Một số bài toán tổ hợp đếm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Lê Anh Vinh Hà Nội – Năm 2014 MỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.1Nhắc lại tập hợp 1.2Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.3Giai thừa hoán vị 1.4Chỉnh hợp, tổ hợp 1.5Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp tổ hợp lặp 1.5.1Chỉnh h 1.5.2Hoán vị 1.5.3Tổ hợp CHƢƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN 2.1Một số tốn đếm khơng lặp 2.1.1Bài toán 2.1.2Bài toá 2.1.3Bài toá 2.2Một số tốn đếm có lặp 2.2.1Bài tố 2.2.2Bài toá 2.2.3Bài toá 2.2.4Bài toá 2.2.5Bài toá 2.2.6Bài toá CHƢƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO 3.1Một số toán sử dụng nguyên lý bù trừ 3.1.1Nguyên 3.1.2Các 3.2Một số toán giải phương pháp son 3.2.1Phương 3.2.2Các 3.3Một số toán giải phương pháp hàm 3.3.1Bài toá 3.3.2Bài toá 3.4Một số toán giải phương pháp hệ t 3.4.1Khái ni 3.4.2Các 3.4.3Các 3.5Bài toán giải nguyên lí cực hạn - khả 3.6 Bài toán giải phương pháp xếp thứ tự 61 3.7 Bài toán giải phương pháp liệt kê trường hợp 62 KẾT LUẬN .65 TÀI LIỆU THAM KHẢO .66 MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp lĩnh vực nghiên cứu từ sớm Hiện giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học cao đẳng nước ta Mặc dù mức độ khơng khó học sinh gặp khó khăn giải tốn Còn kỳ thi Quốc gia Quốc tế, tốn tổ hợp ln có mặt thử thách thực với thí sinh, chí định thành tích đội tuyển dự thi Trong luận văn đề cập đến số toán tổ hợp toán học phổ thơng, cụ thể tốn tổ hợp sử dụng phương pháp đếm từ đến nâng cao Đây coi tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh THPT chủ đề Luận văn gồm ba chương: Chương 1- Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2- Một số toán tổ hợp Chương 3- Một số toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên toán tổ hợp luận văn cịn ít, chưa có nhiều tốn khó Ngồi khố luận khơng thể tránh khỏi sai sót nhiều góc độ, mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn CHƢƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP Chương nhắc lại số lý thuyết tập hợp hệ thống lý thuyết toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ bản, nâng cao hệ chuyên nghành toán 1.1 Nhắc lại tập hợp Tập hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A Tập hợp B gọi tập tập A phần tử tập B thuộc A B ⊂ A ⇔ (∀x ∈ B ⇒ x ∈ A) Tính chất: - Mọi tập hợp A có tập φ A n Tập A có n phần tử số tập A Tập hợp thứ tự - Một tập hợp hữu hạn có m phần tử gọi thứ tự với phần tử tập hợp ta cho tương ứng số tự nhiên từ đến m , cho với phần tử khác ứng với số khác Khi thứ tự m phần tử dãy hữu hạn m phần tử hai thứ tự (a1 , a2 , , am ) (b1 , b2 , ,bm ) phần tử tương ứng  a1 , a2 , , am )= (b1 , b2 , ,bm ) ⇔ = bi i = 1,2, , m Số phần tử số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử số phần tử A kí hiệu là: A n ( A) A, B, C tập hợp hữu hạn, A∪B= A+B−A∩B A∪B∪C = A+B+C− A∩B−B∩C−C∩A+ A∩B∩C Tổng quát: Cho A1 , A2 , , An n tập hợp hữu hạn (n >1) Khi n │ A1 ∪… ∪ An │= ∑ n +∑ 1≤ i < k < l ≤n 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Định nghĩa (Tài liệu chuẩn kiến thức 12) Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Tổng quát Một công việc hoàn thành hành động T1 , T2 , , Tn T1 có m1 cách thực T2 có m2 cách thực Tn có mn cách thực Giả sử khơng có hai việc làm đồng thời cơng việc có m1 + m2 + + mn cách thực Biểu diễn dƣới dạng tập hợp: Nếu X , Y hai tập hợp hữu hạn, không giao X+Y=X+Y Nếu X1, X 2, , X n n tập hữu hạn, đôi không giao X1 + X + + X n = X1 + X + + X n Nếu X , Y hai tập hữu hạn X ⊆ Y X=Y\X=Y−X Quy tắc nhân (Tài liệu chuẩn kiến