Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ giáo dục và đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường cao đẳng sư phạm, đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc chuẩn hóa giáo viên THCSmà sao đây sẽ gọi chung là “sinh viên” Trong chương trình mới, môn “đại số sơ cấp” được kết hợp với một phần môn “thực hành giải toán” thành môn “đại số sơ cấp và thực hành giải toán”, song song với môn “hình học sơ cấp và thực hành giải toán”. Do vậy giáo trình gồm bảy chương: Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lý luận chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và về các phương pháp suy luận và tư duy toán học, sau đó là một số bài tập áp dụng trong hai chủ điểm thực hành Chương 2 (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS. Vì thế phần lý thuyết chỉ nhằm hệ thống hóa các kiến thức về xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, các phép toán và các quan hệ trên các tập số đó. Nội dung chính của chương này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguyên tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương 3 (đa thức, phân thức hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, trường các phân thức hữu tỉ, các phép toán trên chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức, phân tích phân thức…), trong đó có những kiến thức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của đại số sơ cấp. Chương 4 (căn số và các phép biến đổi vô tỉ) là một phần quan trọng của các phép biến đổi đại số. Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là “các phép biến đổi đại số” Chương 5 (hàm số và đồ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ cấp và các phép biến đổi sơ cấp các đồ thị. Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình đại số sơ cấp cũ. Chương 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về các phương trình, hệ và tuyển phương trình. Sau khi trình bày về sự tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã xét nhiều dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình) là một trong những chương quan trọng của giáo trình. Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương pháp thường dùng để chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn đề về bất phương trình tương tự như đối với phương trình.
MỤC LỤC CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC KHÁI NIỆM § 1.1 PHƯƠNG TRÌNH n Cho hàm số g ( x1 , x2 , , xn ) hàm số Ta gọi tập hợp f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x) , g ( x) biến phức miền xác định £n số phức g ( x1 , x2 , , xn ) Giả sử D2 ⊂ £ n n x1 , x2 , , xn f ( x) f ( x1 , x2 , , xn ) x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ £ n Khi đó, xem hàm biến D1 ⊂ £ n g ( x ) có miền xác định , có Ta định nghĩa phương trình f ( x) = g ( x) kí hiệu hàm mệnh đề nhau” “Giá trị hai hàm số (1) f ( x) g ( x) f g x n Ta gọi ẩn phương trình (1); coi hàm biến x1 , x2 , , xn x1 , x2 , , xn n £ khơng gian (1) phương trình ẩn Tập hợp giá trị thừa nhận đối số gọi miền xác định (tập xác S = D1 ∩ D2 định) phương trình (1), tập x a∈S f ( a) = g ( a) a đẳng thức a gọi nghiệm phương trình (1), thỏa mãn phương trình (1), x=a phương trình (1) thỏa mãn với Nếu lấy giá trị mà Có thể