Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ giáo dục và đào tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường cao đẳng sư phạm, đồng thời có thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc chuẩn hóa giáo viên THCSmà sao đây sẽ gọi chung là “sinh viên” Trong chương trình mới, môn “đại số sơ cấp” được kết hợp với một phần môn “thực hành giải toán” thành môn “đại số sơ cấp và thực hành giải toán”, song song với môn “hình học sơ cấp và thực hành giải toán”. Do vậy giáo trình gồm bảy chương: Chương 1 (giải bài toán như thế nào) trình bày một số lý luận chung về thực hành giải toán (cách giải một bài toán) và về các phương pháp suy luận và tư duy toán học, sau đó là một số bài tập áp dụng trong hai chủ điểm thực hành Chương 2 (các tập hợp số) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải toán số học, một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS. Vì thế phần lý thuyết chỉ nhằm hệ thống hóa các kiến thức về xây dựng tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số Z, mở rộng tập số Z thành tập số hữu tỉ Q, mở rộng tập Q thành tập số thực R, các phép toán và các quan hệ trên các tập số đó. Nội dung chính của chương này là các chủ điểm trong phần thực hành giải toán về số nguyên tố, tính chia hre6t1, UCLN, BCNN, phương trình nguyên… Chương 3 (đa thức, phân thức hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ và biến đổi hữu tỉ), gồm có việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn, trường các phân thức hữu tỉ, các phép toán trên chúng (chia đa thức, phân tích thành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức, phân tích phân thức…), trong đó có những kiến thức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của đại số sơ cấp. Chương 4 (căn số và các phép biến đổi vô tỉ) là một phần quan trọng của các phép biến đổi đại số. Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của môn đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là “các phép biến đổi đại số” Chương 5 (hàm số và đồ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ cấp và các phép biến đổi sơ cấp các đồ thị. Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình đại số sơ cấp cũ. Chương 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về các phương trình, hệ và tuyển phương trình. Sau khi trình bày về sự tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã xét nhiều dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, …) Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình) là một trong những chương quan trọng của giáo trình. Ngoài việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương pháp thường dùng để chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn đề về bất phương trình tương tự như đối với phương trình.