thức 12) Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực hiên hai công việc nhỏ H1 H2 Trong đó: H1 làm n1 cách H2 làm n2 cách, sau hồn thành cơng việc H1 Khi để thực cơng việc H có n1.n2 cách Tổng quát Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực k công việc nhỏ H1 , H2 ,…, Hk đó: H1 làm n1 cách H2 làm n2 cách, sau hồn thành cơng việc H1 … Hk làm nk cách, sau hồn thành cơng việc H k −1 Khi để thực cơng việc H có n1.n2 nk cách Biểu diễn dƣới dạng tập hợp: Nếu A1, A2, , An n tập hợp hữu hạn (n >1), số phần tử tích đề các tập hợp tích số phần tử tập thành phần Để liên hệ với quy tắc nhân nhớ việc chọn phần tử tích đề A1 × A2 × × An tiến hành cách chọn phần tử A1 , phần tử A2 ,…, phần tử An Theo quy tắc nhân ta nhận đẳng thức: A1 × A2 × × An = A1 A2 An 1.3 Giai thừa hoán vị Giai thừa Định nghĩa: Giai thừa n , kí hiệu n ! tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n n! = 1.2.3… ( n −1).(n) , n ∈¥ , n >1 Quy ước : 0!= 1!= Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp A , gồm n phần tử ( n ≥1) Một cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu: Pn số hốn vị n phần tử Pn = n ! = 1.2 …( n −1).n 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho k A Kí hiệu: n k Công thức: An = ( n − k )! Chú ý Một chỉnh hợp n chập n gọi hoán vị n phần tử n A = P = n! n n Tổ hợp Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử ( n ≥ A 1) Mỗi tập gồm k phần tử phần tử cho (1 ≤ k ≤ n ) gọi tổ hợp chập k n k Kí hiệu: C n(1 ≤ k ≤ n ) số tổ hợp chập k n phần tử k Công thức: C n = Chú ý C C k C k n = n −k n n= C n+ C k +1 n = (0 ≤ k ≤n) C k + n+ (1 ≤ k ≤ n ) 1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp tổ hợp lặp 1.5.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa (Phương pháp giải toán tổ hợp) Một cách xếp có thứ tự r phần tử lặp lại tập n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Nếu A tập gồm n phần tử chỉnh hợp phần tử tập A r Ngoài ra, chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nk Định lý 1.5.1 Số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nr Chứng minh + x + x = (1 + x )2 = (1 + x )(1+ x) Tiếp tục áp dụng quy tắc ta hàm sinh cho số cách chọn phần tử từ tập k phần tử (1 + x )(1 + x ) (1 + x ) = (1+ x)k Ta có Ck0 + Ck1 + Ck2 + + Ckk = (1+ x)k Như hệ số xn (1+ x)k Ckn số cách chọn n phần tử phân biệt từ tập k phần tử 3.3.2 Bài toán chọn phần tử có lặp Để hiểu cách giải toán trước tiên ta phải mở rộng, ta có quy tắc xoắn Gọi A (x) hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp A B (x) hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp B Nếu A B rời A (x )B (x ) hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập A ∪ B Quy tắc cho trường hợp chọn phần tử phân biệt, cho trường hợp chọn nhiều lần phần tử Bài 87: Có cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử, cho phép phần tử chọn nhiều lần Giải: Chia tập n phần tử thành hợp n tập Ai ,1 ≤ i ≤ n ; tập gồm phần tử thuộc tập n phần tử Với tập Ai ta có: cách chọn phần tử cách chọn phần tử cách chọn phần tử 53 Suy hàm sinh cách chọn có lặp từ tập Ai 1 + x + x + x3 + = 1− x Áp dụng quy tắc xoắn suy hàm sinh cách chọn có lặp phần tử từ tập hợp n phần tử : Bây ta cần tính hệ số xk Áp dụng khai triển Taylor f (x ) = Suy hệ số xk Như số cách chọn k phần tử có lặp từ tập hợp có n phần tử Ck+ − n k Bài 88 : Có loại kẹo : kẹo sữa, kẹo chanh, kẹo socola, kẹo dâu kẹo cà phê Hỏi có cách chọn 12 kẹo từ loại kẹo Giải : Theo tập số cách chọn 12 kẹo từ loại kẹo C1612 Bài 89 : Bài tốn chọn Có cách xếp giỏ n trái thỏa mãn điều kiện sau : Số táo phải chẵn Số chuối phải chia hết cho