Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trương Thị Oanh NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trương Thị Oanh NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thị Nga, trích dẫn trình bày luận văn hồn tồn xác đáng tin cậy Tác giả Trương Thị Oanh LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến người cho hội, dẫn dắt đồng hành với suốt hai năm qua: - TS Nguyễn Thị Nga, người động viên có góp ý q báu giúp cho tơi hoàn thành luận văn - PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng, nhiệt huyết tận tâm, thầy cô dẫn dắt bạn vào giới Didactic Toán Và nữa, tình thân gia đình Didactic - GS.TS Annie Bessot GS.TS Hamid Chaachoua, hai giáo sư cho tơi góp ý quan trọng cho luận văn - TS Trần Huyên, người thầy mà học hỏi nhiều điều phương pháp tư tốn học - Anh Ngơ Minh Đức cho tơi lời khun hữu ích - Các bạn lớp Didactic K26, người cho lần sống với thời học đầy sôi tràn ngập yêu thương Đặc biệt chị Bích Siêng Minh Yến, hai người bạn ln đồng hành với tơi suốt q trình học, chia sẻ vui buồn hết lịng hỗ trợ tơi thực nghiệm thành công - Ban Giám Hiệu thầy thuộc Tổ Tốn – Tin, trường THPT chun Lê Quý Đôn, Ninh Thuận tạo điều kiện để tơi tham gia học tập hồn thành tốt luận văn Cuối cùng, xin gửi lời biết ơn vô hạn đến thành viên gia đình tơi, họ động viên tạo điều kiện để tơi chun tâm học tập Trương Thị Oanh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình MỞ ĐẦU Chương CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.1 Sơ lược lịch sử hình thành phát triển khái niệm tích phân 1.2 Các cách tiếp cận khái niệm tích phân đặc trưng cách tiếp cận .10 1.2.1 Cách tiếp cận thứ – Tiếp cận dựa toán nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân: Tích phân diện tích hình phẳng (thể tích vật thể) .10 1.2.2 Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ phần chia nhỏ chuyển qua giới hạn tổng xấp xỉ đó: Tích phân giới hạn tổng vơ hạn vô bé 10 1.2.3 Cách tiếp cận thứ ba - Tiếp cận dựa mối quan hệ tích phân vi phân: Tích phân phép tốn ngược đạo hàm 12 1.3 Kết luận .14 Chương MỐI QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 12 ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 15 2.1 Khái niệm tích phân trình bày SGK12 15 2.1.1 Định nghĩa tính chất 15 2.1.2 Hai phương pháp tính tích phân 18 2.1.3 Ứng dụng hình học tích phân 19 2.2 Các praxéologies SGK12 SBT12 đề cập 21 2.2.1 Các nhiệm vụ trình bày hình thức tự luận 21 2.2.2 Các nhiệm vụ trình bày hình thức trắc nghiệm 35 2.3 Phân tích Đề minh họa đề thức Bộ GD-ĐT năm học 2016 – 2017 liên quan đến khái niệm tích phân 37 2.3.1 Các Đề minh họa Bộ GD-ĐT giới thiệu năm học 2016 - 2017 37 2.3.2 Đề thi thức Bộ GD-ĐT ngày 22/06/2017 46 2.4 Kết luận .50 Chương NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN 53 3.1 Nghiên cứu thực hành dạy học GV1 dạy chương trình Nâng cao .53 3.1.1 Những praxéologie quan sát .53 3.1.2 Tổ chức dạy học GV1 sử dụng để đưa vào praxéologie 54 3.1.3 Kết luận nghiên cứu thực hành dạy học GV1 61 3.2 Nghiên cứu thực hành dạy học GV2 dạy chương trình Chuẩn 61 3.2.1 Những praxéologie quan sát tổ chức dạy học GV2 sử dụng để đưa vào