Đang tải... (xem toàn văn)
Trong không gian cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r.[r]
(1)Đáp án đề thi chọn HSG vòng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA
ĐÁP ÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI VỊNG TRƯỜNG - NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : toán – LỚP: 11
Bài Đáp án Điểm
Giải hệ phương trình
2
3
9 (1)
log log (2)
x y y x
x y xy
4 điểm
Điều kiện
3
x y xy
1 đ
(1) 9x1 9y
x y
(3)
Xét hàm số ( ) 9t
f t t xác định R Ta có '( ) ln 1t 0,
f t t R
Vậy f(t) đồng biến R
Do (3) f x( 1) f y( 1) xy
1đ
(2) x2 y2 xy9
Do x = y nên ta có: x2 9 x 3 1đ
1
x 3 y3 (thỏa điều kiện (*)) x 3 y 3(thỏa điều kiện (8))
Vậy hệ cho có hai nghiệm (x;y) = (3;3),(-3;-3) 1đ
Cho n điểm mặt phẳng (n 2) Ta đánh dấu trung điểm tấtcả đoạn thẳng nối hai điểm số n điểm cho Hỏi số nhỏ điểm đánh dấu?
4 điểm
Giả sử A, B điểm mà khoảng cách chúng lớn Vẽ hai đường trịn (A) (B) có tâm tương ứng A B, bán kính R = AB/2
A B
C
1đ
Xét điểm C số n – điểm lại Dễ thấy trung điểm AC nằm (A) trung điểm BC nằm (B) Các trung điểm nằm đường trịn khác Vậy số trung điểm khơng 2(n-2) +1 = 2n –
1đ
2
Bây ta n điểm mà số điểm đánh dấu 2n –
(2)Đáp án đề thi chọn HSG vịng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 2
A
A1 A A n
Khi dễ thấy 2n – trung điểm đoạn
1 2, 3, , n, n, n, , n n
A A A A A A A A A A A A đôi khác
1đ
Ngoài ra, xét đoạn A Ai k bất kì, trung điểm M A Ai k có tọa
độ
2
i k
a a
x (ai tọa độ Ai trục)
Nếu ik n 1
2
k i
a a x
nên M trung điểm
đoạn A A1 k i 1
Nếu ik n
2
n k i n
a a x
nên M trung điểm
đoạn A An k i n
1đ
Trong khơng gian cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi h h h hA, B, C, Dlần lượt
khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện tứ diện Chứng minh
1 1 1
A B C D
r h h h h
4 điểm
Khối tứ diện ABCD chia thành khối tứ diện OBCD, OACD, OABD, OABC
B
C
D A
hA O
r
1đ
Từ suy
, ; ;
O BCD O ACD O ABD O ABC
ABCD A ABCD B ABCD C ABCD D
V r V r V r V r
V h V h V h V h
1đ
3
Suy
1 1
1 1 1
O BCD O ACD O ABD O ABC
ABCD A B C D
A B C D
V V V V
r
V h h h h
r h h h h
2đ
(3)Đáp án đề thi chọn HSG vịng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 3 1 1 1 1 n n n n n n x y x x y y y x
với n = 1, 2, 3, …
a Chứng minh 2
1, (1)
n n
x y với n = 1, 2, 3, …
b Tìm giới hạn dãy ( ), (xn yn)
a/ Chứng minh quy nạp với n = hệ thức (1) Giả sử (1) với n = k, k 1
Khi
2
2 2
1 1
2 2
1 1
2
1
1 (4 1) (1 )
1 16
1
k k k k k k
k k k k
k k
x y x y y x
x y x y
x y
Vậy (1) với n = 1, 2, 3,…
1đ
1đ
b/ Ta đặt xn sinn,yn cosn
Từ hệ thức truy hồi suy 1
3 n n Do 1
sin , cos
4.3 4.3
n n n n
x y
Suy limxn 0, limyn 1
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Chú ý Thí sinh giải câu b theo cách sau :
Do xn 0,yn 0,n nên 1 2 1
1
1
(2)
1
n
n n
n
y
y y y
x
Do 1
2 n n n n x x x y
(vì
1
n
y )
Dãy ( )xn giảm bị chặn nên tồn limxn Dãy ( )yn
tăng bị chặn nên tồn limyn
Từ hệ thức truy hồi cho n ta :
2
Nếu 0
2
trái với (2)
Vậy 0, 2
nên 1
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Cho x, y hai số dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
( , )
1
x y
f x y
(4)Đáp án đề thi chọn HSG vịng trường mơn Tốn/Khối 11/ trang 4
2
2 2
2
2
1 1
( )
1
x y x y
x y x x y y
x y
x x y y
(BĐT Cauchy)
2
3
1
x x x y y y
(do x, y > 0; x + y = 1)
3
1
x y x x y y
(do BĐT Cauchy)
3
1
1 (x y )
(do x + y =1)
1đ
1đ
Mà
3
3 3
2
1 ( ) ( )
3
3
2
x y x y x y
xy x y xy
x y
0.5đ
Vậy
2 3
1
3
1 1 ( )
4
x y
x y x y
0.5đ
Đẳng thức xảy
2
1
1
0,
x y
x x y y
x y x y
x y x y
0.5đ
Vậy minf(x;y) =
3