ĐẠI số sơ cấp CHƯƠNG 3

Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ giáo dục và đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường cao đẳng sư phạm, đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc chuẩn hóa giáo viên THCSmà sao đây sẽ gọi chung là “sinh viên” Trong chương trình mới, môn “đại số sơ cấp” được kết hợp với một phần môn “thực hành giải toán” thành môn “đại số sơ cấp và thực hành giải toán”, song song với môn “hình học sơ cấp và thực hành giải toán”. Do vậy giáo trình gồm bảy chương: Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lý luận chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và về các phương pháp suy luận và tư duy toán học, sau đó là một số bài tập áp dụng trong hai chủ điểm thực hành Chương 2 (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS. Vì thế phần lý thuyết chỉ nhằm hệ thống hóa các kiến thức về xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, các phép toán và các quan hệ trên các tập số đó. Nội dung chính của chương này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguyên tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương 3 (đa thức, phân thức hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, trường các phân thức hữu tỉ, các phép toán trên chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức, phân tích phân thức…), trong đó có những kiến thức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của đại số sơ cấp. Chương 4 (căn số và các phép biến đổi vô tỉ) là một phần quan trọng của các phép biến đổi đại số. Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là “các phép biến đổi đại số” Chương 5 (hàm số và đồ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ cấp và các phép biến đổi sơ cấp các đồ thị. Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình đại số sơ cấp cũ. Chương 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về các phương trình, hệ và tuyển phương trình. Sau khi trình bày về sự tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã xét nhiều dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình) là một trong những chương quan trọng của giáo trình. Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương pháp thường dùng để chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn đề về bất phương trình tương tự như đối với phương trình.

