CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG .2 DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH .3 DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU 12 DẠNG : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHU 12 DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHU RỒI ĐƯA VỀ TÍCH 14 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHU KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH .16 DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY �MỢT SỚ, VẾ KIA �SỚ ĐĨ BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA .18 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DUNG TRONG CHỦ ĐỀ 22 I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG .22 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU .22 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 23 I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình: Điều kiện: x �6 � 2012 x 2012 x Phương trình � 2012 x x x � x 1 x 9 x 6 x 2012 x 2012 Lời giải x 9 x 6 0 x 2012 � x 5, x 4048135 ( thỏa mãn điều kiện) S 5; 4048135 Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x 4x 2x 8x Lời giải Điều kiện: x � Phương trình � � � 2x 4x 2x 2x 3 2x 4x 2x 2x 1 4x 2x 1 0 2x 4x 2x x4 � � 2x 2x � � �� �� � � x 0, x 4x 2x � 4x 2x � � � (Thỏa mãn điều kiện) � 1� S� 0; 4; � � Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: x3 x x 2x x Lời giải Điều kiện: x �4 � 2 �x �2 Khi phương trình cho trở thành 2 x3 x x x x � x 2 x2 2x 4 x2 x 4 x2 4 x 3� x2 � � x2 2x 4 x x2 �� x 1 � 2 � x2 x x �0 � �� x x x2 � x0 � �� x2 � S 0; 2 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình x x x x x Lời giải � x � Điều kiện: Khi đó, ta có x x x x2 x � x x x (7 x ) (7 x) �2 � 7 x x 7 x 7 x x 2 7 x �7 x x �� �2 x 7 x x � �� 7 x � �x �� � x � � 7� S � 3; � � So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH a b a b biểu thức xác định a b2 a b a b biểu thức xác định a b 7x x 2 Ví dụ Giải phương trình x x x x x Lời giải x � Điều kiện: Khi x x2 x x 3x � x2 x x2 x 3x � x 1 x x 3x 1 x x 3x � x 1 x 1 0 x x 3x 0 � 2� � x 1 � 1 � x x x � � � x 1 S 1 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình 2 Ví dụ Giải phương trình x 2018 x x 2018 x x Lời giải � 1� x x �x � 0, x � 2� Ta có Khi x 2018 x x 2018 x x � x x 1 2018 2x � x x 1 2018 2 1 x x x2 x2 x � x x 1 2018 � � 2018 � x x 1 � 1 � � x x 2 � 2x x x � �x 1� � 1� � S � � � � Vậy tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình 4x2 5x x2 x x Lời giải � 1� x x �x � 0, x � 2� Ta có nên điều kiện x x �0 Khi 2x2 x2 x x2 x 1 x2 x2 x 0 x2 x x2 x x � 4x2 5x 4x2 x 9x 4x � � x 1 x x 4x2 5x 4x2 x 9x 4x2 5x 4x2 x x 3 x 3 � � � x 3 � 1� 2 � 4x 5x 4x 4x � 9x � x (thỏa) Trường hợp Trường hợp 1 4x 5x 4x2 x � 1 4x 5x 4x2 x � x2 5x 4x2 x Vì 4x2 x x 1 3 � nên trường hợp vô nghiệm �1 � S �� �3 Vậy phương trình có tập nghiệm Ví dụ Giải phương trình x x x x Lời giải Điều kiện: Với điều kiện phương trình trở thành x 3x x x x � � 