Đang tải... (xem toàn văn)
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác. 1.[r]
(1)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
CƠNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC MỞ RỘNG
dxxC
C x
dx
x
11
x C
x dx
ln
C n
b ax a dx b ax
n
n
1
) (
1
exdxex C
C
a a dx a
x x
ln
cosx.dxsinxC ; nxC n
dx
nx) 1sin (
cos
sin x.dxcosxC; nxC n
dx
nx 1cos sin
dx tg x tgxC
x (1 )
cos
1
2
dx gx gxC x (1 cot ) cot sin
1
2
C a x x
a
dx
arcsin
2
a C
x a
x a
dx
arctan
2
duuC C u
du
u
11
b dx a ax b C
ax ln
1 )
(
C u
n dx
u dx
u n
n
n
) (
1
C e
a dx
eax b 1 ax b ; C
u a du a
u
u
ln
axb C a
dx b
ax ) 1cos( )
sin(
axb C
a dx b
ax ) 1sin( )
cos(
u C
u du dx
u u
ln '
;
dx u C u
u
2 '
; C u dx u
u'
2
a x C
x a a x
a dx
ln
1
2
a x x a C
x
dx
2 ln
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng
Để tính tích phân dạng , ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc :
Bước 1: Đặt x=v(t)
Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận
Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
Bước 4: Tính
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) v b
b
a v a
v b f x dx g t dt G t
v a
Bước 5: Kết luận : I= ( ) ( ) ( ) v b G t
v a
2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý :
a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường :
Dấu hiệu Cách chọn
2
a x sin
2
ost t
x a t t
x a c
(2)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
2
x a
;
sin 2
0; \
ost
a
x t
t a
x t
c
2
a x
tan ;
2 cot 0;
x a t t
x a t t
a x a x
a x a x
x=a.cos2t x a b x x=a+b a sin2t b Quan trọng nhận dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :
* 2 2
2
1 1
0
ax b
a x+
2a
dx dx du
bx c a u k
a
Với : x+ b , ,
2a
u k du dx
a
* áp dụng để giải toán tổng quát :
2 22k
dx
k Z
a x
II Đổi biến số dạng
1 Quy tắc : ( Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : )
Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x)
Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u'(x)dx
Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt
Bước 4: Tính
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) u b
b
a u a
u b f x dx g t dt G t
u a
Kết luận : I= ( ) ( ) ( ) u b G t
u a
2 Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
A DẠNG : I= ( ) 0 ax+b
P x
dx a
* Chú ý đến công thức : ln ax+b ax+b
m m
dx a
Và bậc P(x) cao hoắc ta
chia tử cho mẫu dẫn đến ( ) ( ) ( )
ax+b ax+b ax+b
P x m
dx Q x dx Q x dx m dx
B DẠNG : 2 ( ) ax
P x
dx bx c
(3)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( ) ( )
u x
dx u x
u x
Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) 2 Tam thức :
( ) ax
f x bx c có hai nghiệm kép
Công thức cần ý : '( ) ln ( ) ( )
u x dx
u x u x
Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t
3 Tam thức : f x( )ax2 bx c vô nghiệm :
Ta viết : f(x)=
2 2
2
( ) ( )
;
2
2
b
u x
P x P x a
a u k
b k
a x a
a a
Khi : Đặt u= ktant C DẠNG : 3 ( )2
ax
P x
dx
bx cx d
1 Đa thức : f(x)=ax3bx2 cx d a 0 có nghiệm bội ba
Cơng thức cần ý : 1 11
mdx m
x m x
2 Đa thức : f(x)=ax3bx2 cx d a 0 có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu 3 Đa thức : f(x)=
ax bx cx d a0 có ba nghiệm
PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ I KIẾN THỨC
1 Cần nhớ số công thức tìm nguyên hàm sau :
- '( ) ( )
2 ( ) f x
dx f x C
f x
-
2
1
ln
dx x x b C
x b
- Mở rộng :
2
'( )
ln ( ) ( ) ( )
u x
du u x u x b C
u x b
1 Tích phân dạng :