MỤC L CHƯƠNG II: CÁC TẬP HỢP SỐ § TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 1.1 ĐỊNH NGHĨA 1.2 QUAN HỆ THỨ TỰ 1.3 SỐ LIỀN SAU 1.4 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN TRÊN � .5 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lí 1.5 PHÉP TRỪ 1.6 PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 1.7 LŨY THỪA .6 § VÀNH SỐ NGUYÊN .6 2.1 XÂY DỰNG VÀNH SỐ NGUYÊN 2.2 PHÉP TOÁN TRONG � 2.2.1 Phép trừ 2.2.2 Cách viết số nguyên .7 2.2.3 Thực hành phép cộng � .8 2.2.4 Thực hành phép nhân � .9 2.3 QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG � .9 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Quan hệ phép cộng, phép nhân .9 § LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG VÀNH � 3.1 CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ 3.1.1 Thương dư .10 3.1.2 Chia hết 10 3.1.3 Dấu hiệu chia hết 10 3.2 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 11 3.2.1 Định nghĩa 11 3.2.2 Định lí hệ 11 3.2.3 Cách tìm UCLN 11 3.2.4 Các tính chất UCLN .12 3.3 BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (BCNN) 12 3.3.1 Các định nghĩa 12 3.3.2 Sự tồn cách tìm BCNN .12 3.3.3 Tính chất BCNN 13 3.4 SỐ NGUYÊN TỐ 13 3.4.1 Định nghĩa 13 3.4.2 Định lí .13 3.4.3 Ứng dụng 13 § TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ 14 4.1 XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ � .14 4.2 SỐ NGUYÊN – SỐ HỮU TỈ - PHÂN SỐ .15 4.3 QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN � 16 4.3.1 Các định nghĩa 16 4.3.2 Định lí 17 4.3.3 Quan hệ thứ tự phép toán � 17 4.3.4 Tính trù mật � 17 4.4 SỐ HỮU TỈ VÀ SỐ THẬP PHÂN 17 4.4.1 Các định nghĩa 17 4.4.2 Các kết 18 § TRƯỜNG SỐ THỰC 18 5.1 SỐ THỰC 18 5.2 QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN R .19 5.3 CẬN TRÊN(SUP), CẬN DƯỚI (INP) 19 5.3.1 Cận 19 5.3.2 Cận .20 5.4 PHÉP TOÁN TRÊN R 20 5.5 ĐỊNH LÍ 20 THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG 21 CHỦ ĐIỂM SỐ NGUYÊN TỐ 21 CHỦ ĐIỂM TÍNH CHIA HẾT 25 CHỦ ĐIỂM BỘI VÀ ƯỚC CỦA CÁC SỐ 28 BÀI TẬP CHƯƠNG 32 Y CHƯƠNG II: CÁC TẬP HỢP SỐ Để xây dựng tập hợp số nghiên cứu phép tốn tập hợp số đó, ta cần dùng kiến thức sau có phần mở đầu nhiều giáo trình: Khái niệm tập hợp, thuộc, phần tử, tập con, tập rỗng �, tập đơn tử {a} , tập hữu hạn, tập vô hạn Khái niệm ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, son ánh (tập hợp tương đương) Khái niệm hợp, giao, hiệu, tích Đềcác hai tập hợp, phần bù tập tính chất chúng Khái niệm quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương tập thương, quan hệ thứ tự phận, thứ tự toàn phần, thứ tự tốt Khái niệm phép toán đại số hai ngơi, nửa nhóm, vị nhóm, nhóm, vành, miền nguyên, trường § TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 1.1 ĐỊNH NGHĨA Trước hết, ta đưa khái niệm số tập hợp: Mỗi tập hợp A có số, kí hiệu CardA hay |A| cho hai tập hợp tương đương có số: CardA = CardB A B Bản số khái niệm đặc trưng “số lượng” cho lớp tập hợp tương đương Bản số tập hợp hữu hạn gọi số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên kí hiệu � Vậy a ��� A hữu hạn cho a CardA Ví dụ Ta biết � tập hợp hữu hạn Vậy Card � �� Kí hiệu Card� gọi số khơng Ví dụ Tập đơn tử {a} �� Kí hiệu Card{a} gọi số 1.2 