CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH ( x + 9) ( x + 6) x + + 2012 x + = 2012 + Ví dụ Giải phương trình: Điều kiện: x ≥ −6 Lời giải ⇔ 2012 x + − 2012 + x + − Phương trình ⇔ 2012 x + − − x + ( ⇔ ( ) )( x + −1 ( ( x + 9) ( x + 6) =0 ) x + −1 = ) x + − 2012 = ⇔ x = −5, x = 4048135 ( thỏa mãn điều kiện) S = { −5; 4048135} Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x + + 4x − 2x + = + 8x + Lời giải x≥− Điều kiện: ⇔ 2x + − + 4x − 2x + − Phương trình ⇔ ( 2x + − − 4x − 2x + ) ⇔ ( 2x + − )( ( ( 2x + 1) ( 4x − 2x + 1) =0 ) 2x + − = ) 4x − 2x + − = x = 2x + = 2x + = ⇔ ⇔ ⇔ x = 0, x = 4x − 2x + = 4x − 2x + = (Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho là: ( x3 + + x Ví dụ Giải phương trình: ) 1 S = 0; 4; 2 − x = − 2x − x Lời giải x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Điều kiện: Khi phương trình cho trở thành 2 x3 − + ( + x ) − x + x − x = ⇔ ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) + ( x2 + x + 4) − x2 = ) 4− x ) = ( + 3 ( x − + ⇔ ( x2 + 2x + 4) x − + − x2 = ⇔ ( x + 1) 2 ⇔ − x2 = − x 2− x ≥ ⇔ 2 4 − x = − x + x x = ⇔ x = S = { 0; 2} So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình cho x + − x + 7x − x − x − = Ví dụ Giải phương trình 0≤ x≤7 Điều kiện: Khi đó, ta có Lời giải x + − x + x − x2 − x − = ⇔ − x − x + x (7 − x ) − (7 − x) = ⇔2 ⇔ ( ( ) 7− x − x − 7−x )( ( ) 7− x − x = ) 7− x − x 2− 7− x = 7−x − x =0 ⇔ − − x = 7 − x = x ⇔ 7 − x = x=3 ⇔ x = So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình 7 S = 3; 2 DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH a −b a− b= a+ b • biểu thức xác định a −b = • a − b2 a +b biểu thức xác định Ví dụ Giải phương trình x2 + + x2 + x + = x + 3x + Lời giải Điều kiện: Khi x≥− x + + x2 + x + = x + 3x + ⇔ x2 − x + + x2 + x + − 3x + = ⇔ ( x − 1) (x + + x + ) − ( 3x + 1) x + x + + 3x + ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) =0 x + x + + 3x + =0 2 ⇔ ( x − 1) 1 + ÷= x + x + + x + ⇔ x =1 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình S = { 1} x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + Lời giải Ta có 1 x + x + = x + ÷ + > 0, ∀x 2 Khi x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + ⇔ ( x − x − 1) + 2018 2 ⇔ ( x − x − 1) + 2018 ( 2x + 1) − ( x + x + ) x2 + + x2 + x + 1± Vậy tập nghiệm phương trình 1 ± S = ) 2x2 + − x2 + x + = = ⇔ ( x − x − 1) + 2018 2018 ⇔ ( x − x − 1) + ÷= ⇔ x − x −1 = 2 2x + + x + x + ⇔x= ( x2 − x −1 x2 + + x2 + x + =0 Ví dụ Giải phương trình 4x2 + 5x + + = x2 − x + + 9x Lời giải 1 x − x + = x − ÷ + > 0, ∀x 2 Ta có Khi nên điều kiện x + x + ≥ x2 + x + + = x2 − x + + x ⇔ 4x2 + 5x + − 4x2 − 4x + − 9x + = ( 4x ⇔ ⇔ + x + 1) − ( x − x + ) 4x2 + 5x + + 4x2 − x + 9x − 4x2 + 5x + + 4x2 − x + − ( x − 3) = − ( x − 3) = ⇔ ( x − 3) − 1÷ = 2 4x + 5x + + 4x − 4x + 9x − = ⇔ x = Trường hợp Trường hợp (thỏa) ⇔ 4x2 + 5x + + 4x2 − x + −1 = 4x2 + 5x + + 4x2 − x + =1 ⇔ x2 + 5x + + 4x2 − x + = 4x2 − 4x + = Vì ( x − 1) +3 ≥ nên trường hợp vô nghiệm 1 S = 3 Vậy phương trình có tập nghiệm 5x + + 3x + = x + + x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải x≥− Điều kiện: Với điều kiện phương trình trở thành 5 x + + 3x + = x + + x + ⇔ ⇔ ( ) ( 5x + − x + + ) 3x + − x + = ( x + ) − ( x + ) + ( 3x + ) − ( x + 3) =0 5x + + 4x + 3x + + x + x −1 x −1 ⇔ + =0 5x + + x + 3x + + x + 1 ⇔ ( x − 1) + ÷= 3x + + x + 5x + + 4x + ⇔ x =1 So với điều kiện ta có tập nghiệm phương trình S = { 1} 3x − x + − x − = 3x − x − − x2 − 3x + Ví dụ Giải phương trình 2 Lời giải 3 x − x + ≥ 2 x −2≥ x − 3x + = x − ÷ + > 0, ∀x 3x − x − ≥ 2 Ta có nên điều kiện Với điều kiện trên, phương trình trở thành 3x − x + − x − = 3x − x − − x − 3x + ⇔ ( ( 3x ⇔ ⇔ ) ( 3x − x + − 3x − 5x − + − x + 3) − ( x − x − 1) 3x − x + + x − x − − 2x 3x − x + + x − x − ) x − 3x + − x − = (x + − 3x + ) − ( x2 − ) x − 3x + + x − − 3x + x − 3x + + x − =0 =0 ⇔ ( − x) + ÷= 2 x − 3x + + x − x − x + + 3x − x − ⇔ 2− x = ⇔x=2 So với điều kiện ta tập nghiệm phương trình − x2 − x = Ví dụ Giải phương trình −1 ≤ x ≤ Điều kiện: Khi đó, phương trình trở thành ( ) S = { 2} + x −1 Lời giải − x2 − 4x = ( ) + x −1 ⇔ − x2 − + x − 4x + = ( ) ⇔ + x 1− x −1 − 4x + = Û 1+ x Û 1+ x 4(1- x) - 12 1- x +1 3- 4x 1- x +1 - 4x + 3= - 4x + 3= æ 1+ x ữ ữ ỗ (3- 4x).ỗ + = x = ữ ỗ ữ ỗ ố2 1- x +1 ữ ứ ( thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho l ùỡ S = ùớ ùợù 3ùỹ ùý 4ùỵ ù DẠNG 3: DỰ ĐỐN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH • Nếu nhẩm nghiệm x = α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x – α).f(x) = • Nếu nhẩm nghiệm x = –α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x +α).f(x) = • Trong trường hợp f(x) = mà phức tạp ta thường chứng minh f(x) = vô nghiệm chứng minh f(x) = có nghiệm Bước 1: Nhẩm số nguyên thỏa mãn điều kiện xem số thỏa mãn phương trình, ta thường nhẩm số mà thay vào khai Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chèn vào phần a - b= Bước 3: Kết hợp cơng thức Ví dụ 1: Giải phương trình 3x+1- a-b2 a+b để đưa tích 6- x + 3x2 - 14x - 8= Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – 3x+1 x=5 Từ bảng này, ta suy 6- x 3x+1 với số 4, 6- x với số Trình bày lời giải: Điều kiện : £ x£ Û ( ) ( 3x+1- - Phương trình Û ( 3x+1) - 42 + ( 6- x) - 12 ) 6- x - + 3x2 - 14x - 5= + 3x2 - 15x+x - 5= 3x+1+1 6- x + 3x-15 5- x Û + + 3x( x - 