MỤC LỤC CHƯƠNG 3: ĐA THỨC – PHÂN THỨC HỮU TỈ - BIẾN ĐỔI HỮU TỈ §1 1.1 BIỂU THỨC TOÁN HỌC CÁC PHÉP TOÁN SƠ CẤP x3 Trong toán học sơ cấp, người ta khảo sát phép toán sau đây: a) Các phép cộn, trừ, nhân, chia (gọi bốn phép toán số học) phép nâng lên lũy thừa với số mũ hữu tỉ Các phép tốn gọi phép tốn đại số b) Các phép toán khác: phép nâng lên lũy thừa với số mũ vô tỉ, phép lấy loogarit, phép lấy hàm số lượng giác v.v… gọi phép tốn siêu việt 1.2 BIỂU THỨC TỐN HỌC Một biểu thức toán học cách viết rõ phép toán thứ tự thực phép toán số ( lấy giá trị trường K) Một biểu thức tốn học phép toán đối số phép cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừ nguyên, khai (hay lũy thừa với số mũ phân) gọi biểu thức đại số Nếu biểu thức đại số chứa phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa nguyên dương đối số gọi biểu thức đại số hữu tỉ, có chứa thức đối số gọi biểu thức đại số vô tỉ Một biểu thức đại số hữu tỉ gọi biểu thức đại số hữu tỉ nguyên khơng chứa phép chia cho biến, tức có dạng đa thức, ngược lại gọi biểu thức đại số phân thức hữu tỉ Một biểu thức tốn học có phép tốn siêu việt thực đối số gọi biểu thức siêu việt Trong giáo trình, thơng thường trường sở K lấy trường số hữu tỉ Q, trường số thực R, trường số phức C Ví dụ Là biểu thức đại số đối số x trường số thực R, A(x) biểu thức đại số hữu tỉ nguyên, B(x) biểu thức đại số hữu tỉ phân (hay phân thức), C(x) biểu thức đại số vô tỉ Ví dụ Ví dụ Là biểu thức đại số hữu tỉ phân hai đối số x, y trường Q Là biểu thức siêu việt ba đối số x,y,z trường Q Chú ý: Để phân loại biểu thức đại số hay siêu việt, cần ý đến tính chất phép tốn thực đối số hệ số ( phần tử trường sở K) Ví dụ Là biểu thức đại số đối số x trường R 1.3 GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC Cho biểu thức toán học A(x1, x2,…, xn) với đối số x1, x2,…, xn Ta gọi giá trị biểu thức giá trị a1, a2,…, an đối số trường K kết việc thực tất phép toán biểu thức trường K thay x = a1, x2 = a2,…, xn = an giá trị a1, a2,…, an gọi giá trị thừa nhận đối số Tập hợp tất giá trị thừa nhận đối số gọi miền định hay tập xác định biểu thức Ví dụ Cho Khi (0, 0, 0) giá trị thừa nhận Còn giá trị khơng thừa nhận trường R khơng có nghĩa trường R Ví dụ Trên trường số thực, biểu thức B(x) = có miền xác định (-, 3], biểu thức C(x) = có miền xác định (-, 3), biểu thức D(x) = log 5(x – 2) có miền xác định (2, + Ví dụ Trên trường số thực, biểu thức f(x, y, z) = có miền xác định tập hợp ba số thực, số thứ số thực khác 3, số thứ hai số thực lớn 1, số thứ ba số thực lớn §2 2.1 VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN CÁC ĐỊNH NGHĨA Cho A vành giao hốn, chứa đơn vị ( thơng thường, ta lấy A vành số nguyên Z, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R, trường số phức C Ta gọi đa thức A, tổng hình thức có dạng: f(x) = a0 + a1x + …+ anx, viết gọn là: ak ∈ A Trong , k = 0, 1, 2, …, n, gọi hệ số (hoặc hệ tử) f(x), a0 gọi hệ số tự do, x kí hiệu gọi ẩn mà ta quy ước x = 1, xk = x.x …x (k thừa số x), akxk gọi hạng tử hay số hạng hay đơn thức Nếu an an gọi hệ số cao đa thức f(x), anxn gọi hạng tử cao f(x), số tự nhiên n gọi bậc đa thức