PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG DAY SO
8.1 Phương trình sai phân tuyến tính uới hệ số hằng
3.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính uới hệ số hang
3.3 Phương trình sai phân tuyến tính uới hệ số bién thiên
9.4 Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính uới hệ số hằng
2.5 Tuyến tính hoá một số phương trình sơi phân 9.6 Phương trình sai phân chứa tham biến
9.7 Một số dạng phương trình sai phân phi tuyến đặc biệt
3.8 Dãy số chuyển đổi các phép tính số học 2.9 Day số chuyển đổi các đại lượng trung bình
3.10 Phương trình trong dãy số uới cặp biến tự do
8.11 Một số bài toán liên quan đến dạng truy hồi đặc biệt 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng
Dưới đây ta trình bày một số phương trình, hệ phương trình sai phân cơ bản
và phương pháp giải chúng (không nêu cách chứng minh) 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Phương trình sai phôn tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng
Uy =A, AUny + buy = Dns neN
trong đó a, b,ø là các hằng số, ø # 0 và ƒ„ là biểu thức của ø cho trước
Dạng 1
Tìm u, thoả mãn điều kiện
Uy =, AUnyi + bun = 0, a, b, & cho trudc , n € N*
Trang 2Các phép toán trên dấy số
Phương phúp giỏi ————
Giải phương trình đặc trưng øÀ + b = 0 để tìm À Khi đó |ưạ = qÀ"|(q là
hằng số), trong đó g được xác định khi biết uị = œ
Bài toán 1 Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2
Cách giải Ta có a=!
bh =.2
A-2s© [Uns = 2Un, Uy = 1
Phuong trinh dac trung’cé nghiệm À = 2 Vậy u„ = c2” Từ uạ = 1 suy re
= = Do d6 uy = 2771 c 2 Oo đÓ 0,
Dạng 2
Tìm z„ thoả mãn điều kiện
Uy = OQ, đ.Ua+iy +D.uạ = ƒa, ne€cÑ',
trong đó ƒ„ là đa thức theo n
Phương phúp giải ,
Giải phương trình đặc trưng øÀ + b = Ö ta tìm được À Ta có uạ = Gn tu trong đó ti, là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a.u„ + b.u„ =
và u* là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất aua+ bu„ = ƒ Vậy ñ„a = qÀ", q là hằng số sẽ được xác định sau
Tà xác dinh uf nhu sau :
a) Nếu À z 1 thì uy là đa thức cùng bậc với f
b) Nếu À = 1 thi u* = n.g„ với g„ là đa thức cùng bậc với fh
Trang 3Cách giỏi Phương trình đặc trưng À — l1 = 0O có nghiệm À = l1.;Ta có
Un = Ủn + u}, trong đó ô„ = c.1” = c, u}> = n(an + b) Thay u† vào phương trình, ta được (n + 1)|[a(n + 1) + b| = n(an + b) + 2n Với n = 1, ta được 3a + b = 2 Với n = 2, ta được 5a + b = 4 Suy ra a=1,b=-1 Do đó uạ = n(n — 1)
Ta có ứy = ñ„ + u} = c+ nÍn — 1) Vì uị = 2 nên 2 = e+ 1(1— 1) ©c=2 Vậy „ = 2 + n(n — 1), hay uạ = n2 —n + 2
Dạng 3 “VD
Tìm +„ thoả mãn điều kiện
Uy =, GUny, + bu, = vp", nE N*
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng øÀ + b = 0 để tìm À Tacé uz, = ô„ + 1ÿ, trong
