Phương trình đại số lyapunov và một số tính chất liên quan

I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I HC KHOA H¯C TÜ NHI N PH M THANH NGA PHÌNG TR NH I Să LYAPUNOV V MáT Să TNHCH TLI NQUAN LU NV NTH CS KHOAH¯C H Nºi - 2014 I HC QUăC GIA H TRìNG NáI I HC KHOA HC TÜ NHI N PH M THANH NGA PHÌNG TR NH I Să LYAPUNOV V MáT Să TNHCH TLI NQUAN Chuyản ng nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 60 46 01 02 LU NV NTH CS KHOAHC Ngữới hữợng dÔn khoa håc: TS H B…nh Minh H Nºi - 2014 Möc lưc Líi c£m ìn Líi mð ƒu Danh mưc c¡c kỵ hiằu, ch vit tt Phữỡng trnh Lyapunov lỵ thuyt n nh ca phữỡng trnh vi phƠn 1.1 H» ºng lüc tuy‚n t‰nh li¶n tưc 1.2 H» ºng lüc tuy‚n t‰nh ríi t⁄c CĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh i s Lyapunov liản tưc 2.1 C¡c ph÷ìng ph¡p vectì hâa 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 Phữỡng phĂp sò dửng h m mụ m 2.3 Phữỡng phĂp sò dửng ma trn ph CĂc tnh chĐt ca nghiằm phữỡng trnh Lyapunov 3.1 ¡nh gi¡ nghi»m 3.1.1 3.1.2 3.2 ¡nh gi¡ v‚t 3.3 ¡nh gi¡ ành thøc K‚t lu“n T i li»u tham kh£o L˝IC MÌN Lu“n vôn n y ữổc ho n th nh ti trữớng i hồc khoa hồc v Tỹ Nhiản H Ni, dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS H Bnh Minh, ngữới  tn tnh hữợng dÔn v giúp ù tổi ho n th nh lun vôn n y TĐm gữỡng am mả nghi¶n cøu khoa håc, nghi¶m tóc cỉng vi»c, gƒn gơi cuºc sŁng cıa thƒy ¢ gióp cho tỉi cõ niãm tin, ỵ thức trĂch nhiằm v quyt tƠm cao ” ho n th nh lu“n v«n cıa m…nh Tỉi xin b y tä lỈng k‰nh trång v bi‚t ỡn sƠu sc tợi Thy Tổi xin gòi lới cÊm ỡn gia nh v bn b, nhng ngữới  ỗng h nh, ht lặng ng viản v giúp ù tổi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p cơng nh÷ l m lun vôn thc sắ n y Tổi xin chƠn th nh c£m ìn! Håc vi¶n Ph⁄m Thanh Nga L˝I M— U Ph÷ìng tr…nh ma tr“n Lyapunov v tüa Lyapunov xuĐt hiằn nhiãu cĂc tữ tững toĂn hồc v k thut khĂc nhữ lỵ thuyt iãu khin, lỵ thuyt hằ thng, ti ữu hõa, hằ thng iằn, xò lỵ tn hiằu s, i s tuyn tnh, phữỡng trnh vi phƠn Theo nh nghắa ca Lyapunov vã sỹ Œn ành (hay ÷ỉc gåi l sü Œn ành theo t÷ t÷ðng Lyapunov), ng÷íi ta câ th” ki”m tra sü Œn ành cıa mºt h» thŁng b‹ng c¡ch x¡c ành c¡c h m Lyapunov Trong to¡n håc, c¡c h» thŁng tuyn t nh xò lỵ rĐt d d ng v ta câ th” bi”u di„n x§p x¿ tuy‚n t‰nh cho c¡c h» thŁng phi tuy‚n, k‚t qu£ ph¥n t‰ch cıa c¡c nh to¡n håc cơng nh÷ kÿ thu“t th÷íng düa v o mæ h…nh tuy‚n t‰nh V… v“y, nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh ma tr“n Lyapunov s‡ cho chóng ta hi”u sƠu hỡn vã cĂch thức hot ng ca cĂc hằ thŁng ºng lüc håc Ph÷ìng tr…nh Lyapunov ÷ỉc øng dưng khỉng ch¿ nghi¶n cøu t ‰nh Œn ành cıa cĂc hằ thng tuyn tnh m cặn