1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

chu de 8 phuong trinh vo ty

30 25 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 30
Dung lượng 860,07 KB

Nội dung

CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH ( x + 9) ( x + 6) x + + 2012 x + = 2012 + Ví dụ Giải phương trình: Điều kiện: x ≥ −6 Lời giải ⇔ 2012 x + − 2012 + x + − Phương trình ⇔ 2012 x + − − x + ( ⇔ ( ) )( x + −1 ( ( x + 9) ( x + 6) =0 ) x + −1 = ) x + − 2012 = ⇔ x = −5, x = 4048135 ( thỏa mãn điều kiện) S = { −5; 4048135} Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x + + 4x − 2x + = + 8x + Lời giải x≥− Điều kiện: ⇔ 2x + − + 4x − 2x + − Phương trình ⇔ ( 2x + − − 4x − 2x + ) ⇔ ( 2x + − )( ( ( 2x + 1) ( 4x − 2x + 1) =0 ) 2x + − = ) 4x − 2x + − = x =  2x + =  2x + = ⇔ ⇔ ⇔  x = 0, x = 4x − 2x + =  4x − 2x + =   (Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho là: ( x3 + + x Ví dụ Giải phương trình: ) 1  S = 0; 4;  2  − x = − 2x − x Lời giải x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Điều kiện: Khi phương trình cho trở thành 2 x3 − + ( + x ) − x + x − x = ⇔ ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) + ( x2 + x + 4) − x2 = ) 4− x ) = ( + 3 ( x − +  ⇔ ( x2 + 2x + 4) x − + − x2 = ⇔ ( x + 1)  2 ⇔ − x2 = − x 2− x ≥  ⇔ 2 4 − x = − x + x x = ⇔ x = S = { 0; 2} So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình cho x + − x + 7x − x − x − = Ví dụ Giải phương trình 0≤ x≤7 Điều kiện: Khi đó, ta có Lời giải x + − x + x − x2 − x − = ⇔ − x − x + x (7 − x ) − (7 − x) = ⇔2 ⇔ ( ( ) 7− x − x − 7−x )( ( ) 7− x − x = ) 7− x − x 2− 7− x =  7−x − x =0 ⇔  − − x = 7 − x = x ⇔ 7 − x = x=3 ⇔ x =  So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình  7 S = 3;   2 DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH a −b a− b= a+ b • biểu thức xác định a −b = • a − b2 a +b biểu thức xác định Ví dụ Giải phương trình x2 + + x2 + x + = x + 3x + Lời giải Điều kiện: Khi x≥− x + + x2 + x + = x + 3x + ⇔ x2 − x + + x2 + x + − 3x + = ⇔ ( x − 1) (x + + x + ) − ( 3x + 1) x + x + + 3x + ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) =0 x + x + + 3x + =0  2 ⇔ ( x − 1) 1 + ÷= x + x + + x +   ⇔ x =1 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình S = { 1} x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + Lời giải Ta có 1  x + x + =  x + ÷ + > 0, ∀x 2  Khi x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + ⇔ ( x − x − 1) + 2018 2 ⇔ ( x − x − 1) + 2018 ( 2x + 1) − ( x + x + ) x2 + + x2 + x + 1± Vậy tập nghiệm phương trình 1 ±  S =    ) 2x2 + − x2 + x + = = ⇔ ( x − x − 1) + 2018   2018 ⇔ ( x − x − 1)  + ÷= ⇔ x − x −1 = 2 2x + + x + x +   ⇔x= ( x2 − x −1 x2 + + x2 + x + =0 Ví dụ Giải phương trình 4x2 + 5x + + = x2 − x + + 