Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ giáo dục và đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường cao đẳng sư phạm, đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc chuẩn hóa giáo viên THCSmà sao đây sẽ gọi chung là “sinh viên” Trong chương trình mới, môn “đại số sơ cấp” được kết hợp với một phần môn “thực hành giải toán” thành môn “đại số sơ cấp và thực hành giải toán”, song song với môn “hình học sơ cấp và thực hành giải toán”. Do vậy giáo trình gồm bảy chương: Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lý luận chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và về các phương pháp suy luận và tư duy toán học, sau đó là một số bài tập áp dụng trong hai chủ điểm thực hành Chương 2 (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS. Vì thế phần lý thuyết chỉ nhằm hệ thống hóa các kiến thức về xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, các phép toán và các quan hệ trên các tập số đó. Nội dung chính của chương này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguyên tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương 3 (đa thức, phân thức hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, trường các phân thức hữu tỉ, các phép toán trên chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức, phân tích phân thức…), trong đó có những kiến thức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của đại số sơ cấp. Chương 4 (căn số và các phép biến đổi vô tỉ) là một phần quan trọng của các phép biến đổi đại số. Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là “các phép biến đổi đại số” Chương 5 (hàm số và đồ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ cấp và các phép biến đổi sơ cấp các đồ thị. Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình đại số sơ cấp cũ. Chương 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về các phương trình, hệ và tuyển phương trình. Sau khi trình bày về sự tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã xét nhiều dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình) là một trong những chương quan trọng của giáo trình. Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương pháp thường dùng để chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn đề về bất phương trình tương tự như đối với phương trình.
MỤC L CHƯƠNG VII: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH .3 § ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 ĐỊNH NGHĨA 1.2 TÍNH CHẤ CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC § CÁC BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .4 2.2 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (Cauchy, 1789-1857) 2.3 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI-BUNHIACÔPSKI 2.4 BẤT ĐẲNG THỨC BECNULI (Bernoulli) § CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 3.1 PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA 3.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 3.3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 3.4 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI 3.5 PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC Đà BIẾT .9 § ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 4.1 CÁC ĐỊNH LÝ 4.2 ÁP DỤNG 10 § BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 13 5.1 ĐỊNH NGHĨA 13 5.2 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH 13 § BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT .14 6.1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .14 6.2 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾT TÍNH MỘT ẨN 15 6.3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HAI ẨN 16 § Bài BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 16 7.1 ĐỊNH LÍ VỀ DẤU TAM THƯC BẬC HAI 16 7.