5) + ( x - 5) = 3x+1+1 6- x + ỉ ÷ ÷ Û ( x - 5) ỗ + + 3x+ =0 ç ÷ ç ÷ è 3x+1+1 ø 6- x + Trường hợp 1: Xét x – = Û Trường hợp 2: Xét 3x+1+1 3x+1+1 + 6- x + x = ( thỏa mãn điều kiện) + 6- x + + 3x+1 - >0∀ + 3x+1 =0 loại £ x£ S= { 5} Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình x - 1+ 6- x = 3x2 - 4x - Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x- x=2 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Điều kiện : 6- x x- với số 1, 6- x với số 1£ x £ Û Phương trình Û ( ) ( x - 1- + ( x - 1) - 12 x - +1 + ) 6- x - = 3x2 - 4x - ( 6- x) - 22 6- x + = 3x2 - 6x+2x - x- Û x - +1 2- x + 6- x + ổ ( x - 2) ỗ ỗ ỗ è x - +1 Trường hợp 1: Xét x – = Û x - 1+1 Û x - 1+1 Û x - 1+1 6- x + = = Do 6- x + 6- x + x - 1+1 nên - 3x - = 1 x - 1+1³ ÷ - 3x - 2÷ =0 ÷ ÷ ø 6- x + x = ( thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: Xét = 3x( x - 2) +2( x - 2) - 3x - (*) + 3x+2 £1 1£ x £ 3x + 2³ 3.1+ 2= Với Do phương trình (*) vơ nghiệm nên 6- x + + 3x + 2> S= { 2} Vậy tập nghiệm phương trình cho ( ) 3x - + x + = 4x2 - 24x + 35 Ví dụ 3: Giải phương trình Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x +3 3x - x=1 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: x³ Điều kiện : Phương trình x- 1 6- x với số 1, với số 2 ( ) ( é 5.ê 3x - - + ë ) ù x + - ú= 4x2 - 24x + 20 û é( 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 22 ù ú= 4x2 - 24x + 20 Û 5.ê + ê ú 3x + x + + ê ú ë û ổ (ỗ 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 22 ữ ỗ ữ 5.ỗ + = 4x2 - 4x - 20x + 20 ÷ ÷ ç ç x +3+2÷ è 3x - +1 ø ỉ 3x - x- ÷ ÷ Û 5.ỗ + ỗ ữ= 4x( x - 1) - 20( x - 1) ỗ ỗ ố 3x - +1 ø x + + 2÷ ỉ 15 ữ ữ ( x - 1) ỗ + 4x+ 20 =0 ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 3x - +1 ø x +3+ Û Trường hợp 1: Xét x – = x = ( thỏa mãn điều kiện) 15 3x - +1 Trường hợp 2: Xét 15 Û 3x - +1 3x - +1 15 3x - +1 + x+3+2 + 15 Û + x+3+ + - 4x+20=0 - 4x+20=0 x +3+ x+3+2 = 4x - 20 15 > 3.6- +1 + Nếu x < Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm 15 3x - +1 + x+3+2 < 15 3.6- +1 Nếu x >6 Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vô nghiệm Nếu x = thỏa mãn (*) thỏa mãn điều kiện + (*) 6+ + 6+ + =4 (*) =4 (*) S= {1;6} Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình x3 - x + - = Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x+2 x=2 10 ⇔ x− 1 1 −2+ x− = ⇔ x− + x− −2 = x x x x t = x− Đặt ⇔t=2 ≥0 x (loại), , ta t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t − ) = ⇒ x− t =1 =1 x (thỏa mãn) 1± ⇔ x2 − x − = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 1 ± S = Vậy tập nghiệm phương trình cho x − 3x + + x + x2 + = Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải x≤0 ∗ Nếu phương trình cho vô nghiệm x > x ∗ Xét , chia hai vế cho ta 1 x + −3+ x + +1 = ⇔ x + − + x + ÷ −1 = x x x x t = x+ Đặt 1 ≥ x = x x t −3+ ta t −1 = ⇔ t −1 = ( − t ) 3 − t ≥ t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ t = ⇒ x =1 t − = − t + t t − 18 t + 28 = ( ) Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 1} (thỏa mãn) DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHU RỒI ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x3 + = ( x − x + ) Lời giải x ≥ −8 ⇔ x ≥ −2 Điều kiện: 16 ⇔5 Phương trình ⇔5 Đặt ( x + ) ( x2 − x + ) ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) = ( x2 − x + ) = ( x − x + ) + ( x + ) a = x − x + > 0, b = x + ≥ , ta 2a − 5ab + 2b = ⇔ ( a − 2b ) ( 2a − b ) = 2 x2 − x − = a = 2b x − x + = x + ⇔ ⇒ ⇔ 2 a = b x − x + = x + ( ) x − x + 14 = ⇔ x = ± 13 (thỏa mãn) { } S = ± 13 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình Điều kiện: x + x + = x3 + 3x + x + Lời giải x ≥ −3 ⇔ x2 + 2x + = Phương trình ⇔ ( x + 1) + ( x + 3) = Đặt (x (x + 1) ( x + 3) + 1) ( x + ) a = x + > 0, b = x + ≥ , ta a + 2b = 3ab ⇔ a − 3ab + 2b = ⇔ ( a − b ) ( a − 2b ) = 2 2 x2 + = x + x2 − x − = a = b ⇔ a = 2b ⇒ x + = x + x − x − 11 = ⇔ x = −1, x = 2, x = ± 15 (thỏa mãn) { S = −1;2;2 ± 15 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình + x − = x + 2x − x x x Lời giải 17 } x ≠ 0, x − Điều kiện: ⇔ x− Phương trình a = 2x − Đặt ≥ 0, x − ≥ x x 5 1 + x − − x − = ⇔ x − ÷ − x − ÷+ x − − x − = x x x x x x x ≥ 0, b = x − ≥ x x ta ⇔ ( a − b ) ( a + b + 1) = ⇔ a = b ⇒ x − ⇔ x = ⇔ x = −2 (loại), x=2 Ví dụ Giải phương trình = x− x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho ( 4x a − b2 + a − b = S = { 2} + 1) x = ( − x ) − x Lời giải x≤ Điều kiện: Phương trình ⇔ ( x + 1) ( x ) = ( − x ) − x ⇔ ( x + 1) ( x ) = ( − x ) + 1 − x Đặt a = x, b = − x ≥ , ta (a + 1) a = ( b + 1) b ⇔ a + a = b3 + b b 3b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = ⇔ ( a − b ) a + ÷ + + 1 = 2 2 2 x ≥ ⇔ a = b ⇒ 2x = − 2x ⇔ 4 x = − x ⇔x= −1 + 21 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình −1 + 21 S= x + 3x + x + + ( x − 10 ) − x = 18 Lời giải 4− x ≥0 ⇔ x ≤ Điều kiện: Phương trình ⇔ x + 3x + x + + x + = ( 10 − x ) − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = 6 + ( − x ) − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( 4− x a = x + 1, b = − x , b ≥ Đặt ) +6 4− x ta ⇔ a + 6a = b + 6b ⇔ ( a − b3 ) + ( 6a − 6b ) = 3 ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + ) = b 3b ⇔ ( a − b ) a + ÷ + + 6 = ⇔ a = b 2 x +1 ≥ x ≥ −1 ⇒ − x = x +1 ⇔ ⇔ 2 4 − x = x + x + x + 3x − = ⇔x= −3 + 21 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho −3 + 21 S= 5x2 + x + = Ví dụ Giải phương trình 64 x + x 5x2 + x + Lời giải x + x + > ∀x Vì nên phương trình xác định ⇔ 5x2 + x + = Phương trình ⇔ Đặt ( 5x2 + 6x + ) ∀x 64 x + x ( 5x2 + x + 5) + + 5x2 + x + = ( x ) + x a = x + x + > 0, b = x ta a + a = b + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = 3 19 b 3b ⇔ ( a − b ) a + ÷ + + 1 = ⇔ a = b ⇒ x + x + = x 2 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x =1 2 5 x + x + = 16 x 11x − x − = Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 1} DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHU KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x + x + = 3x x + Lời giải Điều kiện: x≥− Phương trình Đặt ⇔ 18 x + ( x + 3) = x x + y = 6x + ≥ ta 18 x + y = xy ⇔ 18 x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( 3x − y ) = 2 9 x − x − = 0, x ≥ y = 3x x + = 3x ⇔ ⇒ ⇔ y = x x + = x 36 x − x − = 0, x ≥ ⇔ x = 1, x = + 13 12 (thỏa mãn) + 13 S = 1; 12 Vậy tập nghiệm phương trình cho x + = x − x + 14 Ví dụ 2: Giải phương trình Điều kiện x ≥1 Lời giải x − x + 14 − x + = ⇔ x2 − 6x + + x + − x + = ⇔ ( x − 3) + Phương trình tương đương với ( x +1 − x − = ⇔ ⇔ x=3 x + = 20 ) =0 Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình x=3 x + x + + − x = 11 Lời giải Điều kiện −3 ≤ x ≤ ⇔ 11 − x − x + − − x = Phương trình ⇔ x + − x + + + − 2x − − 2x +1 = ⇔ ( ) ( ) x+3−2 + − 2x −1 = x + = ⇔ ⇔ x =1 − x = Vậy nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình Điều kiện x =1 x − x − − x +1 = Lời giải x≥8 ⇔ 2x − x − − x + = Phương trình ⇔ x − − x − + + 1x − x + = ⇔ ( ) ( x − −1 + ) x −3 = x − = ⇔ ⇔ x=9 x = Vây nghiệm phương trình x + x−9 = Ví dụ 5: Giải phương trình x=9 (x − 8) ( x − ) + x2 − + x − Lời giải Điều kiện x≥ ⇔ x + x − 18 = Phương trình (x − 8) ( x − 2) + x2 − + x − 21 ⇔ ( x2 − − x − ) +( ) ( 2 x2 − − + ) x − −1 = x2 − = x − ⇔ x2 − = ⇔ x=3 x − = Ví dụ 6: x=3 Vậy nghiệm phương trình − 2x + 1+ 2x = − x2 Giải phương trình Lời giải Điều kiện 1 − ≤ x ≤ ⇒ − x2 > 2 Phương trình ⇔ + 1− 4x = x − 4x2 + 4 x4 − x2 − − x2 + = ⇔ x4 + ( − x ) − − x2 + = ⇔ x4 + ( ) − 4x2 −1 = x = ⇔ ⇔ x=0 − x = Vậy nghiệm phương trình DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY Ví dụ 1: Giải phương trình ≥ x=0 ≤ MỢT SỚ, VẾ KIA SỚ ĐĨ BẰNG BĐT CỚI, BUNHIA x − + − x = x − x + 11 Lời giải 2≤ x≤4 Điều kiện 2 x − x + 11 = ( x − 3) + ≥ Có x−2 + 4− x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) 22 ( ) x−2 + 4− x ( x − 2) ( − x ) = 2+2 ≤ 2+2 x − + ( − x) ⇒ x−2 + 4− x ≤ Xét Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét ( x − + − x ) ≤ ( +1 ) ( 2 2 x−2 + 4− x ) =4⇒ =4 x−2 + 4− x ≤ x − + − x ≤ x − x + 