Luận văn Thạc sĩ Một số bài toán tổ hợp đếm

Còn trong các kỳ thiQuốc gia và Quốc tế, các bài toán tổ hợp luôn có mặt và là một thử tháchthực sự với các thí sinh, thậm chí quyết định thành tích đối với các độituyển dự thi.. Trong l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Lê Anh Vinh

Hà Nội

MỤC LỤC

MỤC LỤC 4

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 2

1.1 Nhắc lại về tập hợp 2

1.2 Quy tắc cộng và quy tắc nhân 3

1.3 Giai thừa và hoán vị 5

1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp 5

1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp và tổ hợp lặp 6

1.5.1 Chỉnh hợp lặp 6

1.5.2 Hoán vị lặp 7

1.5.3 Tổ hợp lặp 7

CHƯƠNG 2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN 8

2.1 Một số bài toán đếm không lặp 9

2.1.1 Bài toán lập số 9

2.1.2 Bài toán chọn vật, chọn người, sắp xếp 17

2.1.3 Bài toán tương tự 26

2.2 Một số bài toán đếm có lặp 28

2.2.1 Bài toán lập số 29

2.2.2 Bài toán đếm sử dụng tổ hợp lặp 32

2.2.3 Bài toán đếm sử dụng chỉnh hợp lặp 36

2.2.4 Bài toán đếm sử dụng hoán vị lặp 37

2.2.5 Bài toán phân bố các đồ vật vào trong hộp 38

2.2.6 Bài toán tương tự 39

CHƯƠNG 3 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO 41

3.1 Một số bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ 41

3.1.1 Nguyên lý bù trừ 41

3.1.2 Các bài toán giải bằng phương pháp bù trừ 42

3.2 Một số bài toán giải bằng phương pháp song ánh 48

3.2.1 Phương pháp song ánh 48

3.2.2 Các bài toán tổ hợp giải bằng phương pháp song ánh 49

3.3 Một số bài toán giải bằng phương pháp hàm sinh 50

3.3.1 Bài toán chọn các phần tử riêng biệt 50

3.3.2 Bài toán chọn các phần tử có lặp 51

3.4 Một số bài toán giải bằng phương pháp hệ thức truy hồi 55

3.4.1 Khái niệm mở đầu và mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi 55

3.4.2 Các bài toán tổ hợp giải bằng hệ thức truy hồi 56

3.4.3 Các bài toán tương tự 58

3.5 Bài toán giải bằng nguyên lí cực hạn - khả năng xảy ra nhiều nhất, ít nhất 58

3.6 Bài toán giải bằng phương pháp sắp xếp thứ tự 59

3.7 Bài toán giải bằng phương pháp liệt kê các trường hợp 60

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

MỞ ĐẦUToán học tổ hợp là một trong những lĩnh vực được nghiên cứu từ khásớm Hiện nay trong giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp là một trongnhững nội dung quan trọng, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đạihọc và cao đẳng ở nước ta Mặc dù ở mức độ không khó nhưng học sinhvẫn gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán này Còn trong các kỳ thiQuốc gia và Quốc tế, các bài toán tổ hợp luôn có mặt và là một thử tháchthực sự với các thí sinh, thậm chí quyết định thành tích đối với các độituyển dự thi

Trong luận văn này đã đề cập đến một số bài toán tổ hợp trong toánhọc phổ thông, cụ thể là các bài toán tổ hợp sử dụng các phương pháp đếm

từ cơ bản đến nâng cao Đây có thể coi là tài liệu tham khảo hữu ích chogiáo viên và học sinh THPT về chủ đề này

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1- Cơ sở lý thuyết về tổ hợp

Chương 2- Một số bài toán tổ hợp cơ bản

Chương 3- Một số bài toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao

Do sự hạn chế về trình độ kiến thức và thời gian nên các bài toán tổhợp trong luận văn còn ít, chưa có nhiều bài toán khó Ngoài ra khoá luậncũng không thể tránh khỏi những sai sót ở nhiều góc độ, rất mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢPChương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lýthuyết cơ bản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nộidung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản,nâng cao và hệ chuyên nghành toán

1.1 Nhắc lại về tập hợp

Tập hợp con

Định nghĩa: Cho tập hợp Tập hợp gọi là tập con của tập khi mọi

phần tử của tập đều thuộc

A B

Định nghĩa (Tài liệu chuẩn kiến thức 12).

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành

động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không

trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n

Nếu là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì

Nếu là tập hữu hạn,từng đôi một không giao nhau thì

Nếu là hai tập hữu hạn và thì

Quy tắc nhân (Tài liệu chuẩn kiến thức 12).

Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiên hai công việcnhỏ là H1 và H2 Trong đó:

có thể làm bằng cách

có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc

Khi đó để thực hiện công việc sẽ có cách

có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc

Khi đó để thực hiện công việc

sẽ có cách

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu là tập hợp hữu hạn, khi

đó số phần tử của tích đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tửmọi tập thành phần

Để liên hệ với quy tắc nhân

hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các được tiến hành bằng cáchchọn lần lượt một phần tử của , một phần tử của ,…, một phần tử của Theo quy tắc nhân ta nhận được đẳng thức:

1.3 Giai thừa và hoán vị

Kí hiệu: là số các hoán vị của n phần tử

1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp

Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp gồm phần tử Kết quả của việc lấy phần tửkhác nhau từ phần tử của tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử đã cho

Ak n k n

Một chỉnh hợp chập được gọi là một hoán vị của phần tử.

là nk

Định lý 1.5.1 Số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng

Chứng minh

Rõ ràng có n cách chọn một phần tử từ tập n phần tử cho mỗimột trong r vị trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp Vì vậy theo quy tắc nhân,

Ck

≤ ≤nkn k n

phần tử như nhau thuộc loại k bằng

Chứng minh

Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ta nhận thấy có cách giữ

n1 số cho n1 phần tử loại 1, còn lại n – n1 chỗ trống

Sau đó có cách đặt n2 phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại n – n1 – n2

chỗ trống

Tiếp tục đặt các phần tử loại 3,

loại 4 , … , loại k – 1 vào chỗ trống trong hoán vị Cuối cùng có cách đặt

nk phần tử loại k vào hoán vị

Theo quy tắc nhân tất cả các hoán vị có thể là:

1.5.3 Tổ hợp lặp

Một tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một cách chọn không cóthứ tự k phần tử có thể lặp lại của tập đã cho Như vậy một tổ hợp lặp kiểunày là một dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do

đó có thể là k > n

pn p n

C

2 1

! ! !

k k

Định lý 1.5.3 Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử bằng

Chứng minh

Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể biểu diễn bằng mộtdãy n−1 thanh đứng và k ngôi sao Ta dùng n − 1 thanh đứng để phân cáchcác ngăn Ngăn thứ i chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử thứ i củatập xuất hiện trong tổ hợp

Mỗi dãy n − 1 thanh và k

ngôi sao ứng với một tổ hợp lặp chập k của n phần tử Do đó mỗi dãy ứngvới một cách chọn k chỗ cho k ngôi sao từ chỗ chứa n – 1 thanh và k ngôisao Đó là điều cần chứng minh

CHƯƠNG 2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN

Chương 1 đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp Dựa trên cơ

sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày một số

Cn p p 1

Cn n p+ −1 1

C −+ −

bài toán tổ hợp cơ bản, phù hợp với học sinh THPT khi tham gia các kì thitốt nghiệp, cao đẳng, đại học.

2.1 Một số bài toán đếm không lặp

Trong các bài toán về phép đếm không lặp, mỗi phần tử cần đếm chỉ

có thể xuất hiện tối đa một lần Để giải các bài toán đếm không lặp người

ta sử dụng hai quy tắc chính của phép đếm là quy tắc cộng và quy tắc nhân,cũng như sử dụng hai phương pháp đếm trực tiếp hoặc đếm gián tiếp

Vậy có số thỏa mãn bài

4.A =224

{0, 1, 2, ,7}

Vậy có =840 số thỏa mãn bài toán.

Trường hợp 2: Nếu được chọn từ {2, 4, 6} thì có 3 cách chọn được chọn từ tập X\{0, } nên có 6 cách chọn

là một bộ phân biệt thứ tựđược chọn từ X\{} do đó nó là một chỉnh hợp 6 chập 3 Có cách chọn Vậy có 3.6.=2160 số thỏa mãn bài toán

Vậy số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ là:

840+2160=3000 số

b) Vì là số tiến nên và do nên

Mỗi cách chọn ra 5 chữ số thì chỉ có 1 cách sắp xếp từ nhỏ đến lớn

Vậy số các số cần tìm là sốcách chọn ra 5 chữ số từ tập

Vậy có =21 số thỏa mãn điều kiện

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau”

Gọi số có năm chữ số được

A

3 6

A X

lập từ B là =, ,

được chọn từ tập nên có 4 cách chọn

là một bộ phân biệt thứ

tự được chọn từ do đó nó là một hoán vị của 4 Có 4! cách chọn

Vậy có 2.4.4 ! = 192 số thỏa mãn bài toán

Bài 4:

Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần Tính tổng tất cả các số đó.

Xét trường hợp số 0 đứngđầu ,

10 1

−

Giải:

Gọi số cần tìm là:

, Trường hợp 1: Số có dạng

()

có thể nhận 3 giá trị 5, 7, 9 nên có 3 cách chọn

là một bộ 4 số có thứ tựlập từ

A

4 7

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó mỗi số

có tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị

số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8

Giải:

Gọi số cần tìm là:

, Theo bài ra

Ta có Vậy có hai cách

chọn nhóm 3 số để tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng8

6 9

Trường hợp 1 : số kép đứng ở vị trí thứ nhất

Ba chữ số còn lại được chọn từtập : Có cách chọn

Trường hợp 2 : số kép đứng ở vị trí thứ hai hoặc thứ ba

Vậy theo quy tắc nhân, ta

có ước tự nhiên của 360

Tổng quát hóa

Để tìm số các ước của số A ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Phân tích A ra thành thừa số nguyên tố

với và đôi một khác

nhau

Bước 2 : Số d là ước của A phải có dạng

với Bước 3 : Số các ước tự

Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của ít nhất một trong hai số

5400 và 18000?

Giải :

Đặt ; Yêu cầu bài toán là tìm

ước dương của ước chung lớn nhất của 5400 và 18000

Mà Vậy ta có

.Cuối cùng ta có

Bài 12:

Có bao nhiêu số nguyên

của tập hợp mà chia hết cho 3 hoặc 5?

các số nguyên trong S chia hết cho cả 3 và 5 nên nó phải chia hết choBCNN của 3 và 5, mà nên

a Chọn ra mỗi loại đúng 2 cây.

b Chọn ra mỗi loại có ít nhất một cây.

Giải :

a Chọn 2 cây xoài có cách

Chọn 2 cây mít có cách

Chọn 2 cây ổi có cách

Vậy theo quy tắc nhân có 15.6.1=90 cách

b Gọi A là tập hợp cách chọn 6 cây trong 12 cây

Gọi B là tập hợp cách chọn 6 cây không đủ 3 loại

Cách chọn chỉ có xoài: 1 cách chọn

Cách chọn chỉ có xoài vàmít: cách chọn

Cách chọn chỉ có xoài vàổi: cách chọn

loại là: cách.

Bài 14:

Một thầy giáo có 20 cuốn sách đôi một khác nhau Trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Giải:

Có cách chọn 6 cuốn sách bất kỳ trong 12 cuốn trong đó

Có cách chọn 6 cuốn có 5 cuốn văn học

Có cách chọn 6 cuốn có 4 cuốn âm nhạc

Có cách chọn 6 cuốn có 3 cuốn hội họa

Vậy có (++)=805 cách chọn thỏa mãn điều kiện

Với mỗi cách chọn ta có 6! Cách tặng

Vậy số cách tặng thỏa mãn là 805.6!=579600 cách

Chú ý: Đối với bài này ta có thể dùng cách phân chia trường hợp thỏa

mãn điều kiện (cách giải trực tiếp)

12 học sinh là

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 em được tính nhưsau:

Khối lớp 10 có 2 họcsinh, các khối lớp 11, 12 có 1 học sinh có =120 cách

Khối lớp 11 có 2 họcsinh, các khối lớp 10, 12 có 1 học sinh có =90 cách

Khối lớp 12 có 2 họcsinh, các khối lớp 10, 11 có 1 học sinh có =60 cách

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 học sinh là120+90+60=270

Bài 16:

Có nam, nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a người ngồi quanh một bàn tròn.

b người ngồi vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối

Giải:

a Người thứ nhất có 1 cách chọn chỗ ngồi vì chỗ ngồi nào cũng khôngphân biệt so với bàn tròn

Sau khi có chuẩn của người

thứ nhất thì người còn lại có cách xếp chỗ ngồi

Có cách chọn 4 viên không có màu vàng

Có cách chọn 4 viên không có màu trắng

Có cách chọn 4 viên không có màu đỏ

Trong cách chọn 4 viên bi không có bi trắng có chứa cách chọn 4viên chỉ có màu vàng

Trong cách chọn 4 viên không có bi đỏ có chứa cách chọn 4 viênchỉ có màu vàng

C

4 5

C

4 7

C

4 8

C

4 7

C54C

4 8

C54C

4 5

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó,10 câu trung bình, 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi

đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

Giải:

Gọi A là tập hợp cách chọn đề có 3 câu dễ, 1 câu khó, 1 câu trung bình.Gọi B là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 2 câu khó, 1 câu trung bình.Gọi C là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 1 câu khó, 2 câu trung bình.Gọi D là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài ra

Ta có Ngoài ra A, B, C đôi một không giao nhau

Theo quy tắc cộng ta có :

Theo quy tắc nhân ta có :

Thay vào (1) ta có Vậy có 56875 cách chọn đề kiểm tra thỏa mãn bài toán

Đầu tiên ta chọn 4 nam và 1

nữ cho tỉnh thứ nhất Theo quy tắc nhân số cách chọn là :

Sau đó chọn 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ 2 4 nam được chọn trong 8 namcòn lại và 1 nữ sẽ được chọn trong 2 nữ còn lại Theo quy tắc nhân số cáchchọn là :

Giải:

Gọi A là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh

Gọi B là tập hợp cách chọn không thỏa mãn yêu cầu đề bài

Gọi C là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài

rằng mỗi cửa hàng phải có ít nhất một sản phẩm.

Giải:

Ta có thể dùng 99 vách ngăn để ngăn 100 sản phẩm Chọn 11 vách ngăntrong số 99 vách ngăn trên ta được một cách phân bố sản phẩm cho 12 cửahàng thỏa mãn bài toán

Trước hết ta chọn 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp Có cách

Sau đó trong 5 học sinh này ta chọn một bạn làm lớp trưởng Có 5 cách.Vậy có 5 cách chọn thỏa mãn bài toán

Tổng quát: Số cách cách chọn nhóm k bạn trong số n bạn vào một nhóm sao cho có một bạn làm trưởng nhóm là

Trước hết ta chọn k người trong n người Có cách

Sau đó trong k người này ta chọn một bạn làm trưởng nhóm Có k cách

Do đó có cách chọn nhóm có k người trong đó luôn có một ngườilàm nhóm trưởng

Vậy có cách chọn một nhóm người trong số n người sao cho có

11 99

C

1 1

k n

C −

−

5 45

C

5 45

C

k n

kC

(k≥ 1)

k n

C

k n

kC

(k≥ 1)

n k

kC

∑

Trước hết ta chọn k người trong n người Có cách.

Sau đó trong k người này ta chọn một bạn làm nhóm trưởng Có k cách.Trong k-1 người còn lại ta chọn một bạn làm nhóm phó Có k-1 cách

Do đó có cách chọn nhóm có kngười trong đó luôn có một người làm nhóm trưởng , một người là nhómphó

Vậy có cách chọn một nhómngười trong số n người sao cho

có một người làm nhóm trưởng , một người là nhóm phó

Bài 25 : ( Hoán vị vòng quanh)

a Tính số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau.

b Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước : Anh 3 người, Nga

5 người, Mỹ 2 người, Pháp 3 người, Trung Quốc 4 người Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịnh thì ngồi cạnh nhau.

Giải :

a Nếu sắp xếp một phần tử vào một vị trí nào đó (chú ý vị tríđầu tiên không đóng vai trò gì do đây là hoán vị theo đường tròn), thìphần tử còn lại được sắp xếp vào vị trí còn lại Số cách chọn đó là Vậy số hoán vị vòng quanh của n là

b Nếu một phái đoàn nào ngồi vào chỗ trước thì theo phần a bốn phái

(k≥ 2)

k n

(n− 1 !)

đoàn còn lại có 4! Cách sắp xếp.

