Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI SỐ SƠ CẤP CHƯƠNG 1 Dùng cho Cao học Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ giáo dục và đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường cao đẳng sư phạm, đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc chuẩn hóa giáo viên THCSmà sao đây sẽ gọi chung là “sinh viên” Trong chương trình mới, môn “đại số sơ cấp” được kết hợp với một phần môn “thực hành giải toán” thành môn “đại số sơ cấp và thực hành giải toán”, song song với môn “hình học sơ cấp và thực hành giải toán”. Do vậy giáo trình gồm bảy chương: Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lý luận chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và về các phương pháp suy luận và tư duy toán học, sau đó là một số bài tập áp dụng trong hai chủ điểm thực hành Chương 2 (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS. Vì thế phần lý thuyết chỉ nhằm hệ thống hóa các kiến thức về xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, các phép toán và các quan hệ trên các tập số đó. Nội dung chính của chương này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguyên tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương 3 (đa thức, phân thức hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, trường các phân thức hữu tỉ, các phép toán trên chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức, phân tích phân thức…), trong đó có những kiến thức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của đại số sơ cấp. Chương 4 (căn số và các phép biến đổi vô tỉ) là một phần quan trọng của các phép biến đổi đại số. Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là “các phép biến đổi đại số” Chương 5 (hàm số và đồ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ cấp và các phép biến đổi sơ cấp các đồ thị. Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình đại số sơ cấp cũ. Chương 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về các phương trình, hệ và tuyển phương trình. Sau khi trình bày về sự tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã xét nhiều dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình) là một trong những chương quan trọng của giáo trình. Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương pháp thường dùng để chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn đề về bất phương trình tương tự như đối với phương trình.
MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: GIẢI BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO § CÁCH GIẢI MỘT BÀI TOÁN 1.1 TÌM HIỂU SƠ BỘ ĐỀ TOÁN 1.2 KHAI THÁC ĐỀ TOÁN 1.3 TÌM TỊI LỜI GIẢI .8 1.3.1 Nhận dạng tập hơp kiến thức 1.3.2 Phân tích tốn để đưa toán đơn giản 1.3.3 Liên hệ sử dụng toán giải 1.3.4 Mò mẫm, dự đoán 10 1.3.5 Bản gợi ý Pôlya 10 1.4 TRÌNH BÀY LỜI GIẢI 11 1.5 KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ LỜI GIẢI, KHAI THÁC BÀI TỐN 11 § CÁC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN THƯỜNG GẶP VÀ NĂNG LỰC TƯ DUY CẦN CĨ KHI GIẢI TỐN 15 2.1 QUY NẠP VÀ DIỄN DỊCH 15 2.2 PHƯƠNG PHÁP SUY DIỄN 17 2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 18 2.4 PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP 19 2.5 TỔNG QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA 20 2.6 TƯƠNG TỰ HÓA 21 2.7 TRỪU TƯỢNG HÓA, CỤ THỂ HÓA 22 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG .24 CHỦ ĐIỂM CÁCH GIẢI MỘT BÀI TOÁN 24 CHỦ ĐIỂM CÁC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN VÀ NĂNG LỰC TƯ DUY 29 BÀI TẬP CHƯƠNG 33 MỞ ĐẦU Giáo trình viết theo định Bộ giáo dục đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên trường cao đẳng sư phạm, đồng thời dùng cho học viên trường, lớp đào tạo bồi dưỡng chuẩn hóa giáo viên THCS-mà gọi chung “sinh viên” Trong chương trình mới, mơn “đại số sơ cấp” kết hợp với phần môn “thực hành giải tốn” thành mơn “đại số sơ cấp thực hành giải tốn”, song song với mơn “hình học sơ cấp thực hành giải toán” Do giáo trình gồm bảy chương: Chương (giải tốn nào) trình bày số lý luận chung thực hành giải toán (cách giải toán) phương pháp suy luận tư toán học, sau số tập áp dụng hai chủ điểm thực hành Chương (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, nội dung quan trọng chương trình THCS Vì phần lý thuyết nhằm hệ thống hóa kiến thức xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, phép toán quan hệ tập số Nội dung chương chủ điểm phần thực hành giải tốn số ngun tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương (đa thức, phân thức hữu tỉ biến đổi hữu tỉ biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức ẩn nhiều ẩn, trường phân thức hữu tỉ, phép tốn chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, đẳng thức, phân tích phân thức…), có kiến thức hệ thống hóa, số kiến thức, phương pháp đặc thù đại số sơ cấp Chương (căn số phép biến đổi vô tỉ) phần quan trọng phép biến đổi đại số Hai chương hợp thành phần môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển “các phép biến đổi đại số” Chương (hàm số đồ thị) dành cho việc trình bày hàm số sơ cấp phép biến đổi sơ cấp đồ thị Chương tạo thành phần thứ hai chương trình đại số sơ cấp cũ Chương (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết phương trình, hệ tuyển phương trình Sau trình bày tương đương phương trình, hệ phương trình, giáo trình xét nhiều dạng phương trình hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương (bất đẳng thức, bất phương trình hệ bất phương trình) chương quan trọng giáo trình Ngồi việc trình bày bất đẳng thức quan trọng phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức, chương trình bày vấn đề bất phương trình tương tự phương trình Chương chương lập thành phần thứ đại số sơ cấp trước đây, chương mang nhiều tính đặc thù mơn đại số sơ cấp Có thể hình dung sơ đồ kiến thức giáo trình sau: Chương Chương Chương Chương Chương Chương Chương Mỗi chương trình bày theo lược đồ sau: Kiến thức (khái niệm, kết quả, ví dụ) Thực hành giải tốn (các chủ điểm) Bài tập Bài tập đại số sơ cấp Bài tập thực hành giải toán Bài tập lớn Tổng kết chương Kiến thức Kĩ Hướng dẫn Riêng chương chương II có tập giải tốn tập lớn Tất tập (khâu lược đồ) tất chương có đáp số hướng dẫn lời giải, in chung cuối sách Cuối chương lại có tập lớn, có tính chất tập dượt nghiên cứu, u cầu sinh viên phải tập đọc kĩ tài liệu tham khảo, hệ thống hóa phân tích, tổng hợp, đề xuất kiến nghị, đặc biệt ý đến tính khoa học, tính sư phạm tính thực tiễn Trong khâu (kiến thức), chương chia thành nhiều tiết, tiết chia thành nhiều điểm đánh số hai chữ số chương, ba chữ số khác chương Chẳng hạn nghĩa điểm ξ3, 3 nghĩa điểm 1, ξ3, chương Chúng tơi cố gắng trình bày vấn đề theo quan điểm đại, đồng thời đảm bảo hướng dẫn thực hành, rèn luyện kỹ toán sơ cấp Do đặc điểm mơn, để đảm bảo tính hệ thống giáo trình nên số phần nội dung có tính chất ơn tập kiến thức học mơn khác, để sinh viên tự đọc Các chứng minhc tim thấy giáo trình