đó ủ„ = cÀ*, c là hằng số chưa được xác định, u} được xác định như sau : a) Nếu À # ¿ thì uy = A1”
b) Nếu À = / thì u}> = An”
Thay u} vào phương trình, đồng nhất các hệ số tính được các hệ số của u7
Biết , từ hệ thức u„ = ô„ + u}, tính được c
Bài toán 3 Tìm +z„ thoả mãn điều kiện
trị —= 1, tứn+1 3Un + 2”, neN*
Cách giải Phương trình đặc trưng À — 3 = 0 có nghiệm À = 3 Tà có
Un = Un + us, trong đó ña = c.3” và uy = a.2”
Trang 4Các phép toán trên dãy số
Dạng 4
Tìm +„ thoả mãn điều kiện
Uy =O, O.Un41 + btm = fin + fon, nEN*,
trong đó ƒ;„ là đa thức theo n va fon = vp”
Phương pháp giỏi
Tà có uạ = ñ„ + u} + u?*, trong đó 0„ là nghiệm tổng quát của phươi trình thuần nhất au„+ + bư„ = 0, u} là một nghiệm riêng của phương trìi không thuần nhất aun, + bun = fin, z2" là nghiệm riêng bất kỳ của phươi
trình không thudn nhat aujz4; + bun = fon
Bai toan 4 Tim u,, biét
uy = 1, Ung, = 2Un $7242.27, nEN*
Cách giải Phương trình đặc trưng À — 2 = 0 có nghiệm À = 2 Tà ‹
Trang 52.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hơi là phương trình sai phân dạng
Uy = GŒ, tạ = ft, AUnsy + OUn + CUn-1 = Gn, NEN",
trong đó ø, Ò, c, 1, ,¿ là các hang s6, a # 0 và g„ là biểu thức chứa n cho trước g ; tu g 9
Dang 1
Tìm u,, thoa man diéu kién ~
Uy = GŒ, tạ = l, Una, + bun + CUn-1 = 0, n E N* Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng øÀ? + bÀ + c = 0, tìm À
a) Nếu À¡ và À; là hai nghiệm thực khác nhau thì „ = AN + BÀ?, trong
đó A và B được xác định khi biết u; va ue m— b) Nếu À¡ và À¿ là nghiệm thực kép, À¡ = À¿ = À thì uy = (A + B.n)À", trong đó A và ÖÐ được xác định khi biết uạ và uo c) Nếu À là nghiệm phức, À = z + 7, thì ta đặt —T 7ï r =|À|= V+° + 1, Bp ==, pe ( 2° 2 =)
Liic d6 A = r(cosy +isiny) va u, = r"(Acosny + Bsinny), trong đó A và B được xác định khi biết uị và up
Bai toan 1 Tim u,, biét
u, = 0, ug = 0, Un41 — Un + Un-1 = 0, ne N*
Trang 6Các phép toán trên dấy số Ta có 1 3 v3 1 —T 7 v n=IÀ|=V 2+4 tge=Š:s= V3 ©€(STx3) 29 ~3 Vậy \= cose +isin= 3 3) Suy ra n nT tn = Acos + Bin Ta có B uy =1 AesE + Bán =1s 2+ “Y5 =1 4+ BVŠ =2 (i —-A PB uy =0 => Áo TT + Ban TC =0 Ay BY = 0= —4+ BVỂ =0 (2 Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình có nghiệm Vậy Dạng 2 Tìm z„, biết rằng
tì =@G, Uaạ — 8 QUn+1 + bun + CUn-1 = Fs n 2 2,
trong dé a # 0, f, la_da thitc theo n cho trước
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng øÀ2 + bÀ + c = 0 để tìm À Tà có u„ = ơ„ +
trong đó đ„ là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất œu„+ + bưạ - CUn-1 = 0 và uƑ là một nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nh:
đ1„a+i + bun + Cun„_) = fr (fn z 0)
Trang 7Theo Dang | ta tim được ô„, trong đó hệ số A và / chưa được xác định, u} được xác định như sau :
a) Nếu À zZ 1 thì u; là đa thức cùng bậc với ƒ-
b) Nếu À = 1 là nghiệm đơn thì } = nøạ, ợ„ là đa thức cùng bậc với ƒa c©) Nếu À = 1 là nghiệm kép thì u* = n?.g, , gn 1a da thitc cùng bậc với ƒa
Thay u* vao phương trình, đồng nhất các hệ số, tính được các hệ s6 cia ux
Biết uị, uạ, từ hệ thức uạ = ô„ + uy tính được A, B
Bài toán 2 Xác định u., biết rằng
tì = Ì, ug=0, Uni — 2Un t+ Up_p =nNt+1, n> 2
Cách giải Phương trình đặc trưng À” — 2À + 1 = 0 có nghiệm kép À = 1 Ta
C6 Un = i, + ue , trong đó ô„ = (A+ Bn) - 1” = A+ Bn và u} = nˆ(œn + b) Thay u} vào phương trình, ta được
(n + 1) {a(n + 1) + b] — 2n?(œn + b) + (m — 1)*[a(n — 1) + bÌ =n + 1
Cho n = 1, ta được
4(2a + b) — 2(a + b) =2 @© 3a + b = 1 (3)
Cho n = 2, ta được
9(3a + b) — 8(2a + b) + (a+ b) =3 © 12a + 2b = 3 (4)
Trang 8Và Các phép toán trên dãy số Giải hệ (5) và (6), ta được —11 A=4 B=— , 3 Vay 11 n 1 " = ` tư, ?t + S13) Dang 3
Tim u,, biét rang
Uy = A,U2 = 8, Unt + bun + CUn—1 = ve”, n> 2
Phương phúp giải
Giải phương trình đặc trưng aÀ? + bÀ + c = 0, tìm À
Tạ có uạ = ñ„ + u}, trong đó ô„ được tìm như dạng 1, hệ số Ả và Ö chưa đượ xác định, u„ được xác định như sau :
a) Néu \ 4 pe thi u} = kụ”
b) Nếu nghiệm đơn À = ¿ thì u® = kn” c) Nếu nghiệm kép À = / thì u} = kn?u"
Thay u} vào phương trình, dùng phương pháp đồng nhất các hệ số sẽ tính đưc
hệ số k
Biết ứị, uạ, từ hệ thức ư„ạ = ô„ + u* tinh dugc A, B Bài toán 3 Tìm „, biết rằng
ưìị =Ũ, ug =0, Ungy — 2Un + Un_1 = 2.2", n> 2
Cách giải Phương trình đặc trưng \? — 21+ 1 = 0 có nghiệm kép \ = 1
Ta có ưạ = ñ„ + u?, trong đó ô„ = (A + Bn)1" = A+ Bn và u} = k.2"
Thay +¿} vào phương trình, ta được
kort) ok 7 4 bo" <2 2" + k— 6
Trang 9Vậy uy = 6.2” = 2.2n+1, Do d6 u, = ñ„ + uy = 4+ Pn+ 2.2n+1 Ta có ug=0>0=A42B4 24 Từ đó, ta được 4 =2, = —13 Vậy uy =2 T— lần + 2.2711, Dạng 4 Tìm z„, biết
Uy = ,Uq = By Gua¿ + bUn + CUn-1 = fn t+ gn, n= 2, trong đó ø #0, f, 1a da thitc theo n va g, = vy”
Phương phúp giải
Ta có tạ = ủa + 1} + u}* trong đó ö„ là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất øu„ + + bu„ -E cu„_¡ = Ö, uƑ là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất uni; + bu„ + cua_¡ = ƒ-, u}" là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất au„„¡ + buạ„ + CUn—1 = 0n
Bài toán 4 Tìm +ư„, biết rằng
trì = 1, ue =0, Ung — 2Un — Äua + =n 2”, n> 2
Cách giải Giải phương trình đặc trưng À? — 2À — 3 = 0, ta được À¡ =
—1, A = 3 Tacé
Un = tin + UL + UP,
trong đó
Un = A.(—1)”+ B.3", ui =an+6, u™ =k.2”