praxéologie 62 3.2.3 Kết luận nghiên cứu thực hành dạy học GV2 64 3.3 Kết luận .65 Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 67 4.1 Giới thiệu nội dung thực nghiệm 67 4.2 Phân tích tiên nghiệm 69 4.2.1 Biến tình 69 4.2.2 Giải thích lựa chọn quan sát 69 4.3 Phân tích hậu nghiệm 76 4.3.1 Phần 76 4.3.2 Phần 78 4.4 Kết luận .94 KẾT LUẬN 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu Từ viết tắt Bộ GD-ĐT Bộ Giáo dục Đào tạo CH Câu hỏi KNV Kiểu nhiệm vụ MTBT Máy tính bỏ túi GT Giả thuyết SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách tập SGK11 Sách giáo khoa giải tích 11 SGK12 Sách giáo khoa giải tích 12 SGKHH Sách giáo khoa hành SGVĐSCB10 Sách giáo viên đại số 10 SGKCB12 Sách giáo khoa giải tích 12 SGVCB12 Sách giáo viên giải tích 12 SBTCB12 Sách tập giải tích 12 SGKNC12 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12 SGVNC12 Sách giáo viên giải tích nâng cao 12 SBTNC12 Sách tập giải tích nâng cao 12 THPT Trung học phổ thông TCN Trước công nguyên Tr Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1.Thống kê nhiệm vụ KNV SGKHH đề cập 34 Bảng 2.2 Thống kê số lượng nhiệm vụ trình bày hình thức trắc nghiệm SGKHH 36 Bảng 2.3 Thống kê số lượng nhiệm vụ Đề minh họa Bộ GD-ĐT giới thiệu năm học 2016 - 2017 38 Bảng 3.1 Thống kê praxéologie quan sát GV1 54 Bảng 3.2 Thống kê praxéologie quan sát GV2 62 Bảng 4.1 Thống kê số lượng GV trường chương trình GV dạy năm học 2016 2017 .76 Bảng 4.2 Thống kê số năm dạy 12 số năm công tác .77 Bảng Thống kê mục đích sử dụng kết thi mơn toán HS 77 Bảng 4.4 Thống kê câu trả lời câu hỏi .78 Bảng 4.5 Thống kê số lượng chiến lược nêu câu hỏi .79 Bảng 4.6 Thống kê chiến lược ưu tiên câu hỏi .80 Bảng 4.7 Thống kê số lượng GV dạy ứng dụng tích phân 92 DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 4.1 Câu hỏi – Trả lời GV2 78 Hình 4.2 Câu hỏi – Trả lời GV6 79 Hình 4.3 Câu hỏi - Câu - Trả lời GV9 80 Hình 4.4 Câu hỏi - Câu - Trả lời GV13 80 Hình 4.5 Câu hỏi - Trả lời GV3 83 Hình 4.6 Câu hỏi - Trả lời GV8 83 Hình 4.7 Câu hỏi - Trả lời GV16 83 Hình 4.8 Câu hỏi - Trả lời GV2 83 Hình 4.9 Câu hỏi - Trả lời GV4 84 Hình 4.10 Câu hỏi - Trả lời GV2 84 Hình 4.11 Câu hỏi - Trả lời GV15 84 Hình 4.12 Câu hỏi - Trả lời GV4 85 Hình 4.13 Câu hỏi - Trả lời GV22 85 Hình 4.14 Câu hỏi - Trả lời GV17 85 Hình 4.15 Câu hỏi - Trả lời GV8 86 Hình 4.16 Câu hỏi - Trả lời GV3 89 Hình 4.17 Câu hỏi - Trả lời GV15 89 Hình 4.18 Câu hỏi - Trả lời GV5 90 Hình 4.19 Câu hỏi - Trả lời GV13 91 Hình 4.20 Câu hỏi - Trả lời GV2 91 Hình 4.21 Câu hỏi - Trả lời GV13 92 Hình 4.22 Câu hỏi - Trả lời GV1 93 Hình 4.23 Câu hỏi - Trả lời GV19 93 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Bộ SGKHH nằm chương trình THPT mơn Tốn ban hành theo định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05/5/2006 Bộ GD-ĐT Bộ sách biên soạn theo số định hướng sau: Hỗ trợ việc đổi phương pháp dạy học Trong phạm vi cho phép cố gắng giới thiệu văn hóa Tốn học, làm cho Tốn học gần đời sống vui Bước đầu giới thiệu cách sử dụng máy tính bỏ túi đưa kiểm tra trắc nghiệm … [SGVĐSCB10, tr.4 – 5] Kể từ năm 2009, đề thi kì thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học, kì