Đang tải... (xem toàn văn)
đó. Hình vuông ABCD có đường chéo bằng 4 cm. Tính diện tích hai hình vuông nhỏ. Các đường phân giác các góc của hình chữ nhật cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH.. a) Chứng minh EFGH [r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ
NÂNG CAO TOÁN TẬP
(2)CHƯƠNG I
PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨC
§1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC §2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa
thức cộng tích với
Nếu kí hiệu đơn thức chữ A, B, C, D, … viết gọn quy tắc sau:
( )
+ = +
A B C A B A C
2 Phép nhân đơn thức với đa thức tương tự phép nhân số với tổng
chú ý đến dấu đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” “ – ” cho thích hợp:
( )
+ − = + −
A B C D A B A C A D
Ví dụ: ( )
3 4x x − + =x 12x −3x +3x
3 Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân hạng tử đa thức với
hạng tử đa thức cộng tích với nhau:
(A+B C)( +D)= AC+AD+BC+BD
4 Phép nhân hai đa thức tổng kết nhân đơn thức đa thức với đa
thức
( + )( + − )= ( + − )+ ( + − )
= + − + + −
A B C D E A C D E B C D E AC AD AE BC BD BE
Ví dụ:
( )( ) ( ) ( )
4
4
2 2 1
2 2
2 4
+ − − = − − + − −
= − − + − −
= + − − −
x x x x x x x x x x x x x x x x x
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng LÀM TÍNH NHÂN
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức
(3)( ) ( )( ) + = + + + = + + +
A B C A B A C
A B C D AC AD BC BD
Chú ý phép tính lũy thừa
( )
( )
0
;
;
1
+
= =
= ≠
n m n m
m
n nm
a a a a a a a
Ví dụ (Bài 1, trang SGK)
Làm tính nhân :
a)
5 ;
2
− −
x x x b) (3 )2 ;
− +
xy x y x y c) (4 )
− + −
x xy x xy
Giải
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta có:
a) 3 2
5 ;
2 2
− − = − − = − −
x x x x x x x x x x x
b) ( )2 2 2 2 2 2 2
3 ;
3 3 3
− + = − + = − +
xy x y x y xy x y x x y y x y x y x y x y
c) ( ) 2
4
2
− + − = − + −
x xy x xy x y x y x y
Ví dụ (Bài 7, trang SGK)
Làm tính nhân : a) ( )( )
2 1 ;
− + −
x x x b) (x3−2x2+ −x 5)( −x)
Từ câu b) suy kết phép nhân ( )( )
2
x − x + +x x−
Giải:
a)Thực phép nhân đa thức với đa thức ta có:
( )( ) 2( ) ( ) ( )
2 1 1
x − x+ x− =x x− − x x− + x−
2
2 3
x x x x x x x x
= − − + + − = − + −
b) ( )( ) 3( ) 2( ) ( ) ( )
2 5 5
x − x + −x −x =x −x − x −x +x −x − −x
5x x 10x 2x 5x x x
= − − + + − − +
7 11
x x x x
= − + − + − Vì x− = − −5 (5 x) nên :
( )( ) ( )( )
2 5
x − x + −x x− = − x − x + −x −x
( )
7 11
x x x x
= − − + − + −
(4)=x4−7x3+11x2−6x+5
Ví dụ ( Bài 8, trang SGK)
Làm tính nhân :
a) 2 2 ( 2 )
2
x y xy y x y
− + −
; b) ( )
2 ( )
x −xy+y x+ y
Giải:
a) 2 2 ( 2 ) 2 2 2 4
2
x y xy y x y x y x y x y xy xy y
− + − = − − + + −
b)(x2−xy+y2)(x+y)=x3+x y2 −x y2 −xy2+y x2 +y3=x3+y3
Ví dụ ( Bài 10, trang SGK)
Thực phép tính:
a) ( 2 3) 5
2
x − x+ x−
; b)( )
2 2 ( )
x − xy+y x− y
Giải:
a)Ta có ( 2 3) 5 5 2 10 15
2 2
x − x+ x− = x − x −x + x+ x−
3
1 23
6 15
2x x x
= − + −
b) (x2−2xy+y2)(x−y)=x3−x y2 −2x y2 +2xy2+y x2 − y3
3 2
3
x x y xy y
= − + −
Ví dụ (Bài 15, trang SGK)
Làm tính nhân :
a) 1
2x y 2x y
+ +
; b)
1
2
x y x y
− −
Giải:
a) 1 1 2
2x y 2x y 4x 2xy 2yx y 4x xy y
+ + = + + + = + +
b) 1 1 2
2 2 4
x y x y x xy yx y x xy y
− − = − − + = − +
DẠNG TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp giải
* Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ta rút gọn biểu thức * Thay giá trị biến vào biểu thức đá rút giọn
Ví dụ (Bài 2, trang SGK)
(5)Thực phép nhân rút gọn tính giá trị biểu thức: a) (x x− +y) y x( +y) tai x= −6 y=8
b) ( ) 2( ) ( ) tai 1 100
2
x x −y −x x+y +y x −x x= y= −
Giải:
a)Trước hết ta rút gọn biểu thức:
2 2
( ) ( )
x x− +y y x+y =x −xy+yx+y =x +y
Thay giá trị x= −6;y=8 vào biểu thức rút gọn ta được: 2 ( 6)2 82 36 64 100
x +y = − + = + =
b) (x2−y)−x x2( + +y) y x( 2−x) =x3−xy−x3−x y2 +yx2−yx = −2xy
Thay giá trị 1, 100
x= y= − vào biểu thức rút gọn ta được:
1
2 ( 100) 100
2
xy
− = − ⋅ ⋅ − =
Ví dụ (Bài 6, trang SGK )
Điền dấu x vào ô mà em cho đáp số
Giá trị biểu thức
( ) ( )
ax x−y +y x+y x= −1 y=1 (a số) là: a
2
a
− +
2a −
2a
Giải
Ta có: 3
( ) ( )
ax x−y +y x+y =ax −axy+xy +y
Thay x= −1 y=1 vào ta được:
2
( 1) ( 1)(1) ( 1) 1 1
a − − −a + − ⋅ + = + − + =a a a
a
2
a
− +
2a −
2a x
Ví dụ (Bài 9, trang SGK )
Điền kết tính vào bảng:
Giá trị x y Giá trị biểu thức
( 2)
(x−y) x +xy+y
(6)10;
x= − y=
1;
x= − y=
2;
x= y= −
0, 5; 1, 25
x= − y=
(trường hợp dùng máy tính bỏ
túi để tính
Lời giải
Rút gọn biểu thức ta
( 2) 2 2 3
(x−y) x +xy+y − +x x y+xy −yx −xy −y =x − y
Ta có kết sau:
Giá trị x y Giá trị biểu thức
3 x −y
10;
x= − y= −1008
1;
x= − y= −1
2;
x= y= − 9
0, 5; 1, 25
x= − y=
(trường hợp dùng máy tính bỏ
túi để tính
2, 078125
−
Ví dụ (Bài12 , trang 8 SGK )
Tính giá trị biểu thức ( ) ( 2)
5 ( 3) ( 4)
x − x+ + +x x−x trường hợp sau:
a)x=0 b)x=15 c)x= −15 d)x= −0,15
Lời giải
Rút gọn biểu thức ta được:
( ) ( 2) 2
5 ( 3) ( 4) 15 4
x − x+ + +x x−x =x + x − x− +x − +x x− x
= − −x 15
Kết tính theo bảng sau
Giá trị x Giá trị biểu thức 15
x
− −
0
x= −15
15
x= −30
(7)15
x= −
0,15
x= − −15,15
Dạng RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rút gọn biểu thức
Ví dụ 10 (Bài 5, trang SGK )
Rút gọn biểu thức:
a) x x( − +y y x( −y)) b) n1( ) ( n n1) x − x+y −y x − +y −
Giải
a) ( ) ( ) 2 2
?
x x−y +y x−y =x −xy+ −x =x −y
b) n1( ) ( n n1) n n n1 n n n
x − x+y −y x − +y − =x +x − y− −yx − −y =x −y
Dạng TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
• Thực phép nhân đa thức, biến đổi rút gọn để đưa đẳng thức cho dạng
ax=b
• Tìm x b a
= ( a≠0)
Ví dụ 11 ( Bài 3, trang SGK)
Tìm x, biết
a) 12x( x−4)−9x(4x− =3) 30
b) x(5 2− x)+2x x( − =1) 15
Giải
a) Rút gọn biểu thức vế trái ta có
( ) ( ) 2
3 12x x−4 −9x 4x− =3 36x −12x−36x +27x=15x
Đẳng thức cho trở thành: 15x=30 Vậy 15
x= =
Ví dụ 12 (Bài 3, trang SGK)
Tìm x, biết (12x−5 4)( x− +1) (3x−7 16)( − x)=81
Giải
(8)Thực phép tính vế trái, ta có
(12x−5 4)( x− +1) (3x−7 16)( − x)
2
48x −12x−20x+ +5 3x−48x − +7 112x=83x−2
Đẳng thức cho trở thành: 83x− =2 81, tức 83x=83 hay x=1
Dạng CHỨNG MINH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN
Phương pháp giải
• Ta biến đổi biểu thức cho thành biểu thức khơng cịn chứa biến x
• Để kiểm tra kết tìm ta thử thay giá trị biến (chẳng hạn x=0) vào
biểu thức so sánh kết
Ví dụ 13 (Bài 11, trang SGK)
Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến
(x−5 2)( x+ −3) 2x x( − + +3) x
Giải
Thực phép nhân đa thức rút gọn ta
(x−5 2)( x+ −3) 2x x( − + +3) x
2
2x 3x 10x 15 2x 6x x = + − − − + + + = −
Giá trị biểu thức −8 với giá trị biến x Vậy giá trị biểu thức cho
không phụ thuộc vào giá trị biếnx
Chú ý: Nếu thay x=0 vào biểu thức cho ta −5.3 7+ = −8
Dạng GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN x
Phương pháp giải
• Chọn ẩn x xác định điều kiện cho ẩn
• Dựa vào đề để tìm đẳng thức có chứa x
• Giải tìm x chọn kết thích hợp
Ví dụ 14 (Bài 14, trang SGK)
Tìm số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu 192
Giải
Gọi x x, +2, x+4 ba số chẵn liên tiếp phải tìm ( x số tự nhiên chẵn)
Tích hai số đầu là: x x( +2)
Tích hai số sau là: (x+2)(x+4)
Theo đề ta có (x+2)(x+ −4) x x( +2)=192
(9)Rút gọn vế trái đẳng thức ta được:
2
(x+2)(x+ −4) x x( +2)= x +4x+2x+ −8 x −2x=4x+8 Khi ta có: 4x+ =8 192⇒4x=184⇒ =x 46
Vậy ba số chẵn liên tiếp cần tìm 46, 48, 50
Ví dụ 15 (Bài trang SGK)
Đố đoán tuổi Bạn lấy tuổi mình: - Cộng thêm
- Được đem nhân với
- Lấy kết vừa tìm cộng với 10
- Nhân kết vừa tìm với
- Đọc kết cuối sau trừ cho 100 Tơi đốn tuổi bạn Giải thích ?
Giải
Giả sử tuổi bạn x
Lấy tuổi cộng thêm được: x +
Sau đem nhân với được: 2(x + 5) = 2x +10 Lấy kết cộng với 10: (2x + 10) + 10 = 2x + 20 Nhân kết vừa tìm với 5: (2x + 20).5 = 10x + 100
Đọc kết cuối sau trừ 100 (l0x +100) – 100 = 10x Vậy tuổi bạn kết đọc cuối chia cho 10
Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải
Để chứng minh đẳng thức ta áp dụng cách sau : • Biến đổi vế trái (VT) vế phải (VP) biến đổi VP VT • Biến đổi hai vế biểu thức
• Chứng minh hiệu VT VP
Ví dụ 16 Chứng minh :
( )
( )
2 3
2 3
( ) ( ) a)
b)
x xy y x y x y
x xy y x y x y
− + + = +
+ + − = −
Giải
a) Thực phép nhân đa thức vế trái rút gọn ta có :
( 2) 2 2 3
( )
x −xy+ y x+y =x +x y−x y−xy +y x+y =x + y ( 2) 2 2 3
( )
b) x +xy+ y x−y =x −x y+x y−xy +xy −y =x −y
(10)
Ví dụ 17 Chứng minh
( )
3 3 2
3 ( )
x +y +z − xyz= x+ +y z x + y +z −xy−yz−zx
Giải
Thực phép nhân đa thức vế phải, ta có :
( 2 )
3 2 2 2
2 2
3 3
( )
3
x y z x y z xy yz zx
x xy xz x y xyz x z yx y yz xy y z xyz
zx zy z xyz yz xz
x y z xyz
+ + + + − − −
= + + − − − + + + − − − +
+ + + − − −
= + + −
Vậy: 3 ( 2 )
3 ( )
x +y +z − xyz= x+ +y z x +y +z −xy−yz−zx
Dạng ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC
Phương pháp giải:
• Phép chia hết : Cho hai số nguyên a b b( ≠0 ,) ta nói a chia hết cho b,kí hiệu
a b có số nguyên q cho a=b q , ta cịn nói b ước a
• Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c
Ví dụ 18 Chứng minh :
a) 352003 – 352004 chia hết cho 17 b) 432004 + 432005 chia hết cho 11 c) 273 + 95 chia hết cho
Giải
a) Ta có: 352003 – 352004 = 352004 (35 – 1) = 34.352004 Vì 34 = 2.17 chia hết cho 17 nên 34.352004
chia hết cho 17
b) 432004 + 432005= 432004 (1 + 43) = 44.432004 Vì 44 = 4.11 chia hết cho 11 nên 44.432004 chia hết
cho 11 )
c) 273 + 95 = 39 + 310 = 39 (1 + 3) = 4.39 chia hết cho
Ví dụ 19: Chứng minh (2m−3)(3n− −2) (3m−2)(2n−3) chia hết cho với số nguyên m n,
Giải
Ta có: (2m−3 3)( n− −2) (3m−2 2)( n− =3)
( )
6mn 4m 9n 6mn 9m 4n 5m 5n m n
= − − + − + + − = − = − chia hết cho
Dạng ĐA THỨC ĐỒNG NHẤT BẰNG NHAU
Phương pháp giải
(11)- Hai đa thức biến số x gọi đồng chúng nhận
cùng giá trị giá trị biến số x, kí hiệu f x( )≡g x( )
Vậy f x( )≡g x( ) f x( )=g x( )với x
- Hai đa thức đồng đồng hệ số tương ứng chúng ngược lại
Chẳng hạn cho ( )
1 1
f x =a x +b x+c g x( )=a x2 2+b x2 +c2 Nếu f x( )≡g x( )
1 2, 2, a =a b =b c =c
- Một đa thức đồng đa thức có hệ số ngược lại
Ví dụ 20 Xác định , , , a b c d thỏa đẳng thức sau với giá trị x:
a) ( )( )
1
ax b+ x +cx+ =x − x+
b) ( )( )
3
x +ax + =b x − x+ x +cx+d
Giải
a) Thực phép nhân đa thức rút gọn vế trái ta được:
( )( ) 2
1
ax b+ x +cx+ =ax +acx +ax bx+ +bcx b+
( ) ( ) ax ac b x a bc x b
= + + + + +
Vậy ta có hai đa thức đồng sau:
( ) ( )
3
3
ax + ac b x+ + a+bc x b+ =x − x+
Suy
1
1
2
2
a
a ac b
b a bc
c b
=
= + =
⇒ =
+ = −
= −
=
b) Biến đổi vế phải ta được:
( )( )
( ) ( ) ( )
2 3 2
4
3 3 2
3 3
− + + + = + + − − − + + +
= + − + + − + − +
x x x cx d x cx dx x cx dx x cx d x c x d c x c d x d
Vậy ta có hai đa thức đồng sau:
( ) ( ) ( )
4
º 3
+ + + − + + − + − +
x ax b x c x d c x c d x d Suy ra:
(1)
(2)
2 (3)
2 (4)
− =
+ − =
− =
=
c
d c a c d
d b
Từ (1) suy rac=3 , thay c=3 vào (3) ta đượcd =2
Từ (4) suy =b 4, thayc=3 , b=4,d =2 vào (2) ta a= −5 Vậy a= −5,b=4,c=3,d =2
(12)Ví dụ 21 Cho đa thức ( )
= +
f x ax bx Xác định ,a b để f x( )– f x( − =1) x với giá trị
củax Từ suy cơng thức tính tổng + + + n (với n số nguyên dương) Giải
Ta có ( ) ( )2 ( ) ( )( ) ( )
1 1 1
− = − + − = − − + −
f x a x b x a x x b x
( ) ( )
– – – –
=a x x+ +bx b=ax + b a x+a b
Do đó: f x( )– f x( – 1)=2ax b a+ –
Vậy ta có hai đa thức dồng nhất: 2ax b+ –a≡x Suy ra:
2 1
0
=
⇒ = = − =
a
a b b a
Vậy: ( )
2
= +
f x x x
Trong đẳng thức f x( )– f x( – 1)=x thay x=1, 2, 3, ,n ta được:
( )1 – ( )0 =1;
f f
( )2 – ( )1 =2;
f f
( )3 – ( )2 =3;
f f
( )– ( – 1)=
f n f n n
Cộng đẳng thức rút gọn được:
( )– ( )0 = + + + +1
f n f n
Mà f ( )0 =0 ( )
2
= n +
f n n nên:
( )
2
1
2 2
1 + + + +n= n + n= n n+ =
2𝑛2+ 2𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Làm tính nhân:
a) ( )
2x 7x – – x b)( )( )
2 –
+ −
x xy xy ;
c) ( )
2 –
− x y x y+ yz d) (3xn+1– 2xn).4x2
2 (Dạng 1) Làm tính
a) 3 3
3
7
− − − −
− + −
m n m n m n
x y x y y x y (
b) ( 2 1)( 1– 2– )
2x n+3x n− x n– 3x n
3 (Dạng 2) Tính giá trị biểu thức:
a) ( ) ( )
5x 4x – 2x+1 – 2x 10x – – 2x vớix=15 ;
(13)b) 5x x( −4y)−4y y( −5x)với 1;
5
= − = −
x y
c) ( 2) 2( 2) 2( )
6xy xy−y −8x x−y +5y x −xy với 1; 2
= − =
x y
4 (Dạng 2) Cho đa thức
2
= − + +
A x x vàB=x2 –x+3 a) Tính ,A B ;
b) Tính giá trị biểu thức ,A B A B khix= −3
5 (Dạng 3) Rút gọn biểu thức sau:
a) ( ) 2( )
2 – – + +1
x x x x x ;
b) ( ) ( ) ( )
3x x– – 5x –x – x –
6 (Dạng 4) Tìm x (hoặcy ), biết:
a)2x x( – –) (x 2x+ =3) 26 ;
b) ( )( ) 2( )
8 1
2
− + + + − = −
y y y y y
c) ( )( ) ( )
2x +3 x– x+ =1 5x x+1
7 (Dạng 5) Chứng minh giá biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến:
a) ( ) 2( )
1 –
+ + − + +
x x x x x x ;
b) ( ) 2( )
2 + −1 + +2 – +3
x x x x x x ;
c) ( ) 2( ) ( ) 2( )
4 –x +x 3+ x –x – 4x +3x –x
8 (Dạng 6) Có hai hình chữ nhật Hình thứ có chiều dài chiều rộng9m Hình
thứ hai có chiều rộng chiều rộng hình thứ 5m có chiều dài chiều dài hình thứ là15m Biết diện tích hình thứ hai diện tích hình thứ là
640m Tính kích thước hình
9 (Dạng 7) Chứng minh rằng:
a)( )( )
– + + =1 –
x x x x ;
b)( 2 3)( ) 4
– –
+ + + =
x x y xy y x y x y ;
c)( )2 2 2 2
2 2
+ + = + + + + +
x y z x y z xy yz zx ;
d) ( )3 3 3 3 ( )( )( )
3
+ + = + + + + + +
x y z x y z x y y z z x
10 (Dạng 7) Chứng minh = =x y z
a b c
( 2 2 2)( 2 2 2) ( )2
+ + + + = + +
x y z a b c ax by cz
11 (Dạng 8) Cho a b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư 2 b chia cho dư3
Chứng minh ab chia cho dư1
(14)12 (Dạng 8)
a) Chứng minh biểu thức n(2 – – 2n ) n n( +1) chia hết cho với n
số nguyên
b) Chứng minh rằng: (n– 1)(n+4 –) (n– 4)(n+1) chia hết cho với số nguyênn
13 (Dạng 9) Xác định , , ,a b c d biết:
a) ( )( )
3 – –
+ + + =
ax bx c x x x x với mọix ;
b) ( )( )
– –
+ + + = + + +
x x x ax b x x x cx d với mọix
14 (Dạng 9) Cho đa thức: f x( ) (=x x+1)(x+2)(ax b+ )
a) Xác định ,a b để f x( )– f x( – 1) (=x x+1 2)( x+1) với x
b) Tính tổng S=1.2.3 2.3.5 + + +n n( +1 2)( n+1) theo n (với n số nguyên dương)
15 (Dạng 9) Xác định , ,a b c để
( )( )( )
3
– + – = – – –
x ax bx c x a x b x c với mọix
§3 §4 §5 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng ÁP DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ĐỂ TÍNH
Phương pháp giải
Ví dụ 1: (Bài 19, trang 12 SGK)
Đố Tính diện tích hình cịn lại mà khơng cần đo
1 Bình phương tổng:
2 Bình phương hiệu:
3 Hiệu hai bình phương:
4 Lập phương tổng:
5 Lập phương hiệu:
6 Tổng hai lập phương:
Đưa bảng đẳng thức đáng nhớ phần A để tính
(15)Một miếng tơn hình vng có cạnh +a b , bác thợ cắt miếng hình
vng có cạnh –a b (cho >a b ) Diện tích hình cịn lại bao nhiêu? Diện tích phần
cịn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt khơng?
Giải
Diện tích hình vng có cạnh +a b là:(a+b)2
Diện tích hình vng có cạnh −a b là:(a b− )2
Diện tích hình cịn lại là:
( ) (2 ) (2 )( )
– – 2
+ − − = + + + + = =
a b a b a b a b a b a b b a ab
Diện tích hình cịn lại khơng phụ thuộc vào vị trí cắt
Ví dụ 2: (Bài 25 trang 13 SGK)
a) (a b c+ + ) ; b)(a+b–c)2 c) (a– –b c)2
Giải
a) Ta có: ( )2 ( ) ( )2 ( ) 2
2
+ + = + + = + + + +
a b c a b c a b a b c c
2
2 2
=a + ab b+ + ac+ bc c+
2 2
2 2
=a +b + +c ab+ bc+ ca
b) Tương tự:( )2 2 2 2
2 2
+ − = + + + − −
a b c a b c ab bc ca
c)( )2 2 2 2
– – 2
− = + + − +
a b c a b c ab ac bc
Ví dụ (Bài 26 trang 14 SGK)
Tính: a)( 2 )3
2x +3y ; b)
3
1 −
x
Giải
a) Ta có: ( 2 ) ( ) ( )3 2 2 2( ) ( )2 ( ) ( )2
2x +3y = 2x +3 2x 3y +3 2x 3y + 3y
2
8 36 54 27
= x + x y+ x y + y
b)
3
3
1 27
1 27
2
− = − + −
x x x x
Ví dụ (Bài 33, trang 16 SGK) Tính
a)( )2
2+ xy ; b)(5 – 3x)2 ;
c)( 2)( 2)
5 –x 5+x ; d)(5 – 1x )3 ;
e)( )( 2)
2 –x y 4x +2xy+y ; f) (x+3)(x2 – 3x+9 ;)
Giải
a) ( )2 2 2
2+xy = +4 4xy+x y ;
(16)b) ( )2
5 – 3x =25 – 30x+9x ;
c) ( 2)( 2)
5 –x 5+x =25 –x ;
d) ( )3 3 2
5 – 1x =125x – 75x +15 –x 1;
e) ( )( 2 2) ( )3 3 3 3
2 –x y 4x +2xy+y = 2x –y =8x –y ;
( )( ) 3
–
) + + = + = +
a x x x x x
Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải
Ví dụ (Bài 17, trang 11 SGK)
Chứng minh:( )2 ( )
10a+5 =100a a+ +1 25 Từ em nêu cách tính nhẩm bình
phương cảu số có tận chữ số5 Áp dụng để tính 2 2
25 , 35 , 65 , 75
Giải
Biến đổi vế trái ta có:
( )2 2 ( )
10a+5 =100a +100a+25 100= a a+ +1 25
Bình phương số có tận chữ số số có hai chữ số tận 25 số trăm tích số chục số đem bình phương với số liền sau
Áp dụng:
25 =625 ; 352 =1225 ; 652 =4225 ; 752 =5625 ;
Ví dụ (Bài 20, trang 12 SGK)
Nhận xét sai kết sau:
( )2
2
“x +2xy+y = x+2y ”
Giải
Kết sai ( )2 2 2
2 4
+ = + +
x y x xy y
Ví dụ (Bài 23, trang 12 SGK)
Chứng minh rằng:( ) (2 )2
–
+ = +
a b a b ab ;
( ) (2 )2
4
− = + −
a b a b ab ;
Áp dụng: a) Tính ( )2
−
a b biết a b+ =7;ab=12 b) Tính ( )2
+
a b biết –a b=20;ab=3
Giải
Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái
(17)Biến đổi vế phải ta được:
( )2 2 2 ( )2
– +4 = – + +4 = +2 + = +
a b ab a ab b ab a ab b a b ; (1)
( )2 2 2 2 2 ( )2
– – –
+ = + + = + = −
a b ab a ab b ab a ab b a b ; (2)
Áp dụng:
a) Thay a b+ =7,ab=12 vào (2) ta được:
( ) (2 )2 2
– – 4.12 49 – 48
− = + = = =
a b a b ab
b) Thay –a b=20,ab=3 vào (1) ta được:
( ) (2 )2 2
4 20 4.3 412
+ = − + = + =
a b a b ab
Ví dụ (Bài 31, trang 17 SGK)
Chứng minh rằng:
a) 3 3 ( )3 ( )
– ;
+ = + +
a b a b ab a b
b) 3 3 ( )3 ( )
3 ;
− = − + −
a b a b ab a b
Giải
a) Biến đổi vế phải ta được:
( )3 ( ) 3 2 2 3 2 2
– 3 – 3
+ + = + + − −
a b ab a b a a b ab b a b ab
= 3+
a b ; (1)
b) ( )3 ( ) 3 2 2 3 2 2
3 3 – 3
− + − = − + + −
a b ab a b a a b ab b a b ab
= 3−
a b ;
Áp dụng: Thay a b+ = −5 ab=6 vào (1) ta được:
3 3 ( )3 ( ) ( )2 ( )
– – 3.6 125 90 35
+ = + + = − − = − + = −
a b a b a a b
Ví dụ (Bài 38 trang 18 SGK)
Chứng minh:
a) ( )3 ( )3
) − = − – ;
a a b b a
b) ( ) (2 )2
–
−a b = a+b
Giải
a) Ta có: ( )3 ( ) ( )3
– – ;
) − = − = −
a a b b a b a
( )2 ( ) ( )2
–
) − = − + = +
a a b a b a b
Dạng TÍNH NHANH
Phương pháp giải
b) Đưa số cần tính nhanh dạng hoặc Trong a số nguyên chia hết
cho
(18)Ví dụ 10 (Bài 22 trang 22 SGK)
Tính nhanh: a)
101 ; b)
199 ; c) 47.53 ;
Giải
a) 2 ( )2 2 2
101 = 100 1+ =100 +2.100.1 1+ =10000+200 10201;+ =
b) 2 ( )2 2 2
199 = 200 – =200 +2.200.1 1+ =40000 – 400 1+ =39601
c) ( )( ) 2
47.35= 50 – 50 3+ =50 – =2500 – 9=2491.
Ví dụ 11 (Bài 35 trang 17 SK) Tính nhanh: a) 2
34 +66 +68.66 ; b)742+24 – 48.742 ;
Giải
a) 2 2 2 2 ( )2 2
34 +66 +68.66=34 +2.34.66 66+ = 34 66+ =100 =10000;
b) 2 2 2 2 ( )2 2
74 +24 – 48.74=74 −2.74.24+24 = 74 – 24 =50 =2500.
Dạng RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp giải a)
Ví dụ 12 (Bài 24 trang 13 SGK)
Tính giá trị biểu thức
49x – 70x+25 với:
a)x=5 ; b)
7 =
x
Giải
Ta có: 2 ( )2 2 ( )2
49x – 70x+25= 7x =2.7 5x + = – x
a) Với x=5 ta có: a) 7( x−5) (2 = 7.5 – 5)2 =302 =900
b) =
x ta có: ( ) ( )
2
2
7 – 16
7
= − = − =
x
Ví dụ 13 (Bài 28, trang 14 SGK)
Tính giá trị biểu thức sau:
a)
12 48 64
+ + +
x x x vớix=6 ; b)
6 12
− + −
x x x vớix=22 ;
Giải
a) 3 2 3 2 2 3 ( )3
12 48 64 .4 .4 4
+ + + = + + + = +
x x x x x x x
• Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để khai triển rút gọn
• Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn
(19)Với x=6 ta có: (x+4) (3= 6+4)3 =103 =1000
b) Ta có: 3 2 3 2 2 3( )3
– +12 – 8= – .2 .2 – 2+ –
x x x x x x x
Với x=22 ta có: (x– 2) (3 = 22 – 2)3 =203 =8000
Ví dụ 14 (Bài 30, trang 16 SGK)
Rút gọn biểu thức sau:
a) ( )( ) ( 3)
3 – – 54 ;
+ + +
x x x x
b) ( )( 2) ( )( 2)
2x+y 4x – 2xy+y – –x y 4x +2xy+y
Giải
a) ( )( ) ( 3) 3
3 – – 54 27 – 54 – 27
+ + + = + = −
x x x x x x
b) ( )( 2) ( )( 2)
2x+y 4x – 2xy+y – –x y 4x +2xy+y
( )3 3 ( )3 3 3 3 3 3 3
2 – – –
= x +y x y = x +y x +y = y
Ví dụ 15 (Bài 34, trang 17 SGK)
Rút gọn biểu thức sau: a) ( ) (2 )2
– – +
a b a b ;
b) ( ) (3 )3 3
– – – +
a b a b b ;
c) ( )2 ( )( ) ( )2
–
+ + + + + + +
x y z x y z x y x y
Giải
a) ( ) (2 )2 2 2 ( 2 2)
– – – –
+ = + + + =
a b a b a ab b a ab b ab
b) ( ) (3 )3 3 3 2 2 3 ( 3 2 2 3) 3
– – – 3 – – 3 – –
+ = + + + +
a b a b b a a b ab b a a b ab b b
3 2 3 2 3
3 – 3 –
=a + a b+ ab +b a + a b− ab +b b
c) ( )2 ( )( ) ( )2 ( ) ( ) 2
– –
+ + + + + + + = + + + =
x y z x y z x y x y x y z x y z
Ví dụ 16 (Bài 36, trang 17 SGK)
Tính giá trị biểu thức sau: a)
4
+ +
x x vớix=98 ;
b)
3
+ + +
x x x với a) x=99
Giải
a) 2 ( )2
4
+ + = +
x x x với x=98 thì:
( ) (2 )2 2
2 98 100 10000
+ = + = =
x
b) 3 2 ( )3
3 1
+ + + = +
x x x x với x=99 thì:
(20)( )3
1 100 1000000
+ = =
x
Dạng ĐIỀN VÀO Ơ TRỐNG CÁC HẠNG TỪ THÍCH HỢP
Phương pháp giải a)
Ví dụ 17 (Bài 18, trang 11 SGK)
Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhòe số chỗ:
a) 2 ( )2
6
+ + = +
x xy y ;
b) 2 ( )2
– 10xy+25y = −
c) Hãy nêu đề tương tự
Giải
a) 2 ( )2
6
+ + = +
x xy y x y ;
b) 2 2 ( )2
– 10 +25 = –
x xy y x y ;
c) Đề tương tự: 2 2 ( )2
− + = −
x y
Đáp số: 2 2 ( )2
– +4 = –
x xy y x y
Ví dụ 18 (Bài 29, trang 15 SGK) Đố vui Đức tính đáng quý
Hãy điền chữ số tương ứng với kết tìm xếp chữ thêm dấu cho thích hợp, em tìm đức tính quý báu người
3
– +3 –
x x x N
2
16 8+ x+x U
2
3x +3x+ +1 x H
2
1 – 2y+y Â
( )3
–
x (x+1)3 (y– 1)2 (x– 1)3 (1+ x) (y– 1)2 (x+4)2
Giải
Ta có: 3 2 ( )3
– +3 – 1= –
x x x x ;
( )2
16 8+ x+x = x+4 ;
• Dựa vào số hạng tử đẳng thức có trống ta nhận dạng bảy đẳng thức đáng nhớ
• Thay vào trống hạng tử thích hợp
(21)( ) (3 )3
2
3x +3x+ +1 x = x+1 = +1 x ;
( )2
1 – 2y+y = y–
( )3
–
x (x+1)3 (y– 1)2 (x– 1)3 (1+ x)3 (y– 1)2 (x+4)2
N H Â N H Â U
Đức tính quý báu người là: NHÂN HẬU
Ví dụ 19 (Bài 32, trang 17 SGK)
Điền vào trống hạng tử thích hợp: a) (3x+y)( - + )=27x3+y3 ;
b) ( 2x - )( - 10x + )
8 – 125
= x
Giải
a) ( )( 2) 3
3x+y 9x – 3xy+y =27x +y ;
b) ( )( )
2x−5 4x −10x+25 =8x – 125
Dạng BIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯỚI DẠNG BÌNH PHƯƠNG, LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỒNG ( MỘT HIỆU)
Phương pháp giải
Áp dụng đẳng thức đáng nhớ:
( )2
2
2
A + AB+B = A+B
( )2
2
2
A − AB+B = A−B
( )3
3 2
3
A + A B+ AB +B = A+B
( )3
3 2
3
A − A B+ AB −B = A−B
Ví dụ 20: ( Bài 16, trang12SGK)
Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hiệu a)
2 1;
x + x+ b)9x2+y2+6xy
c)
25a +4b−20ab d)
4
x − +x
Giải
a) 2 2 2 ( )2
2 .1 1
x + x+ =x + x + = x+
b) 2 2 ( )2 ( ) 2 ( )2
9x +y +6xy= 3x +2 3x y +y = 3x+y
c) 2 ( )2 ( ) ( ) ( ) (2 )
25a +4b−20ab= 5a −2 5a 2b + 2b = 5a−2b
Ví dụ 21: ( Bài 21, trang12SGK)
(22)Viết đa thức sau dạng bình phương tổng hiệu:
a)( )2 ( )
2x+3y +2 2x+3y +1
b) 2
9x +y +6xy
c) Hãy nêu đề tương tự
Giải
a)( )2 ( ) 2 ( )2
2x+3y +2 2x+3y 1+ = 2x+3y+1
b) 2 ( )2
9x −6x+ =1 3x−1
c) Chẳng hạn: 2 2 ( )2
4a −12ab+9b = 2a−3b
Ví dụ 22( Bài 27, trang 14 SGK)
Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hiểu:
a)
3
x x x
− + − +
b)
8 2− x+6x −x
Giải
a) 3 2 ( )3 ( ) ( ) 2 3 ( )3
3 3 .1 1
x x x x x x x
− + − + = − + − + − + = − +
b) 3 2 ( )3
8 2− x+6x −x =2 −3.2 x+3.2.x −x = 2−x
Ví dụ 23:( Bài 37, trang 17 SGK
Dùng bút chì nối biểu thức cho chúng tạo thành đẳng thức
Ví dụ 30: Biết số tự nhiên a chia dư 1, số tự nhiên b chia dư Chứng minh tổng
các bình phương hai số a b chia hết cho
Giải
( )( 2)
x−y x +xy+y
(x+y)(x−y)
2
2
x − xy+y
( )2 x+y
( )( 2)
x+y x −xy+y
3 2
3
y + xy + x y+x
( )3 x−y
Ta có: a=5k+1;b= +5l 2(k l, ∈ Khi đó: )
(23)( ) (2 )2 ( )
2 2 2
5 25 10 25 20 5
a +b = k+ + l+ = k + k+ + l + l+ = k + k+ l + +l chia hết
cho
Ví dụ 31: Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết
cho
Giải
Gọi ba số nguyên liên tiếp n−1, ,n n+1 Tổng lập phương chúng là:
( )3 3 ( )3 3 2 3 3 2
1 3 3
n− +n + n+ =n − n + n− +n +n + n + n+
( )
3
3n 6n 3n n 9n
= + = − +
Ta có ( ) ( ) ( )
1
n n − = n− n n+ chia hết cho n−1, ,n n+1 ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Do ( )
3n n −1 chia hết cho 9, 9n chia hết cho Vậy
( )3 3 ( )3
1
n− +n + n+ chia hết cho với số nguyên n
Dạng 13 MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT
Phương pháp giải
Bằng phép nhân đa thức ta chứng minh đẳng thức sau:
1 ( )( 2 1)
n n n n n n
a −b = a b− a − +a − b+ +a b − +b − với số nguyên dương n
2 ( )( 2 1)
n n n n n n
a +b = a+b a − −a − b+ −a b − +b − với số nguyên dương lẻ n
Chẳng hạn: 5 ( )( 2 4)
;
a −b = a b− a +a b+a b +ab +b
( )( )
5 2
a +b = a b+ a −a b+a b −ab +b
3 Nhị thức Niu-tơn (Newton)
( ) 1 2 1
n n n n n n n
n n n
a+b =a +C a −b C a+ − b+ +C −ab − +b
Với ( 1)( ) ( 1) ( 1, 2, 3, , () 1.2.3
k k
n n
n n n n k
C k n C
k
− − − +
= = − gọi tổ hợp chập k n phần
tử
Chẳng hạn:
( )4 4 3 2 2 3 4;
4
a+b =a + a b+ a b + ab +b
( )5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 10 10
a b− =a − a b+ a b − a b + ab −b
Áp dụng đẳng thức vào tính chất chia hết ta có: • n n
a −b chia hết cho a b− (với a b≠ n nguyên dương);
• 2n 2n
a + +b + chia hết cho a b+
• 2n 2n
a −b chia hết cho a b+
(24)Ví dụ 32: Chứng minh rằng: 10
11 −1 chia hết cho 100
Giải
Ta có: 10 10 10 ( )( )
11 − =1 11 −1 = 11 11− +11 + + + 11
( )
10 11 11
= + + +
Vì
11 +11 + + + 11 có chữ số tận ( hang đơn vị) nên 119+118+ + + 11 chia hết cho 10 Vậy 10
11 −1 chia hết cho 100
Ví dụ 33: Với n số nguyên dương chẵn, chứng minh rằng:
20n+16n− −3n chia hết cho 323
Giải
Ta có: 323 17.19= Áp dụng đẳng thức tổng quát ta có
20n− chia hết cho 19
n chẵn nên 16 3n− n chia hết cho (16 3+ =) 19, 20n+16n− − =3n (20n − +1) (16n−3n)
chia hết cho 19
Mặt khác, 20 3n− n chia hết cho 17 16 1n− chia hết cho ( )
16 1+ =17 nên
( ) ( )
20n +16n − − =3n 20n−3n + 16n−1 chia hết cho 17 Vậy 20 16 1n+ n− −n chia hết cho 323
Ví dụ 34: Chứng minh khơng có đa thức f x( ) với hệ số nguyên mà f ( )7 =5
( )15
f =
Giải
Giả sử có đa thức với hệ số nguyên:
( ) ( )
1 0, , ,1
n n
n n n
f x =a x +a −x − + +a x+a a a a ∈ mà f ( )7 =5 f ( )15 =9 Khi đó:
1
1
7n 7n 5;
n n
a +a − − + +a +a = (1)
1
1
15n 15n 15
n n
a +a − − + +a +a = (2)
Lấy (2) trừ (1) ta được:
( ) ( 1) ( )
1
15n 7n 15n 7n 15
n n
a − +a − − − − + +a − =
Vế trái gồm hạng tử chia hết cho 15 8− = nên vế trái chia hết cho 8, cịn vế phải khơng chia hết cho Vậy khơng có đa thức f x( ) với hệ số nguyên mà f ( )7 =5
( )15
f =
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Tính:
a) ( )2
2
x+ y b) (3x−2y)2 c)
2
1
2
x
−
d)
2
x x y y
− +
e)
3
1
x
+
f) ( )( )
2
2
x− x + x+
(25)2 (Dạng 2) Chứng minh đẳng thức:
a) ( )2 2 ( )
2
x+y −y =x x+ y
b) ( 2 2)2 ( ) (2 ) (2 )2
2
x +y − xy = x+y x−y
c) ( )3 ( )2 ( )2
3
x+y =x x− y +y y− x
3 (Dạng 2) Chứng minh rằng: a) ( ) (3 )3 ( 2 2)
2
a b+ + a b− = a a + b
b) ( ) (3 )3 ( 2)
2
a b+ − a b− = b b + a
4 (Dạng 1) Viết đa thức sau thành tích:
a) x3+8y3 b) a6−b3 c) 8y3−125 d) 8z3+27
5 (Dạng 3) Tính nhanh: a)
1001 : 29, 9.30,1 b) (31,8)2−2.31,8.21,8+(21,8)2
6 (Dạng 4) Rút gọn tính giá trị biểu thức: a) ( )2 ( )
10 80
x− −x x+ với x=0, 98
b) ( )2 ( )
2x+9 −x 4x+31 với x= −16, c)
4x −28x+49 với x=4 d)
9 27 27
x − x + x− với x=5
7 (Dạng 5) Điền vào ô trống để biểu thức sau trở thành bình phương tổng hiệu:
a)
20
x + x+ b) 16x2+24xy+
c)
49
y − + d) −42xy+49y2
8 (Dạng 5) Điền vào ô trống để đẳng thức đúng:
a) ( )( ) 3
2a+3b − + =8a +27b
b) ( )( ) 3
5x− +20xy+ =125x −64y
9 (Dạng 6) Viết biểu thức sau dạng tổng hai bình phương:
a) 2
10 26
x + x+ +y + y b) x2−2xy+2y2+1
c) 2
6 13
z − z+ + +t t d) 4x2+2z2−4xz−2z+1 10 (Dạng 8) Tìm x, biết:
a) ( )2
3
x− − = b) x2−2x=24 c) ( ) (2 )2 ( )( )
2x−1 + x+3 −5 x+7 x−7 =0
11 (Dạng 4) Rút gọn biểu thức:
(26)a) ( )( )( )( )
2 2 2
x − x+ x − x + x+ x +
b) ( ) (3 )3 3 ( )( )
1 1
x+ + x− +x − x x+ x−
c) ( ) (2 ) (2 )2
2
a+ +b c + a+ −b c + a b−
d) 2 2 2
100 −99 +98 −97 + + −1 e) ( )( ) ( 64 )
3 +1 +1 + +1
f) ( ) (2 )2 ( )2
2
a+ +b c + a+ −b c − a+b
12 (Dạng 9) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a)
20 101
x − x+
b)
4a +4a+2 c)
4 10 22 28
x − xy+ y + x− y+
13 (Dạng 9) TÌm giá trị lớn biểu thức:
a) A=4x−x2+3 b) B= −x x2
14 (Dạng 10) Chứng minh nếu:
( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2
2 2
x−y + y−z + −z x = y+ −z x + + −z x y + x+ −y z x= =y z
15 (Dạng 7) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị
,
x y:
( )( 2) ( )( 2)
2
x+y x −xy+y + x−y x +xy+y − x
16 (Dạng 11) Chứng minh bất đẳng thức sau thỏa với x y, :
a) 2
1
x +xy+y + >
b) 2
5 10 14
x + y + x− xy− y+ >
c) 2
5x +10y −6xy−4x−2y+ >3
17 (Dạng 12) Cho số tự nhiên n chia cho dư Hỏi n2 chia cho dư bao nhiêu? n3 chia
cho dư bao nhiêu?