QUAN HỆ THỨ TỰ Trên tập � số tự nhiên ta xác định quan hệ hai ngơi, kí hiệu ≤, sau: Giả sử a, b � với a = CardA, b = CardB Ta nói a nhỏ b viết a ≤ b tồn đơn ánh từ A vào B Nếu a ≤ b a ≠ b ta viết a < b đọc a nhỏ b Nếu a nhỏ b (tương ứng a nhỏ b), ta nói “b lớn a” (tương ứng b lớn a) Có thể thấy định nghĩa quan hệ nói khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn tập hợp A, B mà a = CardA, b = CardB Có thể chứng minh quan hệ ≤ xác định quan hệ thứ tự toàn phần tập hợp số tự nhiên �, quan hệ thứ tự tốt (để chứng minh quan hệ thứ tự tốt, cần dùng kiến thức điểm 1.3 sau đây) Ví dụ x �, a Thật vậy, Card�, mà � tập tập hợp 1.3 SỐ LIỀN SAU Giả sử a, b � Ta bảo b số liền sau a, kí hiệu b = a’, tồn tập hữu hạn A, B cho a = CardA, b = CardB, A B B \ A tập đơn phần tử (tức B\A = {x}) Khi ta nói a số liền trước b Ví dụ số liền sau Thật vậy, ta có Card�, Card{x} , ��{x}, {x} \ � {x} Có thể chứng minh rằng: a) Mọi số tự nhiên có số liền sau b) Số số liền sau số tự nhiên Mọi số tự nhiên khác số liền sau số tự nhiên nhất.\ c) Với a, b � a < b a’ b’ d) Do đó, số tự nhiên a số liền sau a’ khơng tồn số tự nhiên khác Chú ý: Với khái niệm trình bày hình dung tồn tập hợp số tự nhiên: Trước hết Card� số tự nhiên số không đứng liền sau số Số Card{a} số liền sau số 0, số số khơng có số tự nhiên khác Kí hiệu 1’ = 2, 2’ = 3, … tập hợp số tự nhiên viết thành dãy số sau: 0, 1, 2, 3, … Từ chứng minh tập hợp � số tự nhiên tập vô hạn đếm 1.4 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN TRÊN � 1.4.1 Định nghĩa Giả sử a, b �; A, B hai tập hữu hạn cho a = CardA, b = CardB, A B = � Ta định nghĩa: a + b = Card(AB) a.b = Card(A×B) 1.4.2 Định lí Tập hợp số tự nhiên � lập thành vị nhóm phép cộng, kí hiệu ( �, +), vị nhóm phép nhân, kí hiệu ( �, ), ngồi phép nhân có tính chất phân phối phép cộng Phần tử trung hịa vị nhóm cộng số 0; vị nhóm nhân số Kí hiệu �* = �\{0}, ta thấy �* lập thành vị nhóm phép nhân Hơn vị nhóm cộng ( �, +) vị nhóm nhân ( �*, ) thỏa mãn luật giản ước, nghĩa a + b = b + c a = b a, b, c �; a.b = b.c a = b a, b, c �* Phép cộng vị nhóm ( �, +) phép nhân vị nhóm ( �*, ) có tính bảo tự quan hệ thứ tự tức c �*, gọi số nguyên dương; c �, c < tức c { , -3, -2, -1}, gọi số ngun âm § LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG VÀNH � 3.1 CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ Các khái niệm mở rộng khái niệm chia hết chia có dư tập hợp số tự nhiên � 3.1.1 Thương dư Ta chứng minh rằng: Với cặp số nguyên a, b, b 0, tồn cặp số nguyên q, r thỏa mãn hệ thức: a = bq + r, r < |b| Khi đó, ta nói a chia cho b thương q dư r Số q gọi thương thiếu số r gọi số dư phép chia có dư a chia cho b 3.1.2 Chia hết Nếu phép chia a cho b (b 0) mà số dư r = ta nói a chia hết cho b , ta nói b chia hết a, b ước a, b a bội b, kí hiệu aM kí hiệu b|a Ta chứng minh được: Tập hợp ước {-1; 1}; Nếu b|a b|(-a), -b|a, (-b)|(-a), |b| | |a|; a �, a 0: a|a; Với a, b �, a|b b|a a = b; Với a, b, c �, a|b b|c a|c; Với a1, a2, , an �, b|ai, i = 1, , n, với x 1, x2, , xn �, ta có b|(a1x1 + a2x2 + + anxn) 3.1.3 Dấu hiệu chia hết Bằng kĩ thuật “đồng dư” dùng cách viết số tự nhiên dạng thập phân (không đề cập đây), ta chứng minh được: Một số tự nhiên chia hết cho chữ số tận bên phải 0; 2; 4; 6; 10 Bây ta lý hiệu R tập hợp số thập phân vô hạn, bao gồm tất số thập phân vơ hạn tuần hồn khơng có chu kì (9) số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Nghĩa R bao gồm kí hiệu dạng a0, a1 a2… an… - a0, a1 a2… an… a0 N, {0,1,….,9}, i=1,2,…,n Tập hợp R gọi tập hợp số thực, phần tử α R gọi số thực Rõ ràng Q R Số thực α số hữu tỉ gọi số vô tỉ Giả sử α R có dạng α = a0, a1 a2… an… α = -a0, a1 a2… an… Ta gọi a0(-a0) phần nguyên α , a1 a2… an… phần thập phân α Số thực α mà dạng thập phân (vơ hạn) không mang dấu”-“ gọi số thực dương, trái lại số thực âm Hai số thực có dạng thập phân vô hạn khác dấu gọi hai số đối Số đối α dược kí hiệu Với số thực α, giá trị tuyệt đối α, kí hiệu α , xác định sau: α= 5.2 QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN R Giả sử α, R Nếu α không âm α = a0, a1 a2… an… , = b0, b1 b2… bn Ta nói α nhỏ , kí hiệu α < , có số thứ tự nhiên k cho a0 = b0, a1 = b1,…, ak-1 = bk-1, ak < bk (gọi quan hệ thứ tự từ điển) Nếu hai số α có số âm số khơng âm ta coi số âm nhỏ số không âm(từ đó, số thực âm nhỏ số thực dương lớn 0) Nếu α số âm so sánh α theo trường hợp đầu có α < < α Nếu α < α = ta nói α nhỏ viết α ≤ Ta chứng minh quan hệ ≤ xác định quan hệ thứ tự toàn phần 5.3 CẬN TRÊN(SUP), CẬN DƯỚI (INP) 5.3.1 Cận Giả sử M R M gọi bị chặn số thực α cho với x M có x ≤ α Số thực α gọi số chặn M Nếu M bị chặn tập hợp số chặn M tập vô hạn Nếu tập hợp số chặn M có số nhỏ số nhỏ gọi cận M kí hiệu supM (sup = supremum) Người ta chứng minh phận khơng rỗng R bị chặn có cận 5.3.2 Cận Giả sử M R M gọi bị chặn tồn số thực cho với x M có ≥ x Số thực gọi số chặn M Nếu M bị chặn tập hợp số chặn M tập vô hạn Nếu tập hợp số chặn M có số lớn số lớn gọi cận M kí hiệu infM (inf = infimum) Người ta chứng minh phận không rỗng R bị chặn có cận 5.4 PHÉP TOÁN TRÊN R 5.4.1 Xấp xỉ thiếu cấp n Giả sử α số thực khơng âm có dạng thập phân α = a0, a1 a2… an… Với số n N, ta đặt α = a0, a1 a2… an…= a0 + + + …+ Thì α n số hữu tỉ α = sup{ α n n N} Ta gọi α n xấp xỉ thiếu cấp n α (hoặc giá trị gần thiếu cấp n) Giả sử α , hai số thực không âm, α n, n xấp xỉ thiếu cấp n α Ta định nghĩa tổng tích α sau: α + = sup{ α n + n n N}; α * = sup { α n * n n N} 5.4.2 Với α , hai số thực âm, ta định nghĩa α + = - ( α + ); α * = α * 5.4.3 Với α , R, α âm, không âm ta định nghĩa α + = + α = - α α ≤ ; α + = + α = -( α - ) α > ; α * = * α = -( α * ) Tức trường hợp α , âm chúng số âm đưa trường hợp α , khơng âm(5.4.2) 5.5 ĐỊNH LÍ Tập số thực R lập thành trường phép toán cộng nhân xác định Trường R gọi trường số thực Có thể chứng minh tập số thực có tính trù mật hữu tỉ, nghĩa với cặp số thực α , α < có vơ số hữu tỉ (cũng số thực) cho α 1, ta có: A = (m + 1)(m + 2)…(pm – 1)(pm) Chia hết cho pm mà không chia hết cho pm+1 a Phân tích: Vì p số nguyên tố nên để chứng minh A chia hết cho p m cần A chứa thừa số p Mặt khác, từ số đến số (pm) có pm số tự nhiên liên tiếp, mà p số (kể từ số 1) lại có bội p ta cố gắng làm xuất tích (pm) số tự nhiên liên tiếp tính từ số b Lời giải: A= Nhóm tất bội p ta có: A= = = pm.1.2….