ữổc ứng dửng b i to¡n i•u khi”n v b i to¡n lỵ thuyt hằ thng ãu dỹa v o phữỡng trnh Lyapunov hoc phữỡng trnh tỹa Lyapunov: khĂi niằm vã Grammian iãu khin v quan sĂt(Chen, 1984), php bin i cƠn bng(Moore, 1981), sỹ tông cữớng tnh n nh bin Œi c¡c tham bi‚n(Patel v Toda, 1980; Yedavalli, 1985), nghi¶n cøu gi£m b“c mỉ h…nh v gi£m b“c i•u khi”n(Hyland v Bernstein, 1985, 1986; Bernstein v Hyland, 1985; Safonov v Chiang, 1989), cĐu trúc thay i ca khổng gian lợn(Balas, 1982), thi‚t k‚ dü to¡n(Chen, 1984) Trong lu“n v«n n y, tổi giợi thiằu phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh ma tr“n Lyapunov v c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i gƒn óng cho hằ thng thới gian liản tửc Ni dung lun vôn gỗm ba chữỡng: Chữỡng Phữỡng trnh Lyapunov lỵ thuyt n nh ca phữỡng tr nh vi phƠn Trong chữỡng n y, tổi giợi thiằu vã tnh n nh ca hằ tuyn tnh, ỗng thới ữa v chứng minh cử th cĂc nh lỵ vã tnh n nh ti»m c“n, c¡c v‰ dư minh håa Ch÷ìng C¡c phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh i s Lyapunov liản tưc Trong ch÷ìng n y, tỉi tr…nh b y c¡c phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh i s Lyapunov liản tửc õ l cĂc phữỡng phĂp: vectỡ hõa, sò dửng h m mụ ma trn v phữỡng phĂp sò dửng ma trn phÊn i xứng Chữỡng CĂc tnh chĐt nghiằm cıa ph÷ìng tr…nh Lyapunov Trong ch÷ìng n y, tỉi tr…nh b y nhœng nºi dung sau: ¡nh gi¡ nghi»m, ¡nh gi¡ v‚t v ¡nh gi¡ ành thøc DANHMƯCC CKÞHI U,CHÚVI TT T Rn n jjxjj i T y = (y1; y2; ; yn) tr(A) det(A) Ch÷ìng Ph÷ìng trnh Lyapunov lỵ thuyt n nh ca phữỡng trnh vi phƠn Theo lỵ thuyt n nh ca Lyapunov (Lyapunov 1892), sü Œn ành cıa h» ºng lüc câ th” xĂc nh bi cĂc h m vổ hữợng ữổc gồi l h m Lyapunov H m Lyapunov ÷ỉc ¡p dưng cho hằ tuyn tnh hoc phi tuyn, miãn liản tưc ho°c mi•n ríi r⁄c theo thíi gian 1.1 H» ºng lüc tuy‚n t‰nh li¶n tưc X†t h» tuy‚n t‰nh, liản tửc, bĐt bin theo thới gian ữổc mổ tÊ bði ph÷ìng tr…nh sau x = Ax(t); â x(t) l x(t0) = x0; n v†ctì tr⁄ng th¡i, x(t) R , A l Rn n (1.1) ma tr“n khỉng gian ành ngh¾a 1.1 H» ºng lüc tuy‚n t‰nh (1.1) ÷ỉc gåi l Œn ành ti»m c“n n‚u tĐt cÊ cĂc giĂ tr riảng ca ma trn A nm trồn nòa trĂi ca mt phflng phức Lỵ thuyt n nh ca Lyapunov ữổc xƠy dỹng nhữ sau nh lỵ 1.1 im cƠn bng x = ca h» ºng lüc ºng lüc tuy‚n t‰nh (1.1) l Œn nh tiằm cn nu tỗn ti mt h m khÊ vi vổ hữợng liản tửc V (x) thọa mÂn cĂc i•u ki»n sau: V (x) 0; V (x) = v ch¿ x = 0: V (x) = dx Łi vỵi h» ºng lüc ºng lüc tuy‚n t‰nh (1.1), câ th” câ nhi•u c¡ch chån h m Lyapunov C¡ch ìn gi£n nh§t l chån h m Lyapunov câ dng to n phữỡng GiÊ sò rng, vợi Q l mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng, ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ Lyapunov (gåi t›t l ph÷ìng tr…nh Lyapunov) sau T A P +PA+Q=0 câ mºt nghi»m P l Łi xứng, xĂc nh dữỡng Khi õ, ta xƠy dỹng h m Lya-punov dữợi dng sau: T V (x) = x P x T Ta s‡ ki”m tra V (x) = x P x l h m Lyapunov thäa m¢n c¡c iãu kiằn ca nh lỵ 1.1 Tht vy T V (x) = x P x 0, P l ma tr“n x¡c ành d÷ìng V (x) = v ch¿ x = 0, P l ma tr“n x¡c ành d÷ìng _ T‰nh V (x), ta câ: _ T T V (x) = (x) P x + x (P x) T T T = x A P x + x P Ax = x (A P + P A)x T T T = x Qx < 0; (do Q l ma tr“n x¡c ành d÷ìng) Nh÷ v“y, t‰nh Œn ành ti»m c“n cıa h» (1.1) li¶n quan n sỹ tỗn ti nghiằm i xứng, xĂc nh dữỡng cıa ph÷ìng tr…nh Lyapunov Tł â ta câ k‚t qu£ sau: nh lỵ 1.2 Hằ ng lỹc ng lỹc tuyn t‰nh (1.1) l Œn ành ti»m c“n n‚u v T ch nu vợi mỉi Q = Q > tỗn t⁄i nh§t nghi»m P = P T > cıa ph÷ìng tr… nh Lyapunov sau T A P +PA+Q=0: T nh lỵ 1.2 cõ th m rng cho trữớng hỉp Q = C C — ¥y khỉng cƒn thi‚t Q > Trong tr÷íng hỉp â h» (1.1) l Œn ành ti»m c“n n‚u v ch¿ n‚u c°p (A; T C) l quan s¡t ÷ỉc v ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ Lyapunov câ nghi»m nh§t P = P > T‰nh quan s¡t ÷ỉc cıa c°p (A; C) câ th” ki”m tra mºt c¡ch d„ d ng nhí v o ti¶u chu'n Kalman 1.2 H» ºng lüc tuy‚n t‰nh ríi t⁄c Cho mºt h» tuy‚n t‰nh ríi r⁄c b§t bi‚n theo thíi gian x(k + 1) = Ax(k); Łi vỵi h» ºng lüc ºng lüc ríi r⁄c (1.4), ta chån h m Lyapunov câ d⁄ng to n ph÷ìng nhữ sau GiÊ sò rng, vợi Q l mt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng, ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ Lyapunov ríi r⁄c sau T A PA P+Q=0 câ mºt nghi»m P l Łi xøng, x¡c ành d÷ìng Khi â, ta xƠy dỹng h m Lya-punov dữợi dng sau: T V (k) = x(k) P x(k) T Ta s‡ ki”m tra V (x) = x(k) P x(k) l h m Lyapunov Th“t v“y T V (k) = x(k) P x(k) 0, P l ma tr“n x¡c ành d÷ìng T x (A P + P A)x = â x Qx dịng ” mỉ t£ li¶n hỉp phøc Khi â, chóng ta câ 2Ref (A)gx P x = x Qx: Theo tnh chĐt cỹc i ca thữỡng Rayleigh, ta câ min(P ) 26 Phƒn ti‚p theo cıa c¡c bĐt flng thức (3.1) v (3.2) ữổc chứng minh bng cĂch sò dửng lp lun rng vợi > v mºt vectì y 6= 0, h» thøc P y = y ữa (2.1) vã dng T y (A + A )y = y Qy: Chån = max(P ), ph÷ìng tr…nh sau dÔn n cn trản ữổc cho (3.2) Nu chồn = min(P ) s dÔn n cn dữợi (3.1) Chú ỵ rng cn T trản (3.2) óng max(A + A ) < V‰ dö 3.2 X†t mæ h…nh to¡n håc câ ma tr“n A= Sò dung MATLAB ta thu ữổc min(A + A T )= 152:0743; minfRef (A)gg = min(P 25; ) = 0:0110; max(A T + A ) = 77:2679; maxfRef (A)gg; max(P ) = 34:8851: Theo nh lỵ 3.2 ta cõ 0:0066 min(P ) 0:02; 2:5 max(P ): T Chú ỵ rng max(A + A ) > 0, n¶n c“n tr¶n (3.2) l khổng Ăp dửng ữổc nh lỵ 3.3 GiĂ tr riảng ca nghiằm