưa đối − ( a + c) , để giải t≥ ( ) với điều kiện với dạng toán đặt: yêu cầu nêu học sinh lúng túng, giải em học sinh lớp 10,vì em khơng trang bị cơng cụ để so sánh nghiệm phương trình bậc với số thực khác t = x + a+c x )( )( Ví dụ: Cho phương trình: ( Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải ) x x − m + x − m − x − m = 3m + ( 1) a) b) c) d) ( )( , với tham số m ≥ ) ⇔ x − mx x − mx + m − = 3m − ( ) • Ta biến đổi phương trình (1) • Đặt t = x − mx + m ( t ≥ ) , thay vào phương trình (2) ta phương trình: t − ( m + 1) t − 2m + = ( ) a) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm  TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ − 2m ≤ ⇔ m ≥ m + 12m − 19 ≥ ∆ ≥  5   ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ ⇔ m ≤ ⇔ −6 + 55 ≤ m ≤ 2 S ≥   m > −  m ∈  −6 + 55; +∞ ) • Kết luận: Với b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau:  phương trình (1) có nghiệm TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < ⇔ − 2m < ⇔ m > 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số  TH2: Phương trình (2) có nghiệm:   m = −6 − 55  m + 12m − 19 = ∆ = 0 < t1 = t2 ⇔  ⇔ ⇔   m = −6 + 55 ⇔ m = −6 + 55 S > m + >   m > −1 { } • 5  m ∈  ; +∞ ÷∪ −6 + 55   Kết luận: Với phương trình (1) có nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa: m2 + 12m − 19 > ∆ >   = t1 < t2 ⇔  P = ⇔ 5 − 2m = ⇔m= S > m + >   m= phương trình (1) có nghiệm phân biệt • Kết luận: Với d) Phương trình (1) có nghiệm phận biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa: m + 12m − 19 > ∆ >   < t1 < t ⇔  P > ⇔ 5 − 2m > ⇔ −6 + 55 < m < S > m + >   • 5  m ∈  −6 + 55; ÷  phương trình (1) có nghiệm phân biệt  Kết luận: với ( )( ) Bài toán Cho phương trình: Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình (1), chia hai vế phương trình (1) ax + bx + cx + bx + a = a ≠ a) b) c) d) • cho x ≠ , ta được: 1 1   a  x + ÷ + b  x + ÷+ c − 2a = ( ) x x   (Thông thường tới học sinh đặt t = x+ x ( t ≥ 2) , nhận phương trình at + bt + c − 2a = việc giải yêu cầu đặt khó khăn học sinh khơng trang bị cơng cụ Để giúp học sinh vượt qua trở ngại giải sau) 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số a) Vì x > , đặt t = x+ 1 − ( t ≥ 0) x+ =t+2 x x suy , thay vào phương trình (2) được: at + ( 4a + b ) t + 2a + 2b + c = (3) • Để phương trình (1) có nghiệm x > phương trình (3) có nghiệm t ≥ , ta xét:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤  b) TH2: Phương trình (3) có nghiệm Vì x < , đặt t = x+ ∆ ≥  ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  1 + ( t ≤ 0) x+ =t+2 x x suy , thay vào phương trình (2) được: at + ( b − 4a ) t + 2a − 2b + c = (4) • Để phương trình (1) có nghiệm x < phương trình (3) có nghiệm t ≤ , ta xét:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤  TH2: Phương trình (3) có nghiệm ∆ ≥  t1 ≤ t2 ≤ ⇔  P ≥ S ≤  Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥ , phương trình (4) có nghiệm t ≤ (Đây kết tổng hợp phần a) b) d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau; c) TH1: Phương trình (3) có nghiệm thỏa: ∆1 >  < t1 < t2 ⇔  P1 > S >   TH2: Phương trình (4) có nghiệm thỏa: ∆ >  t1 < t2 < ⇔  P2 > S <   P < ⇔  P2 < TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình(4) có hai nghiệm trái dấu  Nhận xét: Với cách tiếp cận học sinh dễ dàng giải tốn như: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, nghiệm ( ) Ví dụ: Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 26/27 x − 2mx + m − 3m + x − 2mx + = ( 1) Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số d) • Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải Ta thấy x = không nghiệm phương trình (1), chia hai vế phương trình (1) cho x ≠ , ta được: 1 1    x + ÷ − 2m  x + ÷+ m − 3m + = ( ) x x     a) Vì x > , đặt t = x+ 1 − ( t ≥ 0) x+ =t+2 x x suy , thay vào phương trình (2) được: t − ( m − ) t + m2 − 7m + = • (3) Để phương trình (1) có nghiệm x > phương trình (3) có nghiệm t ≥ Xét trường hợp:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ m − 7m + ≤ ⇔ ≤ m ≤  3m − ≥ ∆ ' ≥   ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ ⇔ m2 − m + ≥ ⇔ m ≥ S ≥   m − ≥ TH2: Phương trình (3) có nghiệm • Kết luận: Với m ≥ phương trình (1) có nghiệm dương b) Vì x < , đặt t = x+ 1 + ( t ≤ 0) x+ =t −2 x x suy , thay vào phương trình (2) được: t − ( m + ) t + m2 + m + = ( ) •  (4) Để phương trình (1) có nghiệm x > phương trình (3) có nghiệm t ≤ Xét trường hợp: TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ m + m + ≤ (vô nghiệm) 3m − ≥ ∆ ' ≥   t1 ≤ t2 ≤ ⇔  P ≥ ⇔ m + m + ≥ S ≤ m + ≤    TH2: Phương trình (3) có nghiệm • Kết luận: Khơng tồn m để phương trình (1) có nghiệm âm (vơ nghiệm) c) Để phương trình (1) có nghiệm m ≥ d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ta xét trường hợp sau:  3m − > ∆1 >   < t1 < t2 ⇔  P1 > ⇔ m − m + > ⇔ m > S > m − >   TH1: Phương trình (3) có nghiệm thỏa:  TH2: Phương trình (4) có nghiệm thỏa: 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số 3m − > ∆ >   t1 < t2 < ⇔  P2 > ⇔ m + m + > S < m + <    (vô nghiệm) TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu:  m − m + <  P1 < ⇔   P2 <  m + m + < (vơ nghiệm) • Kết luận: Với m > phương trình (1) có nghiệm phân biệt α ( ax + bx + c ) + β ( ax + bx + c ) + γ = ( 1) ( α ≠ 0; a ≠ ) a) b) c) • Bài tốn Cho phương trình Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải Xét a > (với a < 0, làm tương tự)  b  b − 4ac  ax + bx + c = a  x + ÷ −  2a  4a   • Ta có nên đặt t = ax + bx + c + b − 4ac 4a t ≥ α ( t −k) + β ( t −k) +γ = • Thay vào phương trình (1) ta phương trình sau: k= (2) với b − 4ac 4a α t + ( β − 2α k ) t + α k − β k + γ = • Phương trình (2): (3) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤  TH2: Phương trình (2) có nghiệm ∆ ≥  ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (3) có nghiệm thỏa ∆ >  < t1 < t2 ⇔  P > S >  c) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm thỏa t1 < < t2 , phương trình (3) có nghiệm thỏa < t1 = t2  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số  ∆ = 0 < t1 = t2 ⇔  S > TH2: Phương trình (2) có nghiệm (Trong ∆ biệt thức pt (3), S = t1 + t , P = t1.t2 ) Nhận xét: Khi gặp dạng toán em học sinh thường đặt t = ax + bx + c với điều kiện t≥ − ( b − 4ac ) 4a a > 0, t≤ − ( b − 4ac ) 4a a < Phương trình nhận α t + β t + γ = , để giải yêu cầu toán học sinh gặp trở ngại cần so sánh nghiệm phương trình bậc với số thực khác Chính với cách giải trình bày tạo cho em học sinh hứng thú, em sử dụng cơng cụ đơn giản, quen thuộc định lý Viet để giải dạng tốn x Ví dụ: Cho phương trình ( a) b) c) • − x ) − 2m ( x − x ) + m + = ( 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Giải 2 Đặt t = x − x + t ≥ , suy x − x = t − Thay vào phương trình (1) ta phương trình sau: t − ( m + 1) t + m + = ( ) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ −4  m2 + m − ≥ ∆ ≥ −1 + 13   ≤ t1 ≤ t ⇔  P ≥ ⇔ m + ≥ ⇔ m≥ S ≥ m + ≥   TH2: Phương trình (2) có nghiệm •  −1 + 13  m ∈ ( −∞; −4] ∪  ; +∞ ÷ ÷   phương trình (1) có nghiệm Kết luận: với b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm thỏa: m + m − > ∆ > −1 + 13   < t1 < t2 ⇔  P > ⇔ m + > ⇔m> S > m + >   •  −1 + 13  m ∈  ; +∞ ÷ ÷   phương trình (1) có nghiệm phân biệt Kết luận: với c) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (3) có nghiệm thỏa t1 < < t2 , phương trình (3) có nghiệm thỏa < t1 = t2 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < ⇔ m + < ⇔ m < −4  ∆ =  m + m − = −1 + 13 < t1 = t2 ⇔  ⇔ ⇔m= S > m + > TH2: Phương trình (2) có nghiệm •   −1 + 13   m ∈ ( −∞; −4 ) ∪       phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Kết luận: với Nhận xét:Tương tự ta giải tốn: “Tìm m để pt (1) có nghiệm nhất” ( ) với α > 0, a ≠ Bài tốn Cho phương trình a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Giải ax + b x + α + c = • • ĐK x ∈ R Đặt trình: ( t = x2 + α − α ( t ≥ ) suy ( x2 = t + α ) −α , thay vào pt (1) ta phương ) at + 2a α + b t + b α + c = ( ) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤  TH2: Phương trình (2) có nghiệm ∆ ≥  ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm thỏa ∆ >  < t1 < t2 ⇔  P > S >  c) Để phương trình (1) có nghiệm ta xét trường hợp sau:  ∆ >  t1 < = t2 ⇔  P = S <  TH1: Phương trình (2) có nghiệm  ∆ = 0 = t1 = t2 ⇔  S = TH2: Phương trình (2) có nghiệm 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số (Trong ∆ biệt thức pt (3), S = t1 + t , P = t1.t2 ) Nhận xét: Với dạng toán hầu hết sách tham khảo đặt t = x2 + α (t≥ α) , đưa phương trình bậc có dạng: at + bt + c − aα = , để giải câu hỏi đặt phải sử dụng tới định lý đảo dấu tam thức bậc hệ quả, sử dụng công cụ đạo hàm Cả hai cách không phù hợp với tư duy, kiến thức học sinh lớp 10, 11 học sinh lớp 12, công cụ dùng đạo hàm để giải lúc tối ưu x − m x + + 3m + = ( 1) Ví dụ: Cho phương trình a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải • ĐK x ∈ R • Đặt t = x2 + − ( t ≥ ) phương trình: a)  2 suy x = ( t + 1) − , thay vào phương trình (1) ta t − ( m − ) t + 3m + = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t ≥ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ 3m + ≤ ⇔ m ≤ −2 m − 16m − ≥ ∆ ≥   ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ ⇔ 3m + ≥ ⇔ m ≥ + 68 S ≥ m − ≥    TH2: Phương trình (2) có nghiệm • −2   m ∈  −∞;  ∪ 8 + 68; +∞ 3  Kết luận: với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa: ) m − 16m − > ∆ >   < t1 < t2 ⇔  P > ⇔ 3m + > ⇔ m > + 68 S >   m − > ( m ∈ + 68; +∞ ) • Kết luận: Với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để pt (1) có nghiệm ta xét trường hợp sau:   m − 16m − > ∆ > −2   t1 < = t2 ⇔  P = ⇔ 3m + = ⇔m= S < m − <   TH1: Phương trình (2) có nghiệm 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số  • m − 16m − = ∆ = 0 = t1 = t2 ⇔  ⇔ S = m − = TH2: Phương trình (2) có nghiệm (vơ nghiệm) Kết luận: với m= −2 pt (1) có nghiệm ( ) Bài tốn Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm Giải ax + bx + c = x − α •  x − α ≥ ⇔ 2 ax + bx + c = ( x − α ) ( ) Phương trình (1)  • Đặt t = x − α , x − α ≥ nên ta có