Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
473,87 KB
Nội dung
I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc hai ẩn Bất phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát : ax by �c (1) ( ax by c, ax by �c, ax by c ) Trong a, b, c số thực cho, a, b không đồng thời 0, x, y ẩn số Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình ( 1) gọi miền nghiệm Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm ( hay biểu diễn miền nghiệm ) bất phương trình ax by �c ( tương tự với bất phương trình ax by �c ) Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng d : ax by c M x0 ; y Bước 2: Lấy điểm không thuộc đường thẳng d ax by0 c so sánh ax0 by0 với c Bước 3: Tính Bước 4: Kết luận: ax by0 c M Nếu nửa mặt phẳng bờ d chứa miền nghiệm bất phương trình ax by �c Nếu ax0 by0 c M nửa mặt phẳng bờ d khơng chứa miền nghiệm bất phương trình ax by �c Ví dụ : Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn : x y �3 Giải: Vẽ đường thẳng d : x y Lấy gốc tọa độ O (0; 0) , ta thấy O �d có 2.0 nên nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O miền nghiệm bất phương trình cho Bài tập tương tự : Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn : a 3 x y �0 b x y �12 x II HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Cũng giống bất phương trình bậc hai ẩn, ta biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Ví dụ : Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: x y �6 � � �x y �4 �x, y �0 � Giải: Vẽ đường thẳng : Vì d1 : 3x y 6, d : x y 4, d3 : x 0, d : y M (1;1) có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tô đậm d ,d ,d ,d M nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm Miền khơng tơ đậm ( hình tứ giác OCIA kể cạnh AI,IC,CO,OA) hình vẽ miền nghiệm hệ cho ( bạn tự vẽ hình) Bài tập tương tự: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: x y �9 � �x �y � � y �8 x � � a �y �6 �x y �3 �0 � � 3y �2 �x � 2 �x �0 � b � Ở , nhắc qua số kiến thức để vận dụng vào giải toán thực tế Trước vào tốn, tơi xin nêu phương pháp tìm cực trị biểu thức F ax by miền đa giác Có lẽ bạn thấy lạ với phương pháp Phương pháp viết sách giáo khoa lớp 10 trang 98 phần đọc thêm Bài tốn : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F ax by ( a, b hai số cho không đồng thời 0) , x, y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 Ai Ai 1 An Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Giải Ta minh họa cách giải trường hợp n tức xét ngũ giác lồi xét trường hợp b trường hợp ngược lại tương tự Gả sử M ( x0 ; y0 ) điểm thuộc miền đa giác Qua điểm M đỉnh đa giác , kẻ đường thẳng song song với đường thẳng ax by Khi ta có đường thẳng qua M có phương trình ax by ax0 by0 cắt trục tung � ax0 by0 � N� 0; � b � � Vì b nên ax0 by0 đạt giá trị lớn điểm ax0 by0 b lớn Từ ta kết tốn Tổng qt hóa : Ta ln giả thiết b , b ta nhân hai vế với -1 tốn tìm giá trị nhỏ ( hay lớn nhất) F ( x; y) trở thành tốn tìm giá trị lớn ( hay nhỏ nhất) F ( x; y ) ax b'y b ' b Tập điểm ( x; y ) để F ( x; y ) nhận giá trị p đường thẳng ax by p; hay y với a p a x b b Đường thẳng có hệ số góc b cắt trục tung điểm M (0; m) m p b d Ký hiệu đường thẳng m Vì b nên việc tìm giá trị nhỏ ( hay lớn nhất) P( x; y ) p với ( x; y ) miền đa giác quy việc tìm giá trị nhỏ ( hay lớn nhất) m p b , tức tìm điểm M vị trí thấp ( hay cao nhất) trục tung cho đường thẳng dm có điểm chung với ( S) Từ ý dm có hệ số góc a b không đổi Ta đến cách làm sau: d Khi tìm giá trị nhỏ F ( x; y) , ta cho đường thẳng m chuyển động song song với từ vị trí phía miền đa giác lên tiên qua điểm x0 , y0 dm lần đầu miền đa giác Khi đó, m đạt giá trị nhỏ tương ứng với giá trị nhỏ F x, y Đó F x0 , y ax0 b y0 a Khi tìm giá trị lớn , ta cho đường thẳng với hệ số góc b chuyển động song song với từ vị trí phía miền đa giác xuống cho F x, y đến dn lần qua điểm dn x0 , y0 miền đa giác Khi đó, m đạt giá trị lớn tương ứng với giá trị lớn F x0 , y ax0 b y F x, y Đó Vậy giá trị lớn nhất(nhỏ nhất) biểu thức đỉnh miền