CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT Tính chất: - Nếu a chia hết cho m n, m, n hai số nguyên tố a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, (b; c) = a chia hết cho c - Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p ( n≥ 1) - Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n nhận hai số dư ( n≥ 1) - Trong n ( a;b) = d - Nếu số nguyên liên tiếp, có số chia hết cho n ax + by = d tồn hai số nguyên x, y cho: DẠNG 1: SỬ DỤNG CÁC DẤU HIỆU, TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA Bài : Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n+ − 2n+ + 3n − n Bài : chia hết cho 10 Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 Bài : Cho m, n ∈ N* p số nguyên tố thoả mãn: p m −1 m+n p = (1) Chứng minh : p2 = n + Bài 4: a) Sè A = 101998 − cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: A = 3638 + 4133 chia hÕt cho Bài : a) b) Chứng minh rằng: 3n + − 2n + + 3n + 2n chia hết cho 30 với n nguyên dương Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 a - 11b + 3c 17 (a, b, c ∈ Z) 3a + 2b 17 ⇔ 10a + b 17 Bài : a) Chứng minh rằng: (a, b ∈ Z ) f ( x) = ax + bx + c b) Cho đa thức (a, b, c nguyên) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho Bài : a) Chøng minh r»ng b) Cho 2n + 102006 + 53 lµ mét sè tù nhiên lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n − hợp số DNG 2: XẫT TP HP S D TRONG PHÉP CHIA A = n( 2n + 7) ( 7n + 7) M6 n Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên ta có : A = 4a + 3a + 5M6 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 3, Chứng minh : Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho: n2 + 9n − 2M 11 Bài 4: Chứng minh có vơ số tự nhiên n cho chia hết cho 13 A = + + 1M 13,∀ n∈ N 2n n/M3 Bài 5: Chứng minh 4n2 + 1M5 n Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để 2n − 1M7 ( )( ) A = n n2 + n2 + M5,( ∀n∈ Z) Bài 7: Chứng minh rằng: ( n;6) = Bài 9: Chứng minh + + 1M7 2n Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: n2 − 1M24,∀n∈ Z n Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m4 + = n2 Bài 12: Tìm tất số nguyên x cho : x3 − 8x2 + 2xMx2 + 2n = 10a + b,( < b < 10) n> Bài 17: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: , Chứng minh rằng: p 1 = 1− + − + ,( p,q ∈ Z) q 1319 Bài 19: Cho abM6 S = 15 + 25 + 35 + + n5M( 1+ + 3+ + n) n≥ Bài 18: Cho số tự nhiên mnM5 , Chứng minh rằng: pM 1979 Chứng minh An + BnM( A + B) ,∀n DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: LẺ A = 2005 + 60 − 1897 − 168 M2004,∀n∈ N Bài 1: Chứng minh Bài 2: Cho Bài 3: Cho n∈ N n∈ N n n ( ) n ( n ) A = 5n 5n + − 6n 3n + 2n M91 , CMR : , Chứng minh rằng: Bài 4: Chứng minh rằng: 62n + 19n − 2n+1M 17 13 + 33 + 53 + 73M23 28n.56n − 1980n − 441n + 1M 1979,∀n∈ N Bài 5: Chứng minh rằng: 5n + + 26.5n + 82 n +1 M59 Bài 7: CMR với số tự nhiên n ta có : A = 20n + 16n − 3n − 1M232,∀n∈ N Bài 9: Chứng minh rằng: nn − n2 + n − 1M( n − 1) ,∀n > Bài 10: Chứng minh rằng: Bài 14: Tìm giá trị n để: Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A = 20n + 16n − 3n − 1M323 A = 32n+3 + 24n+1M25 a( a − 1) ( b − 1) M 192 Bài 16: Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: , Chứng minh rằng: DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP A = 16n − 15n − 1M225,∀n∈ N * Bài 1: Chứng minh 33n+3 − 26n − 27M29,∀n ≥ Bài 2: Chứng minh rằng: abcM60 ... 2: XẫT TP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA A = n( 2n + 7) ( 7n + 7) M6 n Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên ta có : A = 4a + 3a + 5M6 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 3, Chứng minh : Bài 3:...f ( x) = ax + bx + c b) Cho đa thức (a, b, c nguyên) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho Bài : a) Chøng minh r»ng b) Cho 2n + 102006 + 53 lµ mét sè tù nhiờn... số tự nhiên n cho chia hết cho 13 A = + + 1M 13,∀ n∈ N 2n n/M3 Bài 5: Chứng minh 4n2 + 1M5 n Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để 2n − 1M7 ( )( ) A = n n2 + n2 + M5,( ∀n∈ Z) Bài 7: Chứng minh rằng: