Chuyên đề sự tương giao của hai đồ thi

D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành.. 1 0.[r]

Tailieumontoan.com 

Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

SỰ TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Cho hàm số y= f x( ),y=g x( ) có đồ thị ( )C 1 ( )C 2

Để tìm tọa độ giao điểm ( )C 1 ( )C 2 ta làm sau:

B1) Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( )C 1 ( )C : 2 f x( )=g x( ) (*)

B2) Giải phương trình (*) tìm x, từ suy y tọa độ giao điểm B3) Tọa độ giao điểm đồ thị ( )x y ; đã tìm B1

Chú ý:

1 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( )C 1 ( )C 2

2 Nếu phương trình (*) vơ nghiệm ( )C khơng cắt 1 ( )C 2

3 Nếu phương trình (*) có nghiệm bội chẵn x (t0 ức có dạng (x−x0)2n.h x( )=0,n∈+) ( )C ti1 ếp xúc

với ( )C t2 ại điểm có hồnh độ x 0

4 Nếu phương trình (*) có k nghiệm đơn ( )C c1 ắt ( )C t2 ại k điểm phân biệt

5 Theo hình vẽ ( )C c1 ắt ( )C t2 ại ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x 1, 2, nên phương trình

( ) ( )

f x =g x có ba nghiệm phân biệt x x x 1, 2, 3 ngược lại

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết đường tiệm cận

 Tìm đường tiệm cận (biết BBT, đồ thị)  Tìm đường tiệm cận (biết y)

 Đếm số tiệm cận (Biết BBT, đồ thị)  Đếm số tiệm cận (biết y)

 Biện luận số đường tiệm cận  Tiệm cận thỏa mãn điều kiện

 Tổng hợp tiệm cận với diện tích, góc, khoảng cách  …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Số giao điểm đồ thị hàm số

3

y=x − x+ trục hoành

là

A 3 B. C 2 D.

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm số giao điểm đồ thị hàm số trục hoành 2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định phương trình Oxlà: y=

B2: Giải phương trình hồnh độ giao điểm: x3−3x+ =

B3: Giải phương trình tìm ba nghiệm phân biệt nên có ba giao điểm

Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm:

1, 53 0, 34

1,87

x

x x x

x

≈   − + = ⇔ ≈

 ≈ − 

Vậy có ba giao điểm

Bài tập tương tự phát triển:

 Mức độ

Câu Cho hàm số y=x4−4x2 có đồ thị ( )C Tìm số giao điểm đồ thị ( )C trục hoành

A 0 B. C. D.

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm: ( )

2

4 2

2

0

4

4

2

x x

x x x x x

x

x

= 

 = 

− = ⇔ − = ⇔  ⇔ =

− =

  = −



Vậy có ba giao điểm

Câu Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y=x4−8x2+ tr4 ục hoành

A 1 B. C 3 D.

Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm:

2

4

2

2 0( )

4

2 0( ) 2 6

x TM x

x x

x KTM x



 = + >  = +

− − = ⇔ ⇔

 = − <

 = − +

 

Vậy có hai giao điểm

Câu Đồ thị hàm số y=x4−10x2+ c9 trục hoành điểm?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm:

2

4

2

1

10

3

x x

x x

x x

 =  = ± − + = ⇔ ⇔ = ±

= 



Vậy có bốn giao điểm

Câu Đồ thị hàm số y=x4+5x2+ c6 trục hoành điểm?

A 0 B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm:

2

4

2

2 0( )

3 0( )

x KTM

x x

x KTM

 = − < + + = ⇔ 

= − <



Câu Đường thẳng y=3x+ cắt đồ thị hàm số y=x3−x2+ + hai điểm Tìm tổng tung độ x

các giao điểm

A 9 B.1 C. D.

