Độ đo véc tơ và độ đo ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội – Năm 2017 Lới cÊm ỡn Lun vôn n y ữổc ho n th nh vợi sỹ hữợng dÔn tn tnh v cụng ht sức nghiảm khc ca GS.TSKH ng Hũng Thng Trữợc tr…nh b y nºi dung ch ‰nh cıa lu“n vôn, tĂc giÊ mun b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi ngữới thy Ăng knh ca mnh Thy  luổn tn tnh hữợng dÔn cơng nh÷ gi£i ¡p c¡c th›c m›c cıa t¡c gi£ suŁt qu¡ tr…nh l m lu“n v«n T¡c gi£ cụng mun gòi tợi to n th cĂc thy cổ Khoa To¡n - Cì - Tin håc tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, c¡c thƒy cỉ ¢ £m nh“n gi£ng d⁄y khâa Cao håc 2014 - 2016, °c bi»t l c¡c thƒy cổ tham gia giÊng dy nhõm xĂc suĐt thng kả 2014 - 2016 líi c£m ìn ch¥n th nh Łi vỵi cỉng lao d⁄y dØ suŁt thíi gian cıa khâa håc T¡c gi£ xin c£m ìn gia …nh, b⁄n b, ỗng nghiằp v cĂc anh ch em nhõm XĂc suĐt thng kả 2014 - 2016  quan tƠm, giúp ù, to iãu kiằn v ng viản tinh thn ” t¡c gi£ câ th” ho n th nh ÷ỉc khâa håc n y T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nºi, ng y th¡ng n«m 2017 Håc vi¶n Mưc lưc Líi c£m ìn Líi mð ƒu º o vector 1.1 C¡c t‰nh ch§t cì b£n cıa º o v 1.2 º o vector cºng t‰nh m ữổc Tch phƠn Bochner v tch phƠn Bartle 2.1 C¡c h m o ÷ỉc 2.2 T‰ch ph¥n Bochner 2.3 T‰ch ph¥n Bartle o vector ngÔu nhiản 3.1 CĂc dng hi tử ca dÂy bin ngÔu 3.2 o vector ngÔu nhiản v tch p 3.3 Hi tử ca o vector ngÔu nhiả 3.4 Hi tử theo ph¥n phŁi cıa º o v 3.5 Hºi tư y‚u ca o vector ngÔu n T i liằu tham khÊo Lới m u Lỵ thuyt xĂc suĐt l mºt chuy¶n ng nh cıa To¡n håc, nghi¶n cøu c¡c hiằn tữổng ngÔu nhiản v quy lut ngÔu nhiản T nhng ứng dửng ca trặ chỡi may ri, lỵ thuyt xĂc suĐt  ữổc phĂt trin th nh mt ng nh håc câ vai trỈ quan trång cuºc sŁng Ng y nay, lỵ thuyt xĂc suĐt  ữổc phĂt trin mnh m cht ch lỵ thuyt v cõ ứng dửng sƠu rng khoa hồc tỹ nhiản, khoa hồc x hi, cổng nghằ, kinh t v nhiãu ng nh khoa hồc khĂc XuĐt phĂt t vĐn ã o d i, tnh diằn tch v th tch Lỵ thuy‚t º o ¢ íi v trð th nh mºt nhœng l‰ thuy‚t quan trång b“c nh§t cıa to¡n håc l n•n t£ng to¡n håc cho sü ph¡t trin ca XĂc suĐt v Thng kả Sỹ phĂt trin ca l thuyt o  dÔn n khĂi niằm º o vector â l º o m gi¡ trà ca nõ khổng nhĐt thit l s thỹc khổng Ơm nœa m l mºt vector hay l phƒn tß cıa mt khổng gian Banach tng quĂt Lỵ thuyt n y thu ữổc nhiãu kt quÊ hay v bĐt ngớ, cõ nhiãu ứng dửng cĂc lắnh vỹc ca ToĂn hồc Mửc tiảu ca lun vôn l t cun sĂch chuyản kh£o v• º o vector v b i b¡o cıa GS TSKH °ng Hòng Th›ng t¡c gi£ t…m hi”u, tŒng k‚t, h» thŁng hâa l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ ch‰nh vã o vector tĐt nh v ngÔu nhiản, chi tit cĂc chứng minh vợi mong mun lun vôn tr th nh mt t i liằu chuyản khÊo cho vĐn ã n y Trản cỡ s õ lun vôn ữổc chia th nh ch÷ìng Ch÷ìng º o vector Trong chữỡng n y, tĂc giÊ giợi thiằu khĂi niằm º o vecto, c¡c t‰nh ch§t cì b£n cıa º o vector, º o vector cºng t‰nh ‚m ÷ỉc Chữỡng Tch phƠn Bochner v tch phƠn Bartle