Thay u* va u** vao phuong trinh un41 — 2u, — 3un-1 = n, ta được
a{n + 1) +b~— 2(an + b) — 3[a(n — 1) + b} = n © (4ø + l}n — 4(a — b) = 0
Trang 10Cdc phép todn trén day sé Do đó * 1 = —-{n.+ 1) w= Ft) Thay 1u" vào phương trình „+ — 2u — 3ư„_¡ = 2”, ta được k.2n+! 2k2" S— 2k2" — 92" + k— 2 3: Do đó 2 1 *xk Là n+1 ust = — 5.97 = — 3 = 3 9M), Vay Un = tn tu, tus = A(-1)" + B.3" - 2í +1)—Ÿ —.2n+1, 3 1 4 17 =l=l=—-Á+ ——=—=—=>_—Ä4+ =— Uy 3B 5 3° A+3B a ả 8 4s = 0 = ———_— Act = U2 =>0=4+98 2 ga A 9B 12 Giải hệ phương trình (7) và (8), ta được 61 25 A=-—, B=— 48’ 48 Vay 61 25 1 1 n= ——.(-1)? + —.3”—-—.(n+1)— -.2"11, Un T8 "+3 Tự 1) 5 Dang 5
Tim un, biét rang
Up =, Ug = 8B, AUng1 + bUn + CUn-) = Vcosn+ypsinn (a4#0), n>
Phương phúp giải
Giải phương trình đặc trưng aÀ? + bÀ + e = 0, tim dD
Trang 11Ta có uạ = Ủa + uy , trong đó ö„ là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất, xác định như ở dạng l1, các hệ số 4 và Ö chưa được xác định, u} = kcosn + Ìsinn
Thay u} vào phương trình, đồng nhất các hệ số, tính được k, ỉ
Từ hệ thức 1y = ủ„ + } va uj, Ue, ta tinh duoc A và B
Bài toán 5 Tìm z„, biết rằng
tì =Ì, ue =0, Uns, — 2Un + Un_1 = sinn, n> 2
Cách giải Giải phương trình đặc trưng À? — 2À + 1 = 0, ta được nghiệm kép -
À=l
Ta c6 un, = Un + ux, trong đó
ña = (A + Bn) -1” = A+ Bn, uạ = kcosn + [sinm
Thay +; vào phương trình „+ — 2u + Un_1 = Sinn, ta thu được
k cos(n+1)+lsin(n+ 1) — 2(k cos n+Ï sin n)+k cos(n— 1)-EÍ sin(n— 1) = sinn ©k[cos(n + 1) + cos(n — 1)] + i|sin{n + 1) + sin{n — 1)] — 2k cosm — 2l sìn n
=sinn
«2k cosn.cos 1 — 2k cosm, + 2Ï sin + cos Ì — 2Ï sin n = sin m
<>2k cos n(cos 1 — 1) + 2Ïsin n(cos 1 — 1) = sinn đâ2k(cos 1 1) cosn + [2l(cos 1 — 1) — 1] sinn = 0
1 sin
Vì cosl — 1 # 0 nên &k = ƠƯ và Ì = ———— Vậy u} = ————
a 7: 0 nên và 2(cos 1 — 1) oY Un 2(cos 1 — 1) sinn Do đó uạ = tin 0 d6 ạ = tn tur = At "+ = Đn.+ ————- ost — 1) Ta có al sin =1>1=A+B4+————_ /8) " + *2(6s1=1)' 7) sin 2 =0>0=41+2B+— ” Peet 2(cos 1 — 1) (10)
Giải hệ phương trình (9) và (10), ta được -
2sin | — 4cos 1 — sin2 — 4
A=
2(1 — cos 1)
Trang 12
Các phép toán trên dãy số
— sin 1 + 2cos l + sIin 2 — 2 2(1 — cos 1) B= Vậy nên Un — 2sinl— 4cos1— sin2 — 4+ (—sinl + 2cos 1 + sin 2 — 2)n — sinn ă 2(1 — cos 1) |
2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba
Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trinh sai phan dang
tị =Q, Uạ — 8, U3 = Y, @GUn+a TT bUn+1 + CUn + dUn—1 = fas n2 2, (
trong đó a,b,c,đ, œ, Ø,+y là các hằng số, a # 0 và ƒ„ là biểu thức của n c
trước
Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn giải được vì phương trình b ba luôn giải được Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính c