18 (Dạng 12) Cho ,a b số nguyên Chứng minh a3+b3 chia hết cho
khi a b+ chia hết cho
19 (Dạng 12) Cho a b+ =1 Tính giá trị ( 3) ( 2)
2
M = a +b − a +b
20 (Dạng 13) Với n số tự nhiên, chứng minh rằng:
a) 2
11n+ +12 n+ chia hết cho 133
b) 2
5n+ +26.5n +8 n+ chia hết cho 59 c)
7.5 n+12.6n chia hết cho 19
21 (Dạng 13) Với n số tự nhiên, ch an =22n+1+2n+1+1, bn =22n+1−2n+1+1 Chứng minh với số tự nhiên n có hai số ,an bn chia hết cho
(27)22 (Dạng 13) Cho số nguyên n>1 Chứng minh nn−n2+ −n chia hết cho (n−1)2
23 (Dạng13) Cho đa thức với hệ số nguyên f n( ) có f ( )0 f ( )1 hai số lẻ CHứng minh f x( ) khơng có nghiệm ngun
§6 §7 §8 §9 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Khi hạng tử đa thức có chung nhân tử, ta đặt nhân tử
chung ngồi dấu ngoặc theo cơng thức:
A.B + A.C = A(B + C) Nhân tử chung đa thức gồm:
a) Hệ số ước chung lớn hệ số hạng tử
b) Các lũy thừa chữ số có mặt hạng tử với số mũ nhỏ
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
4 2 2
13x y 26x y z 39xy z
− + −
+ ƯCLN(13,26,39) = 13
+ Số mũ nhỏ x hạng tử 1; + Số mũ nhỏ y hạng tử 2;
Vậy: 2 2 2( 3)
13x y 26x y z 39xy z 13xy x y 2xz 3z
− + − = − − +
2 Nếu đa thức chứa vế bảy đẳng thức đáng nhớ ta dùng đẳng thức để viết đa thức thành nhân tử
Ví dụ:
( )2 ( )( )
2 2
25x −y = 5x −y = 5x−y 5x+y
3 Nhóm nhiều hạng tử đa thức cách thích hợp để làm xuất nhân tử chung đẳng thức, chẳng hạn:
AB + AC – DB – DC = A(B + C) – D(B + C) = (B + C)(A – D)
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phương pháp giải
Áp dụng phương pháp: • Đặt nhân tử chung dấu ngoặc:
AB + AC – AD = A(B + C – D)
(28)• Sử dụng đẳng thức đáng nhớ • Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ (Bài 39, trang 19 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x−6y b) 2
5
5x + x +x y
c) 2 2
14x y−21xy +28x y
d) ( 1) ( 1)
5x y− −5 y y− e) 10x(x – y) – 8y(y – x)
Giải
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
) x y ;
2
) 5 ;
5
) 14 21 28 ;
2 2
) 1 ;
5 5
) 10 10
a x y
b x x x y x x y
c x y xy x y xy x y xy d x y y y y x y
e x x y y y x x x y y x y x y x y
− = − + + = + + − + = − + − − − = − − − − − = − + − = − −
Ví dụ (Bài 43, trang 20 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
3 2
) 9; )10 25 ;
1
) ; ) 64
8 25
a x x b x x
c x d x y
+ + − − − − Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2
) ;
)10 25 10 25 ;
1 1
) 2 ;
8 2
1 1
) 64 8
25 5
a x x x
b x x x x x
c x x x x x
d x y x y x y x y
+ + = + − − = − − + = − − − = − = − + + − = − = − +
Ví dụ (Bài 44, trang 20 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
( ) (3 )3 ( ) (3 )3
3
3 2 2
1
) ; ) ; ) ;
27
)8 12 ; ) 27 27
a x b a b a b c a b a b
d x x y xy y e x x x
+ + − − + + −
+ + + − + − +
Giải
Áp dụng đẳng thức:
( )( )
( )( )
3 2
3 2
;
A B A B A AB B A B A B A AB B
+ = + − +
− = − + +
(29)( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
3
3 2
2 2 2
1 1
) ;
27 3
b)
2 2 ;
a x x x x
a b a b a b a b a b a b a b a b b a b a b b a b
+ = + − + + − − = + − + + + + − + − = + + − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2 2 2
)
2 2 ;
c a b a b a b a b a b a b a b a b
a a b a b a a b
+ + − = + + − + − + − + −
= + − + = +
d) Áp dụng 3 2 2 3 ( )3
3
A + A B+ AB +B = A+B ta có:
( ) ( )
( )
( )
3
3 2 3
3 2
)8 12 y 3.2 y
2
) 27 27
d x x y xy y x x x y
x y
e x x x x
+ + + = + + +
= +
− + − + = − +
Ví dụ (Bài 27, trang 22 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
( )
2
) ; ) ;
) 3 5
a x xy x y b xz yz x y c x xy x y
− + − + − + − − + Giải ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
) ;
) z 5 ;
) 3 5 5
a x xy x y x x y x y x y x b xz yz x y x y x y x y z c x xy x y x x y x y x y x
− + − = − + − = − +
+ − + = + − + = + −
− − + = − − − = − −
Ví dụ (Bài 48, trang 22 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
2 2
2 2
) 4;
) 3 ;
) 2
a x x y
b x xy y z c x xy y z zt t
+ − + + + − − + − + − Giải ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
) 4 4 y y
2 ;
) 3 3
3 ;
) 2
a x x y x x x x y x y
b x xy y z x xy y z x y z x y z x y z
c x xy y z zt t x y z t
x y z t x y z t
+ − + = + + − = + − = + + + − + + − = + + − = + − = + + + − − + − + − = − − − = − − + − + −
Ví dụ (Bài 51, trang 24 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(30)3 2 2
) ; )2 2 ; )2 16
a x − x +x b x + x+ − y c xy−x −y + Giải
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2
2
2 2 2
2
2 2 2
) 2 x ;
)2 2 2
2 1 ;
)2 16 16
4
a x x x x x x x
b x x y x x y x y x y x y
c xy x y x xy y x y x y x y
− + = − + = − + + − = + + − = + − = + − + + − − + = − − + = − − = + − − +
Ví dụ (Bài 53, trang 24 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
) 2; ) 6; )
a x − x+ b x + −x c x + x+
Giải ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2
) x x 2 1 ;
) x x x 3 ;
) x x x 2
a x x x x x x x x
b x x x x x x x
c x x x x x x x
− + = − − + = − − − = − −
+ − = + − − = + − + = + −
+ + = + + + = + + + = + +
Ví dụ (Bài 54, trang 25 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
( )
3 2 2
4 2
) ; )2 2
) 2
a x x y xy x b x y x xy y c x x x x
+ + − − − + − − = − Giải ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
3 2 2
2
2
4 2
) 9
3
)2 x y x 2
) 2
a x x y xy x x x xy y x x y
x x y x y
b xy y x y x y x y x y
c x x x x
+ + − = + + − = + −
= + + + −
− − + − = − − − = − − +
− = −
Ví dụ (Bài 57, trang 25 SGK)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
2
) 3; ) 4;
) 6; )
a x x b x x
c x x d x
− + + + − − + Giải ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2
) x x x 1 ;
) x x x 1 ;
a x x x x x x x
b x x x x x x x
− + = − − + = − − − = − −
+ + = + + + = + + + = + +
(31)( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 2
4 2 2
c) x 3 ;
) ( x 4) 2 2 2
x x x x x x x x x
d x x x x x x x x x
− − = − + − = − + − = − +
+ = + + − = + − = − + + +
Dạng TÍNH NHANH
Phương pháp giải
Phân tích biếu thức cần tính nhanh thừa số tính
Ví dụ 10 (Bài 46, trang 21 SGK)
Tính nhanh:
2 2 2
) 73 27 ; ) 37 13 ; ) 2002
a − b − c −
Giải
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2
) 73 27 73 27 73 27 46.100 4600;
b) 37 13 37 13 37 13 24.50 1200;
) 2002 2002 2002 2000.2004 4008000
a
c
− = − + = =
− = − + = =
− = − + = =
Ví dụ 11 (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
) 37, 5.6, 7, 5.3, 6, 6.7, 3, 5.37, 52 2 2 )45 40 15 80.45
a b
− − +
+ − +
Giải
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
2 2 2
2 2 2
) 37, 5.6, 7, 5.3, 6, 6.7, 3, 5.37,
37, 5.6, 3, 5.37, 7, 5.3, 6, 6.7,
37, 6, 3, 7, 3, 6,
37, 5.10 7, 5.10 375 75 300
)45 40 15 80.45 45 2.40.45 40 15
45 40 15
85 15 85 15 85 15 70.100 7000
a
b
− − +
= + − +
= + − +
= − = − =
+ − + = + + −
= + −
= − = − + = =
Ví dụ 12 (Bài 56, trang 25 SGK)
Tính nhanh:
1
)
2 16
a x + x+ với x = 49,75;
2
)
b x −y − y− với x = 93, y =
Giải
( )
2
2
2 1 1
) 0, 25
2 16 4
a x + x+ =x + x + = x+
(32)Với x = 49,75 ( ) (2 )2
0, 25 49, 75 0, 25 50 2500
x+ = + = =
( ) ( )
( )
2
2 2 2
) 2 1
1 ( 1)
b x y y x y y x y x y x y
− − − = − + + = − +
= − − + +
Với x = 93, y = ta có
(x− −y 1)(x+ + =y 1) (93 93 1− − )( + + =) 86.100=8600
Dạng TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp giải
• Trước hết phân tích biểu thức thành nhân tử; • Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích
Ví dụ 13 (Bài 40, trang 19 SGK)
Tính giá trị biểu thức sau: ) 15.91,5 150.0,85a +
( ) ( )
5
) 5
b x x− z + x z−x với x = 1999, y = 2000, z = -1
Giải
( )
) 15.91, 150.0,85 15.91, 15.8, 15 91, 8, 15.100 150
a + = + = + = =
( ) ( ) ( )
5 5
) 5 2 0
b x x− z + x z−x = x x− z+ z−x = x =
Với x = 1999, y = 2000, z = -1 biểu thức
Dạng TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
• Chuyển tât số hạng vế trái đẳng thức, vế phải bnawgf • Phân tích trái thành nhân tử để A.B =
A.B = suy A = B = • Lần lượt tìm x từ đẳng thức A = 0, B = ta kết
Ví dụ 14 (Bài 41 Trang 19 SGK)
Tìm x, biết:
( )
3
) 2000 2000 0;
) 13
a x x x
b x x
− − + =
− =
Giải
a) Ta có 5x x( −2000)− +x 2000=5x x( −2000) (− −x 2000) =(x−2000 5)( x−1 )
(33)Đẳng thức cho trở thành: (x−2000 5)( x− =1) 0.Suy x = 2000
x=
b) ( )
13 13
x − x=x x − Đẳng thức trở thành: x x( −13)=0 suy x = x2 =13 Vậy 0; x 13
x= = ±
Ví dụ 15 (Bài 45, trang 20 SGK)
Tìm x, biết:
2
) 25 0; )
4
a − x = b x − +x
Giải
a) Ta có ( )( )
2 25− x = 2−5x 2+5x Từ đẳng thức cho suy
1 ;
2
x= x= −
b)
2
1
x
− =
Suy
1
x=
Ví dụ 16 (Bài 50, trang 23 SGK)
Tìm x, biết:
a x x) ( − + − =2) x 0; b) 5x x( − − + =3) x
Giải
a) Ta có x x( − + − =2) x (x−2)(x+1 ) Do (x−2)(x+ =1) suy x = x = - b) 5x x( − − + =3) x 5x x( − − − =3) (x 3) (x−3 5)( x−1 ) Từ đẳng thức: (x−3 5)( x− =1) Suy x = x = 1/5
Ví dụ 17 (Bài 55, trang 25 SGK)
Tìm x, biết:
( ) ( )
( )
2
3
2
1
) 0; ) 0;
4
) 12
a x x b x x
c x x x
− = − − + =
− + − =
Giải
a) Ta có 1
4 2
x − x=x x − =x x − x+
Do đó:
1
0
2
x x − x+ =
Suy
1
0; ;
2
x= x= x= −
b) ( ) (2 ) (2 )( ) ( )( )
2x−1 − x+3 = 2x− − −1 x 2x− + +1 x = x−4 3x+2
Do (x−4 3)( x+2)=0 suy x = x = - 2/3
c) 2( ) 2( ) ( ) ( )( )
3 12 4 3
x x− + − x=x x− − x− = x− x −
(34)Do ( )( )
3
x− x − = Suy x = x= ±2
Dạng ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC
Phương pháp giải
• Số nguyên a chia hết cho số nguyên b có số nguyên k cho a = b.k • Phân tích biếu thức thừa số để xuất số chia
Ví dụ 18 (Bài 42, trang 19 SGK)
Chứng minh
55n+ −55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên)
Giải
Ta có ( )
55n+ −55n =55 55 1n − =54.55n chia hết cho 54
Ví dụ 19 (Bài 52, trang 24 SGK)
Chứng minh ( )2
5n+2 −4 chia hết cho với n∈
Giải
Ta có ( )2 ( )( ) ( )
5n+2 − =4 5n+ +2 5n+ −2 =5n 5n+4 chia hết cho với n∈
Ví dụ 20 (Bài 58, trang 27 SGK)
Chứng minh
n −n chia hết cho với n∈
Giải
Ta có ( ) ( )( )
1 1
n − =n n n − =n n− n+ Vì n−1, ,n n+1 số ngun liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết tích (n−1 ) (n n+1) chia hết cho 2.3 = (vì hai số nguyên tố nhau)
Ví dụ 21 Chứng minh với số nguyên n ta có:
a)
13
n − n chia hết cho 6;
b)
5
n − n + n chia hết cho 120;
c)
3
n − n − +n chia hết cho 48 với n lẻ
Giải
a) Ta có 3
13 ( ) 12
n − n= n − −n ntheo ví dụ 20 ta n3−n chia hết 12n chia hết cho
nên
13
n − n chia hết cho với số nguyên n
b) Ta có:
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
5 3 2
2
5 4 4
1 1 2
n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
− + = − − + = − − −
= − − = − + − +
là tích số nguyên liên tiếp
(35)Trong số nguyên liên tiếp có hai số bội (trong có số bội 4, số bội số bội 5) Do tích số ngun liên tiếp chia hết cho 8.3.5 = 120 (vì 8, 3, đơi nguyên tố nhau)
c) Ta có 2( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
3 3 3 1
n − n − + =n n n− − n− = n− n − = n− n− n+
Thay n = 2k + vào được:
(2k−2 2) (k k+2) (=8 k−1 ) (k k+1)
Chia hết cho 48 Vì (k−1) (k k+1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 =
Dạng TÌM CÁC CẶP SỐ NGUYÊN (x, y) THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
• Phân tích vế đẳng thức thành tích hai thừa số, vế cịn lại số ngun n
• Phân tích số ngun n thành tích hai thừa số tất cách, từ tìm số ngun x, y
Ví dụ 22 Tìm cặp số ngun (x, y) thỏa mãn đẳng thức sau:
a x) + =y xy; b xy) − +x 2(y− =1) 13
Giải
a) Ta có x + y = xy viết thành: xy – x – y =0 Do suy ra:
( 1) ( 1)
x y− − y− = hay (y−1)(x− =1) Mà 1=1.1 = ( ) ( )−1 −1 nên:
1
1
y x
− = − =
1
1
y x
− = −
− = −
Do đó:
2
x y
= =
0
x y
= =
Vậy ta có hai cặp số nguyên cầm tìm (0,0) (2,2) b) Phân tích trái thừa số ta có:
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 1 1
xy− +x y− =x y− + y− = y− x+
Vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = ( )(−1 −13) (= −13)( )−1 nên ta có:
1 1 13 1 13
; ; ;
2 13 2 13
y y y y
x x x x
− = − = − = − − = −
+ = + = + = − + = −
Hay :
(36)11 15
; ; ;
2 14 12
x x x x
y y y y
= = − = − = −
= = = = −
Vậy ta có cặp số nguyên cần tìm là:
(11, ; ) (−1,14 ; 15, ; 3, 12) (− ) (− − )
Dạng PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp giải
Khi gặp đa thức nhiều ẩn ẩn phức tạp ta dùng cách đặt ẩn phụ phối hợp phương pháp đặt nhân tử chung, đẳng thức, tách thêm bớt số hạng để phân tích thừa số
Ví dụ 23 Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( ) ( )
( )( )( )
( )( )
2
2
2 2
) 2;
) 1;
)
a x x x x
b x x x x
c x x x x x
+ + + +
+ + + +
+ + + + +
Giải
a) Đặt
y=x +x ta có:
2 2 2
(x +x) +3(x + + =x) y +3y+ =2 (y +y) (2+ y+2) =y y( + +1) 2(y+ =1) (y+1)(y+2) Thay
y=x +x vào ta được:
(y+1)(y+2)=(x2+ +x 1)(x2+ +x 2) b) Ta có:
2
( 1)( 2)( 3) [ ( 3)][( 1)( 2)]+1
( )( 2)
x x x x x x x x x x x x
+ + + + = + + +
= + + + +
Đặt
3
x + x= y, ta có:
2
2
2
( )( 2) ( 2)
2 ( 1)
( 1)
x x x x y y
y y y
x x
+ + + + = + +
= + + = +
= + +
c) Đặt
1
y=x + +x ta có:
2 2
2 2
2
( 1)( 1) ( )
2 ( )
( 1) ( 1)
x x x x x y y x x
y yx x y x
x x x
+ + + + + = + +
= + + = +
= + + = +
Dạng PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
(37)Phương pháp giải
• Giả sử đa thức cho phân tích thành tích hai đa thức khác Ta càn xác định hệ số hai đa thức nhân tử
• Thực phép nhân hai đa thức cho đồng hệ số tương ứng
Ví dụ 24 Phân tích thành nhân tử
4
2
) 11 1;
)3 22
a x x x x
b x xy x y y
+ + + +
− − + + +
Giải
a) Giả sử đa thức phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng:
2
(x +ax+1)(x +bx+1) Thực phép nhân đa thức ta được:
2
(x +ax+1)(x +bx+ =1) x + +(a b x) + +(2 ab) x + +(a b x) +1
Đồng với đa thức cho ta được: a b+ =6,ab=9 Ta tìm a=b=3
Vậy 2
6 11 ( 1)
x + x + x + x+ = x + x+
Cách khác:
4
4 2
4 2
2
6 11
2 (3 x 1) (9 1)
2 (3 1) (3 1)
( 1)
x x x x
x x x x x x x x
x x
+ + + +
= + + + + +
= + + + +
= + +
b) Ta tìm a, b, c, d cho:
2
2
3 22
(3 )( )
3 (3 ) (3 ) ( )
x xy x y y
x ay b x cy d
x c a xy d b x ad bc y acy bd
− − + + +
= + + + +
= + + + + + + + +
Đồng hệ số tương ứng hai vế ta được: 3c+ = −a 22;3d+ = −b 4;ad+bc=8;ac=7;bd =1 Từ bd=1, chọn b=d=1 (vì 3d+b=-4)
Ta có a+c=-8, kết hợp với 3c+a=-22, ta a=-1, c=-7
Vậy: 2
3x +22xy−4x+8y+7y + =1 (3x− −y 1)(x=7y−1)
Dạng 9: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải
• Bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử vế trái để đưa dẳng thức dạng tích
• Xét thừa số chúng minh đẳng thức, nhiều trường hợp phải dùng
(38)đến đặt ẩn phụ
Ví dụ 25: Chứng minh 3
3
a + +b c = abc a=b=c a b c+ + =0
Giải
Từ đẳng thức cho suy a3+ + −b3 c3 3abc=0 Ta phân tích đa thức 3
3
a + + −b c abcthành nhân tử Ta có:
3 2
3
3 3 3
2
2 2
( )( ) ( )[( ) ]
(b c) ( );
( ) ( )
( )[ (b c) (b c) ] ( )
(a b c)(a )
b c b c b c bc b c b c bc
bc b c
a b c a b c bc b c abc
a b c a a bc a b c
b c ab bc ca
+ = + + − = + + −
= + − +
+ + = + + − + −
= + + − + + + − + +
= + + + + − − −
Do đó, 3
3
a + + −b c abc= a b c+ + =0, hoặc:
2 2
a +b + −c ab bc ca− − =0 hay (a b− )2+ −(b c)2+ −(c a)2 =0 Suy a=b=c
Ví dụ 26 Chứng minh rằng:
3 3
(b c− ) + −(c a) + −(a b) =3(a b b c c a− )( − )( − )
Giải
Đặt x= −b c y, = −c a z, = −a b Áp dụng Ví dụ 25:
3 3 2
3 ( )( )
x +y + −z xyz= x+ +y z x +y +z −xy−yz−zx =
(vì x+ + =y z 0) Suy 3
3
x +y +z = xyz , tức có điều phải chứng minh
Ví dụ 27 Phân tích đa thức 3 3
(x+ +y z) − −x y −z thành nhân tử
Áp dụng chứng minh đẳng thức:
3 3
(a b c+ + ) − + −(a b c) − + −(b c a) − + −(c a b) =24abc
Hướng dẫn
Sử dụng đẳng thức 3
A −B A3+B3 nhân hai số hạng đầu hai số
hạng cuối ta được: 3(x+y y)( +z z)( +x) Áp dụng:
Đặt x= + −a b c y; = + −b c a z; = + −c a b a b c x y z+ + = + +
Dạng 10 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải
Để chứng minh A>B a lập hiệu A-B phân tích đa hức A-B thành nhân tử Sau chứng minh A-B>0
(39)Ví dụ 28: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 2 2 2 2
)
a a a −c +b c −a +c a −b < với a b c< <
2 2 3
b) (a b c− ) +b(c a)− +c a b( + ) >a + +b c
Giải:
a) Ta phân tích vế trái bất đẳng thức thành nhân tử:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 3 2 3
2 2
2 2
( )
a a c b c a c a b
a b a a c b c a c a b
a b a a a c b c a c a b
b a c a a c a b
a b c a a b a ac c a c a b a c a ab b
a b c a a b a ac c a c a ab b
a b c a c
− + − + − = − + − + − + − = − + − + − + − = − − + − − = − − + + + + − − + + + = − − + + + − + + +
= − − ( −b)(ab bc+ +ca)
Vì < a < b < C nên a – b <0, c – a >0, c – b >0>0, b + bc + ca > Do đó: (a – b)(c – a)(c – b)(ab + bc + ca) <0
Vậy: 3( 2) (2 2) (2 2)
0
a a −c +b c −a +c a −b < với a b c< <
b) Xét hiệu:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 3
2 3 3 3
2 2 2 2
2 2
( ) (c a) ( )
( )( ) b(c b a)(c b a) c(a b c)(a b c)
( )( bc b ac ab )
(a b
a b c b c a b a b c
a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a a b c b c a
a b c ab ac a bc c
− + − + + > + +
= − − + − − + + − = − − + − − + + − = + − − − + + − − − + + − + + = + − − − − − + + + + = + − ( )
2 2 2
c)(2a )
(a b c)
(a b c)(c a b)(c )
b a b c c a b
a b
− − +
= + − − −
= + − + − − +
Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: a + b – c > 0; c + a – b > 0, a + c – a > (a + b – c)(c + a – b)(a + c – a) >
Vậy: 2 3
( ) (c a) ( )
a b c− +b − +c a b+ >a + +b c C LUYỆN TẬP:
1 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
)7x
)3x( 1) 7x ( 1)
a y
c x x
+
− + −
2
)2x 6x
)3x( ) 5a( )
b y y
d x a a x
−
− + −
2 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
(40)4
2 2
)6x 9x
)9x 15x 21x
a
c y y y
−
+ −
10
2 2 2
)5 y 15
)
b y
d x y z xy z x yz
+
+ +
3 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
3
3
) 6x
) 64
)0.125(a 1)
a x y y
c x
e
− +
−
+ −
) 6x3 6 12x
)125x
b x y y y
d y
+ + +
+
4 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
( ) ( )
)2x( 1) 2( 1)
)4x x-2y +8y 2y-x
a x x c
+ + + 2
2
) ( ) x
)49( 4) 9( 2)
b y x y z zy
d y y
+ − −
− − +
5 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
2
)(2x 1) ( 1)
)25( ) 16( )
a x
c x y x y
+ − −
− − +
2
2
)9( 5) ( 7)
)49( 4) 9( 2)
b x x
d y y
+ − −
− − +
6 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
4 2 2 ) ) e)
a x x x
c x y xy x y
ax ay bx by
+ + + + − − + − − 2 2 )
) 7
) ( 1) ( 5) 5( 1)
b x x x
d ax a y x y
f x x x x x
− − +
+ − −
+ + − − +
7 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
3
)3 12
) 3 27
a x y
c x x x z
−
+ + + −
2
)
b x −y − +x y
8 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
3
2
)
)
)3 ( ) 36 (a b ) 108 (a b c)
a x xy y xz yz
c a x ab b x
d x a b c xy c y
− + − +
− + −
+ + + + + + + +
2
)
b x −y − +x y
9 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
)
) 19x 30
a x x
c x
− − − −
4
) 4x
)
b x
d x x
+ −
+ +
10 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
( )3 3 3 3
2 2 2
) ( ) (b c) ca(c a)
)
)4a (a b c )
a ab a b bc
b a b c a b c
c b
− + − + −
+ + − − − − + −
11 (Dạng 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2 2
4
)(1 x ) (1 x )
)81 a x c x + − − + 2
)(x 8) 36
b − +
12 (Dạng 2) Tính giá trị biểu thức
(41)( ) ( )
2
2
43 11 )
36, 27,
a − − 3 97 83 ) 97,83 180
b + −
( ) ( )
) 2x 2x
c A=x −y −z y− với x=1, 2;y=1, 4;z=1,8
( ) ( ) ( )
) 4x
d B= x− x − x− + x− với x=3
13 (Dạng 4) Tìm x, biết:
( )2
) 2x 25
a − − = b)8x3−50x=0
( )( ) ( ) ( )
) 2x
c x− x + + + x − − x− =
14 (Dạng 4) Tìm x, biết:
( )
( )( )
2
)3x 1
)4x 25 2x 2x+7
a x x c − + − = − − − ( ) ( )( )
)2x 3x
) 27
b x x d x x x
+ − − =
+ + + − =
15 (Dạng 5) Chứng minh rằng:
9
)2
a − chia hết cho 73 b)56 −104 chia hết cho
16 (Dạng 5) Chứng minh với số nguyên n thì:
( ) (2 )2
)
a n+ − n− chia hết cho
( ) (2 )2
) 6
b n+ − n− chia hết cho 24
17 (Dạng 5) Chứng minh với n lẻ thì:
2
) 4x
a n + + chia hết cho b n) 3+3n2− −n chia hết cho 48
18 (Dạng 6) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa đẳng thức sau:
( )
) y 3x
)
a x
c xy x y
− + − =
− + − = b xy) +3x−2y− =7
19 (Dạng 7) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 2 2 2
2 2
) 4( ) 12
)( 1) 12 12
) 4x 3x 4x 2x
) 24
a x x x x
b x x x x
c x x
d x x x x
+ + + −
+ + + + −
+ + + + + +
+ + + + −
20.(Dạng 8).Phân tích đa thức thành nhân tử
3
3
2
)2 3;
)3 14 3;
)12 12 12 10
a x x x
b x x x
c x x y y xy
− + −
− + +
+ − + − −
21.(Dạng 9).cho a +b +c =0 ,chứng minh đẳng thức sau:
(42)3 3
5 5 2
2 2 4
) ;
)2( ) ( );
c)( ) 2( )
a a b c abc
b a b c abc a b c
a b c a b c
+ + =
+ + = + +
+ + = + +
22.(Dạng 9).cho số a ,b ,c thỏa a +b +c =1 3
1
a + +b c = chứng minh
2005 2005 2005
1
a +b +c =
23.(Dạng 10).a ,b ,c cạnh tam giác Chứng minh :
3 3 2
) ( ) ( ) ( );
a a + + +b c abc<a b c+ +b c+ +a c a b+
2
b)(a b c+ + ) ≤9abc với a≤ ≤b c;
2 2 2 4
c)2a b +2b c +2c a −a −b −c >0;
2 2 2
d)4a b >(a +b −c )
§ 10.CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC § 11.CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B:
• Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B
• Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B
• Nhân kết tìm với
Ví dụ: 2
20x y z: 4x y=5x y z
2.Quy tắc chia đa thức A cho đơn thức B:
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ,ta chia hạng tử cho B cộng kết với
Ví dụ: 2 2
4 2 2 2
(16 20 ) :
16 : 20 : : xy
x y x y x y xy
x y xy x y xy x y x xy x
− + =
= − + = − +
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: LÀM TÍNH CHIA
Phương pháp giải
• Chia hai lũy thừa biến:
xm:xn =xm n− (m≥ ≥n 0) • Quy tắc chia hai đơn thức A B
(43)• Quy tắc chia đa thức cho đơn thức:
(A+ −B C) :D=A D: +B D C D: − :
Ví dụ 1: (Bài 59 trang 26 SGK)
Làm tính chia:
)5 : ( 5) ;
a −
5
3
) : ;
4
b
3
)( 12) :
c −
Giải
3
)5 : ( 5) : 5;
a − = =
5
3 3
b) : ;
4 4 16
= =
3
3 12 27
c)( 12) :
8
− = − = − = −
Ví dụ 1: (Bài 60 trang 27 SGK)
Làm tính chia: 10
) x : ( ) ;
a −x b)( ) ( )−x 5: −x 3; c)(−y) : ( y) −
Giải
10 10
) x : ( ) : x ;
a −x =x =x b)( ) ( ) ( )−x 5: −x = −x =x2;
c)(−y) : ( y)− = −y.
Ví dụ 3: (Bài 61 trang 27 SGK)
Làm tính chia:
)5 x y :10 x y;
a 3 2
) : ;
4
b x y − x y
10
)( ) : ( y)
c −xy −x
Giải
3 )5 x y :10 x y ;
10
a = y = y
3 2 3
b) : ;
4x y 2x y 1xy 2xy − = − = −
10 5
c)(−xy) : (−xy) = −( xy)
Ví dụ 4: (Bài 64 trang 28 SGK)
Làm tính chia:
)( x 3x 4 x ) : x ;
a − + −
2
) x : ;
2
b − x y+ xy − x
(44)2
)(3 6 12 ) : (3 y).
c x y + x y − xy x
Giải
3
)( x x x ) : x x x;
a − + − = − + −
2 2
) x : x xy y ;
b − x y+ xy − x= − + −
2
)(3 6 12 ) : (3 y) xy xy 4.
c x y + x y − xy x = + −
Ví dụ 5: (Bài 65 trang 29 SGK)
Làm tính chia: 2
3(x y) 2(x y) 5(x y) : (y x)
− + − − − −
Giải
Ta có 2
(y x− ) = −(x y) nên :
4 2
3(x y) 2(x y) 5(x y) : (y x) 3(x y) 2(x y)
− + − − − − = − + − −
Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Phương pháp giải
• Trước hết rút gọn biểu thức cách chia đơn thức cho đơn cshoawcj đa thức cho đơn thức
• Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn
Ví dụ 6: (Bài 61 trang 27 SGK)
Tính giá trị biểu thức sau: 2
15 x y z : x y z với x = 2, y = -10, z = 2004
Giải
Ta có : 2
15 x y z : xy z =3x y. Với x = , y = -10 : 3
3x y=3.2 ( 10)− = −240.
Dạng 3: KHƠNG LÀM TÍNH CHIA , XÉT XEM ĐA THỨC A CÓ CHIA HẾT CHO ĐƠN THỨC B KHÔNG
Phương pháp giải
A muốn chia hết choB mội hạng tử A phải chia hết cho B
Ví dụ 7: (Bài 66 trang 29 SGK)
Khi giải tập :"Xét xem đa thức
5 4 6
A= x − x − x y có chia hết cho
đơn thức B=2x2hay không ?"
Hà trả lời :"A không chia hết cho B khơng chia hết cho 2"
(45)Quang trả lời:"A chia hết cho B hạng tử A chia hết cho B"
Ý kiến em?
Giải
Ý kiến em:quang trả lời
Ví dụ 8: (Bài 63 trang 28 SGK)
Khơng làm tính chia,hãy xét xem đa thức a có chia hết cho đơn thức B không ?