5x x 3x x x x 3x x 3 0 5x 4x 3x x x 1 x 1 � 0 5x x 3x x 1 � � � x 1 � � 3x x � � 5x 4x � x 1 S 1 So với điều kiện ta có tập nghiệm phương trình � Ví dụ Giải phương trình 3x x x2 3x x x2 3x Lời giải � 3x x �0 � 2 � x �0 � 3� x 3x �x � 0, x �3x x �0 � 2� Ta có nên điều kiện � Với điều kiện trên, phương trình trở thành 3x x x 3x x x 3x � 3x � � 3x x 3x 5x x 3 x x 1 3x x x x 2x 3x x x x x 3x x2 x 3x x 3x x 3x x x 3x x 0 0 � � � x � � 2 2 x 3x x � � x x 3x x � 2 x � x2 S 2 So với điều kiện ta tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình x2 x x 1 Lời giải Điều kiện: 1 �x �1 Khi đó, phương trình trở thành x2 4x x 1 � x2 x 4x � 1 x 1 x 1 4x � 1+ x � 1+ x 4(1- x) - 12 1- x +1 - 4x + 3= 3- 4x - 4x + 3= 1- x +1 � 1+ x � � � � � � (3- 4x).� +1� = 0� x= � � 1- x +1 � � � ( thỏa mãn) �3� S=� �� � � � �� Vậy tập nghiệm phương trình cho DẠNG 3: DỰ ĐỐN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH Nếu nhẩm nghiệm x = α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x – α).f(x) = Nếu nhẩm nghiệm x = –α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x +α).f(x) = Trong trường hợp f(x) = mà phức tạp ta thường chứng minh f(x) = vô nghiệm chứng minh f(x) = có nghiệm Bước 1: Nhẩm số nguyên thỏa mãn điều kiện xem số thỏa mãn phương trình, ta thường nhẩm số mà thay vào khai Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chèn vào phần a - b= Bước 3: Kết hợp cơng thức Ví dụ 1: Giải phương trình 3x+1- a-b2 a + b để đưa tích 6- x + 3x2 - 14x - 8= Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – 3x+1 x=5 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Điều kiện : Phương trình � ( 3x+1) - 6- x 3x+1sẽ với số 4, 6- x với số 1 �x �6 � 42 ( ) ( 3x+1- + ( 6- x) - 12 ) 6- x - + 3x2 - 14x - 5= + 3x2 - 15x+x - 5= 3x+1+1 6- x + 3x-15 5- x � + + 3x( x - 5) + ( x - 5) = 3x+1+1 6- x + � � � � ( x - 5) � + + 3x+1� =0 � � � � � 3x+1+1 � 6- x + Trường hợp 1: Xét x – = � x = ( thỏa mãn điều kiện) 1 + + 3x+1 3x+ + x + Trường hợp 2: Xét =0 loại 1 + + 3x+1 - �x �6 3x+1+1 6- x + >0∀ Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình S= { 5} x - 1+ 6- x = 3x2 - 4x - Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x- x=2 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Phương trình � ( x - với số 1, 6- x với số Điều kiện : 1�x �6 � 6- x ) ( x - 1- + ( x - 1) - 12 + ) 6- x - = 3x2 - 4x - ( 6- x) - 22 = 3x2 - 6x+2x - x - +1 6- x + x- 2- x � + = 3x( x - 2) +2( x - 2) x - +1 6- x + � � � � � ( x - 2) � 3x =0 � � � � � x - +1 � 6- x + � Trường hợp 1: Xét x – = x = ( thỏa mãn điều kiện) 1 - 3x - = 6- x + Trường hợp 2: Xét x - 1+1 1 � = - 3x - (*) x - 1+1 6- x + 1 � = + 3x+2 x - 1+1 6- x + Do x - 1+1�1 nên x - 1+1 �1 Với 1�x �6thì 3x + �3.1+ = 5nên Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 3: Giải phương trình 6- x + + 3x + 2> S= { 2} ( ) 3x - + x + = 4x2 - 24x + 35 Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x +3 3x - x=1 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: x - với số 1, 6- x với số x� Điều kiện : � � 5.