ĐẠI số sơ cấp CHƯƠNG 4

Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ giáo dục và đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường cao đẳng sư phạm, đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc chuẩn hóa giáo viên THCSmà sao đây sẽ gọi chung là “sinh viên” Trong chương trình mới, môn “đại số sơ cấp” được kết hợp với một phần môn “thực hành giải toán” thành môn “đại số sơ cấp và thực hành giải toán”, song song với môn “hình học sơ cấp và thực hành giải toán”. Do vậy giáo trình gồm bảy chương: Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lý luận chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và về các phương pháp suy luận và tư duy toán học, sau đó là một số bài tập áp dụng trong hai chủ điểm thực hành Chương 2 (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS. Vì thế phần lý thuyết chỉ nhằm hệ thống hóa các kiến thức về xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, các phép toán và các quan hệ trên các tập số đó. Nội dung chính của chương này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguyên tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương 3 (đa thức, phân thức hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, trường các phân thức hữu tỉ, các phép toán trên chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức, phân tích phân thức…), trong đó có những kiến thức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của đại số sơ cấp. Chương 4 (căn số và các phép biến đổi vô tỉ) là một phần quan trọng của các phép biến đổi đại số. Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là “các phép biến đổi đại số” Chương 5 (hàm số và đồ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ cấp và các phép biến đổi sơ cấp các đồ thị. Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình đại số sơ cấp cũ. Chương 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về các phương trình, hệ và tuyển phương trình. Sau khi trình bày về sự tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã xét nhiều dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình) là một trong những chương quan trọng của giáo trình. Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương pháp thường dùng để chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn đề về bất phương trình tương tự như đối với phương trình.

MỤC LỤC CHƯƠNG IV: CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ .2 § CĂN SỐ CỦA CÁC SỐ THỰC 1.1 ĐỊNH LÍ .2 1.2 CĂN SỐ SỐ HỌC .2 1.3 NHẬN XÉT VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ 1.4 ĐỊNH NGHĨA CĂN SỐ 1.5 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ CĂN SỐ 1.6 CÁC HỆ QUẢ (của định lí 1.1, 1.5 định nghĩa số) 1.7 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP KHAI CĂN 1.8 CÁC HỆ QUẢ 1.8.1 Nâng một thức lên luỹ thừa 1.8.2 |Khai một luỹ thừa 1.8.3 Đưa thừa số ngoài dấu .7 1.8.4 Đưa một thừa số vào .7 1.8.5 Tìm thừa số