Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ giáo dục và đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường cao đẳng sư phạm, đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc chuẩn hóa giáo viên THCSmà sao đây sẽ gọi chung là “sinh viên” Trong chương trình mới, môn “đại số sơ cấp” được kết hợp với một phần môn “thực hành giải toán” thành môn “đại số sơ cấp và thực hành giải toán”, song song với môn “hình học sơ cấp và thực hành giải toán”. Do vậy giáo trình gồm bảy chương: Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lý luận chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và về các phương pháp suy luận và tư duy toán học, sau đó là một số bài tập áp dụng trong hai chủ điểm thực hành Chương 2 (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS. Vì thế phần lý thuyết chỉ nhằm hệ thống hóa các kiến thức về xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, các phép toán và các quan hệ trên các tập số đó. Nội dung chính của chương này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguyên tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương 3 (đa thức, phân thức hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, trường các phân thức hữu tỉ, các phép toán trên chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức, phân tích phân thức…), trong đó có những kiến thức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của đại số sơ cấp. Chương 4 (căn số và các phép biến đổi vô tỉ) là một phần quan trọng của các phép biến đổi đại số. Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là “các phép biến đổi đại số” Chương 5 (hàm số và đồ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ cấp và các phép biến đổi sơ cấp các đồ thị. Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình đại số sơ cấp cũ. Chương 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về các phương trình, hệ và tuyển phương trình. Sau khi trình bày về sự tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã xét nhiều dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình) là một trong những chương quan trọng của giáo trình. Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương pháp thường dùng để chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn đề về bất phương trình tương tự như đối với phương trình.
MỤC LỤC CHƯƠNG V: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ § 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa Giả sử với M N hai tập hợp phần tử tùy ý Nếu quy luật f ta cho ứng với phần tử x ∈ M với phần tử y ∈ N ta nói cho hàm (hay ánh xạ) từ M vào N y = f(x) Các phần tử x ∈ M gọi giá trị đối, phần tử tương ứng y ∈ N gọi giá trị hàm Tập M gọi miền xác định hay tập xác định f, hay tập giá trị thừa nhận đối Tập giá trị y = f(x) tương ứng gọi miền giá trị hàm Ví dụ Phép đo đoạn thẳng cho tương ứng đoạn thẳng với độ dài Vậy độ dài đoạn thẳng hàm đoạn thẳng Ví dụ Phép chiếu vng góc mặt phẳng P đặt tương ứng điểm x không gian với điểm y mặt phẳng P hàm mà miền xác định tất điểm không gian, miền giá trị mặt phẳng P Nếu M ⊆ K, N ⊆ K, K tập hợp số cho (thường Q, R, C) hàm y = f(x) gọi hàm số đối số x Trong chương này, ta xét hàm số thực đối số thực, tức M ⊆ R, N ⊆ R hay M, N đoạn, khoảng số thực Tập hợp tất điểm (x, y), ∀ x ∈ M ⊆ R, y ∈ N ⊆ R cho y = f(x) tạo thành hình đồ thị hàm số y = f(x) Định