Lời giải:

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm:

3

2 2

x −x + + =x x+ ⇔x −x − x=

0 1 x y x y x y = ⇒ =   ⇔ = − ⇒ = −  = ⇒ = 

Vậy tổng tung độ giao điểm 8− + =9

Câu Tọa độ giao điểm M đồ thị hàm số x y x + =

− với trục hoành

A 3 B 1 C 2 D 0

Lời giải:

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm:

1

2 5

0 5

2

1 ( )

2 x x x x x

x x TMÐK

≠  ≠  + = ⇔ ⇔ ⇔ = −  + =  −   = −

Vậy 5;

M− 

 

Câu Đường thẳng y=2x− có điểm chung với đồ thị hàm số 2 x x y x − − = +

A 3 B 1 C 2 D 0

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng :d y=2x− đồ thị ( )

2 : x x C y x − − = + ( )( ) 2 2

6 2 (1)

x x x

x

x x x x

x ≠ −  − − = − ⇔  − − = − + + 

Ta có ( )1 0 x x x x =  ⇔ + = ⇔  = −

 ( thỏa mãn điều kiện x≠ − )

Câu Tìm số giao điểm hai đồ thị hàm số y= x+3 y= +x

A 3 B 0 C 2 D 1

Lời giải:

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm x+ = +8 x

( )2

2

8

x

x x

+ ≥ 

⇔ 

+ = +



2

8 4

x

x x x

≥ − 

⇔  + = + + 

2

2

3 x

x x

≥ − 

⇔  + − =

 ( )( )

2

4

x x n

x l

≥ − 

 ⇔ =

  = − 

1 x ⇔ =

Phương trình có nghiệm nên hai đồ thị có giao điểm

Câu Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục  có bảng biến thiên sau:

Số nghiệm phương trình 2f x( )− =1

A 3 B 2 C 1 D 0

Lời giải:

Chọn A

Ta có 2f x( )− =1 ( )

2 f x

⇔ =

Ta thấy đường thẳng

y= cắt đồ thị hàm số y= f x( ) ba điểm phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm phân biệt

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ sau:

O x

y

2

Tìm số nghiệm thực phân biệt phương trình 2f x( )=3

A 3 B 1 C 2 D 0

Lời giải:

Chọn B

Ta có 2f x( )=3 ( )

2 f x

⇔ =

Dựa đồ thị ta thấy đường thẳng

y= cắt đồ thị hàm số y= f x( ) điểm nên phương trình cho có nghiệm

 Mức độ

Câu Đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số x y

x  

 tại hai điểm phân biệt A , B Tính độ dài đoạn thẳng AB

A. B. C. D. 32

Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm x

x x

  

2

2

x x

    1

3

x y

x y

      

    

Khi A  , 1; 1 B3; 3

Vậy AB 4; AB4

Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x3−3x2− + = có ba nghiệm m phân biệt

A − ≤1 m<3 B − <1 m≤3 C. − ≤1 m≤3 D − <1 m<3 Lời giải:

Chọn D

Ta có x3−3x2− + = ⇔m x3−3x2 = − m

Phương trình có ba nghiệm phân biệt đường thẳng d: y= − cắt đồ thị m hàm số y= f x( )=x3−3x2 ba điểm phân biệt

Ta có f′( )x =3x2−6x, ( ) 0 x f x

x =  ′ = ⇔ 

= 

Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ − < − <4 m ⇔ − < <1 m

Câu Cho hàm số y= f x( ) xác định \{ }−1 , liên tục khoảng xác định có bảng

biến thiên hình sau

Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m cho phương trình f x( )−2m= có ba nghiệm thực phân biệt

A. − ≤ <2 m B − < <2 m C. − ≤ ≤2 m D. − < ≤2 m Lời giải

Chọn B

Ta có f x( )−2m= ⇔0 f x( )=2m

Số nghiệm phương trình f x( )=2m số giao điểm hai đường y= f x( ) y=2m

Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y=2m cắt đồ thị y= f x( ) ba điểm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên ta có − <4 2m< ⇔ − < <2 m

Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y= − cắt đồ thị hàm số m

4

8

y=x − x + bốn điểm phân biệt?

A. m>17 B. 13

4 m

− < < C 1< <m 17 D − < <13 m

Lời giải

Chọn C

Xét y=x4−8x2+

Có

4 16

y′ = x − x, 0

2 x y

x =  ′ = ⇔  = ±



Từ bảng biến thiên trên, để để đường thẳng y= − cắt đồ thị hàm số m

8

y=x − x + bốn điểm phân biệt − < − < ⇔ < <13 m m 17

Câu Có tất giá trị ngun m để phương trình x3−6x2+2m= có nghiệm phân

biệt

A. 17 B. 31 C. 33 D. 15

Lời giải

Chọn D

Ta có x3−6x2+2m= ⇔0 2m= − +x3 6x2 ( )*

Phương trình cho có nghiệm phân biêt ( )* có nghiệm phân biệt Xét y= − +x3 6x2 có TXĐ: D = 

2 12

y′ = − x + x, 0 x y

x =  ′ = ⇔  =



Dựa vào bảng biến thiên phương trình cho có nghiệm phân biệt 0<2m<32 m 16

⇔ < <

Vì mnguyên nên m∈{1; 2;3; ;15} Vậy có 15 giá trị nguyên tham số m

Câu Tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y=x4−8x2+3m cắt trục hoành điểm

phân biệt

A. 16

3 m

< < B. − < < 16 m C. 16 m

≤ ≤ D. − ≤ ≤ 16 m

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm

8

x − x + m= Xét hàm số

8

3 16

y′ = x − x, 0

2 x y

x =  ′ = ⇔  = ±

 BBT:

Dựa vào BBT, ta thấy đồ thị hàm số y=x4−8x2+3m cắt trục hoành điểm phân

biệt 16 16 m− < < m⇔ < <m

Câu Đồ thị hàm số x y

x − =

+ cắt hai trục Ox Oy A B Khi diện tích tam giác

OAB ( O gốc tọa độ bằng)

A B C D

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số x y

x − =

+ cắt trục Ox điểm A( )2;

Đồ thị hàm số x y

x − =

+ cắt trục Oy điểm B(0; 2− )

Tam giác OAB vuông O nên OAB

S = OA OB 2

= − =

Câu Cho hàm số y= f x( ) xác định \ 0{ } có bảng biến thiên hình vẽ

Số nghiệm phương trình f (4x−3) − =7

A. 4 B. C. D.

Lời giải

Đặt t=4x− , ta có phương trình trở thành ( )

f t = Với nghiệm t có nghiệm

3 t

x= + nên số nghiệm t phương trình ( )

f t = số nghiệm x phương trình

( )

2 f 4x−3 − =7

Bảng biến thiên hàm số y= f x( )

Suy phương trình ( )

f t = có nghiệm phân biệt nên phương trình f (4x−3) − =7

có nghiệm phân biệt

Câu Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số

( ) ( )

3 2

2

y=x + m+ x + m − −m x−m cắt trục hoành ba điểm phân biệt?

A 1 B 2 C 4 D 3

Lời giải:

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành:

( ) ( )

3 2

2

x + m+ x + m − −m x−m = ( )1

( ) ( )

1

x x m x m 

⇔ −  + + + =

( ) ( ) ( )

1

3

x

g x x m x m

= 

⇔  = + + + =



Để đồ thị cắt trục hồnh ba điểm phân biệt phương trình ( )1 có ba nghiệm phân biệt nên

phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt khác

( )

0

g

g

∆ >  

≠ 

2

2

3

4

m m

m m

− + + > 

⇔ 

+ + ≠ 

1 m

m − < < 

⇔ ∀ ∈

  ⇔ − < < Mà m∈ nên 1 m m∈{0;1; 2}

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải:

Chọn B

Đường thẳng y= cắt đồ thị hàm số y= f x( ) ba điểm phân biệt có điểm có hồnh độ lớn

Vậy phương trình f x( )=2 có nghiệm thực phân biệt lớn

 Mức độ

Câu Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị đường cong hình Tập hợp tất giá trị

A 12 B 25 C 74 D 7

Lời giải:

Chọn C

Ta có m+ −1 f x( ) =0 ( )

2 m

f x +

⇔ =

Đồ thị hàm số y= f x( ) có cách: giữ nguyên phần đồ thị hàm số y= f x( ) nằm trục hồnh, lấy đối xứng phần phía trục hồnh qua trục hồnh

Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng

2 m y= +

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình có sáu nghiệm phân biệt

3

2 m

m +

Suy m∈( )5; nên a=5,b=

Vậy a2+b2 =74

Câu Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Tìm số nghiệm phương trình f x( +2020)=1

A 2 B.1 C 0 D.