xảy ba trường hợp sau đây: Ta nhắc lại hàm mệnh đề ánh xạ từ tập khơng gian phức lên tập hai kí tự “đúng, sai” 1) Phương trình vơ nghiệm: Trong trường hợp này, khơng có giá trị cho f ( a) g ( a) S f ( a) = g ( a) mệnh đề sai với M =φ a∈S M Nói khác đi, tập nghiệm của phương trình (1) rỗng a nhau, tức a 2) Bất kỳ giá trị thỏa mãn phương trình, tức S Trong trường hợp phương trình đẳng 3) Có giá trị (nhưng khơng phải giá trị) trình x( a∈ S ) ( M ≠ φ, M ⊂ S ) a∈S M =S thỏa mãn phương Trong hai trường hợp 2) 3) ta nói phương trình có nghiệm M M Giải phương trình tìm tập hợp nghiệm Nếu biểu thị hay nhiều cơng thức chúng gọi nghiệm tổng qt M phương trình tập hữu hạn hay vô hạn £ Trong tất định nghĩa trên, thay cho trường , ta cú th ly mt Ô, Ă trng s bt kì (có thể ) làm trường sở Khi cần ý tập hợp nghiệm phương trình phụ thuộc vào trường sở Ví dụ 1: Phương trình ¡ {− 3; } (x − 3) ( x + ) = , tập nghiệm ¡ Ví dụ 1: Phương trình , Tập hợp tất số thực không âm 1.2 £ x= x {− vô nghiệm trờn Ô , nghim } 3; 3; 2i; 2i có tập nghiệm M = { x ∈ ¡ : x ≥ 0} PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH f ( x) g ( x) Tùy theo biểu thức tốn học loại (§1, chương 1) mà phương trình gọi tên theo loại f ( x) Nếu hai biểu thức g ( x) biểu thức đại số phương trình đại số, số trường hợp trái lị việt Nếu hai biểu thức f ( x) ( 1) phân thức hửu tỉ) g ( x) ( 1) ( 1) là phương trình siêu biểu thức đại số hữu tỉ (đa thức gọi phương trình đại số hữu tỉ Đặc biệt, f ( x) g ( x) ( 1) đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) phương trình đa thức phương trình đai số nguyên Nếu trái lại, hai biểu f ( x) thức ( 1) g ( x) phân thức hữu tỉ thực biểu thức lại đa thức gọi phương trình phân thức f ( x) Nếu hai biểu thức đại số vô tỉ (tức có chứa số ẩn) biểu thức cịn lại hữu tỉ (1) gọi phương trình vơ tỉ Ví dụ: − Phương trình đa thức: x 2n + x n + = x + x + x −1 = 2x − x + x +1 − − − Phương trình phân thức: Phương trình vơ tỉ: x − = 2x − Phương trình siêu việt: ; ; log ( x + 1) − x = 1.3 2x − x + = sin x + cos x = PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ f ( x) a, b, c, , ngồi đối số cịn có chữ Nếu việc a, b, c, khảo sát nghiên cứu, ta xem chữ biết chúng a = α , b = β , , c = γ gọi tham số, hay thông số, hay tham biến Giả sử tập a, b, , c hợp giá trị số chữ Nếu thay giá trị vào hàm Cho hàm số f ( x,α , β , , γ ) f x số ta xác định hàm số đối số α , β , , γ gọi hệ thống giá trị thừa nhận tham số Nếu f ( x,α , β , , γ ) cho khơng có nghĩa với giá trị số α , β , , γ x trường số hệ thống giá trị không thừa nhận tham số f ( x, a, b, , c ) = x ∈£ n a, b, , c Phương trình với ẩn số tham số gọi phương trình chứa tham số Khi có hệ thống giá trị thừa nhận tham số, phương trình trở thành phương trình cụ thể: f ( x,α , β , , γ ) = x∈£n với ẩn số khơng chứa tham số nữa, tập nghiệm hồn tồn xác định Giải phương trình chứa tham số xác định tất nghiệm với hệ thống giá trị thừa nhận tham số Ví dụ Các phương trình ax + b = ax + bx + c = a, b, c phương trình chứa tham số Các tham số lấy giá trị thực Với hệ thống giá trị (thực bất kì, thừa nhận được) tham số, ta phương trình cụ thể giải chúng để tìm tập nghiệm Chẳng hạn với phương trình (**): − Với a = 1, b = −4, c = tập nghiệm M = { 1,3} − Với