nghĩa Một hàm số f(x) gọi hàm số chẵn giá trị với hai giá trị đối đối số thuộc miền xác định: Một hàm số f(x) gọi hàm số lẻ giá trị đối với hai giá trị đối đối số thuộc miền xác định: x ∈ M ⇒ − x ∈ M và f ( x ) = − f ( − x ) , ∀x ∈ M Đồ thị hàm số chẵn gồm hai phần đối xứng qua trục Oy Đồ thị hàm số lẻ gồm hai phần đối xứng gốc tọa độ Định nghĩa Một hàm số f(x) gọi tuần hồn có số dương l cho với giá trị đối số x thuộc miền xác định, điểm sau thuộc miền xác định x, x + l, x + 2l, …, x + kl, k ∈ Z giá trị hàm số điểm nhau, tức là: f(x) = f(x + l) = f(x + 2l) = … = f(x + kl) = …., ∀ k ∈ Z Nếu l số có tính chất m.l , m ∈ N có tính chất Số dương p nhỏ có tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn f(x) Ví dụ y = sinx, y = cosx hàm tuần hồn với chu kì 2π, y = sin3x, y = 2π cos3x hàm số tuần hồn với chu kì Định nghĩa Ta nói hàm số xác định khoảng M đồng biến khoảng với cặp giá trị tùy ý khác khoảng ấy, ứng với giá trị lớn đối số giá trị lớn hàm số Nói khác đi, hàm số đồng biến biến thiên chiều với đối số khoảng ấy: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), ∀ x1, x2 ∈ M1 Giả sử x1, x2 hai giá trị khác tùy ý lấy khoảng cho Tùy theo x1 lớn hay nhỏ x 2, hiệu x2 – x1 âm hay dương Muốn cho hàm số f(x) đồng biến, có đủ hiệu f(x 2) – f(x1) âm trường hợp thứ nhất, dương trường hợp thứ hai Nói khác f ( x2 ) − f ( x1 ) >0 x − x f(x) đồng biến M1 ⟺ , ∀ x1, x2 ∈ M1, x1 ≠ x2 Trái lại, ta nói hàm số xác định khoảng đó, nghịch biến khoảng với cặp giá trị tùy ý khác khoảng ấy, ứng với giá trị lớn đối số giá trị nhỏ hàm số Nói khác đi, hàm số đồng biến biến thiên trái chiều với đối số Ta thấy muốn cho hàm số f(x) nghịch biến khoảng M ⊆ R, điều kiện có đủ là: f ( x2 ) − f ( x1 ) < ; ∀x1 , x2 ∈ M , x1 ≠ x2 x2 − x1 Một hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng gọi chung hàm số đơn điệu khoảng Một hàm số gọi không giảm M2 f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 ≥ 0, ∀ x1, x2 ∈ M1, x1 ≠ x2 Một hàm số gọi không tăng M2 f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 ≤ 0, x1, x2 ∈ M1, x1 ≠ x2 Các hàm số không tăng không giảm gọi đơn điệu Một số tác giả gọi hàm số khơng giảm đồng biến, cịn đồng biến gọi đồng biến ngặt (chặt) Tương tự trường hợp trái lại Định nghĩa Giả sử y = f(x), z = g(x) hàm số cho Thế hàm số z = g[f(x)] gọi hàm hợp f g, đọc “hàm g f x” Đó tích hai ánh xạ f g lấy theo thứ tự Hàm hợp z = [f(x)] xác định miền giá trị f tập miền xác định g Ví dụ y = sin ( x + 1) hàm hợp hai hàm số t = 2x + y = sin2t Hàm số ngược Theo định nghĩa hàm số ứng với giá trị đối số (thuộc miền xác định) có giá trị hàm số, giá trị hàm số khơng thiết ứng với giá trị đối số mà ứng với nhiều, chí ứng với vơ số giá trị đối số Ví dụ 1: Cho hàm số y = x2 Giá trị y = hàm số ứng với hai giá trị ± đối số Ví dụ 2: Xét hàm số y = cosx Giá trị y = ứng với vô số giá trị đối số: x = 2kπ, k ∈ Z Trong trường hợp tổng quát, ta cho ứng với giá trị y cho trước hàm số với tất giá trị x đối số cho y = f(x) tương ứng nói chung khơng xác định hàm số, u cầu định nghĩa hàm số tính giá trị hàm số không thỏa mãn Nhưng nhiều trường hợp đặc biệt ta có Định nghĩa Giả sử cho hàm số y = f(x) Nếu giá trị y có giá trị x thỏa mãn hàm số cho ta nói xác định hàm số ngược x = φ(y) hàm số cho Tương ứng giá trị x y gọi tương ứng – hay song ánh từ miền xác định lên miền giá trị hàm số Định lí Mọi hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng có hàm số ngược, hàm số ngược đồng biến (hoặc nghịch biến) Chứng minh: Để chứng định lí, ta giả sử hàm số y = f(x) đồng biến khoảng M1 ⊆ R từ x1 < x2 ta suy f(x1) < f(x2) Từ suy giá trị y (=f(x)) ứng với giá trị x mà (phản chứng) Như vậy, hàm số ngược x = φ(y) xác định Ta chứng minh hàm số ngược x = φ(y) đồng biến Điều suy từ y = f(x) đồng biến f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 ⟺ > 0, ∀ x1, x2 ∈ M1, x1 ≠ x2 y1 − y2 ⇔ ϕ ( y1 ) − ϕ ( y2 ) > 0, ∀ y1, y2 ∈ M1, y1 ≠ y2 ϕ ( y1 ) − ϕ ( y2 ) y1 − y2 ⇔ > 0, ∀ y1, y2 ∈ M1, y1 ≠ y2 ⇔ x = φ(y) đồng biến Bây ta xét đồ hai hàm ngược Giả sử y = f(x) x = φ(y) hai hàm số ngược Ta xét đồ thị y = f(x) khoảng (a, b) Ta gọi A’, B’ giao điểm trục tung y’y với đường thẳng song song với trục hoành x’x kẻ từ A B Bây giả sử y giá trị tùy ý khoảng (A’, B’) Q điểm y’y cho OQ = y Số x cho y = f(x) Hình hồnh độ OP giao điểm M đường song song với x’x vạch từ Q với đồ thị AB Vậy đường cong AB biểu diễn hàm số x = φ(y) trục y’y trục đối số Từ ta được: Mệnh đề Cùng đồ thị biểu diễn hàm số ngược (nếu có) tùy theo ta coi x’x y’y trục đối số Muốn vẽ đồ thị hàm số ngược x = φ(y) với x’x trục đối số ta phải cho ứng điểm Q1 x’x xác định OQ1 = OQ với điểm M1 đường song song với trục y’y vạch từ Q1 cho Q1M = QM Vậy điểm M1 suy từ điểm M phép đối xứng qua đường phân giác góc xOy Từ ta có: Mệnh đề Nếu ta lấy trục x’Ox trục đối số đồ thị hai hàm số ngược đối xứng với qua đường phân giác thứ góc tọa độ 1.2 CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP Định nghĩa Ta gọi hàm số sau hàm số sơ cấp y = c (hằng số), y = xn (n ∈ N), y = n x , y = xα (α vô tỉ), y = ax (a ≠ 0, a > 0), y = loga x, (a ≠ 1, a > 0, x > 0) y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx Các hàm số xác định phép toán gọi phép toán sơ cấp Miền xác định hàm số tập hợp tất giá trị thực x cho phép tốn tương ứng có nghĩa, kết số thực k +1 x , y = ax (a ≠ Ví dụ Các hàm số y = c (hằng số), y = x n (n ∈ N), y = 0, a > 0), y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx có miền xác định R, tức (∞; +∞) Ví dụ Miền xác định hàm số y = loga x, (a >0, a ≠ 1), y = x α (α vô tỉ) (0; +∞) Miền xác định hàm số y = 2k x [0; +∞) π + kπ Ví dụ Miền xác định hàm số y = tgx ∀x ≠ , hàm số y = cotgx ∀x ≠ kπ Ví dụ Miền xác định hàm số y = arcsinx, y = arccosx [-1; +1] Định nghĩa Hàm số sơ cấp phức hợp làm hàm số thu cách thực liên tiếp số hữu hạn hàm số sơ cấp Các hàm số tạo thành từ hàm số sơ cấp phức hợp số hữu hạn phép toán đại số siêu việt (chương 3, 1.1) gọi hàm số sơ cấp 2 Ví dụ y = 3x + 2x − + sin(2x − 3) + log ( x + − 1) hàm số sơ cấp 1.3 PHÂN LOẠI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP Tùy theo biểu thức f(x) đại số hay siêu việt, đại số hữu tỉ hay vô tỉ (xem chương 3), ta gọi hàm số y = f(x) mang tên Do hàm số sơ cấp phân loại sau: Hàm số sơ cấp Hàm số siêu việt sơ cấp Hàm số đại số sơ cấp Hàm số đại số hữu tỉ Hàm số hữu tỉ nguyên Hàm số hữu tỉ phân Ví dụ Các hàm số y = x , y = log (2 + 3x) + arctgx, y = 3x + − tgx hàm siêu việt sơ cấp Ví dụ Các hàm số Hàm số đại số vô tỉ a) y = x3 – 3x2 x2 + y= x−3 b) c) y = x + x − x − hàm số đại số sơ cấp, a) b) hàm số hữu tỉ, c) hàm số vô tỉ; chi tiết a) hàm số hữu tỉ nguyên b) hàm số hữu tỉ phân Chú ý: Cần phải ý đến thực chất dạng biểu thức hàm số log (1+ x Chẳng hạn hàm số y = 2 ) hàm số siêu việt có 3 thể viết thành y = + x Cũng vậy, hàm số y = ( x − 1) hàm số vơ tỉ viết thành y = x2 – § KHẢO SÁT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SƠ CẤP Việc khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp khơng có tính chất tổng qt việc khảo sát hàm số phương pháp giải tích Nó chủ yếu vào định nghĩa tính đặc thù hàm số sơ cấp khảo sát, khơng có cơng cụ chung dùng cho hàm số (như phương pháp dùng đạo hàm giải tích), mà dựa số quy tắc “sơ cấp” Song nhờ chúng mà nhiều trường hợp, ta thu cách giải độc đáo hơn, gọn hơn, hay ta có thêm phương pháp phương pháp kinh điển Khảo sát hàm số gồm ba bước sau đây: • Tìm miền xác định hàm số • Khảo sát biến thiên hàm số • Vẽ đồ thị 2.1 MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Miền xác định (tập xác định) hàm số tập hợp tất giá trị thực đối số cho tất phép tốn có mặt biểu thức xác định hàm số có nghĩa thực trường số thực Để tìm miền xác định hàm số ta dựa vào quy tắc sau: Các quy tắc: 10) Mẫu thức phân thức phải khác không 20) Các biểu thức dấu bậc chẵn ( 2k ) phải không âm 30) Các biểu thức cần nâng lên lũy thừa vơ tỉ hay lũy thừa mà số mũ có chứa đối số phải dương 40) Các biểu thức dấu lôgarit phải dương 50) Trong biểu thức dạng AB, số số mũ không đồng thời triệt tiêu 60) Miền xác định hàm số giao miền xác định hàm số thành phần 70) Miền xác định hàm hợp y = F(u) u = f(x) tức hàm y = F[f(x)] tập hợp tất giá trị x thuộc miền xác định f(x) cho F(u) có nghĩa Ví dụ Xét hàm số y = log a x Hàm số viết dạng: u = logax, y = u Miền xác định hàm số u = log ax (0; +∞), cịn u có nghĩa u = logax ≥ 0, tức x ≥ Vậy miền xác định hàm số +∞) Ví dụ Xét hàm số y = f ( x) = − 2x + arccosx 2x + Miền xác định thành phần thứ − 2x 1 x ≤ ,x ≠ − 2x + 2 Miền xác định thành phần thứ hai arccosx x≠− 2x + -1 ≤ x ≤ 1, Vậy miền xác định hàm số xét y = log a x [1; 1 1 −1, − ÷∪ − , ÷ 2.2 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Khảo sát biến thiên hàm số phân chia miền xác định thành khoảng mà hàm số đơn điệu, nêu rõ chiều biến thiên hàm số khoảng Đây bước chủ yếu phân biệt “phương pháp sơ cấp” “phương pháp giải tích” Để khảo sát biến thiên hàm số phương pháp sơ cấp, người ta không sử dụng dấu đạo hàm nó, mà dựa vào định lí sau: Định lí Nếu c số hàm số y = f(x) + c biến thiên chiều với hàm số f(x) Thật vậy, ta có [ f ( x2 ) + c] − [ f ( x1 + c)] f ( x2 ) − f ( x1 ) = x2 − x1 x2 − x1 Hai vế dấu, hai hàm số f(x) + c f(x) có chiều biến thiên Định lí Nếu A số khác khơng hàm số Af(x) biến thiên chiều với f(x) A > 0, ngược chiều với f(x) A < Thật vậy, ta có: Af ( x2 ) − Af ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) =A x2 − x1 x2 − x1 Tùy theo A > hay A < mà hai tỉ số dấu hay khác dấu, từ suy điều phải chứng minh Định lí Nếu khoảng mà hàm số f(x) g(x) biến thiên chiều hàm số f(x) + g(x) biến thiên theo chiều khoảng nói Thật vậy, ta có: [f ( x2 ) + g ( x2 )] − [f ( x1 ) + g ( x1 )] f ( x2 ) − f ( x1 ) g ( x2 ) − g ( x1 ) = + x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 Nếu số hạng vế phải có dấu tổng chúng tức vế trái, có dấu đó, suy điều phải chứng minh 10 Phân tích: Có thể thấy M = [0; 1] Tuy nhiên không nên giải bất phương trình (a – 3a – 4)x – a2 + ≥ để xác định tập N liên quan đến việc xét