Lời giải

Chọn D

Ta có 2f x( +2020)=1 ( 2020) f x

⇔ + =

Đồ thị hàm số y= f x( +2020) có cách tịnh tiến đồ thị hàm số y= f x( ) sang trái

2020 đơn vị, mà đường thẳng

y= có phương nằm ngang nên số giao điểm đồ thị hàm

số y= f x( +2020) đường thẳng

2

y= số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( )

đường thẳng y=

Hay số nghiệm phương trình ( 2020)

f x+ = số nghiệm phương trình

( )

2

f x = Theo hình vẽ ta suy số nghiệm

Câu Gọi S tập giá trị tham số m để đường thẳng :d y= + cắt đồ thị hàm số x

4

x m

y x

− =

− tại điểm Tìm tích phần tử S

Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm: 1

x m x x

− = +

− 2 ( )

1

4 *

x

x x m

≠ 

⇔  − + − =



Để đường thẳng cắt đồ thị điểm pt (*) có nghiệm kép x≠ pt ( )* có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x=

TH1: Pt ( )* có nghiệm kép x≠

0 b a ′ ∆ =   ⇔  − ≠  m  − = ⇔  ≠

 ⇔ = ±m

TH2: Pt ( )* có nghiệm phân biệt có nghiệm x= 2 2 4.1 m

′ ∆ >  ⇔  − + − =  2

1 4.1

m m

 − >  ⇔  − + − =  5 m m

− < < 

⇔  = ±

 ⇔ m= ± { 5; 5; 2; 2}

S

⇒ = − −

Vậy tích phần tử S là: 5.( )− 2.( )− =2 20

Câu Cho hàm số y=x2−2x+ có đồ thị ( )P đường thẳng d:y=2mx m− (m tham số) Có

bao nhiêu giá trị nguyên m để ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt có hồnh độ x ,1 x th2 ỏa

mãn 2

1 2( 1) x2 16 x + m+ ≤ m +

A. B 3 C 4 D 6

Lời giải

Chọn A

Pt hoành độ giao điểm ( )d ( )P là: ( ) ( )

–

x m+ x+m + =

Để ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt có hồnh độ x , 1 x pt 2 ( )1 có

0

a≠

  ′∆ > 

( )2 ( 2 ) ( )

1

2

m m m

⇔ + − + > ⇔ >

Theo Vi-et ta có: 2

2( 1)

4

x x m

x x m

+ = +

 

Từ yêu cầu ta có x12+2(m+1)x2≤3m2+16⇔ x12+(x1+x x2) 2 ≤3m2+16

2 2

1 2

2

1 2

3 16

( ) 16

x x x x m

x x x x m

⇔ + + ≤ +

⇔ + − ≤ +

2 2

(2 2) 16

8 16

2

m m m

m

m

⇔ + − − ≤ +

⇔ ≤

⇔ ≤

So sánh với điều kiện ( )2 suy

2< ≤ m nguyên nên m m=2 Vậy có giá trị mthỏa đề

Câu Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+ + có bảng biến thiên sau:cx

Tìm tất giá trị tham số m để phương trình f x( ) =m có bốn nghiệm thực phân biệt có nghiệm thực dương

A m> B. 0< < m C. 2< < m D. m>

Lời giải:

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy phương trình f x( ) =m có bốn nghiệm thực phân biệt có nghiệm thực dương 2< < m

Câu Phương trình x3−3x2−m2 = (với m tham số thực) có nhiều nghiệm phân 0

biệt?

A. B 6 C. D 4

Lời giải:

Chọn A

Phương trình cho tương đương 2

x − x =m

Số nghiệm phân biệt phương trình số điểm chung hai đồ thị y= x3−3 x2

2 y=m

Dựa vaò đồ thị ta thấy số nghiệm phân biệt nhiều (khi m=0)

Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y=x2+m( 4−x2 + −1) có điểm

chung với trục hoành

A 0≤ ≤ m B.

m

− ≤ ≤ C. 2≤ ≤m D.

m

≤ ≤

Lời giải:

Chọn C

Tập xác định hàm số D= −[ 2; 2] Phương trình hồnh độ giao điểm:

( )

2

4

x +m −x + − =

2

2

4

x m

x − ⇔ =

Đặt

t= −x , t∈[0; 2] Ta có

3 t m

t + =

+ với t∈[0; 2] ( )2 Xét hàm số ( )

2 t f t

t + =

+ với t∈[0; 2] Ta có ( )

( )

2

2

1

t t

f t t + − ′ =

+ Cho f′( )t = ⇒ = t

Ta có bảng biến thiên sau:

Phương trình ( )1 có nghiệm phương trình ( )2 có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 2≤ ≤ m

Câu Biết phương trình tan2 x+cot2x+m(tanx+cotx)+ = có nghiệm thực m≤a m≥b Tính S =ab

A 25

4

S = B 25

2

S = C 25

4

S = − D 25

2

S = − Lời giải:

Chọn C

Ta có:

tan2 x+cot2x m+ (tanx+cotx)+ =3

( )2 ( )

tanx cotx tan cotx x m tanx cotx

⇔ + − + + + =

( )2 ( )

tanx cotx m tanx cotx

⇔ + + + + =

Đặt t=tanx+cotx, đk t ≥

Phương trình trở thành

1

t +mt+ =

2 t m

t + ⇔ − =

Xét hàm số ( )

1 t f t

t +

= với t ≥

Ta có ( )

2

0 t

f t t

−

′ = > với t thỏa t ≥

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm

2

m≤−

2

m≥

Vậy

2

a=− ,

2

b= Suy 25

4

ab= −

Câu Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục , có đồ thị y= f '( )x trục Ox ba điểm

lần lượt có hồnh độ a b c, , hình vẽ Mệnh đề sau đúng?

A. f c( )+ f a( )−2f b( )>0 B f b( ) ( )− f a    f b( ) ( )− f c <0 C f a( )> f b( )> f c( ) D f c( )> f b( )> f a( )

Lời giải:

Chọn A

Từ đồ thị hàm số f x ta lập bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta thấy        

f a f b

f c f b

 



 

 nên

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f c + f a > f b ⇔ f c + f a − f b > f(x)

f'(x) x

∞ ∞

f(c) f(a)

∞ ∞

0

+

+

c

a b

0 +

Câu 10 Biết phương trình

2− +x 2+ −x 4−x =m có nghiệm m thuộc [ ]a b; với a, b

∈  Khi giá trị T =(a+2) 2+ b

A T =3 2+2 B T =6 C T = D T =

Lời giải:

Chọn B

Điều kiện: 2− ≤ ≤ x

Đặt 2 2

2 , 2; 2 4

2 t t= − +x +x t∈ ⇒ = +t −x ⇒ −x = −

Phương trình cho thành t

t− − =m

2

2

t t

m − + +

⇔ =

Xét hàm số ( )

2

t t

f t =− + + , với t∈ 2; 2 ta có f′( )t = − <1 t 0, ∀ ∈ t 2; 2 Bảng biến thiên:

Phương trình cho có nghiệm đồ thị y= f t( ) cắt đường thẳng y=m Dựa vào BBT ta thấy 2 2− ≤ ≤ m

Khi 2 ( 2)

a

T a b

b

 = −

 ⇒ = + + =

 =



Câu 11 Tìm mđể phương trình m 1x2 1x2  2 1x4  1x2  1x2 có nghiệm

thực?

A. 2   m B. 2   m C. 2   m D. 1   m

Lời giải

Chọn B

Điều kiện x  1;1

Ta có m 1x2  1x2  2 1x4  1x2 1x2 (1)

Đặt 2

1

t= +x − −x , t∈ 0; 2 Suy 2 1x4  2 t2

Khi (1) trở thành phương trình: ( )

2

m t+ = − +t t

2 2

2

t t m

t

    

Xét hàm số ( ) 2 t t f t t − + + =

+ , t∈ 0; 2 có 0; ( ) ( )

max f t f

   

= = ;

( ) ( )

0;

min f t f 2  

 

= = −

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t∈ 0; 2 ⇔ 1− ≤ ≤ m

 Mức độ

Câu Tất giá trị thực tham số m, để đồ thị hàm số y=x4−2 2( −m x) 2+m2−2m−2 khơng cắt trục hồnh

A m≥ 1+ B m<3 C m> 1+ D m>

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm: ( ) 2 ( )

2 2

x − −m x +m − m− =

Đặt

t=x ≥ Phương trình trở thành t2−2 2( −m t) +m2−2m− =2 2( )