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 18 7.3 CÁC VÍ DỤ 19 § BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, BẤT PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC MỘT ẨN, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN 21 8.1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN .21 8.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC 22 8.3 MỘT SỐ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƠN GIẢN 23 § BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 25 9.1 ĐỊNH NGHĨA 25 9.2 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 25 9.3 PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LÊN LŨY THỪA 26 9.4 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 28 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG VII 30 CHỦ ĐIỂM CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 30 CHỦ ĐIỂM CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI 35 CHỦ ĐIỂM CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .37 CHỦ ĐIỂM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN .45 CHỦ ĐIỂM CHỦ ĐIỂM 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC HAI 48 BÀI TẬP CHƯƠNG VII 50 ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 60 Y CHƯƠNG VII: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH § ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 ĐỊNH NGHĨA Cho hai số a, b thuộc K (K trường số hữu tỉ hay trường số thực ) Ta nói a lớn b kí hiệu số dương Khi ta nói b bé a kí hiệu Ta nói a lớn hay b viết số dương khơng Khi ta nói b bé hay a viết Giả sử A(x), B(x) hai biểu thức toán học với miền xác định chung đối số x S (hoặc xem hai biểu thức tốn học n đối số ta xem thuộc Kn Ta nói: A(x) < B(x) hay B(x) > A(x), giá trị thừa nhận x0 đối số x thuộc S ta điều có tương ứng: bất đẳng thức só trường số K Chú ý mối quan hệ “lớn hơn” có trường hớp thứ tự (trong giáo trình, chẳng hạn trường số thực R, trường số hữu tỉ ) Trương trường số phức trường thứ tự nên xác lập quan hệ “lớn hơn”, “nhỏ hơn” cho hai số phức phân biệt (trong số khơng phải số thực) Ví dụ: > 3; 1.2 TÍNH CHẤ CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1) 2) (tính bắt cầu) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) § CÁC BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG Sau bất đẳng thức quan trọng, thường sử dụng việc giải toán bất đẳng thức khác, 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI a) cho số thực hiển nhiên b) cho số thực khác khơng a, b thì: Dấu xảy Thật vậy: 2.2 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (Cauchy, 1789-1857) Cho n số thực khơng âm , trung bình cộng n số lớn trung bình nhân chúng Dấu xảy Bất đẳng thức Côsi cịn gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học 2.3 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI-BUNHIACÔPSKI Cho n cặp số thực tùy ý Dấu xảy tồn cho Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp tam thức bậc hai 2.4 BẤT ĐẲNG THỨC BECNULI (Bernoulli) Đối với số thực dương a số hữu tỉ q > ( Ta chứng minh bất đẳng thức 3, xem áp dụng bất đẳng thức Cơsi § CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh bất đẳng thức có nghĩa dùng phép suy diễn logic định nghĩa, tính chất bất đẳng thức, dùng bất đẳng thức chứng minh trước để chứng tỏ bất đẳng thức xét miền xác định Khơng có phương pháp chung để chứng minh bất đẳng thức, tính đa dạng bất đẳng thức chứng minh phương pháp Ta nêu lên số phương pháp thường dùng sau đây: 3.1 PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA Để chứng minh A > B (hoặc ta chứng minh Ví dụ: chứng minh bất đẳng thức Côsi hai số thực không âm (còn gọi bất đẳng thức Ơclit) Dấu xảy a = b Thật vậy, Dấu xảy a = b 3.