(Luận văn thạc sĩ) độ đo véc tơ và độ đo ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TÔ LÊ DIỄM HẰNG ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy đáng kính Thầy ln tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả muốn gửi tới toàn thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt thầy tham gia giảng dạy nhóm xác suất thống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Độ đo vector 1.1 Các tính chất độ đo vector 1.2 Độ đo vector cộng tính đếm 16 Tích phân Bochner tích phân Bartle 22 2.1 Các hàm đo 22 2.2 Tích phân Bochner 24 2.3 Tích phân Bartle 34 Độ đo vector ngẫu nhiên 36 3.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên X-giá trị 36 3.2 Độ đo vector ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên 37 3.3 Hội tụ độ đo vector ngẫu nhiên 43 3.4 Hội tụ theo phân phối độ đo vector ngẫu nhiên 48 3.5 Hội tụ yếu độ đo vector ngẫu nhiên 52 Tài liệu tham khảo 58 Lời mở đầu Lý thuyết xác suất chuyên ngành Toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên quy luật ngẫu nhiên Từ ứng dụng trò chơi may rủi, lý thuyết xác suất phát triển thành ngành học có vai trị quan trọng sống Ngày nay, lý thuyết xác suất phát triển mạnh mẽ chặt chẽ lý thuyết có ứng dụng sâu rộng khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế nhiều ngành khoa học khác Xuất phát từ vấn đề đo độ dài, tính diện tích thể tích Lý thuyết độ đo đời trở thành lí thuyết quan trọng bậc tốn học tảng toán học cho phát triển Xác suất Thống kê Sự phát triển lí thuyết độ đo dẫn đến khái niệm độ đo vector độ đo mà giá trị khơng thiết số thực khơng âm mà vector phần tử không gian Banach tổng quát Lý thuyết thu nhiều kết hay bất ngờ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học Mục tiêu luận văn từ sách chuyên khảo độ đo vector báo GS TSKH Đặng Hùng Thắng tác giả tìm hiểu, tổng kết, hệ thống hóa lại số kết độ đo vector tất định ngẫu nhiên, chi tiết chứng minh với mong muốn luận văn trở thành tài liệu chuyên khảo cho vấn đề Trên sở luận văn chia thành chương Chương Độ đo vector Trong chương này, tác giả giới thiệu khái niệm độ đo vecto, tính chất độ đo vector, độ đo vector cộng tính đếm Chương Tích phân Bochner tích phân Bartle Trong chương này, tác giả trình bày khái niệm hàm đo được, định nghĩa tích phân Bochner tích phân Bartle tính chất có liên quan Chương Độ đo vector ngẫu nhiên Trong chương này, tác giả trình bày độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, hội tụ độ đo