2
15 17 18 ; 6
A= xy + xy + y B= y
Giải
A chia hết cho B
15xy ,17xy ,18y chia hết cho 6 y2
C LUYỆN TẬP
1.(Dạng 1) Làm tính chia
12
)25 : ;
a
12 24
49
: ;
25
25 49
1
:
9
12 4
) : ;
25
b − x y z x yz
5 3
21xy z : xy z . −
2.(Dạng 1) Làm tính chia
)13( ) : 5( ) ;
a a b− a b−
6
3
b) (x ) : (x )
2 y y
− − −
c)(x +8) : (x 2).+
3.(Dạng 1) Làm tính chia
2
)(5 2 ) : x ;
a x − x +x
2
) : ;
3
b xy + x y + x y xy
4 3
c)(15x y −20x y −25x y ) : x y ;−
10 15 10
d) :
3 x yz xyz xyz xyz
− + −
4.(Dạng 2) Tính giá trị biểu thức 4
( 15 x y z ) : (5 x− y z )
với
, , 10000
3
x= − y= − z=
(46)§ 12.CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
•Phép chia hai đa thức xếp thực tương tự phép chia hai số tự nhiên
• Đối với hai đa thức biến A,B tùy ý ,B≠0tồn hai đa thức Q R cho A=B Q +R,Trong R=0 bậc R thấp bậc B Khi R=0 phép
chia A cho B phép chia hết
•Muốn tìm hạng tử cao đa thức thương Q ta chia hạng tử cao đa thức bị chia A cho hạng tử cao đa thức chia B •Để tìm hạng tử thứ hai đa thức thương ta chia hạng tử cao dư thứ cho hạng tử cao đa thức chia
•Chia đến bậc đa thức dư R bé bậc đa thức chia B
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC
Phương pháp giải
- Sắp xếp đa thức biến theo lũy thừa giảm dần - Các bước chia đa thức xếp
+ Trình bày phép chia phép chia số tự nhiên
D E A+ +B C +
+ Chia hạng tử cao đa thức bị chia cho hạng tử cao đa thức chia ta hạng tử cao đa thức thương
+ Chia hạng tử cao dư thứ cho hạng tử cao đa thức chia ta hạng tử thứ hai đa thức thương
…
Chú ý Nếu đa thức bị chia khuyết bậc trung gian viết ta để trống
khoảng ứng với bậc khuyết
Ví dụ (Bài 67, trang 31 SGK)
Sắp xếp đa thức sau làm phép chia :
a) ( 2) ( )
7 :
x − x+ −x x−
b) ( ) ( )
2x −3x −3x − +2 6x : x −2
Giải a)
(47)2 2 +3 +2
+3
2 +3 +3 x
x x x
x x x x x x x x x x − − − − − − − − − − − −
Vậy ( 2) ( )
7 :
x − x+ −x x− =x + x−
b)
4
4
2 3
2
x x x x
x x − − + − − − 2 x −
2x −3x+1
3
2
3
3
x x x
x x − + + − − − + 2 2 x x − − −
Vậy : 2
(2x −3x −3x + −6x 2) : (x − =2) 2x − +3x 1
Ví dụ ( Bài 69, trang 31 SGK)
Cho hai đa thức
3 6 5, B=x 1
A= x + + −x x + Hãy chia A cho B viết A
dưới dạng A=B Q +R
Giải Thực chia A cho B
4
4
3
3x + 3x
x +x + x−
−
2
x +
2
3x + −x
3
3
3
x x x
x x
− + −
−
+
(48)
2
2
3 5
3
x x
x
− + −
−
− −
5x − +
Vậy: 2
3x + + − =x 6x 5 (x +1)(3x + − + −x 3) 5x 2
Ví dụ ( Bài 70, trang 32 SGK)
Làm tính chia:
a) 2 2
(15x y −6x y−3x y ) : 6x y
b) 2
(25x −5x +10 ) : 5x x
Giải a) 2 2
(15 ) :
2
x y − x y− x y x y= xy− − y
b) 2
(25x −5x +10 ) : 5x x =5x − +x 2
Ví dụ ( Bài 72, trang 32 SGK)
Làm tính chia: 2
(2x + −x 3x + −5x 2) : (x − +x 1). Giải
4
4
2
2 2
x x x x
x x x
+ − + −
−
− +
1
x − +x
2
2x +3x−2
3
3
3 5
3 3
x x x
x x x
− + −
−
− +
2
2
2 2
2 2
x x
x x
− + −
−
− + −
Dạng 2: TÍNH NHANH
Phương pháp giải
Sử dụng đẳng thức đáng nhớ
Ví dụ ( Bài 68, trang 31 SGK) Tính nhanh:
a) 2
(x +2xy y+ ) : (x y+ );
(49)b) 2
(125x +1) : (5x+1); c) (x −2xy y+ ) : (y x− ) Giải
a) 2
(x +2xy y+ ) : (x y+ = +) (x y) : (x y+ = +) x y
b)
(125x +1) : (5x+ =1) 25x + +5x 1
c) 2
(x −2xy y+ ) : (y x− = −) (y x) : (y x− = −) y x
Ví dụ ( Bài 71, trang 32 SGK)
Không thực phép chia, xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B khơng
a) 2
15 ; B=
2
A= x − x +x x
b)
2 1; B=1-x.
A x= − +x
Giải a) A chia hết cho B
15x ,8x
x chia hết cho
2x b) A chia hết cho B ( )2
1 = −
A x
Ví dụ (Bài 73, trang 32) Tính nhanh:
a) ( 2) ( )
4x −9y : 2x−3y b) (27x3−1 : 3) ( x−1)
c) ( ) ( )
8x +1 : 4x −2x+1 d) (x2−3x+xy−3y):(x+y) Giải
a) ( 2) ( ) ( )( ) ( )
4x −9y : 2x−3y = 2x−3y 2x+3y : 2x−3y =2x+3y
b) ( ) ( )
27x −1 : 3x− =1 9x +3x+1
c) ( ) ( )
8x +1 : 4x −2x+ =1 2x+1
d) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3
− + − = − + − = + −
x x xy y x x y x x y x
Do đó: ( ) ( )
3 :
− + − + = −
x x xy y x y x
Dạng ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ BÉZOUT ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC RA THỪA SỐ
Phương pháp giải
• Định lí Bézout
Dư phép chia đa thức f x( ) cho x a− f a( ) ( f a( ) giá trị đa thức
( )
f x x a= )
• Hệ
(50)- Nếu f x( ) chia hết cho x a− f a( )=0 - Nếu f a( )=0 f x( ) chia hết cho x a−
Chứng minh: Lấy f x( ) chia cho x a− dư λ Ta có:
( ) (= − ) ( ) +λ
f x x a q x (1)
Thay x a= vào (1) ta được: f a( )=λ Vậy f a( ) dư phép chia f x( ) cho
−
x a
Ví dụ (Bài 74, trang 32 SGK)
Tìm số a để đa thức ( )
2
= − + +
f x x x x a chia hết cho đa thức x+2
Giải
( )
f x chia hết cho x+2 f( )− =2 tức khi:
( )3 ( ) ( )2
2 −2 −3 −2 + − + = ⇒ =2 a a 30
Ví dụ Cho đa thức ( )
3 4
= − + −
f x x x x Chứng minh f x( ) chia hết cho x−2 Tìm thương phép chia f x( ) cho x−2 Từ phân tích đa thức
3
3x −7x +4x−4 thừa số
Giải
Thay x=2 vào f x( ) ta được: f ( )2 =3.23−7.22+4.2 4− =0 Vậy f x( ) chia hết cho x−2 Thực phép chia đa thức f x( ) cho x−2 ta thương q x( )=3x2− +x
Vậy : ( )( )
3x −7x +4x− =4 x−2 3x − +x
Dạng TÌM SỐ NGUYÊN n ĐỂ BIỂU THỨC A n( )
CHIA HẾT CHO BIỂU THỨC B n( )
Phương pháp giải
• Thực phép chia đa thức A n( ) cho B n( )
• Giả sử: ( )
( )= ( )+ ( )( )
A n R n
Q n
B n B n Xác định n để
( ) ( )
R n
B n số nguyên
Ví dụ 10 Tìm tất giá trị ngun n để 2n2+3n+3chia hết cho 2n−1.
Giải
Thực phép chia 2n2+3n+3 cho 1n− ta được:
2
2 3
2
2
+ + = + +
− −
n n
n
n n
(51)Để
2
2 3
+ + −
n n
n số nguyên
5
2n−1 phải số nguyên Suy 1n− ước Ước bao gồm số ±1, 5±
Với 2n− = −1 ta có n=0 Với 1n− = ta có n=1 Với 2n− = −1 ta có n= −2 Với 2n− = −1 ta có n=0 Với 2n− =1 ta có n=3
Vậy vớin=0; 1; -2; 3thì 2n2+3n+3chia hết cho 1n−
Tóm lại 4 3 ( )2( 2 )
3x −4x + =1 x−1 3x +2x+1
• Tìm nghiệm đa thức với biến cho • Áp dụng Định lý Bézout (dạng 3)
Để tìm dư phép chia f x( ) cho x−αvà tìm đa thức thương q x( )ta dùng
cách sau:
+ Thay giá trị đặc biệt x gọi phương pháp xét giá trị riêng + Thực phép chia đa thức f x( ) cho f x( )
+ Dùng sơ đồ Horner để tính hệ số đa thức thương dư sau:
Giả sử: ( )
1
n n
n n
f x =a x +a −x − + +a x+a ;
( )
1x
n n
n n
q x =b x − +b− − + +b x b+
Các hệ số biđược tính sau :
n
a an−1 an−2 a1
α bn
n
a
=
1
n
b−
1
n n
b a
α −
= +
2
n
b−
1
n n
b a
α − −
= +
b1
2
b a
α
= +
Dư λ α= b1+a0
Chẳng hạn, phân tích ( )
3
f x = x − x + thành nhân tử Ta có x=1 nghiệm đa thức f x( ) f ( )1 =0 nên f x( ) chia cho x−1 Thực phép chia đa thức
( )
f x cho x−1 ta thương q x( )=3x3−x2− −x dùng sơ đồ Horner sau:
3 −4 0
1 −1 −1 −1
Vậy ( ) ( )( )
1
f x = x− x −x − −x
Ta lại có q( )1 =0 với q x( )=3x3−x2− −x nên
(52)( ) ( )( )
1
q x = x− x + x+
3 −1 −1 −1
1
Dạng PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Phương pháp giải
Ví dụ 11 Phân tích thành nhân tử đa thức sau phương pháp xét giá trị riêng
( ) ( ) ( )
)
a P=ab a b− +bc b c− +ca c a− ; ( 2) ( 2) ( 2)
) Q=a
b b −c +b c −a +c a −b ;
Giải
)
a Nếu thay a b P=b2(b b− +) bc b c( − +) cb c b( − )=0nên Pchia hết cho a b− Vì
vai trị a b c, , như đa thức nên P chia hết cho (a b b c c a− )( − )( − ) Trong
phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc ba biến, đa thức chia(a b b c c a− )( − )( − )
cũng có bậc ba biến nên thương số k Trong đẳng thức :
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
ab a b− +bc b c− +ca c a− =k a b b c c a− − −
Ta cho biến nhận giá trị riêng a=2, b=1, c=0ta được: ( )
2.1.1 0+ + =k.1.1 − ⇒ = −2 k Vậy P=(a b b c a c− )( − )( − )
)
b Tương tự Q=(a b b c c a− )( − )( − )
Ví dụ 12 Phân tích đa thức 3
3
a +b + −c abc thành nhân tử
Giải
Cách Xem ( ) 3
3
f x =a − abc b+ +c là đa thức bậc ba a Ta có:
( ) ( )3 ( ) 3 3
3
f − −b c = − +b c + b+c bc b+ +c =
( )
f a chia hết cho a b c+ + Thực phép chia đa thức f a( ) cho a b c+ + dùng sơ
đồ horner để tìm đa thức dương:
1 −3bc 3
b +c
b c
− − − −b c 2
b +c −bc
Đa thức thương ( ) ( ) 2
q x =a − +b c a b+ + −c bc
Vậy: ( ) ( ) ( ) 2
f a = a+ +b c a − +b c a+b +c −bc
(53)Hay: 3 ( )( 2 )
3
a +b + −c abc= a+ +b c a +b +c −ab bc ca− −
Cách Thay a b c− − đa thức có giá trị nên 3
3
P=a +b + −c abc chia hết cho
a b c+ +
P có bậc ba biến, a b c+ + có bậc nên thương đa thức bậc hai biến a, b, c có vai trị nên thương có dạngk a( 2+b2+c2)+l ab bc( + +ca)
với k l số Ta có hẳng đẳng thức:
3 3 2
3 ( )[ ( ) ( )]
a + + −b c abc= + +a b c k a + +b c +l ab bc ca+ +
Thay a=1,b= =c ta k =1
Thay a= =b 1,b=0 ta : 2(2 )= +l suy l= −1
Vậy : 3 2
3 ( )( )
a + + −b c abc= + +a b c a + + −b c ab bc ca− −
Dạng TÌM CÁC HỆ SỐ ĐỂ ĐA THỨC f(x) CHIA HẾT CHO g(x)
Phương pháp giải
Ví dụ 13 Xác định hệ số a b để đa thức
( )
f x =x +ax +b chia hết cho
2
( )
g x =x − x+
Tìm đa thức thương
Giải Cách Phân tích ( )g x thành nhân tử:
2
( ) 2 ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)
g x =x − −x x+ =x x− − x− = −x x−
Nếu ( )f x chia hết cho ( )g x ( )f x chia hết cho x−1 chia hết cho x−2 Theo định lí Bezout ta có: (1) 0f = (2) 0f = Thay x=1;x=2 vào ( )f x ta : 1+ + =a b 16 4+ a b+ =0 Từ suy a= −5,b=4
• Đa thức f(x) gọi chia hết cho đa thức g(x) có đa thức q(x) cho
Chẳng hạn : chia hết cho
• Để xác định hệ số đa thức cho f(x) chia hết cho g(x) ta sử dụng phương pháp :
+ Định lí Bezout : ‘’ Nếu f(x) chia hết cho ‘’
+ Thực phép chia đa thức tìm đa thức dư :
, sau cho
+ Dùng đồng
(54)Thực phép chia đa thức
( )
f x =x − x + cho đa thức x2−3x+2 ta
thương
( )
q x =x + x+
Cách Lấy đa thức ( )f x chia cho đa thức ( )g x đa thức dư
( ) (3 15) 14
r x = a+ x b+ − a− đa thức thương q x( )=x2+3x a+ +7
2
4
2
4
3
3
2
3
3
3
3 ( 2)
3
( 7)
( 7) 3( 7) 2( 7)
(3 15) 14
x x
x ax b
x x a
x x x
x a x b
x x x
a x x b
a x a x a a x b a
− +
+ +
+ + +
− +
+ − +
− +
+ − +
+ − + + +
+ + − −
Để ( )f x chia hết cho ( )g x dư ( ) (3 15)r x = a+ x b+ −2a−14 phải đồng tức : 15 0a+ = b−2a−14=0 Suy a= −5,b=4 Khi đa thức thương
2
( )
q x =x + x+
Cách Giả sử đa thức thương
( )
q x =x + +cx d Ta có đồng hai đa thức:
4 2
( 2)( )
x +ax + ≡b x − x+ x + +cx d
Thực phép nhân đa thức vế phải ta được:
4
( 3) ( ) (2 )
x −ax + =b x + −c x + d+ − c x + c− d x+ d
Từ suy : c− =3 0,d+ −2 3c=a c, −3d =0,b=2d Hay c=3,d =2,a= −5,b=4 Vậy với a= −5,b=4 ( )f x chia hết cho ( )g x đa thức thương q x( )=x2+3x+2 Dạng TÌM DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC
Phương pháp giải
Ví dụ 14 Tìm dư phép chia đa thức :
a) 100
( )
f x = +x +x +x + +x cho x+1 ;
b)
( ) 70
f x = x − x + x − +x cho x−6 ;
Giải
• Dư phép chia đa thức cho đa thức với bậc nhỏ bậc
(bậc < bậc )
• Dư phép chia cho Để tính ta dùng sơ đồ Horner (xem dạng 5)
Thật vậy, giả sử : Với ta có:
(55)a) Dư phép chia f x( ) cho x+1 f ( )− =1 51 b) Dư phép chia f x( ) cho x−6 f ( )6 =571
2 −70 −1
6 12 16 95 571
Ví dụ 15 Tìm dư phép chia đa thức ( )
1
f x =x + +x cho đa thức g x( )=x3−x
Giải
Cách Thực phép chia đa thức f x( ) cho g x( ) ta được:
5
5
3
1
1
1
2
x x x x x x x
x x x x x
+ + −
−
− +
+ + −
− + Do đó: ( )( )
1
x + + =x x −x x + + x+ Vậy dư cần tìm 1x+
Cách Giả sử ( ) ( ) ( ) ( )
f x = x −x q x +r x Vì bậc g x( ) nên bậc r x( ) không
quá
Đặt ( )
r x =ax +bx c+ , ta có:
( )( ) ( )
1 1
x + + =x x x− x+ q x +ax +bx c+ (1)
Lần lượt thay x=0, −1, vào (1) ta được:
c= −1,a b− + =c 3,a+ + = −b c
Suy a=0,b=2,c=1 Vậy dư cần tìm 1x+
Ví dụ 16 Cho đa thức f x( ), phần dư phép chia f x( ) cho x cho x−1 Hãy tìm phần dư phép chia f x( ) cho x x( −1)
Giải
Theo Định lí Bézout ta có f( )0 =1 f ( )1 =2 Vì x x( −1) có bậc hai nên dư phép chia f x( ) cho x x( −1) có bậc khơng q Giả sử dư r x( )=ax b+ ta có:
( ) ( 1) ( )
f x =x x− q x +ax b+ (1)
Thay x=0 vào (1) ta : f ( )0 = = b Thay x=1 vào (1) ta được: f( )1 = + = a b Từ suy a= =b Vậy dư cần tìm x+1
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Sắp xếp đa thức làm phép chia:
a) ( ) ( )
6x +2x −2x −15x +x +7x−2 : x+3x −1 ;
(56)b) ( ) ( )
17x −6x +5x −23x+7 : 3− x −2x ;
2 (Dạng 2) Làm tính chia:
a) ( 4 3) ( 2)
15x y −10x y +5xy : −5xy ;
b) ( )( ) ( 2) ( )
7 2x 5y 2x 5y 14x 3y : 3y
− + − − −
3 (Dạng 2) Thực phép chia đa thức sau cách phân tích đa thức bị chia
thành nhân tử:
a) ( ) ( )
1 : ;
x +x +x + x +
b) ( ) ( )
5 : ;
x + x+ x+
c) ( ) ( )
12 :
x +x − x−
4 (Dạng 3) Xác định a để đa thức x3−3x+a chia hết cho (x−1 )2
5 (Dạng 4) Tìm tất số nguyên n để 2n2+ −n chia hết cho n−2
6 (Dạng 5) Dùng sơ đồ Horner phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)
7 6;
x − x− b) x3+4x2−7x−10;
c)
6 11 6;
x − x + x− d) x3−19x−30
7 (Dạng 5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng:
a) ( )3 3 3 3
;
a+ +b c −a − −b c
b) 3( ) 3( ) 3( )
;
a b c− +b c a− +c a b−
c) ( )5 5 5 5
;
a+ +b c −a − −b c
d) 2 2 2 4
2a b +2b c +2c a −a −b −c
8 (Dạng 6) Xác định a b, để đa thức f x( )=x4−3x3+ +x2 ax b+ chia hết cho đa thức
( )
3
g x =x − x+
9 (Dạng 6) Xác định m để đa thức x3+y3+ +z3 mxyz chia hết cho đa thức x+ +y z
10 (Dạng 7) Xác định a b, để đa thức f x( )=x10+ax3+b chia hết cho
1
x − có dư
2x+1
11 (Dạng 7) Tìm dư phép chia:
a) 2
( ) ( 1)n n
f x = − +x x − x + + − nx cho x+1;
b) 100 50 25
( )
f x =x −x + x − cho
1
x −
12 (Dạng 7) Xác định a b, để đa thức 2x3+ax+b chia cho x+1 dư −6, chia cho x−2 dư 21
(57)ÔN TẬP CHƯƠNG I
A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
75 Làm tính nhân: a) 2
5 (3x x −7x+2); b) 2
.(2 )
3xy x y− xy+y
Giải
a) 2
5x (3x −7x+ =2) 15x −35x +10x ;
b) 2 2 2
.(2 )
3xy x y− xy+y =3x y − x y +3xy
76 Làm tính nhân:
a) 2
(2x −3 )(5x x −2x+1) b) (x−2 )(3y xy+5y2+x)
Giải
a) 2 3
(2x −3 )(5x x −2x+ =1) 10x −4x +2x −15x +6x −3x
10x 19x 8x 3x
= − + −
b) 2 2 2
(x−2 )(3y xy+5y + =x) 3x y+5xy +x −6xy −10y −2xy=3x y−xy +x −10y −2xy
77 Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
a) 2
4
M =x + y − xy x=18 y=4;
b) 2
8 12
N = x − x y+ xy −y x=6 y= −8
Giải
a) Ta có
( )
M = −x y Với x=18 y=4 thì:
2
(18 2.4) 10 100
M = − = =
b)
(2 )
N = x−y Với x=6 y= −8 thì:
3
(2.6 8) 8000
N = + =
78 Rút gọn biểu thức sau: a) (x+2)(x− − −2) (x 3)(x+1);
b) 2
(2x+1) +(3x−1) +2(2x+1)(3x−1)
Giải
a) Ta có 2
(x+2)(x− − −2) (x 3)(x+ =1) x − −4 (x + −2 3x−3)
2
4 3
x x x x
= − − − + + 2x
= −
b) 2
(2x+1) +(3x−1) +2(2x+1)(3x− =1) [(2x+ +1) (3x−1)]
2
(5x ) 25x
= =
79 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2
4 ( 2)
x − + −x b) x3−2x2+ −x xy2
b)
4 12 27
x − x − x+
Giải
(58)a) 2
4 ( 2) ( 2)( 2) ( 2)
x − + −x = −x x+ + −x
(x 2)[(x 2) (x 2)] (x x 2)
= − + + − = −
b) 2 2
2 ( 1) )
x − x + −x xy =x x − x+ −xy =x x[( −1)2−y2]
( )( )
x x y x y
= − − − +
c) 3
4 12 27 ( 27) 4( 3)
x − x − x+ = x + − x+
2
(x 3)(x 3x 9) 4(x 3)
= + − + − +
2
(x 3)(x 3x 5)
= + − +
80 Làm tính chia:
a)
(6x −7x − +x 2) : (2x+1)
b) 2
(x − +x x +3 ) : (x x −2x+3)
c) 2
(x −y +6x+9) : (x+ +y 3)
Giải
a)
¯
¯ ¯
Vậy 2
(6x −7x − +x 2) : (2x+ =1) 3x −5x+2 b)
¯
¯
Vậy: (x4− +x3 x2 +3 ) : (x x2−2x+ =3) x2+x
c) 2 2 2
6 ( 9) ( 3)
x −y + x+ = x + x+ −y = +x −y
(x y x)( y) = + − + +
Do đó: 2
(x −y +6x+9) : (x+ + = + −y 3) (x y x)( + +3 y)
81 Tìm x, biết:
a) 2
( 4)
3x x − = b)
2
(x+2) − −(x 2)(x+ =2)
c)
2 2
x+ x + x =
3
6x −7x − +x 2x+1
3
6x +3x 3x2−5x+2
10x x
− − +
10x 5x
− −
4x+2
4x+2
4
3
x −x +x + x x2−2x+3
4
2
x − x + x x2+x
2
x − x + x
2
x − x + x
(59)
Giải
a) Ta có: 2
( 4) ( 2)( 2)
3x x − = 3x x− x+ Do đó:
( 2)( 2)
3x x− x+ = x=0, x=2 x= −2
b)
(x+2) − −(x 2)(x+ = +2) (x 2)(x+ − + =2 x 2) 4(x+2) Vậy 4(x+2)=0 x= −2
c)
(1 2 )
x + x+ x = hay x(1 2 )+ x =0 Vậy x=0,
2
x= −
82 Chứng minh rằng:
a) 2
2
x − xy+y + > với x,y;
b)
1
x−x − < với x
Giải
a) Ta có 2
2 ( )
x − xy+y + = −x y + Vì (x−y)2 ≥0 nên (x−y)2+ ≥1 với x,y
b) 2 1
1 ( )
2 4
x−x − = − x − − = −x x − x + +
2
1
0
2
x
= − − − <
với x
83 Tìm n∈ để 2n2− +n chia hết cho 2n+1
Giải
Ta có: 2n2− + =n 2 (2n+1)(n− +1) 3
2n − +n chia hết cho 2n+1 ước
Ước bao gồm ±1, ±3
Từ tìm n∈ −{ 1; 0;1; 2}−
B BÀI TẬP BỔ SUNG
1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)
7
a − a− ;
b)
4 10
a + a − a− ;
c) 2
( ) ( ) ( )
a b c+ +b c a+ +c a b+ − abc;
d) 2
(a +a) +4(a + −a) 12;
e) 2
(x + +x 1)(x + + −x 2) 12; f)
1
x + +x ;
g) 10
1
x +x + ;
h) 3
( ) ( ) ( ) ( 1)
x z−y +y x−z +z y−x +xyz xyz− ;
i) 3 3
(x+ +y z) − + −(x y z) − + −(y z x) − + −(z x y)
(60)2 Cho a b c, , thỏa điều kiện ab+ac+bc=1 Chứng minh (1+a2)(1+b2)(1+c2) bình phương số hữu tỉ
3 a) Phân tích thành nhân tử 3
3
x +y + −z xyz;
b) Chứng minh
x −yz=z, y2−zx=b, z2−xy=c ( , ,x y z∈) ax by+ +cz
chia hết cho a+ +b c
4 Tìm cặp số ( ; ); ,x y x y∈ thỏa mãn đẳng thức:
a) x+ =y xy b) 5xy−2y2−2x2 = −2
5 Xác định a cho (10x2−7x a+ ) chia hết cho (2x−3)
6 Tính giá trị biểu thức 3
3
x + xy+y biết x+ =y
(61)Chương II
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1.Định nghĩa
Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng Α
Β,
A, B đa thức B khác
A gọi tử thức (hay tử); B gọi mẫu thức (hay mẫu)
• Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức
2 Hai phân thức
A C
B =D AD = BC
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Để chứng minh A C
B =D ta chứng minh AD = BC
Ví dụ (Bài 1, trang 36 SGK)
Dùng định nghĩa hai phân thức , chứng tỏ rằng:
5 20 )
7 28
y xy
a
x
= ; ) ( 5)
2( 5)
x x x
b x
+ =
+ ;
2
2 ( 2)( 1) )
1
x x x
c
x x
+ + +
=
− − ;
2
2
)
1
x x x x
d
x x
− − = − +
+ − ;
3
8
)
2
x
e x
x x
+ = +
− + ;
Giải
a) Ta có 28y x7.20xy nên 20
7 28
y xy x
= ;
b) Vì 2.3x x 5 2x x5 nên ( 5)
2( 5)
x x x
x
+ =
+ ;
c) Ta có x2x2 1 x 2x1x1 nên
2
2 ( 2)( 1)
1
x x x
x x
+ + +
=
− − ;
(62)d) Ta có: x2 x 2x 1 x32x2 x 2 ; x1x23x 2 x32x2 x 2
Do x1x23x 2 x2 x 2x1 suy ra: 2
1
x x x x
x x
− − = − +
+ −
e) Vì x3 8 x 2x22x4 nên
2 2 x x x x + = + − + ;
Ví dụ (Bài 2, trang 36 SGK)
Ba phân thức sau có khơng:
2 2 x x x x − − + ; x x −
; x2 24x
x x
− + −
Giải
Ta có: 2
2 2 ( 1)( 1) 2( 1)
x − x− =x − − x− = −x x+ − x+
=(x+1)(x−3)
( 1);
x + =x x x+
2
4 4 ( 1)( 1) 4( 1)
x − x+ =x − − x+ = −x x+ − x−
=(x−1)(x−3);
( 1)
x − =x x x−
Ba phân thức trở thành:
( 1)( 3) ( 1) x x x x + − + ; x x
− ; ( 1)( 3) ( 1)
x x
x x
− −
−
Vì ( 1)(x+ x−3) x=(x−3)(x+1)x nên ( 1)( 3)
( 1)
x x x
x x x
+ − = −
+
Và x3x1xx1x3x nên x x
− = ( 1)( 3) ( 1)
x x
x x
− −
− ;
Vậy ba phân thức cho
Ví dụ (Bài 3, trang 36 SGK) Cho ba đa thức:
4
x − x, x2+4,
4
x + x Hãy chọn đa thức điền vào
chỗ trống đẳng thức đây:
2
16
x x − = x−
Giải
Ta có
16 ( 4)( 4)
x − = −x x+ Gọi chỗ trống đa thức A, ta có:
4 4 4
A x x x x
Vậy 4 24
A x x x x
Dạng TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN), GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) CỦA PHÂN THỨC
Phương pháp giải
(63)• T = a + [f(x)]2 ≥ 𝑎: Giá trị nhỏ T a f(x) =
• T = b – [f(x)]2 ≤ 𝑏: Giá trị lớn T b f(x) =
Nếu a > 0, T > a
T nhỏ (hoặc lớn nhất) T lớn (hoặc nhỏ nhất)
Ví dụ a) Tìm giá trị nhỏ phân thức: 14 3+ x−
b) Tìm giá trị lớn phân thức: 4 15 x x − + 4 15 x x − + Giải
a) Vì mẫu thức 14 > nên phân thức 14 3+ x−
có GTNN 3+ 2x−1 có GTNN
Vì nên 2x− ≥1 nên 3+ 2x− ≥1 , suy 3+ 2x− ≥1 có GTNN 2x –
= 0, tức
2
x= Khi GTNN phân thức
14
b) Mẫu thức dương nên phân thức có GTLN
4x 4x
− + có GTLN Ta có
4x 4x
− + =
1 (2− x−1) Vì −(2x−1)2 ≤0 nên (2− x−1)2 ≤1
GTLN phân thức
15
x=
Ví dụ Tìm GTLN phân thức: a) 2
2
x + x+ b)
3 2+ 2x−5
Giải
a) Ta có tử thức > mẫu thức là:
( )2
2
2 ( 1) 1
x + x+ = x + x+ + = x+ + >
nên phân thức có GTLN ( )2
1
x+ + có GTNN
Vì ( )2
1
x+ > nên (x+1)2+ >1 có GTNN x = – Vậy GTLN
2
5 2
x + x+ x = -
b) GTLN phân thức
2+ 2x−5
5
x=
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức để chứng minh đẳng thức sau:
3 4
5 )
7 35
xy x y a
x y
= ; ) 2( 3)2
( 3)
x x x
b
x x x
+ =
+ + ;
2
2 4
)
2
x x x c x x − = − + + − ; )
15 5
x x x x d
x
− =− −
−
2 (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, tìm đa thức A đẳng
thức sau:
(64)2
6
)
2
A x x a x x − = + − ;
4 7
)
2
x x x b x + − + = Α − ; 2
1
)
4
x x x c x x − = − + + + Α ; 2
2
)
2
x x d
x x x x
+ − = Α
+ −
3 (Dạng 2) Tìm GTNN phân thức:
2
4
)
3
x x
a + + ; ) |1 |
5
x
b + −
4 (Dạng 2) Tìm GTLN phân thức:
12 )
3 | 1| | 1|
a
x y
+ + + − ; 2
5 )
4
b
x + x+ y+y +
2 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 3 RÚT GỌN PHÂN THỨC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Nếu nhân chia tử thức mẫu thức phân thức với môt đa thức khác
0 phân thức phân thức cho
;
A A C
B = B C (C ≠0)
: ; :
A A C
B = B C (C≠0)
2 Nếu đổi dấu tử thức mẫu thức phân thức phân thức
phân thức cho
A A B B − = − ; A A B B − − =
3 Muốn rút gọn phân tức đại số ta phải:
- Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử; - Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung
A C A B C = B
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng ĐIỀN ĐA THỨC VÀO CHỖ TRỐNG ĐỂ CÓ ĐẲNG THỨC
(65)Phương pháp giải
• Biến đổi từ vế trái vế phải tính chất:
A A C
B = B C
: ; :
A A C
B = B C (C≠0)
• Lưu ý: A A A
B B B
− = −− =
−
Ví dụ (Bài 4, trang 38 SGK)
Cô giáo yếu cầu bạn cho ví dụ hai phân thức Dưới ví dụ mà bạn Lan, Hùng, Giang, Huy cho:
2
3
2 5
x x x x x x
+ = +
− − (Lan);
2
( 1)
1
x x x x
+ = +
+ (Hùng);
4 3 x x x x − − =
− (Giang);
3
( 9) (9 ) 2(9 )
x x
x
− = −
− (Huy)
Em dung tính chất phân thức quy tắc đổi dấu để giải thích viết đúng, viết sai Nếu có chỗ sai em sửa lại cho
Giải
Lan cho ví dụ vì: ( 3) 22
2 (2 5)
x x x x x
x x x x x
+ = + = +
− − −
Hùng cho ví dụ sai vì: ( 2 1)2 ( 1) : (2 1)
( 1) : ( 1)
x x x x
x x x x x x
+ = + + = +
+ + +
Giang cho ví dụ vì: (4 )
3 ( )
x x x x x x
− − − −
= =
− − −
Huy cho ví dụ sai vì: ( 9)3 (9 )3 (9 )2
2(9 ) 2(9 )
x x x
x x
− = − − =− −
− −
Ví dụ (Bài 5, trang 38 SGK)
Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau
3 2 ) ; 1 x x a x x + = − − 2
5( ) 5
)
2
x y x y b + = −
Giải
a) Ta có 32 2( 1) 2( 1) : ( 1)
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) : ( 1) ( 1)
x x x x x x x x
x x x x x x x
+ = + = + + =
− − + − + + −
b) Ta có: 5 5( )( ) 5( )
2( ) 2( )
x y x y x y x y
x y x y
− = − + = +
− −
Ví dụ 3: (Bài 6, trang 38 SGK)
(66)Đố: Hãy dùng tính chất phân thức để điền đa thức vào chỗ trống:
52
1 x x x − = − + Giải
Ta có: 52 ( 1) : ( 1)
1 ( 1)( 1) : ( 1)
x x x x x x x
x x x x x
− − − + + + +
= =
− + − − +
(Thực đa thức
1
x − cho đa thức x−1 đa thức thương x4+x3+x2+ +x 1) Dạng RÚT GỌN PHÂN THỨC
Phương pháp giải
Các bước rút gọn phân thức:
- Phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử - Chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung
A C A B C = B
Ví dụ (Bài 7, trang 39 SGK)
Rút gọn phân thức:
)6 52; x y a xy
10 ( )
) ;
15 ( )
xy x y b
xy x y
+ +
)2 2 ; x x c x + + 2
)x xy x y
d
x xy x y
− − + + − −
Giải
)6 52 3;
8
x y x
a
xy = y
2
3
10 ( )
) ;
15 ( ) 3( )
xy x y y
b
xy x y x y
+ =
+ +
)2 2 ( 1) ;
1
x x x x
c x
x x
+ = + =
+ +
) 22 ( ) ( ) ( )( 1) ( )
( ) ( ) ( )( 1) ( )
x xy x y x x y x y x y x x y
d
x xy x y x x y x y x y x x y
− − + = − − − = − − = −
+ − − + − + + − +
Ví dụ (Bài 8, trang 40 SGK)
Trong tờ giấy nháp cảu bạn cso ghi số phép rút gọn phân thức sau:
3 ) ; xy x a y = 3 ) ;
9 3
xy x b
y
+ = +
3 1
) ;
9 3
xy x x c y + = + = + + + 3 )
9
xy x d
y
+ = +
(67)Theo em chỗ đúng, chỗ nào sai? Em giải thích
Giải
a) Rút gọn phân
9
xy x
y = vì:
3
9 3.3
xy x y x y = y =
b) Rút gọn phân thức 3
9 3
xy x y
+ =
+ sai vì: 3.(3xy+ ≠3) (9y+3) .x
c) Rút gọn phân thức 3
9
xy x y
+ +
=
+ sai vì: (3xy+3).6≠(9y+9)(x+1)
d) Rút gọn phân thức 3
9
xy x y
+ =
+ vì:
3 ( 1)
9 9( 1)
xy x y x y y
+ = + =
+ +
Ví dụ (Bài 9, trang 40 SGK)
Áp dụng quy tắc đổi dấu rút gọn phân thức:
)36( 2)3; 32 16
x a
x
−
−
2
)
5
x xy b
y xy
− −
Giải
a) Ta có: 36( 2)3 36( 2)3 36( 2)3 9( 2)2; 32 16 16(2 ) 16( 2)
x x x x
x x x
− = − = − = −
− − − − −
b) Ta có: 22 ( )
5 5 ( )
x xy x y x x
y xy y y x y
− =− − = −
− −
Ví dụ (Bài 10, trang 40 SGK)
Đố Đố em rút phân thức:
24 1
x x x x x x x x
+ + + + + + +
−
Giải
Ta có:
7
6
6
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
+ + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + +
(68)Do đó: 24
1
x x x x x x x x x x
x x
+ + + + + + + = + + +
− −
Ví dụ (Bài 11, trang 40 SGK)
Rút gọn phân thức:
)12 52; 18 x y a xy
15 ( 5)
)
20 ( 5)
x x b x x + + Giải
)12 52 23;
18
x y x
a
xy = y
3
2
15 ( 5) 3( 5)
)
20 ( 5)
x x x
b
x x x
+ = +
+
Ví dụ (Bài 12, trang 40 SGK)
Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn phân thức:
)3 412 12; x x a x x − + − 2
7 14
) 3 x x b x x + + + Giải
a) Ta có:
2 2
4 3
3 12 12 3( 4) 3( 2) ;
8 ( ) ( 2)( 4)
x x x x x x x x x x x x x
− + = − + = −
− = − = − + +
Do đó: 412 12 3( 22)2 3(2 2)
8 ( 2)( 4) ( 4)
x x x x
x x x x x x x x x
− + = − = −
− − + + + +
b) Ta có:
2 2
2
7 14 7( 1) 7( 1) ;
3 3 ( 1)
x x x x x x x x x
+ + = + + = +
+ = +
Do đó: 214 7( 1)2 7( 1)
3 3 ( 1)
x x x x
x x x x x
+ + = + = +
+ +
Ví dụ 10 (Bài 13, trang 40 SGK)
Áp dụng quy tắc đổi dấu rút gọn phân thức:
) 45 (3 )3; 15 ( 3)
x x a x x − − 2
3 2
)
3
y x b
x x y xy y
−
− + −
Giải
3
2 2
3 2 3
45 (3 ) 45 ( 3)
) ;
15 ( 3) 15 ( 3) ( 3)
( ) ( )( )
)
3 ( ) ( ) ( )
x x x x a
x x x x x
y x x y x y x y x y b
x x y xy y x y x y x y
− = − = −
− − −
− = − − = − − + = − −
− + − − − −
(69)Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải
Phân tích tử mẫu phân thức vế trái (hoặc vế phải) đẳng thức cho thành nhân tử rút gọn phân thức ta kết
Ví dụ 11 Chứng minh rằng: 32 22 22 3
2
x xy y
x x y xy y x y
+ +
=
+ − − −
Giải
Phân tích tử thức thành nhân tử cách tách hạng tử:
2 2
2x +3xy+y =(2x +2xy)+(xy+y )=2 (x x+y)+y x( +y)=(x+y)(2x+y)
Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách nhóm hạng tử:
3 2 2 2
2x +x y−2xy −y =x (2x+y)−y (2x+y)=(2x+y x)( −y )=(2x+y x)( +y x)( −y)
Vậy: 32 22 22 3 ( )(2 )
2 (2 )( )( )
x xy y x y x y
x x y xy y x y x y x y x y
+ + = + + =
+ − − + + − −
Dạng TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp giải
• Trước hết, rút gọn biểu thức cách phân tích tử mẫu thành nhân tử ròi chia tử mẫu cho nhân tử chung
• Thay giá trị biến cho vào biểu thức rút gọn
Ví dụ 12 Tính giá trị biểu thức:
( 2)(2 232)
( 1)(4 )
x x x
x x x
− +
+ − với
1
x= −
Giải
Rút gọn biểu thức cho ta có:
2
3
( 2)(2 ) ( 2)2 (1 ) ( 2)2 (1 ) ( 1)(4 ) ( 1) (4 ) ( 1) (2 )(2 )
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
− + − + − +
= = = −
+ − + − + − + +
Thay
2
x= − vào biểu thức rút gọn ta được:
2 2
1
2 2
2
x
−
= − = = −
+ − +
Ví dụ 13 Tính giá trị biểu thức:
(70)2 3
) a b
a
a b với a=12, b= −36 ;
4
2
a )
+ a +
x a x b
a x x
−
với 3, ;
a= x=
3
6 )
4
x x x c
x x
+ −
− với x=98
Giải
2 3
) a b b
a
a b =a Với a=12, b= −36 ta được:
36 12
b
a = − = −
( )
4
2
) =
+ +
ax a x
b ax x a a ax x
− −
Với 3,
a= x= ta được:
( )=3.1
3 3
ax x a− − = −
3 2
3
6 ( 6) ( 6)
)
4 ( 4) ( 2)( 2)
( 2) 3( 2) ( 2)( 3)
( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x x x c
x x x x x x x x x x x x
x x x x x
+ − = + − = − + −
− − − +
− + − − + +
= = =
− + − + +
Với x=98.ta được: 98 101 98 100
x x
+ = + =
+ +
Dạng TÌM X THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
• Đưa đẳng thức cho dạng a.x = b • Tìm x: x b
a
= (với a # 0)
• Rút gọn biểu thức b
a
Ví dụ 14 Tìm x, biết:
,
bx−abx=b c−ab với a b số a≠1,b≠0
Giải
Ở vế trái đẳng thức cho, đặt x làm nhân tử chung:
2
(b−ab x) =b c−ab hay b(1−a x) =b bc( −a)
Vì a≠1,b≠0 nên b(1−a)≠0, chia hai vế cho b(1−a) ta được:
( ) ( )
(1 ) (1 )
b bc a bc a x
b a a
− −
= =
− −
Ví dụ 15 Tìm x, biết:
