Cần nói thêm rằng phương pháp dùng Mê-nê-la-uyt mà ta nghiên cứu trên kia không phải lúc nào cũng thực hiện được ( chỉ thực hiện được một chiều ) và không thí điểm rộng rãi ( không c[r]
(1)1 I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1 Lí khách quan:
Như ta biết Toán học sở ngành khoa học công nghệ Trong bối cảnh cách mạng công nghệ thông tin, xu tiến tới xã hội thơng tin vốn hiểu biết định lượng văn hóa tính tốn giáo dục toán học đem lại cần cho lực lượng lao động khoa học công nghệ quản lý “ Dù khó khăn đến đâu phải tiếp tục thi đua dạy tốt học tốt Trên tảng giáo dục trị lãnh đạo tư tưởng tốt phải nâng cao chất lượng văn hóa chun mơn nhằm thiết thực giải vấn đề cách mạng nước ta đề thời gian không xa đạt đỉnh cao khoa học kỹ thuật”
Thực tế nước ta giới cho thấy Nhiều học sinh giỏi Toán trở thành chuyên gia giỏi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế quản lý trị Xét khía cạnh đào tạo người, việc học tập mơn Tốn phương cách tốt để rèn luyện tư logic, tư sáng tạo, óc phê phán, để phát triển khả phân tích tìm kiếm Tốn học mơn ngơn ngữ phổ qt mà dân tộc giới chia sẻ với Là công cụ đầy sức mạnh cho khoa học đời sống, toán học mơn thể thao trí tuệ có sức hấp dẫn, thách thức tuổi trẻ khơng thua trị chơi thể thao khác
2 Lí chủ quan:
Học tốn mà đặc biệt mơn hình học, học sinh cảm thấy có khó khăn riêng Ngun nhân nhiều học sinh chưa nắm vững khái niệm bản; định lý; tính chất hình học Chính tơi chọn cho sáng kiến kinh nghiệm mà gói gọn đề tài nhỏ (bàn định lý Mê-nê-la-uyt ) nhằm giúp em hiểu sâu định lý Mê-nê-la-uyt, công cụ hỗ trợ đắc lực giải toán hình học
Khi nhắc đến định lý Mê-nê-la-uyt, học sinh (ngay giáo viên Toán) thường nghĩ định lý khó, khơng phổ biến, áp dụng nhiều cho hình học túy Có lần hỏi học sinh giỏi trường rằng: Em có biết định lý Mê-nê-la-uyt khơng? Có vận dụng định lý để giải tốn hình học khơng? Đa phần nói khơng có biết cách để vận dụng giải tốn hình học Đơi có ý kiến ý chí cho giải hình học túy giải chi Mê-nê-la-uyt cho mệt ?
Đúng Mê-nê-la-uyt khó thật, phức tạp khó nhớ định lý khác Theo tơi phức tạp khó nhớ định lý khác khơng học chương trình phổ thơng THCS mà dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi, khó nhớ vận dụng nó, trước ta thấy khó chưa thân thuộc với Talet, với Pi-Ta-Go Qua viết này, mong muốn em học sinh bạn u tốn đổi cách nhìn nó, xem người bạn thân thiết, song hành với định lý Ta-Let, định lý Pitago mà ta biết từ lâu
II/ MỤC ĐÍCH:
Trong q trình dạy tốn mình, tơi thấy đa số học sinh hay thỏa mãn học tập, lịng kết thúc cơng việc giải tốn hình học tìm cách giải đó, chưa ý tìm tịi cách giải khác Học thuộc cách cứng nhắc, không chịu suy nghĩ để kiến thức thu trở thành kiến thức sống, linh hoạt, sẵn sàng vận dụng trường hợp - Đây điều nguy hiểm việc học toán (cũng học môn học khác)
Ta lớp gọi "Tuổi trẻ ", mà tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo Học tốn vậy, học y sách, làm tập thầy cô ra, chưa đủ Khi học đến vấn đề đó, em suy nghĩ, tìm tịi, phát thêm cách giải suy rộng xem vấn đề có liên quan đến vấn đề khác sở rút điều bổ ích Phải ln ln luyện tập quan sát, mị mẫm, dự đốn tức tập dược làm việc mà người nghiên cứu toán học phải làm, mà cụ thể nghiên cứu Định lý Mê-nê-la-uyt để áp dụng giải tốn hình học thơng thường ngược lại Đây mục đích mà muốn gửi đến em học sinh cấp THCS sáng kiến kinh nghiệm