thi THPT quốc gia, viết dựa nội dung SGKHH Thống kê tập liên quan đến khái niệm tích phân kì thi tính đến năm 2016, chúng tơi nhận thấy: 𝑏 + Có 22/23 phát biểu dạng Tính tích phân ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 , ví dụ: “Tính 𝑥 −1 tích phân ∫1 𝑥2 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥” [Đề tuyển sinh đại học năm 2013, khối A A1], + Có tính diện tích hình phẳng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 1” [Đề tuyển sinh đại học năm 2014 khối A A1] So sánh với đề thi tương ứng trước năm 2009, không thấy có thay đổi dạng tập liên quan đến khái niệm tích phân Nếu có, thay đổi độ khó đề thi giảm so với trước Như vậy, chương trình SGKHH đổi so với trước năm 2006 đề thi lại khơng có đổi tương ứng Trong kết thi cử lại xem mục đích đào tạo Do dự đốn việc dạy học GV Tốn 12 khó có thay đổi đáng kể Khái niệm tích phân khai P25 411 GV nhận xét câu b gọi HS làm câu c, câu d câu e c) ∫1 2x+1 dx d) ∫0 𝑒 −2𝑥+1 𝑑𝑥 𝜋 e) ∫03 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 415 GV ghi tiếp tính chất tích phân lên bảng Tính chất b b b ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx a a b a b ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx a a 416 GV: Các em thấy tính chất tích phân giống tính chất gì? Tuyết 417 Tuyết: Dạ, giống tính chất ngun hàm 418 GV: Vậy, giống tính chất ngun hàm nha… Do ta có tích phân 𝑏 𝑏 𝑏 tích hai hàm số tích hai tích phân: ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥, hai hay khác nhau? Tiên, hay khác? 419 GV gợi ý: Ngun hàm có tính chất khơng? 420 HS: Dạ, không 𝑏 𝑏 𝑏 421 GV: ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≠ ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥 b c b 422 GV giới thiệu tiếp tính chất: ∫a f(x)dx = ∫a f(x) dx + ∫c f(x)dx 423 GV giải thích: Cái cơng thức chèn cận Ở ta có cận a, cận b, ta chèn cận c vào, điểm c thuộc khoảng (a; b) Cái ý tưởng chứng minh xuất phát từ diện tích thơi Diện tích tính từ a đến b khơng? Ta chèn c vào miếng chia làm hai phần diện tích từ a đến cộng cho diện tích từ c đến b b 424 GV nêu tính chất cuối: ∫a |f(x)|dx ≥ b b 425 GV yêu cầu HS bổ sung thêm công thức: ∫a |f(x)|dx ≥ |∫a f(x)dx| (dấu “=” xảy f(x) không đổi dấu đoạn [a; b]) P26 𝑏 426 GV nhắc lại: Về ∫𝑎 |𝑓(𝑥 )|𝑑𝑥 ln ln lớn Dấu “=” xảy 𝑓(𝑥 ) không đổi dấu 427 GV viết ví dụ a lên bảng lưu ý: Các em làm giống hồi Ngồi em áp dụng cơng thức tích phân tổng tổng tích phân tách riêng tính cho dễ dàng GV thực hành trình bày ví dụ a 3 Ví dụ: a) ∫1 (3𝑥 + √𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 3𝑥𝑑𝑥 + ∫1 √𝑥𝑑𝑥 428 GV nhắc nhở HS tính tốn kết quả: Các em bấm máy bấm số lại với để nguyên Được chưa? Cách làm dài khơng? Nhưng bù lại tính tốn phần nhỏ dễ dàng hơn, khơng có sai Bên tính tốn thành cục trừ hai cục với dễ sai tính phần nha Các em sửa vơ Những sau em làm hai cách: Tính ngun hàm lượt số vơ tách thành tích phân tính GV gọi Sơn lên bảng làm câu b kèm hướng dẫn 𝑥 +4𝑥+1 b) ∫1 𝑥3 31 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫1 𝑑𝑥 + ∫1 𝑑𝑥 + ∫1 𝑥3 𝑑𝑥 𝟑 𝟏 = ln|x||1 + (− )| + (− ) 𝐥𝐧|𝐱|| x 𝐱 𝟏 𝟑 430 GV nhận xét: Bạn làm (− 𝟏𝒙) 𝒍𝒏|𝒙|| phân tích 𝑥13 = 𝑥1 𝑥12 phải không? 