1
ax− + =x a với a≠1
(71)Giải
Chuyển số sang vế phải đẳng thức:
1
ax− =x a −
Đặt x làm nhân tử chung vế trái:
( 1)
x a− =a −
Vì a≠1 nên a− ≠1 0, chia hai vế cho a−1 ta được:
( 1)( 1)
1
a a a
x a
a a
− − +
= = = +
− −
Dạng CHƯNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN
Phương pháp giải
Bằng cách rút gọn phân thức đại số để phân thức rút gọn khơng cịn chứa biến
Ví dụ 16 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x y:
)( )2 2;
x a x a
x a
+ −
+
2
) ;
( )( )
x y b
x y ay ax
−
+ −
)2 3
4
ax x y ay c
ax x y ay
− − +
+ + +
Giải
a) Ta có ( )2 (2 )
2 (2 )
x a x a x a
a
x a x a
+ − = + =
+ + không phụ thuộc vào x
b) Ta có 2 2 22 22
( )( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y
x y ay ax x y a y x a x y a
− = − = − = −
+ − + − − − khơng phụ thuộc vào x,y
c) Ta có 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)(2 )
4 (2 3) (2 3) (2 3)(2 )
ax x y ay x a y a a x y a ax x y ay x a y a a x y a
− − + = − + − = − + = −
+ + + + + + + + + không
phụ thuộc vào x,y
Dạng RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
• Với điều kiện cho trước, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử • Rút gọn nhân tử chung
Ví dụ 17 Cho x y z
a = = ≠b c Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2
( )( )
( )
x z a b c
ax by cz
+ + + +
+ +
Giải
Đặt x y z k
a= = = ≠b c x=ka y, =kb z, =kz Thay vào phân thức cho ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
x z a b c k a k b k c a b c k a b c
ax by cz ka kb kc k a b c
+ + + + = + + + + = + + =
+ + + + + +
Ví dụ 18 Cho ax by+ +cz=0, rút gọn phân thức:
(72)Giải
Áp dụng đẳng thức
2 2
(x+ +y z) =x +y +z +2(xy+yz+zx),
Ta bình phương hai vế đẳng thức cho được:
2 2 2
2( ) 0,
a x +b y +c z + abxy+acxz+bcyz =
Suy ra:
2 2 2
2( )
a x +b y +c z = − abxy+acxz+bcyz (1)
Biến đổi mẫu thức:
2 2
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2
2( )
bc y z ac x z ab x y
bcy bcyz bcz acx acxz acz abx abxy aby
bcy bcz acx acz abx aby abxy bcyz acxz
− + − + −
= − + + − + + − +
= + + + + + − + +
(2)
Thay (1) vào (2) mẫu thức A bằng:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
bcy acx c z bcz abx b y acz aby a x
c by ax cz b cz ax by a cz by ax
ax by cz a b c
+ + + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + +
Vậy A
a b c
=
+ +
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Dùng tính chất phân thức, biến điền vào chỗ trống đẳng thức:
a)3x2 23 ;
x x x
− =
−
2
5
) ;
5( )
xy x b
x y x y
+ =
+ +
c)x2 2xy y2 2 2
x y x y
− + =
+ −
2 (Dạng 1) Biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức có mẫu thức: a)
3
x x−
2 x x + −
b) 2
6
x + x+
3 ; x x − + c)
( 1)( 2)
x
x− x+
1 ( 2)( 1)
x x x
−
+ +
3 (Dạng 2) Rút gọn phân thức: a) 17 3324 ;
34
xy z
x y z b) 2; 4 y xy xy y − −
c) 252;
x x x
−
− d)
2
2
( ) ( )
a a c
b b c
+ − + −
2
2
x xz xy yz x xz xy yz
+ − − + + +
4 (Dạng 2) Rút gọn phân thức:
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
ax by cz A
bc y z ac x z ab x y
+ +
=
− + − + −
(73)a) a x;
x a
−
− b)
5 2 ( ) ( ) ; x a x a − −
c) (x y2)(2x 3)
y yx
− +
−
5 (Dạng 3) Hãy chứng minh: a)
1;
x
x x x x x
− = + + + +
−
b) 22 22
x xy y x y
x xy y x y
+ − = +
− + −
6 (Dạng 1) Viết phân thức sau dạng phân thức có tử thức 3
:
x −y
a) x y;
x y
−
+ b)
2
x xy y x y
+ + −
7 (Dạng 4) Tính giá trị biểu thức: 3 2
3
x xy y y
y y y
− − +
− + − với
3
;
4
x= − y=
8 (Dạng 4) Cho a> >b 2
3a +3b =10ab Tính giá trị P b a
b a
− =
+
9 (Dạng 6) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
2
9 3 2
,
1 3
x xy x y
x
x y
− + − + − ≠
− − y≠1
10 (Dạng 5) Tìm x, biết:
a) 2
2 3;
a x+ =x a − b) a x2 +3ax+ =9 a a2( ≠0;a≠ −3)
11 (Dạng 7) Cho x<0 Hãy rút gọn phân thức 21
3
x x x A
x x
− + + =
− + 12 (Dạng 7) Cho a+ + =b c 3,rút gọn biểu thức:
33 3 33 3
( ) ( ) (
a b c abc
a b b c c a
+ + −
− + − + −
13 (Dạng 7) Cho b≠c a b, + ≠c c2+2ab−2ac−2bc=0 Hãy rút gọn phân thức:
2
2
( ) ( )
a a c
b b c
+ − + −
§4.QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Tìm mẫu thức chung (MTC) nhiều phân thức
Muốn tìm mẫu thức chung phân thức cho ta phải: • Phân tích mẫu thức thành nhân tử;
• Lấy tích BCNN hệ số với lũy thừa có mặt mẫu thức, số mũ lũy thừa số mũ cao mẫu thức
2 Cách quy đồng mẫu thức Muốn quy đồng mẫu thức ta phải:
• Tìm mẫu thức chung; tìm nhân tử phụ mẫu thức tương ứng
(74)• Nhân tử thức mẫu thức phân thức với nhân tử phụ
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng TÌM MẪU THỨC CHUNG CỦA NHIỀU PHÂN THỨC
Phương pháp giải
• Mẫu thức chung nhiều phân thức (tương ứng mẫu số chung phân số) Để có mẫu thức chung ta phải phân tích mẫu thức thành nhân tử (tương tự phân tích mẫu số thành thừa số ngun tố)
• Lấy tích BCNN hệ số lũy thừa chung riêng có mặt mẫu thức với số mũ cao
• Nhân tử phụ thương mẫu thức chung với mẫu thức
Ví dụ Tìm mẫu thức chung phân thức sau:
a) 3
2
; ;
15 10 20
y x x y x z y z
b) 2 x ; 2 z ; 2y 2
y −yz y +yz y −z
c) ; ;
2x−4 3x−9 50 25− x Giải
a) BCNN(15;10;20)=60
Số mũ cao x : ; số mũ cao y : ; số mũ cao z : Vậy MTC cần tìm : 3
60x y z
b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử, ta có :
( ) ( ) ( )( )
2 2
; ;
y −yz= y y−z y +yz= y y+z y −z = y−z y+z
Vậy MTC cần tìm : y y( −z)(y+z)
c) 2x− =4 2(x−2 ;3) x− =9 3(x−3 ;50 25) − x= −25(x−2) BCNN (2;3; 25)=150 Vậy MTC cần tìm : −150(x−2)(x−3) DẠNG QUY ĐỒNG MẪU THỨC
Phương pháp giải
• Trước hết tìm mẫu thức chung (dạng 1)
• Xác định nhân tử phụ : nhân tử phụ thương mẫu thức chung với mẫu thức
• Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ
Ví dụ (Bài 14, trang 43 SGK)
(75)Quy đồng mẫu thức phân thức sau :
a) 553; 73 4 12
x y x y b)
4 11
;
15x y 12x y
Giải
a) MTC :
12x y
Nhân tử phụ mẫu thức
x y : (12x y5 4) ( ): x y5 =12y Do :
5 5
5 5.12 60
12 12
y y
x y = x y y = x y
b) MTC :
60x y
Nhân tử phụ mẫu thức
15x y 4x ; nhân tử phụ mẫu thức 12x y4 5 y3 Do
:
3 5
4 4.4 16
15 15 60
x x
x y = x y x = x y
3
4 4
4 11.5 55
12 12 60
y y x y = x y y = x y
Ví dụ (Bài 15, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức phân thức sau :
a) ; 23
2x+6 x −9 b) 2
2 ;
8 16 12
x x
x − x+ x − x
Giải
a) ( ) ( )( )
2x+ =6 x+3 ;x − =9 x−3 x+3 MTC 2(x+3)(x−3)
Ta có
( ) ( ( )( ) )
5
5
2 3
x
x x x
− =
+ + − ; ( )( ) ( )( )
3
3 3
x− x+ = x+ x−
b)
( )2
2
8 16 4
x x
x − x+ = x− ; ( ) ( )
1
3 12 4
x x
x − x = x x− = x− MTC ( )
2
3 x−4 Ta có :
( )2 ( ) (2 ) ( )2
2
;
3
4 4
x x x
x
x x x
−
= =
−
− − −
Ví dụ (Bài 16, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu phân thức sau :
(76)a) 33 ; 21 ;
1
x x x
x x x
− + − −
− + +
b) 10 ; ;
2
x+ x− − x
Giải
a) ( )( )
: x 1
MTC − = x− x + +x Ta có :
( )( )
2
3
4 5
1 1
x x x x x x x x
− + − + = − − + + ( )( ) ( )( ) ( )
2 2
1
1 2
1 1
x x
x x x
x x x x x x x
− − − = = − + − + + − + + + + ( ) ( )( ) 2 1 x
x x x
− −
− =
− + +
b) Ta có : 2x− =4 2(x−2 ; 3) − x=3 2( −x)= −3(x−2) MTC 6(x−2)(x+2) Do :
( )
( )( )
60 10
2 2
x
x x x
− = + − + ( ) ( ( )( ) ) 15 5
2 2 2
x
x x x x
+
= =
− − − +
( ) ( ) ( ( )( ) )
2
1 1
6 3 2
x
x x x x x
− +
−
= = =
− − − − +
Ví dụ (Bài 17, trang 43 SGK)
Đố Cho hai phân thức : 35 2;3 22 18
6 36
x x x
x x x
+
− − Khi quy đồng mẫu thức, bạn
Tuấn chọn MTC 2( )( )
6
x x x
= − + , bạn Lan bảo “Quá đơn giản ! MTC = −x ” Đố em biết bạn chọn ?
Giải
Nếu không rút gọn hai phân thức cho bạn Tuấn làm đúng, :
( ) ( )( )
3 2
6 ; 36 6
x − x =x x− x − = x− x+ nên :
( )( )
2
6
MTC=x x− x+
Nếu rút gọn hai phân thức cho bạn Lan làm đúng, :
(77)( )
2
3 2
5 5
6 6
x x
x − x = x x− = x−
( )
( )( )
2
3
3 18
36 6
x x
x x x
x x x x
+
+ = =
− − + −
Ví dụ (Bài 18, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức hai phân thức :
a)
2
x
x+
3
x x
+
− ; b)
5 4
x
x x
+
+ +
x x+
Giải
a) 2x+ =4 2(x+2) ; x2− =4 (x−2)(x+2) MTC : 2(x+2)(x−2)
Ta có : (3 ) (3 ( )(2) )
2 2 2
x x x
x x x
− = + + − ( ) ( )( ) 2 3
4 2
x x
x x x
+ + =
− + −
b) 2 ( )2 ( )
4 ;3
x + x+ = x+ x+ = x+ MTC : 3(x+2)2 Ta có :
( )
( )2
3
5
4 3 2
x x
x x x
+
+ =
+ + +
( ) (( ))2
2
3 3 2
x x x x x + = + +
Ví dụ (Bài 19, trang 48 SGK)
Quy đồng mẫu thức phân thức sau :
a)
x+ ;
8
2x−x b)
2
1
x + ;
1
x x −
c) 3
3
x
x − x y+ xy −y ; x y −xy
Giải
a) Ta có ( ) ( )
2x−x =x 2−x = −x x−2 MTC : x x( +2)(x−2) Do :
( )
( )( )
2
2 2
x x
x x x x
− =
+ − +
(78)( ) ( ) ( ( )( ) )
2
8
8 8
2 2 2
x
x x x x x x x x x
− + −
= = =
− − − − +
b) MTC :
1
x − Ta có :
( )( )
2 2 1 1
1 1
x x x x x x x + − + − + = = = − −
c) Ta có : 3 2 2 3 ( )3 2 ( )
3 ;
x − x y+ xy −y = x−y y −xy= y y−x ; MTC y x( −y)3 Do :
( ) ( )
3 3
3
3 2
3
x x yx
x − x y+ xy −y = x−y = y x−y
( ) (( ))
2
x x y
x x
y xy y x y y x y
− −
= − =
− − −
Ví dụ (Bài 20, trang 47 SGK)
Cho hai phân thức 2
3 10
x + x− ; 10
x
x + x+ Khơng dùng cách phân tích mẫu
thức thành nhân tử chứng tỏ qiu đồng mẫu thức hai phân thức với mẫu thức chung :
5 20
x + x − x−
Giải
Thực phép chia đa thức :
5 20
x + x − x− cho mẫu thức ta :
( )( )
( )( )
3 2
3 2
5 20 10
5 20 10
x x x x x x x x x x x x
+ − − = + − +
+ − − = + + −
Ta có :
( )( )
2
1 2
3 10 10 20
x x
x x x x x x x x
+ +
= =
+ + + − + + − − ;
( )
( )( ) ( )
2
2
7 10 10 20
x x x x x
x x x x x x x x
− −
= =
+ + + + − + − −
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Tìm mẫu chung phân thức :
a) x a3
axb + ; 2 x b a xb + ; a b x b
+ b)
( )
2
x y x y z
−
− ; 2( )
y z y z x
−
− ; 2( )
z x z x y
− −
c)
( )2
2x
x−y ; 2
2 y
x −y
(79)2 (Dạng 1) Tìm mẫu thức chung :
a) 2
1
x
x − ;
3
x
x x x
−
+ + ;
2x
x
+
b)
x−y ; 3
1
x −y ; 2
1
x −y
3 (Dạng 2) Quy đồng mẫu phân thức sau :
a) a x
a x
+
;
3
x
x x x
−
+ + ; b a
b a
+
b)
( )2 x y
x y z
+
− ; 2( )2 y
x y−z
c)
( )2 x y
x y
+
− ; 2
1
x −y
4 (Dạng 2) Quy đồng mẫu phân thức sau :
a) 2 2
2
x
x − ax+a ;
3
x x
−
− b)
2x
x x
−
− ;
1
x x x
+ − +
c) 3
1
x x
− + ;
2
x x − +x ;
2
x+ d)
7 5x ;
4
x− y ; 2
x y
y x
− −
5 Quỹ đồng mẫu thức phân thức :
a) 72
2
x
x x
−
+ ;
3
x x
−
− b)
2x
x x
−
− ;
1
x x x
+ − +
c) 3
1
x x
− + ;
2
x x − +x ;
2
x+ d)
7 5x ;
4
x− y ; 2
x y
y x
− −
6 Cho hai phân thức : 2
2x +7x−15 ; 10
x
x + x− Chứng tỏ quy đồng mẫu
thức hai phân thức với mẫu thức chung :
2x +3x −29x+30
BÀI PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Cộng nhiều phân thức có mẫu thức
Quy tắc Muốn cộng nhiều phân thức có mẫu thức ta cộng tử thức với nhau,
giữ nguyên mẫu thức, rút gọn phân thức vừa tìm
A C A C
B B B
+
+ =
(80)2 Cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác
Quy tắc Muốn cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác ta phải quy đồng mẫu
thức cộng phân thức mẫu vừa tìm
A C AD BC AD BC B D BD BD BD
+
+ = + =
Ví dụ (Tr 99)
Thực phép tính sau:
2 3
3 5 )
7
5 4
)
2
1 18
)
5 5
x x
a
xy y xy y
b
x y x y
x x x
c
x x x
− + −
− + +
+ + − + +
− − −
Ví dụ 2( Tr 100)
Áp dụng quy tắc đổi dấu để phân thức có mẫu thức làm tính cộng :
2
2
2
)
1 1
4 2
)
3 3
x x x x a
x x x x x x x b
x x x
− + −
+ +
− − −
− − −
+ +
− − −
Ví dụ 3( Tr 100)
Theo quy tắc đổi dấu ta có : A A
B B
− =
− Do ta có
A A
B B
− =
− Chẳng hạn phân thức
đổi dấu
5−x là:
4 4
5 x (5 x) x
− = =
− − − − Áp dụng điều điền vào dấu chấm
dưới phân thứ thích hợp
2
2
)
1
)
5
x a
x x b
x
+
− =
− +
− =
−
Ví dụ 4( Tr101)
Làm tính trừ phân thức sau:
(81)2
4 )
3
4 5 )
2
11 18
)
2 3
2
)
10 4 10
x x
a
x y x y
x x b x x x x c x x x x d x x − − − + − − − − − − − − − − + − −
Ví dụ 5( Tr101)
Làm phép tính sau
2
3
2
4
)
10 10
7 6
)
2 ( 7) 14
xy y
a
x y x y
x x
b
x x x x
− − −
+ +
−
+ +
Ví dụ 6( Tr102)
Làm phép tính sau:
2
2
4 )
2
1 14
)
2 ( 4)( 2)
1
)
2 ( 2)(4 7)
1 1
)
3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7)
y x
a
x xy y xy x b
x x x x x c
x x x d
x x x x x
+ − − − + + + − + + − + + + + + + + + + + +
Ví dụ (Tr 103)
Một mèo đuổi bắt chuột Lần đầu mèo chạy với vận tốc x m/s Chạy m mèo bắt chuột Mèo vờn chuột 40 giây thả cho chuột chạy Sau 15 giây mèo lại đuổi bắt chuột với vận tốc nhỏ lần đầu 0,5m/s> Chạy 5m mèo lại bắt chuột Lần mèo cắn chết chuột, săn kết thúc Hãy biểu diễn qua x - Thời gian lần thứ mèo đuổi bắt chuột
- Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt chuột - Thời gian kể từ đầu đến kết thúc săn
Giải
Thời gian lần thứ mèo đuổi bắt chuột là:
x giây
(82)Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt chuột là:
0,
x− giây
Thời gian kể từ lần đầu đến kết thúc săn là:
3 5
40 15 55
0, 0,
x+ + +x− = +x + x−
( )
( ) (( )) ( )
3 0, 55 0, 5
0, 0, 0,
x x x
x x x x x x
− −
= + +
− − −
( )
2
3 1, 55 27, 5 0,
x x x x
x x − + − + = − ( )
55 19, 1, 0, x x x x − − = −
Ví dụ (Bài 25, trang 50 SGK)
Làm tính cộng phân thức sau:
a) 52 32 3;
2
x x y+ xy + y
b) 2( 3);
2
x x x x x
+ + −
+ +
c) 32 25 ;
5 25
x x
x x x
+ + −
− −
d)
2 1; x x x + + + −
e) 4 33 17 22
1 1
x x x
x x x x
− + + − +
− + + −
Giải
a) MTC
10x y
= Ta có:
2
2 3 3
5 25 10
2 10 10 10
x y xy x x y+ xy + y = x y + x y + x y
2
2
25 10
10
y xy x x y
+ +
=
b) MTC =2x x( +3 ) Ta có:
( ) ( ) ( ) (( 1)) 2(( 3))
1 3
2 3 3
x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
+ +
+ + + = + + + = +
+ + + + + +
( ) ( )
2
4 6
2 3
x x x x x
x x x x
+ + + + +
= =
+ +
( )( )
( )
2
2
x x x
x x x
+ + +
= =
+
c) Ta có: ( )
5 ;
x − x=x x− 25 5− x=5 5( −x)= −5(x−5 ;) MTC =5x x( −5 ) Do đó:
(83)( ) ( ) (( )) (( ))
2
5 25
3 25 25
5 25 5 5 5 5
x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
+ −
+ + − = + + − = +
− − − − − −
( ) ( )
2
15 25 25 10 25
5 5
x x x x x
x x x x
+ + − − + = = − − ( ) ( ) 5
5 5
x x x x x
− −
= =
−
d) MTC
1 x
= − Ta có:
( )( 2)
4 4
2
2 2
1
1 1
1
1 1
x x
x x x
x x
x x x x
+ − + + + + + = + + = + − − − − 4 2
1
1 x x x x − + + = = − −
e) MTC ( )( )
1 1
x x x x
= − = − + + Ta có:
( )( ) ( )
2
2
3
4 17 1
4 17
1 1
x x x x x x
x x x
x x x x x
− + + − − − + +
− + + − + =
− + + − −
2 2
3
4 17 2 6
1
x x x x x x x
x
− + + − − + − − −
=
−
( )( ) ( )((2 ) )
12
12 12 12
1 1
x x
x x x x x x x x
− −
− + −
= = =
+ +
− + + − + +
Ví dụ (Bài 26, trang 47 SGK)
Một đội máy xúc cơng trường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11 600 m3 đất Giai đoạn đầu nhiều khó khăn nên máy làm việc với suất trung bình x
m /
ngày đội 000
m Sau cơng việc ổn định hơn, suất máy tăng 25
3
m / ngày
a) Hãy biểu diễn:
Thời gian xúc 000 m3 đất đầu tiên; Thời gian làm nốt phần việc lại;
Thời gian làm việc để hồn thành cơng việc với x=250
m / ngày
Giải
a) Thời gian xúc 000
m đất là: 000
x (ngày)
Khối lượng cơng việc cịn lại là: 11600 000− =6 600
(m )
Thời gian làm nốt phần việc lại là: 600
25
x+ (ngày)
b) Thời gian làm việc với x=250
m / ngày là:
5 000 600
20 24 44
250 + 275 = + = (ngày)
Ví dụ 10 (Bài 27, trang 48 SGK)
Đố Rút gọn tính giá trị biểu thức:
(84)( )
( )
2 2 5
50
5 25
x
x x
x x x x
− +
+ +
+ + x= −4
Nếu coi tử số phân số tối giản mà em tìm ngày, cịn mẫu số tháng ngày lễ giới Đố em biết ngày gì?
Giải
Ta có: 5x+25=5(x+5 ;) MTC =5x x( +5 ) Do đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ) ( ( ))
2 2 5 10 5 5 5 50 5
50
5 5 5 5 5
x x x x
x x x
x x x x x x x x x x
− + − + +
+ + = + +
+ + + + +
( ) ( ) ( ( ) )
2
3 10 25
10 250 250 25 10 25
5 5 5
x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ + + − + + + + = = = + + + ( ) ( ) 5
5 5
x x x x x
+ +
= =
+
Với x= −4 ta có:
5
x+ =
Vậy ngày lễ giới ngày Quốc tế Lao động 1-5
Ví dụ 11 (Bài 30, trang 50 SGK)
Thực phép tính sau:
a) 2 ;
2 6
x
x x x
− −
+ + b)
4 2 x x x x − + + − − Giải
a) MTC =x(2x+6 ) Ta có:
( ) ( ) ( )
2
3 6
2 6 6
x x x x x
x x x x x x x x x
− − + − +
− = + =
+ + + + +
(22 66)
x
x x x
+
= =
+
b) MTC
1
x
= − Ta có:
( )( )
4
2
2 2
1
3
1
1 1
x x
x x x x
x
x x x
− +
− + − + −
+ − = +
− − −
( )
4
2
3
1
3
1
x
x x x
x x
− − − + −
= = =
− −
Ví dụ 12 (Bài 31, trang 50 SGK)
Chứng tỏ hiệu sau phân thức có tử a) 1 ;
1
x− x+ b) 2
1
z xy−x − y −xy
Giải
a) MTC =x x( +1) Ta có:
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x x x x x
+ + −
− = − = =
+ + + + +
b)
( );
xy−x =x y−x
( )
y − =x y−x MTC: xy y( −x) Ta có:
(85)( ) ( )
2
1 1
xy−x − y −xy = x y−x − y y−x
( y ) (x ) (y x )
xy y x xy y x xy y x xy
−
= − = =
− − −
Ví dụ 13 (Bài 32, trang 50 SGK)
Đố Đố em tính nhanh tổng sau:
1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6)
x x+ + x+ x+ + x+ x+ + x+ x+ + x+ x+ + x+ x+
Giải
Ta có: ( 1) 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x x x x x
+ − +
= = − = −
+ + + + +
Tương tự:
1 1
; (x+1)(x+2) = x+1− x+2
1 1
; (x+2)(x+3) = x+2−x+3
1 1
; (x+3)(x+4) = x+3−x+4
1 1
; (x+4)(x+5)= x+4− x+5
1 1
(x+5)(x+6) = x+5−x+6
Do đó:
1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6)
x x+ + x+ x+ + x+ x+ + x+ x+ + x+ x+ + x+ x+
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 ( 6)
x x x x x x x x x x x x x x
= − + − + − + − + − = − =
+ + + + + + + + + + + +
Ví dụ 14 (Bài 34, trang 50 SGK)
Dùng quy tắc đổi dấu thực phép tính: a)
( ) ( )
4 13 48
;
5 7
x x
x x x x
+ − −
− − b) 2
1 25 15
5 25
x
x x x
− −
− −
Giải
a) 4( 13) ( 48 ) 13 48 35
5 7 ( 7) ( 7) ( 7)
x x x x x
x x x x x x x x x x x
+ − + − −
− = + = =
− − − − −
Ta có ( )
5
x− x =x − x ;25x2− =1 (5x−1 5)( x+1)MTC=x(1 5− x)(1 5+ x)
Do
2
1 25 15
5 25
x
x x x
− −
− −
(1 51 ) (1 525)(1 515 )
x x x x x
− = + − − + ( )( ) ( ( )( ) ) 25 15
1 5 5
x x
x x
x x x x x
− + = + − + − + ( )( )
1 25 15 5
x
x x x
x x
+ + −
=
− +
(86)( )( )
2
25 10 1 1 5x
x x x x − + = − + ( ) ( )( )
1 5
x x x x − = − + ( ) 5 x x x − = +
Ví dụ 15 (bài 35, trang 50 SGK)
Thực phép tính a) 1 (1 2 )
3
x x
x x
x x x
− + − − −
− + −
b)
( )2
3 1
1 1 x x x x x + + − + + − − Giải
MTC ( )( )
9 3
x x x
= − = − + Ta có
( )
2
2 1
3
x x
x x
x x x
−
+ − − − =
− + −
( )( )
( )( ) (( )()( )) ( ()( ) )
1 3
3 3 3
x x x x x x
x x x x x x
+ + − − −
= − +
− + − + − +
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
1 3
3
x x x x x x
x x
+ + − − − + −
=
− +
( )( )
2 2
3 3 2
3
x x x x x x x x
x x
+ + + + − − + + − =
− +
( 23)( 3) 23
x
x x x
+
= =
− + −
b) MTC ( ) (2 )
1
x x
= − + Ta có
( )2
3 1
1 1 x x x x x + − + + + − −
( )2 ( )( )
3 1
1 1
1
x x
x x x
x + − − = − + + − + − ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
3 1
1 1 1
x x x x x
x x x x x x
+ + − − − −
= − +
− + − + − +
2
(3 1)( 1) ( 1) ( 3)( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x + + − − − + − = − + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
3 1
1
x x x x x
x x − + + − − + − = − + ( ) ( )
2 2
2
3 2
1
x x x x x x x x
+ + − + − − − +
=
− +
(87)( ) ( )
2
4
1
x x x x
+ +
=
− +
( )( ) ( ) (2 )
1
1
x x x x
+ +
=
− +
( )2
3
1
x
x
+ =
−
Ví dụ 16 Bài 36, trang 51 SGK)
Một công ti may phải sản xuất 10000 sản phẩm x ngày Khi thực
đã làm xong sớm ngày mà làm thêm 80 sản phẩm a) Hãy biểu diễn qua x
Số sản phẩm phải sản xuất ngày theo kế hoạch Số sản phẩm thực tế làm ngày
Số sản phẩm làm thêm ngày
b) Tính số sản phẩm làm thêm ngày với x=25
Giải
a) Số sản phẩm phải sản xuất ngày theo kế hoạch
10000
x (sản phẩm)
Số sản phẩm thực tế làm ngày
10080
x− (sản phẩm)
Số sản phẩm làm thêm ngày
( )
( ) ( )
10080 10000
10080 10000 80 10000
1 1
x x x
x x x x x x
− − +
− = =
− − − (sản phẩm)
b) Số sản phẩm làm thêm ngày với x=25
( ) ( )
80 10000 80.25 10000 20
1 25 25
x x x
+ = + =
− − (sản phẩm)
Ví dụ 17 (Bài 37, trang 51, SGK)
Đố Cho phân thức 22
x x
+
− Đố em tìm phân thức mà lấy phân thức cho
trừ phân thức phải tìm ta phân thức phân thức đối phân thức cho
Dạng RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp giải
* Sử dụng phép cộng, trừ phần thức để rút gọn biểu thức * Thay giá trị biến cho vào biểu thức rút gọn
Ví dụ 18 Rút gọn tính giá trị biểu thức 2 22
1
x x x x x
+ + +
− − với
1
x= −
Giải
Rút gọn biểu thức:
(88)( ) ( )( ) ( ( ) )(( ) ) ( )( )
2
2
1
1 2
1 1 1 1
x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x x
+ − +
+ + + +
+ = − = =
− − − − + − + − +
Với
3
x= − ta được:
( 11)( 1) 1 278
3 3
x x− x+ =− ⋅ − ⋅ =
Dạng 4: CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN
Phương pháp giải
Thực phép cộng, trừ phân thức để rút gọn biểu thức khơng cịn chưa biến
Ví dụ 19 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào ,x ,y z:
a) A ( )(y ) ( )(z ) ( )(x );
x y y z y z z x z x x y
= + +
− − − − − −
b) B ( x)(z ) ( x)(y ) ( y)(z )
x y y z x z y z x y x z
+ + +
= + +
− − − − − −
Giải
a) MTC A:(x−y)(y−z)(z−x) Ta có:
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )
y z x z x y x y z yz yx zx zy xy xz A
x y y z z x x y y z z x
− + − + − − + − + −
= = =
− − − − − −
Vậy biểu thức A cho không phụ thuộc vào ,x ,y z
b) MTC B:(x−y)(y−z)(z−x) Ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
x z z x x y x y y z y z
B
x y y z z x
+ + − + + − + + −
= =
− − −
Vậy biểu thức B cho không phụ thuộc vào ,x ,y z
Dạng TÌM X THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
* Chuyển hạng tử không chứa x vế, ta biểu thức x:
* Rút gọn biểu thức x
Ví dụ 20: Tìm x:
a) x 3a b 2a22 2ab,
b b ab
+ −
− =
− ( ,a b số);
b) ( )
( )
4
2,
a b x a b
a b
+
+ + =
− ( ,a b số)
Giải
a) ( )
( )
2
2
3 2 3
;
a a b
a b a ab a b a b a a b
x
b b ab b b b a b b b
−
+ − + + +
− = = + = − =
− −
b) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2
4 4
2
2 2
a b a b a b a b a b
a b x a b
a b a b a b
+ − −
+ − + −
+
+ + = = =
− − −
(89)( ) ( )
4 4 2 2
2
2
a b a a b b a b a b a b
+ − + −
= =
− −
Dạng ÁP DỤNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VÀO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Phương pháp giải
* Sử dụng công thức chuyển động s=v t , s: quãng đường; v: vận tốc; t: thời gian
* Vận tốc canơ xi dịng = vận tốc thực canơ + Vận tốc dịng nước * Vận tốc canơ ngược dịng = vận tốc thực canơ - Vận tốc dịng nước
Ví dụ 21 Một canô xuôi từ A đến bến B ngược A Khoảng cách từ A đến B s km
Vận tốc canô nước yên lặng v km/h vận tốc dòng nước 4km/h Hãy biểu diễn thời gian canô dạng phân thức đại số Tính thời gian s=48 km,
20 km/h
v=
Giải
Thời gian canơ xi dịng là: h ( )
s v+
Thời gian canơ ngược dịng là: h ( )
s
v−
Thời gian canơ xi ngược dịng là: h ( )
4
s s
v+ +v−
Thay số vào ta có:
48 48 48 48 4 20 20 24 16
s s
v+ +v− = + + − = + = (giờ)
Vậy thời gian ca nô từ A đến B ngược A
Dạng THỰC HIỆN PHÉP TÍNH ĐỂ RÚT GỌN PHÂN THỨC
Phương pháp giải
* Quy đồng mẫu thức để thực phép cộng, trừ hai phân thức không mẫu thức
* Khi nhân hai đa thức, ý đến đẳng thức đáng nhớ * Viết phân thức dạng tổng, hiệu hai phần thức:
;
A C A C
B B B
+ = +
A C A C
B B B
− = −
Ví dụ 22 Rút gọn biểu thức sau:
a) A 1 22a 2 44a3 4 88a7 8;
a b a b a b a b a b
= + + + +
− + + + +
b) 2 2
1 1 1
3 12 20
B
a a a a a a a a a a
= + + + +
+ + + + + + + + +
Giải
(90)a) Ta có: 1 (a b a b)( ) 22a 2;
a b a b a b a b a b
+ + −
+ = =
− + − + −
( )
( )( )
2 2 3
2 2 2 2 4
2
2
;
a a b a b
a a a
a b a b a b a b a b
+ + −
+ = =
− + − + −
( )
( )( )
3 4 4
3
4 4 4 4 8
4
4
;
a a b a b
a a a
a b a b a b a b a b
+ + −
+ = =
− + − + −
( )
( )( )
7 8 8
7 15
8 8 8 8 16 16
8
8 16
a a b a b
a a a
a b a b a b a b a b
+ + −
+ = =
− + − + −
Vậy A 16a16 1516
a b
=
− (a≠ ±b)
b) Trước hết ta phân tích mẫu thức thành nhân tử:
( )
2
1 ;
a + =a a a+
( ) ( ) ( )( )
2
3 2 2 ;
a + a+ = a + +a a+ = a+ a+
( )( )
2
5 ;
a + a+ = a+ a+
( )( )
2
7 12 ;
a + a+ = a+ a+
Ta có: 21 ( ) ( ( 1) ) 1
1 1
a a
a a a a a a a a
+ −
= = = −
+ + + +
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Thực phép tính:
a)
( )
2
2
a b a a a b
−
+ c)
2 3
2 2
6
2
ax ay x y x xy y x xy y
− +
+ + − +
b) 3 8 2 15 15
x y x y
x y x y
− +
+ − d)
2 2
3
2 15 15
5 4
x xy y x y x y x y
− + −
− +
2 (Dạng 1) Thực phép tính:
a) 3 2 :6
(1 x)
x x x
− −
+ + b)
( )
( )
2 2
2 :
a b ab b
ab b a b
+ +
−
− −
c) a43 b43 :a22 b22
a b a b
− +
− − d)
3
2
8
: 1
x x x
x x x
+ + +
− + −
e) 32 : 2
2
x xy x x y xy xy y x y
− + +
+ + g)
1 : 1 x x − − −
3 (Dạng 3) Rút gọn biểu thức sau:
a) 2 1
10 10
x x x x
x x x x
− + − −
+ + + +
b) ( ) ( )
2
2 2
2
x y x y
x y y
x y x x y x
− −
+
−
+ +
4 (Dạng 3) Tính giá trị biểu thức: ( 2 )
2 :x y z
x y z yz
x y z
+ − − − +
+ +
với x = 8,6 ; y = 2; z = 1,4
(91)5 (Dạng 4) Tìm x, biết:
a) a2 42ab b4 x a22 b22
a b a b
− + −
=
− +
b) 2 2 2 32
2
a b ab a b
x
a b a b ab
+ − +
=
− + −
c) a22 b22 2abx a b3 3
a b ab a b
+ − −
=
+ − +
9 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Biến đổi biểu thức thành phân thức đại số gọi phép biến đổi đồng
- Thực chất phép biến đổi đồng việc thực phép tính phân thức đại số biểu thức hữu tỉ
- Giá trị biểu thức phân xác định với điều kiện giá trị mẫu thức khác
B CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp giải:
Thực phép cộng, trừ, nhân, chia phân thức để rút gọn biểu thức
Ví dụ (Bài 46 trang 57 SGK)
a) 1 1 x x +
− b)
2 1 1 x x x − + − − − Giải a) 1 1
1 1
1 x x x x x x x x + + + = = − − −
b) ( )2
2 2
2
2
1
1
1 . 1
2 1
1
1
x
x x
x x x
x x x x
x x + − − − − + = + = = − − − − + + − − −
Ví dụ (Bài 50 trang 58 SGK)
Thực phép tính:
(92)a) : 22 1 x x x x + − + −
b) ( )
2 1
1 1 x x x − − − − + Giải
a) : 22 1 4: 22
1 1
x x x x
x x x x
+ − + − = + − + − ( )( )( ) ( )( )( ) 2
2 1
2 1
1 1 2
1
x x x
x x
x x x x x
x x + − + + − = = + − + − + − = −
b) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
1 1
1
1 1
1 1
x x x
x x
x x x
+ − − − −
− − − = −
− + −
( )
2
2
3
1
1 x x x x − = − = − −
Ví dụ (Bài 51 trang 58 SGK)
Làm phép tính sau:
a) x22 y : x2 1
y x y y x
+ − +
b) 2 2 : 1
4 4 2
x x x x x x
− +
+ + − + + −
Giải
a) Ta có: x22 y x3 2y3; x2 1 x2 xy2 y2
y x xy y y x xy
+ − +
+ = − + = Do đó:
2 3 2
2 2
1
: :
x y x x y x xy y
y x y y x xy xy
+ − + = + − +
x3 2y3 2 xy2 2 x y xy x xy y
+
= = +
− +
b) 2 2 : 1
4 4 2
x x x x x x
− +
+ + − + + −
( ) (2 )2
1 1
:
2
2 x x
x x = − + + − + − 2
1 1 1 1
:
2 2 2 2
2
4
x x x x x x x x x x x x = − + + = − + − + − + − + − − − − − = = − −
Ví dụ 4: (Bài 52 trang 58 SGK)
Chứng tỏ với x≠0 x≠ ±a (a số nguyên), giá trị biểu thức:
2
2
x a a a
a
x a x x a
− + − + −
số chẵn
Giải Ta có :
(93)2 2 2
2 2
(x a)
x a a a ax a x a ax a ax
a
x a x x a x a x
− + − = + − − − −
+ − + −
( ) ( )
( ) ( )
x a x a a x a x a x a x
− +
= =
+ −
là số chẵn
Ví dụ (Bài 53 trang 58 SGK)
a) Biến đổi biểu thức sau thành phân thức đại số :
1
x x
+ ; 1 1 x + + ; 1 1 1 x + + +
b) Em dự đoán kết phép biến đổi biểu thức : 1 1 1 1 1 x + + + + +
thành phân thức đại số kiểm tra lại dự đốn Giải
a) Ta có : x x
x x
+
+ = ; 1 1 1;
1 1
1
x x x x x x x
+
+ = + = + =
+ + +
+
1 1
1 1
1 2 1 2 1
1
1
1
x x
x x x
x x + + + = + + = + = + + + + +
b) 1 1 1 1 1
1 5
1 1
1 3 2 3 2
1
1
1 1
x x
x x x x
x x x
x x + + + = + = + + = + + = + = + + + + + + + + + + + +
Dạng ĐIỀU KIỆN CỦA x ĐỂ GIÁ TRỊ PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH
Phương pháp giải
Ta tìm giá trị biến x cho giá trị tương ứng mẫu thức khác
Ví dụ (Bài 47, trang 57 SGK)
Với giá trị x giá trị phân thức xác định ? a)
2
x
x+ b)
1 x x − − Giải a) Giá trị phân thức
2
x
(94)b) Giá trị phân thức 2
1
x x
−
− xác định với điều kiện
2
1
x − ≠ , tức x≠ ±1
Ví dụ (Bài 48, trang 58 SGK)
Cho phân thức : 4
2
x x
x
+ + +
a) Với điều kiện x giá trị phân thức xác định b) Rút gọn phân thức
c) Tìm giá trị x để giá trị phân thức
d) Tìm giá trị x để giá trị phân thức hay không ?