Chỉ có nhiều cam Chỉ có nhiều đào 54 Bài tốn có điều kiện ràng buộc phức tạp ta có cảm giác việc giải tốn vơ vọng Nhưng hàm sinh lại cho ta cách giải nhanh gọn Giải: Trước tiên ta tìm hàm sinh cho loại Chọn táo cách chọn táo cách chọn táo cách chọn táo cách chọn táo ……………………… Như ta có hàm sinh A (x ) = + x + x4 + = 1− x2 Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn chuối : B (x ) = + x + x10 + = Hàm sinh cho cách chọn cam đào khác chút Chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam − x Như ta có hàm sinh C (x ) = + x + x + x + x4 = − x5 Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn đào : D (x )=1+x= 1− x2 1− x 55 Áp dụng Quy tắc xoắn suy hàm sinh cho cách chọn từ loại là: A (x )B (x )C (x )D (x ) = Như cách xếp giỏ trái gồm n trái đơn giản n +1 cách Bài 90: Tìm hàm sinh để xác định số cách chia 10 bóng giống cho đứa trẻ để đứa nhận hai Giải: Để giải tốn ta tìm hàm sinh cho số cách chia bóng cho đứa trẻ Giả thiết cho đứa nhận hai bóng nên ta suy cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận Vậy hàm sinh cho cách chia x + x + x4 + Áp dụng quy tắc xoắn ta tìm hàm sinh cho cách chia bóng cho đứa trẻ F (x ) = ( x + x + x4 + )4 = x (1 + x + x + x3 + )4 = x8 (1− x)4 = x ∑C k+ − xk 4k n≥0 ∑ C k xk +8 +k n≥0 Suy số cách chia 10 bóng hệ số x10 C52 =10 cách 56 3.4 Một số toán giải phƣơng pháp hệ thức truy hồi 3.4.1 Khái niệm mở đầu mơ hình hóa hệ thức truy hồi Đơi ta khó định nghĩa đối tượng cách tường minh Nhưng dễ dàng định nghĩa đối tượng qua Kỹ thuật gọi đệ quy Định nghĩa đệ quy dãy số định rõ giá trị hay nhiều số hạng quy tắc xác định số hạng từ số hạng trước Định nghĩa đệ quy dùng để giải tốn đếm Khi quy tắc tìm số hạng từ số hạng trước gọi hệ thức truy hồi Định nghĩa : Hệ thức truy hồi (hay công thức truy hồi) dãy số {a n} công thức biểu diễn an qua hay nhiều số hạng trước dãy Dãy số gọi lời giải hay nghiệm hệ thức truy hồi số hạng thỏa mãn hệ thức truy hồi 3.4.2 Các toán tổ hợp giải hệ thức truy hồi Bài 91 (Lãi kép): Giả sử người gửi 10.000 đô la vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Giải: Gọi Pn tổng số tiền có tài khoản sau n năm Vì số tiền có tài khoản sau n năm số có sau n − năm cộng lãi suất năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau: Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1 với điều kiện đầu P0 = 10.000 la Từ suy Pn = (1,11)n.10.000 Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 la Bài 92 57 Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai số liên tiếp Có xâu nhị phân có độ dài 5? Giải: Gọi an số xâu nhị phân độ dài n hai số liên tiếp Để nhận hệ thức truy hồi cho {a n}, ta thấy theo quy tắc cộng, số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai số liên tiếp số xâu nhị phân kết thúc số cộng với số xâu kết thúc số Giả sử n ≥ Các xâu nhị phân độ dài n, khơng có hai số liên tiếp kết thúc số xâu nhị phân thế, độ dài n − thêm số vào cuối chúng Vậy chúng có tất an-1 Các xâu nhị phân độ dài n, khơng có hai số liên tiếp kết thúc số 0, cần phải có bit thứ n − 1, khơng chúng có hai số hai bit cuối Trong trường hợp chúng có tất an-2 Cuối ta có được: an = an-1 + an-2 với n ≥ Điều kiện đầu a1 = a2 = Khi a5 = a4 + a3 = a3 + a2 + a3 = 2(a2 + a1) + a2 = 13 Bài 93 (Bài toán tháp Hà Nội) Có cọc 1,2,3 Ở cọc có n đĩa xếp chồng lên cho đĩa nằm lớn đĩa nằm Hãy chuyển tất đĩa từ cọc sang cọc dùng cọc làm cọc trung gian với điều kiện lần chuyển đĩa từ cọc sang cọc khác đảm bảo đĩa nằm lớn đĩa nằm Bài tốn đặt là: Tìm số lần di chuyển đĩa cần thực để giải xong toán Giải: 58 Phương pháp di chuyển sau: Gọi S n số lần di chuyển đĩa cần thực Chuyển n – đĩa từ cọc sang cọc (lấy cọc làm trung gian) ta có S n-1 phép chuyển Chuyển đĩa lớn từ cọc sang cọc Ta có phép chuyển Chuyển n – đĩa từ cọc sang cọc (lấy cọc làm trung gian) ta có S n-1 phép chuyển Do để chuyển n đĩa từ cọc sang cọc 3, ta cần S n -1 + + S n -1 = Sn−1 +1 phép chuyển Vậy ta có cơng thức truy hồi dãy số S n = Sn−1 +1 S , S1 , S2 ,  Ta có S n = S n −1 + = (2 S n − + 1) = 2 (2 Sn−3 + 1)+ +1 = 23S n−3 2n−1 = n −1 + n − + n −3 + + + = − + = n −1 − Bài 94 (Olympic Bungari, 1995) Cho số nguyên n ≥ Hãy tìm số hốn vị (a1 , a2 , , an ) 1, 2,…,n cho tồn số i ∈ {1, 2, , n −1}thỏa mãn > ai+1 Giải: Gọi Sn số hoán vị thỏa mãn điều kiện toán Để ý số hốn vị mà an = n Sn-1 (Bởi số hoán vị S n-1 số hoán vị (a1 , a2 , , an−1 ) 1, 2, , n −1 cho tồn số i ∈ {1, 2, , n − 2}thỏa mãn > ai+1 ) Cịn số hốn vị (a1 , a2 , , an kiện toán với = n (1 ≥ i ≤ n −1) Cni−−11 59 ) thỏa mãn điều n−1 S n = S n −1 + ∑Cni−−11 = Do i=1 Hiện nhiên S2 = Tương tự ta có S n = n − n −1 3.4.3 Các toán tƣơng tự Bài 95: Bạn A viết thư cho người khác chuẩn bị sẵn phong bì ghi sẵn địa họ Hỏi có cách bỏ thư vào phong bì cho khơng có thư gửi đến người có địa ghi phong bì Bài 96: Xét đa giác 12 đỉnh A1 ; A2 ; ; A12 với tâm O Chúng ta tô màu miền đa giác OA A (1 ≤ i ≤ n ) (A = A ) màu đỏ, xanh da trời, i i +1 13 xanh thẫm, vàng cho hai miền đa giác kề tô hai màu khác Hỏi có cách tơ màu vậy? 3.5 Bài tốn giải ngun lí cực hạn - khả xảy nhiều nhất, Bài 97 Cho 1985 tập hợp, tập hợp số gồm 45 phần tử, hợp hai tập hợp gồm 89 phần tử Có phần tử chứa tất 1985 tập hợp Giải: a ∈ A1 mà a thuộc 45 tập Ta chứng minh có tồn số hợp khác A2 , A3 , , A46 Giả sử ngược lại: Mọi phần tử A thuộc nhiều 44 tập hợp nên phần tử A thuộc nhiều 44.45 + =1981tập hợp Vì hợp hai tập hợp có số phần tử 89 nên giao hai tập hợp phần tử Suy A giao với 1984 tập hợp khác 60 Suy phần tử thuộc A thuộc 1984 tập hợp khác (mâu thuẫn) Vậy tập hợp A1 , A2 , , A46 giao phần tử a (a tồn b thuộc vào tập hợp A1 , A2 , , A46 giao hai tập hợp có hai phần tử) Giả sử A* không chứa a Suy A* giao với A1 , A2 , , A46 46 phần tử khác Do A* có 46 phần tử (mâu thuẫn với giả thiết) 3.6 Bài toán giải phƣơng pháp xếp thứ tự Bài 98 Cho 2n +1 số thực có tính chất tổng n số nhỏ thua tổng n +1 số lại Chứng minh tất số dương Giải: Sắp xếp số cho theo thứ tự tăng dần, ta có a1 ≤ a2 ≤ ≤ a2 n+1 Theo giả thiết ta suy an + + an + + + a2 n +1 < a1 + a2 + + an+1 Suy a1 > ( an + − a2 ) + ( an + − a3 ) + + ( a2 n +1 − an+1 ) ≥ Vì giả thiết nhỏ nên ta có điều phải chứng minh Bài 99 Cho 2n số nguyên dương phân biệt không vượt n2 Chứng minh tồn hiệu − a j Giải: Vì 2n số cho phân biệt nên ta xếp a1 < a2 < < a2 n+1 Đặt S = ( a2 − a1 ) + ( a3 − a2 ) + + ( a2 n − a2 n−1 ) Giả sử không tồn ba hiệu – aj nhau, 61 S > + + + + + ( n − 1) + ( n − 1) + n Suy S n −1 n ( ) + n = n2 ≥ Hơn S = a2 n − a1 ≤ n2 −1 Từ hai bất đẳng thức suy mâu thuẫn 3.7 Bài toán giải phƣơng pháp liệt kê trƣờng hợp Bài 100 Người đưa thư phân phát thư tới 19 nhà dãy phố Người đưa thư phát hai nhà liền kề nhận thư ngày khơng có nhiều hai nhà khơng nhận thư ngày Hỏi có cách phân phối thư? Giải: Từ giả thiết thứ ta thấy hai nhà liên tiếp có nhà không nhận thư Suy số nhà không nhận thư số nhà nhận thư nhiều 10 Suy có nhiều 10 người nhận thư ngày Từ giả thiết thứ hai ba nhà liên tiếp có nhà nhận thư Vậy có nhà nhận thư ngày Ta liệt kê trường hợp tốn:  Trường hợp 1: Có nhà nhận thư Gán số vào vị trí nhận thư gán số vào nhà không nhận thư Mà hai vị trí phải có nhà số nên suy có nhà khơng nhận thư 62 Cịn nhà khơng nhận thư xếp sau: Hai nhà không nhận