III/ CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN TIẾN HÀNH:
(2)+ Thiên cung cấp giải cho học sinh cách thụ động, chưa trọng dạy học sinh giải tốn hình học
+ Ít ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tịi cách giải khác, hay khai thác thêm toán vừa giải để phát huy tư sáng tạo học sinh
+ Thường ý số lượng chất lượng giải 2/ Về phía học sinh:
+ Rất lúng túng trước đề tốn hình học: Khơng biết làm gì, đâu, khơng phân biệt cho với cần tìm
+ Suy luận hình học cịn kém, chưa hiểu chứng minh, lập luận thiếu cứ, không xác lấy điều cần chứng minh làm giả thiết, suy nghĩ hời hợt máy móc
+ Trình bày giải hình học khơng tốt: Hình vẽ khơng rõ ràng, xác, ngơn ngữ kí hiệu tùy tiện, câu văn lủng củng không gọn, thiếu lo-gic
Nhằm khắc phục phần khuyết điểm tơi mạnh dạn nêu sáng kiến này, từ thống ý kiến với nhau: Khi làm toán cần phải suy nghĩ sáng tạo, sáng tạo để khám phá điều mà chưa bảo cho ta Kinh nghiệm thể sáng kiến đúc kết qua năm giảng dạy mơn Tốn trường THCS Nhơn Lộc, đặc biệt năm học 2007 - 2008
IV/ ĐỊNH LÝ MÊ-NÊ-LA-UYT VÀ CÁC BÀI TOÁN
Dưới nội dung Định lý toán giải theo hai cách nhằm giúp ta thấy ưu sử dụng định lý Đây biện pháp sáng kiến - phương pháp suy nghĩ sâu sắc sáng tạo ( giới thiệu theo cấp độ từ dễ đến khó để bạn đọc tiện theo dõi ), luyện tập thói quen tị mị, thích khám phá mới, cần thiết để trở thành học sinh giỏi tốn mà cịn giỏi mơn học khác
1/ Định lí Mê-nê-la-uyt:
Cho tam giác ABC ba điểm M, N, P đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB cho: ba điểm nằm phần kéo dài ba cạnh; điểm nằm phần kéo dài cạnh, hai điểm nằm hai cạnh tam giác Điều kiện cần đủ để M, N, P thẳng hàng là:
1
PB PA NA NC MC MB
(1)
Chứng minh:
Trường hợp 1: Trong ba điểm M, N, P có hai điểm thuộc cạnh tam giác, giả sử N P Phần thuận: Giả sử M, N, P thẳng hàng Ta chứng minh (1)
Kẽ BD // AC ( D MN) Ta có:
NC BD MC MB BD AN PB PA
;
Suy ra: 1
BD AN NA NC NC BD PB PA NA NC MC MB
( đpcm)
Phần đảo: Ngược lại, giả sử N, P nằm hai cạnh AC AB tam giác ABC; M nằm phần kéo dài BC Gọi M' giao điểm NP BC, suy M' nằm phần kéo dài BC (1)
Vì M' , N, P thẳng hàng nên ta có:
MC MB C M
B M PB PA NA NC MC MB PB
PA NA NC C M
B M
' '
' '
(2) Từ (1) (2) suy raM ' M Hay ba điểm M, N, P thẳng hàng
Trường hợp 2: Cả ba điểm M, N, P nằm phần kéo dài ba cạnh chứng minh tương tự
2/ Bài tập vận dụng:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD ( D AC) Trên tia AB lấy điểm E cho AE = 2BE; CE cắt BD F Chứng minhEF CE
4
P A
B C
M
N
(3)3 Lời giải: Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt)
Gọi M trung điểm AE, suy DM đường trung bình tam giác AEC EC
DM //
2 EC
DM EF // MD F trung điểm BD EF đường trung bình tam giác BMD
4
CE MD
EF (đpcm) Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt)
Xét tam giác EAC với ba điểm B, F, D thẳng hàng Ta có:
4
1
EC FE BA
BE FC FE BE
BA DA DC FC FE
(đpcm)
Bài toán 2: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Một