� 3x - - + x + - � = 4x - 24x + 20 � Phương trình � � ( 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 22 � � � � 5.� + = 4x2 - 24x + 20 � x +3+ 2� � � 3x - +1 � 2 � � ( 3x - 2) - ( x + 3) - � � � � � 5.� + = 4x2 - 4x - 20x + 20 � � � x+3+ 2� � 3x - +1 � � 3x - � x- � � � � 5.� + = 4x( x - 1) - 20( x - 1) � � � � 3x - +1 � x + + 2� � 15 � � � � ( x - 1) � + 4x+ 20 =0 � � � � � � 3x - +1 � x +3+ Trường hợp 1: Xét x – = � x = ( thỏa mãn điều kiện) 15 + - 4x+20=0 3x + x + + Trường hợp 2: Xét ( ) ( � � 15 3x - +1 15 ) + x+3+ - 4x+20=0 + = 4x - 20 (*) 3x - +1 x +3+ 15 15 + > + =4 (*) 3x - +1 x+3+2 3.6- +1 6+ + Nếu x < Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm 15 + < 15 x+3+2 3.6- +1 Nếu x >6 3x - +1 Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm Nếu x = thỏa mãn (*) thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình cho + 6+ + =4 (*) S= {1;6} Ví dụ 4: Giải phương trình x - x + - = Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x+2 x=2 Từ bảng này, ta suy x + với số Trình bày lời giải: Điều kiện : x �2 ( x - 8) Phương trình ( ) x+ 2- = ( x + 2) - � ( x - 2) ( x + 2x + 4) - 2 22 =0 x+2+2 x- � ( x - 2) ( x2 + 2x + 4) - =0 x+2+2 �2 � � � � ( x - 2) � x + 2x + =0 � � � � � � x + + 2� Trường hợp 1: Xét x – = � x = ( thỏa mãn điều kiện) 2 x2 + 2x + 4� x2 + 2x + 4= (*) x+2+2 x+2+2 Trường hợp 2: Xét Do x + + 2�2 nên x + + 2 x2 + 2x + = ( x +1) + 3�3 Mà �1 nên phương trình (*) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S= { 2} Ví dụ 5: Giải phương trình x x x Phân tích bài toán: Phương trình ta nhẩm nghiệm x nên ta tách nhân tử x x2 x2 x với số Từ bảng ta suy Trình bày lời giải: Phương trình � x x 10 x x2 3 � x x 2 x2 x2 � x 2 x2 2x 4 x 2 0 x2 � x2 � � x �x x � x � � x � x ( thỏa mãn điều kiện ) Trường hợp 1: Xét Trường hợp 2: 10 x2 2x x2 � x2 2x x2 x 5 3 x 5 3 Xét � � x x x �x x2 � 1 2 � x x x Do nên hay 2 x x x 1 �4 vô nghiệm Mà nên phương trình S 2 Vậy tập nghiệm phương trình cho x Ví dụ 6: Giải phương trình x2 x x 1 Phân tích bài toán: Phương trình ta nhẩm nghiệm x nên ta tách nhân tử x x x 1 x x x với số Từ bảng , ta suy x2 x x x nên điều kiện : x Do � x x2 2 2 x x 1 � 4 x2 x x x 1 x 2 x x Phương trình � x2 4x x2 x 1 � � � x x 3 � � x 1 x x3 3x x x x x � � 2 � x 4x � x 4x x 1 � �� � �� � 3 x 3x x ( thỏa mãn) � � � x 3x x x � Vậy tập nghiệm phương trình cho S 1;3 11 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU DẠNG : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỢT ẨN PHU Ví dụ 1: Giải phương trình x x x 12 x 16 Lời giải Điều kiện : x �4 � x x 2x 12 Phương trình x x 12 � x4 x4 x4 x42 � x4 x4 x4 x4 x 4 x 4 12 2 Đặt t x x �0 , ta t t 12 � t t 12 � t 3 t � t 3 ( loại ), t ( thỏa mãn ) � t t 12 � x x � x x 16 16 x �0 � � x 16 x � � 2 �x 16 x 16 x 64 � x ( thỏa mãn ) Vậy nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình Điều kiện : 1 �x �4 Phương trình � 2 �2 �2 x 1 x x 1 x 4 x S 5 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 5 10 x 1 x 15 15 2 � t 1 16 � t �4 Đặt t x x �0 , ta 2t t 15 � t 2t 16 � t ( thỏa mãn ), t 5 (loại) � x x � x 1 x x 1 x � 4x x x � x 3x � x 0, x ( thỏa mãn ) S 0;3 Vậy tập nghiệm phương trình cho � Ví dụ 3: Giải phương trình Điều kiện : x x x 2x 4 2x 12 � � � � � 5� x � �x x � x � � � � Phương trình � � � � � � � 5� x � � �x � 1� x� � x� � � � t x �2 x 5t t 1 ta � 2t 5t � 2t 4t t � 2t t t � t 2t 1 � t (loại), t ( thỏa mãn ) � x � 2x x x 2� � x �x � 2 ( thỏa mãn ) �3 � S � � 2� �2 Vậy tập nghiệm phương trình cho Đặt x Ví dụ 4: Giải phương trình x x 1 2 x x x Lời giải �x � x � �0 � � �� x � x �x �0 �x �0 � Điều kiện � � x2 x x x 1 � x2 2x x x x x Phương trình 1 1 � x 2 x � x x 2 x x x x t x �0 � t 1 t x Đặt , ta t t � x 1 x � t (loại), t (thỏa mãn) 1� � x2 x � x (thỏa mãn điều kiện) � 1� � S � � � � Vậy tập nghiệm phương trình cho x 3x x x2 Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải x � Nếu phương trình cho vô nghiệm 13 Xét x , chia hai vế cho x ta � 1� x 3 x 1 � x �x � x � x� x x Đặt t x ta 1 �2 x x x t 3 t 1 � t 1 t 3 t �0 � t �3 � � � �2 ��2 � t � x 1 t 6t t �2t 18t 28 � (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S 1 DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHU RỒI ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x3 x x Lời giải Điều kiện: x �8۳ x Phương trình �5 �5 x x2 x x 2 x2 2x 4 Đặt a x2 x 2� x2 2x 4 x � � � x x 0, b x �0 , ta 2a 5ab 2b � a 2b 2a b x2 2x 4x � a 2b � x2 x � �� �� �� 2a b � x 2x 4 x x x 14 � � � � x � 13 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S � 13 Ví dụ Giải phương trình x x x x x Lời giải Điều kiện: x �3 Phương trình � x 1 x 3 Đặt a x 1 x 3 x 1 x 3 � x2 2x 2 x 0, b x �0 , ta a 2b 3ab � a 3ab 2b � a b a 2b 14 � x2 x � ab x2 x � �� � �2 � a 2b � x x x x 11 � � � � x 1, x 2, x � 15 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S 1;2;2 � 15 x x 2x x x Ví dụ Giải phương trình x Lời giải Điều kiện: x �0, x Phương trình � x �0, x �0 x x � 5�� 1� x � �x � x x 2x x � � x�� x� x x x x x � �0, b x �0 2 x x Đặt ta a b a b � a b a b 1 � a b � x x x x � x � x 2 (loại), x (thỏa mãn) S 2 a 2x Vậy tập nghiệm phương trình cho 4x Ví dụ Giải phương trình 1 x x x Lời giải x� Điều kiện: Phương trình � x 1 x x x � x 1 x � � � 2x x 1� a 1 a b2 1 b � a3 a b3 b a x, b x �0 Đặt , ta 2 � � � b � 3b � a b a ab b 1 � a b � a � � � � 2� � � �2 x �0 � a b � 2x 2x � � �4 x x 1 21 � x (thỏa mãn) 2 �1 21 � S� � � � Vậy tập nghiệm phương trình cho 15 Ví dụ Giải phương trình x Điều kiện: � x 3x x x 10 x Lời giải x � x 3x 3x x 10 x x Phương trình � x 1 x 1 � � x � �4 x � x 1 x 1 4 x 6 4 x Đặt a x 1, b x , b �0 ta � a 6a b3 6b � a b3 6a 6b � a b a ab b 2 � � � b � 3b � a b � a � � a b � � � 2� � � �x �0 �x �1 � x x 1 � � � �2 �4 x x x �x x 3 21 � x (thỏa mãn) �3 21 � S� � � � Vậy tập