11 ≥ , nên phương trình xảy dấu bằng Như x − = ⇔ x=3 x − = − x Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình x=3 x − + − x = x − x + x − 12 x + 14 Lời giải 1≤ x ≤ Điều kiện x − x3 + x − 12 x + 14 = ( x − x3 + x ) + ( x − 12 x + 12 ) + Ta có = ( x2 − 2x ) + 3( x − 2) + ≥ 2 x −1 + − x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) ( x −1 + − x ) ( x − 1) ( − x ) = 2+2 ≤ 2+2 x −1+ ( − x) ⇒ x −1 + − x ≤ Xét Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét ( x − + − x ) ≤ (1 +1 ) ( 2 2 x −1 + − x ) =4⇒ =4 x −1 + − x ≤ x − + − x ≤ x − x + x − 12 x + 14 ≥ Như , nên phương trình xảy dấu bằng x − 2x = x − = ⇔ x = x −1 = − x x=2 Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình x − + − x = x − x3 − x + 12 x + 11 23 Lời giải ≤x≤ 2 Điều kiện x − x − x + 12 x + 11 = ( x − x + x ) − x + 12 x + 11 Ta có = ( x − x ) − ( x − x ) + 11 2 = ( x2 − x ) − ( x2 − x ) + + 2 = ( x − x − 3) + ≥ 2 2x − + − 2x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) ( 2x − + − 2x ) ( x − 5) ( − x ) = 2+2 ≤ 2+2 Xét ⇒ 2x − + − 2x ≤ Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) ( x − + − x ) Bunhia ≤ Xét ⇒ 2x − + − 2x ≤ (1 + 12 )( 2x − + − 2x 5x − + ( − x ) =4 ) =4 x − + − x ≤ x − x − x + 12 x + 11 ≥ , nên phương trình xảy Như x2 − x − = ⇔ x=3 2 x − = − x (thỏa mãn) S = { 3} Vậy tập nghiệm phương trình cho x − x = 3x − x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải 3 − 2x ≥ ⇔ x ≤ Điều kiện: Cách (Đánh giá vế) x − x + = x − x + + = ( x − 1) + ≥ Có Suy x − 2x ≥ ⇒ x > 24 x + x + − 2x x − x = x ( − x ) = x.x ( − x ) ≤ ÷ =1 Do x − 2x ≤ Nên Như nên phương trình xảy x −1 = ⇔ x =1 x = − 2x ( thỏa mãn) Cách (Đưa bình phương) x − x = 3x − x + ⇔ x − x = x − 12 x + Có ⇔ x − x − x + ( − x ) + x − 10 x + = { ( ⇔ x − − 2x Do ( x− − 2x ) ) + ( x − 1) = ≥ 0; ( x − 1) ≥ nên phương trình xảy x = − 2x ⇔ x =1 x −1 = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho 2x − Ví dụ Giải phương trình S = { 1} + − 2x = 1+ x x 2x Lời giải x ≠ 0; x − ≥ 0; − x ≥ x x Điều kiện Cách (Sử dụng bất đẳng thức Côsi) 2x − 3 6 + − x = x − ÷ + − x ÷ x x x x Có 3 6 + 2x − ÷ + − 2x ÷ x x = 1+ ≤ + 2 2x 2x − = − 2x = ⇔ x = x x Do phương trình xảy Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) (thỏa mãn) 25 2 6 − 2x ÷ = x − + − x x − + ÷ ÷ ÷ x x x x Có ( ) ≤ 12 + 12 x − + − x ÷ = x x x 2x − Nên 1+ Mà 6 + − 2x ≤ x x x 3 ≥2 = 2x 2x x x= nên dấu “=” xảy (thỏa mãn) S = 2 Vậy tập nghiệm phương trình cho 3 12 − + x − = x x x Ví dụ Giải phương trình Lời giải 3 x ≠ 0; 12 − ≥ 0; x − ≥ x x Điều kiện 12 − x2 + 4x2 − x2 = 12 − ÷ + 1 x − ÷ x x Cách Có 1 1 ≤ + 12 − ÷+ 1 + x − ÷ = x − + 6 x 2 x 2x 1 = 4x2 − x2 + − ÷= 4x2 − x − ÷ ≤ 4x2 x x Do phương trình xảy 3 12 − = 9; x − = 1; x − = ⇔ x = ±1 x x x a = x > 0; b = x2 > ⇒ ab = 12, Cách Đặt ab − b + a − b = a Ta ab − b + a − b = b ( a − 1) + 1( a − b ) ≤ Có (thỏa mãn) b + ( a − 1) + ( a − b ) + =a 2 26 Dấu “=” xảy 4 x − = x ⇔ x − x − = ⇔ x = ±1 1 = x − x2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { ±1} 27 (thỏa mãn) HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DUNG TRONG CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Giải phương trình sau ( x + 9) ( x + 6) x + + 2012 x + = 2012 + Bài 2x + + 4x − 2x +1 = + 8x +1 Bài ( x + 4+ x Bài Bài Bài ) − x = − 2x − x - x + − x + x − x2 − x − = x + + x + x + = x + 3x + Bài x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + 2 Bài Bài x + 5x + + = x − x + + x x + + 3x + = x + + x + = − x − 4x = Bài 10 Bài 15 ( ( ) + x −1 ) 3x − + x + = x − 24 x + 35 x3 − x + − = x + x − = x + x+ Bài 16 x − + − x = 3x − x − Bài 12 Bài 14 3x − x + − x − = 3x − x − − x2 − 3x + Bài 13 2 Bài 3 x2 + = x ( x + 1) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU Giải phương trình sau Bài x + + x − = x − 12 + x − 16 x +1 + − x + Bài ( x + 1) ( − x ) = 28 x+ Bài ( x − 1) Bài x Bài Bài x + x + = x3 + = ( x − x + ) x + x + = x + x + x + Bài Bài + 2x = 2− x x− x x2 − 3x + + Bài = 2x + + x − = x + 2x − x x x ( 4x Bài 10 + 1) x = ( − x ) − x x + 3x + x + + ( x − 10 ) − x = 5x2 + 6x + = Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 ( − x ) x + x − = x − 2x + ( x − 1) Bài 17 x + x + = x + = x − 4x + 28 với x − x − + 16 x = Bài 18 x + = x + x + x2 + x = Bài 16 64 x3 + x 5x2 + 6x + x > x + = x − 15 x + 75 x − 131 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: x + x + 12 = 3x + Bài x + = x − x + 14 Bài 29 Bài Bài x + x + + − x = 11 x − x − − x + = x2 + x − = Bài Bài Bài Bài Bài Bài 10 − ) ( x − ) + x − + x − − 2x + + 2x = − x2 x − + − x = x − x + 11 x − + − x = x − x3 + x − 12 x + 14 x − + − x = x − x − x + 12 x + 11 x − x = x − x + 2x − + − 2x = + x x 2x 12 − 3 + x2 − = x2 x x Bài 11 Bài 12 (x 30 ... { 1} x + 20 18 x + = x + + 20 18 x + x + Lời giải Ta có 1 x + x + = x + ÷ + > 0, ∀x 2 Khi x + 20 18 x + = x + + 20 18 x + x + ⇔ ( x − x − 1) + 20 18 2 ⇔ ( x − x − 1) + 20 18 ( 2x + 1) −... ) x + − 2012 = ⇔ x = −5, x = 40 481 35 ( thỏa mãn điều kiện) S = { −5; 40 481 35} Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x + + 4x − 2x + = + 8x + Lời giải x≥− Điều kiện: ... phương trình x + x + = 3x x + Lời giải Điều kiện: x≥− Phương trình Đặt ⇔ 18 x + ( x + 3) = x x + y = 6x + ≥ ta 18 x + y = xy ⇔ 18 x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( 3x − y ) = 2 9 x − x − = 0, x ≥ y = 3x