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Để chứng minh ta biến đổi tương đương (dựa vào tính chất điểm 1.2) Và cuối đạt bất đẳng thức hiển nhiên Khi kết luận Ví dụ: chứng minh Giải Bất đẳng thức xét tương đương với bất đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) 3.3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Phương pháp sử dụng để chứng minh bất đẳng thức có chứa số tự nhiên n Ví dụ: chứng minh bất đẳng thức Cơsi trường hợp tổng quát Với Giải: Ta dùng phương pháp quy nạp theo n: Với n = bất đẳng thức chứng minh 3.1 (bất đẳng thức Ơclit) Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trước hết ta xét vài bất đẳng thức phụ Nếu Vậy ta ln có (chuyển phận sang vế phải, ta được) Lấy n số thực không âm , viết bất đẳng thức tương ứng cộng lại ta được: ( Bây theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận n – số thực không âm bất kì, trung bình cộng khơng nhỏ trung bình nhân chúng Thế nói riêng ta có: ………… Sử dụng bất đẳng thức này, ta tăng cường bất đẳng thức (**) Trong hệ đặt ta Trong tất trình lý luận trên, dấu xảy tức 3.4 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Ta dùng định lý dấu tam thức bậc hai, dấu nghiệm tam thức bậc hai, v.v… để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ: chứng minh bất đẳng thức Cơsi – Bunhiacơpski Cho n cặp số thực Dấu xảy tông số cho Giải ta có: …………… Từ suy ………………… Cộng vế theo vế ta ( Vế trái tam thức bậc hai với A > nên A > + Và thu bất đẳng thức cần chứng minh Còn A = bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Cuối ta thấy dấu “ =” bất đẳng thức xảy …, 3.5 PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC Đà BIẾT Trong nhiều toán để việc chứng minh bất đẳng thức gọn, ta sử dụng bất đẳng thức chứng minh, bất đẳng thức “kinh điển” bất đẳng thức Cơsi, Cơsi – Bunhiacơpski Ví dụ: chứng minh bất đẳng thức Becnuli Đối với , Chứng minh Do nên Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho m số (Khơng xày dấu “=” + qa > 1) Hay Nhưng , ta có: Hay § ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 4.1 CÁC ĐỊNH LÝ Mệnh đề 1: Nếu tổng số thực dương số cho trước tích chúng lớn Chứng minh: Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: Dấu “=” xảy Với S cho, tích có giá trị lớn Tổng quát hơn, ta có định lý sau: Định lý 2: n số thực dương có tổng S khơng đổi tích có giá trị lớn Trong số hữu tỉ dương cho trước Một cách đối ngẫu ta có: Mệnh đề 3: tích số dương số cho trước tổng chúng bé Chứng minh hoàn toàn mệnh đề Một cách tổng quát, ta có định lý sau: Định lý 4: n số thực dương có tích khơng đổi tổng có giá trị bé Trong Trong số hữu tỉ dương cho trước 4.2 ÁP DỤNG Ta dùng mệnh đề giải toán cực trị sau đây: Bài toán 1: tất hình chữ nhật có chu vi cho trước, hình có diện tích lớn nhất? Giải Giả sử x, y độ dài hai cạnh kề hình chữ nhật, 2S chu vi nó, P diện tích Ta có Với tổng cho, tich P có giá tị lớn , tức hình chữ nhật hình vng Bài tốn đối ngẫu (hoặc tương hỗ) phát biểu sau: Trong tất hình chữ nhật với diện tích cho trước, hình có chu vi nhỏ nhất? Đáp án: hình vng Bài toán 2: giá trị bé hàm số sau đạt nào? Giải Ta có bé bé Tích khơng đổi, nên y có giá trị bé tức Bài toán Từ hình vng cạnh a, cắt bốn góc hình vng cạnh x co gấp lại hộp tích lớn (khơng có mép) Giải Diện tích mặt đáy hình hộp độ cao x, thể tích hộp là: Đặt Ta có khơng đổi Vậy (do V) có giá trị lớn tức Bài tốn Tìm giá trị bé với khơng đổi (với ) Giá trị đạt nào? Giải Theo bất đẳng thức Côsi-Bunhiacôpski ta có Do 10 1 � n 2n 1 � n 2n K 1 2n 2n Cộng vế với vế, ta thu ĐPCM b) Ta có 1 22 1 1 2.3 1 1 42 3.4 K Cộng vế với vế, ta có