Đồ thị hàm số khơng cắt trục hồnh vô nghiệm (2) vô nghiệm có nghiệm âm

0 0 S P ′ ∆ <   ′∆ ≥  ⇔  <

  >   ( )

2

2

2

2 m

m

m

m m

− + < 

−

+ ≥ 

⇔  − < 



 − − >  3 3 m m m m m >      ≤  ⇔  >

 

  > +  

< −   

3

1 3

m

m

>  ⇔ 

+ < ≤

 ⇔ > +m

Câu Cho hàm số y=x3−x2(2m+ +3) (x 6m+ −7) 4m− đường thẳng d y: = +x Tìm giá

trị thực m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số cho điểm phân biệt A( )1; , B C,

cho diện tích tam giác OBC , với O gốc tọa độ.

A. {−2; 4} B.{ }2; C. {−2;3} D. {−2;5}

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm x3−(2m+3)x2 +(6m+7)x−4m− = + x

( ) ( )

1 2 4

x x m x m 

⇔ −  − + + + =

( ) ( )

1

2 4

x

g x x m x m

= 

⇔  = − + + + =



Để hai đồ thị cắt điểm phân biệt phương trình

( ) ( ) ( )

2

g x =x − m+ x+ m+ = phải có nghiệm phân biệt khác

( )1

( )

( )2 ( )

0

1

0

2 a m m m g  ≠

 + − + >

 ′ 

⇔ ∆ > ⇔

+ ≠ 

 ≠ 



2

2

3

m m

m

 − − >  ⇔  ≠ −  3 m m m

 < −   > ⇔ 

 ≠ − 

(*)

Với x= ⇒ =1 y :A( )1; nên x , B x nghiC ệm phương trình ( )

2 4

x − m+ x+ m+ = Diện tích tam giác OBC d( , )

2

S = BC O BC

Phương trình đường thẳng BC là: x− + =y Do đó:

( ) (2 )2

1

2 xB−xC + yB−yC =

( ) (2 )2

40

B C B C

x −x + y −y = ⇔(xB−xC)2 =20

( )2

4 20

B C B C

x x x x

⇔ + − =

( )2 ( )

2m 4m 20

⇔ + − + =

4 m m = −  ⇔  =

 (thỏa mãn điều kiện (*)

Câu Cho hàm số 1 x y x + =

− có đồ thị ( )C , đường thẳng d có phương trình y=2x m+ Tìm m để đường thẳng d cắt ( )C hai điểm phân biệt ,A B cho tam giác OAB vuông

tại O , (với O gốc tọa độ)

A. m= − B. m= C. m= D. m=

Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm : 1 x x m x + + =

− , (ĐK:x≠ )

(2x m)(x 1) x

⇔ + − = + ( ) ( )

2

g x x m x m

⇔ = + − − − =

d cắt ( )C hai điểm phân biệt ,A B ⇔g x( )=0 có hai nghiệm phân biệt ,x x khác A B

( ) 0 a g  ≠  ⇔ ∆ >

 ≠



( )2 ( )

2

3 4.2

2

m m

m m

≠  

⇔ − − − − >  + − − − ≠ 

2

2 17

2

m m

 + + > ⇔ 

− ≠

 ⇔ ∀ ∈  m

Gọi O( ) (0; , A xA; 2xA+m) (, B xB; 2xB+m) Khi ,x x hai nghiA B ệm phương trình

( )

g x = nên theo định lý Viet:

3 2 A B A B m x x m x x −  + =   − −  = 

Ta có: OA=(xA; 2xA+m OB x), ( B; 2xB+m)

 

Tam giác OAB vuông O

OA OB ⇔ =

(2 )(2 )

A B A B

x x x m x m

⇔ + + + =

( )

5x xA B 2m xA xB m

⇔ + + + =

2

1

5− −m  2m −m m

5 m ⇔ =

Câu Cho hàm số y=x3−3x2 có đồ thị ( )C hình vẽ Dựa vào đồ thị ( )C , tìm m để phương

trình ( )

3

2

2− +x x+1 −6 2+ −x x = có nghim ệm thực

A − ≤ ≤9 m 6− B. 3 9− ≤ ≤m 6−

C. 5≤ ≤m 6− D. 5≤ ≤m 6−

Lời giải

Chọn D

Ta có

( )3

2

2− +x x+1 −6 2+ −x x =m ( ) ( )

3

2 x x x x m

⇔ − + + − − + + = −

Điều kiện: 1− ≤ ≤ x

Đặt t= 2− +x x+ ( 3≤ ≤t 6)

Ta phương trình

3

t − t = −m

Phương trình ( )3

2− +x x+1 −6 2+ −x x = có nghim ệm thực phương trình

3

3

t − t = −m có nghiệm t∈  3; 6

Xét hàm số f t( )= −t3 3t2có đồ thị hình vẽ đề

Dựa vào đồ thị suy phương trình

3

( )

4 m f

− ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤5 m 6−

Câu Biết đồ thị hàm số bậc 4: y= f x( ) cho hình vẽ sau:

Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y=g x( )=f′( )x 2− f x f( ) ( ) ′′ x trục Ox

A. B 4 C 2 D.

Lời giải:

Chọn A

Số giao điểm đồ thị hàm số y=g x( )=f′( )x 2− f x f( ) ( ) ′′ x trục Ox số

nghiệm phương trình: f′( )x 2− f x f( ) ( ) ′′ x =0 ⇔f′( )x 2 = f x f( ) ( ) ′′ x

Giả sử đồ thị hàm số y= f x( )=ax4+bx3+cx2+dx e+ , (a b c d e, , , , ∈;a≠0,b≠0) cắt trục hoành Ox tại điểm phân biệt x x x x 1, 2, 3,

Đặt A= −x x B1; = −x x C2; = −x x D3; = − ta có: x x4

( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)

f x =a x−x x−x x−x x−x =a ABCD

TH1: Nếu x= vxi ới i=1, 2, 3, g x( )i =f′( )xi 2 >0 Do x=x ii, =1, 2, 3, khơng

phải nghiệm phương trình g x( )=0

TH2: Nếu x≠ với xi i=1, 2, 3, ta viết lại

( ) [ ]

f′ x =a BCD+ACD+ABD+ABC f x( ) 1 1 A B C D

 

=  + + + 

 

( ) ( ) ( ) 2 2

1 1 1 1

f x f x f x

A B C D A B C D

   

′′ = ′  + + + −  + + + 

   

( ) ( ) 2 2

1 1 1 1

f x f x

A B C D A B C D

   

=  + + +  −  + + + 

Suy ra, ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

1 1 1 1

f x f x f x f x

A B C D A B C D

   

′′ =  + + +  −  + + + 

   

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2( )

2 2

1 1

g x f x f x f x f x

A B C D

 

′ ′′

=  − =  + + + >

 

( 1, 2, 3, 4) i

x x i

∀ ≠ =

Từ suy phương trình g x( )=0 vô nghiệm

Vậy đồ thị hàm số y=g x( ) khơng cắt trục hồnh

Câu Cho hàm số u x( ) liên tục đoạn [ ]0;5 có bảng biến thiên hình vẽ Có giá

trị nguyên m để phương trình 3x+ 10 2− x =m u x ( ) có nghiệm đoạn [ ]0;5 ?

A 6 B 5 C 4 D 3

Lời giải:

Chọn B

Theo bảng biến thiên ta có [ ]0;5 1≤u x( )≤4 ( )1 ,

Ta có ( )

( ) 10

3x 10 2x m u x x x m

u x

+ −

+ − = ⇔ =

Xét hàm số f x( )= 3x+ 10 2− x [ ]0;5

Ta có ( ) 2 10 f x

x x

′ = −

− ; f′( )x = ⇔0 10 2− x=2 x ⇔3 10 2( − x)=4x⇔ =x

Do ta có [ ]0;5 10≤ f x( )≤5 ( )2

Từ ( )1 ( )2 ta có ( ) ( )

( ) ( )

max

min

f x f

u x u

= =

 

= =



( ) ( )

( ) ( )

min 10

max

f x f

u x u

 = =

 

= =



Do 10 ( )( )

f x

u x

≤ ≤ với x∈[ ]0;5

Để phương trình 3x+ 10 2− x=m u x ( ) có nghiệm đoạn [ ]0;5 ⇔phương trình

( ) 3x 10 2x

m u x

+ −

= có nghiệm đoạn [ ]0;5 10

4 m

⇔ ≤ ≤

Vì m∈ nên m∈{1; 2;3; 4;5}

Vậy có giá trị m nguyên thỏa đề

Câu Cho phương trình tanx+1 sin( x+2 cosx)=m(sinx+3cosx) Có giá trị nguyên

của tham số m∈[0; 2020] để phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng 0;

