Đáp án đề thi HSG vòng trường THPT Tràm Chim Năm học 2008 - 2009

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP KI THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Trường THPT Tràm Chim VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐÁP ÁN: Bài 1 Nôi dung lời giải Điểm 5 đ a) 2 đ Đk: 2 2 1 0 1 0 x x x  − ≥   − − ≥   Đặt 4 2 2 1 1 1 ( 0)u x x x x u u = − − ⇒ + − = > 3 2 8 4 1 2 2 1 0 1 1 5 2 1 5 ( ) 2 * 1 1 1 5 1 2 1 5 * 2 1 5 2 2 PT u u u u u u u L u x u x ⇒ + = ⇔ − + =   =  +  ⇔ =   −  =   = ⇒ =   + +  ÷  ÷ +   = ⇒ =   +  ÷  ÷   b) 3 đ (1) ⇔ (3x – 2y) 2 + (x – 2z) 2 + (y – 3z) 2 = 0 3 2 2 3 x y x z y z =   ⇔ =   =  Thế x = 2z, y = 3z vào (2): 36z 3 = 288 hay z = 2 suy ra x = 4, y = 6 là nghiệm nguyên của hệ đa cho Baøi 2 5 ñ a) 3 ñ 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 : 2008 2008 . . 1 1 2008 1 1 2008 1 1 2008 1 1 1 2008 2008 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u Ta co u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u + + + + + + + + + +     − = = = −  ÷  ÷       = −  ÷     = −  ÷     = −  ÷       ⇒ + + + = − = −  ÷  ÷     M M L * Caàn CM: 1 1 0 n khi n u + → → +∞ Ta coù: u 1 < u 2 < u 3 < .< u n < u n+1 < . neân { } n u laø dãy tăng Nếu { } n u bị chặn trên thì { } n u tồn tại một giới hạn hữu hạn giả sử giới hạn đó là L (L > 1) ⇒ limu n = L hay limu n+1 = L Mà : 2 1 2 lim lim 2008 0 2008 n n n n n u u u L L L L + →+∞ →+∞   = +  ÷   ⇒ = + ⇔ = L = 0 vôlí (vì u 1 = 1 nên L >1) Vậy { } n u không bị chặn trên tức là 0 1 lim 0 n n n u khi n hay u →+∞ → → +∞ = Suy ra : 1 1 lim 2008 1 2008 n n u →+∞ +     − =    ÷       b) 2đ A = sin20 0 .sin(60 0 – 20 0 ).sin(60 0 + 20 0 ).sin60 0 = sin20 0 . 1 2 ( ) 0 0 cos 40 cos120− .sin60 0 = 0 2 0 0 1 1 sin 20 1 2 sin 20 .sin 60 2 2   − +  ÷   = 0 3 0 0 3sin 20 4 sin 20 .sin 60 4 − = 0 0 1 3 sin 3(20 ).sin 60 4 16 = Bài 3 5 đ a) 3đ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 (*) a b c VT a b c a b c b c a c a b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b       = + + + + + − + +  ÷  ÷  ÷ + + +       + + + + + +       = + + − + +  ÷  ÷  ÷ + + +         = + + + + −  ÷ + + +   Xét: ( ) [ ] 3 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 3 ( )( )( ).3 . . 3 2 1 3 9 3 2 2 a b c b c a c a b a b c b c a c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b       + + + + + − =  ÷  ÷  ÷ + + +         = + + + + −  ÷ + + +     = + + + + + + + −   + + +   ≥ + + + − + + + ≥ − = Từ (*) suy ra: 3 ( ) 1 2 2 a b c VT a b c + +   ≥ + + − =  ÷   b) 2đ Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a, b (a, b > 0) Ta có: P = 2(a+b), S = ab Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 32 2( ) 2 2( ) 2 ab a b ab a b + ≥ + + + 8 8 ( ) 1 ( 1)( 1) ( )( 1)( 1) 8 ab ab a b ab a b a b a b a b