đường thẳng qua M song song với phân giác góc BAC cắt AC, AB E F Chứng minh CE = BF
Lời giải: Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt) Ta giải vắn tắt sau: Từ AD // FM ME // AD
BM BF BD BA
(1);
CD CA CM
CE
(2) Mặt khác theo tính chất đường phân giác có:
CD CA BD BA
(3)
Từ (1), (2) (3) suy BF CE CM
CE BM
BF
(do BM = CM )
Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt)
Xét tam giác ABC với ba điểm F, E, M thẳng hàng ta có:
FA FB MB MC EC EA
(1)
Do
^ ^
^
2 BAC AEF
AFE nên ∆ AEF cân A Suy AE = AF (2) Từ (1) (2) suy FB = EC (đpcm)
Bài toán 3: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB , AC lấy điểm E F
choBE BA AF AC
5 ;
4
Gọi M giao điểm BF CE, cho biết SAMB = ( đơn vị diện tích) Tính SABC ? ( Kí hiệu SXYZ diện tích tam giác XYZ)
Lời giải: Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt)
Gọi A', C' chân đường vng góc hạ từ A, C xuống BF Ta có:
2
1
EMB
AMB
EMB S
BA BE S
S
(đvdt)
2
1 '
'
BMC
AMB
BMC S
FA CF AA CC S
S
(đvdt) SBEC = SEMB + SBMC = (đvdt)
E F
B C
A
M D
F B
A D C
E
M
M A
B C
C'
E F
(4)4
4
SABC SBEC (đvdt) Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt)
Gọi N, P chân đường vng góc hạ từ M, C xuống AB Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác AEC với cát tuyến BMF ta có:
ME MC ME
MC ME
MC FC FA BA BE
4 1
4
2
ABC AMB
ABC
AMB S S
EC EM CP MN S
S
(đvdt)
Bài toán 4: Cho tam giác ABC vng A Dựng phía ngồi
hình vng ABEF; ACPQ Đường thẳng BP cắt đường cao AH tam giác ABC O Chứng minh ba điểm C, O, E thẳng hàng
Lời giải: Cách 1: (khơng dùng Mê-nê-la-uyt)
Dựng hình chữ nhật AFMQ Khi ∆ ABC = ∆ FAM (c-g-c)
^ ^
FAM ABC
^ ^ ^
180
FAM FAB BAH Suy điểm M, A, H thẳng hàng (1)
Ta có: ∆ EBC = ∆ BAM (c-g-c) BM EC MBA
BEC
^ ^
(2) Tương tự ta có BP MC (3)
Từ (1), (2) (3) suy EC, MH, BP ba đường cao tam giác BMC nên chúng đồng quy trực tâm tam giác BMC Nhưng BP cắt AH O hay O trực tâm tam giác BMC Suy C, E, O thẳng hàng (đpcm)
Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt) Dựng hình chữ nhật ABNC Gọi K giao điểm EC AB, lúc có:
BK PC OB PO NC BK EN EB
; 1
BK PC CP CN NC BK OB OP CP CN EN EB
Hay ba điểm C, O, E thẳng hàng (đpcm)
* Lời bàn:
1/ Để vận dụng Định lý Mê-nê-la-uyt, ta cần phải tìm tam giác cho điểm E, O, C nằm hai cạnh, điểm lại nằm phần kéo dài Nhờ ta nghĩ đến việc dựng hình chữ nhật ABNC
2/ Nếu hay suy xét tốn mắt nhạy bén, nhìn tốn nhiều góc độ khác ta có hai cách phát biểu khác cho toán sau:
Bài tốn 1: Cho tam giác ABC, phía ngồi dựng tam giác vuông cân ABE (tại E); ACF (tại F) Chứng minh CE, BF đường cao AH tam giác ABC đồng quy điểm
Bài tốn 2: Cho hình vng ABCD I điểm đường chéo AC Qua I kẽ đường thẳng song song với cạnh hình vng cắt AB, BC, CD DA M, N, P, Q Chứng minh AN, CM ID đồng quy điểm
Điều đơn giản bạn đọc tự kiểm tra
* Tuy ví dụ chưa có sáng tạo cho lắm, chưa làm bạn thuyết phục với cách giải Mê-nê-la-uyt Nhưng bạn rèn luyện chắn bạn trở nên thân thuộc, biết quan sát, có nhìn nhạy bén Định lý Mê-nê-la-uyt giải tốn hình học Hãy tiếp tục vận dụng để giải toán sau:
Bài toán 5: (Tạp chí tốn học tuổi trẻ - số 362)
Giả sử O điểm nằm tam giác ABC AO cắt BC M, BO cắt AC N, CO cắt AB P Chứng