9x Lời giải 1  x − x + =  x − ÷ + > 0, ∀x 2  Ta có Khi nên điều kiện x + x + ≥ x2 + x + + = x2 − x + + x ⇔ 4x2 + 5x + − 4x2 − 4x + − 9x + = ( 4x ⇔ ⇔ + x + 1) − ( x − x + ) 4x2 + 5x + + 4x2 − x + 9x − 4x2 + 5x + + 4x2 − x + − ( x − 3) = − ( x − 3) =   ⇔ ( x − 3)  − 1÷ = 2  4x + 5x + + 4x − 4x +  9x − = ⇔ x = Trường hợp Trường hợp (thỏa) ⇔ 4x2 + 5x + + 4x2 − x + −1 = 4x2 + 5x + + 4x2 − x + =1 ⇔ x2 + 5x + + 4x2 − x + = 4x2 − 4x + = Vì ( x − 1) +3 ≥ nên trường hợp vô nghiệm 1  S =  3 Vậy phương trình có tập nghiệm 5x + + 3x + = x + + x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải x≥− Điều kiện: Với điều kiện phương trình trở thành 5 x + + 3x + = x + + x + ⇔ ⇔ ( ) ( 5x + − x + + ) 3x + − x + = ( x + ) − ( x + ) + ( 3x + ) − ( x + 3) =0 5x + + 4x + 3x + + x + x −1 x −1 ⇔ + =0 5x + + x + 3x + + x + 1   ⇔ ( x − 1)  + ÷= 3x + + x +   5x + + 4x + ⇔ x =1 So với điều kiện ta có tập nghiệm phương trình S = { 1} 3x − x + − x − = 3x − x − − x2 − 3x + Ví dụ Giải phương trình 2 Lời giải 3 x − x + ≥  2  x −2≥   x − 3x + =  x − ÷ + > 0, ∀x  3x − x − ≥ 2   Ta có nên điều kiện Với điều kiện trên, phương trình trở thành 3x − x + − x − = 3x − x − − x − 3x + ⇔ ( ( 3x ⇔ ⇔ ) ( 3x − x + − 3x − 5x − + − x + 3) − ( x − x − 1) 3x − x + + x − x − − 2x 3x − x + + x − x − ) x − 3x + − x − = (x + − 3x + ) − ( x2 − ) x − 3x + + x − − 3x + x − 3x + + x − =0 =0   ⇔ ( − x)  + ÷= 2 x − 3x + + x −   x − x + + 3x − x − ⇔ 2− x = ⇔x=2 So với điều kiện ta tập nghiệm phương trình − x2 − x = Ví dụ Giải phương trình −1 ≤ x ≤ Điều kiện: Khi đó, phương trình trở thành ( ) S = { 2} + x −1 Lời giải − x2 − 4x = ( ) + x −1 ⇔ − x2 − + x − 4x + = ( ) ⇔ + x 1− x −1 − 4x + = Û 1+ x Û 1+ x 4(1- x) - 12 1- x +1 3- 4x 1- x +1 - 4x + 3= - 4x + 3= æ 1+ x ữ ữ ỗ (3- 4x).ỗ + = x = ữ ỗ ữ ỗ ố2 1- x +1 ữ ứ ( thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho l ùỡ S = ùớ ùợù 3ùỹ ùý 4ùỵ ù DẠNG 3: DỰ ĐỐN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH • Nếu nhẩm nghiệm x = α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x – α).f(x) = • Nếu nhẩm nghiệm x = –α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x +α).f(x) = • Trong trường hợp f(x) = mà phức tạp ta thường chứng minh f(x) = vô nghiệm chứng minh f(x) = có nghiệm Bước 1: Nhẩm số nguyên thỏa mãn điều kiện xem số thỏa mãn phương trình, ta thường nhẩm số mà thay vào khai Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chèn vào phần a - b= Bước 3: Kết hợp cơng thức Ví dụ 1: Giải phương trình 3x+1- a-b2 a+b để đưa tích 6- x + 3x2 - 14x - 8= Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – 3x+1 x=5 Từ bảng này, ta suy 6- x 3x+1 với số 4, 6- x với số Trình bày lời giải: Điều kiện : £ x£ Û ( ) ( 3x+1- - Phương trình Û ( 3x+1) - 42 + ( 6- x) - 12 ) 6- x - + 3x2 - 14x - 5= + 3x2 - 15x+x - 5= 3x+1+1 6- x + 3x-15 5- x Û + + 3x( x - 5) + ( x - 5) = 3x+1+1 6- x + ỉ ÷ ÷ Û ( x - 5) ỗ + + 3x+ =0 ç ÷ ç ÷ è 3x+1+1 ø 6- x + Trường hợp 1: Xét x – = Û Trường hợp 2: Xét 3x+1+1 3x+1+1 + 6- x + x = ( thỏa mãn điều kiện) + 6- x + + 3x+1 - >0∀ + 3x+1 =0 loại £ x£ S= { 5} Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình x - 1+ 6- x = 3x2 - 4x - Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x- x=2 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Điều kiện : 6- x x- với số 1, 6- x với số 1£ x £ Û Phương trình Û ( ) ( x - 1- + ( x - 1) - 12 x - +1 + ) 6- x - = 3x2 - 4x - ( 6- x) - 22 6- x + = 3x2 - 6x+2x - x- Û x - +1 2- x + 6- x + ổ ( x - 2) ỗ ỗ ỗ è x - +1 Trường hợp 1: Xét x – = Û x - 1+1 Û x - 1+1 Û x - 1+1 6- x + = = Do 6- x + 6- x + x - 1+1 nên - 3x - = 1 x - 1+1³ ÷ - 3x - 2÷ =0 ÷ ÷ ø 6- x + x = ( thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: Xét = 3x( x - 2) +2( x - 2) - 3x - (*) + 3x+2 £1 1£ x £ 3x + 2³ 3.1+ 2= Với Do phương trình (*) vơ nghiệm nên 6- x + + 3x + 2> S= { 2} Vậy tập nghiệm phương trình cho ( ) 3x - + x + = 4x2 - 24x + 35 Ví dụ 3: Giải phương trình Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x +3 3x - x=1 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: x³ Điều kiện : Phương trình x- 1 6- x với số 1, với số 2 ( ) ( é 5.ê 3x - - + ë ) ù x + - ú= 4x2 - 24x + 20 û é( 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 22 ù ú= 4x2 - 24x + 20 Û 5.ê + ê ú 3x + x + + ê ú ë û ổ (ỗ 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 22 ữ ỗ ữ 5.ỗ + = 4x2 - 4x - 20x + 20 ÷ ÷ ç ç x +3+2÷ è 3x - +1 ø ỉ 3x - x- ÷ ÷ Û 5.ỗ + ỗ ữ= 4x( x - 1) - 20( x - 1) ỗ ỗ ố 3x - +1 ø x + + 2÷ ỉ 15 ữ ữ ( x - 1) ỗ + 4x+ 20 =0 ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 3x - +1 ø x +3+ Û Trường hợp 1: Xét x – = x = ( thỏa mãn điều kiện) 15 3x - +1 Trường hợp 2: Xét 15 Û 3x - +1 3x - +1 15 3x - +1 + x+3+2 + 15 Û + x+3+ + - 4x+20=0 - 4x+20=0 x +3+ x+3+2 = 4x - 20 15 > 3.6- +1 + Nếu x < Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm 15 3x - +1 + x+3+2 < 15 3.6- +1 Nếu x >6 Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vô nghiệm Nếu x = thỏa mãn (*) thỏa mãn điều kiện + (*) 6+ + 6+ + =4 (*) =4 (*) S= {1;6} Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình x3 - x + - = Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x+2 x=2 10 ⇔ x− 1 1 −2+ x− = ⇔ x− + x− −2 = x x x x t = x− Đặt ⇔t=2 ≥0 x (loại), , ta t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t − ) = ⇒ x− t =1 =1 x (thỏa mãn) 1± ⇔ x2 − x − = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 1 ±  S =    Vậy tập nghiệm phương trình cho x − 3x + + x + x2 + = Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải x≤0 ∗ Nếu phương trình cho vô nghiệm x > x ∗ Xét , chia hai vế cho ta  1 x + −3+ x + +1 = ⇔ x + − +  x + ÷ −1 = x  x x x t = x+ Đặt 1 ≥ x = x x t −3+ ta t −1 = ⇔ t −1 = ( − t ) 3 − t ≥ t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ t = ⇒ x =1 t − = − t + t t − 18 t + 28 = ( )   Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 1} (thỏa mãn) DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHU RỒI ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x3 + = ( x − x + ) Lời giải x ≥ −8 ⇔ x ≥ −2 Điều kiện: 16 ⇔5 Phương trình ⇔5 Đặt ( x + ) ( x2 − x + ) ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) = ( x2 − x + ) = ( x − x + ) + ( x + )  a = x − x + > 0, b = x + ≥ , ta 2a − 5ab + 2b = ⇔ ( a − 2b ) ( 2a − b ) = 2  x2 − x − =  a = 2b  x − x + = x + ⇔ ⇒ ⇔ 2 a = b x − x + = x + ( )   x − x + 14 =  ⇔ x = ± 13 (thỏa mãn) { } S = ± 13 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình Điều kiện: x + x + = x3 + 3x + x + Lời giải x ≥ −3 ⇔ x2 + 2x + = Phương trình ⇔ ( x + 1) + ( x + 3) = Đặt (x (x + 1) ( x + 3) + 1) ( x + ) a = x + > 0, b = x + ≥ , ta a + 2b = 3ab ⇔ a − 3ab + 2b = ⇔ ( a − b ) ( a − 2b ) = 2 2  x2 + = x +  x2 − x − = a = b ⇔  a = 2b ⇒   x + = x +   x − x − 11 = ⇔ x = −1, x = 2, x = ± 15 (thỏa mãn) { S = −1;2;2 ± 15 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình + x − = x + 2x − x x x Lời giải 17 } x ≠ 0, x − Điều kiện: ⇔ x− Phương trình a = 2x − Đặt ≥ 0, x − ≥ x x 5  1  + x − − x − = ⇔  x − ÷ −  x − ÷+ x − − x − = x  x x x x x x  ≥ 0, b = x − ≥ x x ta ⇔ ( a − b ) ( a + b + 1) = ⇔ a = b ⇒ x − ⇔ x = ⇔ x = −2 (loại), x=2 Ví dụ Giải phương trình = x− x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho ( 4x a − b2 + a − b = S = { 2} + 1) x = ( − x ) − x Lời giải x≤ Điều kiện: Phương trình ⇔ ( x + 1) ( x ) = ( − x ) − x ⇔ ( x + 1) ( x ) = ( − x ) + 1 − x Đặt a = x, b = − x ≥ , ta (a + 1) a = ( b + 1) b ⇔ a + a = b3 + b  b  3b  ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = ⇔ ( a − b )  a + ÷ + + 1 = 2   2 2 x ≥ ⇔ a = b ⇒ 2x = − 2x ⇔  4 x = − x ⇔x= −1 + 21 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình  −1 + 21  S=    x + 3x + x + + ( x − 10 ) − x = 18 Lời giải 4− x ≥0 ⇔ x ≤ Điều kiện: Phương trình ⇔ x + 3x + x + + x + = ( 10 − x ) − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = 6 + ( − x )  − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( 4− x a = x + 1, b = − x , b ≥ Đặt ) +6 4− x ta ⇔ a + 6a = b + 6b ⇔ ( a − b3 ) + ( 6a − 6b ) = 3 ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + ) =   b  3b ⇔ ( a − b )  a + ÷ + + 6 = ⇔ a = b 2   x +1 ≥  x ≥ −1 ⇒ − x = x +1 ⇔  ⇔  2 4 − x = x + x +  x + 3x − = ⇔x= −3 + 21 