Như vậy có 24 cách sắp xếp các phái đoàn ngồi theo quốc gia mình Bâygiờ ta xem có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho nội bộ từng phái đoàn

Từ giả thiết ta có

3! Cách sắp xếp cho phái đoàn Anh

5! Cách sắp xếp cho phái đoàn Nga

2! Cách sắp xếp cho phái đoàn Mỹ

3! Cách sắp xếp cho phái đoàn Pháp

4! Cách sắp xếp cho phái đoàn Trung Quốc

Theo quy tắc nhân số cách sắp xếp cho hội nghị là

cách sắp xếp

Chú ý : Ta có thể mở rộng phần 1 của bài 25 như sau :

Số cách sắp xếp m số khác nhau

từ tập hợp n số lên một đường tròn bằng

Bài 26: ( Bài toán vui)

Một cửa hàng có 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau dùng để bày hàng Người ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng dưới cùng đến hàng trên cùng lần lượt là 4, 3, 2, 1 Hàng ngày người ta

4!3!5!2!3!4! 4976640

{1; 2; ; n} ( ! )!

đổi vị trí các lon cho nhau sao cho không có hai ngày bày như nhau Hỏi bắt đầu từ ngày 1.1.2000 thì có thể tiến hành đến ngày nào ?

mà không phải năm nhuận

Vậy ngày năm năm +66ngày

Như vậy có thể bày tới ngày thứ 66 của năm 11936

Do năm này là năm nhuận nên

Vậy ngày cuối cùng có thể bày là mồng 6 tháng 3 năm 11936

2.1.3 Bài toán tương tự

Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số

nào lặp lại quá 1 lần

Bài 28: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chữ số đứng sau bé hơn

nhỏ hơn 25000.

Bài 31: Từ được bao nhiêu số

chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789

Bài 34: Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ

đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu, 3 quả cầu khác màu vàkhác số?

Bài 35: Trong kỳ thi kết thúc môn toán học rời rạc có 10 câu hỏi Có bao

nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu

hỏi ít nhất 5 điểm

Bài 36: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế.

Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào bànnói trên Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất kỳ hai học sinh ngồi cùng nhau hoặc đối diện nhau đều không cùnggiới tính

b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện nhau đều không cùng giới tính

Bài 37: Ở một trường tiểu học có 50 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 4

1, 2, , n

A A A

{0,1, 2,3, 4,5,6,7}

E=

cặp anh em sinh đôi Cần chọn ra 3 học sinh trong 50 em nói trên đi dự trại

hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em được chọn không cócặp anh em sinh đôi nào

Bài 38: có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập

một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học vànhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách

Bài 39:Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng Người ta

chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy rakhông đủ 3 màu

Bài 40 :Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú ( trongđó có

nam sinh Cường và nữ sinh Hoa) Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 ngườivới têu cầu có ít nhất 2 nữ, ngoài ra biết Cường và Hoa không thể làm việccùng nhau trong ban cán sự

Bài 41: Đội dự tuyển bóng bàn có 10 , 7 nam trong đó có danh thủ nam là

Vũ Mạnh Cường và danh thủ nữ là Ngô Thị Thu Thuỷ Người ta cần lậpmột đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói trên Đội tuyển quốcgia có 3 nữ và 4 nam Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển quốc gia sao chotrong đội tuyển quốc gia có mặt chỉ một và một trong 2 danh thủ nói trên

Bài 42:Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1

đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4 Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3quả cầu vừa khác màu, vừa khác số

2.2 Một số bài toán đếm có lặp

Trong các bài toán đếm có lặp, mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiệnnhiều lần Để giải các bài toán đếm có lặp, người ta thường quy về các bàitoán đếm không lặp và sử dụng thêm một số kiến thức khác

Ta đã biết để một số có từ hai chữ số trở lên chia hết cho 4 thì điều kiện cần

và đủ là hai số cuối của số đó phải chia hết cho 4

Từ tập A có thể lập được các số sau chia hết cho 4:

Theo quy tắc nhân số cách chọn là 9.6.6=324

Vậy có 324 số thỏa mãn bài toán

lần, các số 2,3,4 có mặt tối đa 1 lần.

Giải:

Vì các số 2, 3,4 có mặt tối đa 1lần nên ta phải lập ra số có 6 chữ số từ nên số 1 phải có mặt tối thiểu 3 lần.Gọi A3 là tập hợp các số có 6 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần Khi đó mỗi

Tính A3

Bước 1 chọn 3 vị trí trong 6 vị trí để đặt 3 chữ số 1

Số cách chọn là Bước 2 ba vị trí còn lại đặt ba số 2, 3, 4

Số cách chọn Vậy