nghiệm phương trình cho 64 x x 5x x 5x x Ví dụ Giải phương trình Lời giải Vì x x x nên phương trình xác định x 64 x x � 5x 6x 5x2 x 5 Phương trình � 5x2 x 5x2 x 4x 4x Đặt a x x 0, b x ta a a b3 b � a b a ab b 1 2 � � � b � 3b � a b � a � 1� � a b � x x x � � 2� � � �x �0 �x �0 �� �� � x 1 x x 16 x 11x x � � Vậy tập nghiệm phương trình cho S 1 16 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHU KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x x 3x x Lời giải Điều kiện: x � Phương trình � 18 x x 3 x x 2 Đặt y x �0 ta 18 x y xy � 18 x xy y � x y 3x y � x x 0, x �0 �y 3x � x x �� �� �� y x 36 x x 0, x �0 � � �6x 6x � x 1, x 13 12 (thỏa mãn) � 13 � S � 1; � 12 � � Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình x x x 14 Lời giải Điều kiện x �1 x x 14 x � x2 6x x x � x 3 x 1 �x �� � x3 x � Phương trình tương đương với Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 3: Giải phương trình x x x 11 Lời giải 3 �x � Điều kiện Phương trình � 11 x x x � x x 2x 2x 1 � x32 2x 1 � � x3 �� � x 1 � 2x 17 0 Vậy nghiệm phương trình cho x Ví dụ 4: Giải phương trình x x x Lời giải Điều kiện x �8 Phương trình � x x x � x x 1x x � x 1 x 3 � � x 8 1 �� � x9 �x 3 Vây nghiệm phương trình x Ví dụ 5: Giải phương trình x2 x x 8 x x2 x Lời giải Điều kiện x � Phương trình � � x x 18 x2 x x 8 x 2 x x x2 x 1 � x2 x � � � � x2 � x3 � x 1 � � Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 6: Giải phương trình x x x Lời giải 1 �x � � x Điều kiện Phương trình � x x x x4 x2 x2 � x4 4x x2 � x4 4x2 1 � �x �� � x0 �1 4x Vậy nghiệm phương trình x 18 DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY �MỘT SỚ, VẾ KIA �SỚ ĐĨ BẰNG BĐT CỚI, BUNHIA x x x x 11 Ví dụ 1: Giải phương trình Lời giải Điều kiện �x �4 x x 11 x 3 �2 Có Ta đánh giá x x �2 Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) x2 4 x x 2 x 22 �2 x x Xét � x x �2 Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét x x � 2 2 x2 4 x 4� 4 x x �2 Như x x �2 , x x 11 �2 nên phương trình xảy dấu bằng �x � x3 � �x x Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 2: Giải phương trình x x x x x 12 x 14 Lời giải Điều kiện �x �3 Ta có x x x 12 x 14 x x x x 12 x 12 x x x �2 2 Ta đánh giá x x �2 Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) x 1 x x 1 x 22 �2 x 1 x Xét � x x �2 Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét x x � 2 2 x 1 x 4� 4 x x �2 Như x x �2 , x x x 12 x 14 �2 nên phương trình xảy dấu bằng �x x � �x � x �x x � 19 Vậy nghiệm phương trình x x x x x3 x 12 x 11 Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải �x � Điều kiện x x x 12 x 11 x x3 x x 12 x 11 Ta có x x x x 11 2 x2 x x2 x 2 x x 3 �2 Ta đánh giá x x �2 Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) Xét 2x 2x � x x �2 Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét x x Bunhia x 5 x 22 � 12 12 �2 2x 2x 5x x 4 4 � x x �2 Như x x �2 , x x x 12 x 11 �2 nên phương trình xảy �x x � x3 � �2 x x (thỏa mãn) S 3 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình x x x x Lời giải 3� 2 x Điều kiện: Cách (Đánh giá vế) x x x x x x 1 �1 Có Suy x x �1 � x �x x x � x x x x x.x x � � �1 � � Do Nên x x �1 Như nên phương trình xảy x 1 � x 1 x 2x ( thỏa mãn) 20 Cách (Đưa bình phương) x x 3x x � x x x 12 x Có � x x x x x 10 x � x 2x x Do 2x x 1 �0; x 1 �0 �x x � x 1 � �x nên phương trình xảy (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình 2x S 1 2x 1 x x 2x Lời giải x �0; x �0; x �0 x x Điều kiện Cách (Sử dụng bất đẳng thức Cơsi) 2x Có � 3� �6 � x � x � � x � x x x� � �x � � 3� �6 � 1 � 2x � � x � x� x � � � � 2 2x 2x 2x � x x x Do phương trình xảy (thỏa mãn) Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) 2 � � � � 6 x x � � � 2x x x 2x � � � � � x x � � � � Có � � � 12 12 � x x � x x � � x Nên 2x 6 2x � x x x 3 �2 x 2x 2x x nên dấu “=” xảy (thỏa mãn) Mà �3 � S �� �2 Vậy tập nghiệm phương trình cho 1 Ví dụ Giải phương trình 12 x x2 x x2 21 Lời giải Điều kiện x �0; 12 12 3 x �0; x 4x2 3 x2 �0 � � � � 9� 12 � 1�4 x � � x � � x � x x Cách Có 1� � 1� � � � 12 � � x � x 6� x � 2� x � 2x � � � 1� x �x � x �x � �4 x x � x� � � Do phương trình xảy 3 12 9; x 1; x � x �1 x x x (thỏa mãn) a x 0; b � ab 12, x Cách Đặt Ta ab b a b a b a 1 a b ab b a b b a 1 1 a b � a 2 Có � 4x 1 � � x � x x � x �1 � � 4x x Dấu “=” xảy � (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S �1 22 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DUNG TRONG CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Giải phương trình sau x 2012 x 2012 Bài x x x x3 Bài Bài x 9 x 6 x3 x x2 x x2 - Bài x x x x x 2 Bài x x x x x 2 Bài x 2018 x x 2018 x x Bài x2 5x x2 x x Bài x 3x x x Bài 3x2 x x2 3x2 x x 3x Bài 10 x2 4x 1 x 1 x x 3x x Bài 12 Bài 13 3x x x 24 x 35 Bài 14 x x Bài 15 x x x x2 x x x 1 Bài 16 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU Giải phương trình sau Bài Bài Bài Bài Bài Bài x x x 12 x 16 x 1 x x x 1 x 2x x 1 x 2x 2 x x x x2 3x x x x3 x x 23 Bài x x x x x x x 2x x x Bài x 4x Bài Bài 10 1 x x x x 3x x x 10 x 5x2 6x Bài 11 64 x3 x 5x2 x Bài 12 x x2 2x x2 2x Bài 13 x 1 x x x 2 Bài 14 x x Bài 15 x 2 x 4x 28 với x Bài 16 Bài 17 x x 16 x 3 Bài 18 x x 15 x 75 x 131 x2 x III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: Bài x x 12 x Bài x x x 14 Bài x x x 11 Bài x x x Bài x2 x x x x x 2 Bài x x x Bài x x x x 11 Bài x x x x3 x 12 x 14 Bài x x x x x 12 x 11 Bài 10 x x x x 2x 2x x x 2x Bài 11 Bài 12 12 3 x2 x2 x x 24 ... trình x 20 18 x x 20 18 x x Lời giải � 1� x x �x � 0, x � 2� Ta có Khi x 20 18 x x 20 18 x x � x x 1 20 18 2x � x x 1 20 18 2 1 ... x 2012 � x 5, x 40 481 35 ( thỏa mãn điều kiện) S 5; 40 481 35 Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x 4x 2x 8x Lời giải Điều kiện: x �... phương trình x x 3x x Lời giải Điều kiện: x � Phương trình � 18 x x 3 x x 2 Đặt y x �0 ta 18 x y xy � 18 x xy y � x y 3x y � x x 0, x �0 �y 3x