liên hợp .8 1.9 QUY ĐỒNG BẬC CỦA CÁC CĂN § CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI VÔ TỈ THƯỜNG GẶP .9 2.1 PHÉP “GIẢN LƯỢC” CĂN THỨC CỦA TÍCH 2.2 PHÉP “GIẢN LƯỢC” CĂN THỨC CỦA THƯƠNG 2.3 NÂNG MỘT CĂN THỨC LÊN LUỸ THỪA 2.4 LUẬT PHÂN PHỐI 10 2.5 NHÂN, CHIA CÁC CĂN THỨC CÓ CHỈ SỐ BẬC KHÁC NHAU 10 2.6 ĐA THỨC CỦA MỘT CĂN THỨC 10 2.7 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI “PHỨC TẠP” 10 § NHÂN TỬ LIÊN HỢP 11 3.1 ĐỊNH NGHĨA 11 3.2 TÌM NHÂN TỬ LIÊN HỢP 11 3.3 VÍ DỤ VÀ THỰC HÀNH .13 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG IV 14 CHỦ ĐIỂM CĂN SỐ - CĂN SỐ SỐ HỌC .14 CHỦ ĐIỂM BIẾN ĐỔI VÔ TỈ - NHÂN TỬ LIÊN HỢP 17 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 21 CHƯƠNG IV: CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ § CĂN SỐ CỦA CÁC SỐ THỰC Trong tiết này ta xét số thực Ta sử dụng bổ đề quen biết sau: Cho một dãy đoạn thắt nghĩa là và thì tồn một điểm chung đoạn thẳng tḥc dãy Sử dụng bổ đề đó, ta chứng minh được: 1.1 ĐỊNH LÍ Với số tự nhiên số thực không âm A bất kì, tồn số thực khơng âm x cho lũy thừa bậc n x A Chứng minh: Xét dãy (1) Trong dãy (1) tồn mợt sớ lớn A ta kí hiệu p + là số tự nhiên bé nhất mà , nghĩa là Ta chia đoạn [p, p + 1] thành 10 phần nhau, và giả sử 1.2 CĂN SỐ SỐ HỌC Định nghĩa Giả sử A là một số thực không âm Số thực x không âm cho được gọi là số học bậc n (n) sớ A và được kí hiệu bởi: Sớ n được gọi là bậc hay số sớ và kí hiệu , là mợt kí hiệu hoàn toàn xác định Ví dụ là sớ sớ học số tương ứng dấu 1.3 NHẬN XÉT VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ a) Nếu thì và , tức là lũy thừa lẻ một số thực thì dấu với số b) Nếu thì với x tức là lũy thừa chẵn một số thực bất kì luôn là một số không âm c) Nếu thì , tức là lũy thừa chẵn hai số thực đối nhau 1.4 ĐỊNH NGHĨA CĂN SỐ Giả sử A là một số thực cho, n là số tự nhiên lớn Căn số bậc n sớ A là mợt sớ thực x (nếu có) cho Nếu x tồn tại, ta nói: sớ thực A có sớ (thực) bậc n là x Dựa vào định lí 1.1 và nhận xét 1.3, ta thấy rằng: Nếu n là số lẻ (), A tùy ý thì x được xác định nhất, x dấu với A Vậy số bậc lẻ một số thực x nhất dấu với A , ta có k 1 A thể ký hiệu x  Ví dụ  2, 32  2, 27  3 k 1 A là số học định nghĩa Chú ý: Khi n lẻ, A  thì x  a) Nếu n là số chẵn ( n  2k , A  0) thì không tồn bậc n A (nhận xét b) 1.3) Vậy một số thực âm, khơng có sớ bậc chẵn Đới với sớ thực, kí hiệu 1, 16 là khơng có nghĩa b) Nếu n là sớ chẵn ( n  2k , A  0) thì theo định lí 1.1 tồn nhất n một số thực x �0 cho x  A , được gọi là số số học bậc 2k A , 2k cịn giá trị là sớ đới là  A Ví dụ 2 1) Căn bậc hai là 3 và 3 vì (3)  và (3)  Ta dùng kí hiệu  3 để bậc hai số học 9, giá trị bậc hai là 3   Chú ý: Không được viết  �3 4 2) Căn bậc bốn 16 là 2 và 2 , vì (2)  16 và (2)  16 Ta dùng kí hiệu 16  2 để bậc bớn 16, cịn giá trị số bậc bốn là 2   16 3) Căn số bậc bất kì Qua điều trình bày số số thực, cần nhớ kết luận sau đây: 1.5 