Giải
a) Giá trị phân thức 4
2
x x
x
+ +
+ xác định với điều kiện x≠ −2
b) Rút gọn phân thức, ta có : ( )
2
2 2
4
2
2
x x x
x
x x
+
+ + = = +
+ +
c) Giá trị phân thức x + = suy x = -1 (nhận) d) Giá trị phân thức x + = suy x = -2 (loại) Vậy khơng có giá trị x để giá trị phân thức
Ví dụ (Bài 49 trang 58 SGK)
Đố Đố em tìm phân thức (của biến x) mà giá trị xác định với giá trị x khác ước
Giải
Các ước -1 ; ; -2 Chẳng hạn phân thức mà giá trị xác định với giá trị x khác ước là:
( )( )
1
1
x − x −
Ví dụ (Bài 54 trang 59 SGK)
Tìm giá trị x để giá trị phân thức xác định: a) 32 ;
2
x
x x
+
− b)
5
x − Đáp số
a) x≠0 x≠3 b) Mọi số hữu tỉ x
Ví dụ 10 (Bài 55, trang 59 SGK)
Cho phân thức:
2
2 1
x x
x
+ + −
a) Với giá trị x giá trị phân thức xác định ? b) Chứng tỏ phân thức rút gọn phân thức cho
1
x x
+ −
c) Để tính giá trị phân thức cho x = x = -1, bạn Thắng làm sau : - Với x = 2, phân thức cho có giá trị
2 + = − ;
- Với x = -1, phân thức cho có giá trị 1 1 − +
= − −
Em có đồng ý khơng ? Nếu không, em chỗ mà em cho sai
(95)Theo em, với giá trị biến tính giá trị phân thức cho cách tính giá trị phân thức rút gọn ?
Giải
a) Với x≠ ±1 giá trị phân thức xác định b) Rút gọn phân thức ( ( )( ) )
2
2
1
2 1
1 1
x
x x x
x x x x
+
+ + = = +
− − + −
c) Với x = phân thức cho có giá trị
+ =
− Bạn Thắng tính
Với x = -1 phân thức cho có giá trị 1 1 − + =
− − Bạn Thắng tính sai với x = -1, giá
trị phân thức cho không xác định
Vậy với giá trị x mà giá trị phân thức xác định tính giá trị phân thức cho cách tính giá trị phân thức rút gọn
Ví dụ 11 (Bài 56 trang 59 SGK)
Cho phân thức
2
3 12
x x
x
+ + −
a) Với điều kiện x giá trị phân thức xác định ? b) Rút gọn phân thức
c) Em có biết
1cm bề mặt da em có vi khuẩn ?
Tính giá trị biểu thức cho 4001
2000
x= em tìm câu trả lời thật đáng sợ (Tuy
nhiên số có 20% vi khuẩn có hại)
Giải
a) Với
8
x ≠ hay x≠2 giá trị phân thức cho xác định b) Rút gọn phân thức, ta có :
( )
( )( )
2
3
3
3 12
8 2
x x
x x
x x x x x
+ + + +
= =
− − + + −
Với 4001 2000
x= giá trị biểu thức cho :
3 6000 4001 2000 2000 = = −
DẠNG CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN
Phương pháp giải
Thực phép biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ để rút gọn biểu thức khơng cịn chứa biến
Ví dụ 12 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x y :
a)
( )2
2
x y y x
x y y
xy x
−
+
− −
;b) ( )
2
2
x y
x y x y
x y xy
x y x y
+
+ −
+ −
− −
(96)Giải a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
2 2 2
2
2
x y x y
x y xy
y x xy
x y xy x y y x y xy y
xy x xy
− − − = = = − + + − − − −
b) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2
2 4
x xy yx y
x y
x y x y x y x y
x y xy x y x y xy x y
x y x y x y x y
− + + + + − + − = + − + − − − − − − − ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2
x y x y x y x y
x y x y x y x y
+ − + −
= =
+ − − +
C LUYỆN TẬP
1/ (Dạng 1) Thực phép tính :
a) 1 :
1 2
x x x x x + − − − −
b) 52 52 22 2522
5
x y x y x y x xy x xy x y
+ − −
+
− + +
c) 24 2 : 21 2 2 2
xy
y x y x x xy y
+
− − + +
2/ (Dạng 1) Rút gọn biểu thức :
a) 23 52 10 4 8
x x
x x x x
+ −
+ + + + b)
2
5 15 :
4
x x
x x x
− −
+ + +
c) 210 15 33
3
x x x
x x
− −
−
d)
2
2
25 50 10 25
:
3 9
x x x
x x x
− − + −
+ + +
3/ (Dạng 1) Rút gọn biểu thức sau :
a) 2 a x a x −
+ b)
2 5 x y x y − − + + c) 1 1 x x x x x x x x + − − − − + d) 2
1 b b
a a a b
− +
−
4/ (Dạng 2) Tìm điều kiện biến để giá trị phân thức xác định
a)
2
x
x− b)
3 3x−2x
c) 3 32
8 12
x
x − x + x− d)
2
2 16 24
x x x
−
+ +
e)
3
x x − x+
(97)5/ (Dang 5) Tính giá trị biểu thức :
a) 32
9
x x
x x
−
− + với x = -8 b)
2
3
2
x x
x x x
+ +
+ − − với x = 1000001
6/ (Dạng 2) Cho biểu thức :
( )
2
2 50
2 10
x x x x
x x x x
+ + − + −
+ +
a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức xác định b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức
c) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức − d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức -3
(Dạng 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số :
a) 22 2 ;
2
ab a b a b a b a b a b b a
− + + − + + − b) ( ) 2
2 2 ;
x x xy x y
x y x y x y x y
−
− −
− + − −
c) 2 2 ;
3 3
y y y y y y y y y y
+ +
+ −
− + − −
d) 2 2 : 22
36 6
x x x x
x x x x x x
− −
− +
− + + −
ÔN TẬP CHƯƠNG III
A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
57 Chứng tỏ cặp phân thức sau nhau:
a)
2x−3
2
x x x
+
+ − b)
4
x+ 2 12 x x x x + + + Giải
a) ( 3( )(2) ) 2 32 ;
2 3 6
x x x
x x x x x x x x
+ + +
= = =
− − + + − − + −
b) ( )
( )( )
2 2 2
3 2
2
2
2 6
4 3 12 12
x x x x x x
x x x x x x x x x x x
+ + +
= = =
+ + + + + + + +
58 Thực phép tính sau:
a) 2 : ;
2 10
x x x
x x x
+ −
−
− + −
b) 21 : ;
1
x
x x x x x
−
− + −
+ +
c) 32 2 1 2
1 1
x x
x x x x x
−
− +
− + − + −
Giải
(98)a) ( ) ( )
( )( )
2
2
2 10
:
2 10 2
x x
x x x x
x x x x x x
+ − −
+ − −
− =
− + − − +
(2 4( ) ()(.5 )1) 10
2
x x
x x x x
− = = − + + b) ( ) 2
1 2
: :
1
x x x x x
x
x x x x x x x
− − + + −
− + − =
+ + +
( )
( ) ( )2
2
1 1
x x
x x x x
−
= =
+ − −
c) 32 2
1 1
1 1
x x
x x x x x
− − + − + − + − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1
1
1
1 1
1
1
'
1 1
1 2
1 1 1
1
1
1
x x
x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x − = − − − + − − + + − − − = − − + − + − = − − + − − + − = − = − + − + − − − = = + + − 59
a) Cho biểu thức xP yP
x+p− y+P Thay
xy P
x y
=
− rút gọn biểu thức
b) Cho biểu thức P Q22 22
P −Q Thay 2 2
2
,
xy xy
P Q
x y x y
= =
− + rút gọn biểu thức
Giải
a)
2
2
2
x y y x
xP xP x y x y x y y x
y x xy xy
x P y P x y x y x y x y
− −
− = − = − = +
+ − + − −
− −
b) ( )
( )( ) 2 2 PQ P Q
P −Q = P Q− P+Q
(99)( )
2 2 4
2 2 2 2
2
2 2 2
4 4
4
1 1
2
4 2
:
x y x y
xy xy
x y x y x y x y x y x y y x
x y x y
− = − + − + − + = = − −
60 Cho biểu thức: 2
1 3 4
2 2
x x x
x x x
+ + −
+ −
− − +
a) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định
b) Chứng minh giá trị biểu thức xác định không phụ thuộc vào giá trị biến x
Giải
a) Ta có: 2x− =2 2(x−1 ; 2) x+ =2 2(x+1 ;) MTC=2(x−1)(x+1 ) Giá trị biểu thức xác định x≠ ±1
b) Rút gọn biểu thức, ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
4
1 3
2 1
4
1 10
5
2
x
x x
x x x
x x
x x x
x x − + + + − = − − + − − + + − + − = = = − −
không phụ thuộc vào x với x≠ ±1
61 Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức:
2
2 2
5 100
10 10
x x x
x x x x x
+ − −
+
− + +
được xác định Tính giá trị biểu thức với x = 20040
Giải
Ta có: ( ) ( ) ( )( )
10 10 ; 10 10 ; 10 10
x − x=x x− x + x=x x+ MTC =x x− x+
Điều kiện để giá trị biểu thức xác định là: x≠0;x≠ ±10
Ta có: ( )( ( ) ()( ))( ) ( )
( )
2
2 2
10
5 10 10
5
10 10 10 10 100
x x x x x
x x
x x x x x x x x x
+ + + + − − + − + = = − + − + − Do đó:
(100)( ) ( )
2
2
2 2 2
10
5 100 100 10
10 10 100
x
x x x x
x x x x x x x x x
+
+ − − −
+ = =
− + + − +
Với 20040x = giá trị biểu thức : 10 20040 =2004
62 Tìm giá trị x để giá trị phân thức 210 25
5
x x
x x
− +
−
Giải
Điều kiện để giá trị phân thức xác định là: x≠0 x≠5
Ta có: ( )
( )
2
2
5
10 25
5
x
x x x
x x x x x
−
− + = = −
− −
Vì x≠5 nên phân thức khơng có giá trị Vậy khơng tìm x để giá trị phân thức cho
63 Viết phân thức sau dạng tổng đa thức phân thức với tử thức
là số, tìm giá trị nguyên x để giá trị phân thức số nguyên:
a) 17
2
x x
x
− −
+ ; b)
2
2
x x x
− + −
Giải
a) Thực phép chia đa thức ta có:
2
3 17
3 10
2
x x
x
x x
− − = − +
+ +
Để phân thức có giá trị ngun x + phải ước Ước gồm số nguyên âm 1, 3± ± Từ ta có x∈ − −{ 1, 3,1, − }
b) Thực phép chia đa thức ta được: 2
3
x x
x
x x
− +
= + +
− −
Phân thức có giá trị nguyên x – ước Ước gồm số nguyên:
1, 2, 4,
± ± ± ± Từ ta có:
{4, 5, 7,11, 2,1, 1, }
x∈ − −
64 Tính giá trị phân thức Bài tập 62 x = 1,12 làm tròn kết đến chữ số
thập phân thứ ba
Giải
Giá trị phân thức x
x
− x=1,12 : 1,12 3, 464 1.12
−
= −
(101)B BÀI TẬP BỔ SUNG
1 Thực phép tính:
( )( ) ( )( )
( )( )
2 2
2
1
1
b c a ac b bc c a b ab c ca
a b c bc a ab
+ +
− + − − − + − −
+
− + − −
2 Chứng minh đẳng thức:
2 2
2 2 2
3
9 3
a ab a ab b a ac ab bc
a b ab a b bc a ac ab
+ + − − = + + +
− − − − − +
3 Tìm a b thỏa đẳng thức với x≠ −5 x≠4:
2
5
20
x a b
x x x x
− = −
+ − + −
4 Rút gọn biểu thức:
a) 2 2 : 2;
2 2
a b b b a a a a b b a a b a a
+ − + +
− + −
− + − −
b) 2 2 : 2
1
a b a b a b a a b a a a b ab a
− − −
− − −
− − − − + −
5 Rút gọn tính giá trị biểu thức:
2 2
2 2
2 4
: :
2 2
x y x y y x x y y x
y x x xy y x x xy y x y
− − + + − + + − +
− − − + + + + +
với 1, 76; 25
x= − y=
6 Xác định a để biểu thức sau số nguyên:
( ) ( )
2
3
3
2 2
:
2
a a a a a
a a
a a a
− + − − +
+ + −
− + −
7 Cho a b c
b c+ +c+a+a b+ = Chứng minh rằng:
2 2
0
a b c
b c+ +c+a+a b+ =
8 Cho a b c+ + =0(a≠0,b≠0,c≠0 ) Tính giá trị biểu thức:
(102)2 2 2 2 2 2
a b c
a −b −c +b − −c a +c −a −b
9 a) Rút gọn biểu thức tìm giá trị x để biểu thức
2
4
2
x x x x
+ − +
−
có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
b) Rút gọn biểu thức tìm giá trị x để biểu thức
( )2 2 2
2
x x x x
x x x
+ − − + + +
có giá trị lớn Tìm giá trị lớn
(103)Mở đầu
HƯỚNG DẪN VỀ
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
VÀ VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG HÌNH HỌC
1 BÀI TỐN CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Trong tốn hình học, ta thường gặp toán chứng minh
Chứng minh tốn hình dựa vào điều biết (gồm giả thiết toán, định nghĩa, tiên đề, định lí học) cách suy luận đắn để chứng tỏ kết luận toán
2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐI LÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP TRONG GIẢI TOÁN
Để tìm cách chứng minh tốn hình học “ Cho A, chứng minh B”, ta thường dùng phương pháp phân tích lên
Để chứng minh B, ta tìm cách chứng minh C Để chứng minh C, ta tìm cách chứng minh D Cuối ta tìm cách chứng minh H Nếu từ giả thiết ta chứng minh H cách giải tốn tìm
Khi trình bày lời giải tốn chứng minh, ta thường dùng phương pháp tổng hợp, tức trình bày theo thứ tự ngược lại bước phân tích lên nói
A⇒H ⇒ ⇒ ⇒ ⇒D C B
Tất nhiên có nhiều đường khác để từ giả thiết đến kết luận , tức có nhiều cách giải tốn
3 VÍ DỤ
Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Gọi I giao điểm BC DE, Chứng minh DI = IE
Cách
• Phân tích tìm cách giải
Để chứng minh DI = IE ta chứng minh DI IE hai cạnh tương ứng hai tam giác Ta chọn IE cạnh IEC∆ Tam giác tương ứng ∆IDB Cần tạo tam giác tam giác IEC có cạnh ID
Ta vẽ DK // CE, D1 =E, K1=C1 (so le
trong)
Cịn cần chứng minh DK = CE Ta có DB = CE Chỉ cần chứng minh DK = DB cách chứng minh
DBK
∆ tam giác cân
• Trình bày lời giải
Kẻ DK // AC ta có D1 =E K, =C1 (so le trong),
2
K =C (đồng vị)
(104)Tam giác ABC cân A nên suy B=C2 (góc đáy tam giác cân)
Ta lại có K2 =C2 nên K2 =B
Tam giác DBK có K2 =B.nên suy
DB = DK
Ta lại có DB = CE (giả thiết) nên DK = CE
Xét hai tam giác IDK IEC, ta có :
1
D =E (chứng minh trên) ;
DK = CE (chứng minh trên) ;
1
K =C (chứng minh trên)
Do : IDK∆ = ∆IEC (g.c.g) suy DI = IE (cạnh tương ứng)
Cách :
• Phân tích tìm cách giải
Nhằm chứng minh ID IE hai cạnh tương ứng hai tam giác , ta kẻ DM EN vng góc với BC Khi :
90 ,
M =N = IDM =IEN (so le DM // EN)
Cần chứng minh DM = EN Ta chứng minh DM EN hai cạnh tương ứng hai tam giác Chọn tam giác vuông DMB ENC, hai tam giác vng có cặp cạnh huyền DB = EC, cần chứng minh cặp góc nhọn :
1
B=C Hai góc C2
• Trình bày lời giải : Kẻ DM ⊥BC EN, ⊥BC
Tam giác ABC cân A nên suy B=C2 (góc đáy tam giác cân) Ta lại có C1 =C2
(đối đỉnh) nên B=C1
Xét hai tam giác vuông DMB ENC (M =N =90), ta có :
Cạnh huyền DB = CE (giả thiết) : Góc nhọn B=C1(chứng minh trên)
Do DMB∆ = ∆ENC (cạnh huyền góc
nhọn), suy DM = EN (cạnh tương ứng)
Ta có DM // EN (cùng vng góc với BC) suy IDM =IEN (so le trong)
Xét hai tam giác IDM IEN, ta có :
90
M =N = ;
DM = EN (chứng minh trên)
Do : IDM∆ = ∆IEN (g.c.g) suy DI = IE
(cạnh tương ứng)
Cách :
Phân tích tìm cách giải :
(105)Tạo tam giác có CI qua trung điểm cạnh song song với cạnh thứ hai, DE cạnh thứ ba Ta kẻ DH // IC để tạo tam giác EDH Cần chứng minh CH = CE
Do BD = CE nên cần chứng minh BD = CH Muốn vậy, cần chứng minh AD = AH cách chứng minh tam giác ADH cân
• Trình bày lời giải:
Kẻ DH // BC D1=B H, =C1 (đồng vị)
Tam giác ABC cân A nên suy B=C1 (góc
đáy tam giác cân) Do D1=H1
ADH
∆ có D1=H1nên AH = AD (liên hệ cạnh góc) (1)
ABC
∆ cân A suy AB = AC (2)
Từ (1) (2) suy AB – AD = AC – AH hay BD = CH Ta lại có BD = CE nên CE = CH
Xét tam giác EDH, ta có: CE = CH (chứng minh trên): CI // HD (cách vẽ trên) nên DI = IE (định lí thuận đường trung bình)
4 VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG CHỨNG MINH
Vẽ thêm đường để giải toán (đường thẳng DK // AC, cách đường thẳng DM EN vng góc với BC cách đường thẳng DH // BC cách 3) vẽ đường phụ
Cách vẽ đường phụ cách tạo hai tam giác IDK∆ = ∆IEC Cách
vẽ đường phụ cách tạo hai tam giác IDM∆ = ∆IEN Cách vẽ đường
phụ cách tạo tam giác EHD thỏa mãn định lí thuận đường trung bình tam giác
Vẽ đường phụ nhằm tạo “cầu nối” từ giả thiết đến kết luận
(106)Chương I
TỨ GIÁC
Bài TỨ GIÁC
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng
2 Tứ giác lồi tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác (Từ nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi)
3 Tổng góc tứ giác 360°
360
A+ + + =B C D
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng TÍNH GĨC CỦA TỨ GIÁC
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất tổng góc tứ giác, tam giác
Ví dụ (Bài SGK)
Tìm x hình SGK
Giải
a) 360 95 65 360
2 160 360
P Q R S x x x
+ + + = ⇒ + + + =
⇒ + =
0 0
2x 360 160 200 x = 100
⇒ = − = ⇒
b) 0
360 360 10 360 36 o
M + + + =N P Q ⇒ x + x + x + x= ⇒ x= ⇒ =x
a) b)
Hình SGK
Ví dụ 2: (Bài SGK)
Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác
950 650
x
x S
R Q
P
4x 3x
2x x
Q P
N M
(107)a) Tính góc ngồi tứ giác hình 7a
b) Tính tổng góc ngồi tứ giác hình 7b (tại đỉnh tứ giác chọn góc ngồi) A1+B1+C1+D1 =?
c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác?
a) b)
Hình SGK
Giải
a) Góc cịn lại ( 0 0)
360 75 90 120 75
D= − + + = Do
0 0 0
1 105 90 60 105
A = B = C = D =
b) Tổng góc
360
A+ + + =B C D
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 180 180 180 180
A +B +C +D = −A + −B + −C + −D
( )
0 0
720 A B C D 720 360 360
= − + + + = − =
c) Tổng góc ngồi tứ giác
360
Dạng VẼ TỨ GIÁC
Phương pháp giải
Ví dụ 3: (Bài SGK)
Dựa vào cách vẽ tam giác học, vẽ lại tứ giác hình 10 SGK vào
Giải
Vẽ ABC∆ biết hai cạnh góc xen giữa:
2 , BC , 70
AB= cm = cm B=
Vẽ ADC∆ biết ba cạnh: AC có, AD=1, 5cm: C D=3cm
Dạng TÍNH ĐỘ DÀI HỆ THỨC GIỮA CÁC ĐỘ DÀI
Phương pháp giải
D C
B
A
1 1
1 75°
120°
D
C B A
1 1
1
Thường vẽ tam giác có ba đỉnh ba đỉnh tứ giác, sau xác định đỉnh thứ
70°
Hình 10 SGK
4cm
3cm 2cm
1,5cm D
C B
A
(108)Sử dụng định lí có liên quan đến độ dài, bất đẳng thức tam giác, Định lí Pi-ta-go
Ví dụ Chứng minh tứ giác, đường chéo nhỏ nửa chu vi tứ
giác
Giải
Xét tứ giác ABCD có đường chéo AC:
AC< AB+BC (bất đẳng thức ABC∆ ); AC<AD+DC (bất đẳng thức ADC∆ )
Suy ra: 2AC AB BC AD DC< + + + Do đó:
D
AB BC A DC
AC< + + +
Vậy AC nhỏ nửa chu vi tứ giác ABCD
Chứng minh tương tự, BD nhỏ nửa chu vi tứ giác
ABCD
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Cho tứ giác ABCD có
130 , 90 ,
A= B= góc ngồi định C
120
.Tính D
2 (Dạng 1) Tứ giác ABCD có
80 , 70
C= D= Các tia phân giác góc A B
cắt I Tính .AIB
3 (Dạng 1) Bốn góc tứ giác góc nhọn (góc tù, góc vuông) không? Tại sao? Suy tứ giác có nhiều góc nhọn?
4 (Dạng 1) Tứ giác EFGH có
70 , 80
E= F = Tính G H, biết rằng: G −H =200
5 (Dạng 1) Tính góc tứ giácMNPQ, biết rằng: M N P Q: : : =1: : : (Dạng 2) Vẽ tứ giác ABCD biết:
130 , 90 , AB , BC
A= D= = cm = cm
3
AC = cm
7 (Dạng 3) Tính độ dài cạnh a b c d, , , tứ giác có chu vi 76cm
và : : : : : : 8a b c d =
8 (Dạng 3) Có hay khơng tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với2, 3, 4, 10?
9 (Dạng 3) Đường chéo AC tứ giác ABCD chia tứ giác thành hai tam giác có chu vi 25cm 27cm Biết chu vi tứ giác bằng32cm Tính độ dài AC
10 (Dạng 3) Tứ giác ABCD có B=110 ,0 D=700, AC tia phân giác góc A Chứng
minh CB = CD
11 (Dạng 3) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác
12 (Dạng 3) Chứng minh tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với tổng bình phương hai cạnh đối tổng bình phương hai cạnh đối
§2 HÌNH THANG
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
D C
B A
(109)1 Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song
ABCD hình thang
/ /
ABCD tu giác AB CD
⇒ (đáy AB CD, )
2 Hình thang vng hình thang có góc vng
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng TÍNH GĨC CỦA HÌNH THANG
Phương pháp giải
Ví dụ (Bài SGK)
Hình thang ABCD (AB // CD) có
20 ,
A D− = B= C Tính góc hình thang
Giải
Ta có AB // CD nên:
180
A+ =D
Ta lại có
20
A− =D , nên:
0
0
0 0
180 20
100
180 100 80
A D
+
= =
= − =
Ta có AB // CD nên:
180
B+ =C
Ta lại có B =2C nên 3C =1800 Suy ra:
60 , 120
C= D=
Dạng NHẬN BIẾT HÌNH THANG, HÌNH THANG VNG
Phương pháp giải
Ví dụ (Bài SGK)
Tứ giác ABCD có AB CD= AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang
Giải
Ta có AB BC= ⇒ ∆ABC cân ⇒ A1 =C1
Ta lại có A1= A2 nên C1= A2 suy BC // AD Vậy
ABCD hình thang
Sử dụng tính chất góc tạo hai đường thẳng song song với cát tuyến
Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vng
D C
B A
D C
B A
2
D C
B
A
(110)Dạng TÍNH TỐN VÀ CHỨNG MINH VỀ ĐỘ DÀI
Phương pháp giải
Ví dụ Chứng minh hình thang vng, hiệu bình phương hai đường chéo
bằng hiệu bình phương đáy D
A C
∆ vuông nên 2
D
AC = A +DC
D
AB
∆ vuông nên 2
D D
B =A +AB
Từ (1) (2) suy 2 2
D
AC −B =DC −AB
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Hình thang ABCD (AB // CD) có A D− =40 ,o A=2C Tính góc
hình thang
2 (Dạng 1) Hình thang có nhiều góc tù, có nhiều góc nhọn? sao?
3 (Dạng 1, 2, 3) Cho tam giác ABC vuông A, BC = 2cm Vẽ tam giác ACE vuông cân E (E B khác phía AC ) Chứng minh AECB hình thang vng, tính góc cạnh
4 (Dạng 3) Cho hình thang vng ABCD có
90 , ,
A= =D AB= cm
12 , 13
AD= cm BC= cm Tính CD
5 (Dạng 3) Hình thang ABCD (AB // CD) có AB=2cm CD, 5= cm Chứng minh
3
AD+BC> cm
6 (Dạng 3).Cho hình thang ABCD (AB //CD) có tia phân giác góc C D gặp điểm I thuộc cạnh đáy AB Chứng minh AB tổng hai cạnh bên
7 (Dạng 3).Cho hình thang ABCD (AB //CD) có tia phân giác góc A D gặp điểm I thuộc cạnh đáy BC Chứng minh AD tổng hai đáy
§3 HÌNH THANG CÂN
Sử dụng Đinh lí Pi-ta-go, sử dụng cách chứng minh hai đoạn thẳng nhau,…
D C
B A
(111)A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Định nghĩa
Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy
ABCD hình thang cân (đáyAB CD, ) ⇔ ABCD hình
thang C =D
2 Tính chất
Trong hình thang cân - Hai cạnh bên - Hai đường chéo
3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN
Phương pháp giải
Chứng minh tứ giác hình thang, chứng minh hình có hai góc kề đáy nhau, có hai đường chéo
Ví dụ (Bài 17 SGK)
Hình thang ABCD ( AB //CD ) có ACD=BDC Chứng minh ABCD hình thang
cân
Giải
Gọi E giao điểm AC BD
ECD
∆ có C1=D1 nên tam giác cân, suy ra:
(1)
EC =ED
Chứng minh tương tự:
(2)
EA=EB
Từ (1) (2) suy AC = BD Hình thang ABCD có hai đường chéo nên
hình thang cân
Ví dụ (Bài 18 SGK)
Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo hình thang cân” qua tốn sau:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) cóAC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với
,
AC cắt đường thằng DC E Chứng minh rằng:
a) BDE∆ tam giác cân b) ∆ACD= ∆BDC
c) Hình thang ABCD hình thang cân
D C
B A
1
E
D C
B A
(112)Giải
a) Hình thang ABEC (AB // EC) có hai cạnh bên ,
AC BE song song nên chúng nhau:
AC = BE
Theo giả thuyết AC ,= BD nên BE ,= BD
đó BDE∆ cân b) AC // BE⇒C 1=E
BDE
∆ cân B (Câu a)⇒D 1 =E suy C1 =D1
( )
ACD BCD c g c
∆ = ∆
c) ∆ACD= ∆BDC⇒ .ADC=BCD Hình thang ABCD có hai
góc kề đáy nên hình thang cân
Ví dụ (Bài 19 SGK)
Cho ba điểm A D K, , giấy kẻ vng (H32.SGK) Hãy
tìm điểm thứ tư M giao điểm dịng kẻ cho với ba điểm cho bốn đỉnh hình thang cân
Giải
Có thể vẽ hai điểm M: Hình thang AKDM1 (với AK
đáy), hình thang ADKM2 (với DK đáy)
Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH THANG CÂN ĐỂ TÍNH SỐ ĐO GĨC, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất hình thang cân: Hai góc kề cạnh đáy nhau, hai cạnh bên nhau, hai đường chéo
Ví dụ (Bài 12 SGK)
Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD,AD < CD) Kẻ đường cao AE BF, hình
thang Chứng minh DE .= CF
Giải
AED BFC
∆ = ∆ (Cạnh huyền - góc nhọn) – suy
DE=CF
Ví dụ (Bài 13 SGK)
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E giao điểm hai đường chéo Chứng minh EA , .= EB EC = ED
Giải
Chứng minh ACD∆ = ∆BDC theo trường hợp c.c.c
c.g.c Suy C1=D1, ECD∆ cân, EC=ED
Ta lại có AC BD= nên EA=EB
E
1
D C
B A
F E
D C
B A
1
E
D C
B A
(113)Ví dụ (Bài 15 SGK)
Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB AC, lấy theo thứ tự điểm D E cho AD= AE
a) Chứng minh BDEC hình thang cân
b) Tính góc hình thang cân đó, biết
50
A=
Giải
a) D1=B (cùng
0
180 )
A
− ⇒ DE//BC
Hình thang BDEC có B =C nên hình thang cân
b)
2
65 , 115
B= =C D =E =
Ví dụ (Bài 16 SGK)
Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác
, ( , )
BD CE D∈AC E∈AB Chứng minh BEDC
hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên
Giải
a) ∆ABD= ∆ACE g c g ( )⇒AD=AE
Chứng BEDC hình thang cân câu a) Bài 15 SGK (ví dụ 6)
b) DE//BC ⇒D 1 =B2 (so le trong) Ta lại có B1 =B2 nên
1
B =D , DE=BE
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D, tia đối tia AB lấy điểm E cho AD AE= Tứ giác DECB hình gì? Vì sao?
2 (Dạng 1) Tứ giác ABCD có
, 110 , 70
AB=BC=AD A= C= Chứng minh rằng:
a) DB tia phân giác góc D b) ABCD hình thang cân
3 (Dạng 2) Cho tam giác ABC , điểm M nằm tam giác Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC D, kẻ đường thẳng song song với
AB cắt AC E, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB F Chứng
minh rằng:
a) BFMD CDME AEMF, , hình thang cân
b) DME .=EMF =DMF
c) Trong ba đoạn thẳng MA MB MC, , đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn
4 (Dạng 2) Hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo cắt P, hai cạnh bên kéo dài cắt Q Chứng minh PQ đường trung trực
hai đáy
2
1 E
D
C B
A
E
2
D
C B
A
(114)5 (Dạng 2) Hình thang cân ABCD (AB//CD) có DB tia phân giác góc D,
DB⊥BC Biết AB=4cm Tính chu vi hình thang
6 (Dạng 2) Tính chiều cao hình thang cân ABCD , biết cạnh bên 25
BC= cm, cạnh đáy AB=10cm CD, 24= cm
7 (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD CE,
a) Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao?
b) Tính chu vi tứ giác BEDC , biết BC=15cm ED, 9= cm
BÀI ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Đường trung bình tam giác
Định lí Đường thẳng qua trung điểm
cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba
/ /
ABC
AD DB AE EC DE BC
∆
= ⇒ =
Định nghĩa Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh
của tam giác
Định lí Đường trung binh tam giác song song với cạnh thứ ba
cạnh
/ /
1
ABC DE BC AD DB
DE BC AE EC
∆
= ⇒
=
=
2 Đường trung bình hình thang
Định lí Đường thẳng qua trung điểm
cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh thứ hai
F//AB//CD
AE ED
BF FC E
=
⇒ =
Định nghĩa Đường trung bình hình thang
đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang
Định lí Đường trung bình hình thang song song với hai đáy
tổng hai đáy
E D
C B
A
F E
D C
B A
(115)/ / / /
/ /
2
AB CD EF AB AE ED EF CD BF FC AB CD
EF
= ⇒
= +
=
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI VÀ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ VỀ ĐỘ DÀI
Phương pháp giải
Vận dụng định lí định lí đường trung bình tam giác
Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M N P, , theo thứ tự trung điểm cạnh
, ,
AB AC BC Tính chu vi tam giác MNP, biết AB=8cm, 10 ,AC= cm BC=12cm
Giải
Tam giác ABC có AM =MB AN, =NC nên MN đường trung bình Suy ra:
MN = BC
2 = 12
2 = (cm)
Tương tự: MP = AC
2 = 10
2 = (cm)
NP = AB =
8
2= (cm)
Vậy chu vi tam giác MNP : + + = 15 (cm)
Dạng SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, TÍNH GĨC
Phương pháp giải
Ví dụ (Bài 25 SGK) Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, K theo thứ tự trung
điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng
Giải
EK đường trung bình ∆ABD nên EK//AB Do AB//CD nên EK//CD
KF đường trung bình ∆BDC nên KF//CD Qua K ta có KE KF song song với CD nên theo tiên đề Ơ-clít E, K, F thẳng hàng
Ví dụ (Bài 22 SGK)
Cho hình vẽ bên (hình 43 SGK) Chứng minh AI = IM
Sử dụng định lí đường trung bình tam giác A
(116)Giải
∆BDC có BE = ED BM = MC nên EM//DC, suy DI//EM ∆AEM có AD = DE DI//EM nên AI = IM
Dạng SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI VÀ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ VỀ ĐỘ DÀI
Phương pháp giải
Vận dụng định lí định lí đường trung bình hình thang
Ví dụ (Bài 26 SGK)
Tính x, y hình 45 (SGK), AB//CD//DF//GH
Giải
CD đường trung bình hình thang ABFE nên:
x = CD = AB+EF
= 8 16
2
+ = 12 (cm)
EF đường trung bình hình thang CDHG nên: EF = CD+HG
2 => 16 = 12
2
y
+
=> y = 20cm
Ví dụ (Bài 27 SGK)
Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K theo thứ tự trung điểm AD, BC, AC a) So sánh độ dài EK CD, KF AB
b) Chứng minh EF ≤ AB+CD
Giải
a) EK = CD
2 , KF = AB
2
b) Ta có:
EF ≤ EK + KF = CD
2 + AB
2
= CD+AB
2
C
A B
G H
(117)Dạng SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CHỨNG MINH BA ĐlỂM THẲNG HÀNG, TÍNH GĨC
Phương pháp giải
Sử dụng định lí đường trung bình hình thang
Ví dụ Cho hình thang vng ABCD ( A� = D�= 90ᵒ) Gọi F trung điểm BC
Chứng minh BAF� = CDF�
Giải
Gọi E trung điểm AD
EF dường trung bình hình thang ABCD nên EF // AB // CD Suy BAF� = F�1, CDF� = F�2 (so le trong)
Do EF//CD mà AD ⊥ CD nên EF ⊥ AD ∆AFD có đường trung tuyến FE đường cao nên tam giác cân Suy F�1 = F�2 Do
BAF� = CDF�
Ví du (Bài 28 SGK)
Cho hình thang ABCD (AB // CD) E trung điểm AD F trung điểm BC Đường thẳng EF cắt BD I, cắt AC K
a) Chứng minh AK = KC, BI = ID
b) Cho AB = 6cm, CD = 10cm Tính độ dài El KF, IK
Giải
a) EF đường trung bình hình thang ABCD nên EF//AB//CD?