khác in chữ nhỏ để tiện tra cứu điều ghi rõ phần tổng kết tửng chương Các kiến thức tối thiểu nhóm, vành, trường số phức xem biết phần nhập mơn giáo trình khác nên khơng nhắc lại Cuốn sách, ngồi phần đáp số hướng dẫn giải tập chung cho tất tập đại số sơ cấp thực hành giải tốn, cịn có phần tra cứu khái niệm có giáo trình xếp theo thứ tự ABC Sinh viên sử dụng thêm sách từ [1] đến [4] giáo trình [8], [9] phần “tài liệu tham khảo” cuối sách để mở rộng kiến thức, chuẩn bị sinh hoạt xeminar, thuyết trình, thu hoạch, làm tập lớn, tiểu luận, vv, … Tác giả CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG GIÁO TRÌNH � : Tập hợp số tự nhiên N 0,1,2,3, �* * : Tập hợp số tự nhiên khác không N 1,2,3, � : Tập hợp số nguyên � 0, �1, �2, �* * : Tập hợp số nguyên khác không � �1, �2, � 1,2, � : Tập hợp số nguyên dương � �a � � � , a ��, b ��* � �b : Tập hợp số hữu tỉ �* : Tập hợp số hữu tỉ khác không � : Tập hợp số thực �* : Tập hợp số thực khác không � : Tập hợp số phức �* : Tập hợp số phức khác không : Tập hợp phần tử khác không P n � : Kí hiệu phép lấy tổng từ đến n n � i | : Kí hiệu phép lấy tích từ đến n : Đơn vị ảo, i 1 : Tập hợp, tập �� , : Giao hai tập, hội hai mệnh đề �� , : Hợp hai tập hợp, tuyển hai mệnh đề \, : Hiệu hai tập hợp � : Phép kéo theo, phương trình hệ � : Phép tương đương (khi khi), phương trình tương đương W : Kết thúc chứng minh CÁC CHỮ VIẾT TẮT ĐPCM : Điều phải chứng minh CĐSP, THCS : Cao đẳng sư phạm, Trung học sở ĐSSC, THGT : Đại số sơ cấp, Thực hành giải Toán CHƯƠNG I: GIẢI BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO Xét đến việc giải tốn để nhằm “giải tốn”, tập áp dụng số, tập lí thuyết, tốn thực tế, tốn minh họa, tốn có tình chất nghiên cứu, …Mới nhìn khó nói tốn xét thuộc trình độ Chẳng hạn hai tốn Gơn bách tiếng “chứng minh số chẵn lớn hai tổng hai số nguyên tố” (chẳng hạn 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, …) chứng minh số lẻ lớn tổng ba số nguyên tố” học sinh trung học sơ sở trở lên hiểu đề bài, Gô bách nêu từ năm1742 (trong thư gửi cho nhà toán học Euler) mà đến chưa tìm lời giải, nhờ việc nghiên cứu để giải tốn mà nhà tốn học xây dựng nhiều lí thuyết sâu sắc giải nhiều vấn đề khoa học khác Tuy nhiên, phạm vi giải tốn thuộc chương trình THCS, ngồi cố kiến thức học chương trình, giáo viên rèn luyện cho học sinh tư lôgic, phương pháp suy luận(sẽ trình bày ξ1, ξ2), tính xác, “giáo dục phẩm chất” (tính trung thực, chu đáo, cẩn thận, có kiểm tra kết quả, vv, …) Dạy tốt cho học sinh giải tốn tài kinh nghiệm sư phạm giáo viên, đòi hỏi giáo viên phải c1o tâm huyết phương pháp đắn § CÁCH GIẢI MỘT BÀI TỐN Thơng thường để giải tốn cần qua cơng đoạn sau: tìm iểu sơ đề bài, khia thác đề bài, tìm tịi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đề xuất toán Tất nhiên khơng phải tốn phải trãi qua đủ cơng đoạn đó, song chúng giúp nhiều cho việc giải toán, chọn lọc điển hình nên phân tích kĩ theo trình tự để rèn luyện thao tác tư 1.1 TÌM HIỂU SƠ BỘ ĐỀ TỐN Khi chọn tốn, khơng nên chọn q khó, mà khơng khơng nên chọn q dễ Cần trình bày tốn cho tự nhiên gợi tạo hứng thú cho học sinh, khiến cho học sinh thích giải tốn Trước hết phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy “tồn cảnh” tốn, sáng sủa, rõ ràng hay, không vội vào chi tiết, chi tiết rắc rối Cần cố gắng khoanh vùng phạm vi đề toán: toán thuộc vùng kiến thức nào? Sẽ cần có kiến thức, kĩ gì? Nếu giải giải vấn đề gì? 1.2 KHAI THÁC ĐỀ TỐN Nếu tốn tìm