ĐPCM 14 a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho n số dương 2 b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho n số a1 , a2 ,K , an tính chất khai bậc hai bất đẳng thức có hai vế dương 15 a) Dùng bất đẳng thức Côsi b) Dùng phương pháp quy nạp toán học theo n A 16 Mỗi số hạng n 17 Mỗi số hạng n P 18 Biểu thức có dạng 95 (a x)(b x ) ab (a b) x x ab ab x x x x ab Đối với hai số dương x x , ta có bất đẳng thức Cơsi: ab ab x �2 x ab x x Khi đó: (a x )(b x ) �a b ab ( a b ) x Vậy giá trị nhỏ biểu thức ( a b ) đạt x ab 19 ab � (a b) a) Do , nên ta có: 2� � f ( x) (2 x 1)(3 x) � 5x � (3 x) � 5� 2� 2 1� � 1 � 5� � � x (3 x ) � � � 40 4� � 2� � 1 x 20 Vậy f ( x) lớn 40 b) f ( x) (1 x )(1 x) *Nếu x 1 x f ( x) �0 *Nếu 1 x 96 f ( x) (3 x)(1 x)(1 x)(1 x) � 4 �3 x x x x � �3 � � � � � � 3� � �2 � 27 x Vậy f ( x) lớn 16 c) f ( x) x x 2 2 Ta có x �2 x �2 x x � x2 2 Vậy f ( x) lớn 2 x d) f ( x) x2 ( x 2)3 x �3 x � ( x 2)3 �27 x � f ( x) � 27 Ta có Vậy f ( x) lớn 27 x �1 20 Do f ( x) nên x Ta có: f ( x) x Vậy f ( x) dương bé x 3 �2 x x x 21 Áp dụng bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpski với n (12 12 12 )( x y z ) �( x y z ) 97 ( x y z )( y z x) �( xy yz zx) Từ suy 3( x y z ) �( xy yz zx) Suy f ( x, y, z ) � 16 f ( x, y , z ) 16 �2 16 x yz Vậy f ( x, y, z ) bé 22 Kí hiệu SE x Dùng tam giác đồng dạng, tính chất tiếp tuyến, biến đổi ta được: � 4R2 � V R2 � 4R x � x � � V � R3 4R x x tức x R V bé Vmin R 3 Khi 23 � 27 � �, � � � � a) � 257 � �, � � 220 � � b) 24 a) x �{5,6, 7,8,K } b) x �{8, 7, 6,K } 25 a) Nếu m , có x m 98 Nếu m , có x m Nếu m : vô nghiệm 4m 1 x m 2m , có b) Nếu 4m 1 x m 2m , có Nếu Nếu m : vô nghiệm 26 a) x �m 1, x �� m 1 x� m 1 b) Nếu m m �1 ,có m 1 x� m 1 Nếu m ,có Nếu m �1 : vơ nghiệm 27 �5 57 � x �� , � 13 12 � � a) b) x �(2,3] 28 Từ hai bất phương trình đầu ta có 3 x Giải bất phương trình cuối, ta có: (m 1)(m 2) x m (1) *Với m m (1) vơ nghiệm suy hệ vô nghiệm *Với m m (1) có nghiệm x m2 1� m Để hệ vô nghiệm phải có m 99 *Với m , từ (1) có x m Để hệ vơ nghiệm 3 � m m2 m 1, m Đáp số: hệ vô nghiệm 29 a) 1 x b) x �1 x �2 x2 c) 30 a) Chuyển sang vế trái Quy đồng mẫu số Tử số mẫu số dấu 1 x0 x8 Đáp số: b) (2, �) c) � ( x 1)( x 6) �0 x7 Đáp số [6,1] �(7, �) 31 a) Ta có m 4m 12 * � m 2 m Bất phương trình nghiệm x khác nghiệm kép, hay x �1, x �3 tương ứng x6 � 0� � x 2 � * Bất phương trình có nghiệm là: 100 � m m2 4m 12 x � � � m m2 4m 12 � x � * � 2 m : nghiệm x �� b) Đáp số: * m 1 : nghiệm x �1 * m 2 : nghiệm x * 2 m 1 : nghiệm ( �, x1 ) �( x2 , �) * 1 m �0 : nghiệm [ x1 , x2 ] * m : vô nghiệm 32 a) 1 x 1 b) (�,0] �[1, �) � 1� �, ��(2, �) � 2� � c) 33 �1 � � ,6 � a) �3 � �2 � , � � � � b) � 5 � 8� � � 0, ��� , �� � � c) � � � 34 Bất phương trình xét tương đương với 101 x a x 2ax a a � x a ( x a )2 a Đặt t x a (1) � t t a � t t a2 (2) *Xét t �0 � x �a , (2) � t 2t a (3) Có ' a + Nếu 1 a (3) vơ nghiệm � (1) vơ nghiệm + Nếu a �1 a �1 nghiệm (3) 1 a t a � a 1 a � � a � Do t �0 nên có nghiệm Và �t a a 102 (1) Kết hợp điều kiện a , ta có a a thỏa mãn, (1) có nghiệm a �x a a * Tương tự, ta xét t � x a , ta có (2) � t 2t a (4) a 1 � ' a2 � � a 1 � Có nghiệm , (4) có nghiệm 1 a t 1 a Để t a � a a Khi a2 t 2 Vậy a a x a a Đáp số: Nếu a a bất phương trình có nghiệm a a2 x a a2 Các trường hợp khác vô nghiệm 35 *Xét x �0 Khi �ax ۳ � 1� ( ax 1)(1 x) 1 x ax (a 1) x � � (a 1) �0 � x �0 � � a0 � a �1 � S a 1 �0 � �2 2a (1) có nghiệm *Xét x Tương tự, a Vậy để bất phương trình x a �1 , tức a lớn 1 Đáp số a 1 103 36 a) Chuyển vế, quy đồng mẫu số Dấu phân thức dấu tích tử thức mẫu thức Ta có: x2 4x L � � (�, 3) �(1,3) �(2 3, �) ( x 3)( x 1) �8� 1, � � 3� � b) 