(p-1)(p+1)…(mp-1) Vậy A chia hết cho pm Cần ý tích 1.2….(p-1)(p+1)…(mp-1) khơng có thừa số chia hết cho p tất bội p bị nhóm lại rồi, p số nguyên tố nên tích 1.2….(p-1)(p+1)…(mp-1) không chia hết cho p Vậy A không chia hết cho pm+1 c Khai thác toán : Cho số nguyên tố p giá trị cụ thể cho số nguyên dương m giá trị cụ thể ta tốn (dạng đặc biệt toán số 3) sau: Bài toán 3.1: Chứng minh với m Z+, m>1, ta có (m+1)…(2m-1)2m chia hết cho 2m mà khơng chia hết cho 2m+1 Bài toán 3.2: Chứng minh với số nguyên tố p ta có B = 6.7…(5p-1)5p chia hết cho p5 mà không chia hết cho p6 Đặc biệt ý đến tính chất “là số nguyên tố “ p, ta có tốn sau: Bài tốn 3.3: Bài tốn nói cịn khơng trường hợp p số nguyên tố mà số nguyên dương? Bài toán số 4:Cho p số nguyên tố lớn cho 4p + số nguyên tố Chứng minh 4p -1 hợp số a Phân tích: Có 4p -1, 4p, 4p +1 số nguyên tố liên tiếp nên ta có hướng chứng minh 4p – hợp số nhờ tính chia hết cho b Lời giải: Vì p > p số nguyên tố nên (p,3) =1 Mặt khác 4p + số nguyên tố Vậy số nguyên tố liên tiếp 4p -1, 4p, 4p +1 chia hết cho Do p > nên 4p – > 3, từ suy 4p – hợp số c Khai thác toán: Bằng cách lý luận tương tự ta giải toán sau: Bài toán 4.1: Cho p số nguyên tố lớn 3, cho 2p – số nguyên tố Chứng minh 2p + hợp số Bài toán 4.2: Cho p số nguyên tố lớn cho 5p + số nguyên tố Chứng minh 5p – hợp số Bài tốn số 5: Tìm số ngun tố p cho p + p + số ngun tố a Phân tích: Ta tìm p nhờ xác định dư phép chia p cho số đó, chẳng hạn cho b Lời giải: Vì p số nguyên tố p + , p + số nguyên tố nên p > Mặt khác , p rơi vào khả : Hoặc p = 3k; p = 3k + 1; p = 3k + Không xảy p = 3k + nến p + chia hết cho lớn nên không hợp số Không xảy p = 3k + nến p + = 3(k + 2) hợp số (vì lớn chia hết cho 3) Vậy p = 3k Do p số nguyên tố nên p = c Khai thác toán: Bằng cách phân loại p theo số dư phép chia cho số nguyên tố, ta giải toán tương tự Bài toán 5.1: Tìm số nguyên tố p cho p + 10 p + 14 số nguyên tố Bài tốn 5.2: Tìm số ngun tố p cho p + 2, p + p + số ngun tố Bài tốn 5.3: Tìm số ngun tố p cho p + 6, p + 8, p + 12 p + 14 số nguyên tố CHỦ ĐIỂM TÍNH CHIA HẾT Chứng minh tính chia hết cách xét tương trường hợp xảy số dư Bài tốn số 1: Chứng minh tích số tự nhiên, liên tiếp chia hết cho a Phân tích: Ta kể trường hợp dư phép chia số thứ nhiên cho có lời giải sau: b Lời giải: Giả sử A =n n(n + 1), có trường hợp - Nếu n chẵn, n A chia hết cho - Nếu n lẻ n + chẵn (n + 1) chia hết A chia hết cho c Khai thác toán: Bằng phương pháp tương tự giải tốn sau: Bài tốn 1.1: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài toán 1.2: Chứng minh tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n với n ≥ Chứng minh