minh giá trị biểu thức
A O B
C F
E
Q
M P
H
K O
A B
C F
E
Q P
N H
M A
B C
E F
N P
O A
B C
(5)5 ON CN OC OM BM OB OP AP
OA
không phụ thuộc vào vị trí điểm O Lời giải :
Cách 1: (không dùng Mê-nêo Tố Tuổi Trẻ)
Ta có: AB AP S S S BP AP S S BOP AOP AOP BOP AOP
(1)
Mặt khác: OM OA S S S BOM BOP
AOP (2)
Từ (1) (2) thu được:
OM AB AP OA S S BOM AOP
(3)
Tương tự có:
ON BC BM OB S S CON BOM
(4)
OP AC CN OC S S AOP CON
(5)
Nhân (3), (4) (5) ta được:
OP AC CN OC ON BC BM OB OM AB AP OA
Vậy ABBCAC
ON CN OC OM BM OB OP AP OA
khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O
Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt)
Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác AMC với cát tuyến BON; tam giác BNC với cát tuyến AOM; tam giác BPC với cát tuyến AOM Ta có:
1 MC MB AB AP OP OC AB AP OP OC ON OB AC AN NA NC BC BM OM OA ON OB MB MC AC AN NA NC BC BM OM OA
Vậy ABBCAC
ON CN OC OM BM OB OP AP OA
khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O
* Lời bàn:
1/ Việc sử dụng tỉ số diện tích quen thuộc học sinh lớp vận dụng để tạo thành đẳng thức (1), (2) (3) liệu dàng khơng? Bên cạnh ta đối chiếu giả thiết cần tạo tỉ số
OP OC ON OB OM OA ;
; mà từ nghĩ dùng đến Mê-nê-la-uyt
2/ Tiếp theo bác bỏ ý kiến cho rằng: Một tốn giải hình học túy khơng cần giải định lý Mê-nê-la-uyt (vì gây khó cho học sinh) Tơi có ép học sinh thiết phải sử dụng định lý Mê-nê-la-uyt để giải Ý tưởng mà nêu qua viết ngồi mục đích giới thiệu cịn nhằm mục đích khuyến khích học sinh vận dụng định lý Mê-nê-la-uyt để giải toán giải Nếu khơng làm kiến thức não em huy động, đưa em tiến gần đến tập dược sáng tạo, từ tiến đến nghiên cứu khoa học Để bảo vệ ý tưởng tơi xin giới thiệu bạn đọc tập sau nhằm:
+ Tập vận dụng Định lý Mê-nê-la-uyt
+ Khai thác toán cũ để phát kiến thức
Bài tốn 6: Cho hình thoi ABCD cạnh a Gọi R1, R2 lần lược bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ABD Chứng minh hệ thức
2 2 1 a R
(6)6 Lời giải:
Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC O2, cắt BD O1 suy O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC Ta có O1A = R1; O2B = R2
Cách 1: (Không dùng Mê-nê-la-uyt)
AK O1
AO a a R
AO AK AB
A O BAO
2
1
1
BK O2
BO a a R
BO BK AB
B O ABO
2
2
2
2 2 2
2
2 ) 1 1
(
a R R R
R a BO
AO
( Với lưu ý OA2 + OB2= a2 )
Đến ta dừng lại, với người u tốn khơng Hãy đặt vấn đề giải tốn định lý Mê-nê-la-uyt khơng? Và tơi dễ dàng tìm lời giải sau: Cách 2: (Dùng Mê-nê-la-uyt)
Áp dụng Định lý Mê-nê-la-uyt vào tam giác ABO với cát tuyến KO2O1 ta có:
1
2
1
2
2
R OA R
R OB
R
A O
O O
O O
B O
KB KA
OB OA OB
R OB
OA R R OB
OA R R R
1
2
2
1 2 (1)
Mặt khác để ý BKOO1 AKO2O tứ giác nội tiếp nên có: OB
R a OA
R
2
2
2
1 (2)
Từ (1) (2) 2 2
2 1 2
2
2
1 1
a R R R R a
R R R R
(đpcm)
Lời bàn:
1/ Bài toán giải cách thông thường (cách 1) trông đơn giản (chỉ dùng qua hai tam giác đồng dạng) giải Mê-nê-la-úy ta thấy hay chỗ óc ta hoạt động tích cực hơn, nghiên cứu tốn sâu hơn, giúp ta có cách nhìn tồn diện, tổng hợp kiến thức với nhau: kết hợp Định lí Mê-nê-la-uyt + Dãy tỉ số + Hệ thức lượng đường tròn Vậy ta tập làm công việc "to tác" sáng tạo ngiên cứu khoa học?