37 a) x b) ( 12, 5) �(0, 11) �( 5, 12 ) �(4 11, �) 38 a) Chuyển vế Quy đồng mẫu số Biến đổi tương đương: L � �x �1 � x( x 1) � � � x 1 ( x 1)( x x 1) � b) (�, 5) �(1,2) �(6, �) 39 a) ( �, 1) �(0,1) �(2,3) b) (�, 3] �[ 1,1] �( 3,3) �(5, �) 40 a) Bất phương trình đầu � x �4 x �1 Bất phương trình thứ ba � ( x 1)( x x 2) �0 � x �1 Bất phương trình thứ hai 3 x Nghiệm hệ (3,1] b) � x �y �4 x �x � x �0 �� � �y � x � x � 104 41 a) (�, 2] �[14, �) b) (1,3] 42 � � ,3� � a) � � � 11 17 � , � ��(0,2) � b) � 43 a) [4,5) �(6,7) b (�, 2) 44 a) (5, �) b) Do 4x �0 nên bất phương trình tương đương với 2x � x 2 x �0 � � � x �(2 x 1)2 � Đáp số: x �0 45 a) �x � b) 2 �x �0 46 a) [3,7) b) x �3 105 47 Miền xác định: x �2 Chia hai vế cho � 18 Đặt t Ta x ta x2 x2 �2 2x 2x x2 , t �0 2x 2t � 9� t 18 0 t (do t �0 ) Vậy có hệ �x �2 �x �2 � � � x � � 211 � x �2 � �4 �x �146 � � 2x 2 48 3 Đặi y x � x y ta có y m y �2 � m y �8 12 y y y � y 12 y m �0 Khi đưa biện luận bất phương trình bậc hai ẩn y , từ suy x Bài tập thực hành giải toán Xét hiệu a n � n� � n � � b � ( a b) � 1 � a � b� � ab � � a n n n � � ab n � 1� 1 0 � ab ab b n Do � Hiệu dương nên suy ĐPCM 2 � � � � 1� 1 � 2 P x y 2 �xy � � � x y � y � �xy � � xy � � � Khai triển 106 �x � �y �4 �x y xy Do � nên Áp dụng phần a, tập 1, ta có � � �1 � � � 17 P� � ��� xy 4� � � � � � xy � � Vậy Pmin 17 �x y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số x y z t ( x y z ) t �2 ( x y z )t 4 4( x y z )t 1 ( x y z )t � ( x y z )t �( x y z ) t �4( x y ) zt � ( x y z )( x y ) �4( x y ) zt �4.4 xyzt � ( x y z )( x y ) �16 xyzt �x y z t � �1 1 � � �x y z � ( x, y, z , t ) � , , ,1� �4 � �x y � Dấu “=” xảy Áp dụng đó: x p a, y p b, z p c 1 1 1 � , � , � Từ x y x y y z y z z x z x suy ĐPCM Phân tích: a b3 c3 3abc (a b c)( a b c ab bc ca) Phân tích: a b3 c3 3abc (a b c)( a b c ab bc ca) 107 Phân tích vế trái thành nhân tử a b bc c a abc Tính vế trái Áp dụng bất đẳng thức “trong tam giác hiệu hai cạnh bé cạnh lại” Trước hết chứng minh p a 0, p b 0, p c Áp dụng bất đẳng thức Côsi pa pb c ( p a)( p b) � 2 (1) Tương tự a ( p b)( p c) � (2) b ( p c)( p a) � (3) Nhân vế bất đẳng thức (1) (2) (3) điều phải chứng minh 10 *Trường hợp n : xem toán 2, chủ đề (xét hiệu) *Trường hợp tổng quát: quy nạp 11 2 u v �u v � �u v � � � � ��0 2 � � � � Xét hiệu Sử dụng câu 12 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski 13 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski x t (t �0) 14 Đặt Bất phương trình trở thành 15 Tính từ ngồi 16 Bất phương trình cho tương đương với tập hợp 108 � 1� t � a � � 2� 2x � � �x x �0 � � � x �0 � � �x x �(2 x 4)2 � � � 3 x 0 � � (1) � �x x �0 �x x (3 x) � 17 18 Tìm giá trị lớn (bé nhất) có hai vế 19 1) Dùng phương pháp “khoảng”: xét bất phương trình khoảng a) x b) �x c) x �2 2) Bất phương trình tương đương vối tập hợp hai hệ � �x �1 �x �2 � �2 �x x x � � 1 x � � � � x 3x x � � 3) Bất phương trình cho tương đương với �3 x � � � (1 x) �x � 3x 3x � �� � �� (1 x) �� (1 x) � �2 x ��2 x � 109 ... 60 Y CHƯƠNG VII: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH § ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 ĐỊNH NGHĨA Cho hai số a, b thuộc K (K trường số hữu tỉ hay trường số thực ) Ta nói a lớn b kí hiệu số dương... hai giá trị thực đối nhau, song dấu dùng để giá trị dương số gọi số học số đó; số thực có bậc lẻ dấu với nó; bậc số Căn vào kiến thức số, ta có định lí sau: 9.2 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG... b)Chứng minh với số n dương (Vế phải gọi trung bình tồn phương ) 15 Chứng minh rằng: a) Nếu b) Nếu 46 16 Một số dương A chia thành n số dương cho tích chúng lớn Tính số hạng 17 Một số dương p phân