thư hai vị trí đầu, hai vị trí cuối, bốn nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ với nhà nhận thư Vậy trường hợp có C54 = cách xếp  Trường hợp 2: Có nhà nhận thư nhà xen kẽ với nhà không nhận thư nên cịn nhà khơng nhận thư xếp sau: nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C62 =15 nhà đầu, 1nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C63 = 20 nhà đầu, nhà cuối, nhà cịn lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C63 = 20 nhà đầu, nhà cuối, nhà cịn lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C64 =15 nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C64 =15 nhà đầu, nhà cuối, 4nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C64 =15 nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C65 = nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có C65 = nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có cách Vậy trường hợp có 113 cách  Trường hợp 3: Có nhà nhận thư nhà xen kẽ với nhà không nhận thư nên cị nhà khơng nhận thư xếp sau: nhà đầu, nhà cuối Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí Có C71 = cách nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí Có C71 = cách nhà đầu, nhà cuối, nhà cịn lại xếp vào vị trí Có C72 = 21 cách nhà đầu, nhà cuối, nhà cịn lại xếp vào vị trí Có C72 = 21 cách nhà đầu, nhà cuối, nhà cịn lại xếp vào vị trí Có C72 = 21 cách 63 nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí Có C73 = 35 cách nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí Có C73 = 35 cách nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí Có C74 = 35 cách Vậy trường hợp có 183 cách Bằng cách chứng minh tương tự ta có kết cho trường hợp cịn lại:  Trường hợp 4: Có nhà nhận thư Có 47 cách  Trường hợp 5: Có 10 nhà nhận thư Có cách Vậy người đưa thư có + 113 + 183 + 47 + = 349 cách phân phối thư 64 KẾT LUẬN Luận văn MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM phân loại số dạng tập tổ hợp sử dụng phép đếm từ đến nâng cao Ngoài chọn lọc số toán tổ hợp hay phù hợp với học sinh trung học phổ thông ôn tập chuẩn bị tham gia vào kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học hay tham gia kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Rõ ràng toán tổ hợp khó, khơng có khn mẫu định cho việc giải, ln địi hỏi sáng tạo, tư khơng ngừng từ phía người đọc Mặt khác tốn thường kích thích cho việc hình thành tư tốn học kĩ trình bày, giải vấn đề học sinh Ngoài việc phát triển kĩ này, toán tổ hợp cịn mang tính thực tế tính thẩm mỹ cao, đem lại cho học sinh đam mê, hứng thú Tơi tin tốn tổ hợp thú vị đem đến tranh luận hấp dẫn thể loại toán khác 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (1994), Tài liệu chuẩn kiến thức lớp 12, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải tốn tổ hợp,Nhà xuất Hà Nội Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2009), Giải tích tốn học rời rạc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Tạp chí tốn học tuổi trẻ , Nhà xuất Giáo dục 66 ... 1.5. 3Tổ hợp CHƢƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN 2. 1Một số tốn đếm khơng lặp 2.1. 1Bài tốn 2.1. 2Bài tố 2.1. 3Bài tố 2. 2Một số tốn đếm có lặp 2.2. 1Bài toá 2.2. 2Bài toá 2.2. 3Bài toá 2.2. 4Bài. .. 2.2. 4Bài toá 2.2. 5Bài toá 2.2. 6Bài toá CHƢƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO 3. 1Một số toán sử dụng nguyên lý bù trừ 3.1.1Nguyên 3.1.2Các 3. 2Một số toán giải phương... Chương 1- Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2- Một số toán tổ hợp Chương 3- Một số toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên tốn tổ hợp luận văn cịn ít, chưa