ca phữỡng trnh (2.1) ữổc ¡nh gi¡ nh÷ sau sau: Khi â k(P ) k = 1; 2; ; n; 27 v k i(P i=1 ) Y V‰ dư 3.3 T…m giỵi h⁄n cıa gi¡ tr riảng ca P cho bi (2.1) vợi 2 01 Gi£i P , ta t‰nh ÷ỉc: max(P ) = 1(P ) = 0:5461; 2(P ) = 0:2642, 3(P )= min(P ) = 0:2281: Sò dửng cổng thức nh lỵ 3.3 ta câ ¡nh gi¡ sau: >1 0:6306 > > > < > 0:3581 > > > 0:3000 :3 So s¡nh vỵi k‚t qu£ ch‰nh x¡c, ¡nh gi¡ thu ÷ỉc kh¡ l tŁt v‰ dư n y 3.2 Ănh giĂ vt Nhng nh lỵ dữợi Ơy cho ta Ănh giĂ vt ca ma trn P nh lỵ 3.4 V‚t cıa ma tr“n Łi xøng x¡c ành d÷ìng P ữổc cho bi cĂc bĐt flng thức sau: tr(Q) (i) tr(P ) ; (Patel v Toda, 1978) (ii) tr(P ) (iii) â jQj l ành thøc cıa ma tr“n Q 28 V‰ dö 3.4 Cho A= v Q = I4 Sò dửng phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh Lyapunov chữỡng trữợc ta thu ữổc P= õ tr(P ) = 524:282 Theo nh lỵ 3.4 ta cõ: tr(P ) tr(P ) tr(P ) 5:948 N‚u chån Q1 = diagf1; 2; 3; 4g, â ta câ tr(P1) = 1722:6 Theo nh lỵ 3.4 ta cõ: tr(P1) 3:718 tr(P1) 13:166 tr(P1) 5:948 nh lỵ 3.5 (Wang et al., 1986) Cho As = A+AT : Khi â v‚t cıa ma trn P cõ cn trản v dữợi ữổc x¡c ành nh÷ sau: (i) tr(P ) (ii) tr(P ) 29 (iii) tr tr(Q) (P ) 2tr(A) Chøng minh B chứng minh nh lỵ n y, ta cn b ã dữợi ã 3.1 GiÊ sò X; Y R nn ¥y l Łi xøng v Y 0, â min(X)tr (Y ) tr (XY ) max(X)tr (Y ): Tł (2.1), ta câ T tr (A P ) + tr (P A) = T °t 2As = A + A, tr (Q): â T tr (A P ) + tr (P A) = 2tr (P As) = tr (Q): Theo BŒ • 3.1, ta câ 2tr (P ) max(As) tr (Q) v 2tr (P ) min(As) tr (Q): V“y (i) v (ii) ÷ỉc chøng minh Hìn nœa min(As) > tr (As) vỵi min(As) < 0, v 2tr (A) = tr (As) nản (iii) ữổc chứng minh nh lỵ 3.6 Cho ma trn P , A v Q nh÷ ph÷ìng tr…nh (2.1) Khi â X n n i=1 i(Q) i (AT + A) tr(P ) hX1 i i=1 (Q) i2 2tr(A) 1(A + A A= T ; ) < 0: 30 Gi¡ trà ri¶ng cıa ma tr“n As l x¡c ành d÷ìng, v… v“y c“n trản v dữợi ữổc ữa nh lỵ 3.5 cõ th ữổc ứng dửng Vợi Q = I, nh lỵ 3.5 cho ¡nh gi¡ sau: 1:2453 tr(P ) 25:8509; tr(P ) 6:8236: nh lỵ 3.6 cho Ănh giĂ 2:5575 Tr¶n thüc t‚ tr(P ) = 6:7809 Do â nh lỵ 3.6 cho Ănh giĂ sĂt hỡn nhiãu nh lỵ 3.5 3.3 Ănh giĂ nh thức Tữỡng tỹ nhữ ¡nh gi¡ v‚t, ¡nh gi¡ ành thøc li¶n quan ‚n trung b…nh cıa nghi»m v r§t hœu ‰ch cho t‰nh toĂn s Kt quÊ u tiản vã Ănh giĂ nh thøc cıa ma tr“n P ÷ỉc ÷a (Bailas, 1980) nh lỵ 3.7 Nu i(A) + j(A) 6= 0; i; j = 1; 2; ; n v Q l ma tr“n x¡c ành d÷ìng, â nghi»m P cıa ph÷ìng trnh 2.1 thọa mÂn P jj Cũng vợi giÊ thit ca nh lỵ 3.7 (Mori et al, 1989) cõ th thu ữổc cn dữợi khĂc ca nh thức P jP j jQj nn 2tr(A) : nh lỵ 3.8 (Komanoff, 1988) Cn dữợi ca nh thức ca ma trn P ÷a bði V‰ dư 3.6 Cho A= (3.3) ÷ỉc 31 Ta câ nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Lyapunov nh÷ sau: Do â jP j = C“n tr¶n cıa ành thøc cıa P ÷ỉc l : T T â absjA + Aj l trà tuy»t Łi cıa ành thøc jA + Aj Lữu ỵ, kt quÊ thu ữổc khổng mƠu thuÔn V‰ dö 3.6 V‰ dö 3.7 Cho A= 6 6 6 6 v Q = I D„ d ng ta câ jP j = 0:0544 Ta cõ cĂc Ănh giĂ sau: nh lỵ 3.7 =) det(P ) 1:8713; Cæng thøc 3.3 =) det(P ) 0:011; nh lỵ 3.8 =) det(P ) 1:8713: T Chú ỵ, Cổng thức 3.4 khổng Ăp dửng trữớng hæp 1(A + A ) > 32 KTLUN Lun vôn  trnh b y ữổc nhng ni dung sau Ơy: CĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trnh i s Lyapunov liản tửc (CĂc phữỡng phĂp vectỡ hõa, phữỡng phĂp sò dửng h m mụ ma trn v phữỡng phĂp sò dửng ma trn phÊn i xứng) CĂc tnh chĐt cıa nghi»m ph÷ìng tr…nh Lyapunov ( ¡nh gi¡ nghi»m, ¡nh gi¡ v‚t, ¡nh gi¡ ành thøc) N‚u câ th” chóng tổi s tip tửc nghiản cứu vã ã t i n y thíi gian s›p tỵi Do thíi gian v trnh cặn hn ch nản lun vôn n y khỉng tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât nh§t ành Tổi rĐt mong ữổc sỹ gõp ỵ quỵ bĂu ca thy cổ v bn ồc lun vôn ữổc ho n thi»n hìn Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn! 33 T ILI UTHAMKH O Ti‚ng Vi»t [1] Nguy„n Th‚ Ho n, Ph⁄m Phu (2009), Cì sð ph÷ìng tr…nh vi phƠn v lỵ thuyt n nh, Nh xuĐt bÊn GiĂo döc Ti‚ng anh [2] Agathoklis, P., (1988), The Lyapunov equation for n - dimensional discrete systems, IEEE Trans, Automatic Control, vol 35, 448 - 451 T [3] Barnett, M., (1974), Simplification of Lyapunov matrix equation A P A P = Q, IEEE Trans, Automatic Control, vol 19, 446 - 447 [4] Geromel, J and J Bernussou, (1979), On bounds of Lyapunov matrix equa-tion, IEEE Trans, Automatic Control, vol 24, 482 - 483 [5] M.W.Hisch and S Smale (1974), Differential equation, Dynamical systems and Linear algebra, Academic Press, New York [6] W.A.Coppel (1965), Stability and Asymptotic behavior of differential equations, D C Heath, Boston [7] Zoran Gajic et al (1995), Lyapunov matrix equation in system stability and control, Academic Press 34 ... trnh Lyapunov 3.1 Ănh giĂ nghiằm Do phữỡng trnh Lyapunov liản quan n viằc xƠy dỹng h m Lyapunov ” kh£o s¡t sü Œn ành cıa h» tuy‚n t‰nh, vi»c ¡nh gi¡ nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Lyapunov r§t quan. .. Phữỡng trnh Lyapunov lỵ thuyt n nh ca phữỡng trnh vi phƠn Theo lỵ thuyt n nh ca Lyapunov (Lyapunov 1892), sü Œn ành cıa h» ºng lüc câ th xĂc nh bi cĂc h m vổ hữợng ữổc gåi l h m Lyapunov H m Lyapunov. .. chån h m Lyapunov C¡ch ìn gi£n nh§t l chån h m Lyapunov cõ dng to n phữỡng GiÊ sò rng, vợi Q l mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng, ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ Lyapunov (gåi t›t l ph÷ìng tr…nh Lyapunov)