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ CĂN SỐ Mỗi số thực có thức bậc lẻ dấu với Các số thực âm khơng có số thực bậc chẵn Mỗi số thực dương a có hai số thực bậc chẵn đối nhau, giá trị dương gọi số số học kí hiệu 2k a Căn số bậc Như đối với thức bậc chẵn số thực A : viết �A �0 � � 2k rằng: � A �0 2k A phải nhớ (� �c� n c�ngh� a) (� � nh ngh� a c� n s�h� c) 1.6 CÁC HỆ QUẢ (của định lí 1.1, 1.5 định nghĩa số) a) Nếu a �0 thì n an  a Điều này suy từ định nghĩa số b) Với số thực a , ta có k 1 2k a k 1  a a � a2k  a  � a � khi a �0 a0 Đẳng thức thứ nhất suy từ định nghĩa số Đẳng thức thứ hai suy từ định nghĩa số và quy ước số số học: dấu hai giá trị đối số bậc chẵn Ví dụ 16  4, (4)2  16   (4) 2k để giá trị không âm (2)  16   (2) x  � ( x  1)6  x   �  x  � c) Với số thực a , k 1 x �1 x  được xác định nhất và ta có a   k 1 a k 1 a được xác định nhất theo định lí 1.5 Nếu Thật vậy, a �0 thì a  thì  a  a  và ta áp dụng định lí 1.5 Ví dụ 8    2 243   243  3 d) Giả sử a, b �0 Thế thì với sớ tự nhiên n �1 , ta có n a  n b � a  b � a n  bn n a  n b � a  b � an  bn n a  n b � a  b � a n  bn n Điều suy từ tính đơn điệu luỹ thừa x thấy chứng minh định lí 1.1 Chú ý 1: Nếu a, b là số thực tuỳ ý và n là số chãng thì thì mệnh đề này khơng đúng Ví dụ: 10  5,  10   100  52  25 7  2,  7   49   2    6  2  62 , 6 �6 Chưa kể là n chãn thì bậc chẵn số âm khơng có nghĩa Chú ý 2: Tuy nhiên n là số lẻ thì mệnh đề này vẫn đúng, tức là: n 1 a  n1 b � a  b � a n1  b n1 , a, b �R n 1 a  n1 b � a  b � a n1  b 2n1, a, b �R 1.7 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP KHAI CĂN Sau ta xét sớ sớ thực khơng âm, cịn trường hợp riêng được ghi chú Thay cho sớ ta nói chú ý đến giá trị, cịn nói thức nói đến phép biến đổi a) Căn tích tích bậc thừa sớ n a1.a2 ak  n a1 n a2 n ak , ai �0, i  1,2, , k Chứng minh: Bằng cách nâng hai vế lên luỹ thừa bậc n:  n a1.a2 ak   n n   n a1 n a2   n n ak  n ( luỹ thừa mợt tích ) = a1.a2 ak ( định nghĩa số ) ( ĐPCM ) Chú ý: Nếu a1.a2 ak là sớ thực tuỳ ý thì thức này cịn đúng với thức bậc lẽ ( n = 2k + 1) b) Căn một thương thương bậc tử số và mẫu số n a na  a �0, b  b nb Chứng minh: Cũng cách nâng luỹ thừa hai vế lên bậc n Chú ý: Nếu a, b là số thực tuỳ ý b �0 thì thức này đúng với thức bậc lẽ ( n = 2k + 1) c) Nâng bậc và hạ bậc thức: Căn bậc n một số a bậc k nk số a : n a  nk a k , a �0 nói cách khác chia bậc thức và bậc luỹ thừa cho một ước chung Chứng minh: Cũng cách nâng hai vế lên luỹ thừa bậc nk Chú ý: Nếu a < thì công thức vẫn đúng n lẻ, k lẻ Ngay n lẻ k chẵn không được áp dụng công thức a < 0, vì vế trái là sớ âm cịn vế phải là sớ dương ( sớ sớ học) Ví dụ: a = -8, n = 3, k = 2, ta có 8  2 �3.2  8   64  2 d) Căn một một số sớ với bậc tích bậc cảu thức cho: n k a  nk a , a �0 Chứng minh: Bằng cách nâng hai vế lên luỹ thừa bậc nk Chú ý: Nếu a < thì công thức vẫn đúng n lẻ, k lẻ Cịn nhất mợt hai số n, k chẵn thì