f(x), kí hiệu degf(x) (viết tắt chữ degree nghĩa bậc) Hai đa thức f(x) g(x) gọi hệ số tương ứng chúng nhau, nghĩa cho f(x) = a0 + a1x + …+ anxn với an g(x) = b0 + b1x + …+ bnxn với bn f(x) = g(x) ⇔ n = m ak = bk , Ta gọi đa thức không đa thức mà tất hệ số khơng, ta kí hiệu Vậy đa thức đa thức không hệ số Với c A, ta gọi giá trị đa thức f(x) vành A x = c phần tử Ta kí hiệu A[x] tập hợp tất đa thức ẩn x vành A Cách viết đa thức f(x) gọi dạng tắc tiến Cịn cách viết gọi dạng tắc lùi f(x) Ví dụ: f(x) = x3 + 2x + dạng tắc lùi cịn f(x) = dạng tắc tiến đa thức với hệ số thực Từ định nghĩa hai đa thức, ta suy ran gay đa thức có dạng tắc tiến dạng tắc lùi 2.2 PHÉP CỘNG, TRỪ ĐA THỨC Giả sử cho hai đa thức: f(x) = a0 + a1x + …+ anxn A[x] g(x) = b0 + b1x + …+ bmxm A[x] với n m; n, m N ta gọi tổng chúng, kí hiệu f(x) + g(x) đa thức: h(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (am + bm)xm + am+1xm+1 + … + anxn Chú ý thực hành muốn cộng hai đa thức, ta viết chúng dạng lùi tiến đa thức đa thức cho lũy thừa bậc x nằm cơt Khi đó, cộng hai đa thức thực chất thực phép cộng hệ số tương ứng lũy thừa Ví dụ f ( x ) = 2x7 g ( x) = + x5 − x3 – x +  3 x – x + x + x – x – h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = x x – x5 + x    – 6 x + Từ định nghĩa, ta suy ran gay phép cộng đa thức A[x] có tính chất sau (để cho gọn, ta kí hiệu đa thức f, g, h, …) Giao hoán: f + g = g + f Kết hợp: (f + g) + h = f + (g + h) Tồn phần tử không, đa thức cho Với f(x) = a0 + a1x + …+ anxn A[x] tồn phần tử đối nhất, gọi đa thức đối, là: - f(x) = - a0 - a1x - …- anxn A[x] cho f(x) + (- f(x)) = Chú ý: 1) Nói cách khác đi, tập hợp đa thức ẩn A[x] vành A lập thành nhóm cộng aben 2) Cũng từ tính chất trên, ta định nghĩa hiệu hai đa thức f(x) g(x), kí hiệu f(x) – g(x), đa thức k(x) cho k(x) = f(x) + (- g(x)) 2.3 PHÉP NHÂN ĐA THỨC Giả sử cho hai đa thức vành A giao hoán, có đơn vị f(x) = a0 + a1x + …+ anxn A[x] g(x) = b0 + b1x + …+ bmxm A[x] Ta gọi tích f(x) g(x), kí hiệu f(x) g(x), đa thức: h(x) = a0 b0 + (a1b0)x + … + (anbm-1)xn+m-1 + anbmxn+m viết dạng: với Từ định nghĩa ta chứng minh tính chất sau: Giao hốn: fg = gf Kết hợp: (f g)h = f(gh) Tồn đa thức đơn vị, đa thức = + 0x + … + 0xn cho f(x).1 = 1.f(x) = f(x), f A[x] Phép nhân đa thức phân phối phép cộng đa thức f(g + h) = fg + fh Tổng hợp tính chất phép cộng phép nhân đa thức ẩn, ta có Định lí Giả sử A vành giao hốn có đơn vị Khi A[x] vành giao hốn có đơn vị phép cộng phép nhân đa thức định nghĩa Vì thế, ta gọi A[x] vành đa thức ẩn x A 2.4 PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Giả sử cần biểu diễn đa thức cho dạng đòi hỏi Dựa vào định nghĩa hai đa thức (nếu hệ số tương ứng với lũy thừa ẩn – nói khác hai đa thức phải “như nhau”, phải “hằng đẳng”), ta tính hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phương trình sơ cấp Phương pháp gọi phương pháp hệ số bất định Ví dụ Biểu diễn biểu thức: f(x) = (x – 1)(x – 2)( x + 3) + 5x + thành dạng tắc đa thức Ta thấy bậc đa thức 3, với hệ số x 1, số hạng tự ( - 1)( 2)(3) + = 10 Vậy ta viết: f(x) = x3 + ax2 + bx + 10 Trong đẳng thức trên, lấy x = 1, x = 2, ta được: Giải hệ hệ phương trình này, ta a = 0, b = - 2, đa thức phải tìm là: f(x) = x3 – 2x + 10 Ví dụ Biểu diễn biểu thức g(x) = ( x2 – 5x + 4)(x – 1) dạng tắc lùi (x + 1) Ta viết: g(x) = ( x2 – 5x + 4)(x – 1) = a(x + 1)3 + b(x + 1)2 +c(x + 1) + d Ta có a = Lần lượt lấy x = -1, x = 1, x = 4, ta được: Giải hệ phương trình, ta b = - 9, c = 24, d= -20 Do đó: g(x) = (x + 1)3 + 9(x + 1)2 + 24(x + 1) – 20 Ví dụ Hãy tìm số a, b cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b bình phương đa thức khác Tìm đa thức Vì đa thức cho có bậc nên đa thức phải tìm có bậc có dạng mx + px + q Hệ số m lấy hai giá trị +1 – hệ số x f(x) Với m = 1, ta có: f (x) = (x2 + px + q)2 = x4 + 2px3 + (p2 +2q)x2 + 2pqx + q2 Cho hệ số lũy thừa bậc hai vế f(x) nhau, ta được: Từ (1) ta p = 1, thay vào (3) ta q = 1, thay tiếp vào (2) (4) ta a = 3, b = Vậy f(x) = (x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Với m = -1, ta được: f(x) = -(x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + §3 PHÉP CHIA ĐA THỨC Từ sau, ta xét trường số P, thay cho vành giao hốn có đơn vị A, vành đa thức ẩn P[x] thay cho A[x] Thông thường, trường số P trường số hữu tỉ Q, trường số thực R, trường số phức C 3.1 NHẬN XÉT Để chứng minh định lí chủ yếu phép chia đa thức, ta cần nhận xét sau tổng tích hai đa thức Nhận xét 1: Bậc tổng hai đa thức không lớn bậc cao hai đa thức đó, nghĩa là: Thật vậy, giả sử Nếu m = n cịn m < n nhận xét 2: Bậc tích hai đa thức khác không, tổng bậc hai đa thức đó, nghĩa là: Thật vậy, giả sử f(x) g(x) hai đa thức viết Khi đó: Hệ số cao , đó: 3.2 ĐỊNH LÍ PHÉP CHIA CÓ DƯ Cho hai đa thức f g , g Khi tồn cặp đa thức q, r cho: f = gq + r, r = 0, deg(f) < deg(g) Khi ta gọi q thương r dư phép chia f cho g Chứng minh: a) Sự tồn Nếu f = deg(f) < deg(g), ta lấy q = r = f, định lí chứng minh Do đó, giả thiết deg(f) deg(g), giả sử: , Xét đa thức Khi q1.g có hạng tử cao là: Do đa thức có bậc nhỏ n Nếu deg(f 1) < deg(g1) ta dừng lại ĐPCM Nếu khơng thay vai trò f f 1, ta có bậc nhỏ bậc Cứ tiếp tục vậy, ta dãy f, f 1, f2…, mà bậc chúng giảm dần ngặt Vì phải tồn số k fk có bậc nhỏ bậc g, fk = 0, ta có: …………… Cộng đửng thức với vế, ước lược, ta có: Khi ta chọn b)Tính Giả sử có f = gq + r f’ = gq’ + r’, với r, r’ khác không deg(r), deg(g) deg(r’) < deg(g) Trừ vế với vế, ta có: = g(q – q’) + (r – r’) Hay g(q – q’) = r’ – r