tích chia hết nhờ tách thành tổng nhiều hạng tử Bài toán số 2: Chứng minh với m Z ta có m3 – 13m chia hết cho a Phân tích: 13m = 12m + m mà 12m chia hết ta cần xét m – m b Lời giải: A = m3 – 13m = m3 – m - 12m = m(m2 – 1) - 12m = (m – 1)m(m + 1) - 12m Do m – 1, m, m + ba số tự nhiên liên tiếp nên tích (m – 1)m(m + 1) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, tức (m – 1)m(m + 1) chia hết cho Từ suy A chia hết cho c Khai thác tốn: Có thể nêu tốn giải tương tự: Bài toán 2.1: Chứng minh với số tự nhiên m ≥ 1, ta có hiệu: m – s(m) chia hết cho s(m) tổng chữ số m Bài toán 2.2: Chứng minh p q hai số nguyên tố lớn p2 – q2 chia hết cho 24 (Hướng dẫn: trước hết chứng minh p2 -1 chia hết cho 24, sau tách p2 – q2 = (p2 -1) – (q2 -1)) Chứng minh tính chia hết nhờ phân tích thành nhân tử Bài toán số 3: Chứng minh n5 – n chia hết cho 5, n Z a Phân tích: Ta cố gắng sử dụng tính chất tích k số nguyên liên tiếp (k≥1) chia hết cho k b Lời giải: A = n5 – n = n(n4 -1) = n(n2 – 1)(n2 +1) = (n-1)n(n + 1)(n2 +1) Nếu n = 5k có n chia hết cho A chia hết cho Nếu n = 5k + (n – 1) chia hết cho Nếu n = 5k + n2 +1chia hết cho Nếu n = 5k + n2 +1chia hết cho Nếu n = 5k + n + 1chia hết cho Vậy n5 – n chia hết cho 5, n Z c Khai thác tốn: Có thể giải toán sau cách tương tự: Bài toán 3.1: Chứng minh với số nguyên dương m ta có A = (m + 1)(m + 2)…(5m -1)5m chia hết cho 5m Bài toán 3.2: Chứng minh với m lẻ số nguyên tố a, b cho a+b0, ta có: am + bm chia hết cho a + b Sử dụng định lý Fermat định lý Euler để chứng minh tính chia hết Bài toán số 4: Chứng minh với số nguyên tố p, q p ta có A = pq-1 – qp-1 – chia hết cho p.q a Phân tích: Hàm Owle (p) = p – với p số ngun tố Từ ta tìm cách chứng minh A vừa chia hết cho p, vừa chia hết cho q b Lời giải: Vì p, q số nguyên tố p q nên (p;q)= Theo định lý Fermat ta có : pq-1 (mod q) qp-1 (mod p) (do p ≥ p – ≥1) Vậy A = pq-1 – qp-1 – 1 0(mod q) Do A chia hết cho p Tương tự A chia hết cho q (p, q) = ta có A chia hết cho p.q c Khai thác toán: Bài toán 4.1: Chứng minh với số nguyên a, ta có a – a chia hết cho Bài toán 4.2: Chứng minh A = 14k + 24k + 34k + 44k không chia hết cho với kN Giải toán chi hết theo nhiều “cấp” Bài toán số Cho n số x1, x2,… xn số -1 cho x1x2 + x2x3 +…+ xnx1 = (*) Chứng minh n chia hết cho a Phân tích: Vì xi = xi = -1, nên tích tổng (*) -1 b Lời giải: Vì tổng (*) nên số hạng âm số số hạng dương n hay nói cách khác n gồm k số hạng k số hạng -1 Mặt khác, tích số (x1x2 )(x2x3 )…(xnx1) =(x1x2… xn)2 = nên số hạng âm số chẵn, k chia hết cho Vậy n = 2k chia hết cho c Khai thác tốn: Có thể giải tốn tương tự: Chứng minh số B = chia hết cho 81 Sử dụng nguyên tắc Dirichlet để chứng minh chia hết Bài toán số 6: Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 3k – chia hết cho 1000 a Phân tích: Nhận thấy (3k ;1000) = hiệu lũy thừa có dạng k(3t – 1) nên ta sử dụng nguyên tắc suy luận Dirichlet để giải toán b Lời giải: Xét dãy số 1001 số sau: 1,3,…,31000 Khi chia 1001 số cho 1000 có