𝟏 Luyện tập đổi biến số loại học đổi biến số loại (Tiết 9+10, ngày 9/2/2017) GV ghi đề lên bảng Ví dụ (trang 52) 𝑙𝑛2 n) ∫0 𝑒𝑥 1+2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛3 𝑒 2𝑥 o) ∫0 𝑒 𝑥 +1 𝑑𝑥 𝑒 𝑙𝑛5 𝑥 p) ∫1 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑙𝑛𝑥+3 q) ∫𝑒 𝑥𝑙𝑛3 𝑥 𝑑𝑥 434 GV nhắc lại kĩ thuật làm n): Đối với dạng mũ ta có hai cách làm Một cách em đặt t mẫu, cách thứ hai em đặt 𝑡 = 𝑒 𝑥 Hai cách em làm cách 438 Cả hai HS chọn cách đặt t biểu thức mẫu Tuy nhiên HS làm câu o) nhiều thời gian hoàn thiện cần nhắc HS lớp P27 51 trợ giúp GV tính tốn (Bài thứ đổi biến trở thành ∫3 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛 , 𝑡 𝑡−1 thứ hai ∫2 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝑙𝑛 ) 51 439 HS1 không thuộc công thức, viết thành ∫3 𝑑𝑡 = ∫3 𝑙𝑛|𝑡| 𝑡 440 HS2 đổi biến mà không thay cận vào công thức tích phân theo biến Gặp khó khăn đổi từ hàm số cũ sang hàm số biến t, GV phải trợ giúp Đến lại lúng túng việc biến đổi GV lại phải hướng dẫn chia tử cho mẫu 441 GV nhắc giá trị ln thường lẻ nên khơng bấm máy 442 GV phê bình: Giờ cịn nhiều em cơng thức lơ mơ Khơng có nhớ cả… 448 GV nhắc nhở: Thông thường, đáp án trắc nghiệm người ta thường rút gọn thành 1 2 𝑙𝑛 người ta để đáp án dạng (𝑙𝑛5 − 𝑙𝑛3) 𝑙𝑛|5| − 𝑙𝑛|3| 455 GV: thơng thường em bấm máy Thực đề trắc nghiệm, người ta thường khơng cho câu bấm máy kết quả, có cho cho Người ta cho kiểu khác, em bấm máy Ví dụ: với tốn câu q), người ta hỏi đặt 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥 tích phân viết lại nào? ∫ 𝑡+3 𝑡2 𝑑𝑡, ∫ 𝑡+3 3𝑡 𝑑𝑡…Tức người ta cho dạng biểu thức thôi, mà hỏi em Hiểu không? Tức người ta không cho hẳn số, mà người ta cho biểu thức, tức cho t, đổi cận xong, ta có đáp án (chỉ vào ví dụ), chọn xem đáp án Được chưa? Thành em khơng thể phụ thuộc hồn tồn vào bấm máy Máy bấm vài thơi 456 GV tiếp lời: Một dạng mà em khơng bấm máy Ví dụ r) em sửa lại đề r’) Cho ∫0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = Tính 𝐼 = ∫0 𝑓(2𝑥 )𝑑𝑥 (GV ghi đề lên bảng) 457 GV: Bài chắn em dùng máy tính Bài ta tìm cách biến đổi để ∫0 𝑓(2𝑥 )𝑑𝑥 gần giống ∫0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = Bằng cách em đặt t GV vừa giảng vừa tiến hành ghi bảng Đặt 𝑡 = 2𝑥 ⟹ 𝑑𝑡 = 2𝑑𝑥 P28 ⟹ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 Đổi cận: 𝑥 = ⟹ 𝑡 = 𝑥=0⟹𝑡=0 1 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 2 0 458 GV: Các em lưu ý tích phân khơng phụ thuộc vào biến Bữa trước thầy có nói 𝑏 𝑏 tính chất này: ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 Các em phải hiểu là, hàm số giống nhau, cận giống tích phân giống 4 459 GV: Được chưa? Do ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = Vậy kết tích phân I bao nhiêu? 