số nghĩa với a < 1.8 CÁC HỆ QUẢ Ta vẫn tiếp tục giả thiết số là không âm 1.8.1 Nâng một thức lên luỹ thừa Muốn nâng một thức lên luỹ thừa ta cần nâng sớ lên luỹ thùa đó:   n a k  n a k , a �0 Trong tính chất a) 1.7 ta cần đặt a1  a2   ak  a , ta được ĐPCM 1.8.2 |Khai một luỹ thừa Để khai bậc n một luỹ thừa bậc k một số a, ta cần nâng bậc n số a lên luỹ thừa bậc k: n ak   a n k , a �0 Đây là một cách phát biểu khác hệ Chú ý: Công thức vẫn đúng với a < 0, n lẻ, k tuỳ ý Ví dụ: Với k = 2, n = 3, a = - 8, ta có:  8  64    2    8  1.8.3 Đưa thừa số dấu n a n b  a n b , a, b �0 Chứng minh: n a n b  n a n n b  a n b , a, b �0 , dùng tính chất a 1.7 Chú ý: Nếu a < 0, b < 0, công thức vẫn đúng với n lẻ Nếu b �0 , a tuỳ ý và n chẵn ( n = 2k )thì công thức trở thành: 2k a k b  a k b , a, b �0 1.8.4 Đưa một thừa số vào Đây là một trình ngược với đưa thừa số ngoài ( hệ ) Chú ý: Cũng trên, a < 0, b < 0, công thức vẫn đúng với n lẻ Với a < 0, b �0 , n chẵn ( n = 2k ) cơng thức trở thành: a k b  k a k b hay a.2 k b   k a k b ,a, b �0 1.8.5 Tìm thừa số liên hợp A  a  b  a �0, b �0  B  a  b được gọi là thừa số Giả sử liên hợp A và A.B = a – b không chứa số A gọi là thừa số liên hợp B Nhiều ta cần nhân chia một biểu thức chứa số với lượng liên hợp để khử sớ tử mẫu số ( xem bài tập ) trường hợp tổng quát nhân tử liên hợp được xét chương 1.9 QUY ĐỒNG BẬC CỦA CÁC CĂN Mệnh đề Có thể đưa thức có bậc khác về thức bậc mà vẫn giữ nguyên giá trị tương đương chúng Chứng minh: Giả sử: a1 , n2 a2 , , nk ak , �0, i  1,2, , k n1 Là thức cho Giả sử n là bội số chung n1 , n2 , , nk và d1 , d , , d k là thừa số phụ tương đương, tức là: n  n1d1 , n  n2 d , , n  nk d k Khi theo tính chất c) 1.7 ta thay thức cho thức chúng cụ thể sau: a1  n1 a1d1 , n2 a2  n2 a2 d2 , , nk ak  nk ak dk n1 Ví dụ: Quy đồng bậc thức a , b , c , 10 d , 15 e , f  a, , f �0  Ta được thức lần lượt chúng a15 , 30 b10 , 30 c , 30 d , 30 e , 30 f 30 Hệ quả: Để so sánh số ta cần so sánh số sánh số nm m a , nm b : n a �۳ b Ví dụ so sánh nm nm a n a , m b ta cần so b 5, , ta có:  53  125,  62  36 125  36 �  Chú ý: ta dựa vào luỹ thừa với số mũ hửu ty n m n a  a , a  0; m, n �N * m tính chất và cơng thức đưa tính chất luỹ thừa với sớ mũ hưu tỉ § CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI VÔ TỈ THƯỜNG GẶP Dưới ta một số phép biến đổi vô tỉ thường gặp nhất, dựa tính chất sớ chứng minh bài Để định ý, ta xét số số học và tương đương với điều đó, chữ nằm dấu biểu thị sớ 10 Khi biến đổi biểu thức có chứa số, việc tìm nhân tử liên hợp nhiều trường hợp giúp ta thực phép tính nhanh hơn, thu được kết đẹp hơn, gọn 3.1 ĐỊNH NGHĨA Giả sử S là một biểu thức vô tỉ Ta gọi nhân tử liên hợp S là biểu thức M, không đồng nhất khơng, cho tích SM là mợt biểu thức hữu tỉ (không chứa thức nữa) giảm bớt một tầng thức Khi biểu thức S là nhân tử liên hợp biểu thức M Chú ý: Nhân tử liên hợp không nhất, ta cố gắng