dấu biểu thức bậc hai tương đối phức tạp Nếu ta đặt: y = (a2 – 3a – 4)x – a2 + = g(x) với a ≠ -1 a ≠ ta hàm số bậc có đồ thị đường thẳng Để M ∩ N = Ø cần g(x) < với x ∈ [0; 1] Nghĩa đoạn ứng với x ∈ [0; 1] đường thẳng y = g(x) nằm trục Ox Điều tương đương hai đầu đoạn nằm phía Ox nghĩa g(0) < g(1) < Lời giải: Đặt y = (a2 – 3a – 4)x – a2 + 1) Với a = -1 có y = – = ≥ ∀x ∈ R nên [0; 1] ⊂ N ⇒ M ∩ N = Ø, a = -1 khơng thích hợp 2) Với a = có y = -14 < ∀x ∈ R, nên N = Ø M ∩ N = Ø Vậy a = thích hợp 3) Với a ≠ -1 a ≠ -4 có a2 – 3a – ≠ Khi hàm số y = (a2 – 3a – 4)x – a2 + = g(x) hàm số bậc nhất, có đồ thị đường thẳng Vì M ∩ N = Ø ⟺ g(x) < ∀x ∈ [0;1] g (0) < −a + < ⇔ ⇔ −3a − < g (1) < a < − hc a > ⇔ a>− ⇔a> Kết luận: M ∩ N = Ø ⇔ a > Khai thác toán: Với đặc điểm đồ thị hàm số bậc đường thẳng quan tâm đến vị trí hai đầu mút đoạn thẳng ta số tốn tương tự sau: Tìm điều kiện a để hệ sau vô nghiệm: 33 x2 − ≤ 2 1) (a − 5a + 6) x − a + ≥ x − 7x + 12 ≤ 2 2) ( a − 3a + 2) x − a + ≤ Bài toán số Xác định hàm số y =f(x) biết đồ thị hàm số parabol qua điểm (0; 3), (1; 0) (2; -1) Phân tích: Vì đồ thị hàm số y = f(x) parabol nên hàm số có dạng y = ax + bx + c (a ≠ 0) Căn vào điểm thuộc parabol ta tìm a, b, c Lời giải: Đồ thị hàm số parabol nên hàm số có dạng y = ax + bx + c (a ≠ 0), điểm (0; 3), (1; 0) (2; -1) thuộc đồ thị nên có = a.02 + b.0 + c = a.1 + b.1 + c −1 = a.22 + b.2 + c a =1 b = −4 Giải ta được: c = Vậy hàm số cần tìm là: y = x2 – 4x + Khai thác toán: Với đặc điểm đồ thị parabol nên vận dụng đặc điểm đỉnh parabol ∆ b − ;− ÷ S 2a 4a nên có tốn tương tự sau: Xác định hàm số y = f(x) biết đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(3; -4), qua (1; 0) (2; -3) Bài toán số Cho hàm số y = x2 – 4x + a) Xét biến thiên hàm số khoảng (-∞; 2) (2; +∞) b) So sánh f (2 + 2) f ( + 3) 34 c) So sánh f (2 − 5) f (2 + 5) Phân tích: Trước hết cần xét biến thiên hàm số khoảng vào để so sánh giá trị câu b) Cần để ý đồ thị hàm số y = x - 4x + nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng để làm câu c) Lời giải: a) Lấy x1, x2 ∈ R, x1 ≠ x2 Xét tỉ số: f ( x1 ) − f ( x2 ) x12 − x1 + − x22 + 4x − = x1 − x2 x1 − x2 = ( x1 − x2 )( x1 + x2 − 4) x1 − x2 = x1 + x2 − • Trong khoảng (-∞; 2) ta có x1 < ⇒ x1 + x2 < x2 < Vậy x1 + x2 – < 0, hàm số nghịch biến • Trong khoảng (2; +∞) ta có x1 > x2 > nên x1 + x2 > Vậy x1 + x2 – > hàm số đồng biến Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng (2; +∞); nghịch biến khoảng (-∞; 2) b) Vì + + ∈ (2; +∞), hàm số đồng biến khoảng nên từ + < + Ta có f( + ) < f( + ) c) Do parabol y = x2 - 4x + nhận đường thẳng x = trục đối xứng nên điểm thuộc parabol là: ( − ; f( − )) ( + ; f( + )) đối xứng qua đường thẳng x = 2, tung độ chúng Nghĩa ta có f( − ) = f( + ) Khai thác toán: Phân tích 35 b ∆ f ( x ) = ax + bx + c = a x + ÷ − 2 2a 4a 2 b ∆ = a x + ÷ − 2a 4a , ∆ = b2 – 4ac ∆ Ta nhận thấy a < (a > 0) giá trị 4a giá trị lớn (bé nhất) f(a) Vì đề xuất số tốn sau: − Bài tốn 4.1: Tìm giá trị lớn bé hàm số: a) y = -3x2 + 2x – b) y = 2x2 – 3x + c) y = (m2 + 1)x2 – 2mx + • Chú ý đến khoảng đồng biến nghịch biến hàm số bậc hai ta có số tốn sau: Bài toán 4.2: Chứng minh với x < -1, ta có x2 – 4x > Bài tốn 4.3: Chứng minh ∀x > ta có -x2 + 4x < GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐỒ THỊ CHỦ ĐIỂM Bài toán số Cho phương trình: x −1 + x − − k +1 = Biện luận theo k số nghiệm phương trình Phân tích: Khơng nên dùng phương pháp chia khoảng để xác định số nghiệm ta ln phải xét quan hệ nghiệm tìm với khoảng xét Do phương trình (1) ⇔ x − + x − = k − nên chuyển việc xét số giao điểm đường thẳng y = k - với đồ thị y = x − + x − Lời giải: (1) ⇔ x − + x − = k − 36 − x nÕu x < y = x − + x − = 2 nÕu ≤ x ≤ 2x − nÕu x > Đặt Vậy số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị y = x − + x − với đường thẳng y = k – Ta có kết sau: a) k – < ⇔ k = nên khơng có giao điểm ⟹ (1) vô nghiệm b) k – = ⇔ k = Mọi x ∈ [1; 3] nghiệm c) k – > ⇔ k > 3; có hai giao điểm ⟹ (1) có nghiệm Khai thác tốn: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm số phương trình sau theo tham số k: 1) x2 – 2x + k – = 0; 2) –x2 + 4x – – 3k = 0; 3) –x2 + 4|x| + 2k – = Bài tốn số Tìm giá trị nhỏ A= − x + 4x − < x < Phân tích: Đồ thị hàm số y = -x + 4x – parabol quay bề lõm xuống (vì a < 0) cung ứng với < x < –x + 4x – > đỉnh S(2; 1) điểm có tung độ lớn Lời giải: Xét parabol y = -x2 + 4x – khoảng (1; 3) đỉnh S điểm có tung độ lớn Mà S(2; 1) ∀x ∈ (1; 3) có -x2 + 4x – ≤ ⇒ A= ≥ ⇒ Amin = ⇔ x = − x + 4x − Khai thác toán: 37 Xét parabol y = ax2 + bx + c ∆ b S − ;− ÷ 4a có tung độ bé • Với a > 2a ∆ b S − ;− ÷ 4a có tung độ lớn nhất, ta xét tiếp • Với a < 2a tốn tương tự: Chứng minh bất đẳng thức: 1 ≤ a) x − 4x + b) x − 6x+11 ≤ 2 Chú ý giải câu a) cách khác Chẳng hạn viết biểu thức bậc hai dạng (mx + n) + k –(mx + n) + k để xác định giá trị lớn nhất, bé Bài toán số Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: 2|x + 1| - |x – 3| - m + = (*) Phân tích: Khơng nên dùng phương pháp chia khoảng để xét số nghiệm phương trình phải tính nghiệm tìm điều kiện để nghiệm thuộc vào khoảng phức tạp Ta dùng đồ thị để giải toán Lời giải: Biến đổi phương trình cho dạng x + − x − = m − Đặt y = x + − x − 38 − x − nÕu x < − ⇒ 3x − nÕu − 1≤ x < x + nÕu x ≥ Ta đồ thị hàm số y = x + − x − (hình 15) Vậy có kết m – < - ⇔ m < - phương trình vơ nghiệm m – = - ⇔ m = - phương trình có nghiệm m – > - ⇔ m > -3 phương trình có nghiệm Khai thác tốn: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình cách thuận tiện học sinh THCS, đặc biệt phương trình chứa giá trị tuyệt đối Bằng cách dùng đồ thị giải tốn sau: Bài toán 3.1: Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: 1) x − − x − + − x + 2m = ; 2) x − 2x − + m − = Bài toán 3.2 Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x − − 3m + = Bài toán số Một người xe máy từ Hà Nội vào Vinh (quãng đường dài 310 km), ban đầu với tốc độ 30 km/h, 150 km nghỉ khoảng giờ, sau tiếp tục Vinh với vận tốc 40 km/h Trong thời gian đó, ôtô chạy từ Vinh Hà Nội, khởi hành muộn xe máy giờ, chạy với vận tốc 60 km/h a) Viết hàm số biểu thị chuyển động xe máy ôtô b) Dùng đồ thị để thời gian địa điểm xe đến đích, hai xe gặp c) Nghiệm lại kết phép tính 39 Phân tích: Đây loại chuyển động nên phương trình chuyển động có dạng s = vt + so, t thời gian, s quãng đường, v vận tốc, s o khoảng cách nơi xuất phát đến điểm gốc Chỉ cần ý chọn gốc thời gian điểm gốc xuất phát thích hợp, để ý hai chuyển động ngược chiều có vận tốc trái dấu Lời giải: a) Ta chọn gốc quãng đường Hà Nội, gốc thời gian xuất phát xe máy Chiều dương quãng đường chiều từ Hà Nội Vinh Thế phương trình chuyển động xe máy là: - Đoạn đầu: s1 = 30t Thời gian