460 HS: 461 GV: Bài em phải hiểu tính chất, cách đặt t, đổi cận làm Rồi, em sửa vô 𝑏 462 GV: Em khơng nhớ ghi thêm cơng thức nha: ∫𝑎 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 Thầy nhắc lại này, tích phân khơng phụ thuộc vào biến 463 HS sửa 464 GV: Các em làm thêm ví dụ nha 𝑥 s’) Cho ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 10 Tính 𝐼 = ∫0 𝑓 ( ) 𝑑𝑥 𝜋 f’) Cho ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = Tính 𝐼 = ∫0 𝑓(𝑠𝑖𝑛 2𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛4 𝑒 2𝑥 u’) Cho ∫0 1+𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛 Tính a.b 471 Câu u’), GV lưu ý: Đáp án + 𝑙𝑛 nên ta phải đổi sang − 𝑙𝑛 2 người ta cho 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛 −1 cách + 𝑙𝑛 = + 𝑙𝑛 ( ) = − 𝑙𝑛 5 2 từ − 𝑙𝑛|5| − + 𝑙𝑛|2| = − (𝑙𝑛5 − 𝑙𝑛2) = − 𝑙𝑛 Vậy kết − 𝑙𝑛 ứng với đề nên suy 𝑎 = 3, 𝑏 = −1 ⟹ 𝑎 𝑏 = −3 Đây dạng em bấm máy Bắt buộc phải tính tay 472 GV ghi đề mục học lên bảng P29 I Phương pháp đổi biến số loại 𝑏 Dạng 𝐼 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 √2 Ví dụ: a) ∫0 𝑥 +2 𝑑𝑥 473 GV yêu cầu HS ý lên bảng thông báo học qua đổi biến số dạng √2 474 GV: Nếu ta có tích phân ∫0 𝑥+2 𝑑𝑥 , có làm khơng? 475 HS: Được 476 GV: Ta gì? √2 477 HS: 𝑙𝑛|𝑥 + 2||0 √2 478 GV: Ừ, 𝑙𝑛|𝑥 + 2||0 Tính bình thường Nếu có bình phương vơ √2 ∫0 𝑥 +2 𝑑𝑥? 479 GV: Bình phương vơ khơng xài ln Nếu ta đặt t mẫu (𝑡 = 𝑥 + 2) suy dt gì? 2𝑥𝑑𝑥 Ở có 𝑥𝑑𝑥, đề có x khơng? 480 HS: Không 481 GV: Vậy ta thêm x vào tử, đương nhiên thêm vào tử phải thêm vào mẫu √2 (∫0 𝑥 𝑥(𝑥 +2) 𝑑𝑥 ), ta gì? 𝑡 = 𝑥 + 2, 𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 cịn x mẫu gì? HS xì xào 482 GV: Cái x phải biến đổi chuyển qua √𝑡 − ta thu tích phân cịn phức tạp tích phân ban đầu Như phương pháp đổi biến số loại phức tạp, khơng giải Ta phải dùng đổi biến số loại Phương pháp sau… 484 GV: Tích phân thu nhìn phức tạp ta tính nguyên hàm Hàm 𝑢(𝑡) đặt nào, ta có số cách đặt sau: Cách đặt 𝑢(𝑡) 𝜋 𝜋 ∫ √𝑎2 −𝑥 𝑑𝑥; ∫ √𝑎2 − 𝑥 𝑑𝑥: Đặt 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑡, 𝑡 ∈ [− ; ] 1 𝜋 𝜋 ∫ 𝑎2 +𝑥 𝑑𝑥; ∫ √𝑎2 +𝑥 𝑑𝑥; ∫ √𝑎2 + 𝑥 𝑑𝑥: Đặt 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑡, 𝑡 ∈ (− ; ) P30 485 GV lưu ý: Nếu tích phân có chứa thêm 𝑥 2𝑘 ta dùng phương pháp 2, chứa thêm 𝑥 2𝑘+1 ta dùng phương pháp đổi biến dạng 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 2 486 GV: Tại 𝑡 ∈ (− ; ) hay 𝑡 ∈ [− ; ] chút thầy nói sau… 495 GV: Về nguyên tắc ta làm dạng đổi biến số loại trước, không ta dùng đổi biến số loại Còn cách đặt biến BTVN cho em Ứng dụng tích phân (Tiết 4, ngày 20/2/2017) 497 GV giảng bài: Các em nhớ phần diện tích hình thang cong đầu tích phân thầy giới thiệu khơng? 498 GV tiến hành vẽ hình lên bảng Viết bảng giải thích kí hiệu hình vẽ 500 GV: Đây cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: đồ thị (𝐶 ): 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ), trục Ox hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Các em viết vô Ở em có vẽ hình vào 501 GV viết bảng a Tính diện tích (𝐶): 𝑦 = 𝑥 + 1, trục Ox hai đường thẳng 𝑥 = 1, 𝑥 = 503 GV hướng dẫn: Đầu tiên em ghi sơ đồ sau (𝐶): 𝑦 = 𝑥 + { Trục Ox 𝑥 = 1, 𝑥 = 2 511 GV: Phá trị tuyệt đối ta có: 𝑆 = ∫1 |𝑥 + 1|𝑑𝑥 = ∫1 (𝑥 + 1)𝑑𝑥 513 GV thông báo làm sang b (𝐶): 𝑦 = 𝑥 − 4, trục Ox hai đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 530 GV: Các em ý lên bảng nè Hình vẽ sau: P31 533 GV gạch chéo phần cần tính diện tích Chỉ rõ phần diện tích 536 GV giải thích ý: Đơi đề trắc nghiệm người ta cho hình trước, yêu cầu viết cơng thức tính diện tích Rồi người ta cho