Nếu r’ deg(r’ – r) < deg(g) theo nhận xét deg[g(q – q’)] < deg(g), mâu thuẫn với nhận xét Vậy phải có r = r’, q = q’ (ĐPCM) Ví dụ Cho hai đa thức Thực phép chia f(x) cho g(x) Ta đặt phép tính sau: Ta cịn đặt phép tính cách thuận lợi theo sơ đồ sau: Ở khung bên trái ta viết số hạng cao g(x) , cột thứ ta viết số hạng khác g(x) đổi dấu đi, f(x) viết dịng đầu Trong dịng cuối cùng, số hạng cao thương Ta không cần viết tích số hạng cao g(x) với hạng tử cao thương trừ vào f(x) tích Cịn tích số hạng cao thương (tức ) với hạng tử khác đổi dấu g(x) ta viết vào dòng thứ hai Rồi ta chia số hạng cao dư thứ (cụ thể 10 (1 + x− y y−z z−x x− y y−z z−x )(1 + )(1 + ) = (1 − )(1 − )(1 − ) x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x Phân tích: a + b + a − b = 2a Để ý a + b − (a − b) = 2b Ta nhân nhân tử vế so sánh chúng với Lời giải: =( Vế trái x+ y+x− y y+z+ y−z z+x+z−x xyz )( )( )= x+ y y+z z+x ( x + y )( y + z )( z + x) =( Vế phải x+ y−x+ y y+z− y+z z+x−z+x xyz )( )( )= x+ y y+z z+x ( x + y )( y + z )( z + x) Khai thác toán: Để ý (1 + a −b 2a )= a+b a+b (1 − a −b 2b )= a+b a+b Ta kéo dài tích cách tùy ý Bài toán 2.1: Chứng minh (1 + a1 − a2 a −a a −a a −a a −a a −a )(1 + ) (1 + n ) = (1 − )(1 − ) (1 − n ) a1 + a2 a2 + a3 an + a1 a1 + a2 a2 + a3 an + a1 Bài toán 2.2: Chứng minh ba phân thức x− y y−z z−x , , + xy + yz + zx có tổng tích chúng Rút gọn phân thức Bài toán số Rút gọn biểu thức x + y + z + xy + xz + yz M= x − y − z − yz Phân tích: 60 Mẫu thức có dạng ta có lời giải sau: A2 − B ta nhóm hạng tử cách thích hợp, Lời giải: ( x + y + z ) ( x + y + z )( x + y + z ) x + y + z M= = = x − ( y + z ) ( x − y − z )( x + y + z ) x − y − z Khai thác toán: Nhờ đẳng thức ta phân tích tử, mẫu thành nhân tử ta đề xuất số toán tương tự Rút gọn biểu thức: N= x + y + z + xy − xz − yz x − y − z + yz P= x + y + z − xyz x − y − z − xy − xz − yz BÀI TẬP CHƯƠNG I BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Xét: A = s in3x + x − + 3x + ¡ ; B = X ∪ Y ∩ Z , X ,Y , Z tập hợp C =5 ¡ ;  x  D = x−2 0 x≠2 x=2 ¡ ; E = ( X ⇒ Y ) ∧ ( A ⇔ B ) A, B, C , D, E biểu thức tốn học? Cái khơng phải? 61 Các biểu thức sau ¡ biểu thức biểu thức siêu việt, đại số hữu tỉ (nguyên, phần), đại số vô tỉ? A=2 x + − sin( x + 1) − x + B = x + x3 − C= 2x2 + 5x − π + sin + log 37 − x x − 7x +1 75 D = x5 − x3 + (log 41) x + tan Cho biểu thức £ π 20 : f ( x, y ) = xy − x y + x + y − sin( xyπ ).; 1 + + + 3x; x y z g ( x, y , z ) = h( x) = x − x + 1; k ( x) = 10; Hãy tính: f (0,0); f (1,1); a) g (1,1,1), g ( −1,1, 2), g (i,1,1), g (i, i, i + 1); b) h(0), h( 2), h(− 2), h(i + 1); c) k (1001), k (2 + 60i ), k (3 + 1); d) Tìm miền xác định hàm số sau f ( x) = x − 16 a) ¡ ; 62 : g ( x) = x +1 + x ; b) h( x ) = −( x + 1)2 + x + ; c) k ( x) = x−2 x −2+ x +2 ; d) e)   l ( x) =  x − 25 0 x ≠ ±5 x =5 Thực phép nhân đa thức: x − 3x y − x y a) b) c) d) x − xy − y + x + x + x3 + x + x5 x − x3 + x + x + x3 − x − x − Cho và 1− x ; h( x ) = x3 + x − g ( x) = ax + b a) Tìm để b) Có tồn để ; ; f ( x ) = g ( x ).h( x) a, b ; ; f ( x) = x − x − x + a, b ; x3 − 3x + x3 − x + ; ; h( x) = ( x + 1).g ( x) không? Đơn giản biểu thức: P( x, y ) = (2 x + xy − y )(2 x + xy ) − 4( x − y )( x + 3xy + y ) − x y Chứng minh đa thức 63 f ( x ) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + biểu diễn dạng bình phương tam thức bậc hai Viết đa thức f ( x) = x3 − x + 10 dạng tổng lũy thừa giảm dần ( x − 1) m, n, a 10 Tìm cho f ( x) = x + mx + n = ( x − 1)( x − 2)( x − a ) a, b, c 11 Xác định cho f ( x) = x + 3ax + 2b = ( x − 1)( x − 2)( x − c ) f ( x) 12 Tìm đa thức bậc ba cho f ( x ) − f ( x − 1) = x 13 Tìm điều kiện để đa thức f ( x ) = ax + bx + cx + d lập phương nhị thức bậc f ( x) − f ( x − 1) = x f ( x) a) Tìm đa thức bậc bốn cho b) Từ suy cơng thức lập phương n số nguyên 14 Thực phép chia đa thức a) b) x − x3 + x − x + x3 − 3x − x − cho cho x − 3x + 3x − x + 15 Dùng sơ đồ Hoocne, tính ; f ( x0 ) với f ( x) = x − x + x3 − x + x − a) ; với f ( x) = x5 + (1 + 2i ) x − (1 + 3i ) x + b) x0 = với x0 = −2 − i f ( x) 16 Dùng sơ đồ Hoocne, biểu diễn theo lũy thừa 64 x−c f ( x) = x + x − x − x + a) f ( x) = x5 b) với với c =1 f ( x) = x − x + 24 x − 50 x + 90 c) 17 Với giá trị a) c = −1 a c=2 với f ( x) , đa thức f ( x ) = x − (2a + 1) x − x + a − g ( x) chia hết cho g ( x) = x − f ( x) = x − (a − 1)( a + 1) x + (a + 1) x − 3(a + 1) x − b) a, b 18 Với giá trị a) f ( x) = x − x3 + x + ax + b b) và 19 Tìm điều kiện để đa thức a) f ( x) = x + px + q b) và g ( x) = x − ; g ( x) chia hết cho g ( x) = ( x − 1)( x + 1) ; g ( x ) = ( x + 1)( x − 2) f ( x) f ( x) = x + px + q f ( x) , đa thức f ( x) = x − x3 + bx + ax + b ; ; g ( x) chia hết cho g ( x) = x + mx − g ( x) = x + mx + ; ; 20 Chứng minh rằng: ( x + 1)2 n − x n − (2 x + 1) a) b) x n +2 + x n +1 + chia hết cho chia hết cho ( x + 1) x( x + 1)(2 x + 1) ; ; 21 a) Tìm đa thức f ( x) = x + px + q cho chia cho dư 65 ( x − 1) ( x + 1) có b) Tìm đa thức bậc ba cho chia cho f ( x) biết chia hết cho ( x − 1),( x + 1) ( x − 2) ta dư 7, (2 x − 1) f ( x) 22 Tìm giá trị tham số cho g ( x) chia hết cho f ( x ) = x5 + x − x3 + ax + bx + c; g ( x) = ( x − 4)( x + 3) a) f ( x) = x − x3 + px + x + 2; ; g ( x ) = x − x + q; b) f ( x ) = x + x + x + a; g ( x) = x − x + b; c) 23 Dùng sơ đồ Hoocne, biểu thị: f ( x ) = x + 2ix3 − (1 + i ) x − 3x + + i theo lũy thừa x+i ; 24 Tìm UCLN đa thức: f ( x) = x + x3 − 3x − x − 1; g ( x) = x + x − x − 1; a) f ( x ) = x5 + x + x3 − 3x − x − 1; g ( x ) = x + x + x + x − 2; b) f ( x ) = x − x − x − x − 9; g ( x) = 3x − x + x − 7; c) u ( x), v( x) 25 Tìm đa thức cho f ( x) UCLN hai đa thức f ( x).u ( x) + g ( x ).v( x) = d ( x) g ( x) f ( x) = x + x − x − x − 2; g ( x ) = x + x − x − x − 2; a) f ( x ) = x5 + 3x + x + x + x + 1; g ( x) = x + x + x + 2; b) 26 Tìm UCLN đa thức: f ( x ) = ( x − 1)3 ( x + 2)2 ( x − 3)( x − 4); g ( x) = ( x − 1) ( x + 2)( x + 5); a) f ( x ) = ( x − 1)( x − x + 1); g ( x ) = ( x − 1)3 ; b) 66 d ( x) 27 Tìm UCLN đa thức f ( x) = x m − 1; g ( x) = x n − 28 Chỉ rõ bội số của: a) Nghiệm đa thức b) Nghiệm -2 đa thức 29 Tìm a để đa thức f ( x ) = x − x + x − x + x − 8; f ( x) = x + x + 16 x3 + x − 16 x − 16; f ( x) = x3 − ax − ax + nhận số -1 nghiệm bội 30 Tìm đa thức với hệ số thực có bậc bé với nghiệm: 2,3,1 + i a) Nghiệm kép 1, nghiệm đơn b) Nghiệm bội ba c) Nghiệm kép i − 3i ; nghiệm đơn −1 − i ; a, b, c 31 Xác định để chúng nghiệm phương trình f ( x ) = x − ax + bx − c = Ô 32 Chng t rng cỏc a thc sau bất khả quy x − x3 + 12 x − x + 2; a) x − 12 x + 36 x − 12; b) x − x + x + 1; c) 33 Tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: x − x + 15 x − 14; a) x − x3 − x + 13 x − 24; b) 67 : x5 − x − 12 x + x + 36; c) x − x − x − 1; d) f ( x) 34 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + + ( x − x + 1) a) ( x + x + 7)( x + x + 15) + 15 d) x + x − x − 13 x + x5 + trên ; Ô b) c) Ă Ă ; Ă ; ; ( x + x + 4) + x ( x + x + 4) + 15 x e) ¡ ; 35 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + y a) b) 2a 2b + 2a 2c + 2b 2c − a − b − c x + xy + y c) trên ¡ 36 Phân tích đa thức sau thành nhân tử (2a − 3ax)(5c) + 2d ) − (6a − 4ax)(5c + 2d ); a) (ay + bx)3 + ( ax + by )3 − (a + b3 )( x + y ); b) a 2b + ab + b 2c + bc + c a + ca + 3abc; c) 37 Phân tích đa thức thành nhân tử ¡ : A = bc (b + c ) + ca (c + a ) + ab(a + b); a) 68 ¡ ¡ £ ¡ ; ; : £ ; B = (b − c)(b + c) + (c − a)(c + a) + ( a − b)(a + b) ; b) 38 Phân tích đa thức thành nhân tử ¡ : a (b + c) + b(c + a) + c (a + b) − 4abc; a) f ( z ) = z − ( a − b + c ) z + [ac − b(a + c)]z + abc; b) 39 Phân tích đa thức thành nhân tử trường số thực: f ( x) = x n − x n + 2; a) f ( x ) = x n + x n + 1; b) 40 Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản nhất: x3 − x + ; ( x − 5)2 a) x4 − x2 + ; ( x + 1)5 b) 41 Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản nhất: x ; ( x + 1)( x − 1) 42 Phân tích thành phân thức đơn giản nhất: x + x + 11x + 12 x + ( x + x + 3) ( x + 1) 43 Biểu diễn phân thức sau thành phân thức đơn giản nhất: x2 + x + ( x − 1)( x + 1)( x + 2) a) x3 − x − 3x − x ( x − 2) b) II BÀI TẬP THỰC HÀNH GIẢI TOÁN 69 f ( x) Tìm đa thức x2 − 5x + f ( x) biết thương x chia x−2 f ( x) dư 1, chia x−3 f ( x) dư 2, cịn dư