nghỉ: s2 = 150 - Đoạn sau: s3 = 40(t – 6) + 150 (vì nghỉ giờ) Phương trình chuyển động ơtơ là: s4 = -60 (t – 1) + 310 (vì chiều ngược lại, xuất phát sau giờ, bắt đầu từ Vinh, km 310) 40 b) Vẽ đồ thị hàm số s1, s2, s3, s4 ta thấy xe máy đến Vinh suau 10 − 1÷ = = 5h10' đường, ôtô đến Hà Nội sau Trên đường hai xe gặp t=4 h s = 123,3 km giai đoạn đầu xe máy thời điểm t=4 h ) c) Để tính thời điểm gặp nhau, ta giải phương trình s = s4 (được s2 = s4 (nghiệm âm), s3 = s4 (nghiệm âm, khơng thích hợp) Để tính thời điểm đến nơi, ta giải s3 = 310 (xe máy), s4 = (ôtô), kết Khai thác tốn: Có thể chọn gốc quãng đường Vinh Bạn đọc tự giải Có thể “phức tạp hóa” tốn cách cho chuyển động ngắt làm nhiều đoạn (chẳng hạn nghỉ lại 2, lần, lần 15 phút, 30 phút) Có thể đề tốn tương tự cách thay đổi kiện thực tế, chẳng hạn Hà Nội – Hải Phòng (101 km), Hà Nội – Thái Nguyên (76 km),… thay đổi phương tiện (ôtô khách ôtô con, xe máy xe đạp,…) ý vận tốc loại xe phù hợp 41 Có thể đề tốn chuyển động chiều song vận tốc khác nhau, khởi hành khác (cái nhanh xuất phát muộn hơn), liền mạch phần tử chuyển động có vài lần dừng BÀI TẬP CHƯƠNG V BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Trong hàm số sau đây, hàm số hàm siêu việt, đại số (vô tỉ, hữu tỉ phân, hữu tỉ nguyên a) y = ax4 + bx2 + c; d) y = sin3x + cos2x; b) y = x − + ; e) y = loga(x + 2); c) y= 2x + 2x − f) y = 3x Phân loại hàm số sau đây: x a) y = + 5x + ; b) y= d) y = tg2x + cotg3x; 2x − x− ; e) y = arctg(x + 1); c) y = x − π x + ; 2 f) y = x + log ( x + 2x − 1) Xét tính chẵn lẻ hàm số sau đây: a) y = 5x4 + 3x2 – 2; d) y = cos2x – cosx; 5 b) y = x − x ; e) y = tg2x + cotg2x; c) y = sinx + tgx; Chứng tỏ hàm số sau tuần hồn Tìm chu kì chúng: a) y = sinx + a; b) y = sin2x + a; y = sin x + a c) ; d) y = sin(nx) + a; e) y = tgx + b; f) y = ntgx + b; g) y = cotgnx; h) y = mcotgnx Các hàm số R sau có hàm số ngược khơng? Hoặc có hàm số ngược khoảng nào? Xác định hàm số ngược đồ thị chúng: 42 a) y = kx; b) y = x3; c) y = x2; d) y = 10x; e) y = sinx; f) y = tgx Tìm miền xác định hàm số sau: y= a) y = x − 25 ; c) b) y = − x ; d) y = − x + 4x − x2 − ; Tìm miền xác định hàm số: a) y= 3− x x +1 ; b) y = log a ( x − 4) , (a > 0, a ≠ 1); c) y = ( x − 1) ; π y = cot g ( x − ) ; d) 2x e) y = ( x − 3) ; Xét hàm số y = 2x + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số theo bước phương pháp sơ cấp b) Dùng phép biến đổi đồ thị để suy đồ thị phải tìm từ đường phân giác y = x Xét hàm số: y = 2x2 – 6x + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số theo bước phương pháp sơ cấp b) Từ parabol y = x2 dùng phép biến đổi đồ thị để thu đồ thị hàm số cho? 10 Xét hàm số phân tuyến tính: y= 3x + 2x + a) Khảo sát vẽ đồ thị theo bước phương pháp sơ cấp 43 b) Từ hyperbol phép biến đổi đồ thị nào? 11 y= x suy đồ thị hàm số cho Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau hệ tọa độ phương pháp sơ cấp: a) y = x = x ; từ tổng quát hóa cho hàm số y = x 12 m +1 2n Cũng câu hỏi a) y = x ; b) y = x từ tổng quát hóa cho hàm số y = x 13 2m n +1 Cũng câu hỏi a) y = x ; b) y = x từ tổng quát hóa cho hàm số y = x Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x 15 Khảo sát vẽ đồ thi hàm số y = x 16 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) = 17 14 − − m +1 n +1 , hàm số y = x , hàm số y = x − − 2m n +1 m +1 n +1 2x − x2 