tịi cần xác định rõ đâu ẩn? cần phải tìm gì? Đâu kiện? cho biết gì? (các đei6ù kiện ràng buộc) Nếu toán chứng minh cần nêu rõ giả thuyết, kết luận Nếu tốn cần có hình vẽ phải vẽ hình Đối với toán đại số số học, đồ thị, có sơ đồ, đoạn thẳng; hình hình học(chẳng hạn tốn cực trị, tốn hình học giải phương pháp đại số) Nếu cần sử dụng nét đậm, nét nhạc nét đứt, dùng màu hình vẽ, …Cảm nhận trực giác hình vẽ giúp ta nắm bắt dễ dàng nội dung đề tốn Đối với nhìều đề tốn, ta phải đưa vào số kí hiệu Cách kí hiệu thích hợp giúp ta hiểu rõ đề tốn nhanh chóng Các kí hiệu thường ghi đối tượng quan hệ chúng toán (nhất toán đại số) cần đưa vào cách ngắn gọn, dễ nhìn, dễ nhớ Khi chọn k1i hiệu, cần ý cho khơng có kí hiệu dùng để hai khaia1 niệm khác kí hiệu kiểu dùng để đối tượng loại Chẳng hạn ẩn kí hiệu x, y , z, , x1 , x2 , ; tham số kí hiệu a, b, c, ; a1, a2 , ; kí hiệu (1) � (2),(1) : (2) để tương đương phương trình (bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình) (1) (2), 1.3 TÌM TỊI LỜI GIẢI Đây bước quan trọng-nếu khơng nói quan trọng nhất-trong việc giải tốn Khơng có thuật toán tổng quát để giải tốn, mà đứa lời khun, kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tịi lời giải hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi nhiều khả dẫn đến thành công Tùy trường hợp cụ thể mà vận dụng kinh nghiệm đó, linh hoạt, nhuần nhuyễn dễ tới thành công hơn; nhiều thành cơng, giải nhiều tốn chúng trở thành mình, thành kinh nghiệm sống dẫn khô hạn 1.3.1 Nhận dạng tập hơp kiến thức Như nói điểm 1, cần khoanh vùng tốn vùng khoanh hẹp tốt, giúp ta nhận dạng toán thuộc loại Khi nhận dạng, phân loại tốn óc phải nhanh chóng huy động tổ chức kiến thức học, biết từ trước; phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng loạt yếu tố cần thiết để giải loại toán Chẳng hạn, gặp tốn “Phân tích đa thức sau …thành nhân tử” óc lên nhanh loạt phương pháp sử dụng (nhóm hạng tử, đặt hạng tử chung, thêm bớt vài hạng tử, tìm nghiệm chia liên tiếp, đặt ẩn phụ, sử dụng đẳng thức, …) Mới đầu, phải nhẩm lại kiến thức phương pháp để chuẩn bị, quen giải tốn q trình tái cách vơ thức 1.3.2 Phân tích tốn để đưa toán đơn giản Một toán, tốn tổng hợp, tốn khó thường xây dựng từ toán đơn giản Cần thử xem phân tích tốn xét thành tốn đơn giản khơng, giải tốn nhỏ ấy, sau kết hợp chúng lại để có lời giải tốn cho Chẳng hạn, để chứng minh “nếu p số nguyên tố �5 p chia hết cho 24”, ta tách thành 2 hai toán; a) ( p 1) M8; b) ( p 1) M3 Khi để giải toán a) ta nhận xét p ( p 1)( p 1) tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8; toán b) giải nhận xét số nguyên tố p �5 có dạng p 3k �1 nên ( p 1)M 1.3.3 Liên hệ sử dụng toán giải Thật khó mà đặt tốn hồn tồn mới, khơng giống tốn nào, khơng liên quan với tốn khác (mà lại sử dụng kiến thức phạm vi chương trình) Vì thế, gặp toán, ta gắng nhớ lại xem gặp toán tương tự gần giống với toán cần giải chưa, nhớ lại đường đến lời giải tốn biết Điều giúp ta rút ngắn việc tìm tịi lời giải tốn tạo thêm nhiều thuận lợi 10 (2) Cần chọn cho dấu hiệu chung đối tượng so sánh điển hình đối tượng Nói khác đi, dấu hiệu chung đối tượng so sánh cần liên hệ mật thiết tốt thuộc tính khác đối tượng xét (3) Cần chọn cho dấu hiệu chung xác lập đối tượng so sánh kiểu tốt với dấu hiệu chuyển từ đối tượng sang đối tượng kia, tức với dấu hiệu mà kết luận tương tự xác nhận vốn có đối tượng hay đối tượng khác (4) Cần cố gắng cho dấu hiệu chung đối tượng so sánh đặc