a = b = 1, c = tập nghiệm M =φ , v.v… Ví dụ Phương trình ax + x +1 = a a chứa tham số Các giá trị thừa nhận tham số xác định a>0 điều kiện Ví dụ Phương trình − a x2 + ( b − a ) x + b2 − a = chứa tham số điều kiện: a ≤1 Các giá trị thừa nhận tham số xác định b≥a Chẳng hạn 1.4 a, b a = 2, b = giá trị không thừa nhận tham số HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cho m phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) S1 S2 f2 ( x ) = g2 ( x ) , fm ( x ) = gm ( x ) ,…, fi ( x ) Sm miền xác định , , …, (Có thể xem i = 1, , m n x∈£n hàm biến, cách xem biến trên) m Hệ phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) f2 ( x ) = g2 ( x ) f ( x) = g ( x) m m (*) Nếu fi ( x ) phương trình có n gi ( x ) ( 1) ( 2) , ( *) ( m) hàm số ẩn, nghiệm số gi ( x ) , n biến, x = ( x1 , x2 , , xn ) a = ( a1 , a2 , , an ) phương trình xét miền xác định chung hệ m S = I Si ÷ i =1 kí hiệu hàm mệnh đề: “Giá trị x hai hàm số phương trình nhau” Một giá trị a∈S x làm cho phương trình trở thành đẳng thức fi ( a ) = gi ( a ) i = 1,2, , m đúng: , , gọi nghiệm hệ (*) Trong trường hợp này, ta nói hệ phương trình có nghiệm Nếu phương trình m M = I Mi fi ( x ) = gi ( x ) Mi có tập hợp nghiệm , tập hợp nghiệm hệ ; có phương trình hệ vơ nghiệm hệ vơ nghiệm i =1 Ví dụ Giải hệ phương trình R x − 5x + =0 x+3 x2 + x − = Ta thấy M = { 2,3} S1 = R \ { −3} , (2) , S2 = R M = { −3,2} , Vậy ( 1) ( 2) S1 ∩ S2 = S1 Tập nghiệm (1) M = M ∩ M = { 2} 1.5 TUYỂN PHƯƠNG TRÌNH Cho m phương trình S1 Sm f1 ( x ) = g1 ( x ) ,…, fm ( x ) = gm ( x ) x = ( x1 , x2 , , xn ) , …, (có thể coi i = 1, , m n hàm biến) m Ta gọi tuyển phương trình, kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) f2 ( x ) = g2 ( x ) f m ( x ) = g m ( x ) , với miền xác định , fi ( x ) , gi ( x ) , phương trình xét miền xác định tuyển, kí hiệu hàm mệnh đề: “Giá trị x hai hàm số phương trình nhau” Nếu có giá trị a∈S x thức đúng, chẳng hạn phương trình làm cho phương trình trở thành đẳng fk ( x ) = gk ( x ) trở thành đẳng thức đúng, fk ( a ) = gk ( a ) a , gọi nghiệm tuyển Trong trường hợp ta nói tuyển có nghiệm Nếu phương trình tuyển vơ nghiệm tuyển phương trình vơ nghiệm Ta thấy có phương trình tuyển đẳng S tuyển đẳng S m M = UMi i =1 Do đó, tập hợp nghiệm tuyển i i = 1, , m phương trình thứ , ; Mi tập nghiệm Ví dụ Giải tuyển phương trình x2 − = lg x = Ta thấy M = { 1} § 2.1 S1 = R , S2 = R + , M = M ∪ M = { −2,1,2} ( 1) ( 2) S = S1 ∩ S = R + Vậy M = { −2, 2} , SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA CÁC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, TUYỂN PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐỊNH NGHĨA P1 ( x ) P2 ( x ) Để cho gọn, ta viết , để hai phương trình hay hai hệ phương trình, tuyển phương trình ẩn hay n ẩn Định nghĩa M1 P1 ( x ) P2 ( x ) gọi hệ tập tập nghiệm Ta kí hiệu P1 ( x ) ⇒ P2 ( x ) M2 P1 ( x ) S tập nghiệm P2 ( x ) M ⊆ M , (trên S) Ví dụ P1 ( x ) : − x = x −1 ; P2 ( x ) : x − x − = M = { 2} M = { −1,2} P1 ( x ) ⇒ P2 ( x ) M1 ⊂ M Ta có , , , Định nghĩa P1 ( x ) khác đi, P1 ( x ) P2 ( x ) P2 ( x ) gọi tương đương tương đương S P1 ( x ) M1 = M P2 ( x ) Nói hệ Ta kí hiệu bởi: P1 ( x ) ⇔ P2 ( x ) P1 ( x ) ~ P2 ( x ) 10 ) Chú ý: Ta thấy tương đương phương