Trong ch÷ìng n y, t¡c gi£ tr…nh b y kh¡i ni»m vã cĂc h m o ữổc, nh nghắa t ch phƠn Bochner v tch phƠn Bartle cĂc tnh chĐt cõ liản quan Chữỡng o vector ngÔu nhiản Trong chữỡng n y, tĂc giÊ trnh b y vã o ngÔu nhiản, tch phƠn ngÔu nhiản, hi tử ca o vector ngÔu nhiản, hi tử theo phƠn phi ca o vector ngÔu nhiản, hi tử yu ca o vector ngÔu nhiản Rút kt lun vã mi liản hằ ca ba loi hi tử trản nghiản cứu vã ã t i o vecto v o ngÔu nhiản , tĂc giÊ Â tham kh£o mºt sŁ t i li»u v ngo i nữợc vã lỵ thuyt xĂc suĐt Trong õ Ni dung chnh chữỡng ca lun vôn tham khÊo t i li»u [1], [3], [4], [6] Nºi dung ch‰nh ch÷ìng cıa lu“n v«n tham kh£o t i li»u [1], [2], [3], [5], [6] Nºi dung ch‰nh ch÷ìng cıa lu“n v«n tham kh£o t i li»u [1], [3], [4], [7] Ch÷ìng º o vector 1.1 C¡c t‰nh chĐt cỡ bÊn ca o vector nh nghắa 1.1.1 Cho F l nach F : F ! X ÷ỉc gåi l vector, n‚u E1; E2 l Hìn nœa, n‚u F n=1 n=1 S n=1 Ei F th… F t‰nh ‚m ÷ỉc gåi l º o vector cºng t‰nh ‚m ÷ỉc (hay F l cºng ÷ỉc) V‰ dư 1.1.1 º o vector cºng t‰nh hœu h⁄n Cho T : L1[0; 1] ! X l to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n tưc Cho E [0; 1] l t“p Lebesgue o ÷ỉc ành ngh¾a F(E) = T( E); 0, ta câ: n lim P = = n n = lim P fkFn(E Ak)k tg n P fkF0(E Ak)k tg: V… Fn(E Ak) hºi tö p döng ‚n F0(E Ak) theo lu“t nh lỵ 3.2.2, ta cõ: lim lim P fkGn(E) k Gn(Ak)k tg n lim P fkF0(E Ak)k tg = 0: k Theo (3.7), suy V“y lim P n lim P n + P fkG0(Ak) G0(E)k tg = n Cho k ! , suy 3.5 Hºi tö y‚u ca Cho T l mt khổng gian mảtric vợi o vector ngÔu nhiản - i s Borel Tp Borel A ữổc gồi l -liản tửc vợi o d÷ìng hœu h⁄n n‚u (@A) = 52 nh nghắa 3.5.1 Cho (Fn); n l dÂy o ngÔu nhiản X-giĂ tr Ta nõi F n hi tö y‚u ‚n F0 n‚u Fn(A) hºi tö ‚n F0(A) theo lut vợi mồi Borel A -liản tửc, õ l o iãu khin F0 nh lỵ 3.5.1 Cho (Fn) n l o ngÔu nhiản s.i.s X-gi¡ trà, â c¡c khflng ành sau l t÷ìng ÷ìng: Fn hºi tư y‚u ‚n F0; Vỵi måi h m f gi¡ trà thüc li¶n tưc, bà ch°n, ta câ: theo lu“t v tg = lim lim P fkFn(Em)k m n vợi mỉi dÂy (Em) cĂc t“p âng -li¶n tưc cho lim (Em) = m Chøng minh (1) ! (2) Gi£ sß f l h m li¶n tưc bà ch°n Cho l º o tr¶n R x¡c ành bði (B) = ft : f(t) Bg: Do f b chn nản ữổc trung kho£ng bà ch°n (a; b) Vỵi mØi m > 0, ta câ th” t…m ÷ỉc sŁ s1; : : : ; sk cho a = s0 < < sk = b; si si < v ft : f(t) = sjg = 8j: °t Aj = ft : sj suy Aj ríi v f(t) < sjg (@Aj) = L V“y Fn(Aj)! F0(Aj) 8j k P j °t fm = =1 f R Xn = f dFn; X = f dF0 Do Fn(Aj) n! Hìn nœa, "m = supt g 53 p dửng nh lỵ 3.2.4, ta cõ: fk m lim P Y v m n lim lim P p döng BŒ • 3.5.1 ta câ Xn hºi tư theo lu“t ‚n X BŒ • 3.5.1 Cho X l khỉng gian Banach tĂch ữổc v Xn l mt dÂy cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr cho vợi mỉi m N, tỗn ti dÂy fY n;mg cĂc bin ngÔu L L nhiản X-giĂ tr thọa mÂn Yn;m! Ym n ! ; Ym! X m ! v lim lim P L fkYn;m Xnk tg = vỵi t > 0, â Xn! X n! m n Ti‚p töc chøng minh ành l‰ 3.5.1 lim (E Do m p dửng nh lỵ 3.2.2, ta câ: V“y (1) ! (2) Cho A