trưng, riêng biệt chúng (trong trường hợp, dấu hiệu thuộc nhóm đối tượng hẹp hay) 2.7 TRỪU TƯỢNG HÓA, CỤ THỂ HĨA Cùng với tính xác, tính loogic, người ta xem khả trừu tượng hóa mặt mạnh Tốn học Ngay từ cịn bé, trẻ em biết số hai bút chì, hai gà, hai cam, hai ngón tay… Lớn thêm ít, em làm quen với a, b, c, số nào, em thấy chúng không số Q trình trựu tượng hóa nâng dần lên, tùy thuộc vào trình độ người Tốn học giúp ta làm việc kí hiệu Từ “hình dạng khơng gian” “quan hệ số lượng” người ta tiến hành trừu tượng hóa cấp độ, dùng số, chữ, kí hiệu lơgic mà cịn dùng phương trình, bất phương trình, hàm số để ngày biểu thị chung thực mối quan hệ số lượng khơng gian thực tiễn Việc dạy tốn cho học sinh (trong có việc giải tốn) nhằm mục đích rèn luyện khả trừu tượng hóa trình tư học sinh Ngược lại với trừu tượng hóa cụ thể hóa Đó hai mặt đối lập trình thống tư Trong toán học (đặc biệt giải toán), ta làm việc với kí hiệu, biểu thức, phương trình, bất phương trình … tuân theo quy luật lôgic mà phần lớn không cần để ý đến ý nghĩa thực tiễn ẩn, kí hiệu dùng Tuy nhiên nhiều toán (nhất tốn lập phương trình, bất phương trình) xuất phát điểm tốn thực tiễn, trường hợp cụ thể trừu tượng hóa kết luận tốn lại trở với thực tiễn trường hợp cụ thể xét Vì thế, ngồi việc giải bìa tốn cho sẵn, cần tập dượt cho học sinh giải tốn lập phương trình, bất phương trình, … cố gắng đưa vào 23 loại “toán”: từ biểu thức, phương trình cho tạo nên tình phù hợp với thực tế đưa đến phương trình, biểu thức Việc khó – khơng phải thực – làm tạo ham mê mơn Tốn rõ lợi ích Tốn học, học ssinh thấy phương trình biểu thị nhiều kiện xảy sống Ví dụ 13 Tốn cổ Việt Nam: Vừa gà vừa chó, bó lại cho trịn, ba mươi sáu con, trăm chân chẵn Hỏi có gà? Mấy chó? Bằng cách đặt câu hỏi gợi ý (bạn học tự làm) ta đến hệ phương trình �x y 36 � x y 100 � x số gà, y số chó; ta tìm x 22, y 44 Ví dụ 14 Hãy đặt tốn dẫn đến phương trình 90 90 7,5 x x 10 Dĩ nhiên, tốn đơn giản “tìm số x cho…” Song để “có nội dung”, chẳng hạn đặt: “Quãng đường từ Hà Nội đến Nam Định theo đường sông dài 90km, canô hết 7h30’; hỏi tốc độ canô biết vận tốc nước sơng Hồng chảy bình thường 10km/h Thế đặt x vận tốc canơ xi dịng, ta đặt phương trình trên, đưa phương trình bậc hai, giải ta x1 30km / h, x2 4km / h, lấy nghiệm x1 ” Song đặt tốn “năng suất lao động”, “vịi nước chảy”, … để đưa đến phương trình (bạn đọc thử xem), vui xuất tốn thực tế mà “phi thực tế” THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG CHỦ ĐIỂM CÁCH GIẢI MỘT BÀI TOÁN Bài toán số Cho abc số nguyên tố Chứng minh phương trình a x bx c khơng có nghiệm hữu tỉ a Phân tích: b � b 4ac x1 x2 2a Nghiệm (nếu có) phương trình có dạng: 24 Vì a, b, c số tự nhiên nên x1 , x2 số hữu tỉ phương Ta đến lời giải toán sau: b 4ac số b Lời giải: Giả sử phương trình a x bx c có nghiệm hữu tỉ Khi b 4ac m , m �� Ta có: 4a.abc 4a 100a 10b c 400a 40ab 4ac 20a b m2 20a b m 20a b m 20a b m Mabc 20a b m Mabc Vì abc số nguyên tố nên Vậy 20a b m �abc Mà abc 100a 10b c 20a 2b 20a b m �abc Vậy abc abc vơ lí Điều chứng tỏ phương trình khơng thể có nghiệm hữu tỉ c Khai thác tốn: Muốn phương trình bậc hai hệ số ngun có nghiệm hữu tỉ ta cần chứng minh số phương Vì ta đưa tốn giải phương pháp (nhờ tính biệt số ) Bài toán 1.1 Cho số nguyên p, q Chứng minh phương trình x px q có nghiệm hữu tỉ nghiệm nghiệm ngun Tổng qt tốn nói ta toán Bài x ax n n 1 tốn 1.2 Cho phương trình với hệ số nguyên an1 x an Chứng minh