diện tích, hỏi hình Và hỏi số tốn liên quan Thì ta có nhận xét nhanh này: Nếu đồ thị nằm phía trục Ox (𝑓 (𝑥 ) > 0, 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)) 𝑆 = 𝑏 𝑏 ∫𝑎 |𝑓(𝑥 )|𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 537 GV: Các em lưu ý tích phân (∫0 |𝑥 − 4|𝑑𝑥) bấm máy được, có điều lâu 538 GV chi tiết bước bấm máy 544 GV giảng ghi bảng vẽ hình hình phẳng giới hạn hai đồ thị 546 GV: Rồi, ví dụ, câu a VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (𝐶): 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 1, 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 1, 𝑥 = 564 GV: Rồi, ta có số ý bổ sung sau Chú ý: + Phương trình Ox: 𝑦 = 0, trục Oy: 𝑥 = 565 GV: Các em ý phương trình Ox: 𝑦 = nên trường hợp tính diện tích thứ nhất, giới hạn 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) trục Ox, ta áp dụng cơng thức thứ hai 𝑆 = 𝑏 𝑏 ∫𝑎 |𝑓(𝑥 ) − 0|𝑑𝑥 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥 )|𝑑𝑥 Tức trường hợp thứ trường hợp đặc biệt trường hợp thứ hai mà 566 GV: Trục Oy: 𝑥 = tức ta có cận 𝑥 = 567 GV giảng ghi tiếp ý kèm hình vẽ P32 + Nếu đề khơng cho đủ hai cận → Ta tìm cận cách giải phương trình hồnh độ giao điểm: 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥) 568 GV: Các em ý giải ta có cận Thậm chí giải cận ta có thêm hai cận Các em bổ sung hình vẽ vơ 569 GV: Lưu ý em nhà làm phải xét dấu nha, khơng bấm máy Vì đề thi cho em không bấm máy Ứng dụng tích phân (Tiết 4+5, ngày 25/2/2017) Tiết 1: 572 GV: Ta ý thứ cách phá dấu giá trị tuyệt đối 𝑏 𝑏 Cách phá dấu giá trị tuyệt đối công thức 𝑆 = ∫𝑎 |𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥)|𝑑𝑥 = ∫𝑎 |ℎ(𝑥)|𝑑𝑥 Có cách phá dấu giá trị tuyệt đối Cách 1: Xét dấu biểu thức chia miền tích phân (Cái ta hay làm) Cách 2: Nếu phương trình 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥) vơ nghiệm 𝑏 khoảng (𝑎; 𝑏) 𝑆 = |∫𝑎 (𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥))𝑑𝑥 | Cách 3: Nếu đồ thị (C) nằm phía (C’) (𝑎; 𝑏) 𝑏 (𝑓1 (𝑥) > 𝑓2 (𝑥) ) 𝑆 = ∫𝑎 [𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥) ]𝑑𝑥 578 GV: Các em phải nhớ cách đồ thị nha đơi trắc nghiệm người ta cho em hình sẵn yêu cầu tính diện tích hình 579 GV ghi đề lên bảng Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (𝐶): 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + 2, (𝑃): 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑦, 𝑥 = 580 GV: Đầu tiên em phải viết sơ đồ ra, hình phẳng giới hạn đường phải ghi rõ (𝐶): 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + { (𝑃): 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 581 GV: Ta có 𝑆 = ∫0 |𝑥 + 2𝑥 + − 𝑥 − 2|𝑑𝑥 = ∫0 |𝑥 + 𝑥 |𝑑𝑥 582 GV: Đến ta có hai cách làm Cách ta xét dấu: 𝑆 = ∫0 (𝑥 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 583 (GV nhắc nhở HS cách lập bảng xét dấu) P33 584 GV: Cách ta không xét dấu Đầu tiên ta coi biểu thức có nghiệm hay khơng 𝑥=0∉(0;1) Nhận xét: 𝑥 + 𝑥 = ⟺ [𝑥=−1∉(0;1) → Phương trình vơ nghiệm (0; 1) 1 ⟹ 𝑆 = |∫ (𝑥 +𝑥 2) 𝑥4 𝑥3 7 𝑑𝑥| = |( + )| | = | | = 12 12 (GV kết hợp giảng hỏi HS) 585 GV: Cách em thấy dễ hơn? 586 HS: Cách 587 GV: Cách Cách đỡ phiền phức khơng phải xét dấu, nhiên