2
1
0 ax
I dx a
bx c
a Lý thuyết :
Từ :
2
2
2 f(x)=ax
2
2 b
x u
b a
bx c a x du dx
a a
K a
Khi ta có :
(4)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
- Nếu :
2
0 ( )
( )
2
2 a
b
f x a x b
f x a x a u
a
a
(2)
- Nếu : 0
+/ Với a>0 : f x( )a x x 1x x 2 f x( ) a x x 1x x 2 (3) +/ Với a<0 : f x( ) a x 1x x 2 x f x( ) a x1x x 2x (4) Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :
b Cách giải
* Trường hợp : 2 2
0,a f x( ) a u k f x( ) a u k
Khi đặt :
2
2
2
0
2 ;
2
2
ax
,
2
t c
x dx tdt
b a b a
bx c t ax
bx c t a x
x t t x t t t c
t a x t a
b a
* Trường hợp :
2
0 ( )
( )
2
2 a
b
f x a x b
f x a x a u
a
a
Khi :
1
ln :
2
1 1
1
ln :
2 2 2
b b
x x
a a
a
I dx dx
b a b b b
a x x x x
a a a a a
* Trường hợp : 0,a0
- Đặt :
1
2
1
2
ax bx c a x x x x x x t x x t
* Trường hợp : 0,a0
- Đặt :
2
1
2
ax bx c a x x x x x x t x x t
2 Tích phân dạng :
2
ax mx n
I dx a
bx c
Phương pháp :
b.1 : Phân tích
2
2 2
ax
( )
ax ax ax
A d bx c
mx n B
f x
bx c bx c bx c
b.2 Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
b.4 Tính I =
2
1 ax
ax
A bx c B dx
bx c
(2)
Trong
2
1
0 ax bx cdx a
biết cách tính
3 Tích phân dạng :
1
0 ax
I dx a
mx n bx c
(5)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
Phương pháp :
b.1 Phân tích :
2
1
ax n ax
mx n bx c m x bx c
m
(1)
b.2 Đặt :
2
1
1
1 1
ax n
y t dy dx
x t m x t
n x
y m
x t bx c a t b t c
y y y
b.3 Thay tất vào (1) I có dạng :
'
2 '
dy I
Ly My N
Tích phân biết cách tính
4 Tích phân dạng : I R x y dx ; R x;m x dx x
( Trong : R(x;y) hàm số hữu tỷ hai biến số x,y , , , số biết ) Phương pháp :
b.1 Đặt : t=m x x
(1)
b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x t b.3 Tính vi phân hai vế : dx=' t dt đổi cận
b.4 Cuối ta tính :
'
'
;m x ; '
R x dx R t t t dt
x
*) Tính tích phân:
2 , 0
mx n
I dx a
ax bx c
(trong f x( ) 2mx n
ax bx c
liên tục đoạn ; )
+) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho:
c bx ax
B c
bx ax
b ax A c bx ax
n mx
2
2
) 2 (
+)Ta có I=
dx c bx ax
B dx
c bx ax
b ax A dx
c bx ax
n mx
2
2
) 2
(
Tích phân dx c bx ax
b ax A
) (
=
c bx ax
Aln
Tích phân
2
dx ax bx c
tính
*) Tính tích phân ( ) ( )
b
a
P x
I dx
Q x
(6)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức
Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1, 2, ,nthì đặt
1
( )
( )
n
n
A
A A
P x
Q x x x x
+ Khi Q x( ) x x2 px q , p2 4q0thì đặt
2
( )
. ( )
P x A Bx C
Q x x x px q
+ Khi Q x( ) x x2 với đặt
2
( ) ( )
A
P x B C
Q x x x x
PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a b; thì:
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx a
hay
b b
a a
b
udv uv vdu a
Áp dụng công thức ta có qui tắc cơng thức tích phân phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dạng '
udvuv dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần cịn lại '
( )
dvv x dx
Bước 2: Tính '
duu dx '
( )
v dv v x dx
Bước 3: Tính '
b b
a a
vdu vu dx
uvb
a
Bước 5: Áp dụng công thức
*Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần
( )
b
x a
P x e dx
( )ln
b
a
P x xdx
( )cos
b
a
P x xdx
cos
b x
a
e xdx
u P(x) lnx P(x) x
e
dv x
(7)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
Chú ý: Điều quan trọng sử dụng cơng thức tích phân phần làm để chọn u
'
dvv dx thích hợp biểu thức dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn '
dvv dx phần f(x)dx vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm
Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân phần:
Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )
mà P(x)là đa thức chứa x Q(x)
hàm số: eax, cosax, sinax ta thường đặt
'
( ) ( )
( ) ( )
du P x dx
u P x
dv Q x dx v Q x dx
Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )
mà P(x) đa thức x Q(x) hàm số ln(ax)
ta đặt
' ( )
( ) ( )
du Q x dx u Q x
dv P x dx v P x dx
Nếu tính tích phân axcos
I e bxdx
axsin
J e bxdx
ta đặt
1
cos sin
ax
ax du ae dx
u e
dv bxdx v bx
b
đặt
1
sin cos
ax
ax du ae dx
u e
dv bxdx v bx
b
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
1 Tính
cos
dx I
asinx b x c
Phương pháp:
Đặt
2 2 tan
2 1
x dt
t dx
(8)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
Ta có: sin 2 2
1
t x
t
2
2 1 cos
1
t x
t
2
cos 2
dx dt
I
asinx b x c c b t at b c
biết cách tính
2 Tính
2
sin sin cos cos
dx I
a x b x x c x d
Phương pháp:
sin sin cos cos
dx I
a d x b x x c d x
2
cos tan tan
dx x
a d x b x c d
Đặt 2
cos
dx t tgx dt
x
dt I
a d t bt c d
tính
3 Tính sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c
Phương pháp:
+)Tìm A, B, C cho:
sin cos sin cos cos sin ,
m xn x p A a x b x c B a x b x C x+) Vậy
sin cos sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c
=
=
c x b x a
dx C
dx c x b x a
x b x a B dx A
cos sin
cos sin
sin cos
Tích phân dx tính
Tích phân dx a x b x c C
c x b x a
x b x
a
ln sin cos
cos sin
sin cos
Tích phân
c x b x a
dx
cos
sin tính
Nguyên hàm dạng Rsin ,cosx x dx , với Rsin ,cosx xlà hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta biết cách tính tích phân
Trường hợp chung: Đặt
2
2 tan
2
x dt
t dx
(9)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
Ta có
2
2
2 1
sin ;cos
1 1
t t
x x
t t
Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu Rsin ,cosx xlà hàm số chẵn với sinx cosx nghĩa
Rsin , cosx xRsin ,cosx xthì đặt t tanx t cotx, sau đưa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t
+) Nếu Rsin ,cosx xlà hàm số lẻ sinx nghĩa là: Rsin ,cosx x Rsin ,cosx xthì đặt t cosx +) Nếu Rsin ,cosx xlà hàm số lẻ cosx nghĩa là: Rsin , cosx x Rsin ,cosx xthì đặt t sinx TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y f x( ) liên tục lẻ đoạn a a; Khi
( ) 0 a
a
I f x dx
2.Cho hàm số y f x( ) liên tục chẵn đoạn a a; Khi
0
( ) ( )
a a
a
I f x dx f x dx
Chứng minh : Ta có
0 ( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
(1)
Ta tính
0
( )
a
J f x dx
cách đặt x t0 t adx dt
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
J f x dx f t dt f t dt f x dx
(2)
Thay (2) vào (1) ta
0
( ) 2 ( )
a a
a
I f x dx f x dx
3.Cho hàm số y f x( ) liên tục chẵn đoạn: Khi
dx x f dx
a x f
I x ( )
2 1
) (
(10)Biên soạn: Cao Văn Tú – Lớp CNTT_K12D Website: www.caotu.tk
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= 1
t t
a a
Khi x= - t = ; x = t =-
Vậy
dt t f a
a dt
a t f a dx
a x f
I t
t
t t
x ( )
1 1
) (
) (
I dx x f dt a
t f dt
t
f t ( )
1 ) ( )
(
Suy
dx x f dx
a x f
I x ( )
2 1 1
) (
4.Cho f(x) liên tục đoạn 0;
2
Khi
2
0
(sin ) (cos )
f x dx f x dx
Chứng minh:
Đặt
2
t x dx dt
Khi x =
2
t ,
2
x t =
Do 2
0 0
2
(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )
2
f x dx f t dt f t dt f x dx
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có cơng thức
*Nếu f(x) liên tục 0;1 thì (sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx
*Nếu f(x) liên tục 0;1 thì
2
(cos ) (cos )
xf x dx f x dx