2/ Phát kiến thức từ toán 6: Cho tam giác ABC cóA600, H trực tâm tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi R1 R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp
tam giác AHO AOD Chứng minh rằng 2 2 2
1
1
R R R Lời giải vắn tắt:
Đường thẳng OH cắt AB, AC M N Tia phân giác góc A cắt đường tròn (O) D
+ Dễ chứng minh BHOC nột tiếp được, từ suy
MHB OCB 30
AMNđều
Mặtkhác: OAC (180 0AOC) : 90 0ABC MAH
AMH ANO (g-c-g) AH = AO AHDO hình thoi
+ Áp dụng tốn ta có 2 2 2
1
1
R R R Bài toán 7: (Đường thẳng Sim-Sơn)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc đường tròn (O) Gọi A', B', C' hình chiếu vng góc M xuống BC, CA, AB Chứng minh A', B', C' thuộc
O
B C
A
M A'
C'
B'
O1 a
O2
B D
C A
O K
N
M H O
D
C B
(7)7
một đường thẳng ( Đường thẳng gọi đường thẳng Sim-Sơn ) Lời giải:
Cách 1: ( Không dùng Mê-nê-la-uyt)
+ Nếu M trùng với đỉnh ∆ ABC ta có đpcm + Nếu M thuộc cung nhỏ BC ( không chứa A )
Sử dụng tứ giác ABMC, BA'MC', CB'A'M nội tiếp ta có:
^ ^
^ ^
' '
' ;' '
'C BMC CAB CMB
BA
Mà
^ ^ ^ ^
^ ^
' '
180 '
' BMB BAC BMB BAC CMB
BMC nên
^ ^
'
' CMB
BMC
^ ^
' ' '
'C CAB
BA
Do B,
A', C thẳng hàng nên C', A', B' thẳng hàng (đpcm) Lời bàn:
1/ Xin hỏi có bạn nghĩ giải tốn định lý Mê-nê-la-t? Có bạn thử dùng định lý Mê-nê-la-t để giải lại khơng? Nếu có tơi xin bắt tay hoan nghênh, em có tính tò mò cần thiết để trở thành học sinh giỏi toán Bây ta thử giải lại toán Mê-nê-la-uyt Đây vấn đề khó ta khơng giải (vì đâu phải tốn giải Mê-nê-la-úyt), mục đích tập nghiên cứu, tập sáng tạo nên ta không dừng lại, tiếp tục phân tích với hy vọng giải tốn Mê-nê-la-uyt Thật vậy, kiên trì đến đến thành công Xin giới thiệu bạn đọc cách giải sau:
Cách2: ( dùng Mê-nê-la-uyt) Hãy để ý cặp tam giác đồng dạng: ∆ MA'C ∆ MC'A; ∆ MBA' ∆ MAB' ; ∆ MC'B ∆ MB'C từ có:
1 ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
' ; '
' ; '
'
C B
A B A C
B C B A
C A C
B BC BA
A B A C
C A MC MB C B BC MB MA BA
A B MA MC A C
C A
Theo định lý đảo Mê-nê-la-uyt ta có A', B', C' thẳng hàng (đpcm)
2/ Vốn quen nhìn tốn nhiều góc độ khác nhau, tơi cho “ tam giác ABC cố định M thay đổi cung nhỏ BC khơng chứa A MB MC thay đổi” Khi ta có tốn :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC không chứa điểm A Hạ AE, AF vng góc với MB, MC Chứng minh EF qua điểm cố định ( Theo kết tốn điểm cố định chân đường cao hạ từ A xuống BC Bạn đọc tự chứng minh )
* Tóm lại, người u tốn có ý thức tự đặt cho câu hỏi sau lần giải tốn: "Bài tốn giải Mê-nê-la-uyt không? giải Mê-nê-la-uyt được giải hình học túy thông thường không? " (*) Bẵng thời gian tơi lại tìm thấy tốn tổng quát toán 7, nhân xin giới thiệu bạn đọc
Bài toán 8: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho hình chiếu M lên cạnh tam giác điểm thẳng hàng
Lời giải:
Gọi M điểm thuộc tập hợp ( S ) phải tìm C', A', B' theo thứ tự hình chiếu M lên AB, BC, CA ( xem hình )
Ta có: M ( S ) A', B', C' thẳng hàng
^ ^
1 '
' A
A