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho  −3 + 21  S=    5x2 + x + = Ví dụ Giải phương trình 64 x + x 5x2 + x + Lời giải x + x + > ∀x Vì nên phương trình xác định ⇔ 5x2 + x + = Phương trình ⇔ Đặt ( 5x2 + 6x + ) ∀x 64 x + x ( 5x2 + x + 5) + + 5x2 + x + = ( x ) + x a = x + x + > 0, b = x ta a + a = b + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = 3 19  b  3b  ⇔ ( a − b )  a + ÷ + + 1 = ⇔ a = b ⇒ x + x + = x 2   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x =1  2 5 x + x + = 16 x 11x − x − = Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 1} DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHU KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x + x + = 3x x + Lời giải Điều kiện: x≥− Phương trình Đặt ⇔ 18 x + ( x + 3) = x x + y = 6x + ≥ ta 18 x + y = xy ⇔ 18 x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( 3x − y ) = 2 9 x − x − = 0, x ≥  y = 3x  x + = 3x ⇔ ⇒ ⇔  y = x  x + = x 36 x − x − = 0, x ≥ ⇔ x = 1, x = + 13 12 (thỏa mãn)  + 13  S = 1;  12   Vậy tập nghiệm phương trình cho x + = x − x + 14 Ví dụ 2: Giải phương trình Điều kiện x ≥1 Lời giải x − x + 14 − x + = ⇔ x2 − 6x + + x + − x + = ⇔ ( x − 3) + Phương trình tương đương với ( x +1 −  x − = ⇔ ⇔ x=3  x + = 20 ) =0 Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình x=3 x + x + + − x = 11 Lời giải Điều kiện −3 ≤ x ≤ ⇔ 11 − x − x + − − x = Phương trình ⇔ x + − x + + + − 2x − − 2x +1 = ⇔ ( ) ( ) x+3−2 + − 2x −1 =  x + = ⇔ ⇔ x =1  − x = Vậy nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình Điều kiện x =1 x − x − − x +1 = Lời giải x≥8 ⇔ 2x − x − − x + = Phương trình ⇔ x − − x − + + 1x − x + = ⇔ ( ) ( x − −1 + ) x −3 =  x − = ⇔ ⇔ x=9  x = Vây nghiệm phương trình x + x−9 = Ví dụ 5: Giải phương trình x=9 (x − 8) ( x − ) + x2 − + x − Lời giải Điều kiện x≥ ⇔ x + x − 18 = Phương trình (x − 8) ( x − 2) + x2 − + x − 21 ⇔ ( x2 − − x − ) +( ) ( 2 x2 − − + ) x − −1 =  x2 − = x −   ⇔  x2 − = ⇔ x=3   x − = Ví dụ 6: x=3 Vậy nghiệm phương trình − 2x + 1+ 2x = − x2 Giải phương trình Lời giải Điều kiện 1 − ≤ x ≤ ⇒ − x2 > 2 Phương trình ⇔ + 1− 4x = x − 4x2 + 4 x4 − x2 − − x2 + = ⇔ x4 + ( − x ) − − x2 + = ⇔ x4 + ( ) − 4x2 −1 =  x = ⇔ ⇔ x=0  − x = Vậy nghiệm phương trình DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY Ví dụ 1: Giải phương trình ≥ x=0 ≤ MỢT SỚ, VẾ KIA SỚ ĐĨ BẰNG BĐT CỚI, BUNHIA x − + − x = x − x + 11 Lời giải 2≤ x≤4 Điều kiện 2 x − x + 11 = ( x − 3) + ≥ Có x−2 + 4− x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) 22 ( ) x−2 + 4− x ( x − 2) ( − x ) = 2+2 ≤ 2+2 x − + ( − x) ⇒ x−2 + 4− x ≤ Xét Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét ( x − + − x ) ≤ ( +1 ) ( 2 2 x−2 + 4− x ) =4⇒ =4 x−2 + 4− x ≤ x − + − x ≤ x − x + 11 ≥ , nên phương trình xảy dấu bằng Như x − = ⇔ x=3  x − = − x Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình x=3 x − + − x = x − x + x − 12 x + 14 Lời giải 1≤ x ≤ Điều kiện x − x3 + x − 12 x + 14 = ( x − x3 + x ) + ( x − 12 x + 12 ) + Ta có = ( x2 − 2x ) + 3( x − 2) + ≥ 2 x −1 + − x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) ( x −1 + − x ) ( x − 1) ( − x ) = 2+2 ≤ 2+2 x −1+ ( − x) ⇒ x −1 + − x ≤ Xét Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) Xét ( x − + − x ) ≤ (1 +1 ) ( 2 2 x −1 + − x ) =4⇒ =4 x −1 + − x ≤ x − + − x ≤ x − x + x − 12 x + 14 ≥ Như , nên phương trình xảy dấu bằng x − 2x =  x − = ⇔ x = x −1 = − x  x=2 Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình x − + − x = x − x3 − x + 12 x + 11 23 Lời giải ≤x≤ 2 Điều kiện x − x − x + 12 x + 11 = ( x − x + x ) − x + 12 x + 11 Ta có = ( x − x ) − ( x − x ) + 11 2 = ( x2 − x ) − ( x2 − x ) + + 2 = ( x − x − 3) + ≥ 2 2x − + − 2x ≤ Ta đánh giá Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) ( 2x − + − 2x ) ( x − 5) ( − x ) = 2+2 ≤ 2+2 Xét ⇒ 2x − + − 2x ≤ Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) ( x − + − x ) Bunhia ≤ Xét ⇒ 2x − + − 2x ≤ (1 + 12 )( 2x − + − 2x 5x − + ( − x ) =4 ) =4 x − + − x ≤ x − x − x + 12 x + 11 ≥ , nên phương trình xảy Như  x2 − x − = ⇔ x=3  2 x − = − x (thỏa mãn) S = { 3} Vậy tập nghiệm phương trình cho x − x = 3x − x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải 3 − 2x ≥ ⇔ x ≤ Điều kiện: Cách (Đánh giá vế) x − x + = x − x + + = ( x − 1) + ≥ Có Suy x − 2x ≥ ⇒ x > 24  x + x + − 2x  x − x = x ( − x ) = x.x ( − x ) ≤  ÷ =1   Do x − 2x ≤ Nên Như nên phương trình xảy x −1 = ⇔ x =1 x = − 2x ( thỏa mãn) Cách (Đưa bình phương) x − x = 3x − x + ⇔ x − x = x − 12 x + Có ⇔ x − x − x + ( − x ) + x − 10 x + = { ( ⇔ x − − 2x Do ( x− − 2x ) ) + ( x − 1) = ≥ 0; ( x − 1) ≥ nên phương trình xảy  x = − 2x ⇔ x =1  x −1 = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho 2x − Ví dụ Giải phương trình S = { 1} + − 2x = 1+ x x 2x Lời giải x ≠ 0; x − ≥ 0; − x ≥ x x Điều kiện Cách (Sử dụng bất đẳng thức Côsi) 2x − 3  6  + − x =  x − ÷ +  − x ÷ x x x  x  Có 3  6  +  2x − ÷ +  − 2x ÷ x x  = 1+ ≤  +  2 2x 2x − = − 2x = ⇔ x = x x Do phương trình xảy Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) (thỏa mãn) 25 2     6 − 2x ÷ = x − + − x  x − +  ÷ ÷  ÷ x x x x     Có ( )   ≤ 12 + 12  x − + − x ÷ = x x   x 2x − Nên 1+ Mà 6 + − 2x ≤ x x x 3 ≥2 = 2x 2x x x= nên dấu “=” xảy (thỏa mãn)   S =  2 Vậy tập nghiệm phương trình cho 3 12 − + x − = x x x Ví dụ Giải phương trình Lời giải 3 x ≠ 0; 12 − ≥ 0; x − ≥ x x Điều kiện 12 − x2 + 4x2 − x2 =     12 − ÷ + 1 x − ÷  x  x   Cách Có 1  1  ≤  + 12 − ÷+ 1 + x − ÷ = x − + 6 x  2 x  2x 