rằng: Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ nghiệm phải số ngun 25 Tương tự tốn 1, ta có tốn 3, sau: Bài toán 1.3 Cho số nguyên lẻ a, b, c Chứng minh phương trình ax bx c không co nghiệm hữu tỉ Bài toán 1.4 Cho số nguyên a, b, c cho a b c lẻ c lẻ Chứng minh phương trình ax bx c khơng có nghiệm ngun Tổng qt hóa tốn ta có toán sau: Bài toán Cho �� i 0,1, , n a0 �0 Chứng minh phương n n1 trình a0 x a1 x an1 x an khơng có nghiệm ngun f f 1 lẻ Tổng quát toán ta toán sau: Bài toán Cho P a1 an , n �3 số nguyên tố Chứng minh n 1 n 2 phương trình a1 x a x an 1 x an khơng có nghiệm hữu tỉ 3 Bài toán số Cho x, y số thỏa mãn điều kiện x y x y Chứng minh x y x5 y a Phân tích: x y 3 5 x y x y x y Ta cần Từ giả thiết phải chứng minh xét xem x, y có mối quan hệ cụ thể chăng? Vì ta xét kĩ đẳng thức x y 3 x y trước để tìm mối quan hệ b Lời giải: Do x y Nên x y (giả thiết) x 3x y xy y x y 26 � 3xy x y x0 � �� y0 � � x y � Từ có trường hợp: 5 x y x y y x ● Nếu hiển nhiên ● x y x y Nếu vế trái x y 05 vế phải y y5 Vậy có điều phải chứng minh Kết luận: Nếu x y x y x y x y c Khai thác toán: x0 � � � y0 � 3 � x y x y x y � Vì Nên với số mũ lẻ ta có toán tương tự sau: Bài toán tương tự: Nếu x y x y thì: x y x7 y ; 2005 x y x 2005 y 2005 Lại vào đặc điểm “số mũ lẻ” ta toán tổng quát: Bài toán tổng quát: Chứng minh x y x y với số n n tự nhiên lẻ n ta có x y x y n Cần ý yếu tố “số mũ lẻ” định tính đắn toán nửa lũy thừa bậc lẻ số âm số âm nên toán tổng quát bớt yếu tố “số mũ lẻ” kết khơng cịn Bài tốn số Cho N 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 27 Chứng minh N số phương a Phân tích: Quan sát hạn tử N ta thấy chúng có dạng k k 1 k mà k k 1 k k k 1 k k k 1 1 k k 1 k k 3 k 1 k k 1 k 4 Vậy số hạng N “khử” lẫn tính N sau chứng minh N số phương b Lời giải: Cách 1: Số hạng tổng quát N k k 1 k k k 1 k 4 k k 1 k � k 3 k 1 � � � 1 k k 1 k k 3 k 1 k k 1 k 4 n N �k k 1 k n n 1 n n k 1 Vậy Do Ta có: T – N 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 � n n 1 n n � 1.2.3.4 2.3.4.5 n n 1 n � � � 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 � n n – 1 n 1 n T – n n 1 n n 3 Vậy N n n 1 n n 3 c Khai thác toán: 28 Thực chất toán thuộc dạng tính tổng hữu hạn Trong thực tế, để tính tổng hữu hạn loại này, người ta thường phân tích cho số hạng (của tổng) tách thành hiệu hai số hạng “ nhỏ” số hạng “ nhỏ” tổng khử với số hạng “ nhỏ” tổng bên cạnh Vì ta số kiểu phân tích: 1 n n 1 n n 1 1 �1 � � � n n k k �n nk � n.n! n! � n 1 � � � n 1 ! n! Do thể xuất tốn tương tự Bài tốn tương tự: Tính tổng sau: T = T = + + + n (n + 1) (n + 2) (n + 3) ; S = 1 1.2 2.3 n n 1 K = 1 ! + 2 ! + + n n ! ; L = 12 22 n2 1.3 2.3 2n 1 2n 1 Bài toán số 4: Cho p, q số nguyên tố khác nhau, q lẻ , q �5 chứng minh tồn số tự nhiên k cho số pp p { Mq k a Phân tích: � Vì q lẻ nên q �2 , q �5 (giả thiết) suy q,10 � q ,10 với n �� n �Mặt khác hiệu số dạng p p số dạng pp p 0 { n , hiệu 10n , q q chia hết cho pp p chia hết cho q ta đến lời giải sau: 29 b Lời giải: (sử dụng nguyên tắc suy luận Dirichlet) Xét q 1 số tự nhiên sau: p, pp, ppp, pp p { q +1 Ta chia q 1 số tự nhiên nói cho q , có q khả dư 0, , , q – nên q + số tự nhiên nói phải có hai chữ số có số dư phép chia cho q (nguyên tắc Dirichlet) pp p pp p 123 123 Giả sử là Suy m n chia cho q 64 7m 48 n p p { 0 { Mq � pp.p.10 Mq m-n n 10 mà n , q nên p p { Mq m -n c Khai thác tốn: Đặc biệt hóa với p 2, q ta có tốn Bài tốn 2: Chứng minh tồn số tự nhiên n cho hết cho 1313 