đa giác F x, y ax by đạt Như vậy, nhắc xong lý thuyết cần thiết để giải toán thực tế xin đưa số tập áp dụng BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài Trong thi pha chế, mổi đội chơi sử dụng tối đa lít nước cam cần 10 g 30 g 24 g hương liệu, 210 g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế đường , 1 lít nước 1 g hương liệu; Để pha chế 1 lít 1 lít nước nước táo cần 4 g nước hương liệu Mổi lít nước cam 60 điểm thưởng, mổi lít nước táo 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái mổi loại để số điểm thưởng lớn nhất? đường , 1 lít Đề dự bị THPT Quốc Gia Năm 2015 Giải Đối với toán này, ta phải đọc thật kỹ , xem đề u cầu làm chuyển tốn mơ hình mà học? Ơ đây, yêu cầu đề : “cần pha chế lít nước trái mổi loại” Như ta gọi ẩn x, y tương ứng số lít nước trái tương ứng mổi loại Mà mổi lít nước cam 60 điểm thưởng x nước cam 60x điểm thưởng, mổi lít nước táo 80 điểm thưởng y nước táo 80 y điểm thưởng Khi số điểm thưởng nhận sau pha chế x, y số lít nước trái mổi loại là: 60 x 80 y Ơ tính số điểm thưởng ta thường dùng quy tắc TAM XUẤT để tính tương tự với kiện tốn khác ta dùng quy tắc ta có lới giải toán sau: x, y �0 Khi số điểm Gọi x, y số lít nước cam táo mổi đội pha chế thưởng nhận mổi đội chơi là: Để pha chế chế y lít x lít nước cam cần nước táo cần Do ta có : 10 y g F x, y 60 x 80 y 30x g đường , đường , y lít x lít nước nước 4y g x g hương liệu; Để pha hương liệu Số gam đường cần dùng là: 30 x 10 y Số lít nước cần dùng là: x y Số gam hương liệu cần dùng là: x y Vì thi pha chế, mổi đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 30 x 10 y �210 x y �21 � � �x y �9 �x y �9 � � � * � � x y � 24 x y � 24 � � � � 210 g x , y � x , y �x, y �0 đường nên thỏa mãn hệ bất phương trình � Khi tốn trở thành: Trong nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm F x, y 60 x 80 y x x0 , y y0 cho lớn M x, y Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm thõa mãn (*) Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác OABCD kể miền tam giác (như hình vẽ) Biểu thức ngũ giác OABCD Tại đỉnh x 4, y F x, y 60 x 80 y O 0, , A 7, , B 6, 3 , C 4,5 , D 0, lớn đỉnh Ta thấy F đạt giá trị lớn Khi F 60.4 80.5 Vậy cần pha chế lít nước cam lít nước táo số điểm thưởng lớn là: 640 Nhận xét: Bài phân tích chi tiết, sau tơ đưa lới giải khơng phân tích Bỏi cách giải giống nhau, cần bạn hiểu lập dduocj mơ hình Tốn học Từ giải tốn giống hệt Bài 2: Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M , M sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I ; II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1, triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại I phải dùng máy M máy M Muốn sản xuất sản phẩm loại II phải dùng máy M máy M Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai sản phẩm Máy M làm việc không ngày, máy M ngày làm việc không Hãy đặt kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền lãi lớn Giải x, y �0 Khi Gọi x, y số sản phẩm loại I , loại II sản xuất ngày số tiền lãi ngày L x 1, y (triệu đồng) số làm việc mổi ngày máy M 3x y , máy M x y Vì máy M làm việc khơng q ngày, máy M ngày làm việc x y �6 � � �x y �4 (*) �x, y �0 không nên x, y thỏa mãn hệ bất phương trình: � Khi tốn trở thành: Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm L x 1, y lớn Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt M x; y phẳng chứa điểm thỏa mãn (*) Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác OABC kể miền tứ giác (như hình vẽ) Biểu thức L x 1, y đạt giá trị lớn đỉnh tứ giác OABC A 0;0 , A 0; , B 1;3 , C 2;0 Tại đính Ta thấy x 1, y L đạt giá trị lớn Khi x x0 , y y0 cho L 2.1 1, 6.3 6,8 Vậy để có lãi suất cao nhất, ngày cần sản xuất sản phẩm loại I, sản phẩm loại II Bài [SGK Đại số & Giải tích 10 nâng cao] Một gia đình cần 900g chất prôtein 400g chất lipit thức ăn ngày Biết thịt bò chứa 80% prôtein 20% lipit Thịt lợn chứa 60% prôtein 40% lipit Biết gia đình mua nhiều 1600g thịt bò 1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bị 