trình (hệ phương trình, tuyển phương trình) có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Quan hệ tương đương định nghĩa thoả mãn tính chất quan hệ tương đương tập tất phương trình (hệ, tuyển) 20 ) Sự tương đương phương trình (hệ, tuyển) phụ thuộc vào trường sở Ví dụ Các phương trình x2 + = x4 + = ; ; x n + = ( n > 3) Q R tương đương (vì vơ nghiệm, C chúng khơng tương đương M = { ±i} ) Nhưng ; M = ± ( ± i ) π kπ M = cos + 2n n 2.2 M1 = M = M = φ ; π kπ + i sin + ÷ 2n n , k = 0,1, ,2 n − ÷ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Q trình giải phương trình trình biến đổi phương trình để đến phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Nếu phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình phương trình cho biến đổi tương đương, làm thay đổi miền xác định phương trình tập hợp nghiệm phương trình cho bị thay đổi Muốn biết rõ hơn, ta dựa vào định lí sau: f ( x) = g ( x) h( x) Định lí 1: Cho phương trình Nếu có nghĩa miền xác định phương trình cho thì: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) Chứng minh: Trong (1) cho x giá trị a thuộc miền xác định phương trình f ( x) = g ( x) , ta có: f ( a) = g ( a) ⇔ f ( a) + h( a) = g ( a) + h( a) mệnh đề ln ln đúng, tính chất đẳng thức Vậy (1) Hệ 1: Có thể chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình, phải đổi dấu 10 Bài tốn số Giải hệ phương trình: Phân tích: Ta sử dụng phương pháp giải thơng thường hệ phương trình đối xứng loại 2, trừ vế phân tích để hạ bậc lời giải: Trừ vế (1) cho (2), ta có: Thế vào (1), ta có Xét Khai thác toán: Bằng phương pháp giải toán tương tự: Giải hệ phương trình: a) b) CHỦ ĐIỂM MỘT SỐ BÀI TỐN KHƠNG MẪU MỰC Bài tốn số Giải phương trình: Phân tích: Khơng thể dùng phép biến đổi tương đương thông thường để giải phương trình làm tăng bậc cách đáng kể Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski: Điều kiện: 49 Dấu “=” xảy Vế phải Dấu “=” xảy Vậy hai vế Kết luận: phương trình có nghiệm Khai thác tốn: Dùng phương pháp tương tự giải tốn giải phương trình sau: 1) Bài tốn số Giải phương trình: 2005 dấu Phân tích: Để ý Lời giải: Điều kiện: Sau 2005 lần biến đổi trên, ta có: Khai thác tốn: Có thể lợi dụng tính chất 50 để tính tổng có dạng trên: n dấu n dấu Bài tốn số Giải phương trình Phân tích: Khơng nên sử dụng phép bình phương để làm vấy làm tăng bậc phương trình cách đáng kể Nếu đặt ẩn phụ phải biến đổi làm tăng bậc phương trình Để ý biểu thức dấu có dạng , ta có lời giải sau: Lời giải: Phương trình cho tương đương với Vì nên dấu “=” xảy Tương tự dấu “=” xảy Vậy vế trái: Vế phải Dấu “=” xảy Suy ra(1) Vậy phương trình có nghiệm Khai thác tốn: Ta giải phương trình cách tính giá trị lớn nhất, bé nhất( có) hai vế Đây phương pháp phổ biến , phương pháp đánh giá) Học sinh tự nêu giải phương trình tương tự.Chẳng hạn: Giải phương trình: 1) 2) Bài tốn số Giải phương trình: (2) 51 Phân tích: Nếu làm cách bình phương hai vế sử dụng ẩn phụ ta làm tăng bậc phương trình cách đáng kể Vậy nghĩ đến vài hướng khác, cố gắng biến đổi phương trình dạng kết hợp ẩn với ẩn phụ Lời giải: Cách 1: phưowng trình (2) tương đương với Cách 2: Sử dụng ẩn ẩn phụ Điều kiện: Đặt (1) ta hệ phương trình Trừ vế ta có: (do ) Thay vào (1’) ta Vậy phương trình có nghiệm