13 14 43 n chia Tương tự hóa tốn với nhận xét áp dụng ngun tắc Dirichlet ta có: Bài tốn 3: Cho p, q số nguyên tố khác Chứng minh tồn n p chia hết cho q số tự nhiên n cho Cần ý tốn tương tự cịn giải cách sử dụng định lý Fermat sau: Vì p, q số nguyên tố khác nên: pq -1 mod q q -1 n Vậy p Mq � tồn n q -1 để p chia hết cho q CHỦ ĐIỂM CÁC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN VÀ NĂNG LỰC TƯ DUY So sánh 30 So sánh bao gồm hai thành phần: phát đặc điểm chung đặc điểm khác số đối tượng Việc phát đặc điểm chung thường diễn q trình khái qt hóa Ví dụ 1: Đối với học sinh lớp 7, sau học xong chương I: Số hữu tỉ - Số thực (SGK Toán 7, số xuất 1018 / 183 – 02) ; sau giải tập: Tính: 02 ? 1 ? �4 � �� ? �9 � �1� � � ? � 3� 2 ? Nhờ so sánh, em phát điểm giống tốn tính bình phương số kết thu không âm Từ có thểkhái qt thành tốn tổng qt hơn: “Với số thực a ta có a �0 Ví dụ Sau học đẳng thức đáng nhớ, yêu cầu học sinh giải toán sau: Cho x y x3 y Chứng minh rằng: a) x y x5 y b) x y x7 y 2005 c) x y x 2005 y 2005 Bằng so sánh, em đến giải toán tổng quát: 31 Chứng minh x y n x y x y với số tự nhiên n lẻ ta có xn y n Tương tự Chúng xét phép tương tự theo nghĩa chuyển từ trường hợp riêng sang trường hợp riêng khác tổng quát Ví dụ 1: Cho x y x3 y Chứng minh x y x y 5 Xuất phát từ lời giải x y x3 y � x 3x y 3xy y x y � 3xy x y x0 � � � y0 � � x y � x y x5 y (*) Học sinh thấy số Ta dễ dàng chứng minh mũ (*) cần số lẻ xuất tốn tương tự: 7 3 �Cho x y x y , chứng minh x y x y x y x y , chứng minh x y �Cho dẫn đến toán tổng quát phát biểu 2005 x 2005 y 2005 Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương m ta có: A = (m + 1) (m + 2) (2m) chia hết cho 2m mà không chia hết cho 2m+1 Sau học sinh giải tốn cách cố gắng nhóm m thừa số chẵn sau: A 1.2 m m 1 2m 1.2 m 1.2 2.2 3.2 2m B 1.2 m (B = …(2m-1)) 32 1.2 m 2m B 1.2 m 2m B m m 1 Từ A M2 A M2 B gồm thừa số số nguyên lẻ Học sinh nhận xét thay số số nghĩa tương tự A = (m + 1)…(3m) tạo đủ m thừa số ta giải tốn tương tự Vì phát biểu toán tương tự: Chứng minh với số nguyên dương m ta có: 1) B = (m + 1) (m + 2) …(3m) chia hết cho 3m mà không chia hết cho 3m+1 2) C = (m + 1) (m + 2) … (5m) chia hết cho m mà không chia hết cho 5m+1 Chú ý tốn khơng với hợp số, chẳng hạn (m + 1) (m + 2) … (4m) chia hết cho 4m chia hết cho 4m+1 Trừu tượng hóa Trừu tượng hóa nêu bật tách đặc điểm chất khỏi đặc điểm khơng chất Ví dụ Từ việc tính ?, 1 2 ?, �4 � � � ?, �9 � �1� � � ?, � 3� 2 ? Học sinh rút mệnh đề: “ Bình phương số thực số không âm” Để khái quát thành mệnh đề tổng quát học sinh cần tách đặc điểm “ số mũ chẵn” khỏi đặc điểm “ số mũ 2” Khái quát hóa Có thể từ toán riêng lẻ khái quát thành toán tổng quát từ toán tổng quát khái quát thành toán tổng quát để đến tổng quát biết chưa biết Ví dụ: �Từ tốn biết: 33 Chứng minh rằng: m �� có A = (m + 1) (m + 2) (2m) chia hết cho 2m mà không chia hết cho 2m+1 Khái quát thành toán tổng quát chưa biết: Chứng minh rằng: m �� , với số nguyên tố p ta có A = (m + 1) (mp) chia hết cho số p m mà không chia hết cho p m+1 (Bạn đọc xem lời giải toán số , chủ điểm , chương 2) �Hoặc từ tốn “ Chứng minh bình phương số thực số không âm” đến toán tổng quát hơn: “ Chứng minh lũy thừa bậc chẵn số thực không số âm” Quy nạp Nguyên lí quy nạp (xem phần lý thuyết) Ví dụ Cho n n �2 số thực i 1,2, , n thỏa mãn 1 �ai �0 với i 1,2, , n Chứng minh rằng: a1 a2 a1 a2 an Giải: a1 a2 a1 a2 an Với Đặt: bi 1 1 i 1,2, , n i 1 � bi � b1 