điều kiện t ≥ , thay vào (2) ta phương trình: ( a − 1) t + ( 2aα + b ) t + aα + bα + c = ( 3) a) Để phương trình (1) có nghiệm pt (3) có nghiệm t ≥  TH1: Xét a = , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 giải bất phương trình t0 ≥  a ≠ t1 ≤ ≤ t2 ⇔  P ≤ TH2: Phương trình (3) có nghiệm  a ≠ ∆ ≥  ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥  S ≥ TH3: Phương trình (3) có nghiệm b) a ≠ ∆ >  ≤ t1 < t2 ⇔  P ≥  S > Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (3) có nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥  TH1: Xét a = , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 giải bất phương trình t0 ≥  a ≠ t1 < < t2 ⇔  P < TH2: Phương trình (3) có nghiệm 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số  a ≠ ∆ >  t1 < = t2 ⇔  P =  S < TH3: Phương trình (3) có nghiệm  a ≠  ≤ t1 = t2 ⇔ ∆ = S ≥  TH4: Phương trình (3) có nghiệm (Trong ∆ biệt thức phương trình (3), S = t1 + t2 , P = t1.t ) Nhận xét: Dạng toán hay xuất chuyên đề phương trình chứa căn, tốn xuất đề thi Đại học, Cao đẳng, tất đưa phương án so sánh nghiệm phương trình (2) với số thực α Song với cách giải ta đưa toán so sánh nghiệm phương trình (3) với số 2x − ( m + 1) x + m2 + m = x − ( 1) Ví dụ: Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải •  x − ≥ ⇔ 2  x − ( m + 1) x + m + m = ( x − 1) ( ) Phương trình (1) • Đặt t = x − , x − ≥ nên ta có điều kiện t ≥ , thay vào phương trình (2) ta phương trình: t − ( m − 1) t + m − m = ( 3) a) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ m − m ≤ ⇔ ≤ m ≤  1 − m ≥ ∆ ' ≥   ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ ⇔ m − m ≥ ⇔ m = S ≥   m − ≥ TH2: Phương trình (3) có nghiệm • Kết luận: Với b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm m ∈ [ 0;1] phương trình (1) có nghiệm 1 − m > ∆ >   ≤ t1 < t2 ⇔  P ≥ ⇔  m − m ≥ S > m − >   (vô nghiệm)  Kết luận: Không tồn m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số c) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 < < t2 ⇔ P < ⇔ m − m < ⇔ < m <  1 − m > ∆ >   t1 < = t2 ⇔  P = ⇔  m − m = ⇔ m = S <   m − < TH2: Phương trình (3) có nghiệm  ∆ = 1 − m = 0 ≤ t1 = t2 ⇔  ⇔ ⇔ m =1 S ≥ m − ≥   TH3: Phương trình (3) có nghiệm • Kết luận: Với m ∈ [ 0;1] phương trình (1) có nghiệm +2 + m − 3m = ( 1) Ví dụ: Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải 4x • Đặt trình: t = 2x +1 −2 +1 − ( 2m − 1) x ( t ≥ ) , t − ( 2m − 1) t + m − 11m = 2x +1 = t + , thay vào phương trình (1) ta phương ( 2) a) Để phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm t ≥  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ m − 11m ≤ ⇔ ≤ m ≤ 11  3m + m + ≥ ∆ ' ≥   ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ ⇔ m − 11m ≥ ⇔ m ≥ 11 S ≥  2m − ≥   TH2: Phương trình (3) có nghiệm • Kết luận: Với b) m ∈ [ 0; +∞ ) phương trình (1) có nghiệm Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn trường hợp sau:  TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa t1 < < t2 ⇔ m − 11m < ⇔ < m < 11  3m + 7m + = ∆ = 0 < t1 = t ⇔  ⇔ S >  2m − > TH2: Phương trình (2) có nghiệm thỏa (vơ nghiệm) • Kết luận: Với m ∈ ( 0;11) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm thỏa: 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số 3m + m + > ∆ ' >   < t1 < t2 ⇔  P > ⇔  m2 − 11m > ⇔ m > 11 S > 2m − >   • Kết luận: Với m ∈ ( 11; +∞ ) phương