khơng q 1000 số dư, theo ngun tắc suy luận Dirichlet, có hai số dãy có số dư phép chia cho 1000 Giả sử 3t 3h, t > h Khi 3t - 3h chia hết cho 1000 Suy 3h (3t-h – 1) chia hết cho 1000 Vì (3,1000) = nên (3h, 1000) = (3 t-h -1) chia hết cho 1000 Đặt k = t–h, có (3k – 1) chia hết cho 1000(đpcm) c Khai thác toán: Bằng phương pháp tương tự, ta giải tốn sau: Bài tốn 6.1: Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (7 k – 1) chia hết cho 2000 Tổng qt tốn ta có: Bài tốn 6.2: Chứng minh (p,q) = tồn số tự nhiên k cho (pk –1) chia hết cho pm (m Z+, cho trước) CHỦ ĐIỂM BỘI VÀ ƯỚC CỦA CÁC SỐ Bài toán số 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số cho số chia hết cho tích chữ số a Phân tích: Số tự nhiên có hai chữ số có dạng = 10a + b Từ giả thiết a.b ta có b a 10a b, với điều kiện ≤ a, b ≤ Ta có lời giải sau: b Lời giải: Gọi số phải tìm a.b nên ≤ a, b ≤ Vì = 10a + b a nên b a b = ka, k Z+, k ≤ Mặt khác b nên 10a b Do 10a ka, hay 10 k Vậy k {1;2;5} Nếu k = thí b = a, số phải tìm có dạng Để a2 có số 11 Nếu k = số phải tìm có hàng đơn vị gấp đôi hàng chục, mặt khác b ≤ nên a{1;2;3;4} Trong số 12, 24, 36, 48 có 12, 24, 36 thích hợp Nếu k = 5, b ≤ nên a =1 có số 15 số thích hợp Kết luận : Các số cần tìm 11, 12, 15,24, 36 c Khai thác tốn: Dựa vào tính chất a b nên ta có b = ka (10a + b) b, ta có 10 k từ suy k để giải toán Bằng phương pháp tương tự, ta giải tốn sau Tìm số tự nhiên có hai chữ số mà số chi hết cho tổng chữ số Hướng dẫn: Nhận xét, nến số (a +b) (a + b); ta xét trường hợp a ≤ b (a+b) ≥ 2a {1,2,3,4} Xét trường hợp Chú ý số chẵn chục thỏa mãn điều kiện đề Bài tốn số 2: Một phịng hình chữ nhật dài 6,25m, rộng 4,75m Hãy tìm kích thước viên gạch lát nên(gạch lát hình vng) cho số viên gạch khơng phải xẻ viên để chèn vào chỗ cịn thừa a Phân tích: Kích thước gạch lát thường tích theo centimet nên ta phải đổi chiều dài, chiều rộng phòng thành centimet để tiện tính tốn Chiều dài 6,25m = 625 cm Chiều rộng 4,75m = 475 cm Muốn số gạch vừa vặn lát hết kích thước gạch phải ước chung 625 475 b Lời giải: Đổi số đo chiều dài, chiều rộng phòng centimet Ta có: Chiều dài 6,25m = 625 cm Chiều rộng 4,75m = 475 cm Để số gạch vừa vặn kín nhà mà khơng phải xẻ viên kích thước gạch phải ước chung 625 475 Mặt khác để số lượng viên gạch kích thước gạch phải ước chung lớn 625 475, mà (625, 475)= 25 nên viên gạch hình vng cạnh 25cm c Khai thác tốn: Bằng phương pháp tương tự, ta giải toán sau Bài toán 2.1 : Hai phịng hình chữ nhật có kích thước 5,8m x 4,4m 4,2m x ,8m Hãy tính kích thước viên gạch lát hình chữ vng cho vừa vặn lát kín hai phịng số lượng viên gạch Bài toán 2.2 : Sân vận động chia thành ô vuông nhỏ theo khu vực để tiện tập chung vận động viên Có khu vực sân vận động , khu vực hình chữ nhật có kích thước 180m x 270m ; 150m x 360m ; 240m x 270m Hãy tìm kích thước vng cho vừa vặn phủ kín ba khu vực vng có diện tích lớn Bài tốn số 3: Treeb bến sơng có thuyền Chiếc thứ ngày lại cập bến lần, Chiếc thứ hai ngày lại cập bến