ba có dạng ưạ = ôa + uy, trong đó œ} là nghiệm riêng của phương trình tuy
Trang 13—sin l1 + 2cos l + sin 2 — 2 2(1 — cos 1) Vậy nên — 2ginl ~ 4cos1 — sin2 — 4+ (— sin 1 + 2cos 1 + sin 2 — 2)n — sinn s— 2(1 — cos1) Un
2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba
Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng
tị = Œœ, tạ = 8, uạ = 7, đGữn+¿ Đưa + CUn + dun—1 = Tà n> 2, (
trong dé a,b,c,d,a, 3,7 là các hằng số, a # 0 và ƒ„ là biểu thức cha n c
trước
Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn giải được vì phương trình t ba luôn giải được Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính c
ba có dạng u, = U, + u*, trong dé u* 1a nghiém riêng của phương trình tuy
Trang 14Các phép toán trên dãy số
(iv) Nếu (2) có một nghiệm thực À¡ và hai nghiệm phức liên hợp
A2,3 = r(cosy £ isin yp)
thi
tin = BAT +17" (Bo cosny + B3.sin ny) b) Goi u* là một nghiệm riêng cua (1)
*Xét f, 1a đa thức của m Ta có
Nếu À z 1 thì ư> là đa thức cùng bậc với ƒạ, ~
Nếu À = 1 (nghiệm đơn) thì } = n.ga, ợ„ là đa thức cùng bậc với ƒ„,
Nếu À = 1 (bội 2) thì u} = n?.g„, ơ„ là đa thức cùng bậc với ƒ„,
Nếu À = 1 (bội 3) thi u* = n3.9,, gp, là đa thức cùng bậc với ƒ„
*Xét fp = vu” (ham mũ) Ta có - Nếu À FA wthiu® =knp”
- Nếu nghiệm đơn À = ¿ thì uy = k./”
- Nếu nghiệm bội À = / (bội $s) thì u} = k.n°
Trang 15hay Lay 3 » = (51 1) + Š(n — 1) In 16 I) + Zin ) Bài toán 7 Cho dãy số nguyên {a,} thoa man điều kiện Qn42 = 20n+1 + 2a„ — đn_1, Tì C N*
Chứng minh rang tồn tại các hằng s6 nguyén M sao cho cdc s6 M + 4aa+ia„ đều là những số chính phương
Cách giải Đặt
Ñn+2 — Ñn+1 — On = Un
Khi đó, từ điều kiện bài ra ta có hệ thức u, = „_¡ + 2ø„ Do đó
us = (Un_1 + 2an)? = u2_, + 4a„ua_ + 4a2 = ue _, + 4(ang1 — Gn — On—1)an + 402 = wy + 44n Ons) — 4AnAn—} Suy ra uw — 407418, = 2 — 4q„dœ„_, Vn€ Ñ" Vậy u2 — 4a„„ia„ = ă và khi đó hiển nhiên rằng 2 M + 4an+idaa = tí
2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng
Trang 16
Các phép toán trên dãy số
Suy ra
#n+a — (p+.8)Ta+ + (ps — gr)z„ = 0, trong dé x = a
Tir (1), ta lai c6 xo = pr, + gy; = pa+ qb Nhu vay ta được phương trình sai
phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
#ị =0, #ạ = pa +qbÙ, #a+| — (p + 5)Za + (ps — qr)TZa_¡ =0, n 3 2
Giải phương trình này ta tìm được z„ Thay z„ vào (1), ta tìm được yp
Bài toán 1 Tìm z„-, Yn, biết ~
{es = 4%, — 2yn, 1 = 1, (2)
Ynti =In+ Yn, Y= 1
Cách gidi Trong (2), thay n bởi n + 1, ta có
#n+a = ÂTn+t — 2Vn+l = 4#n+1 — 2(a + Yn)
= 4Tn+t — 27a — 2Yn = 40n41 — 2% Ð Tn+a — 47
Suy ra `
*n+2 — Đđn+1 + 6a =0
Từ (2), ta có z¿ = 47 — 2u, =4.1— 2.1 =2
Ta thu được phương trình bậc hai thuần nhất