vector ngẫu nhiên, hội tụ theo phân phối độ đo vector ngẫu nhiên, hội tụ yếu độ đo vector ngẫu nhiên Rút kết luận mối liên hệ ba loại hội tụ Để nghiên cứu đề tài “Độ đo vecto độ đo ngẫu nhiên”, tác giả tham khảo số tài liệu ngồi nước lý thuyết xác suất Trong • Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [1], [3], [4], [6] • Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [5], [6] • Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [1], [3], [4], [7] Chương Độ đo vector 1.1 Các tính chất độ đo vector Định nghĩa 1.1.1 Cho F trường tập Ω, X không gian Banach F : F → X gọi độ đo vector cộng tính hữu hạn hay gọi độ đo vector, E1 , E2 hai tập rời F thì: F (E1 ∪ E2 ) = F (E1 ) + F (E2 ) ∞ Hơn nữa, F n=1 ∞ ∞ En F (En ) ∀ Ei tập rời F cho = n=1 Ei ∈ F F gọi độ đo vector cộng tính đếm (hay F cộng n=1 tính đếm được) Ví dụ 1.1.1 Độ đo vector cộng tính hữu hạn Cho T : L∞ [0, 1] → X toán tử tuyến tính liên tục Cho E ⊆ [0, 1] tập Lebesgue đo Định nghĩa F (E) = T (χE ), χE (x) =  1 x ∈ E 0 x ∈ /E Do T tốn tử tuyến tính suy F độ đo vector cộng tính hữu hạn Ví dụ 1.1.2 Độ đo vector cộng tính đếm Cho T : L1 [0, 1] → X toán tử tuyến tính liên tục Cho E ⊆ [0, 1] tập Lebesgue đo Đặt F (E) = T (χE ) Hiển nhiên F độ đo vector cộng tính hữu hạn Mặt khác, với E ⊆ [0, 1], ta có: F (E) ≤ λ(E) T Khi đó, (En )∞ n=1 dãy tập Lebesgue đo rời thuộc [0, 1] ta có: ∞ En lim F m ∞ m n=1 − En F (En ) = lim F m n=1 n=m+1 ∞ ≤ lim λ m ∞ Vậy: F En T = n=m+1 ∞ En = n=1 F (En ) hay F độ đo vector cộng tính đếm n=1 Định nghĩa 1.1.2 Cho F : F → X độ đo vector Một biến phân F hàm không âm |F |, giá trị |F | tập E ∈ F cho bởi: |F | (E) = sup π F (A) A∈π cận lấy tất phân hoạch π E thành số hữu hạn tập rời F Nếu |F | (Ω) < ∞ F gọi độ đo biến phân bị chặn Bán biến phân F hàm không âm F , giá trị F tập hợp E ∈ F cho bởi: F (E) = sup {|x∗ F | (E) : x∗ ∈ X ∗ ; x∗ ≤ 1} |x∗ F | biến phân độ đo có giá trị thực x∗ F Nếu F (Ω) < ∞ F gọi độ đo bán biến phân bị chặn Dễ thấy biến phân F hàm cộng tính hữu hạn, đơn điệu F, bán biến phân F hàm cộng tính dưới, đơn điệu F Hơn nữa, ∀E ∈ F : F (E) ≤ |F | (E) Ví dụ 1.1.3 Độ đo biến phân bị chặn Cho F độ đo Ví dụ 1.1.2 Vì F (E) ≤ T λ(E) suy |F | (E) ≤ T λ(E) Vậy F biến phân bị chặn Ví dụ 1.1.4 Độ đo bán biến phân bị chặn biến phân bị chặn Cho σ-trường tập đo Lebesgue [0; 1] Định nghĩa: −→ L∞ [0; 1] F : E Nếu E ∈ −→ F (E) = χE λ(E) > chọn dãy (En ) tập đôi rời E có độ đo dương En = E n Đặt ∞ πn = E1 , E2 , , En−1 , Ek k=n Với n: ∞ n−1 F (A) = A∈πn χEk + χ ∞ k=1 Ek k=n Ek = n k=n Vậy |F | (E) khơng bị chặn Ví dụ 1.1.5 Độ đo vector bán biến phân bị chặn Cho T : L∞ [0; 1] −→ X tốn tử tuyến tính liên tục, E ∈ [0; 1] tập đo Lebesgue Đặt: F (E) = T (χE ) Nếu x∗ ∈ X ∗ x∗ ≤ π phân hoạch [0; 1] thành tập đo Lebesgue thì: |x∗ F (A)| = A∈π |x∗ T χA | = A∈π = x∗ T ( sgn x∗ TχA x∗ TχA A∈π (sgn x∗ TχA )χA ) ≤ T (sgn x∗ TχA )χA ) ≤ x∗ T A∈π A∈π Vậy F bán biến phân bị chặn Ví dụ 1.1.6 Độ đo bán biến phân không bị chặn Cần lưu ý độ đo vector (độ đo có giá trị thực) không cần phải bán biến phân bị chặn Thật vậy, cho F trường tập N (tập số nguyên dương) bao gồm tập hữu hạn tập có bổ sung hữu hạn Độ đo F : F −→ R định nghĩa sau: F (E) = lực lượng E, E hữu hạn − lực lượng N\E, N\E hữu hạn Khi F độ đo có giá trị thực với bán biến phân không bị chặn Dễ dàng chứng minh F : F −→ X độ đo vector biến phân bị chặn độ đo khơng âm µ F bán biến phân |F | F µ thỏa mãn: i) |x∗ F | (E) ≤ µ(E) ∀E ∈ F ∀x∗ ∈ X ∗ : x∗ ≤ ii) Nếu λ : F −→ R độ đo thỏa mãn: |x∗ F | (E) ≤ λ(E), ∀E ∈ F ∀x∗ ∈ X ∗ : x∗ ≤ µ(E) ≤ λ(E), ∀E ∈ Mệnh đề 1.1.1 Một độ đo vector biến phân bị chặn cộng tính đếm biến phân cộng tính đếm Chứng minh Giả sử: F : F −→ X độ đo vector biến phân bị chặn, suy F (E) ≤ |F | (E) với E ∈ F Vậy |F | cộng tính đếm F cộng tính đếm Ngược lại, giả sử F : F −→ X độ đo vector cộng tính đếm có biến phân bị chặn En ∈ F Với (En ) dãy thành phần đôi rời F cho n En thành tập rời F π phân hoạch n F (A ∩ F (A) = A∈π ≤ A∈π n A∈π F (A ∩ En ) = A∈π n F (A ∩ En ) En ) = n F (A ∩ En ) ≤ n A∈π |F | (En ) n Vậy (Fn ) µ-liên tục ii) Trước hết chứng minh F µ-liên tục Thật vậy, với t > 0, ε > 0, ∃r > cho µ(E) < r =⇒ sup P { Fn (E) > t} ≤ ε n Cho n → ∞, ta có: P { F (E) > t} ≤ ε µ(E) < r Rõ ràng F cộng tính hữu hạn thỏa mãn điều kiện i) định nghĩa độ đo vector ngẫu nhiên ∞ n=1 En , Giả sử (En ) dãy tập rời E = ∞ n P F µ-liên tục, suy F (E) − F (Ek ) > t =P >t Ek F k=n+1 k=1 −−−→ n→∞ Vậy F cộng tính đếm Ví dụ 3.3.1 (Luật số lớn cho độ đo vector ngẫu nhiên) Giả sử F độ đo ngẫu nhiên phân bố độc lập X-giá trị cho với E ∈ Σ, E F (E) < ∞ −→ X Định nghĩa hàm N : E −→ N (E) = E(F (E)) Khi N độ đo khơng ngẫu nhiên X-giá trị ∞ Thật vậy, cho (En ) dãy tập rời E = En n=1 Theo định lý Hoffmann - Jongensen, ta có: E F (E) < ∞ n =⇒ lim E F (E) − n ∞ Vậy N (E) = F (Ek ) = k=1 N (En ) n=1 Độ đo N X-giá trị gọi độ đo kì vọng F Cho (Fn ) độc lập F Theo định lý Fortet-Mourire p − lim n n n Fk = N