l Vỵi mØi m, °t: â d(t; A) l kho£ng c¡ch tł i”m t ‚n A D„ th§y Em; Gm l hai õng rới nhau, õ tỗn ti h m liản tửc fm cho tg = P n;m fk n P Y X >t m Do t“p B p dưng BŒ • 3.5.1, ta câ Xn hºi tö ‚n X theo lu“t V“y Fn(A) hºi tư F0(A) theo lu“t M»nh • 3.5.1 Nu X l Hỡn na, tỗn ti hng s C > cho E Z Chøng minh Gi£ sß M = M1 + M0, M1 [0; m1; ]; M0 â: [k ; m0; ] c m0(B) = mfB \ [ 1; 1]g; m1(B) = mfB \ [ 1; 1] g âng ‚n Vỵi mØi A P , ta câ: E jM1(A)j c1 (A); E jM0(A)j = c0 (A) 55 R â: c1 = R juj m1(du) = juj m(du) < (Do E(M(T )) < 1) juj>1 " c0 = k2 + R # u m(du) Pn L§y f l mºt h m ìn gi£n, f = i=1 xi Ai, vỵi (Ai) l Khi â, c¡c t“p ríi E kxik (Ai) Do X l lo⁄i 2: E f dM0 Z = c2 Z â c2 = (Kc0) 1=2 ,Kl E Z vỵi C = c1 trị m“t cıa c¡c h m ìn gi£n LX (T; ; ), ta cõ: p Do tnh v nh lỵ 3.5.2 Cho fFng; n l Fn(E) = E ch°n R 56 g dMn, Gi£ sß E jMn(T )j < (n 0) v X l lo⁄i Khi â n‚u n hºi tư y‚u tỵi th… Fn hºi tư y‚u tợi F0 Chứng minh Trữợc ht ta chứng minh vợi mØi h m h m sŁ h li¶n tưc, bà ch°n, X-gi¡ trà th… hdMn hºi tö ‚n Prokhorov, R Hìn nœa, ta câ th” chån mºt h m ìn gi£n h m = v fAig l t“p 0-li¶n tưc, supt °t Do n(Ai) ! 0(Ai) n ! v Mn(Ai) ºc l“p n¶n Yn;m hºi tư ‚n Ym theo lu“t M°t kh¡c, Z Z kh Z hmk d n = kh K hmk d n + K c kh 1 c m n(K) + (2L) n(K ) m N + (2L) m : p dửng nh lỵ 3.5.2, cõ: E kY n;m h mk d n 57 vỵi D = c1N 1=2 + c2 Sò dửng bĐt flng thức Chebyshep, ta câ: T÷ìng tü, Ti‚p tưc ¡p dưng BŒ • 3.5.1, ta câ: Xn ! X theo lu“t V“y hdMn ! hdM0 CuŁi cịng, cƒn chøng minh vỵi måi h m f li¶n tưc bà ch°n câ gi¡ trà thüc th… R R R R f dFn ! f dF0 theo lut Tht vy, Ăp dửng nh lỵ 3.2.7 Z Z f dFn = Z f g dMn ! Z f g dM0 = f dF0 theo lu“t Theo nh nghắa 3.5.1 v Mằnh ã 3.5.1, ta cõ: E Fn(Em) k Do n hºi tö y‚u ‚n V“y m n lim lim sup E p dưng b§t flng thøc Tâm l⁄i: MŁi quan h» giœa c¡c d⁄ng hºi tử ca Hi tử ! o vector ngÔu nhiản s.i.s Hºi tư theo ph¥n phŁi ! Hºi tư y‚u 58 T i li»u tham kh£o [1] Ph⁄m K… Anh Trƒn øc Long (2001), Gi¡o tr…nh h m thüc v gi£i t‰ch h m, Nh xu§t b£n ⁄i håc quŁc gia H Nºi [2] Huýnh V«n Ho i (2012), T‰ch phƠn Bochner, lun vôn Thc sắ ToĂn hồc, Trữớng i hồc Sữ phm Th nh ph Hỗ Ch Minh [3] ng Hũng Thng (2010), XĂc suĐt nƠng cao, Nh xuĐt b£n ⁄i håc quŁc gia H Nºi [4] Ho ng Töy (2005), H m thüc v gi£i t‰ch h m (Gi£i t‰ch hi»n ⁄i), Nh xu§t b£n ⁄i håc quŁc gia H Nºi [5] Robert G Bartle (1966), The Elements of Integration, John Wiley and Sons, Inc.,New York [6] J DIESTEL and J J UHL, JR (1977), Vector measures, American Math-ematical Society, Providence, Rhode Island [7] Dang Hung Thang (20/11/1989), On the convergence of vector random mea-sures, Probability Theory and Related Fields 59 ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN... gi£ xin c£m ỡn gia nh, bn b, ỗng nghiằp v cĂc anh ch em nhõm XĂc suĐt thng kả 2014 - 2016  quan tƠm, giúp ù, to iãu kiằn v ºng vi¶n tinh thƒn ” t¡c gi£ câ th” ho n th nh ÷ỉc khâa håc n y T¡c gi£