45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn 35 nghìn đồng Hỏi gia đình phải mua kg thịt loại để chi phí nhất? Giải Giả sử gia đình mua x (kg) thịt bò y (kg) thịt lợn ( x, y �0) Khi chi phí mua x (kg) thịt bò y (kg) thịt lợn T 45 x 35 y (nghìn đồng) Theo giả thuyết, x y thỏa mã điều kiện x �1, 6; y �1,1 Khi lượng prơtêin có 80% x 60% y lượng lipit có 20% x 40% y Vì gia đình cần 0,9 kg chất prôtêin 0, kg chất lipit thức ăn ngày nên điều kiện tương ứng 80% x 60% y �0,9 20% x 40% y �0, hay x y �4,5 x y �2 �x �1, � � �y �1,1 � � �4 x y �4,5 � Vậy x, y thỏa mãn hệ phương trình �x y �2 (*) Khi tốn trở thành : Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm T 45 x 35 y nhỏ Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt M x; y phẳng chứa điểm thỏa mãn (*) Miền nghiệm hệ (*) miền bên tứ giác lồi ABCD biên (như hình vẽ) T đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD A 1, 6;1,1 , B(1, 6;0; 2), C (0;6;0, 7), D(0,3;1) Ta có: x x0 ; y y0 cho Kiểm tra x 0, 6; y 0, T 51,5 (nghìn đồng) nhỏ Vậy gia đình mua 0,6kg thịt bị 0,7kg thịt lợn chi phí Cụ thể phí 51, nghìn đồng Bài Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất 140kg chất A 9kg chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng, chiết xuất 20kg chất A 0,6kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng, chiết xuất 10kg chất A 1,5kg chất B Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu nhất, biết sở cung cấp nguyên liệu cung cấp không 10 nguyên liệu loại I không nguyên liệu loại II? Giải x; y �0 Khi tổng số tiền mua Gọi x nguyên liệu loại I, y nguyên liệu loại II nguyên liệu T x y (đồng) Vì nguyên liệu loại I chiết xuất 20kg chất A 0,6kg chất B, nguyên liệu loại II chiết xuất 10kg chất A 1,5kg chất B nên x, y nguyên liệu I II chiết xuất 20 x 10 y kg chất A 0, x 1,5 y kg chất B �x �9 �x �9 � � � � �y �10 �y �10 � � �� � 20 x 10 y �140 x 1y �14 � � � � 0, x 1,5 y �9 x y �30 � Khi theo giả thuyết ta có: � Vậy toán trở thành x x0 ; y y0 Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm cho T x y nhỏ Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M ( x; y ) thỏa mãn (*) Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác ABCD kể miền tứ giác (như hình vẽ) Biểu thức T x y đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD A 5; , B 10; , C 10;9 Tại đỉnh: , �5 � D � ;9 � �2 �.Ta thấy T đạt giá trị lớn x 5; y Khi T 4.5 4.4 32 Vậy để chi phí nhỏ nhất, cần sử dụng nguyên liệu loại I nguyên liệu II Khi đó, tổng chi phí 32 triệu đồng Bài 5.[ SGK Đại số Giải tích 10 nâng cao – Bài toán Vitamin] Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp vitamin A vitamin B thể người Kết sau: Một người ngày tiếp nhận khơng 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị vitamin B Một người ngày cần 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B Do tác động phối hợp hai loại vitamin, ngày, số đơn vị vitamin B khơng số đơn vị vitamin A không nhiều lần số đơn vị vitamin A Giá đơn vị vitamin A đồng, giá đơn vị vitamin B 7,5 đồng Tìm phương án dùng loại vitamin A B thỏa mãn điều kiện để số tiền phải trả Giải x, y �0 Gọi x, y số đợn vị vitamin A B dùng mối ngày Vì giá đơn vị vitamin A đồng, giá đơn vị vitamin B 7,5 đồng nên số tiền cần phải trả C x 7,5 y �x �600 � � �y �500 � � �400 �x y �1000 � �1 x �y �3 x Theo giả thiết ta có �2 * Khi toán trở thành Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm C x 7,5 y nhỏ x xo , y yo Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M x, y cho thỏa mãn (*) Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác ABCDEF kể miền tứ giác bỏ cạnh BC với �800 400 � �500 � A 100;300 , B � ; , C 600; 300 , D 600; 400 , E 500; 500 , F � ; 500 � � � �3 �3 � Biểu thức C x 7,5 y đạt GTNN đỉnh A, B, C , D, E , F ngũ giác ABCDEF Khi ta thấy C đạt GTNN x 100, y 300 Khi C 3150 Vậy phương án tốt dùng 100 đơn vị vitamin A 300 đơn vị vitamin B Chi phí ngày 3150 đồng Bài [ SGK Đại số & Giải tích 10] Có nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại phải dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm số máy nhóm cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm thuộc loại tương ứng bảng sau: Nhóm Số máy nhóm A B C 10 12 Số máy nhóm để sản xuất đơn vị sản phẩm Loại I Loại II 2 2 Mỗi đơn vị sản phẩm loại I lãi nghìn đồng, đơn vị sản phẩm loại II lãi nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản xuất hai sản phẩm có lãi suất cao Giải Gọi x, y số đơn vị sản phẩm thuộc loại I II x, y �0 Khi tổng số tiền lãi x đơn vị sản phẩm loại I y đơn vị sản phẩm loại II L 3000 x 5000 y �2 x y �10 �x y �5 �2 y �4 �y �2 � � � � � �2 x y �12 �x y �6 � � �x, y �0 Theo giả thiết ta có �x, y �0 * Khi tốn trở thành: Trong nghiệm bất phương trình (*), tìm nghiệm L 3000 x 5000 y lớn x xo , y yo cho M x, y Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm thỏa mãn (*) Miền nghiệm hệ (*) miền biên ngũ giác OABCD biên với O 0; , A 5; , B 4; 1 , C 2; , D 0; L đạt GTLN đỉnh ngũ giác OABCD Khi ta thấy L đạt GTLN x 4, y Khi L 17000 đồng lớn Vậy kế hoạch tốt sản xuất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II tổng số tiền lời lớn cụ thể 17000 đồng BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Chi phí nhiên liệu tàu chia làm phần, phần thứ khơng phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng / giờ, phần thứ tỉ lệ thuận với lập phương vận tốc , v 10km / h phần thứ 30 ngàn đồng / Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nhiên liệu 1km nhỏ Bài Từ khúc gỗ hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vng miếng phụ hình vẽ Hãy xác định kích thước miếng gỗ phụ để diện tích sử dụng tiết diện ngang nhỏ Bài Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 8a Nếu trồng đậu cần 20 cơng thu triệu đồng diện tích a , trồng cà cần 30 cơng thu triệu đồng diện tích a Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công không 180? Bài 10 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40 ngàn đồng Mỗi loại sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại lời 30 ngàn đồng Xưởng có 1200kg nguyên liệu 1200 làm việc, nên sản xuất loại sản phẩm để mức lời lớn Bài 11 Một sở sản xuất dự định sản xuất hai loại sản phẩm A B Các sản phẩm chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II III Số lượng đơn vị dự trữ loại nguyên liệu số lượng đơn vị loại nguyên liệu cần để sản xuất đơn vị sản phẩm loại cho tương ứng bảng sau Số đơn vị nguyên liệu cần dùng cho việc sản xuất đơn vị sản phẩm A B I 18 II 30 III 25 Mỗi đơn vị sản phẩm loại A lãi 300 nghìn đồng, đơn vị sản phẩm loại B lãi 200 nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản xuất sản phẩm có lãi suất lớn Loại nguyên liệu Nguyên liệu dự trữ Bài 12 Một máy cán thép sản xuất sản phẩm thép thép cuộn với công suất cho loại ( sản xuất sản phẩm): thép 250 / giờ, thép cuộn 150 / Lợi nhuận bán sản phẩm : thép tám 25USD / tấn, thép cuộn 30 USD / Theo tiếp thị tuần tiêu thụ tối đa 5000 thép 3500 thép cuộn Biết máy làm việc 40 tuần Cần sản xuất loại sản phẩm tuần để có lợi nhuận cao Bài 13 Một công ty sản xuất diện tử theo kiểu radio hai dây chuyền độc lập Công suất dây chuyền 45 radio / ngày dây chuyền 70 radio / ngày Để sản xuất radio kiểu cần 12 linh kiện điện tử E radio kiểu cần linh kiện Số linh kiện cung cấp ngày không 100 linh kiện Tiền lãi bán radio kiểu 250 ngàn đồng kiểu 180 ngàn đồng Hãy lập kế hoạch sản xuất cho lãi nhiều ngày ... loại II chiết xuất 10kg chất A 1,5kg chất B nên x, y nguyên liệu I II chiết xuất 20 x 10 y kg chất A 0, x 1,5 y kg chất B �x �9 �x �9 � � � � �y ? ?10 �y ? ?10 � � �� � 20 x 10 y �140 x 1y... Bài [SGK Đại số & Giải tích 10 nâng cao] Một gia đình cần 900g chất prơtein 400g chất lipit thức ăn ngày Biết thịt bị chứa 80% prơtein 20% lipit Thịt lợn chứa 60% prơtein 40% lipit Biết gia đình... dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 30 x 10 y � 210 x y �21 � � �x y �9 �x y �9 � � � * � � x y � 24 x y � 24 � � � � 210 g x , y � x , y �x, y �0 đường nên thỏa mãn