0 ^ ^ ^
^ ^
^
180 '
' '
'
BMC B MC BMC B MC BMC A Tứ giác ABMC nội tiếp M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Từ tập ta giải tập tiếng sau:
Bài toán 9: ( Điểm Miquel )Bốn đường thẳng cắt điểm tạo thành tam giác Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác có điểm chung ( Điểm chung gọi điểm Miquel )
Lời giải:
Giả sử đường thẳng đôi cắt tạo thành tam giác ( xem hình vẽ ) Gọi M giao điểm khác E đường tròn ngoại tiếp ∆ ADE ∆ CEF Chiếu M xuống đoạn AD, AE, DE, CF theo thứ tự I, J, K L
Theo ta có: I, J, K thẳng hàng J, K, L thẳng hàng
I, J, K, L thẳng hàng
I
M E B
A
C
D F
J K
(8)8
Theo toán ta suy M nằm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABF ∆ CBD Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, CFE, ABF CBD đồng quy điểm M
Bài toán 10: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AA', BB' CC' cắt O Đường thẳng d qua O song song với AC cắt A'B' B'C' M, N Chứng minh OM = ON
Lời giải: Để cho gọn trước hết ta có bổ đề quen thuộc sau:
Bổ đề: Các đường cao AA', BB', CC' tam giác ABC đường phân giác góc A', B', C' tam giác A'B'C' ( A'B'C' gọi tam giác trực tâm )
Chứng minh:
+ Nếu tam giác vng ∆ A'B'C' suy biến thành đoạn thẳng, ta có đpcm
+ Nếu tam giác nhọn:
Cách 1: Sử dụng kiến thức lớp chứng minh qua hai tam giác đồng dạng từ có
^ ^
' ' '
'A OBC
OB đpcm ( việc chứng minh xin nhường cho bạn đọc)
Cách 2: Sử dụng kiến thức lớp tứ giác nội tiếp, ( xem hình vẽ ) Ta có: OA'CB' OB'AC' tứ giác nội tiếp nên:
^ ^
^ ^
' '
' ;' '
'A OCA OBC OAC
OB
Mà
^ ^
' ' OAC
OCA nên có
^ ^
' ' '
'A OBC
OB Tương tự ta thu đpcm + Tam giác tù chứng minh tương tự
Áp dụng Bổ đề kết hợp với MN song song với AC nên B'O vừa đường cao vừa đường phân giác, ta có OM = ON.(đpcm)
Nhận xét đường thẳng d' qua O cho song song với AB, cắt B'C' C'A' E, F tương tự ta có OE = OF Vậy ta có tốn :
Bài tốn 11: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AA', BB' CC' cắt O Đường thẳng d qua O song song với AC cắt A'B' B'C' M, N; đường thẳng d' qua O song song với AB, cắt B'C' C'A' E, F Chứng minh MENF hình bình hành
Lời giải: Hình vẽ tương tự hình 10
Áp dụng Bổ đề theo kết tập 10 ta có: OM = ON OE = OF Vậy NEMF hình bình hành (đpcm)
* Lời bàn: Vấn đề hợp logic mà ta dễ dàng đặt AA', BB' CC' đường đồng quy (tức ta bỏ bớt giả thiết vng góc ba cạnh ) liệu kết đúng? (tức OM = ON ?; hình NEMF có hình bình hành khơng? ) Nếu khơng thay đổi ? Và bắt tay giải vấn đề Nhưng xoay xở với Ta let khơng giải Nhờ có (*) tơi tự hỏi: Khơng giải hình học túy ta khơng thử giải Mê-nê-la-úy ? Và dùng Mê-nê-la-uyt giải lại vấn đề mở rộng cách cẩn thận thật may mắn, tơi tìm lời giải Hẳn bạn biết vui mừng đến mức nào, tơi muốn gặp để giới thiệu toán mở rộng với cách giải mà tơi vừa tìm Và hơm chuyên đề chia xẻ bạn đọc Xin phát biểu lại toán mở rộng:
Bài toán 12: (Mở rộng toán 10)
Cho tam giác nhọn ABC Các đường AA', BB' CC' cắt O Đường thẳng d qua O song song với AC cắt A'B' B'C' M, N Chứng minh OM = ON