có phiền để dấu trị tuyệt đối bên ngoài… Tiết 2: 600 GV sửa sai sót làm HS, nhắc nhở HS phải rút gọn kết quả, bấm máy xem kết âm hay dương để bỏ dấu giá trị tuyệt đối 601 GV yêu cầu HS làm tiếp ví dụ Sau phút GV gọi HS lên sửa (𝐶): 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + Ví dụ (𝑆) { 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 = −1, 𝑥 = 602 GV vừa giảng vừa ghi bảng (vẽ hình trước nêu cơng thức) III Thể tích khối trịn xoay Cho hình phẳng (S) giới hạn đường (𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥) Trục Ox: y = { đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Quay (𝑆) xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay 𝑏 tích là: 𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 (𝐶): 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑆) {(𝐶′): 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) vô nghiệm 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎; 𝑏) 𝑏 2 𝑉 = 𝜋 |∫ [(𝑓(𝑥)) − (𝑔(𝑥)) ] 𝑑𝑥 | 𝑎 P34 603 GV hướng dẫn cách thiết lập cơng thức tính thể tích thứ hai 607 GV ghi ví dụ a lên bảng (𝐶): 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 Ví dụ: a) (𝑆) { Trục Ox: y = 𝑥 = 1, 𝑥 = 610 GV viết đề câu b c lên bảng (có điều chỉnh so với in để toán trở nên đơn giản hơn) b) (𝐶): 𝑦 = c) { −1 𝑥+2 , 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑥, 𝑥 = 2, 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑦 (𝐶): 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 (𝑃): 𝑦 = −𝑥 629 GV lưu ý: Các em bấm máy nha, thi có số em khơng bấm máy Ví dụ người ta cho hình 630 GV: Cái đề người ta cho này: Hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hoành hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 Diện tích tính cơng thức nào? 𝑥 𝑏 e) 𝑆 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 f) 𝑆 = 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑏 g) 𝑆 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 h) 𝑆 = 𝑥 − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 + ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 631 GV: Đáp án 632 HS bàn tán xôn xao đáp án 633 GV: Đáp án em? 634 Một số HS: Câu a P35 635 GV: Đầu tiên em phải thuộc công thức trước, dạng trước Diện tích 𝑏 gì? 𝑆 = ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 Vậy câu b không? 636 HS: Không 637 GV: Phải có nữa? 638 HS: Trị tuyệt đối 639 GV: Do câu b khơng có trị tuyệt đối nên sai Ta cần phá trị tuyệt đối, hai miền ngăn cách 𝑥0 nên ta tách Là từ a đến đâu? 640 HS: Đến 𝑥0 𝑥 𝑏 641 GV: Rồi cộng cho từ 𝑥0 đến b: 𝑆 = ∫𝑎 0|𝑓(𝑥 )|𝑑𝑥 + ∫𝑥 |𝑓(𝑥 )|𝑑𝑥 Vậy câu nào? 642 HS: Câu a 𝑥 𝑏 643 GV: Câu a sai Tại câu a khác 𝑆 = ∫𝑎 0|𝑓(𝑥 )|𝑑𝑥 + ∫𝑥 |𝑓(𝑥 )|𝑑𝑥 chỗ nào? 644 HS: Trị tuyệt đối 645 GV: Đúng rồi, phá trị tuyệt đối ta nào? Từ a đến 𝑥0 mang dấu gì? 646 HS: Âm 647 GV: Từ 𝑥0 đến b mang dấu gì? 648 HS: Dương 649 GV: Vậy câu đúng? 650 HS: Câu d P36 PHIẾU KHẢO SÁT GV Q thầy (cơ) kính mến, năm học 2016 - 2017 có thay đổi lớn lần mơn Tốn thi THPT quốc gia hình thức trắc nghiệm GV dạy Toán lớp 12 người chịu tác động thay đổi buộc phải có điều chỉnh phù hợp cơng tác giảng dạy Đó nội dung nghiên cứu luận văn Giới hạn đề tài mình, tơi nghiên cứu tác động việc thay đổi hình thức thi mơn Tốn việc giảng dạy khái niệm tích phân Phiếu khảo sát có mục đích thu thập liệu thực tế phục vụ cho nghiên cứu Xin chân thành cám ơn quý thầy (cô) dành thời gian quý báu để thực phiếu khảo sát Phần Thơng tin cá nhân (Q thầy (cơ) vui lịng cho biết số thông tin cá nhân) Đơn vị công tác: Số năm công tác: Số năm dạy 12: Năm học 2016 – 2017, thầy (cơ) dạy chương trình nào?