b2 bn n b1 b2 bn � b1 b2 bn n b1 b2 bn (2) Chứng minh quy nạp theo n với n �2 Với n = b1 b2 b1 b2 b1 1 b2 1 Giả sử bất đẳng thức với n Xét với n + b1 b2 bnbn1 n b1 b2 bn bn1 b1 b2 bn n 1 bn1 n b1 b2 bn bn1 34 b1 b2 bn bn1 1 n bn1 1 bn1 1 b1 b2 bn n Và thừa số âm Bất đẳng thức với n Vậy bất đẳng thức (2), (1) với n �2 BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Giải khai thác kết tốn sau: Giải hệ phương trình: � �x1 � � � �x2 � � �x3 � � � 1� �x2 � � x2 � � 1� �x3 � � x3 � � 1� �x1 � � x1 � Điền đơn thức thích hợp vào dấu ? đẳng thức sau: (? + ?) (? + 3xy + ?) = (?)3 - (?)3 Cho x + y = Chứng minh xy �1 Cho sơ đồ, đặt đầu thích hợp 25 35 ? 4 4 4 44 4 4 4 4 43 50 Tìm cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: Tổng chúng tích chúng Tính tổng S = + + + + n (n + 1) 35 Cho số thực dương x, y Chứng minh rằng: x y � xy Chứng minh tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + 3y = 12 10 Chứng minh tồn số nguyên dương k cho k – chia hết cho 1000 Bài tập lớn chương Hãy tìm sách giáo khoa sách tập Toán THCS ví dụ , tập thể phương pháp quy nạp, diễn dịch, suy diễn, phản chứng , phân tích, tổng hợp , khái qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa Hãy chọn số điển hình để trình bày theo giai đoạn tìm tịi lời giải (phân tích , lời giải , khai thác, …) Tổng kết chương 1 Kiến thức Nắm phương pháp chứng minh: quy nạp (quy nạp khơng hồn tồn , quy nạp hồn tồn) , diễn dịch , phương pháp suy diễn (luận ba đoạn quy tắc suy diễn), phương pháp tổng hợp (phân tích lên) phân tích (phân tích xuống) Nắm phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa (khái quát hóa), tương tự hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa Nắm q trình tư q trình lí luận giải toán , đặc biệt giải toán đại số, số học Kĩ Cần rèn luyện để có kĩ sau: Kĩ phân loại toán Kĩ chọn phương pháp để sử dung Kĩ trình giải văn Kĩ thuyết trình giải tốn để đưa đến giải trình bày (các cơng đoạn phân tích, tìm tịi lời giải thực nào, khai thác tiếp toán theo hướng nào, ) 36 Hướng dẫn §1: Có thể để sinh viên tự đọc, dễ hiểu Chỉ cần chọn vài toán để trao đổi xêmina thể công đoạn nêu tiết §2: Có thể để sinh viên tự đọc, song cần hướng dẫn, rõ nhấn mạnh thống của mặt đối lập trình tư thể cặp phương pháp (quy nạp diễn dịch, tổng hợp phân tích, đặc biệt hóa khái quát hóa, cụ thể trừu tượng hóa v v…) ; cần rõ khác biệt tế nhị phương pháp thể thuật ngữ quy nạp khơng hồn tồn, quy nạp hồn tồn, quy nạp tốn học, diễn dịch suy diễn , … Tổ chức xêmina theo chủ điểm (hoặc kết hợp hai chủ điểm nêu giáo trình) cách sử dụng tập mẫu nêu tập tìm tịi thêm nhằm thể cách vận dụng kiến thức kỹ nêu vào thực hành N n n 1 n n 3 n 3n n 3n n 3n 1 Cách 2: Cũng từ nhận xét số hạng tổng quát N 1 k k 1 k k k 1 k k 3 k 1 k k 1 k 4 Ta đặt T 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n n 1 n n 3 37 ... trình Chương chương lập thành phần thứ đại số sơ cấp trước đây, chương mang nhiều tính đặc thù mơn đại số sơ cấp Có thể hình dung sơ đồ kiến thức giáo trình sau: Chương Chương Chương Chương Chương. .. “các phép biến đổi đại số? ?? Chương (hàm số đồ thị) dành cho việc trình bày hàm số sơ cấp phép biến đổi sơ cấp đồ thị Chương tạo thành phần thứ hai chương trình đại số sơ cấp cũ Chương (phương trình,... thức hệ thống hóa, số kiến thức, phương pháp đặc thù đại số sơ cấp Chương (căn số phép biến đổi vô tỉ) phần quan trọng phép biến đổi đại số Hai chương hợp thành phần môn đại số sơ cấp theo nghĩa