Tam giác ABC có BF = FC FK // AB nên AK = KC
Tam giác ABD có AE = ED EI // AB nên BI = ID
b) Lần lượt tính : EF = 8cm, EI = 3cm, KF = 3cm, IK = 2cm
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm Gọi H chân đường vng góc
kẻ từ B đến tia phân giác góc A Gọi M trung điểm BC Tính độ dài HM
2 (Dạng 1) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB = 4cm CD = 10cm, AD = 5cm
Trên tia đối tia BD lấy điểm E cho BE = BD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ E đến DC Tính độ dài CH
3 (Dạng 2) Tam giác ABC có A� = 60°, B� = 70° D E theo thứ tự trung điểm AB
và AC Xác định dạng tứ giác BDEC tính góc
4 (Dạng 2) Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện
của tứ giác nửa tổng hai cạnh tứ giác hình thang
5 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BA
C
(118)Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CA Kẻ BH vng góc với AD, CK vng góc với AE Chứng minh :
a) AH = HD b) HK//BC
6 (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân A, gọi D E theo thứ tự trung điểm AB
và AC
a) Xác định dạng tứ giác BDEC b) Cho biết BC = 8cm, tính HC, HB
7 (Dạng 3) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm cua AM, D
là giao điểm BI AC a) Chứng minh AD =
2 DC b) Tính tỉ số độ dài BD ID
8 (Dạng 3) Cho tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia BA cho BD = BA, điểm
M trung điểm BC Gọi K giao điểm DM AC Chứng minh AK = 2KC
9 (Dạng 3) Chứng minh hình thang, đoạn thẳng nối trung điểm hai
đường chéo song song với hai đáy có độ dài nửa hiệu độ dài hai đáy
10 (Dạng 4) Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E trung điểm AD, F trung
điểm BC Tính chu vi hình thang ABCD biết DE + EF + FC = 5m
11 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Qua trung điểm O cua đường trung tuyến AM Kẻ
đường thẳng d cho B C nằm phía d Gọi AA’, BB’, CC’ đường vng góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d Chứng minh BB' + CC' = 2AA'
12 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Qua trọng tâm G, kẻ đường thẳng d cho B C
nằm phía d Gọi AA’, BB’, CC’ đường vng góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d Chứng minh AA’ = BB' + CC'
13 (Dạng 4) Cho hai điểm A B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự 20dm
và 6dm Gọi C trung điểm AB Tính khỏang cách từ C đến đường thẳng d
14 (Dạng 6) Cho tam giác ABC có BC = 8cm Các trung tuyến BD, CE Gọi M, N theo
thứ tự trung điểm BE, CD Gọi giao điểm MN với BD, CE theo thứ tự I, K
a) Tính độ dài MN
b) Chứng minh MI = IK = KN
15 (Dạng 6) Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các đường phân giác góc ngồi
tại đỉnh A D cắt M Các đường phân giác góc đỉnh B C cắt N
a) Chứng minh MN //CD
(119)b) Tính chu vi hình thang ABCD biết MN = 4cm
§ DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA DỰNG HÌNH THANG
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Bài tốn dựng hình trình bày đầy đủ gồm bốn phần :
Phân tích :
- Giả sử có hình thỏa mãn điều kiện toán
- Chọn yếu tố dựng (đoạn thẳng, tam giác .)
- Đưa việc dựng điểm lại phép dựng hình tốn dựng hình (mỗi điểm thường xác định giao điểm hai đường)
Cách dựng: Nêu thứ tự bước dựng hình, đồng thời thể nét dựng hình
vẽ
Chứng minh: Bằng lập luận chứng tỏ với cách dựng trên, hình dựng thỏa
mãn điều kiện đề
Biện luận: Xét xem tốn dựng được, dựng hình thỏa
mãn đề
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng DỰNG TAM GIÁC
Phương pháp giải
Sử dụng tốn dựng hình biết dựng tam giác (dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề) tốn dựng hình cơ khác nêu SGK
Ví dụ (Bài 30 SGK)
Dựng tam giác ABC vuông B, biết cạnh huyền AC = 4cm, cạnh góc vng BC = 2cm
Giải
Cách dựng :
- Dựng đoạn thẳng BC = 2cm - Dựng góc CBx� = 90°
- Dựng cung tâm C có bán kính 4cm, cắt Bx A - Dựng đoạn thẳng AC
Chứng minh :
∆ABC có B� = 90°, BC = 2cm, AC = 3cm, thoả mãn đề
Dạng DỰNG HÌNH THANG
(120)Phương pháp giải
Tìm tam giác dựng (có thể phải vẽ thêm đường phụ) Sau phân tích dựng điểm cịn lại, điểm phải thỏa mãn hai điều kiện nên giao điểm hai đường
Ví dụ (Bài 33 SGK)
Dựng hình thang cân ABCD, biết đáy CD = 3cm, đường chéo AC = 4cm, D = 80ᵒ
Giải
Cách dựng :
- Dựng đoạn thẳng CD = 3cm
- Dựng góc CDx� = 80ᵒ
- Dựng cung tâm C có bán kính 4cm, cắt tia Dx A
- Dựng tia Ay // DC (Ay C thuộc nửa mặt phẳng
bờ AD)
- Để dựng điểm B có hai cách : dựng C = 80° dựng đường chéo DB = 4cm
Chứng minh : Bạn đọc tự giải
Ví dụ (Bài 34 SGK)
Dựng hình thang ABCD, biết D = 90°, đáy CD = 3cm, cạnh bên AD = 2cm,cạnh bên BC = 3cm
Giải
Dựng ∆ADC biết hai cạnh góc xen Sau dựng điểm B
Chú ý Có hai hình thang thoả mãn
bài tốn
Dạng DỰNG GÓC CÓ SỐ ĐO ĐẶC BIỆT
Phương pháp giải
Nhờ dựng góc vng, dựng tia phân giác góc, dựng tam giác đều, ta dựng số góc có số đo đặc biệt, chẳng hạn 45°, 60° 30°,
Ví dụ (Bài 32 SGK) Hãy dựng góc 30° Giải Cách dựng :
- Dựng tam giác để có góc
60°
- Dựng tia phân giác góc 60°
Dạng DỰNG TỨ GIÁC, DỰNG ĐlỂM HAY ĐƯỜNG THẲNG THOẢ MÃN MỘT YÊU CẦU NÀO ĐÓ
D A
(121)Phương pháp giải
Tìm tam giác dựng (có thể phải vẽ thêm đường phụ), Sau phân tích dựng điểm cịn lại, điểm phải thỏa mãn hai điều kiện nên giao điểm hai đường
Ví dụ Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng song song với BC, cắt AB AC D
E cho DE = BD + CE
Giải
Phân tích : Giả sử dựng
DE // BC cho DE = BD + CE Trên DE lấy I cho DI = DB EI = EC Hãy chứng minh B�1 = B�2 ?
C�1 = C�2
Cách dựng:
- Dựng tia phân giác góc
B C chúng cắt I
- Qua I, dựng đường thẳng song song với BC, cắt AB AC D E
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Dựng tam giác ABC biết : AB + AC = 3cm, BC = 2cm, B� = 75° 2 (Dạng 1) Dựng tam giác ABC vuông A, biết : AC − AB= lCm, C� = 30°
3 (Dạng 2) Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD) biết : AB = lcm, C� = 55°, đường
cao BH = l,5cm
4 (Dạng 2) Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết : AB = 1.5cm, CD = 3,5cm, C� =
45°, D� = 60°
5 (Dạng 2) Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD) biết : AB = lcm , CD = 3cm BD =
2,5cm
6 (Dạng 2) Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết : AB=lcm, CD = 3cm , AC = 3cm
BD = 2cm
7 (Dạng 3) Dựng góc có số đo 105°
8 (Dạng 4) Dựng tứ giác ABCD biết  = 120°, B� = 110°, AD = l,5cm , AC = 3cm, CD =
3cm
9 (Dạng 4) Cho tam giác ABC (BC > AB) Dựng điểm M thuộc cạnh BC cho MA
+ MB = BC
§ ĐỐI XỨNG TRỤC
1 Hai điểm gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm
A đối xứng với A’ qua d ⇔d đường trung trực AA’
(122)A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng VẼ HÌNH, NHẬN BIẾT HAI HÌNH ĐỐI XỨNG VỚI NHAU QUA MỘT TRỤC
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng với qua trục, hai hình đối xứng với qua trục
Ví dụ (Bài 41 SGK)
Các câu sau hay sai?
a) Nếu ba điểm thẳng hàng ba điểm đối xứng với chúng qua trục thẳng hàng
b) Hai tam giác đối xứng với qua trục có chu vi c) Một đường trịn có vơ số trục đối xứng
d) Một đoạn thẳng có trục đối xứng
Giải
a) Đúng ; b) Đúng ; c) Đúng
d) Sai Giải thích : Một đoạn thẳng có hai trục đối xứng (là đường trung trực nó)
Dạng SỬ DỤNG ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất : Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với qua đường thẳng chúng
Ví dụ (Bài 36 SGK)
Cho góc xOy có số đo 50°, điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy
a) So sánh độ dài OB OC b) Tính số đo góc BOC
Giải
a) Ox đường trung trực AB => OA = OB
Oy đường trung trực AC=> OA = OC Suy OB = OC b) ∆AOB cân O => O�1 = O�2 =
2 AOB� ∆AOC cân O => O�3 = O�4 =
2 AOC�
AOB� + AOC� = 2(Ô1+Ô3) =2 xOy� = 2.50° = 100°
2 Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H điểm đối xứng với điểm thuộc hình H qua đường thẳng d thuộc hình H
3 Đường thẳng qua trung điểm hai đáy hình thang cân trục đối xứng hình thang cân
(123)Vậy BOC� = 100°
Dạng TÌM TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH, HÌNH CĨ TRỤC ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải
Nhớ lại định nghĩa trục đối xứng hình, định lí trục đối xứng hình thang cân
Ví dụ (Bài 37 SGK)
Tìm hình có trục đối xứng hình vẽ sau :
Giải
Hình h) khơng có trục đối xứng Cịn lại hình khác có trục đối xứng
Chú ý Hình a) có hai trục đối xứng Hình g) có năm trục đối xứng
Dạng DỰNG HÌNH, THỰC HÀNH CĨ SỬ DỤNG ĐỐI XỨNG TRỤC
Phương pháp giải
Chú ý đến hình có trục đối xứng Trong nhiều tốn, cần vẽ thêm : điểm đối xứng với điểm cho trước qua đường thẳng
Ví dụ (Bài 39 SGK)
Cho hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d (hình 60 SGK) Gọi C điểm đối xứng với A qua d
a) Gọi D giao điểm đường thẳng d đoạn thẳng BC Gọi E điểm đường thẳng d (E khác D) Chứng minh AD + DB < AE + EB
b) Bạn Tú vị trí A, cần đến bờ sơng d lấy nước
di đến vị trí B (hình 60 SGK) Con đường ngắn mà bạn Tú nên đường ?
Giải
a) AD+DB=CD+DB=CB; (1) ;
AE+EB=CE+EB (2)
CB<CE<EB (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AD+DB< AE+EB
b) Con đường ngắn mà bạn Tú nên đường ADB
g) h) i)
B
A
d
Hình 60 SGK
(124)Chú ý Bài toán cho ta cách dựng điểm D đường thẳng d cho tổng
khoảng cách từ A từ B đến D nhỏ Nhiều tốn thực tế dẫn đến tốn
dựng Chẳng hạn:
- Hai địa điểm dân cư A B phía sơng thẳng Cần đặt cầu vị trí
để tổng khoảng cách từ cầu đến A đến B nhỏ nhất?
- Hai công trường A B phía đường thẳng Cần đặt trạm biến vị
trí đường để tổng độ dài đường dây từ trạm biến đến A đến B
nhỏ nhất?
Ví dụ (Bài 42 SGK)
a) Hãy tập cắt chữ D (hình 62a SGK) cách gấp đôi
tờ giấy Kể tên vài chữ khác (kiểu chữ in hoa) có trục đối xứng
b) Vì ta gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H (hình
62b SGK)?
Giải
a) Các chữ có trục đối xứng:
- Chỉ có trục đối xứng dọc: A M T U V Y, , , , , - Chỉ có trục đối xứng ngang: B C D Ñ E K, , , , , - Có hai trục đối xứng dọc ngang: H I O X, , ,
b) Có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H chữ H có hai trục đối xứng vng góc
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Vẽ hình đối xứng với hình bên qua trục m.
2 (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân A M, trung điểm
BC Trên tia đối tia AB lấy
điểm E, tia đối tia AC lấy điểm D cho AD=AE Chứng minh hai điểm D E đối xứng với qua đường
thẳng AM
3 (Dạng 2) Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Gọi K điểm đối xứng với H qua
BC Tìm liên hệ số đo góc BAC BKC
4 (Dạng 2) Cho tam giác ABC , gọi m đường trung trực BC Vẽ điểm D
đối xứng với A qua m
a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với AB AC, qua m b) Xác định dạng tứ giác ABCD
a) b)
(125)5 (Dạng 2) Cho hình thang vng
( 90 )
ABCD A= =D Gọi K điểm đối xứng với
C qua
AD Chứng minh AIB=CID
6 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Gọi d đường phân giác đỉnh A Trên
đường thẳng
d lấy điểm M khác A Chứng minh BA+AC<BM +MC
7 (Dạng 2) Cho tam giác nhọn ABC , điểm M thuộc cạnh BC Gọi D điểm đối
xứng với M
qua AB, gọi E điểm đối xứng với M qua AC Gọi I K, giao điểm DE với ,
AB AC
a) Chứng minh MA tia phân giác góc IMK b) Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ
8 (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân B
a) Tìm trục đối xứng tam giác
b) Gọi trục đối xứng d Kể tên hình đối xứng qua d của: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C, cạnh
,
AB cạnh AC
9 (Dạng 4) Cho hai điểm A B, nằm phía đường thẳng d Gọi AH BK, đường vng góc kẻ từ A B, đến d Gọi C điểm nằm H K
a) Vẽ điểm A′ đối xứng với A qua d Chứng minh ACH =.A CH′
b) Gỉa sử ,ACH =BKC chứng minh ba điểm A C B′, , thẳng hàng c) Nêu cách dựng điểm C nằm H K cho ACH =BCK
10 (Dạng 4) Cho điểm A nằm góc nhọn xOy Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ
§7 HÌNH BÌNH HÀNH
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Định nghĩa
Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song
ABCD hình bình hành ⇔
lµ tø gi¸c ,
ABCD
AB CD AD BC
2 Tính chất
Trong hình bình hành:
D C
B A
(126)- Các cạnh đối nhau; - Các góc đối nhau;
- Hai đường chéo cắt trung điểm đường
3 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
- Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành
- Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có góc đối hình bình hành
- Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH
Phương pháp giải
Thường sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành cạnh đối đường chéo
Ví dụ (Bài 46 SGK)
Các câu sau hay sai?
a) Hình thang có hai cạnh đáy hình bình hành b) Hình thang có hai cạnh bên song song hình bình hành c) Tứ giác có hai cạnh đối hình bình hành d) Hình thang có hai cạnh bên hình bình hành
Giải
Các câu đúng: a) b)
Các câu sai: c) d) (có thể lấy hình thang cân làm phản ví dụ)
Ví dụ (Bài 48 SGK)
Tứ giác ABCD có E F G H, , , theo thứ tự trung điểm cạnh , , ,
AB BC CD DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
Giải
Tứ giác EFGH hình bình hành
Cách
EFGH (cùng song song với AC );
EHFG (cùng song song với BD)
Cách
E
F
G H
A
B
C D
(127)2
1
1
F
E
D C
B A
EFGH (cùng song song với AC );
EF =GH (cùng
2
AC)
Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÌNH BÌNH HÀNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, CÁC GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất cạnh, góc đường chéo hình bình hành Có thể phải chứng minh tứ giác hình bình hành
Ví dụ (Bài 44 SGK)
Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm
BC Chứng minh BE=DF
Giải
Tứ giác BEDF có DEBF DE=BF nên hình bình hành Do BE=DF
Ví dụ (Bài 45 SGK)
Cho hình bình hành ABCD (AB>BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia
phân giác góc B cắt CD F
a) Chứng minh DEBF
b) Tứ giác DEBF hình gì? Vì sao?
Giải
a) Ta có B1=D1 (cùng nửa hai
góc B D)
Ta có AB C/ / D⇒ B1 = (so le trong) F1
Suy D1= Do F1 DE/ /BF (có hai góc
đồng vị nhau)
b) DEBF hình bình hành (theo định nghĩa)
Ví dụ (Bài 49 SGK)
Cho hình bình hành ABCD Gọi ,I K theo thứ tự
trung điểm CD,AB Đường chéo BD cắt AI CK, theo thứ tự M N Chứng minh
rằng: a) AI CK/ /
b) DM MN NB= =
Giải
E F
A
B
C D
(128)N M
I
K
D C
B A
K
O H
D C
B A
a) Tứ giác ABCD hình bình hành nên có AB C= D AB/ / DC
Tứ giác AICK có AK IC// AK IC=
nên hình bình hành Do AI CK/ /
b) DC∆ Ν có DI IC= IM/ /CN nên
DM MN= Chứng minh tương tự MN NB= Vậy DM MN NB= =
Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG CHÉO HÌNH BÌNH HÀNH ĐỂ CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Phương pháp giải
Theo tính chất đường chéo hình bình hành, trung điểm đường chéo hai đầu đường chéo ba điểm thẳng hàng
Ví dụ (Bài 47 SGK)
Cho hình 72 SGK (hình vẽ bên) ABCD hình bình hành a) Chứng minh AHCK
hình bình hành
b) Gọi O trung điểm HK
Chứng minh ba điểm A O C, , thẳng hàng
Giải
a) AHD∆ = ∆CKB (cạnh huyền - góc nhọn)⇒AH CK= Tứ giác AHCK có AH/ /CK AH CK, = nên hình bình hành
b) Xét hình bình hành AHCK , trung điểm O đường chéo HK trung điểm đường chéo AC Vậy ba điểm A O C, , thẳng hàng
Dạng DỰNG HÌNH BÌNH HÀNH, HOẶC DỰNG HÌNH CĨ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH BÌNH HÀNH
Phương pháp giải
Thường đưa dạng tam giác, dựng tiếp đỉnh cịn lại hình bình hành
Ví dụ Dựng hình bình hành ABCD biết ba đoạn thẳng xuất phát từ A AB=3cm
, AC=3cm, AD 2= cm
(129)3
2
D C
B A
Giải
3
AB= cm nên D 3C = cm
Dựng ACD∆ biết ba cạnh Sau dựng điểm B
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Cho tam giác ABC ¸ đường trung tuyến BD CE cắt G Vẽ điểm ,M N cho D trung điểm GM E trung điểm GN Chứng minh
BNMC hình bình hành
2 (Dạng 1) Chứng minh hình thang có hai cạnh bên hình
thang cân hình bình hành
3 (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DA =CE Gọi O trung điểm DE, gọi K giao điểm AO
BC Chứng minh A KED hình bình hành
4 (Dạng 1) Cho tam giác ABC có A ≠60° Ở phía ngồi tam giác ABC , vẽ tam giác
đều ABD ACE Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A, vẽ tam giác BCK Chứng minh A KED hình bình hành
5 (Dạng 2) Tính góc hình bình hành ABCD, biết A − =B 10°
6 (Dạng 2) Tam giác ABC có AB=AC =3cm Gọi M điểm thuộc dây BC Kẻ MD // AC , ME //AB D AB E, AC Tính chu vi tứ giác ADME
7 (Dạng 2) Cho tứ giác ABCD Gọi E F G H, , , theo thứ tự trung điểm , , ,
BD AB AC CD
a) Chứng minh EFGH hình bình hành
b) Cho ADa BC, b, tính chu vi hình bình hành EFGH
8 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Gọi E F, theo thứ tự trung điểm AB CD, a) Chứng minh AF //CE
b) Gọi M N, theo thứ tự giao điểm BD với AF CE, Chứng minh rằng:
DMMNNB
9 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E F, cho
DEDF Chứng minh rằng: AF//CE
10 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD , O giao điểm hai đường chéo E F
theo thứ tự trung điểm OD OB a) Chứng minh rằng: AE//CF
b) Gọi K giao điểm AE DC Chứng minh rằng:
2
DK KC
(130)11 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho ADBE
Qua D E, vẽ đường thẳng song song với BC , chúng cắt AC theo thứ tự M
N
Chứng minh rằng: DMENBC
12 (Dạng 2) Cho tam giác ABC , trực tâm H Các đường thẳng vng góc với AB B,
vng góc với AC C cắt D Chứng minh rằng:
a) BDCH hình bình hành
b)
180
BACBDC
c) H M D, , thẳng hàng (M trung điểm BC )
d)
2
OM AH ( O trung điểm AD)
13 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Qua D vẽ đường thẳng d cho A C
nằm phía d Gọi A B C', ', ' chân đường vuông góc kẻ từ A B C, , đến đường thẳng d Chứng minh rằng: AA'CC'BB'
14 (Dạng 3) Cho hình bình hành ABCD , E F theo thứ tự trung điểm AB
CD, O giao điểm EF AC Chứng minh ba điểm B O D, , thẳng hàng
15 (Dạng 3) Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm G , cạnh AD lấy
điểm H cho CGAH Chứng minh đường thẳng GH AC BD, , đồng quy
16 (Dạng 4) Cho điểm A nằm đoạn thẳng BC Hãy sử dụng kiến thức hình
bình hành để dựng đường thẳng qua A song song với BC
17 (Dạng 4) Dựng hình bình hành ABCD , biết hai đường chéo AC3cm, BD4cm,
45
COD ( O giao điểm hai đường chéo)
18 (Dạng 4) Dựng hình bình hành ABCD , biết đường chéo AC8cm, BD6cm, chiều
cao BH4, 5cm với HAD
19 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Dựng điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC
sao cho DE//BC BDAE
§ ĐỐI XỨNG TÂM
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Hai điểm gọi đối xứng với qua điểm O
nếu O trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm
A đối xứng với A' qua O O trung điểm AA'
2 Điểm O gọi tâm đối xứng hình H điểm đối xứng với điểm thuộc
hình H qua tâm O thuộc hình H
3 Giao điểm hai đường chéo hình bình hành tâm đối xứng hình bình hành
B CÁC DẠNG TỐN
(131)Dạng VẼ HÌNH ĐỐI XỨNG QUA MỘT TÂM
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng với qua tâm, hai hình đối xứng với qua tâm
Ví dụ (Bài 51 SGK)
Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm Hcó tọa độ ( )3 2; Hãy vẽ điểm Kđối xứng với H qua gốc tọa độ tìm tọa độ K
Giải
Xem hình bên Tọa độ điểm K (− −3; 2)
Dạng NHẬN BIẾT HAI ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI NHAU QUA MỘT TÂM SỬ DỤNG ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng với qua tâm, hai hình đối xứng với qua tâm
Ví dụ (Bài 52 SGK)
Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với Dqua điểm A, gọiF điểm
đối xứng với Dqua điểm C Chứng minh điểm Eđối xứng với điểm Fqua B
Giải
Ta có AE BC// và AE BC= ⇒AEBClà hình bình hành ⇒BE//AC,BE=AC ( )1
Tương tự: BF//AC,BF= AC ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy E ,B,Fthẳng hàng BE =BF Suy Blà trung điểm EFvà E
đối xứng với F qua B
x y
2
-3
-2
3
K
H
C
A B
E
D F
(132)Ví dụ (Bài 53 SGK)
Cho hình 82 SGK, MD //ABvà ME AC// Chứng minh điểm Ađối xứng với
điểm M qua điểm I
Giải
D //
M AEvà ME AD// ⇒ AEMDlà hình bình hành
Ilà trung điểm DEnên Icũng trung điểm AM, Ađối xứng với M qua I
Ví dụ (Bài 54 SGK)
Cho góc vng xOy, điểm Anằm góc Gọi Blà điểm đối xứng với Aqua Ox , gọi
Clà điểm đối xứng với Aqua Oy Chứng minh điểm Bđối xứng với điểm C qua O
Giải
Cách 1 Ox đường trung trực AB⇒OA=OB
Oylà đường trung trực AC⇒OA OC=
Suy ra: OB OC= ( )1
AOB
∆ cân 1 2
2
AOB
O⇒O =O = ;
AOB
∆ cân 3 4
2
AOC
O⇒O =O =
2(2 3) 2 90 180
AOB+AOC= O +O = . ° = ° ⇒B,O,Cthẳng hàng ( )2 I
D
M
B C
A
E
y
x
4 3 2 1
O
C A
B
(133)Từ ( )1 ( )2 suy Bđối xứng C với qua O
Cách 2 Ađối xứng với Bqua Ox O nằm Ox nên OA đối xứng với OB qua Ox , suy
ra OA OB,O= 1=O2
A đối xứng với C qua Oyvà O nằm Oynên OA đối xứng với OC qua Oy, suy
3 4
OA OC,O= =O Do đó: OB OC= ( )1
Và AOB+AOC =2(O2+O3)=2 90. ° =180°suy ba điểm B,O,Cthẳng hàng
Từ ( )1 ( )2 suy Bđối xứng C với qua O
Ví dụ (Bài 55 SGK)
Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng O qua cắt cạnh ABvà DC theo thứ tự Mvà N Chứng minh điểm M đối xứng với
điểm N qua O
Giải
( )
BOM DON g.c.g OM ON
∆ = ∆ ⇒ =
O trung điểm MN nên M đối xứng
với N qua O
Dạng TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH, TÌM HÌNH CÓ TÂM ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải
Nhớ lại định nghĩa tâm đối xứng hình, định lí tâm đối xứng hình bình hành
Ví dụ (Bài 56 SGK)
Trong hình sau đây, hình có tâm đối xứng? a) Đoạn thẳng AB;
b) Tam giác ABC; c) Biển cấm ngược chiều;
d) Biển hướng vòng tranh chướng ngại vật
a) b) c) d)
O
1 1
2 1
A B
C D
M
N
(134)Giải
Hình a) c) có tâm đối xứng
Ví dụ (Bài SGK)
Các câu sau hay sai?
a) Tâm đối xứng đường thẳng điểm đường thẳng b) Trọng tâm tam giác tâm đối xứng tam giác
c) Hai tam giác đối xứng với qua điểm có chu vi
Giải
Câu a) câu c) Câu b) sai
Dạng DỰNG HÌNH CĨ SỬ DỤNG ĐỐI XỨNG TÂM
Phương pháp giải
Chú ý đến hình có tâm đối xứng Trong nhiều toán, cần vẽ thêm điểm đối xứng với điểm cho trước qua tâm
Ví dụ Cho góc xAy khác góc bẹt O điểm góc Hãy dựng đường thẳng qua
O cắt hai cạnh Ax, Ay theo thứ tự hai điểm M, N cho O trung điểm đoạn
thẳng MN
Giải Cách
Phân tích: Giả sử dựng đoạn thẳng MN Gọi A′ điểm đối xứng với A qua O Ta có AMA N′ hình bình hành Từ suy cách dựng
Cách dựng:
- Dựng A′ đối xứng với A qua O
- Qua A dựng đường thẳng song song với Ax, cắt Ay
N
- Qua A dựng đường thẳng song song với Ay, cắt Ax M MN đường thẳng phải dựng
Chứng minh: Hình bình hành AMA N′ có O trung điểm AA′ nên O trung điểm của MN
Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình
Cách
- Qua O dựng đường thẳng song song với Ax, cắt Ay B
- Dựng N đối xứng với A qua B
- NO cắt Ax M
C LUYỆN TẬP
(135)Bài (Dạng 1) Cho điểm A mặt phẳng tọa độ có tọa độ ( )2;1 Vẽ điểm B đối xứng với A qua trục hoành, điểm C đối xứng với A qua trục tung Có nhận xét vị trí hai điểm B C gốc tọa độ O?
Bài (Dạng 2) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD, CE Gọi H điểm đối xứng với B qua D, gọi K điểm đối xứng với C qua E Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A
Bài (Dạng 2) Cho tam giác ABC Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A Gọi M điểm nằm B C MA cắt DE N Chứng minh rằngMC NE=
Bài (Dạng 2) Cho điểm M nằm tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Gọi A B C′, , ′ ′theo thứ tự điểm đối xứng với M qua F, E,
D Chứng minh A B C∆ ′ ′ ′= ∆ABC
Bài (Dạng 2) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi D đối xứng với A qua B, I đối xứng với A qua M, E đối xứng với A qua C Chứng minh D đối xứng với E qua I
Bài (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo cắt O Lấy M
trên cạnh AD , lấy N cạnh BC cho AM CN= Chứng minh M đối xứng với N qua O
Bài (Dạng 3) Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB , BC , CD , DA lấy
điểm E , F , G , H cho AE CG= , BF DH=
a) Xác định tâm đối xứng hình bình hành ABCD
b) Chứng minh EFGH hình bình hành tìm tâm đối xứng c) O cịn tâm đối xứng hình bình hành nào?
Bài (Dạng 4) Cho tam giác ABC , điểm D nằm B C Gọi O trung điểm
của AD Dựng điểm E thuộc cạnh AB , F thuộc cạnh AC cho E đối xứng với F qua O
Bài (Dạng 4) Cho hai điểm A B nằm góc xOy khác góc bẹt dựng điểm
M thuộc tia Ox , N thuộc tia Oy cho ANBM hình bình hành
Bài 10 (Dạng 4) Cho hình bình hành ABCD , điểm E thuộc cạnh AD , điểm F thuộc
cạnh AB Dựng điểm G thuộc cạnh BC , điểm H thuộc cạnh CD cho
EFGH hình bình hành
(136)BÀI HÌNH CHỮ NHẬT
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Định nghĩa Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng
ABCD hình chữ nhật
90
ABCD la tu giac A B C D
⇔
= = = = °
2 Tính chất
− Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành, hình thang cân − Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm
của đường
3 Dấu hiệu nhận biết
− Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật
− Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật − Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật
− Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật
4 Áp dụng vào tam giác
− Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cạnh huyền
− Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh cạnh tam giác tam giác vng
A CÁC DẠNG TỐN
Dạng NHẬN BIẾT HÌNH CHỮ NHẬT
Phương pháp giải
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
Ví dụ (Bài 61 SGK) Cho tam giác ABC , đường cao AH Gọi I trung điểm AC ,
E điểm đối xứng với H qua I Tứ giác AHCE hình gì? Vì sao?
Lời giải
A B
D C
(137)AHCE hình bình hành đường chéo cắt trung điểm đường
Hình bình hành AHCE hình chữ nhật hai đường chéo (hoặc có
90
AHC= °)
Ví dụ (Bài 64 SGK) Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác góc A , B , C , D
cắt hình vẽ chứng minh EFGH hình chữ nhật
Lời giải
DEC
∆ có 1 90
2
D C
D +C = + = ° nên 90E= °
Tương tự: 90F= °, G 90= ° Tứ giác EFGH có ba góc vng nên hình chữ nhật
Ví dụ (Bài 65 SGK) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi E , F ,
G
H theo thứ tự trung điểm cạnh
, , ,
AB BC CD DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
Giải
EF đường trung bình ABC∆ nên EF // AC , HG đườngtrung bình ADC∆ nên HG // AC Suy EF // HG
Chứng minh tương tự EF // FG Do EFGH hình bình hành
EF // AC BD⊥ AC nên BD EF⊥ EH // BD BD EF⊥ nên EH ⊥ EF
Hình bình hành EFGH có E = 900 nên hình chữ nhật
I
A E
H C
B
1 1
F E
H
G
D C
A B
H G
F E
A C
B
D
(138)Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH CHỮ NHẬT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ BẰNG NHAU, SONG SONG, THẲNG HÀNG , VNG GĨC
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất hình chữ nhật
Ví dụ ( 63 sgk)
Tìm x hình 90 SGK
Giải
Kẻ BH ⊥CD Do HC =5 nên BH =12 Vậy x =12
Ví dụ ( Bài 66 SGK)
Đố Một đội công nhân trồng đoạn đường AB gặp chướng ngại vật
che lấp tầm nhìn (H.92 SGK) Đội đa dựng điểm , ,C D E hình vẽ trồng tiếp đoạn đường EF vuông góc
với DE Vì AB EF nằm đường thẳng ?
Giải
BCDE hình bình hành có góc
vng nên hình chữ nhật Do CBE=90 ,° BED=90 ,° suy AB EF nằm đường thẳng
Dạng TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH CHỮ NHẬT
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất đối xứng trục đối xứng tâm
Ví dụ ( Bài 59 SGK)
Chứng minh :
a) Giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật tam đối xứng hình
b) hai đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đối hình chữ nhật hai trục đối xứng hình
Giải
a) Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng Hình chữ nhật hình bình hành Do giao điểm hai đường héo hình chữ nhật tâm đối xứng hình
b) Hình thang cân nhận đường thẳng qua trung điểm hai đáy làm trục đối xứng Hình chữ nhật hình thang cân có hai cạnh đáy hai cạnh đối hình chữ nhật Do đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đối hình chữ nhật trục đối xứng hình
Dạng ÁP DỤNG VÀO TAM GIÁC
Phương pháp giải
Sử dụng định lí tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Sử dụng quan
x
15 10
13
H
D C
A B
E
A B
C
F
D
(139)hệ độ dài đường trung tuyến cạnh tương ứng để chứng minh tam giác vng
Ví dụ ( Bài 62 SGK)
Các câu sau hay sai?
a) Nếu tam giác ABC vuông C điểm C thuộc đường trịn có đường kính AB ( hình 88 SGK )
b) Nếu điểm C thuộc đường trịn có đường kính AB ( C khác A B) tam giác ABC vng C ( Hình 89 SGK)
Giải
Các câu a) b) đúng: Giải thích:
a) Gọi O trung điểm AB Ta có CO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nênOC OA OB= = Do C thuộc đường trịn có đường kính AB
b) Ta có OC OA OB= = Tam giác CAB có đường trung tuyến CO
2
AB nên
90
ACB=
Dạng DỰNG HÌNH CHỮ NHẬT
Phương pháp giải
Khi gặp toán yêu cầu dựng hình chữ nhật ta thường đưa dựng tam giác
Ví dụ Dựng hình chữ nhật ABCD biếtBD=4cm, khoảng cách từ A đến BD 1,5cm
Giải
Gọi O giao điểm AC BD Dựng AOH∆ (cạnh huyền*cạnh góc vng) Sau dựng B D C, ,
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Chứng minh tia phân giác góc hình bình hành cắt tạo
thành hình chữ nhật, đường chéo hình chữ nhật song song với cạnh hình bình hành
2 (Dạng 2) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính
góc tam giác ABD , biết
50
AOD=
A B
C D
2
1.5
O H C
A B
C B
A
O
(140)3 (Dạng 2) Cho hình thang vng ABCD có
90
A= =B , AB=4cm,
15 , 17
AD= cm BC= cm Tính CD
4 (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc
cạnh AC Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm củaDE BE BC CD, , , Chứng minh
MP=NQ
5 (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc cạnh huyền BC Gọi D E
là chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC a) Xác định dạng tứ giác ADME
b) Gọi I trung điểm DE Chứng minh A, I, M thẳng hàng
c) Điềm M vị trí BC DE có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nếu
15 , 20
AB= cm AC= cm
6 (Dạng 2) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E chân đường vng góc kẻ từ B đến AC, I
trung điềm AE, M trung điểm CD
a) Gọi H trung điểm BE Chứng minh rằngCH IM // b) Tính số đo góc BIM
7 (Dạng 3) a) Chứng minh tứ giác có hai trục đối xứng vng góc với
và khơng qua đỉnh tứ giác tứ giác hình chữ nhật
b) Dùng mệnh đề để kiểm tra xem tờ giấy hình tứ giác có phải hình chữ nhật hay khơng
8 (Dạng 4) Cho hình thang cân ABCD , đường cao AH Gọi E, F theo tứ thự trung điểm
của cạnh bênAD BC, Chứng minh EFCH hình bình hành
9 (Dạng 4) Cho tam giác ABC (AB<AC) có đường cao AH Gọi M, N, P trung
điểm cạnhBC CA AB, , Chứng minh rằng;
a) NP đường trung trực AH b) Tứ giác MNPH hình thang cân
10 (Dạng 4) Cho tam giác ABC , đường cao BD CE Gọi M, N chân đường
vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh rằng:
a) KI vng góc với ED b) EM DN=
11 (Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự trung
điểm củaAB AC, Chứng minh IHK =900
12 (Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ
, ,( )
HD⊥AB HE⊥AC D∈B E∈AC
a) Chứng minh C = ADE
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằngAM ⊥DE
13 ( Dạng 1, 4) Cho tam giác ABC , đường cao AD , BE , CF cắt nhai H Gọi
, ,
I K R theo thứ tự trung điểm HA HB HC, , Mọi M N P, , theo thứ tự trung điểm
của BC AC AB, , Chứng minh rằng:
(141)a) MNIK PNRK, hình chữ nhật
b) Sáu điểm P N R K M I, , , , , thuộc đường tròn
c) Ba điểm D E F, , thuộc đường trịn nói
14 (Dạng 5) Dựng hình chữ nhật biết đường chéo 3cm, góc nhọn tạo hai
đường chéo 50°
15 (Dạng 5) Dựng hình chữ nhật có chu vi 7 cm, góc tạo hai đường chéo
70°
Bài 10 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Khoảng cách hai đường thẳng song song:
Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng
2 Tính chất điểm cách đường thẳng cho trước:
Tập hợp điểm cách đường thẳng cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h
3 Đường thẳng song song cách đều:
- Nếu đường thẳng song song cách cắt đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp
- Nếu đường thẳng song song cắt đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp chúng song song cách
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG CÁCH ĐỀU
Phương pháp giải
Sử dụng định lí có nhiều đường thẳng song song
Ví dụ (Bài 67 SGK)
(142)Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia Ax Trên tia Ax lấy điểm C D E, , cho
AC=CD=DE ( H.97 SGK) Kẻ đoạn EB
Qua C D, kẻ đường thẳng song song với
EB Chứng minh đoạn thẳng AB bị chia
ra làm ba phần
Giải
Cách Dùng tính chất đường trung bình tam giác đường trung bình hình
thang
Cách Vẽ đường thẳng d qua A song song với EB
Ta có: AC CD DE= = nên đường thẳng d CC DD EB, ′, ′, đường thẳng song song
cách Suy ra: AC C D D B′= ′ ′= ′
Dạng CHỨNG TỎ MỘT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG TRÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
Các điểm cách đường thẳng b cố định khoảng h nằm hai đường thẳng song song với b cách b khoảng h
Ví dụ (Bài 68 SGK)
Cho điểm A nằm bên đường thẳng d có khoảng cách đến d cm Lấy B
là điểm thuộc đường thẳng d Gọi C điểm đối xứng với điểm A qua điểm
B Khi điểm B di chuyển đường thẳng d điểm C di chuyển đường thẳng
nào?
Giải
Kẻ AH CK vng góc với d AHB∆ = ∆CKB ( Cạnh huyền- Góc nhọn)
2
CK AH cm
⇒ = = Điểm C cách đường thẳng d cố định khoảng không đổi cmnên
C di chuyển đường thẳng m song song với d cách d khoảng 2cm
Ví dụ (Bài 70 SGK)
(143)Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy cho OA=2cm Lấy B điểm thuộc tia Ox Gọi C trung điểm AB Khi điểm B di chuyển tia Ox điểm C di chuyển đường nào?