1− ÷ 1+ x Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x + x +1 + + x − x +1 + BÀI TẬP THỰC HÀNH GIẢI TOÁN b) y = x = x Cho hàm số y = f(x) nhận giá trị thực biết 44 1 f ( x) + f ÷= x x ∀x ≠ Tính f(2005) Xác định hàm số f(x) biết: a) f(x) + xf(-x) = x + 1 f ( x) + f ÷ = x x b) ∀x ≠ Biện luận theo k số nghiệm phương trình: x − − x + + x − 2k + = Biết hàm số y = 2x đồng biến, xét quan hệ u v biết: u + u = 2v + v Xác định m để hệ sau vô nghiệm: x2 − x + < (2m − 1) x + m − ≥ Giải phương trình a) 3x + 4x = 5x b) 5x + 12x = 13x Xác định hàm số bậc hai f(x) biết đồ thị qua điểm (1; 0), (4; 3) (2; - 1) Từ đồ thị hàm số y = x2 – 54x + suy đồ thị hàm số y = x − 54x + Biện luận theo k số nghiệm phương trình x − 54x + = 2k − 10 Cho parabol y = x2 – 5x + Hãy biện luận theo k số nghiệm phương trình x2 − x + − k − = Bài tập lớn chương 45 Hãy đọc kỹ phần lý thuyết hàm số sách giáo khoa Tốn THCS Phân tích bình luận Có thể đọc xa hơn, đến lí thuyết hàm số chương trình Tốn THPT Phân tích bình luận Chú ý đến tính khoa học tính sư phạm, đến đặc thù “phương pháp sơ cấp” việc khảo sát hàm số Hãy hệ thống hóa tập hàm số sách giáo khoa sách tập Tốn THCS, bình luận đề xuất kiến nghị, tập hay 46 TỔNG KẾT CHƯƠNG Kiến thức • Các định nghĩa hàm (ánh xạ), hàm số, tính chẵn, lẻ, tuần hồn, đồng biến, nghịch biến, định nghĩa hàm số ngược, phân loại hàm số sơ cấp • Điều •7 kiện để có hàm số ngược chiều biến thiên hàm số ngược quy tắc để khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp Kĩ • Vẽ thành thạo dạy học sinh vẽ thành thạo đồ thị hàm số bậc nhất, bậc hai, phân tuyến tính, lũy thừa ngun • Biết khảo sát hàm số phức tạp phương pháp sơ cấp (một số hàm vô tỉ, hàm giá trị truyệt đối…) • Biết dùng phép biến đổi đồ thị để khảo sát vẽ nhanh (đưa hàm số phức tạp hàm số đơn giản biết) • Vì nội dung vấn đề hàm số chương trình THCS chưa nhiều nên thực hành giải toán chương sinh viên cần nắm vững kỹ khảo sát số dạng hàm số phương pháp sơ cấp để biết cách dạy, giải thích, hướng dẫn học sinh thực thao tác cách có ý thức, đồng thời sử dụng phương pháp đồ thị để giải số toán bậc nhất, bậc hai phù hợp chương trình THCS Hướng dẫn Vì vấn đề khảo sát hàm số học chương trình Trung học phổ thơng giáo trình Giải tích nên phần lớn chương để sinh viên tự đọc Chỉ cần nhấn mạnh lại (dù biết) tính đơn trị định nghĩa hàm số để đến điều kiện tồn hàm số ngược, trình bày quy tắc khảo sát hàm số phương pháp sơ cấp, nét đặc thù giáo trình, bổ sung cho phương pháp giải tích (dùng đạo hàm) mà sinh viên học §5 dùng để bồi dưỡng sinh viên giỏi Hoặc ra, nên giới thiệu cho sinh viên biết hai quan điểm (“đại số” “hàm số”) đa thức phân thức, để sinh viên ý thức rõ ràng điều dạy 47 ... việt, đại số hữu tỉ hay vô tỉ (xem chương 3), ta gọi hàm số y = f(x) mang tên Do hàm số sơ cấp phân loại sau: Hàm số sơ cấp Hàm số siêu việt sơ cấp Hàm số đại số sơ cấp Hàm số đại số hữu tỉ Hàm số. .. định hàm số y = arcsinx, y = arccosx [-1 ; +1] Định nghĩa Hàm số sơ cấp phức hợp làm hàm số thu cách thực liên tiếp số hữu hạn hàm số sơ cấp Các hàm số tạo thành từ hàm số sơ cấp phức hợp số hữu... phép toán đại số siêu việt (chương 3, 1.1) gọi hàm số sơ cấp 2 Ví dụ y = 3x + 2x − + sin(2x − 3) + log ( x + − 1) hàm số sơ cấp 1.3 PHÂN LOẠI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP Tùy theo biểu thức f(x) đại số hay