(Chuẩn, Nâng cao): Mục đích sử dụng kết thi mơn Tốn HS (HS) mà thầy (cơ) dạy gì?  Chỉ xét tốt nghiệp  Xét tổ hợp môn vào trường cao đẳng trường đại học có điểm đầu vào thấp  Xét tổ hợp môn vào trường đại học tốp đầu Phần Nội dung câu hỏi khảo sát Trong năm học 2016 – 2017, việc thi mơn Tốn đổi từ tự luận sang trắc nghiệm khiến thầy cô phải thay đổi giảng dạy khái niệm tích phân? (Thầy (cơ) đánh dấu X vào ô thầy (cô) cho phù hợp)  Khơng thay đổi  Lướt qua lí thuyết, tập trung rèn luyện kĩ giải tốn trắc nghiệm máy tính cầm tay (MTBT)  Dạy lí thuyết đầy đủ kĩ hơn, rèn luyện song song kĩ giải toán tự luận giải toán trắc nghiệm MTBT P37  Dạy lí thuyết đầy đủ kĩ hơn, ưu tiên rèn luyện kĩ giải toán tự luận, giải toán trắc nghiệm cung cấp thủ thuật MTBT ôn tập gần ngày thi  Khác: Theo thầy (cơ) giải câu trắc nghiệm sau cách nào? Cách thầy (cô) ưu tiên hướng dẫn HS? Câu Tính tích phân 𝐼 = ∫1 2𝑥√𝑥 − 1𝑑𝑥 cách đặt 𝑢 = 𝑥 − 1, mệnh đề đúng? A.𝐼 = ∫0 √𝑢𝑑𝑢 B 𝐼 = ∫1 √𝑢𝑑𝑢 C 𝐼 = ∫0 √𝑢𝑑𝑢 D 𝐼 = ∫1 √𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑥 Câu Cho ∫0 𝑒 𝑥 +1 = 𝑎 + 𝑏𝑙𝑛 A S  1+𝑒 với 𝑎, 𝑏 số hữu tỉ Tính 𝑆 = 𝑎3 + 𝑏 B S  2 C S  D S  Câu Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục ℝ thoả mãn 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) = √2 + cos 2𝑥 , ∀𝑥 ∈ 3𝜋 ℝ Tính ∫ 23𝜋 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −2 A I 6 B I 0 C I 2 D I 6 P38 Liên quan đến khái niệm tích phân, theo thầy dạng câu hỏi trước đặt đề thi tự luận (không nên) đặt đề thi trắc nghiệm? Lý sao? Thầy vui lịng cho ví dụ dạng câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến khái niệm tích phân? Mục tiêu câu hỏi theo thầy gì? P39 Việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm làm cho việc dạy học đánh giá HS thầy liên quan đến khái niệm tích phân gặp phải khó khăn gì? Liên quan đến khái niệm tích phân, theo thầy (cơ) hình thức thi trắc nghiệm có ưu nhược điểm việc đánh giá HS? Trong thực tế dạy học ôn tập cho HS, thầy (cơ) có cho HS làm dạng tốn vận dụng tích phân giải tốn thực tiễn khơng? Vì sao? (Nếu có tốn dựa ứng dụng (ý nghĩa) tích phân?) ... cách tiếp cận khái niệm tích phân Chương Mối quan hệ thể chế dạy học toán 12 khái niệm tích phân Chương Nghiên cứu thực hành dạy học khái niệm tích phân giáo viên Chương Nghiên cứu thực nghiệm... đề tài Nghiên cứu thực hành dạy học GV khái niệm tích phân Tổng quan cơng trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu Liên quan đến khái niệm tích phân có nhiều cơng trình nghiên cứu: Về nghiên cứu tri... 46 2.4 Kết luận .50 Chương NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CỦA GIÁO VIÊN 53 3.1 Nghiên cứu thực hành dạy học GV1 dạy chương trình Nâng cao .53 3.1.1 Những