Lời giải:
Gọi I,K giao điểm AA' B'C'; A'N đường thẳng AC
Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt ta có: + ∆ AOB với cát tuyến C'IB':
1 ' ' ' '
IA IO O B
B B B C
A C
(1) + ∆ AOB' với cát tuyến BCA':
d
M N
O A
B C
A' B' C'
I d
M N
O A
B C
K
(9)9
' ' '
' AO
A A CA CB BB BO
(2) Lấy (1) nhân (2) ta được:
1 ' ' ' ' '
AO AA IA IO CA CB OB
OB B C
A C
(3)
Mặt khác '
' ' '
CA CB OB
OB B C
A C
( xét ∆ ABB' với cát tuyến C'OC ) nên
A A
O A IA IO
' '
(4) Mà theo
TaLet
' ;
' '
AB ON IA IO AK ON A A
O A
(5)
Từ (4) (5) suy AK = AB' suy OM = ON
Sau số tập nhằm rèn luyện kĩ vận dụng định lí Mê-nê-la-uyt
Bài toán 13: Cho tam giác ABC đường AA', BB' CC' cắt O Đường thẳng d, d' qua O song song với AC, AB cắt A'B' B'C' M, N, E, F Khi MENF hình bình hành
Bài toán 14: Cho tam giác ABC, ba điểm A' , B' , C' theo thứ tự BC, CA, AB Biết B' chia đoạn AC theo tỉ số
2 '
'
C B
AB
Các điểm A' C' phải chia BC, AB theo tỉ số diện tích tam giác A'B'C' nhỏ
Giải vắn tắt:
Tam giác A'B'C' có diện tích nhỏ suy biến thành đường thẳng Khi áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác ABC với cát tuyến A'C'B'
Bài toán 15: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn điểm M, N, P, Q theo thứ tự cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh PN, QM đường chéo BD đồng quy
Giải vắn tắt:
Giả sử MQ cắt BD O Ta chứng minh N, P, O thẳng hàng Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác ABD với cát tuyến MQO (với ý: AM = AQ; BM = BN; CN = CP; DP = DQ)
V- THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM: 1 Mục đích:
- Hướng dẫn học sinh kỹ phân tích , tổng hợp tốn theo nhiều khía cạnh khác thơng qua việc vận dụng định lí Mê-Nê-La-Uýt nhằm làm phong phú phạm vi ứng dụng giải toán
- Cung cấp tốn có thường gặp, có nội dung hấp dẫn khó giải Một nguyên nhân gây khó giải phương pháp tiếp cận, mổ xẻ vấn đề phương pháp thơng thường hay áp dụng hình học
- Tìm hiểu kiến thức tốn rộng sách giáo khoa, vận dụng sáng tạo định lí học vào giải toán như: Khai thác toán ( từ đến ); Nhìn tốn từ nhiều hướng( từ đến 12 ); cung cấp phương pháp học cho bạn u thích tốn học, làm tài liệu tham khảo tiếp tục phát triển
2 Tổ chức thực nghiệm:
- Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9A1; 9A2; 9A3 9A4 khai giảng dạy nghiên cứu định lí Mê-Nê-La-Uýt ( Tôi tiến hành giảng dạy cho học sinh tập theo trình tự đề tài ) - Tiến hành từ tháng 10 đến tháng 12 năm học 2007-2008 trường THCS Nhơn Lộc
3 Kết thực hiện:
Sau tháng triển khai giảng dạy, nhận thấy em hứng thú quan tâm đến đề tài mà đưa Hầu hết em tiếp thu nhanh giảng ( lẽ kết hợp định lí học ), hiểu thấu đáo tầm quan trọng định lí cách vận dụng định lí Mê-Nê-La-Uýt vào toán Kiến thức em nâng cao, kỹ lập luận, tư trừu tượng phát triển, sử dụng thành thạo định lí vào tốn Khi kiểm tra đề tài thu kết sau:
Kết STT Lớp Tổng số
9 – 10 7 – 5 – 3 – 0 –