Khai thác toán: Nếu sử dụng phương pháp giải nói ta giải số tốn tương tự sau: Giải phương trình: 52 1) 2) Bài toán số Giải hệ phương trình: Phân tích: Đây hệ phương trình bậc cao, đơn sử dụng phép biến đổi tương đương hệ phương trình chưa đến kết Do biểu thị ẩn tương tự có tính chất “hốn vị vịng quanh” nên ta xếp thứ tự ẩn trước biến đổi Lời giải: Giả sử Trừ vế phương trình (1) cho phương trình (3) Do Vậy Vậy Do đó: Thay vào (1) có: Khai thác toán: Chú ý đến xếp thứ tự ẩn giải tốn sau: Bài tốn 5.1: Giải hệ phương trình: Bài tốn 5.2: Giải hệ phương trình: BÀI TẬP CHƯƠNG VI BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Tìm miền xác định phương trình sau: 53 a) b) c) d) e) Tìm miền xác định phương trình a) b) c) d) Các phương trình sau có tương đương khơng? 1) 2) 3) 4) 5) 6) Các phương trình sau có tương đương khơng? Nếu khơng, tìm điều kiện để chúng tương đương: 1) 2) 3) 4) Xét hai phương trinh: Cho ví dụ trường số K cho: 1) 2) đảo lại không đúng; 3) đảo lại không đúng; 54 Giải biện luận phương trình: a) b) c) d) Giải biện luận phương trình sau: a) b) c) Giải phương trình: a) b) Với điều kiện m phương trình sau vơ nghiệm a) b) 10 Với điều kiện tham số phương trình sau có vơ số nghiệm? a) b) c) 11 Với điều kiện m phương trình sau có nghiệm? a) b) 12 Với giá trị k phương trình sau có nghiệm kép? 13 Với giá trị k phương trình sau có nghiệm gấp đơi nghiệm kia? 55 14 Cho phương trình Lập phương trình bậc hai có nghiệm , nghiệm phương trình cho 15 Giải biện luận phương trình sau: a) b) c) 16 Gọi nghiệm phương trình khơng cần giải phương trình a) Tính b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm 17 xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt c) Có nghiệm âm 18 Tìm giá trị a cho hai nghiệm phương trình lớn 19 Gọi nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính 20 xét phương trình Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hãy so sánh nghiệm với a,b,c 21 Xét phương trình a) Xác định p q để phương trình ln có hai nghiệm p q b) Tìm điều kiện p q để phương trình có hai nghiệm âm 22 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 23 xác định a cho hai phương trình 56 có nghiệm chung 24 Giải phương trình: a) b) c) 25 Giải phương trình: a) b) 26 Giải phương trình: a) b) c) 27 Tìm điều kiện a, b, c, d, e để phương trình đưa giải phương trình bậc hai cách chia hai vế cho 28 Giải phương trình: a) b) c) 29 Giải phương trình: a) b) c) d) 30 Giải biện luận phương trình: a) b) c) 57 d) 31 Giải phương trình sau: a) b) c) d) 32 Giải phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) 33 Giải biện luận phương trình sau: a) b) 34 Tìm k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: 35 Tìm a để phương trình sau có nghiệm nhất: 36 Giải phương trình sau cách đưa giải phương trình bậc hai: a) b) c) d) e) 37 Giải phương trình sau : 58 a) b) 38 Giải phương trình sau: a) b) c) d) 39 Giải phương trình sau: a) b) c) 40 Giải phương trình sau: a) b) c) d) 41.Giải phương trình sau: 42 Giải phương trình sau cách phân tích vế trái thành nhân tử: a) b) c) 43 Giải hệ phương trình sau: 59 44 Giải hệ phương trình: 45 Giải phương trình sau: a) b) c) 46 Giải phương trình sau: a) b) c) 47 Giải phương trình sau: a) b) c) 48 Giải phương trình