Giải
Cách Kẻ CH Ox⊥ , chứng minh CH =1cm Điểm C di chuyển tia Em song song với Ox cách Ox khoảng 1cm
Cách Chứng minh CA CO= Điểm C di chuyển tia Em thuộc đường trung trực OA
Ví dụ (Bài 71 SGK)
Cho tam giác ABC vuông A Lấy M điểm thuộc cạnh BC Gọi MD đường vuông góc kẻ từ M đến AB ME đường vng góc kẻ từ M đến AC O trung điểm DE
a) Chứng minh M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào? b) Điểm M vị trí cạnh BC AM có độ dài nhỏ nhất?
Giải
a) AEMD hình chữ nhật, O trung điểm đường chéo DE nên O trung điểm đường chéo AM Vậy A O M, , thẳng hàng
b) Kẻ AH BC⊥ Điểm O di chuyển đoạn thẳng PQ đường trung bình ABC∆
Có thể chứng minh hai cách 77
c) Điểm M vị trí H ( M trùng H ) AM có độ dài nhỏ Dạng PHÁT BIỂU MỘT TẬP HỢP ĐIỂM
(144)Phương pháp giải
Nhớ lại tập hợp điểm học đường trịn, tia phân giác góc, đường trung trực đoạn thẳng, đường thẳng song song với đường thẳng
Ví dụ (Bài 69 SGK)
Ghép ý (1), (2), (3), (4) với ý (5), (6), (7), (8) để khẳng định đúng:
(1) Tập hợp cá điểm cách điểm A cố định khoảng 3cm
(2) Tập hợp điểm cách hai đầu đoạn thẳng AB cố định
(3) Tập hợp điểm nằm góc xOy cách hai cạnh góc
(4) Tập hợp điểm cách đường thẳng a cố định khoảng 3cm
(5) đường trung trực đoạn thẳng AB
(6) hai đường thẳng song song với a cách a khoảng 3cm
(7) đường trịn tâm A bán kính 3cm
(8) tia phân giác góc xOy
Giải
Ghép ý: (1) với (7); (2) với (5); (3) với (8); (4) với (6)
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Trên tờ giấy có dịng kẻ song song cách đều, bạn Tuấn dùng thước kẻ hai
đoạn thẳng AC BD, cắt điểm O thuộc dòng kẻ hình bên Vì
ABCD hình bình hành?
2 (Dạng 1) Tính độ dài EF GH, hình bên, biết AB/ /EF/ /GH/ /CD, AB=4,
12,
CD= AE=EG=GD
(145)3 (Dạng 2) Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm A chuyển động đường thẳng d song
song với BC cách BC 3cm Trọng tâm G tam giác ABC chuyển động đường nào?
4 (Dạng 2) Cho tam giác ABC , điểm M di chuyển cạnh BC Kẻ
/ / , / / ( , )
MD AC ME AB D∈AB E∈AC Trung điểm I DE chuyển động đường nào?
5 (Dạng 2) Cho tam giác ABC cân A Các điểm D E, theo thứ tự chuyển động
cạnh AB AC, sao cho AD CE= Trung điểm I DE chuyển động đường nào?
6 (Dạng 2) Cho đoạn thẳng AB, điểm M chuyển động đoạn thẳng Vẽ
phía AB tam giác AMC , BMD Trung điểm I CD chuyển động
đường nào?
7 (Dạng 2) Cho đoạn thẳng AB, điểm M chuyển động đoạn thẳng Vẽ
phía AB tam giác AMC vuông cân C , BMD vuông cân D Trung điểm I CD chuyển động đường nào?
8 (Dạng 3) Điền vào chỗ trống (…):
a) Tập hợp đỉnh A tam giác cân ABC có đáy BC cố định là…
b) Tập hợp đỉnh C tam giác ABC vng có cạnh huyền AB cố định là… Tập hợp giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD có cạnh CD cố định là…
§11 HÌNH THOI
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh
ABCD hình thoi ⟺ ABCD tứ giác AB BC CD DA
= = =
2 Tính chất:
- Hình thoi có tất tính chất hình bình hành
- Trong hình thoi, hai đường chéo vng góc với đường phân giác góc hình thoi
3 Dấu hiệu nhận biết:
(146)- Tứ giác có bốn cạnh hình thoi
- Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi
- Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi
- Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: NHẬN BIẾT HÌNH THOI
Phương pháp giải
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi
Ví dụ (Bài 75 SGK)
Chứng minh trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật đỉnh hình thoi
Giải
Bốn tam giác vuông AEH BEF CGF DGH, , , bằng nên: EH EF GF GH= = = Do EFGH hình thoi
Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH THOI ĐỂ TÍNH TỐN, CHỨNG MINH CÁC ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, CÁC GÓC BẰNG NHAU, CÁC ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất hình thoi
Ví dụ (Bài 74 SGK)
Hai đường chéo hình thoi 8cm 10 cm Cạnh hình thoi giá trị giá trị sau:
(A): 6cm; (B): 41 cm; (C): 164 cm; (D): 9cm?
Giải
Gọi O giao điểm đường chéo hình thoi ABCD ABCD hình thoi nên
AC⊥BD
BD
OB = = 4cm ;
AC
OC = = 5cm
2
(147)2 2 2 41
BC =OB +OC = + =
Nên BC= 41cm Vậy câu trả lời B
Ví dụ (Bài 76 SGK)
Chứng minh trung điểm bốn cạnh hình thoi đỉnh hình chữ nhật
Giải
EF đường trung bình ∆ABC⇒EF/ /BC
HG đường trung bình ∆ADC⇒HG/ /AC Suy EF/ /HG
Chứng minh tương tự EH/ /FG
Do EFGH hình bình hành / /
EF ACvà BD AC⊥ nên BD⊥EF
/ /
EH BD EF ⊥BD nên EF⊥EH
Hình bình hành EFGH có
90
E= nên hình chữ
nhật
Ví dụ (Bài 78 SGK)
Hình 103 SGK biểu diễn phần cửa xếp, gồm kim loại dài liên kết với chốt hai đầu trung điểm Vì vị trí cửa xếp, tứ giác hình vẽ hình thoi Các điểm chốt I K, , M N O, , nằm đường thẳng?
Giải
Các tứ giác IEKF KGMH, hình thoi có bốn cạnh Theo tính chất hình thoi,
KI tia phân giác góc EKF KM, là ti phân giác góc GKH Do ta chứng minh I K M, , thẳng hàng
Chứng minh tương tự, điểm I K M N O, , , , nằm đường thẳng
(148)Dạng TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH THOI
Phương pháp giải
Vận dụng tính chất đối xứng trục đối xứng tâm học
Ví dụ (Bài 77 SGK)
Chứng minh rằng:
a) Giao điểm hai đường chéo hình thoi tâm đối xứng hình thoi b) Hai đường chéo hình thoi hai trục đối xứng hình thoi
Giải
a) Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng Hình thoi
một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi tâm đối xứng hình
b) BD đường trung trực AC nên A đối xứng với C qua BD: B D đối
xứng với qua BD
Do BD trục đối xứng hình thoi
Tương tự AC trục đối xứng hình thoi
Dạng DỰNG HÌNH THOI
Phương pháp giải
Để dựng hình thoi ta thường đưa dựng tam giác
Ví dụ (Bài 77 SGK)
Dựng hình thoi biết góc tạo hai cạnh
60 tổng độ dài hai đường chéo 8cm
Giải
Giả sử dựng hình thoi ABCD có
60
A= , AC+BD=8cm Gọi O giao điểm
đường chéo, ta có: AO OB+ =4cm Trên tia OC lấy điểm E cho OE OB= ,
4
AE= AO OE+ = AO OB+ = cm
O B
D
A C
(149)∆ BOE vuông cân nên BEO=450, ∆BAE dựng (g.c.g)
Điểm O giao điểm AE đường trung trực BE Từ dựng tiếp D C
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Chứng minh trung điểm cạnh hình thang cân đỉnh
một hình thoi
2 (Dạng 1) Cho tam giác ABC Qua diểm D thuộc cạnh BC , kẻ đường thẳng song
song với AB AC , cắt AC AB theo thứ tự E F
a) Tứ giác AEDF hình gì?
b) Điểm D vị trí BC AEDF hình thoi?
3 (Dang 1) Cho tứ giác ABCD có 90o
A=C= , tia DA CB cắt E, tia
AB DC cắt F
a) Chứng minh E=F
b) Tia phân giác góc E cắt AB, CD theo thứ tự G H Tia phân giác góc F
cắt BC , AD theo thứ tự I K Chứng minh GKHI hình thoi
4 (Dạng 1) Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh BC Gọi E, F chân
đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Gọi I trung điểm AM , D trung điểm
của BC
a) Tính số đo góc DIE, DIF
b) Chứng minh DEIF hình thoi
5 (Dạng 2) Tính chu vi hình thoi, biết đường chéo 16cm 30cm 6 (Dạng 2) Chứng minh đường cao hình thoi
7 (Dạng 2) Cho hình thoi ABCD đường vng góc kẻ từ dỉnh góc từ A đến
cạnh BC chia đơi cạnh Tính góc hình thoi
8 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh
AC cho BD CE= Gọi I K M N, , , theo thứ tự trung điểm DE BC BE, , , CD Chứng minh IK vng góc với MN
O B
D
A C
(150)9 (Dạng 2) Gọi O giao điểm đường chéo hình thoi ABCD Gọi E F G H, , , theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ O đến AB BC CD DA, , , Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
10 (Dạng 2) Hình thoi ABCD có đường cao a, cạnh 2a Tính góc hình thoi, biết A>B
11 (Dạng 2) Hình thoi ABCD có 60o
A= Trên cạnh DA DC, lấy điểm E F, cho
DE=CF Chứng minh tam giác BEF tam giác
12 (Dạng 2) Cho hình thoi ABCD Từ đỉnh góc tù B, kẻ đường vng góc BE, BF đến AD DC, cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh BMDN hình thoi
13 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB AC, , lấy điểm D E, cho
BD=CE Gọi M N I K, , , theo thứ tự trung điểm DE BC BE CD, , , a) Tứ giác MINK hình gì? Vì sao?
b) Gọi G H, giao điểm IK với AB AC, Chứng minh tam giác AGH tam giác cân
14 (Dạng 2) Cho góc xOy khác góc bẹt Dùng thước có hai lề song song, đặt lề
trùng với Oy kẻ theo lề đường thẳng d1, đặt lề trùng với Oy kẻ theo lề
đường thẳng d2sao cho d1 cắt d2 điểm B nằm góc xOy Chứng minh
OB tia phân giác góc xOy
15 (Dạng 3) Áp dụng tính chất đối xứng qua trục hình thoi, nêu cách gấp giấy
dùng kéo cắt để nhận hình thoi
16 (Dạng 4) Dựng hình thoi ABCD biết cạnh 2cm, đường cao 1,5cm
§11 HÌNH VNG
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Định nghĩa Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh
ABCD hình vuông 90o
ABCD tứ giác A B C D AB BC CD DA
⇔ = = = =
= = =
(151)2 Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng
- Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng
- Hình thoi có hai đường chéo hình vng
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng NHẬN BIẾT HÌNH VNG
Phương pháp giải
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vng Có hai cách chứng minh:
Cách 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật có thêm dấu hiệu: Hai cạnh kề nhau, hai đường chéo vng góc, đường chéo đường phân giác góc
Cách Chứng minh tứ giác hình thoi có thêm dấu hiệu: Một góc vng, hai đường chéo
Ví dụ (Bài 81 SGK)
Cho hình 106 SGK Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao?
Giải
Tứ giác AEDF hình vng
Giải thích:
AEDF hình bình hành (theo định nghĩa)
Hình bình hành AEDF có AD phân giác góc A nên hình thoi
Hình thoi AEDF có 90o
A= nên hình vng
(152)Ví dụ (Bài 83 SGK)
Các câu sau hay sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo vng góc với hình thoi
b) Tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường hình thoi
c) Hình thoi tứ giác có tất cạnh
d) Hình chữ nhật có hai đường chéo hình vng
e) Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng
Giải
Các câu a d sai Các câu b, c, e
Ví dụ (Bài 85 SGK)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD Gọi E F, theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE
a) Tứ giác ADFE hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác EMFN hình gì? Vì sao?
Giải
a) Tứ giác ADFE hình vng
Giải thích:
Tứ giác ADFE có AE/ /DF, AE=DFnên hình bình hành Hình bình hành ADFE có
90o
A= nên hình chữ nhật, lại có AE=AD nên hình vng
b) Tứ giác EMFN hình vng
E
F B
A C
D
C
D F
E
A B
(153)Giải thích: Tứ giác DEBF có EB/ /DF, EB=DFnên hình bình hành, DE/ /BF
Tương tự AF/ /EC Suy EMFN hình bình hành
ADFE hình vng (câu a) ⇒ME=MF ME, ⊥MF
Hình bình hành EMFN có 90o
M = nên hình chữ nhật, lại có ME = MF nên hình
vng
Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH VNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ BẰNG NHAU, SONG SONG, THẲNG HÀNG, VNG GĨC
Ví dụ (Bài 79 SGK0
a) Một hình vng có cạnh 3cm Đường chéo hình vng bằng: 6cm, 18cm,
5cm hay 4cm?
b) Đường chéo hình vng 2dm Cạnh hình vng bằng: 1dm,
,
2dm dmhay 3dm? Đáp số
a, 18cm b, 2dm
Chú ý: Hình vng cạnh a có đường chéo a
Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Qua giao điểm O hai đường chéo, kẻ đường
thẳng d Gọi A B C D’, ’, ’, ’theo thứ tự hình chiếu A B C D, , , đường thẳng d Chứng minh rằng:
2 2 2
' ' ' '
A A +B B +C C +D D =a
Giải
' '
AA O OD D
∆ = ∆ (cạnh huyền – góc nhọn) nên ’A O=D D’ Do
2 2 2
' ' ' ' (1)
A A +D D = A A +A O =OA
Tương tự: 2
' ' (2)
B B +C C =OB
Từ (1) (2) suy ra:
2 2 2 2
' ' ' '
A A +B B +C C +D D =OA +OB =a
B' C'
A'
D' O
D C
A B
(154)Dạng TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT HÌNH TRỞ THÀNH HÌNH VNG
Phương pháp giải
- Bước phân tích: Giả sử hình B hình vng, ta tìm hình A phải có thêm điều kiện M
- Bước chứng minh: Khi hình A có thêm điều kiện M, chứng minh B hình vng Vẽ hình minh họa
Trong trường hợp giải vắn tắt, cần nên điều kiện M bước phân tích mà bỏ qua giải thích vi tìm điều kiện M
Ví dụ (Bài 84 SGK)
Cho tam giác ABC , D điểm nằm B C Qua D kẻ đường thẳng song song
với AB AC , chúng cắt cạnh AC AB theo thứ tự E F
a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao?
b) Điểm D vị trí cạnh BC tứ giác AEDF hình thoi?
c) Nếu tam giác ABC vng A tứ giác AEDF hình gì? Điểm D vị trí
cạnh BC tứ giác AEDF hình vng?
Giải
a) Tứ giác AEDFlà hình bình hành (theo định nghĩa)
b) Nếu D giao điểm tia phân giác góc A với cạnh BC AEDF hình thoi
c) Nếu ABC∆ vng A tứ giác AEDF hình gì? Điểm D vị trí cạnh BC
thì tứ giác AEDF hình vng?
Dạng DỰNG HÌNH VNG, CẮT HÌNH VNG
Phương pháp giải
Đưa dựng tam giác Có trường hợp sử dụng tính đối xứng hình vng
Ví dụ (Bài 86 SGK)
Lấy tờ giấy gấp làm tư cắt chéo theo nhát cắt AB (H 108 SGK) Sau mở tờ
giấy ra, ta tứ giác Tứ giác nhận hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA OB= tứ giác nhận hình gì?
Giải
Tứ giác nhận hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với
Nếu có thêm OA OB= hình thoi nhận có hai đường chéo nên hình vng
F
D B
A
C E
(155)Ví dụ Một mảnh vườn hình vng rào xung quanh Sau thời gian, bờ rào bị
hỏng, lại hai cọc rào hai cạnh đối diện Nếu biết tâm mảnh vườn, hỏi có thể xác định cạnh mảnh vườn hay khơng?
Giải
Giả sử dựng hình vng ABCD có tâm O , điểm M∈AD, điểm N BC∈ Kẻ MO
cắt BC M ' Do O tâm đối xứng hình vuông nên M ' đối xứng với M qua O
Nếu M N O, , không thẳng hang M ',N hai điểm phân biệt, đường thẳng BC
xác định nhất, từ dễ dàng dựng cạnh hình vng
Trong trường hợp M O N, , thẳng hang M ' trùng N , đường thẳng BC khơng xác định nhất, khơng xác định cạnh hình vng
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Cho hình thoi ABCD , O giao điểm hai đường chéo Các tia phân giác
của bốn góc đỉnh O cắt cạnh AB BC CD DA, , , theo thứ tự E F G H, , , Chứng minh rằng EFGH hình vng
2 (Dạng 1) Cho đoạn thẳng AM Trên đường vng góc với AM M , lấy điểm K
cho
2
MK = AM Kẻ MB vng góc với AK B( ∈AK) Gọi C điểm đối xứng với B qua
M Đường vng góc với AB A đường vng góc với BC C cắt D
Chứng minh ABCD hình vng
3 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD có cạnh 17cm Trên cạnh AB BC CD DA, , , lấy theo thứ tự điểm E F G H, , , cho AE=BF=CG=DH =5cm Chứng minh
EFGH hình vng tính cạnh hình vng
4 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc DAE cắt CD F Gọi H hình chiếu F AE Gọi K giao điểm FH
BC
a) Tính độ dài AH
b) Chứng minh AK tia phân giác góc BAE c) Tính chu vi tam giác CFK
5 (Dạng 2) Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không Chứng minh
các tia phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành hình vng có đường chéo song song với cạnh hình chữ nhật
O
B A
D C
M
M' N
(156)6 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác đó, vẽ hình vng ABDE
và ACFH Gọi M I N K, , , theo thứ tự trung điểm EB BC CH HE, , , Chứng minh rằng MINK hình vng
7 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD cạnh a Lấy điểm E cạnh BC , điểm F cạnh
CD cho EAF=45° Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK =BE
a) Tính số đo góc KAF
b) Tính chu vi tam giác CEF
8 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD , điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABE
cắt AD K Chứng minh AK CE BE+ =
9 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD Gọi E G F, , theo thứ tự điểm thuộc cạnh , ,
AD AB BC Qua G vẽ đường vng góc với EF, cắt CD K Chứng minh
EF =GK
10 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD E F, theo thứ tự trung điểm AB BC, a) Chứng minh CE DF⊥
b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minh AM =AB
11 (Dạng 2) Cho hình vuông ABCD Qua điểm M thuộc đường chéo AC , kẻ ME vng
góc với AD MF, vng góc với CD Chứng minh rằng: a) BE vng góc với AF
b) BM vng góc với EF
c) Các đường thẳng BM AF CE, , đồng quy
12 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD Vẽ điểm E F, nằm hình vng cho tam giác ECD cân E, tam giác AFD cân F góc đáy hai tam giác 15°
Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEF tam giác
b) Tam giác ABE tam giác
13 (Dạng 3) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB AC, lấy theo thứ tự điểm D E, cho BD CE= Gọi M N I K, , , theo thứ tự trung điểm BE CD DE BC, , , Tìm điều kiện tam giác ABC để MINK hình vng
14 (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến BD CE cắt
tại G Gọi H K, theo thứ tự trung điểm GB GC, Tam giác cân ABC có thêm điều kiện DEHK hình vng?
15 (Dạng 4) Cho tam giác ABC vng cân A Dựng hình vuông DEGH cho D
thuộc cạnh AB E, thuộc cạnh AC G, H thuộc cạnh BC
16 (Dạng 4) Cho hình vng ABCD Dựng điểm E cạnh CD , điểm F cạnh
BC cho tam giác AEF tam giác
ÔN TẬP CHƯƠNG I
87 Sơ đồ hình 109 SGK biểu thị quan hệ tập hợp hình thang, hình bình hành,
hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Dựa vào sơ đồ đó, điền vào chỗ trống:
(157)a) Tập hợp hình chữ nhật tập hợp tập hợp hình … b) Tập hợp hình thoi tập hợp tập hợp hình…
c) Giao tập hợp hình chữ nhật tập hợp hình thoi tập hợp hình
Trả lời
a) Tập hợp hình chữ nhật tập hợp hình bình hành, hình thang b) Tập hợp hình thoi tập hợp tập hợp hình bình hành, hình thang c) Giao tập hợp hình chữ nhật tập hợp hình thoi tập hợp hình vuông
88 Cho tứ giác ABCD Gọi E F G H, , , theo thứ tự trung điểm AB BC CD DA, , , Các đường chéo AC BD, tứ giác ABCD có điều kiện EFGH là:
a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vng?
Giải
a) Hình bình hành EFGH hình chữ nhật
EH EF
⇔ ⊥
AC BD
⇔ ⊥ (vì EH/ /BD EH, / /AC)
Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC BD vng
góc với
b) Hình bình hành EFGH hình thoi
EF EH
⇔ =
AC BD
⇔ = (vì 1
,
2
EF= AC EH = BD)
Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC BD
nhau
c) Hình bình hành EFGH hình vng khi:
là hình chữ nhật
là hình thoi
EFGH
EFGH
AC BD AC BD
⊥
⇔ =
Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC BD, vng góc với
(158)89 Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm
,
AB E điểm đối xứng với M qua D
a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua AB
b) Các tứ giác AEMC AEBM, hình gì? Vì sao? c) Cho BC=4cm, tính chu vi tứ giác AEBM
d) Tam giác vng ABC có điều kiện AEBM hình vng?
Giải
a) MD đường trung bình ∆ABC⇒MD/ /AC Do AC AB⊥ nên MD⊥ AB
Ta có AB đường trung trực ME nên E đối xứng với M qua AB
b) Ta có EM / /AC EM, = AC (vì 2DM ) nên AEMC hình bình hành Tứ giác
AEBM hình thoi
Giải thích: AEBM hình bình hành đường chéo cắt trung điểm
đường Hình bình hành AEBM có AB⊥EM nên hình thoi
c) BC =4cm⇒BM =2cm Chu vi hình thoi AEBM
.4 2.4 8( )
BM = = cm
d) Cách Hình thoi AEBM hình vng
AB EM AB AC
⇔ = ⇔ =
Vậy ABC∆ vng có thêm điều kiện AB AC= (tức tam giác vng cân A) AEBM hình vng
Cách Hình thoi AEBM hình vng
AM BM ABC
⇔ ⊥ ⇔ ∆ có đường trung tuyến AM đường cao ⇔ ABC cân A
Vậy ABC∆ vng có thêm điều kiện cân A AEBM hình vng
B BÀI TẬP ƠN BỔ SUNG
1 Xác định dạng tứ giác sau, cạnh có tính chất:
a) Hai cạnh đối song song nhau, hai cạnh kề vuông góc với b) Các cạnh nhau, hai cạnh kề vng góc với
c) Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối
2 Xác định dạng tứ giác sau, đường chéo có tính chất:
a) Hai đường chéo cắt trung điểm đường
b) Hai đường chéo cắt trung điểm đường
c) Hai đường chéo vng góc với cắt trung điểm đường
3 Cho tam giác cân A Điền thêm vào hình vẽ để được:
a) Một hình chữ nhật hai đường chéo b) Một hình thoi hai đường chéo
4 Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB A=60° Gọi E F, theo thứ tự trung điểm BC AD, Gọi I điểm đối xứng với A qua B
D E
B C
A
M
(159)a) Tứ giác ABEF hình ? Vì ?
b) Tứ giác AIEF hình ? Vì ?
c) Tứ giác BICD hình ? Vì ? d) Tính số đo góc AED
5 Cho hình thang ABCD AB( / /CD) Gọi E F, theo thứ tự trung điểm AB CD, Gọi
O trung điểm EF Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC
theo thứ tự M N
a) Tứ giác EMFN hình gì? Chứng minh
b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện EMFN hình thoi? c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện EMFN hình vng?
6 Cho tam giác ABC Gọi D E F, , theo thứ tự trung điểm AB BC CA, , Gọi
, , ,
M N P Q theo thứ tự trung điểm AD AF EF ED, , , a) Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao?
b) Tam giác ABC có điền kiện MNPQ hình chữ nhật?
c) Tam giác ABC có điền kiện MNPQ hình thoi?
7 Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng
với M qua AB, E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua
AC, F giao điểm MK AC
a) Xác định dạng tứ giác AEMF AMBH AMCK, , b) Chứng minh H đối xứng với K qua A
c) Tam giác vng ABC có thêm điều kiện AMEF hình vng?
8 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD Gọi E điểm đối xứng với D qua
trung điểm M AC
a) Tứ giác ADCE hình gì? Vì sao? b) Tứ giác ABDM hình gì? Vì sao?
c) Tam giác ABC có thêm điều kiện ADCE hình vng? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện ABDM hình thang cân?
9 Cho hình bình hành ABCD Vẽ ngồi hình bình hành hình vng có cạnh theo
thứ tự AB BC CD DA, , , có tâm (đối xứng) E F G H, , , Chứng minh rằng: a) ∆HAE= ∆FBE
b) EFGH hình vng
(160)10 Cho hình vng ABCD , điểm E thuộc cạnh BC , điểm F thuộc tia tới tia DC
sao cho BE=DF Qua A kẻ đường thẳng vng góc với EF, cắt CD K Qua E
kẻ đường thẳng song song với CD , cắt AK I Tứ giác FIEK hình gì? Vì sao?
11 Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMNP
và BMLK có giao điểm đường chéo theo thứ tự C D Gọi G Q, hình chiếu C D, AB
a) Tứ giác CDQG hình gì?
b) Gọi O giao điểm AC BD Tứ giác OCMD hình gì?
c) Tính khoảng cách từ trung điểm I AB đến AB biết AB a=
d) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB I di chuyển đường thẳng nào?
(161)Chương II
ĐA GIÁC DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
§1 ĐA GIÁC ĐA GIÁC ĐỀU
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Định nghĩa
Đa giác A A1 An hình gồm n đoạn thẳng A A A A1 2, 3, ,A An đoạn
thẳng có điểm chung không nằm đường thẳng
Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác
Chú ý Từ nói đến đa giác mà khơng thích thêm, ta hiểu đa giác
lồi
Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc
Ngũ giác
Tính chất
Tổng góc đa giác n cạnh (n−2 180) hay (n−2 2) v
Mỗi góc đa giác n cạnh ( )
2 180
n n
−
Lục giác
B CÁC DẠNG TOÁN A
E B
D C
(162)Dạng NHẬN BIẾT ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa đa giác
Ví dụ Cho ngũ giác ABCDE Kẻ đường chéo AC AD, Kể tên đa giác có hình vẽ
Giải
Có ba tam giác ABC ACD ADE, , Có hai tứ giác ABCD ACDE, Có ngũ giác ABCDE
Dạng TÍNH CHẤT VỀ GĨC CỦA ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Tổng góc đa giác n cạnh (n−2 2) v hay (n−2 180)
Ví dụ Chứng minh định lí: Tổng số đo góc hình n−giác (n−2 180)
Giải
Xét hình n−giác A A1 2 An Kẻ đường chéo xuất phát từ A1, ta n−2 tam giác (có cạnh đối diện với A là: A A A A2 3, 4, ,An−1An)
Tổng số đo góc n−giác tổng số đo góc n−2 tam giác Mỗi tam giác có tổng số đo góc
180
Vậy Tổng số đo góc hình n−giác (n−2 180)
B
A C
E D
(163)Dạng TÍNH CHẤT VỀ SỐ ĐƯỜNG CHÉO CỦA ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Trước hết xét số đường chéo xuất phát từ đỉnh
Ví dụ Tính số đường chéo ngũ giác, lục giác, hình n−giác
Giải
(Đối với hình n−giác A A1 2 An) từ đỉnh A1 chẳng hạn, vẽ n−3 đường chéo:
1 3, 4, , n
A A A A A A− (nối A1 với đỉnh đa giác, trừ ba đỉnh A A A1, 2, n)
Với n đỉnh, có n n( −3) đường chéo, đường chép tính hai lần
Vậy số đường chéo ( 3)
n n−
Dạng ĐA GIÁC ĐỀU
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa đa giác đều, cơng thức tính góc đa giác
Ví dụ (Bài SGK)
Cho ví dụ đa giác khơng trường hợp sau: a) Có tất cạnh
b) Có tất góc
Giải
(164)a) Hình thoi ABCD với
90
Α ≠ có cạnh không đa giác (vì góc khơng nhau)
b) Hình chữ nhật ABCD với AB AD> có góc khơng đa giác (vì cạnh khơng nhau)
Ví dụ (Bài SGK)
Cho hình thoi ABCD với
60
Α = Gọi , , ,E F G H trung điểm cạnh
, , ,
AB BC CD DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác
Hướng dẫn
Chứng minh lục giác EBFGDH có cạnh góc ( )0
120
Ví dụ (Bài SGK)
Tính số đo góc ngũ giác đều, lục giác đều, n−giác Đáp số
( )
0 180
108 ,120 , n
n
−
C LUYỆN TẬP
(Dạng 1) Cho lục giác ABCDEF Kẻ đường chéo AC AD AE, , Kể tên đa giác hình vẽ
(Dạng 2) Tính tổng số đo góc đa giác 12 cạnh
(Dạng 2) Tính số cạnh đa giác có tổng số đo góc
1080
(Dạng 2) Ta gọi góc ngồi đa giác góc kề bù với góc đa giác Ta
coi đỉnh đa giác có góc ngồi
a) Chứng minh tổng góc ngồi của đa giác
360
b) Đa giác có tổng góc gấp đơi tổng góc ngồi?
(Dạng 3) Đa giác có số đường chéo:
a) Bằng số cạnh?
F
G H
E
B
D
A C
(165)b) Gấp đôi số cạnh?
(Dạng 3) Cho lục giác ABCDEF có cạnh đối AB DE BC, EF CD,
FA song song Chứng minh đường chéo AD , BE CF
của lục giác cắt điểm O 'O chia đường chéo thành hai đoạn
bằng
(Dạng 3) Chứng minh ngũ giác, tổng đường chéo lớn chu vi (Dạng 4) Mỗi góc đa giác n cạnh 1080 Tìm n
(Dạng 4) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm ,D E cho AD=DE=EB Trên cạnh BC lấy điểm ,F H cho BF =FH =HC Trên cạnh CA lấy điểm ,I K cho CI =IK =KA. Chứng minh DEFHIK lục giác
10 (Dạng 4) Chứng minh trung điểm cạnh ngũ giác đỉnh
một ngũ giác
§2 DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Khái niệm diện tích đa giác
Số đo phần mặt phẳng giới hạn đa giác gọi diện tích đa giác Mỗi đa giác có diện tích xác định Diện tích đa giác số dương
Diện tích đa giác có tính chất sau:
− Hai tam giác có diện tích
− Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác
− Nếu chọn hình vng có cạnh ,1 ,1 , cm dm m làm đơn vị đo diện tích đơn vị
diện tích tương ứng 2
1cm ,1dm ,1m ,
Công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vng, tam giác vng
− Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nó:
S =a b
a
b
(166)− Diện tích hình vng bình phương cạnh nó:
2.
S =a
− Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vuông:
1
S= a b
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng TÍNH CHẤT DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất diện tích
Ví dụ 1: (Bài 11 SGK)
Cắt hai tam giác vng từ bìa Hãy ghép hai tam giác để tạo thành:
a) Một tam giác cân b) Một hình chữ nhật; c) Một hình bình hành
Diện tích hình có khơng? Vì sao?
Giải
a
a
b
a
2
1
1
1
1
(167)Ghép hình Các hình có diện tích theo tính chất thứ hai diện tích
Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT
Phương pháp giải
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình chữ nhật
Ví dụ 2: ( Bài SGK)
Diện tích hình chữ nhật thay đổi nếu: a) Chiều dài tăng lần, chiều rộng không đổi? b) Chiều dài chiều rộng tăng lần?
c) Chiều dài tăng lần, chiều rộng giảm lần?
Giải:
Lúc đầu, hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b, diện tích S = ab
Sau thay đổi, hình chữ nhật có chiều dài 'a , chiều rộng 'b , diện tích ' ' 'S = a b
a) Nếu ' , ' a = a b = b ' 'S = a b
b) Nếu ' , ' 3a = a b = b ' 3 9 S = a b = ab = S
c) Nếu ' 4a = a , '
4
b
b = S'
4
b
a ab S
= = =
Ví dụ 3: ( Bài 7SGK)
Một gian phịng có hình chữ nhật với kích thước 4,2 m 5,4m, có cửa sổ hình chữ nhật kích thước 1m 1,6 m cửa vào hình chữ nhật kích thước 1, 2m m Ta coi gian phòng đạt mức chuẩn ánh sáng diện tích cửa
bằng 20% diện tích nhà Hỏi gian phong có đạt mức chuẩn ánh sáng không?
Giải
Diện tích S nhà bằng: 4.2.5.4 22,68= (m2)
Diện tích S’ cửa bằng: 1.1,6 1,2.2 4+ = (m2)
Ta thấy ' 17, 6% 20% 22, 68
S
S = ≈ <
Vậy gian phịng khơng đạt chuẩn ánh sáng Dạng DIỆN TÍCH HÌNH VNG
Phương pháp giải
(168)Sử dụng công thức diện tích hình vng
Ví dụ 4: ( Bài 10 SGK)
Cho tam giác vuông Hãy so sánh tổng diện tích hai hình vng dựng hai cạnh góc vng với diện tích hình vuông dựng cạnh huyền
Giải
Giả sử tam giác ABC có cạnh huyền a hai cạnh góc vng b, c Diện tích hình vng dựng cạnh huyền a a2
Tổng diện tích hai hình vng dựng hai cạnh góc vng b c b2+c2
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: 2
a =b +c
Vậy: Trong tam giác vng, tổng diện tích hai hình vng dựng tên hai cạnh góc vng diện tích hình vng dựng cạnh huyền
Dạng DIỆN TÍCH TAM GIÁC VNG
Phương pháp giải
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình vng Chú ý sử dụng định lí Pi-ta-go
Ví dụ 5: Tính diện tích tam giác ABC vng A , có AB=5cm, BC=13cm
Giải:
2 2 2
– 13 144 12
AC = BC AB = − = ⇒ AC= cm
c b
a B
A C
13
5
A C
B
(169)2
1 5.12
30( )
2
S = AB AC= = cm
Ví dụ 6: (Bài SGK)
ABCD hình vng cạnh 12 cm AE x= Tính x cho diện tích tam giác ABE
bằng
3 diện tích hình vng ABCD
Giải
Diện tích tam giác ABE 6x (
cm )
Diện tích hình vng ABCD 144(
cm )
Theo đề bài, ta có6 144 8(cm)
x= ⇒ =x
Ví dụ 7: (Bài 13 SGK)
Cho hình 125, ABCD hình chữ nhật, E điểm nằm đường chéo AC
/ /
FG AD HK/ /AB Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK EGDH có
cùng diện tích
Giải
Ta có SABC =SADC;
;
AEF AHE
EKC EGC
S S S S
= =
x
12
C B
A D
E
G
K F
H
B
D C
A
E
(170)Suy ra:
ABC AEF EKC ADC AHE EGC
S −S −S =S −S −S
Vậy SBKEF =SEGDH Ví dụ 8: ( Bài 15 SGK)
Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB=5cm, BC=3cm
a) Hãy vẽ hình chữ nhật có diện tích nhỏ có chu vi lớn hình chữ nhật ABCD Vẽ vậy?
b) Hãy vẽ hình vng có chu vi chu vi hình chữ nhật ABCD Vẽ hình vng vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vng có chu vi vừa vẽ
c) Tại hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn nhất?