1    = 4x2 −  x2 + − ÷= 4x2 −  x − ÷ ≤ 4x2 x x    Do phương trình xảy 3 12 − = 9; x − = 1; x − = ⇔ x = ±1 x x x a = x > 0; b = x2 > ⇒ ab = 12, Cách Đặt ab − b + a − b = a Ta ab − b + a − b = b ( a − 1) + 1( a − b ) ≤ Có (thỏa mãn) b + ( a − 1) + ( a − b ) + =a 2 26 Dấu “=” xảy  4 x − = x ⇔ x − x − = ⇔ x = ±1  1 = x −  x2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { ±1} 27 (thỏa mãn) HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DUNG TRONG CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Giải phương trình sau ( x + 9) ( x + 6) x + + 2012 x + = 2012 + Bài 2x + + 4x − 2x +1 = + 8x +1 Bài ( x + 4+ x Bài Bài Bài ) − x = − 2x − x - x + − x + x − x2 − x − = x + + x + x + = x + 3x + Bài x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + 2 Bài Bài x + 5x + + = x − x + + x x + + 3x + = x + + x + = − x − 4x = Bài 10 Bài 15 ( ( ) + x −1 ) 3x − + x + = x − 24 x + 35 x3 − x + − = x + x − = x + x+ Bài 16 x − + − x = 3x − x − Bài 12 Bài 14 3x − x + − x − = 3x − x − − x2 − 3x + Bài 13 2 Bài 3 x2 + = x ( x + 1) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU Giải phương trình sau Bài x + + x − = x − 12 + x − 16 x +1 + − x + Bài ( x + 1) ( − x ) = 28 x+ Bài ( x − 1) Bài x Bài Bài x + x + = x3 + = ( x − x + ) x + x + = x + x + x + Bài Bài + 2x = 2− x x− x x2 − 3x + + Bài = 2x + + x − = x + 2x − x x x ( 4x Bài 10 + 1) x = ( − x ) − x x + 3x + x + + ( x − 10 ) − x = 5x2 + 6x + = Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 ( − x ) x + x − = x − 2x + ( x − 1) Bài 17 x + x + = x + = x − 4x + 28 với x − x − + 16 x = Bài 18 x + = x + x + x2 + x = Bài 16 64 x3 + x 5x2 + 6x + x > x + = x − 15 x + 75 x − 131 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: x + x + 12 = 3x + Bài x + = x − x + 14 Bài 29 Bài Bài x + x + + − x = 11 x − x − − x + = x2 + x − = Bài Bài Bài Bài Bài Bài 10 − ) ( x − ) + x − + x − − 2x + + 2x = − x2 x − + − x = x − x + 11 x − + − x = x − x3 + x − 12 x + 14 x − + − x = x − x − x + 12 x + 11 x − x = x − x + 2x − + − 2x = + x x 2x 12 − 3 + x2 − = x2 x x Bài 11 Bài 12 (x 30 ... { 1} x + 20 18 x + = x + + 20 18 x + x + Lời giải Ta có 1  x + x + =  x + ÷ + > 0, ∀x 2  Khi x + 20 18 x + = x + + 20 18 x + x + ⇔ ( x − x − 1) + 20 18 2 ⇔ ( x − x − 1) + 20 18 ( 2x + 1) −... ) x + − 2012 = ⇔ x = −5, x = 40 481 35 ( thỏa mãn điều kiện) S = { −5; 40 481 35} Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x + + 4x − 2x + = + 8x + Lời giải x≥− Điều kiện: ... phương trình x + x + = 3x x + Lời giải Điều kiện: x≥− Phương trình Đặt ⇔ 18 x + ( x + 3) = x x + y = 6x + ≥ ta 18 x + y = xy ⇔ 18 x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( 3x − y ) = 2 9 x − x − = 0, x ≥  y = 3x

Ngày đăng: 09/12/2020, 12:46

w