π

     

A 2018 B 2019 C 2017 D 2016

Lời giải:

Chọn A

Xét phương trình tanx+1 sin( x+2 cosx)=m(sinx+3cosx) ( )1 khoảng 0;

π

     

Vì 0; sin , cos , tan

x∈ π ⇒ x x x>

  nên chia hai vế ( )1 cho cos x, ta được:

( ) ( )

3 tanx+1 tanx+2 =m tanx+ ( )2

Đặt t = tanx+ , (t >1) ( )2 trở thành: ( ) ( )

2

2 3

3

2

t t

t t m t m

t +

+ = + ⇔ =

+ ( )3 Theo đề bài, ( )1 có nghiệm 0; ( )3

2

x∈ π ⇔

  có nghiệm t >

Ta có ( )

( )

4

2

3 15

t t

f t

t

+ +

′ = >

+ , ∀ > nên t f t( ) đồng biến (1;+ ∞) Bảng biến thiên f t( ):

Với giá trị t> tương ứng có nghiệm x thuộc khoảng 0;

π

     

Từ bảng biến thiên, ( )3 có nghiệm t>

⇔ Đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y= f t( ) điểm có hồnh độ lớn

m

⇔ > , mà m số nguyên thuộc đoạn [0; 2020] Vậy có 2018 giá trị nguyên m thỏa đề

Câu Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên hình vẽ

Có số ngun m để phương trình f (2sinx+1)= f m( ) có nghiệm thực?

A. B. C. D.

Lời giải:

Chọn D

Đặt t =2 sinx+1 suy t∈ −[ 1;3]với ∀ ∈x 

Phương trình f (2sinx+1)= f m( )có nghiệm ⇔ f t( )= f m( ) có nghiệm t thuộc [−1;3]

[ 1;3] ( ) ( ) [ 1;3] ( )

min f t f m max f t

− −

⇔ ≤ ≤

Từ bảng biến thiên suy − ≤2 f m( )≤ ⇔ − ≤ ≤ m

Suy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Tổng giá trị  m cho phương trình  1 2

6 12  

  m f x

x x có hai nghiệm phân biệt đoạn  2;

A 75 B 72 C 294 D 297

Lời giải:

Chọn B

Ta có  1 2

6 12  

  m f x

x x      

2

6 12 , 2;

m x x f x x

      

Xét hàm số g x x26x12  f x 1 ,  x 2; 

Ta có          

2 12

g x  x f x  x  x f x Ta xét trường hợp sau:

TH1)  

 

 

2

1

2

6 12

1    

  

 

       

  

  

 x

f x

x g x

x x

f x

TH2)  

 

 

2

1

3

6 12

1    

  

 

       

  

  

 x

f x

x g x

x x

f x

TH3) x= ⇒3 g x′( )=0

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, suy cho phương trình cho có hai nghiệm phân biệt đoạn  2; 12  m

 

Tổng giá trị mlà S        (áp dụng công thức tổng cấp số 12 11 10 72 cộng)

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục  có đồ thị hình vẽ bên.Có giá

trị nguyên m để phương trình 2f (3 6− x−9x2)= − có nghiệm? m

A 5 B 6 C 9 D 10

Lời giải:

Chọn D

Điều kiện: 2

6 0

3

x− x ≥ ⇔ ≤ ≤x

Đặt 2

3 , 0;

t = − x− x x∈  

 

Ta có:

2

6 18

4 0;

3

2 x

t x

x x

−  

′ = − = ⇒ = ∈ 

 

−

Vì 0;2

x∈  

  nên t∈ −[ 1;3]

Phương trình trở thành: ( ) ( ) 3, [ 1;3 *] ( )

m

f t = − ⇔m f t = − t∈ −

Phương trình 2f (3 6− x−9x2)= − có nghiệm phương trình m ( ) m f t = −

có nghiệm t∈ −[ 1;3] 3 12 3

2

m

m m

−

⇔ − ≤ ≤ − ⇔ − ≤ − ≤ − ⇔ − ≤ ≤