sau: a) b) c) 49 Giải biện luận phương trình: 50 Giải biện luận phương trình: a) b) BÀI TẬP THƯC HÀNH GIẢI TOÁN 60 Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình: Giải hệ Giải hệ phương trình: Giải phương trình: a) b) Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình: 10 Giải hệ phương trình: Bài tập lớn chương Hãy đọc kĩ phần lí thuyết phương trình hệ phương trình sách giáo khoa Tốn THCS, phân tích bình luận Chú ý đến tính khoa học, tính sư phạm, đặc biệt định nghĩa phương trình Hãy hệ thống hóa tập phương trình hệ phương trình sách giáo khoa sách tập tốn THCS, bình luận, đề xuất kiến nghị toán hay TỔNG KẾT CHƯƠNG VI Kiến thức 61 Vấn dề phương trình, hệ phương trình nội dung xuyên suốt chương trình đại số trường THCS, phong phú, đa dạng Trong chương trình khóa chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, vấn đề đề cập thường xun Khơng thân sinh viên cần có kĩ tốt mà phải biết hướng dẫn, giảng dạy, rõ cho học sinh ( đại trà, nâng cao) cơng đoạn việc giải tập mẫu, biết khai thác để tạo tập tương tự khái quát thuộc nội dung nêu chủ điểm giáo trình • Định nghĩa phương trình, nghiệm phương trình, hệ phương trình, tuyển phương trình • Phương trình hệ quả, tương đương phương trình • Nghiệm ngoại lai, nghiệm Các kết • Hai định lí biến đổi tương đương phương trình ( cộng nhân) hệ • Hai định lí hệ phương trình tương đương ( làm sở cho phương pháp phương pháp cộng) • Bốn định lí phương trình vơ tỉ Kĩ • Giải thành thạo phương trình bậc nhất, bậc hai phương trình quy bậc nhất, bậc hai, áp dụng định lí Viets • Giải vững phương trình vơ tỉ thơng thường • Biết cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn • Giải số phương trình hệ phương trình bậc cao dạng chuẩn • Có thói quen biết đặt điều kiện giải phương trình, hệ phương trình • Có kĩ biện luận, khơng để sót trường hợp • Có kĩ tính tốn số Hướng dẫn Đây chương có tính đặc thù đại số sơ cấp nên dành nhiều thời gian lớp Cần trình bày rõ khái niệm phương trình, dù khái niệm 62 sử dụng từ sớm thường xuyên chưa định nghĩa tường minh chuẩn xác Hai định lí phép biến đổi tương đương phương trình sử dụng chứng minh khơng q khó khăn, song cần rõ giá trị chúng Các định lí phương trình vơ tỉ giúp cho sinh viên củng cố lại kiến thức số, rèn luyện thêm kĩ biện luận nên cần ý đến chứng minh áp dụng Tuy vậy, tiết nêu loại phương trình, hệ phương trình cụ thể ( bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối,…) lại dễ, sinh viên gặp q trình ơn tập chuẩn bị thi vào Đại học Cao đẳng nên để sinh viên tự đọc chuẩn bị cá nhân trước trình bày cho hướng dẫn thầy Như phát huy tính tích cực hơn, sinh động thu kết tốt 63 ... thức g ( x) biểu thức đại số phương trình đại số, số trường hợp trái lị việt Nếu hai biểu thức f ( x) ( 1) phân thức hửu tỉ) g ( x) ( 1) ( 1) là phương trình siêu biểu thức đại số hữu tỉ (đa thức... TRÌNH ĐẲNG CẤP (thuần nhất) Ví dụ Giải hệ phương trình ? ?6 x − x y + y x = (1) ? ?6 x + yx + y x = Giải 36 x3 (6 x − xy + y ) = (1) ⇔ (2) 2 x (? ?6 x + yx + y ) = Hệ (2) có vô số nghiệm... nghĩa với giá trị số α , β , , γ x trường số hệ thống giá trị không thừa nhận tham số f ( x, a, b, , c ) = x ∈£ n a, b, , c Phương trình với ẩn số tham số gọi phương trình chứa tham số Khi có hệ thống