Tính nhẩm: 992 ;1012 ;a5 (1 ≤ a ≤ 9) Phân tích đa thức thành nhân tử x3 + x − 41x − 20 Rút gọn biểu thức 1− x x2 + x + + x4 − x + x2 ( − ):( − ) x + x3 − x x5 − x3 − x − x x + x + x5 x 1− Tính: 1+ x− y Phân tích biểu thức sau thừa số P = bc(b + c) + ca(c + a) + ab( a + b) + 2abc Rút gọn biểu thức A= Giải phương trình: Giải phương trình: a + (b − 2a ) − 2b a + (b − 2a ) + 2b x − x + 10 x − 12 x + = x − x + x = 10 Giải hệ: 4a (ab + 2ab + a − b − 1) + ≤  a − b = Bài tập lớn chương 70 chia Hãy đọc kỹ phần lý thuyết phân thức hữu tỉ sách giáo khoa Tốn THCS, phân tích bình luận Chú ý tính khoa học, tính sư phạm Có thể đọc xa hơn, đến ứng dụng vấn đề số chương trình Tốn THPT Hãy hệ thống hóa tập số sách giáo khoa sách tập Tốn THCS, bình luận đề xuất kiến nghị, tập cho học sinh khá, giỏi TỔNG KẾT CHƯƠNG Kiến thức a Các khái niệm Cần nắm vững khái niệm sau: Phân biệt: • Biểu thức đại số biểu thức siêu việt • Biểu thức (đại số) hữu tỉ biểu thức (đại số) vô tỉ • Biểu thức (đại số) hữu tỉ nguyên (tức đa thức) biểu thức (đại số) hữu tỉ phân (tức phân thức) • Định nghĩa đa thức (là “tổng hình thức” ), hai đa thức, đặc biệt đa thức không (là đa thức mà tất hệ số không), để sau so sánh hai quan điểm đa thức, sử dụng trực tiếp phương pháp hệ số bất định • Định nghĩa ước, ước chung, ước chung lớn (UCLN) hai đa thức; xuất phát từ định nghĩa phép chia chia hết đa thức • Định nghĩa nghiệm, nghiệm bội đa thức • Định nghĩa đa thức bất khả quy trường • Định nghĩa phân thức hữu tỉ (một cách hình thức), hai phân thức hữu tỉ b Các kết A[ x] • Nếu A vành giao hốn có đơn vị tập hợp vành giao hốn có đơn vị g f • Cho hai đa thức , q, r ∈ P[ x] cặp đa thức deg( r ) < deg( g ) x A , g ≠ 0, P P[ x] thuộc đa thức ẩn cho 71 trường Khi tồn f = gq + r , r =0 , f ( x) • Định lí Bơdu: Dư phép chia đa thức d ( x) • Đa thức u ( x) cho f ( x) f (c ) giá trị và tồn đa thức u ( x) + g ( x).v( x) = d ( x) v ( x) cho • Mọi đa thức bậc n trường có n nghiệm phức • Định lí Viét liên hệ nghiệm đa thức • Giả sử c∈P g ( x) UCLN hai đa thức x−c f ( x ) ∈ P[ x] nghiệm đa thức f ( x) Khi c nghiệm bội f '( x) c nghiệm đạo hàm f ( x) • Một đa thức m,( n ≥ m) g ( x) bậc n chia hết cho đa thức g ( x) bậc tất f ( x) nghiệm số bội nghiệm , nghiệm kể số lần p q • Nếu phân số tối giản nghiệm đa thức f ( x) = a0 x n + a1 x n−1 + + an , ∈ ¢, a0 ≠ (*) Thì p ước an q ước a0 f (1) 1−α f (−1) 1+ α • α ≠ ±1 Nếu nghiệm nguyên đa thức (*) ngun • Các đẳng thức đáng nhớ • Mỗi đa thức trường P phân tích thành tích đa thức bất khả quy phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc khơng • Trên trường số phức đa thức £ £ phải số , đa thức bất khả quy bậc Vậy có bậc lớn phân tích thành đa thức bậc 72 • Trên trường số thực bậc hai với ∆