THI HSG VONG TRUONG K11 - 2011 - 2012- DAP AN

Trong không gian cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r.[r]

Đáp án đề thi chọn HSG vòng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA

ĐÁP ÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI VỊNG TRƯỜNG - NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : toán – LỚP: 11

Bài Đáp án Điểm

Giải hệ phương trình

 2  

3

9 (1)

log log (2)

x y y x

x y xy

 

 

 

    



4 điểm

 Điều kiện

3

x y xy

   

  

1 đ

 (1) 9x1 9y

x y

 

    (3)

Xét hàm số ( ) 9t

f t   t xác định R Ta có '( ) ln 1t 0,

f t     t R

Vậy f(t) đồng biến R

Do (3) f x( 1) f y( 1) xy

1đ

 (2) x2 y2 xy9

Do x = y nên ta có: x2 9 x 3 1đ

1

 x 3 y3 (thỏa điều kiện (*))  x  3 y 3(thỏa điều kiện (8))

 Vậy hệ cho có hai nghiệm (x;y) = (3;3),(-3;-3) 1đ

Cho n điểm mặt phẳng (n 2) Ta đánh dấu trung điểm tấtcả đoạn thẳng nối hai điểm số n điểm cho Hỏi số nhỏ điểm đánh dấu?

4 điểm

 Giả sử A, B điểm mà khoảng cách chúng lớn Vẽ hai đường trịn (A) (B) có tâm tương ứng A B, bán kính R = AB/2

A B

C

1đ

 Xét điểm C số n – điểm lại Dễ thấy trung điểm AC nằm (A) trung điểm BC nằm (B) Các trung điểm nằm đường trịn khác Vậy số trung điểm khơng 2(n-2) +1 = 2n –

1đ

2

 Bây ta n điểm mà số điểm đánh dấu 2n –

Đáp án đề thi chọn HSG vịng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 2

A

A1 A A n

Khi dễ thấy 2n – trung điểm đoạn

1 2, 3, , n, n, n, , n n

A A A A A A A A A A A A đôi khác

1đ

 Ngoài ra, xét đoạn A Ai k bất kì, trung điểm M A Ai k có tọa

độ

2

i k

a a

x  (ai tọa độ Ai trục)

 Nếu ik n 1

2

k i

a a x   

 nên M trung điểm

đoạn A A1 k i 1

 Nếu ik n

2

n k i n

a a x   

 nên M trung điểm

đoạn A An k i n 

1đ

Trong khơng gian cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi h h h hA, B, C, Dlần lượt

khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện tứ diện Chứng minh

1 1 1

A B C D

r  h h  h h

4 điểm

Khối tứ diện ABCD chia thành khối tứ diện OBCD, OACD, OABD, OABC

B

C

D A

hA O

r

1đ

Từ suy

, ; ;

O BCD O ACD O ABD O ABC

ABCD A ABCD B ABCD C ABCD D

V r V r V r V r

V  h V  h V  h V  h

1đ

3

Suy

1 1

1 1 1

O BCD O ACD O ABD O ABC

ABCD A B C D

A B C D

V V V V

r

V h h h h

r h h h h

 

  

     

 

    

2đ

Đáp án đề thi chọn HSG vịng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 3 1 1 1 1 n n n n n n x y x x y y y x                   

với n = 1, 2, 3, …

a Chứng minh 2

1, (1)

n n

x y  với n = 1, 2, 3, …

b Tìm giới hạn dãy ( ), (xn yn)

a/ Chứng minh quy nạp với n = hệ thức (1) Giả sử (1) với n = k, k 1

Khi

   

  

2

2 2

1 1

2 2

1 1

2

1

1 (4 1) (1 )

1 16

1

k k k k k k

k k k k

k k

x y x y y x

x y x y

x y                        

Vậy (1) với n = 1, 2, 3,…

1đ

1đ

b/ Ta đặt xn sinn,yn cosn

Từ hệ thức truy hồi suy 1

3 n n     Do 1

sin , cos

4.3 4.3

n n n n

x    y   

Suy limxn 0, limyn 1

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Chú ý Thí sinh giải câu b theo cách sau :

Do xn 0,yn 0,n nên 1 2 1

1

1

(2)

1

n

n n

n

y

y y y

x





    



Do 1

2 n n n n x x x y    

 (vì

1

n

y  )

Dãy ( )xn giảm bị chặn nên tồn limxn  Dãy ( )yn

tăng bị chặn nên tồn limyn 

Từ hệ thức truy hồi cho n   ta :

2     

Nếu  0

2

  trái với (2)

Vậy  0, 2

   nên  1

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Cho x, y hai số dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

( , )

1

x y

f x y

Đáp án đề thi chọn HSG vịng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 4

2

2 2

2

2

1 1

( )

1

x y x y

x y x x y y

x y

x x y y

  

   

 

  

(BĐT Cauchy)

 2

3

1

x x x y y y



   (do x, y > 0; x + y = 1)

  3

1

x y x x y y



    (do BĐT Cauchy)

3

1

1 (x y )



  (do x + y =1)

1đ

1đ

Mà

 

 

3

3 3

2

1 ( ) ( )

3

3

2

x y x y x y

xy x y xy

x y

     

  



 

   

 

0.5đ

Vậy

2 3

1

3

1 1 ( )

4

x y

x  y  x y  

    0.5đ

Đẳng thức xảy

2

1

1

0,

x y

x x y y

x y x y

x y x y





  

 

  

 

   

  



0.5đ

Vậy minf(x;y) =

3