tìm nhân tử đơn giản Sau ta tìm nhân tử liên hợp đối với một số dạng biểu thức vơ tỉ đặc biệt 3.2 TÌM NHÂN TỬ LIÊN HỢP 3.2.1 Đới với biểu thức p, q,…, r là số tự nhiên nhỏ n, ta lấy biểu thức liên hợp là Thật vậy, SM = XY…Z 3.2.2 Đối với biểu thức thì biểu thức liên hợp là Thật vậy, ta có: Chẳng hạn, với thì , với thì 3.2.3 Nếu (với n = 2, n lẻ) thì Khi S.M = X + Y Chẳng hạn, với thì , với 13 thì 3.2.4 Trường hợp S là một đa thức mợt bậc hai Khi S có dạng tổng quát là: là đa thức X (xem §2; 6) Biểu thức liên hợp S là: M vì ta có 3.2.5 Trường hợp tổng quát S là một đa thức nhiều bậc hai: f(x, y,…, z) là mợt đa thức đối số x, y,…, z Để tìm biểu thức liên hợp S, ta thực liên tiếp trình nói điểm trên: Trước hết, ta xem f(x, y,…, z) là một đa thức đối sới x, viết S dạng là đa thức X và lại thì nhân tử liên hợp là: vì không chứa mà chứa Y,…,Z Đới với nó, ta tìm nhân tử cho không chứa thức và và là mợt đa thức cịn lại Áp dụng lí luận đới với cịn lại, cuối ta được biểu thức không chứa thức Khi biểu thức: là nhân tử liên hợp phải tìm S 3.2.6 Trường hợp một phân thức có chứa Ta xét phân thức nhất mợt biểu thức , có chứa Các biểu thức liên hợp cho phép ta giải phóng tử thức mẫu thức S khỏi Nếu là nhân tử liên hợp mẫu thì: (điều kiện ) Vế phải là mợt biểu thức khơng chứa thức mẫu thức Tương tự, là nhân tử liên hợp tử thức thì: 14 là một biểu thức khơng chứa tử thức 3.3 VÍ DỤ VÀ THỰC HÀNH Ví dụ Khử thức mẫu thức Ta có: Ví dụ Khử thức tử sớ phân thức Ta có: Ví dụ Tìm mợt nhâ tử liên hợp biểu thức Giải: Nhân S với ta được: lại nhân tích thu được với ta được biểu thức hữu tỉ Vậy nhân tử liên hợp s là THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG IV CHỦ ĐIỂM CĂN SỐ - CĂN SỐ SỐ HỌC Bài toán số Giải phương trình: Phân tích: 15 Trong dấu căn, biểu thức có dạng (k, B là hằng) Vậy tính giá trị nhỏ nhất mợt vế trái, ta có lời giải sau: Lời giải: Phương trình cho tương đương với mà 5(x – 1)2 �1, nên Tương tự Vậy vế trái 4( x  1)  �3 5( x  1) 1 + 4( x  1)  �4 � � 5( x  1)  1 �� 4( x  1)   � x 1 � � Dấu “ =” xảy Khai thác toán: Ta sử dụng thức ( và tính đồng biến hàm sớ y  x ) để giải bài tốn Tương tự ta có bài toán sau: Bài toán 1.1: Giải phương trình: x  28 x  32  x  20 x  29  Bài toán 1.2: Giải phương trình: x  12 x   3x  x  19   x  x Bài toán số Rút gọn biểu thức: A  x2  1   x2   2 x x với x �0 Phân tích: Có thể biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương tổng để đưa ngoài dấu Lời giải: 1 A  ( x  )2  ( x  )2 x x 16  x  1  x x x x2   x2  x �2 neu x �1 hoac x �1 �x � A� 2x �  neu  1 x 1 va x �0 � x � Khai thác tốn: Có thể giải bài tốn tương tự: Rút gọn biểu thức: B  x2  C 1   4x2   2 4x 4x x2 y  2 y x2 x2 y  2 y x2 Bài toán số Rút gọn biểu thức: A x2  2x  x2  x   x 1 x2 Phân tích: Biểu thức dấu nhóm thành bình phương tổng (hiệu) nên ta có lời giải sau: Lời giải:  x  � ( x  1) ( x  2) x  x  � A    � x 1 � � x 1 x2 x 1 x  � x2 � � Khai thác tốn trên: Ta nêu bài toán tương tự: 17 Bài toán 3.1: Rút gọn biểu thức: x2  6x   x  x2  x3 2 x B Bài toán 3.2: Giải phương trình: x 1  x  x  16 x4 Bài tốn 3.3: Tính C 2  21  1 3 Bài toán số Phát sai lầm lập luận: “ Muỗi nặng voi” sau: Giả sử muỗi nặng m(kg), voi nặng V(kg) Ta có: V  2Vm  m  m2  2Vm  V Tức là: (V- m)2 = (m –V)2 Suy V – m = m – V Do 2V = 2m Vậy V = m, nghĩa là muỗi nặng voi (!) Phân tích: Sai lầm là chỗ từ A2 = B2 không suy được A = B ( nói chung) Lời giải: Từ (V- m)2 = (m –V)2 lấy bậc hai hai vế ta suy V  m  m V Do lập luận sai chỗ (V- m)2 = (m –V)2 suy V–m=m–V mà thực tế hai vế là hai sớ đới Khai thác tốn: 18 Có thể đặt bài tốn ngụy biện khác, chẳng hạn: Bài toán 4.1: Chứng minh người trái đất cao Bài toán 4.2: Chứng minh số thực số đối nó, sớ thực khơng (!) CHỦ ĐIỂM BIẾN ĐỔI VÔ TỈ - NHÂN TỬ LIÊN HỢP Bài toán số Rút gọn biểu thức: A  2x   2x   2x   2x  Phân tích: Có thể xử lí tầng cách tách biểu thức dấu thành bình phương một tổng hiệu Lời giải: A  ( x   1)  ( x   1) , điều kiện x � A 2x    2x   Khi x �0 �2 � A� 2 x  Khi  �x  � � Khai thác toán: Kĩ thuật xử lí “ tầng” cách nhóm thành bình phương nói chung là thường dùng để làm gọn biểu thức vô tỉ Với chú ý vậy, ta giải bài tốn sau: Bài tốn 1.1: Tính biểu thức: B   x2    x2  C   x2    x2  Bài tốn 1.2: Tính biểu thức: D 2  2 A 42  42 19 Bài toán số 4a   a  a   a  (n �1) 1444442444443 n dau can Phân tích: Để ý 4a   4a   � a   � a a � � � � Ta “ ” khỏi dấu từ Lời giải: 4a   4a  a  a   a   a  a   a  2 1444442444443 4 44 4 4 43 n 1 dau can n dau can =… = a 4a   ( sau n bước) Khai thác toán: a) Cho a giá trị khác ta có bài tốn Tính: 21  S      4 44 4 4 43 n dau can 13  P      4 44 4 4 43 n dau can b) Coi x là ẩn, giải phương trình: 20 4x  1 x  x   x  1 4 4 42 4 4 43 n dau can Bài toán số Tính tổng: S 1 1     1 3 4 n  n 1 Phân tích: Các mẫu sớ là tổng mà biểu thức dấu đơn vị vì ta nghĩ đến việc khử mẫu cách nhân với biểu thức liên hợp Lời giải: S 1 3 n  n 1    1 32 n  ( n  1)  n 1 Khai thác toán: Bằng phương pháp tương tự ta giải bài tốn sau Bài tốn 3.1: Tính tổng: P 1 1     1 5 9  13 4n   4n  Bài toán 3.2: Giải phương trình: x  x 1  1    44 x 1  x  x  2007  x  2008 Bài toán số Rút gọn biểu thức: �2a  a  2a a  a  a � �a  a � M 1 �  � � � 1 a a � 1 a � �2 a  � Phân tích: Cần rút gọn hạng tử trước quy đồng để việc tính tốn được nhanh gọn Lời giải: 21 �( a  1)( a  1) ( a  1)(2a  a ) � �a  a � M 1 �  � � � �(1  a )(1  a ) (1  a )(1  a  a ) � �2 a  � 1 a  � a  a � a ( a  1) 1 � � 1 a � 1 a  a � a 1 1 a 1 a  a 1 a  a  a ( điều kiện = = = a �0 � � a �1 � ) Khai thác tốn: Bằng việc phân tích, rút gọn hạng tử, kết thực phép tính nhanh và xác Bằng phương pháp tương tự ta giải bài tốn sau: Bài tốn 4.1: Rút gọn biểu thức: N � a 1 a a 1 a a 1 � � a 1 �  �a   � � � a a a a � a� a 1� � a 1 Bài toán 4.2: Rút gọn biểu thức: � a 1 � ab  a �� a  ab  a P�  :   1� �� ab  �� ab  ab  � ab  � BÀI TẬP CHƯƠNG IV BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Xét biểu thức: � �2a  �� a  a3 B�   a � � � a  a  1  a a  � � �� � � a) Rút gọn B b) Xét dấu biểu thức B  a Xét biểu thức: 22 � x ( x  2) P�  �x  x  4 x  32 �� �  1 �:� � x  x x  �� x 2� a) Rút gọn P b) Tìm giá trị P, biết x   c) Tính giá trị x, biết P = Xét biểu thức: Q  x 1  x x3  x x 1  x 1  x a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > c) Tính giá trị Q x 53 92 Xét biểu thức: � a 1 �� a  � ab  a ab  a M �   1� :�   1� ab  ab  � ab  �� ab  � a) Rút gọn M b) Tính giá trị M a   và c) Tìm giá trị nhỏ nhất M A 1� a b� x �  � 2 b a x  x  � � Trong trường hợp: a) a > 0, b > b) a < 0, b n > Tính 1    2 2004  2005 ; a)  25 b) 2 3  2 3 Tính x  ax  3a T 2 x  5ax  3a với x  a  ( x  y )  xy x y  y x  x  y xy Tính � � 30 P�  424  80 �   � � 10 Rút gọn Bài tập lớn chương Hãy đọc kĩ phần lí thuyết sớ sách giáo khoa Tốn THCS, phân tích và bình luận Chú ý tính khoa học, tính sư phạm Có thể đọc xa hơn, đến ứng dụng vấn đề sớ chương trình Tốn THPT Hãy hệ thống bài tập số sách giáo khoa và bài tập Toán THCS, bình luận và đề xuất kiến nghị, bài tập hay Tổng kết chương Kiến thức Học xong chương này sinh viên cần nắm vững:  Định nghĩa và tồn số số thực không âm, tồn và nhất số bậc lẻ, tồn hai giá trị đối số bậc chẵn số thực dương, cần thiết phải có quy ước số số học và dấu 2n  Các tính chất sớ, từ có quy tắc biến đổi vô tỉ Kĩ  Kĩ số số học Không nhầm lẫn tính tốn Khơng bỏ sót trường hợp biện luận  Kĩ biến đổi vô tỉ, kĩ biện luận trường hợp Kĩ tìm nhân tử liên hợp Hướng dẫn 26  Đây là một chương ngắn là một chương đặc thù Đại số sơ cấp Vấn đề số và biến đổi vô tỉ thường gây rắc rối và sợ hãi cho học sinh phổ thông Vì vậy, cần để sinh viên thấy rõ cần thiết, tất yếu quy ước số học, và biến đổi biểu thức vô tỉ thoải mái biến đổi hữu tỉ Chương này với chương lập thành một phần chương trình ĐSSC là “ phép biến đổi đại số”, làm sở cho giáo trình Về thực hành: Ngoài bài tập cho sinh viên có giáo trình, phần “thực hành giải toán” cung cấp thêm cho sinh viên mợt sớ bài tốn mẫu số và biến đổi vô tỉ, mức độ bồi dưỡng học sinh khá, đề thi lớp chuyên, có câu hỏi khó đề thi tớt nghiệp THCS Do đó, sinh viên khơng phải giải được thành thạo bài mà cịn biết cách giảng dạy, khai thác, phân tích cơng đoạn việc giải và thao tác tư giải bài tốn  27 ... a   a  2 144 444 244 444 3 4 44 4 4 43 n 1 dau can n dau can =… = a 4a   ( sau n bước) Khai thác toán: a) Cho a giá trị khác ta có bài tốn Tính: 21  S      4 44 4 4 43 n dau can 13... 2  2 A 4? ??2  4? ??2 19 Bài toán số 4a   a  a   a  (n �1) 144 444 244 444 3 n dau can Phân tích: Để ý 4a   4a   � a   � a a � � � � Ta “ ” khỏi dấu từ Lời giải: 4a   4a  a ... 13  P      4 44 4 4 43 n dau can b) Coi x là ẩn, giải phương trình: 20 4x  1 x  x   x  1 4 4 42 4 4 43 n dau can Bài tốn số Tính tổng: S 1 1     1 3 4? ?? n  n 1 Phân