Giải
a) Hình chữ nhật ABCD có diện tích 15 cm2 Chu vi 16cm Chẳng hạn hình chữ
nhật có kích thước cm x cm diện tích 14cm2 ( nhỏ diện tích
ABCD), chu vi 18cm, (lớn chu vi ABCD )
b) Hình vng có chu vi chu vi hình chữ nhật ABCD cạnh 16 : 4= (cm), diện tích 4.4 16= (cm2) Diện tích hình chữ nhật ABCD nhỏ diện
tích hình vng ( 15 16< )
c) Ta chứng minh hình chữ nhật có chu vi 2p hình vng có diện tích lớn
Thật vậy, gọi a b kích thước hình chữ nhật, ta có a b p+ = , diện tích hình
chữ nhật S ab=
Hình vng có chu vi p cạnh 2
4
p = p
, diện tích ' (a b)2
4
p
S = = +
Xét hiệu:
2 2 2
(a b) (a b) (a b)
'
4 4
ab a ab b
S − =S + −ab= + − = − + = + ≥
Vậy 'S ≥S Dấu xảy (tức S =S') a b=
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1)
10
16
H B
D C
A
G E
(171)a) Hình chữ nhật ABCD căt ghép thành mảnh hình bên Hãy ghép mảnh lại để hình vng
b) Hãy chia hình chữ nhật kích thước 16x nói thành mảnh ghép lại thành
một hình vng
2 (Dạng 2) Cho hình thoi có hai đường chéo a b Tính diện tích tứ giác có
đỉnh trung điểm cạnh hình thoi
3 ( Dạng 2) Cho hình chữ nhật ABCD có AD=14cm, BD=50cm O giao điểm hai đường chéo Gọi , , ,E F G H trung điểm OA OB OC OD, , , Tính diện tích tứ giác EFGH
4 (Dạng 3) Diện tích hình vng tăng phần trăm cạnh
nó tăng thêm 20%
5 (Dạng 3) Một hình thang cân có hai đường chéo vng góc với nhau, độ dài hai
đường chéo cm Tính diện tích tứ giác có đỉnh trung điểm cạnh hình thang cân
6 (Dạng 4) Tính diện tích tam giác vng có cạnh huyền 10cm, tổng hai
cạnh góc vng 14cm
7 Tính diện tích hình thang vuông ABCD (
90
A= =B ) có AB=3cm, AD=4cm,
135
ABC=
8 Trong hình chữ nhật có diện tích 100m2, hình có chu vi nhỏ nhất?
§3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
• Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó:
1
S = ah
Từ suy ra:
• Nếu hai tam giác có cạnh tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số chiều cao tương ứng
h
a
(172)• Nếu hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số cạnh tương ứng
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng CẮT VÀ GHÉP HÌNH GIẢI THÍCH CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Phương pháp giải
Đưa việc tính diện tích tam giác việc tính diện tích hình chữ nhật
Ví dụ 1: (Bài 20 SGK)
Vẽ hình chữ nhật có cạnh cạnh tam giác cho trước có diện tích diện tích tam giác Từ suy cách chứng minh khác cơng thức tính diện tích tam giác
Giải
Dựng hình chữ nhật có cạnh cạnh tam giác, cạnh đối diện thuộc đường thẳng qua trung điểm hai cạnh
Để chứng minh diện tích tam giác diện tích hình chữ nhật, ta kẻ AK vng góc với D ( chọn BC cạnh lớn tam giác ABC AK khơng nằm ngồi tam giác) Dễ thấy S1=S S2, =S4 nên SABC =SBINC
Như
2
ABC BINC
S =S =BC KH = BC AH Điều cho ta cách chứng minh
cơng thức tính diện tích tam giác
Dạng 2: TÍNH TỐN, CHỨNG MINH VỀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
l
S4
S3 S2
S1
K
N I
H E D
A
B C
(173)Ví dụ 2: ( Bài 18 SGK) Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM (H.132 SGK)
Chứng minh SAMB =SAMC
Giải
Kẻ AH BC⊥ Ta có:
1
;
2
AMB AMC
S = BM AH S = MC AH
Do BM MC= nên SAMB =SAMC Ví dụ 3: ( Bài 24 SGK)
Tính diện tích tam giác cân có cạnh đáy a cạnh bên b
Giải
Gọi H chiều cao tam giác cân có đáy a cạnh bên b Theo định lí
Pi-ta-go, ta có:
2
2 2 4
( )
2
a b a b a h =b − = − ⇒ =h −
Vậy 1 2
2 2
b a
S= ah= a − = a b −a
Ví dụ (Bài 25 SGK)
Tính diện tích tam giác có cạnh a
H M
A
B C
h
a b
(174)Giải
Gọi h chiều cao tam giác cạnh a Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
2 2 2
2
3
2
1 3
2 2
a a a
h a h
a a S a h a
= − = ⇒ =
= = =
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông A , AB=6cm Qua điểm D thuộc cạnh BC , Kẻ đoạn thẳng DE nằm tam giác ABC cho DE/ /AC DE=4cm Tính diện tích tam giác BEC
Giải
Gọi H giao điểm DE AB Gọi K chân đường vng góc kẻ từ C đến
DE Ta có:
BEC BDE CDE
S =S +S
1
2DE BH 2DE CK
= +
( )
1
2DE BH CK
= +
a/2
h a
K H
A C
B
D
E
(175)1
.( )
2DE BH AH
= +
2
1
.4.6 12(cm ) 2DE AB
= = =
Dạng TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Phương pháp giải
Từ công thức
S = ah suy a 2S, h 2S h a
= =
Ví dụ Tam giác cân ABC ( AB AC= ) có BC=30cm, đường cao AH =20cm Tính đường cao ứng với cạnh bên
Giải
Kẻ AH ⊥AC
2 2 2
20 15 625
AC =AH +HC = + =
Suy AC=25cm
( )2
1
.30.20 300 cm
2
ABC
S = BC AH = =
( )
2 2.300
BK 24 cm
25
S AC
= = =
Dạng SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC
Phương pháp giải
K
H
B C
A
(176)Phát quan hệ diện tích hình sử dụng cơng thức diện tích
Ví dụ ( Bài 17 SGK)
Cho tam giác AOB vuông O với đường cao OM ( Hình 131 SGK) Hãy giải thích ta có đẳng thức AB OM =OA AB
Giải
Ta có
2
AOB
S = AB OM Ta lại có
AOB
S = OA OB Vậy: AB OM =OA AB
Ví dụ 8: Cho Tam giác nhọn ABC, đường cao AA ',BB CC', ' cắt H
Chứng minh rằng:
' ' '
HA HB HC AA + BB +CC =
Giải
Gọi SABC =S Các tam giác HBC ABC có chung đáy BC nên tỉ số hai đường cao
bằng tỉ số hai diện tích:
'
HBC
S HA
AA = S
Tương tự: BB'
HAC
S HB
S
= ,
CC'
HAB
S HC
S
=
Do đó:
' ' '
HBC HAC HAB HBC HAC HAB
S S S S S S
HA HB HC S
AA BB CC S S S S S
+ +
+ + = + + = = =
M
Q B
A
H C'
A'
B' A
B
C
(177)Ví dụ Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tam giác
đều đến ba cạnh tam giác không phụ thuộc vào vị trí điểm tam giác
Giải
Gọi M điểm tam giác ABC Kẻ MH ⊥BC MI, ⊥AC MK, ⊥AB
Đặt AB BC CA a= = = Gọi H chiều cao tam giác Ta có:
BMC AMC AMB ABC
S +S +S =S
Suy
2 2
a a a a MH+ MI+ MK = h
Hay MH MI MK h+ + =
Vậy khoảng cách từ điểm tam giác đến ba cạnh khơng phụ thuộc vào vị trí điểm tam giác
Dạng TÌM VỊ TRÍ CỦA ĐIỂM ĐỂ THỎA MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH
Phương pháp giải
Dùng cơng thức tính diện tích dẫn đến điều kiện vị trí điểm, thường liên quan đến khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Ví dụ 10 ( Bài 22 SGK)
Tam giác PAF vẽ giấy kẻ ô vuông (H 135 SGK) Hãy ra: a) Một điểm I cho SPIF =SPAF;
b) Một điểm O cho SPOF =2.SPAF;
c) Một điểm N cho PAF
PNF
S = S
K
H
I A
B C
M
(178)Giải
a) Lấy điểm I thuộc dòng kẻ song song với PF cách PF đơn vị dài b) Lấy diểm O thuộc dòng kẻ song song với PF cách PF đơn vị dài c) Lấy điểm N thuộc dòng kẻ song song với PF cách PF đơn vị dài
Ví dụ 11 ( Bài 23 SGK)
Cho tam giác ABC Hãy số vị trí điểm M tam giác cho
AMB BMC MAC
S +S =S
Giải
Theo giả thiết M điểm nằm tam giác, cho:
AMB BMC MAC
S +S =S
Nhưng SAMB +SBMC +SMAC =SABC, suy :
1
MAC ABC
S = S
Tam giác MAC tam giác ABC có chung đáy BC nên
MK = BH
Vậy điểm M nằm đường trung bình EF tam giác ABC
Dạng TÌM DIỆN TÍCH LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) CỦA MỘT HÌNH
Phương pháp giải
Nếu diện tích hình ln nhỏ số m,và tồn
một vị trí hình để diện tích m m diện tích lớn hình
Một bất đẳng thức hình học sử dụng đường vng góc ngắn
F
P A
F E
H K
B
A C
M
(179)hơn đường xiên
Ta kí hiệu max S giá trị lớn biểu thức S , S giá trị nhỏ nhất biểu thức S
Ví dụ 12 Tìm diện tích lớn tam giác ABC có AB=2cm, BC=3cm
Giải
Kẻ AH BC⊥ Ta có:
2
1 3.2
3(cm )
2 2
ABC
S = BC AH ≤ BC AB= = maxS = 3cm2 ⇔ AH = AB⇔ AB⊥BC C LUYỆN TẬP
1 ( Dạng 1) Cho miếng bìa hình tam giác Hãy cắt bìa thành số
mảnh ghép lại thành hình chữ nhật
2 (Dạng 2) Cho tam giác ABC , đường cao AH ( H thuộc cạnh BC ) Biết
15 , 41 , 12
AB= cm AC = cm HB= cm Tính diện tích tam giác ABC,
3 (Dạng 2) Tam giác ABC có đáy BC=60m, chiều cao tương ứng 40 m Gọi D và E thứ tự trung điểm AB AC, Tính diện tích tứ giác BDEC
4 (Dạng 2) Cho tam giác ABC có diện tích 60
m , G trọng tâm tam giác Tính diện tích tam giác BGC
5 (Dạng 2) Cho tam giác ABC có BC=a AC, =b AB, =c, đường phân giác
cắt I , khoảng cách từ I đến BC d Tính diện tích tam giác
ABC theo , , ,a b c d
6 (Dạng 2) Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD CE Cho biết
10
BC= cm, BD=9cm, CE=12cm a) Chứng minh BD CE⊥
b) Tính diện tích tam giác ABC
7 (Dạng 3) Cho tam giác ABC , AB= AC=10cm, BC=12cm Tính đường cao
BK
8 (Dạng 3) Một tam giác cân có đường cao ứng với cạnh đáy 15cm,
đường cao ứng với cạnh bên 20 cm Tính cạnh tam giác (chính xác đến 0,1cm )
H
B C
A
(180)9 (Dạng 4) Cho hình thang ABCD (AB CD// ) Qua giao điểm O hai đường chéo, kẻ đường thẳng sông song với đáy , cắt AD BC E G Chứng minh rằng:
a) SAOD =SBOC;
b) OE OG=
10 (Dạng 4) Cho hình thang ABCD (AB CD// ) Gọi O giao điểm hai đường chéo Biết diện tích tam giác AOB 9cm2, diện tích tam giác COD
16 cm2
a) Tính diện tích tam giác AOD , BOC b) Tính diện tích hình thang ABCD
11 (Dạng 4) Cho tam giác ABC cân A , điểm M thuộc đáy BC Gọi BD
đường cao tam giác ABC , H K chân đương vng góc kẻ từ
M đến AB AC Dùng công thức diện tích để chứng minh MH MK BD+ =
12 (Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông A , đường phân giác AD Đặt AC b= , AB c= Gọi d khoảng cách từ D đến AB Chứng minh d bc
b c
=
+
13 ( Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác ABC
các hình vng ABDE , ACFG , BCMN Đường cao AH tam giác ABC cắt MN K Chứng minh rằng:
a) SABDE =SBHKN; b) SACFG =SCHKM
14 (Dạng 5) Các đỉnh A tam giác ABC có đáy BC=3cm, diện tích cm2 chuyển động đường nào?
15 (Dạng 6) Tính diện tích lớn tam giác vng ABC có cạnh huyền
BC=a
16 (Dạng 6) Trong hình chữ nhật có đường chéo 10cm, hình có
diện tích lớn nhất?
§4 DIỆN TÍCH HÌNH THANG
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Diện tích hình thang nửa tổng hai đáy với chiều cao:
1
(a b).h
S = +
Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ửng với cạnh
a h
(181)đó: S = a.h
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH THANG
Phương pháp giải
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình thang
Ví dụ 1: ( Bài 30 SGK)
Trên hình 143 SGK ta có hình thang ABCD với đường trung bình EF hình chữ nhật GHIK Hãy so sánh diện tích hai hình này, từ suy cách chứng minh khác cơng thức diện tích hình thang
Giải
Ta có: ∆AEG= ∆DEK(cgc), BFH∆ = ∆CFI(cgc) Do đó:SABCD =SGHIK
Từ suy diện tích hình thang diện tích hình chữ nhật có cạnh đường trung bình hình thang Do diện tích hình thang nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao, ta có cách nưa chứng minh cơng thức tính diện tích hình thang
Dạng TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH BÌNH HÀNH
Phương pháp giải
Sử dụng cơng thức tính diện tích hình bình hành
Ví dụ (Bài 28 SGK)
a h
H G
F E
D C
A B
K I
(182)Xem hình 142 SGK (IG//FU)
Hãy đọc tên số hình có diện tích với hình FIGE
Giải
Đặt FE ER RU a= = = Gọi khoảng cách hai đường thẳng song song IG FU bằng b Ta có:
FIGE IGRE IGUR
S =S =S (cùng ah );
FIR GEU
S =S (cùng ah )
Vậy hình IGRE IGUR IER GEU, , , có diện tích với hình bình hành FIGE
Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB CD// ) có AB=6cm, chiều cao 9cm Đường thẳng qua B song song với AD cắt CD E chia hình thang thành hình bình hành ABED tam giác BEC có diện tích Tính diện tích hình thang
Giải
( )2
6.9 54 cm
ABED
S = =
( )2
SBEC =SABED =54 cm
Vậy ( )2
54 54 108 cm
ABCD
S = + =
Dạng TÌM DIỆN TÍCH LỚN NHẤT (NHỎ NHẤT) CỦA MỘT HÌNH
Phương pháp giải
Nếu diện tích hình thoi nhỏ hoắc số m, tồn vị trí hình để diện tích m m diện tích lớn hình
F U
I G
E R
9
E
D C
A B
(183)Ví dụ Tính diện tích lớn hình bình hành có độ dài hai cạnh kề
a.b
Giải
Xem hình bên ta có:
ABCD
S =DC AH ≤DC AD=ab
maxS=ab⇔AH=AD tức ABCD hình chữ nhật
C.LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Tính diện tích hình thang ABCD biết
90 ,
A=D= C=45 ,0 AB=1cm, 3cm
CD=
2 (Dạng 1) Tính diện tích hình thang ABCD biết
90 , ,
A=D= AB= cm
BC=5 cm,CD=6cm
3 (Dạng 1) Cho hình thang cân ABCD (AB CD AB// , <CD) Kẻ đường cao AH Biết
8
AH = cm, HC=12cm Tính diện tích hình thang ABCD
4 (Dạng 1)Tính diện tích hình thang cân có đáy 10cm 20 cm, cạnh bên
bằng 13cm
5 (Dạng 1) Chứng minh đường thẳng qua trung điểm đường trung
bình cắt hai đáy hình thang chia hình thang thành hai hình thang có diện tích
6 (Dạng 1) Tính diện tích hình thang ABCD (AB CD// ) biết C=30 ,0 AB=3cm,
8 , 12
BC= cm CD= cm
7 (Dạng 1) Tính diện tích hình thang vng có cạnh đáy a b , cạnh
bên khơng vng góc với đáy a b+
8 (Dạng 1) Hình chữ nhật ABCD có AB=48cm, E trung điểm CD Điểm
F thuộc cạnh AB Tính độ dài BF biết diện tích hình thang BFEC 1
3 diện tích hình chữ nhật
9 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD có diện tích 720 cm2, O giao điểm hai
đường chéo Khoảng cách từ O đến CD 9cm, khoảng cách từ O đến AB 18cm Tính độ dài AD CD,
10 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30cm2, M điểm nằm
hình bình hành.Tính tổng diện tích tam giác MAB MCD
a
b
H
B
D C
A
(184)11 (Dạng 2) Tính diện tích hình bình hành biết biết hai cạnh kề cm 10cm,
góc xen
150
12 (Dạng 2) Tính góc hình bình hành ABCD có diện tích 30cm2, AB=10cm,
AD=6cm A, >B
13 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD có diện tích 80 m2 Gọi ,E F theo thứ tự
trung điểm AD BC, Các đường thẳng BE AF, cắt O cắt đường thẳng DC theo thứ tự ,M N Tính diện tích tam giác OMN
14 (Dạng 2) Một hình bình hành có hai cạnh 12cm 18cm, đường cao
bằng 10cm Tính đường cao thứ hai
15 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Gọi , , ,M N I K thứ tự trung điểm
, , ,
AB BC CD DA Gọi giao điểm AI với KB DN, theo thứ tự ,F G Chứng
minh rằng: a) AE EG GC= =
b)
5
EFGH ABCD
S = S
16 (Dạng 2) Cho hình thang ABCD (AB CD// ), E trung điểm AD Đường thẳng qua E song song với BC cắt AB CD I K Chứng minh diện tích hình thang ABCD diện tích hình bình hành BIKC
17 (Dạng 3) Hình thang ABCD có AD=4cm, BC=6cm, đường trung bình cm Tính diện tích lớn hình thang
§5 DIỆN TÍCH HÌNH THOI
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc nửa tích hai đường chéo
ABCD
S = AC BD
Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo
1
1
S = d d
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng TÍNH DIỆN TÍCH TỨ GIÁC CĨ HAI ĐƯỜNG CHÉO VNG GÓC
d2 d1
D
C B
A
(185)Phương pháp giải
Sử dụng công thức
ABCD
S = AC BD với AB CD⊥
Ví dụ (Bài 32b SGK)
Hãy tính diện tích hình vng có độ dài đường chéo d
Giải
Hình vng có hai đường chéo vng góc với Do diện tích
hình vng nửa tích hai đường chéo, tức 2
d
Ví dụ 2: Hình thang cân ABCD (AB CD// ) có AC vng góc với BD Tính diện tích hình thang biết chiều cao h
Giải
Ta có ∆ACD= ∆BDC(ccc)
ACD BDC
⇒ =
Tam giác vng OCD có hai góc đáy nên
45
BDC= Do BHD∆
vng cân Ta có HD HB h= = nên 2 2
2
BD =h +h = h
Vậy 1 2
.2
2 2
ABCD
S = AC BD= BD = h =h
O
D C
B A
(186)Ví dụ 3: Hình thang ABCD (AB CD// ) có AB=4cm, CD = cm, BD=5cm, AC=12 cm
a) Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt DC E Tính DBE
b) Tính diện tích hình thang
Giải
a) ABEC hình bình hành nên BE=AC=12cm, CE= AB=4cm
Xét BDE∆ có 2 2 2
5 12 169 13
BD +BE = + = = =DE
Nên BDE∆ vuông B
90
DBE
⇒ =
b) BE BD⊥ mà BE AC// nên BD AC⊥ Do :
2
1
.12.5 30(cm )
2
ABCD
S = AC BD= =
Dạng TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH THOI
Phương pháp giải
Tính diện tích hình thoi theo cơng thức diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc cơng thức diện tích hình bình hành
Ví dụ 4: (Bài 33 SGK)
Vẽ hình chữ nhật có cạnh đường chéo hình thoi cho trước có diện tích diện tích hình thoi Từ suy cách tính diện tích hình thoi
Giải:
4 9
12 12
5 4
E
D C
B A
(187)Vẽ hình chữ nhật BDKH có KH qua C Diện tích hình chữ nhật diện tích hình thoi gấp đơi SBCD Từ suy :
1
2
ABCD BDKH
S =S =BD OC= BD AC
Điều cho thấy diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo
Ví dụ 5: (Bài 34 SGK)
Cho hình chữ nhật Vẽ tứ giác có đỉnh trung điểm cạnh hình chữ nhật Vì tứ giác hình thoi? So sánh diện tích hình thoi diện tích hình chữ nhật, từ suy cách tính diện tích hình thoi
Giải
Gọi , , ,E F G H trung điểm cạnh AB BC CD DA, , , hình chữ nhật ABCD Ta có ∆AEH = ∆BEF = ∆CGF = ∆DGH (c.c.c)⇒EH =EF =FG=GH ,
Suy EFGH hình thoi
K H
O D
C B
A
F
G H
E
D C
B A
(188)1 1
2 2
EFGH ABFH ABCD
S =S = S = AD DC= AG HF
Điều cho thấy diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo,
Ví dụ (Bài 35 SGK)
Cho hình thoi ABCD có cạnh AB=6cm, A=600 Tính diện tích hình thoi
Giải
Cách Từ B vẽ BH AD⊥ :
3
AD
AH =HD= = cm
Ta có 2 2
6 27
BH = AB −AH = − = nên BH =3 3(cm)
Cách Tam giác ABD tam giác nên BD=6cm, AI đường cao tam giác nên ta tính AI =3 3cm 16.6 18 3( )2
2
S= BD AC = = cm
Dạng TÌM DIỆN TÍCH LỚN NHẤT(NHỎ NHẤT) CỦA MỘT HÌNH
Phương pháp giải
Nếu diện tích hình ln nhỏ hoắc số m, tồn
tại vị trí hình để diện tích m m diện tích lớn
hình
I
H
D
C B
A
(189)Ví dụ ( Bài 36 SGK)
Cho hình thoi hình vng có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn
Giải
Xét hình thoi ABCD hình vng MNPQ có chu vi, cạnh chúng Gọi cạnh chúng a
Ta có:
MNPQ
S =a (1)
Ta chứng minh
ABCD
S ≤a
Kẻ AH CD⊥ , ta có AH AD a≤ =
2
ABCD
S =CD AH ≤CD AD=a a=a (2)
Từ (1) (2) suy SABCD ≤SMNPQ Vậy diện tích hình vng lớn diện tích hình
thoi (nếu hình thoi khơng phải hình vng)
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1) Hình thang cân ABCD có AB CD// , AC BD⊥ , đường trung bình
d Tính diện tích tứ giác có đỉnh trung điểm cạnh hình thang cân
đó
2 (Dạng 1) Hình vng ABCD có đường chéo cm Trên đường chéo AC
lấy điểm M cho AM =1cm Qua M kẻ đường thẳng vng góc với cạnh hình vng, chúng cắt AB CD E F , cắt AD BC G H Tính diện tích hai hình vng nhỏ
3 (Dạng 1) Cho hình chữ nhật ABCD có AD=12cm, AB=18cm Các đường phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành tứ giác EFGH
a
a
H
D C
B A
(190)a) Chứng minh EFGH hình vng b) Tính diện tích hình vng EFGH
4 (Dạng 2) Tính diện tích hình thoi có cạnh cm góc
bằng
30
5 (Dạng 2) Tính diện tích hình thoi có cạnh a, góc tù 1500
6 (Dạng 2) Cho hình thoi ABCD Gọi ,H Klà chân đương vuông góc kẻ từ A
đến CD , BC Chứng minh AH AK=
7 (Dạng 2) Hình thoi ABCD có AC=10cm, AB=13cm Tính diện tích hình thoi
8 (Dạng 2) Tính diện tích hình thoi có cạnh 17cm, tổng hai đường chéo 46
cm
9 (Dạng 2) Tính cạnh hình thoi có diện tích 24 cm2, tổng hai đường chéo
bằng 14cm
10 (Dạng 2) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm, AD=6cm Hình thoi EFGH có , , ,E F G H theo thứ tự thuộc cạnh AB BC CD DA, , , cho
AE= AH =CF =CG Tính độ dài AE
11 (Dạng 3) Trong hình thoi có tổng hai đường chéo 12cm, hình có
diện tích lớn nhất?
§6 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Để tính diện tích đa giác, ta thường chia đa giác thành tam giác, tứ giác tính diện tích tính tổng diện tích đó: tạo tam giác có chứa đa giác tính hiệu diện tích
B CÁC DẠNG TỐN
Dạng TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Đưa tính tổng diện tích hiệu diện tích
Ví dụ (Bài 39 SGK)
Thực phép vẽ đo cần thiết để tính diện tích đám đất có dạng hình 154 SGK, AB CE// vẽ với tỉ lệ 1/ 5000
Hướng dẫn
E
D
C B A
(191)Hình 154 SGK
Chia đám đất ABCDF thành hình thang ABCE hình tam giác ECD Cần vẽ đường cao CH hình thang đường cao DK hình tam giác Cần đo
, , ,
AB CE CH DK
Tính SABCE SECD, lấy tổng hai diện tích nhân với 5000 (vì đồ vẽ
với tỉ xích 1/ 5000 )
Ví dụ 2: (Bài 40 SGK)
Tính diện tích thực bể bơi có sơ đồ phần gạch sọc hình 155 SGK ( vuông cm2, tỉ lệ 1/10000 )
Giải
Diện tích gạch sọc gồm: 6.8 – 14, 5=33, 5(ơ vng) Diện tích thực tế là:
2
33, 10000x =3350000000(cm2) 335000= (m2)
Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có diện tích 60 cm2 Gọi ,E F theo thứ tự
trung điểm BC CD, Gọi I giao điểm BF DE Tính diện tích tứ giác
ABID
Giải
2
1
60 : 30(m )
ABD ABCD
S = S = =
2
SBCD =30m
Ta có
BI = BF nên:
2
2
30 : 10(m )
3
BDI BDF BDC
S = S = S = =
2
SABID =SABD +SBID =30 10+ =40(m )
(192)Dạng DỰNG TAM GIÁC CĨ DIỆN TÍCH BẰNG DIỆN TÍCH CỦA MỘT ĐA GIÁC
Phương pháp giải
Thường kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cho trước để tạo tam giác có diện tích diện tích tam giác cho trước
Ví dụ Cho tứ giác ABCD Hãy dựng tam giác
ABE có diện tích diện tích tứ giác ABCD
Giải
Qua C kẻ đường thắng song song với BD, cắt AD ởE Do BD // CE nên SBCD= SBED (chung đáy BD,
đường cao tương ứng kẻ từ C từ E đến BD nhau) Ta có :
SABCD= SABD + SBCD= SABD + SBED= SABE
C LUYỆN TẬP
1 (Dạng 1)
a) Tính diện tích tứ giác ABCD có kích thước milimét hình a
b) Tính diện tích tường nhà hình b) với kích thước mét (trừ thống hình vng cửa hình chữ nhật)
2 (Dạng 1) Cho tam giác ABCD có diện tích 60m2 Điểm D thuộc cạnh AB cho
1
AD AB
3
= Diểm E thuộc cạnh AC cho AE 1AC
= Tính diện tích tứ giác BDEC
3 (Dạng 1) Cho tứ giác ABCD diện tích S Điểm M trung điểm AC Chứng
minh ABMD
1
S S
2 =
(193)4 (Dạng l) Cho hình bình hành ABCD có diện tích S Điểm E trung điểm AB, I
là giao điểm DE AC Tình diện tích tứ giác BEIC
5 (Dạng 1) Tính diện tích lục giác cạnh a
6 (Dạng 1) Cho tứ giác ABCD có diện tích 10cm2 Gọi E điểm A qua D F
điểm đối xứng với B qua A, G điểm đối xứng với C qua B H điểm đối xứng với
D qua C Tính diện tích tứ giác EFGH
7 (Dạng 1) Tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo Biết diện tích
tam giác AOB, BỌC, COD theo thứ tự 2, 5, 10 cm2 Tính diện tích tứ giác ABCD 8 (Dạng l) Tứ giác ABCD có E trung điểm AB, F trung điểm CD Cho
biết EF chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích Chứng minh
ABCD hình thang
9 (Dạng l) Cho tứ giác ABCD có diện tích 60m2 Trên cạnh AB lấy điểm E, F
cho AE = EF = FB Trên cạnh CD lấy điểm G, H cho CG = GH = HD a) Tính tổng diện tích tam giác ADH CBE
b) Tính diện tích tứ giác EFGH
10 (Dạng 1) Cho tứ giác ABCD Gọi E trung điểm AB, F trung điểm
CD, I giao điểm AF DE, F trung điểm CD, I giao điểm AF DE Chứng minh
a) SECD= SAFD + SBCF
b) SEÌK =SAID + SBKC
11 (Dạng 2) Cho tứ giác ABCD Hãy kẻ đường thẳng qua A chia tam giác
ABCD thành hai phần có diện tích
12 (Dạng 2) Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC (AD < DC) Hãy kẻ đường
thẳng qua D chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích
(194)ƠN TẬP CHƯƠNG II
A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
41 Cho hình chữ nhật ABCD(H.159 SGK) Gọi H, I, E,
K ác trung điểm ác cạnh BC, HC, DC, EC Tính:
a) Diện tích tam giác DBE b) Diện tích tứ giác EHIK
(thiếu Lời giải)
42 Trên hình 160 SGK (AC//BF), tìm tam giác có
diện tích diện tích tứ giác ABCD Giải: Tam giác ADF có diện tích
SACD +SACD= SACD + SBAC= SABCD (thiếu Lời giải)
43 Cho hình vng ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a
Một góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F (H.161SGK) Tính diên tích tứ giác
OEBF
(thiếu Lời giải)
44 Gọi O điểm nằm hình bình hành ABCD
CMR tổng diện tích hai tam giác ABO CDO bằng tổng diện tích hai tam giác BCO DAO
(thiếu hình vẽ- Lời giải)
45 Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm
và 4cm Một đường coa có độ dài 5cm Tính độ dài đường cao
(thiếu Lời giải)
(195)46 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm tương
ứng AC, BC Chứng minh diện tích hình thang ABNM ¾ diện tích tam giác ABC
(thiếu Lời giải)
47 Vẽ đường trung tuyến tam giác (H.162)
Chứng minh sáu tam giác 1; 2; 3; 4; 5; có diện tích
(thiếu Lời giải)
B BÀI TẬP BỔ SUNG
1 Cho tam giác nhọn ABC (AC > AB), đường cao AH Gọi D, E, F theo thứ tự
trung điểm AB, AC, BC
a) Xác định dạng tứ giác BDEF, DEFH
b) Tính diện tích tứ giác trên, biết HB = 4cm; HC = 6cm, AH = 8cm
2 Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB,
BC, CD, DA
a) Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b) Tính diện tích tứ giác EFGH
3 Cho hình thang cân ABCD(AB//CD) có CA tia phân giác góc C; AB = 13cm;
CD = 23cm
a) Tính chu vi hình thang b) Tính diện tích hình thang
4 Cho hình thang cân ABCD(AB//CD) có hai đường chéo CA, BD vng góc với
nhau O
a) Tính góc OCD, ODC
b) Gọi I , K theo thứ tự trung điểm AB, CD Chứng minh ba điểm O, I , K thẳng hàng
c) Tính diện tích hình thang ABCD biết AB = a; CD = b
5 Cho hình vng ABCD có cạnh 8cm Các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc
các cạnh AB, BC, CD, DA cho AE = BF = CG= DH a) Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
(196)b) Chứng minh đường thắng EG, FH, AC, BD đồng quy điểm O
c) Tính diện tích tứ giác EFGH biết OE = 5cm d) Tìm diện tích nhỏ tứ giác EFGH
6 Cho tam giác nhọn ABC có BC = l2cm đường cao AH =8cm Hình vng EFIK có
E thuộc AB, F thuộc AC, I K thuộc BC a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính cạnh hình vng c) Tính diện tích hình thang EECB
7 Cho bát giác ABCDEEGH có cạnh lcm Gọi I, K, M, N theo thứ tự giao điểm
của đường thẳng AB CD, CD EE, EE GH; GH AB a) Tính góc bát giác
b) Tứ giác IKMN hình ? Vì ?
c) Tính độ dài cạnh tứ giác IKMN (chính xác đến 0,1cm) d) Tính diện tích bát giác (chính xác đến 0,1 cm2)
8.Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AB, I
giao điểm AE CF Cho biết ID tia phân giác góc AIC Chứng minh :
a) SADE = SCDF
b) AE = CF
9 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10cm, AD= 6cm Các điểm E, F, G, H theo thứ
tự thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho AE = AH = CE = CG a) Tứ giác EFGH hình ? Vì ?
b) Tính diện tích tứ giác EFGH AE = 3cm
c) Tính độ dài AE để tứ giác EFGH có diện tích lớn ?
10 Cho hình bình hành ABCD có AB = 6cm AD = 4cm Các tia phân giác góc
hình bình hành cắt tạo thành tứ giác EFGH a) Tứ giác EFGH hình ? Vì ?
b) Tính độ dài đường chéo tứ giác EFGH
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện tứ giác EFGH có diện tích lớn ?
(197)HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Phần ĐẠI SỐ
Chương PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC § NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
§ NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
1 a)
14x −10x −2x b) 2
2
x y x y xy
− − +
4 3
10 )
c − x y + x y − x y z d) 12xn+3— 8xn+2
2 a) 24 2 2
24 24
7
n n n n
x y − − x − y + x y − x − y +
b)
6x 7x
− − +
3 a) 135 b) -4/5 c) -26
4 a)
4 15
A B= − x + x − x + x+
b) A =-22 ; B = 15 ; A.B = -330
5 a)
3x 3x
− − b) -11x +24
6 a) x =-2 b) y = 7/4 c) x = -3/5
7 a) b) c) 24
8 Gọi x chiều rộng hình chữ nhật thứ (x > 0) Theo đề ta có : (x+5)(x+9+15)- x(x+9)= 640
Đáp số : x = 26
9 a) Biến đổi vế trái thành vế phải b) Biến đổi vế trái thành phải c) Chú ý : (x+y+z)2= (x+y+z)(x+y+z)
d) Biến đổi hai vế so sánh, có sử dụng kết câu c) (x+y+z)3= (x+y+z)(x+y+z)2= (x+y+z)(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)
10 Đặt x y z t
a= = =b c suy x = at ; y = bt ; z = ct Thay x, y , z vào hai vế so sánh
11 Đặt a = 5k+2 ; b = 5l+3 (k l, ∈N )Ta có ab = 25kl+15k+10l+6 chia cho dư
12 a) Rút gọn biểu thức -5n với n Z∈ b) Rút gọn biểu thức 6n với n Z∈
13 a) a = 1, b=-1, c=0 b) a=1 ; b= -2 ; c = ; d=1
14 a) a = b = ½ d) S = ( ) (2 )
1
2n n+ n+
15 b = c = ; a tùy ý a = b = -1 ; c=
§ 3, § , § CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
(198)1 a) 2
4
x + xy+y b) 9x2−12xy+4y2
c)
4
4
x − x+ d)
2
4
x y
−
e) 1
3 27
x +x + x+ f) x3 -8
2 a) Áp dụng đẳng thức A2-B2=(A+B)(A-B), biến đổi vế trái vế phải
b) Áp dụng A2-B2=(A+B)(A-B), biến đổi vế trái vế phải
c) Biến đổi hai vế bằng: x3+3x2y+3xy2+y3
3 Áp dụng
A3+ B3=(A+B)(A2-AB+B2)
A3- B3=(A-B)(A2+AB+B2)
4 a) (x+2y)(x2-2xy+4y2) b) (a2+b)(a4- a2b+b2)
c) (2y-5)(25+10y+4y2) d) (2z+3)(4z2- 6z+9)
5 a) 10012=(103+1) =106+2.103+1= 1002001
b) 29,9.30,1=(30-0,1)(30+0,1)= 302-0,12=899,99
c) (30,8 – 21,8)2=100
a) Rút gọn (1-x) ; b) Rút gọn 5x+81 ; c) (2x-7)2 ; d) (x-3)3 ;8
7 a) x2+20x+100=(x+10)2 b) 16x2+24xy+9 =(4x+3)2
c) y2-14y+49=(y-7)2 d) 9-42xy+49y2 =(3-7y)2
8 a) (2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=8a3+27b3
b) (5x-4y)(25x2+20xy+16y2)=125x3-64y3
9 a) (x2+10x+25)+ (y2+2y+1) = (x+5)2 + (y+1)2
b) (x2-2xy+y2)+ (y2+2y+1) = (x-y)2 + (y+1)2
c) (z-3)2+ (t+2)2
d) (2x-z)2+ (z-t)2
10 a) ; b) -4; c) -255/2
11 a)[(x2+2)2-4x2] (x4-4)= (x4+4) (x4- 4)= x8-16
b) 9x
c) 6a2+3b2+2c2
d) 100+99+98+…+2+1=5050
e) (22-1)(22+1) (24+1)… (264+1)+1=2128
12 a) x2-20x+101=(x-10)2+1≥ 1
b) 4a2+4a+2 =(2a+1)2+1≥
c) (x-2y)2+10(x-2y)+25 + (y-1)2+2= (x-2y+5)2+(y-1)2+2≥
13 a)A = -( x2-4x+4)+7=7-(x-2 )2≤7
(199)b) B =
2
2 1 1
4 4
x x x
− − + + = − − ≤
14 VT = 2(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
VP = 6(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
=> (x-y)2-(y-z)2+(z-x)2= hay x=y=z
15 x3+y3+x3-y3-2x3=0
16 a)
2 2
2
1
2
y y
x +xy+y + =x+ + +
b) x2+5y2+2x- 4xy-10y+14=(x+1)2-4(x+1)y+4y2+(y-3)2+4
= (x+1-2y)2+(y-3)2+4
c) 5x2+10y2-4x- 6xy-2z+3= (x-3y)2+(2x-1)2 +(y-1)2+1
17 n=7k+4=> n2=(7k+4)2 =7(7k2+48k+2)
n3=(7k+4)3 = 7(49k3+48k2 +48k +9)+l
18 Ápdụng : (a+b)3 - (a3+b3)= 3ab(a + b) chia hết cho
19 -1
20 a)11n+2+122n+1 =(133-12).11n-+12.144n = 133.11n +12(144n -11n) chia hết cho l33 :
b) 5n+2 + 26.5n +82n+1 = 51.5n +8.64n = 59.5n +8(64n - 5n)
c) 7.52n +12.6n =19.6n +7(25n- 6n)
21 an- bn =2n+2 không chia hết cho
an.bn=42n+1+1 chia hết cho
22 nn-n2+ n-l=(nn-1)- n(n-1)
=(n-1)(nn-1-1)+(nn-2-1)+::-+(n- 1) chia hết cho (n- 1)
23 Giả sử f(n)=0 (với n số nguyên)
f(1)= f(n)- f(1) số lẻ suy n-1là số lẻ f(0) = f(n)- f(0) số lẻ suy n lẻ, vơ lí Áp dụng : f(a)- f(b) chia hết cho a- b
§ 6, §7, § 8, § PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1 a)7(x+y); b) 2xy(x-3y) :
c) x(x-1)(3+7x); d) (x-a)(3x -5a)
2 a) 3x3(2x- 3) ; b) 5y6(y4+3);
c) 3xy(3xy+5x- 7y); d) xyz(xy+yz+2x)
3 a)(x-3y)2 b) (x +2y)3;
c) (x-4)(x2+4x +16); d) (5x+y2)(25x2 - 5xy2 +y4);
(200)e) 1 1( )( )
1
2 2
a a
a + + a a a
− = − + +
4 a) 2(x+1)2 b) (x2-y) (y2-z)
c) 4(x-2y)2 d) (x+1) (-2x2+3x+7)
5 a) 3x(x+2) 8(x+2)(x+11)
b) (9x- y)(x- 9y) 4(2y-17)(5y-11)
6 a) (x +1)2 (x2 - x+1) b) (x-1)2 (x2 + x+1)
c) (x+y)(xy- l) d) (x+y) (a2 - 7)
e) (a - b)(x2 + y) f) (x- 5)(x2 +3x+1)
7 a) 3(x - 2y)(x+2y) b) 5x( y - z)
c) (x+1-3z)[(x+1)2 +3y(x+1)+9y2]
8 a) (x- y)(x - y - z) b) (x- y)(x+y - l)
c)(a- 1)(a2x+ ax +x - b) d) 3(a+b+c)(x+6y)2
9 a) (x- 3)(x+2) b) (x- 1)(x+1)(x2+ 5)
c) (x- 5)(x+3) (x+2) d) (x2- x+ 1)(x2+ x+ 1)
10 a) (a- b)(a-c) (b - c) b) 3(a+ b)(a+c) (b + c) c) (a+ b+c)(a+b - c)(a - b + c)( b + c - a)
11 a) Áp dụng công thức (a+ b)2=(a - b)2 - 4ab Ta có:
(x2 +1)2 -4x(1- x2) = (1 - x2)2 +4x2- 4x(1- x2) = (1 - x2 - 2x)2
b) (x2 - 8)2 +36 = x4 - 16x2+100 = x4+ 20x2+100 - 36x2
= (x2 + 10)2- (6x)2 = (x2 - 6x+ 10)(x2 +6x+ 10)
c) 81x4+4 = (9x2)2 + 22+2.9x2.2 – 36x2
= (9x2 + 2)2- (6x)2=(9x2 - 6x+ 2)(9x2 +6x+ 2)
12 a) b) 972+832 = 16298
c) A = (2x – y)(x + z) với x = 1,2; y = 1,4; z = 1,8 A =
2
/ ( )( 2)
d B= x+y x− , với x=3 B=2
13. ) 3; 2; b)x=0; x=
a x= x= − ±
c x) =2 Chú ý 2
( 2) 0, x
x = x+ + > ∀
14
1
)1; ; b) -3; -2
5
c) d)-3; 0,2
a −