trình (1) có nghiệm phân biệt B BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài Cho phương trình: x + x = 2mx + − m ( 1) 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 12 ( ) ( ) Bài Cho phương trình: a)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương mx − m − x + 4m − = ) ( ) Bài Cho phương trình: ( a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt m − x − m + x + 2m − = ( 1) Bài Cho phương trình: x + ( 3m − 1) x + 2m − 4m = ( 1) a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ≤ −1 b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: −1 < x1 ≤ x2 c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 < −1 < x2 d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x ∈ ( −1; +∞ ) Bài Cho phương trình: x − ( m + 1) x + ( 3m − ) x − ( m + 1) x + = (1) a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt c)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm )( )( )( ) Bài Cho phương trình: ( a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c)Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x − x − x − x − = 2m − 26/27 ( 1) Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số d)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ( x − x + ) − ( 2m − 1) ( x − x + ) + m − 3m − = ( 1) Bài Cho phương trình: a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt c)Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm ( ) Bài Cho phương trình: a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c)Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt d)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x + 3m + x + + 2m2 + 3m − = (1) Bài Cho phương trình: x − 3mx + 2m − m = x + m ( 1) a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 2 x +1 2 Bài 10 Cho phương trình: − ( m + 1) + m − 3m = ( 1) a)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x +1 KẾT LUẬN Kết thực hiện: Phạm vi học rút ra: Những kiến nghị, đề nghị sau trình thực đề tài: Ngày 15 tháng năm 2018 Người thực 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số Nguyễn Thanh Nam TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp dạy học môn Toán Tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục Giải Toán Tác giả: G.Polya – NXB Giáo dục Trong tâm kiến thức Đại số lớp 10 Tác giả: Phan Huy Khải – Nhà xuất Giáo dục Sách giáo khoa Đại số 10 - Nhà xuất Giáo dục Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số vơ tỷ - ThS Lê Văn Đồn – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2016 Các đề thi Đại học từ 2002 – 2016 Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Đan Phượng, ngày ……tháng .năm 2018 Chủ tịch hội đồng khoa học Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Hà Nội, ngày …… tháng ………năm 2018 Chủ tịch hội đồng khoa học 26/27 ... + Tổng kết rút kinh nghiệm: tìm thuận lợi, khó khăn giải toán lớp trước 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A CƠ... sửa lỗi cho học sinh 4/ Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu lý luận: đọc tài li? ??u li? ?n quan tới đề tài + Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học: giao cho học sinh làm tốn từ đơn giản đến khó,... sách giáo khoa cũ lớp 10, em trang bị đầy đủ nội dung định lý thuận, đảo dấu tam thức bậc hệ Nhưng theo sách giáo khoa phát hành phần kiến thức li? ?n quan tới định lý đảo hệ giảm tải Đứng trước