1 9A1 15 0
(10)3 9A3 17 10 0
4 9A4 18 6
VI/ LỜI KẾT
Nếu bạn học định lý Mê-nê-la-uyt đọc viết tơi nghĩ bạn giải tốn hình học gọn nhiều Cần nói thêm phương pháp dùng Mê-nê-la-uyt mà ta nghiên cứu lúc thực ( thực chiều ) khơng thí điểm rộng rãi ( khơng có chương trình sách giáo khoa, áp dụng cho bạn khá, giỏi Hy vọng ta tìm tốn áp dụng định lí Mê-nê-la-uyt để giải cho học sinh trung bình tiến đến học sinh yếu Điều riêng cá nhân làm mà phải kết hợp với tồn giáo viên có nhiệt huyết tốn ) Nhưng bạn tập suy nghĩ đi, bạn nhận thấy nhiều điều lạ, tăng thêm trí suy luận, nâng cao nhận thức tư trừu tượng, rèn luyện tốt kĩ năng, kĩ xảo Đó bước đầu để bạn tập làm quen với tìm tịi nghiên cứu sau Trên trao đổi với bạn vài kinh nghiệm, sáng tạo học toán làm toán việc rèn luyện linh hoạt suy nghĩ Vấn đề phong phú, bao gồm nhiều mặt, có lẽ nói khơng hết Mong bạn suy nghĩ phong cách học tập mình, đúc rút kinh nghiệm, tìm phương pháp học tập thích hợp tốt để đạt nhiều kết cao Xin dừng viết đây, chúc bạn đạt nhiều thành công học tập
VII- NHỮNG KIẾN NGHỊ:
Cách dạy, cách học truyền thụ chiều tồn lâu nhà trường từ THCS đến THPT, lại bị nạn “dạy thêm, học thêm” tràn lan làm cho lực tự học bị thối hóa ngày trầm trọng Do xin đề nghị quan, ban ngành đoàn thể quan tâm đến vấn đề sau:
+ Phải sớm thay đổi mối quan hệ thầy trị q trình dạy học Phải từ quan hệ “thầy giảng, trò chép” thụ động chuyển sang quan hệ “thầy hướng dẫn, trò nỗ lực thực hành đến mức cao nhất” Đẩy lùi tiêu cực học thêm, học tủ, gian lận thi cử…
+ Phát huy lực tự học, tự nghiên cứu giáo viên năm thông qua hội thảo toán học, viết chuyên đề, viết sáng kiến kinh nghiệm dạy cho học sinh giỏi, học sinh yếu … để từ khơi dậy phát huy tốt nội lực tự học học sinh Biết cách tổ chức xây dựng quy trình tự học ( làm thí điểm vài lớp ) tiến đến phong trào tự học toàn học sinh
+ Đổi nội dung thi cử (nhất kì thi học sinh giỏi cấp huyện), làm cho thi cử khơng cịn kiểm tra trí nhớ, thách đố toán lắc léo mà thử thách lực nắm chất vấn đề, lực tư duy, lực phát vấn đề giải vấn đề
+ Gia đình, nhà trường xã hội phải ln khắn khít với q trình đào tạo, rèn luyện người Cần tránh quan điểm cho rằng: “khi nghĩ đến gia đình, nghĩ đến giáo dục đạo đức làm cho chăm ngoan, cịn phát triển trí tuệ nhường cho nhà trường” mà phải trả lời câu hỏi sau đây: Ở trường có thầy dạy theo hướng phát huy nội lực em nhà ông, bà, cha, mẹ dạy gì, dạy nào, vào lúc nào?
+ Tơi ln có niềm tin đến ta tìm tốn áp dụng định lí Mê-nê-la-uyt để giải cho học sinh trung bình tiến đến học sinh yếu để dành cho học sinh giỏi ( Đây băn khoăn khuyết điểm sáng kiến khơng ứng dụng rộng rãi nhà trường ) Điều riêng cá nhân làm mà phải kết hợp với tồn giáo viên có nhiệt huyết toán
Trên đề tài nhỏ mà tơi nghiên cứu tìm hiểu với bao tâm huyết Dù cố gắng nhiều song cịn tồn nhiều hạn chế mong thầy góp ý tận tình để lần sau thực đề tài tốt
Bình Định, ngày tháng năm 2008