ab ⇔ + ≥ = + + + + + ⇔ + + + ≥ Ta có: 2 1 2 ( )( 1)( 1) 8 1 2 a b ab a a a b a b ab b b  + ≥   + ≥ ⇒ + + + ≥   + ≥   Dấu đẳng thức xãy ra khi: a = b = 1 Bài 4 2 đ Gọi ' ' ' ; A BC A B C S S là diện tích của ABC và A’B’C’ Ta có: 2 2 ' ' ' 2 2 2 sin .sin .sin 4 ' ' ' 2 sin '.sin '.sin ' 4 2 sin .sin .sin 2 2 2 2 cos .cos .cos 2 2 2 A BC A B C abc S R A B C R a b c S R A B C R A B B C A C R A B C R = = = = + + + = = Do đó: ' ' ' 2 2 2 8sin .sin .sin 2 2 2 4 cos cos .sin 2 2 2 4 cos .sin 4sin 2 2 2 2sin cos cos 1 2 2 2 A BC A B C S A B C S A B A B C A B C C C A B A B =   − +     = −  ÷  ÷         −   = −  ÷   − −     = − − + ≤  ÷       Vậy: ' ' 'A BC A B C S S≤ Dấu “=” xãy ra khi tam giác ABC đều. Bài 5 ⇒ = 1 2 3 1 2 3 Gọi , , là độ dài các cạnh của tam giác , , , là độ dài các đường cao xuống cạnh tương ứng và S là diện tích của tam giác 1 2S Ta có: S= = ( 1,2,3) 2 Theo đề bài i i i i x x x y y y x y y i x = − + − =       − + − = ⇔ − + − =  ÷  ÷  ÷       ⇔ = − + − = 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 1 2 3 ( 1,2,3) là nghiệm của phương trì nh 0 2 2 2 Ta có: 0 0 2 4 8 P( ) 0 , , là nghiệm của phư i i i i i i i i i i y i y ay by c S S S y ay by c a b c x x x bS aS S x x x x c c c V ậy x x x ( ) = − + − = + +   = − − − = − − = =  ÷   ⇒ = − − 2 3 3 2 4 2 2 4 2 1 2 3 1 2 3 4 2 2 4 2 2 4 8 ơng trì nh P( ) 0 Theo công thức Heron S ( )( )( ) P( )= P = 4 8 (với ) 2 4 8 bS aS S x x x x c c c x x x bS bS S bS p p x p x p x p p ab c b bc p c c c c S c ab c b bc Bài 6 1 2 3 4 5 6 Ta có các cạnh của tứ diện ACB'D' là các đường chéo của hì nh lập phương nên ACB'D' là tứ diện đều cạnh bằng 1 Gọi h ,h ,h ,h ,h ,h là chiều cao của các khối chóp P.ABCD, P.A' 1 2 3 4 5 6 B'C'D', P.AA'D'D, P.BB'C'C, P,CDD'C', P.ABB'A' Gọi V,V ,V ,V ,V ,V ,V là thể tích các khối chóp ABCD.A'B'C'D',P.ABCD, P.A'B'C'D', P.AA'D'D, P.BB'C'C, P,CDD'C', P.ABB'A' Vì ABCA.A'B'C'D' là hì nh ⇒ ⇔ = ⇒ = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 lập phương nên diện tích các mặt của nó bằng nhau và bằng 2 2 1 V=V +V +V +V +V +V (h +h +h +h +h +h ) 4 6 3 2 h +h +h +h +h +h 2 Gọi d ,d ,d ,d ,d ,d là khoảng cách từ P đến các cạnh ⇒ ≥ = ⇒ ≥ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 BD, A'C', A'D, BC', C'D, A'B 3 2 d +d +d +d +d +d h +h +h +h +h +h 2 3 2 d +d +d +d +d +d (dấu "=" xã y ra khi P là tâm của hì nh lập phương )(đpcm) 2 . SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP KI THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Trường THPT Tràm Chim VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐÁP ÁN: Bài 1 Nôi dung lời giải Điểm. 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 : 2008 2008 . . 1 1 2008 1 1 2008 1 1 2008 1 1 1 2008 2008 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u