lần, Chiếc thứ ba 12 ngày lại cập bến lần Hôm nay, cụng khởi hành bến sông, hỏi sau ngày chúng lại cập bến sơng ? a Phân tích: Gọi A số ngày mà chúng cập bến tính từ ngày hơm Khi A phải bội 5, 7, 12 Để A nhỏ nhất, A phải bội chung nhỏ số nói b Lời giải: Gọi A số ngày mà thuyền cập bến tính từ ngày hơm Để thuyền thứ cập bến A Tương tự, để thuyền thứ hai thứ ba cập bến A A 12 Vậy A bội 5, 7, 12 Mặt khác, để số ngày A phải bội chung nhỏ ba số Vậy A = BCNN (5,7,12) = 420 (ngày) c Khai thác toán: Bài toán 3.1 : Tìm số tự nhiên bé A cho A chia cho 3, 5, có số dư Bài tốn 3.1 : Tìm số tự nhiên bé A cho A + vừa chia hết cho 2, 3, Bài toán số 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x - 2xy + 2y – = a Phân tích: Cần thêm bớt để phân tích vế trái thành nhân tử dựa vào ước số nguyên để tìm x, y b Lời giải: 3x - 2xy + 2y – = 3x – -2xy + 2y = 3(x – 1) – 2y(x – 1) = (x – 1)(3 – 2y) = Vì x, y Z – 2y, x – Z – 2y, x – ước Mà = (-5)(-1) =(-1)(-5) = 5.1 =1.5 nên có trường hợp sau : Hoặc khơng thích hợp; Hoặc khơng thích hợp; Hoặc khơng thích hợp; Hoặc khơng thích hợp; Vậy khơng có cặp số x, y thỏa mãn u cầu tốn c Khai thác tốn: Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) x2 – 3xy + 2y – = b) 3x – xy + 2y + = c) 4x – 7y = BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Tồn hay không số tự nhiên có tích chữ số 165 ? Tìm số phương có chữ số biết cộng thêm vào tất chữ số đó, ta số phương Chứng minh với số nguyên tố p > ta có A = p – 2q – chia hết cho 42p Cho hàm số f : Q Z thỏa mãn điều kiện: với x,y Q ta có f(x+y) = f(x) + f(y) a) Chứng minh f(1) = nf với n Z* b) Tìm f(2005) Chứng minh với số nguyên tồn số có tổng chia hết cho Tìm nghiệm nguyên phương trình a) 3x – 2xy + 5y – = b) 2x – 5y – = c) x – 3y + 5xy – = Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 462n+1 + 296.132n +1 chia hết cho 1947 Cho n số tự nhiên Hãy chứng minh phân thức khơng thể giản ước Giải phương trình nghuyên : (x+2)4 – x4 = y3 10 Chứng minh rằng: phương trình có số hữu hạn nghiệm nguyên dương Bài tập lớn chương Hãy đọc kỷ xây dựng tập số tự nhiên , tập số nguyên , tập số hữu tỉ, tập số thực sách giáo khoa Toán THCS, phân tích bình luận Hãy hệ thống hóa tập cách viết số, số nguyên tố, tính chia hết, ước, ươc chung, UCLN, BCNN, phương trình nguyên sách tập Toán THCS đề xuất kiến nghị , tập cho học sinh giỏi Chú ý tính tốn khoa học vá tính sư phạm ... tồn tập hợp số tự nhiên: Trước hết Card� số tự nhiên số không đứng liền sau số Số Card{a} số liền sau số 0, số số khơng có số tự nhiên khác Kí hiệu 1’ = 2, 2? ?? = 3, … tập hợp số tự nhiên viết... s(m) tổng chữ số m Bài toán 2. 2: Chứng minh p q hai số nguyên tố lớn p2 – q2 chia hết cho 24 (Hướng dẫn: trước hết chứng minh p2 -1 chia hết cho 24 , sau tách p2 – q2 = (p2 -1) – (q2 -1)) Chứng... giải: - Với a = 2, ta có 2a +1 = 5, khơng thích hợp - Với a 2, a số nguyên tố nên a lẻ Vậy 2a +1 lập phương số lẻ nghĩa 2a +1 = (2k + 1)3 2a +1 = 8k3 + 12k2 + 6k + a = k(4k2 + 6k + 3) Từ