k=1 45 Định lý 3.3.2 Cho F độ đo s.i.s X-giá trị với độ đo điều khiển (fn ), n ≥ hàm F -khả tích cho lim fn (t) = f0 (t), µ-hầu khắp nơi p − lim fn dF = n f0 dF (fn ) F -khả tích theo nghĩa fn dF > t lim sup P µ(E)→0 n Chứng minh Giả sử p − lim fn dF = f0 dF n Đặt Gn (E) = = 0, t > E fn dF E Theo định lý 3.2.6 {Gn } độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị với độ đo điều khiển µ Hơn với E ∈ ta có: P { Gn (E) − G0 (E) > t} ≤ 2P (fn − f0 )dF > t −−−→ (Theo định lý 3.2.4) n→∞ Do đó: p − lim Gn = G0 Theo định lý 3.3.1 suy Gn µ - liên tục Vậy (fn ) F - khả tích Ngược lại, giả sử fn F - khả tích Áp dụng định lý Egoroff với m tồn tập Em ∈ cho : c µ(Em ) < m−1 lim fn = f0 Đặt Yn,m = fn dF ; Em Ym = f0 dF, Xn = fn dF X = f0 dF Em c ) = theo tính khả tích đều, ta có: Vì lim µ(Em m lim lim P { Yn,m − Xn > t} ≤ lim sup P m n m n fn dF > t c Em Và P { Ym − X > t} = P f0 dF c Em Hơn nữa, theo Định lý 3.2.4 ta có: 46 −−−→ m→∞ =0 P { Yn,m − Ym > t} = P    Em   (fn − f0 ) dF > t  ≤ 2P { F (T ) > t/εn } −−−→ n→∞ Vì εn = sup |fn (t) − f0 (t)| −−−→ n→∞ t∈Em Tóm lại: lim P { Xn − X > 3t} ≤ lim P { Xn − Yn,m > t} + lim P { Yn,m − Ym > t} n n + P { Ym − X > t} = lim P { Xn − Yn,m > t} n + P { Ym − X > t} Cho m → ∞ ta có: lim P { Xn − X > 3t} = Do đó: fn dF hội tụ theo xác suất đến f0 dF Hệ 3.3.1 Định lí hội tụ trội Cho F độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị với độ đo điều khiển µ Nếu dãy hàm (fn ) F - khả tích fn hội tụ f µ-hầu khắp nơi bất đẳng thức |fn (t)| ≤ g(t) ∀t với g F -khả tích f F -khả tích p − lim fn dF = f dF (3.4) trường hợp riêng, đẳng thức (3.4) với dãy hàm bị chặn fn hội tụ f Chứng minh Chọn hn: T → R thỏa mãn: fn (t)/g(t) g(t) = hn (t) = 0 f (t) = g(t) = n Khi hn ∞ ≤ Áp dụng Định lý 3.2.4 3.2.6 ta có: lim sup µ(E)→0 n fn dF > t ≤ lim P µ(E)→0 E 47 g dF > t E = Suy fn F khả tích Kết hợp với Định lý 3.3.2, ta có: lim fn dF = 3.4 f dF Hội tụ theo phân phối độ đo vector ngẫu nhiên Định nghĩa 3.4.1 Cho (Fn ), n ≥ độ đo ngẫu nhiên X-giá trị Σ Ta nói Fn hội tụ tới F0 theo phân phối với dãy hữu hạn (E1 , , Ek ) ⊂ Σ ta có: L (Fn (E1 ), , Fn (Ek )) hội tụ yếu đến L (F0 (E1 ), , F0 (Ek )) Định lý 3.4.1 Cho (Fn ), n ≥ độ đo ngẫu nhiên phân bố độc lập X - giá trị Fn hội tụ tới F0 theo phân phối với E ∈ , Fn (E) hội tụ tới F0 (E) theo luật Chứng minh Cho (E1 , , Ek ) dãy hữu hạn Khi đó, tồn họ hữu hạn A = {A1 , , Ap } tập rời nhau, cho Ei (i = 1, k) hợp thành phần từ tập A p Khi đó: Fn (Ei ) biểu diễn tuyến tính họ {Fn (Ai )}i=1 , p Fn (Ei ) = bij Fn (Aj ) j=1 bij = 1, không phụ thuộc vào n Khi đó, với n ≥     Fn (E1 ) Fn (Ai )       = B       Fn (Ek ) Fn (Ap ) với B = (bij ) Giả sử Fn (A) hội tụ đến F0 (A) theo luật với A ∈ (3.5) Do {Fn (Ai )} độc lập, L (Fn (A1 ), , Fn (Ap )) hội tụ yếu tới L (F0 (A1 ), , F0 (Ap )) 48 Từ (3.5) ta có: L (Fn (E1 ), , Fn (Ek )) hội tụ yếu tới L (F0 (E1 ), , F0 (Ek )) Do Fn hội tụ F0 theo xác suất Định lý 3.4.2 Cho F độ đo ngẫu nhiên s.i.s X - giá trị, cho với E ∈ Σ E[F (E)] = E F (E) < ∞ Nếu (Fn ) độc lập F (tức với E, {Fn (E)} độc lập có n Fk hội tụ theo phân phối đến độ đo phân phối tương tự F (E) ) √ n k=1 ngẫu nhiên Gaussian s.i.s X - giá trị (Với điều kiện X loại 2) Chứng minh Cho W độ đo ngẫu nhiên s.i.s giá trị thực không gian đo (Ω, F, P) cho với A ∈ F, W (A) có phân phối Gaussian với trung bình phương sai P (A) Kí hiệu: LX (W ) khơng gian hàm W -khả tích, xác định Ω, lấy giá trị X Nếu f ∈ LX (W ) f dW biến ngẫu nhiên Gaussian X-giá trị Nếu X loại LX (Ω, F, P) ⊂ LX (W ) Hơn nữa, tồn số C > cho: E f dW ≤C f dP ∀f ∈ LX (Ω, F, P) Cho hàm −→ LX (Ω, F, P) G: E −→ G(E) = F (E) dW Khi đó‘ G độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị ∞ En , (uk ) ⊂ R, (ak ) ⊂ X Thật vậy, cho (En ) dãy tập rời E = n=1 ta có: 49 E exp i uk G(Ek ), ak = E exp i F (Ek ), ak uk dW k   = exp −  dP F (Ek ), ak uk    k = exp − | F (Ek ), ak uk | dP k = Πnk=1 exp − | F (Ek ), ak uk | dP = Πnk=1 exp i F (Ek ), ak uk dW = Πnk=1 exp {iuk G(Ek ), ak } Vậy {G(En )} độc lập ∞ Ngoài F (E) = n=1 F (En ) LX (Ω, F, P) theo Định lý 3.4.1 ta có: n lim E G(E) − n G(Ek ) n = lim E n [F (E) − F (Ek )] dW k=1 n ≤ C lim n ∞ Vậy G(En ) = n=1 [F (E) − F (Ek )] dP = k=1 G(En ) LX (Ω, F, P) G hội tụ h.c.c (Theo định lý Ito-Nisico) Theo định lý Ito- Nisio ta có hàm G hội tụ h.c.c n Mặt khác: √ Fk (E) hội tụ đến G(E) theo luật ∀E ∈ n k=1 n Vậy √ Fk (E) hội tụ đến G theo phân phối n k=1 50 Định lý 3.4.3 Cho (Fn ), n ≥ độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị với độ đo điều khiển µ cho Fn hội tụ tới F0 theo phân phối Ngồi ra, khơng gian mêtric ( , d) Định lý 3.3.1 tách tồn {Gn } , n ≥ độ đo ngẫu nhiên s.i.s X - giá trị cho: Gn Fn (n ≥ 0) p − lim Gn = G0 Chứng minh Cho A = (Ak ) tập đếm được, trù mật ( , d) N Xét biến ngẫu nhiên ξn = {Fn (Ak )}∞ k=1 (n ≥ 0), X -giá trị Do Fn hội tụ đến F0 theo phân phối, L (ξn ) hội tụ yếu tới L (ξ0 ) N Định lý Skorokhod tồn biến ngẫu nhiên Vn = {Vnk }∞ k=1 (n ≥ 0), X -giá trị cho L (Vn1 , , Vnk ) = L (Fn (A1 ), , Fn (Ak )), ∀n, k (3.6) p − lim Vnk = V0k , với k (3.7) n Với n ≥ 0, định nghĩa hàm Gn : A −→ LX (Ω); Gn (Ak ) = Vnk Khi hàm Gn mở rộng tồn khơng gian (Σ, d) Thật vậy, cho E ⊂ Σ (Ak ) ⊂ A cho lim µ(Ak ∆E) = k Theo phần chứng minh Định lý 3.3.1 p-lim Fn (Ak ) = Fn (E), kết hợp với k (3.6) suy ∃p − lim Gn (Ak ) k Đặt Gn (E) = p − lim Gn (Ak ) (n ≥ 0) k Hơn nữa, với dãy tập hữu hạn (E1 , , Ek ), L (Gn (E1 ), , Gn (Ek )) = L (Fn (E1 ), , Fn (Ek )) suy Gn độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị Gn Cuối cùng, ta chứng minh: p − lim Gn = G0 Thật vậy, E ∈ Σ, chọn dãy (Ak ) ⊂ A cho lim µ(Ak ∆E) = 0, k 51 Fn với n ≥ với t > 0, ta có: lim P { Gn (E) − Gn (Ak ) ≥ t} n = lim P { Gn (E ∩ Ack ) − Gn (Ak ∩ E c ) ≥ t} n = lim P { Gn (E∆Ak ) ≥ t} n = lim P { Fn (E∆Ak ) ≥ t} n ≤ P { F0 (E∆Ak ) ≥ t} Vì Fn (E∆Ak ) hội tụ đến F0 (E∆Ak ) theo luật Áp dụng Định lý 3.2.2, ta có: lim lim P { Gn (E) − Gn (Ak ) ≥ t} k n ≤ lim P { F0 (E∆Ak ) ≥ t} = k Theo (3.7), suy lim P { Gn (Ak ) − G0 (Ak ) ≥ t} = n Vậy lim P { Gn (E) − G0 (E) ≥ 3t} n ≤ lim P { Gn (E) − Gn (Ak ) ≥ t} + lim P { Gn (Ak ) − G0 (Ak ) ≥ t} n n + P { G0 (Ak ) − G0 (E) ≥ t} = lim P { Gn (E) − Gn (Ak ) ≥ t} + P { G0 (Ak ) − G0 (E) ≥ t} n Cho k −→ ∞, suy lim P { Gn (E) − G0 (E) ≥ 3t} = 3.5 Hội tụ yếu độ đo vector ngẫu nhiên Cho T không gian mêtric với σ-đại số Borel Σ Tập Borel A gọi tập µ-liên tục với độ đo dương hữu hạn µ µ(∂A) = 52 Định nghĩa 3.5.1 Cho (Fn ), n ≥ dãy độ đo ngẫu nhiên X-giá trị Ta nói Fn hội tụ yếu đến F0 Fn (A) hội tụ đến F0 (A) theo luật với tập Borel A µ-liên tục, µ độ đo điều khiển F0 Định lý 3.5.1 Cho (Fn ) n ≥ độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị, khẳng định sau tương đương: Fn hội tụ yếu đến F0 ; Với hàm f giá trị thực liên tục, bị chặn, ta có: f dFn hội tụ đến f dF0 theo luật lim lim P { Fn (Em ) ≥ t} = m n với dãy (Em ) tập đóng µ-liên tục cho lim µ(Em ) = m Chứng minh (1) → (2) Giả sử f hàm liên tục bị chặn Cho λ độ đo R xác định λ(B) = µ{t : f (t) ∈ B} Do f bị chặn nên λ tập trung khoảng bị chặn (a, b) Với m > 0, ta tìm số s1 , , sk cho a = s0 < · · · < sk = b, si − si−1 < m µ{t : f (t) = sj } = ∀j Đặt Aj = {t : sj−1 ≤ f (t) < sj } suy Aj rời µ(∂Aj ) = L Vậy Fn (Aj ) −→ F0 (Aj ) ∀j k Đặt fm = sj−1 λAj , Yn,m = fm dFn (n ≥ 1), Ym = fm dF0 j=1 Xn = f dFn , X = f dF0 L Do {Fn (Aj )} độc lập Fn (Aj ) −→ F0 (Aj ) n −→ ∞ suy Yn,m −→ Ym n −→ ∞ Hơn nữa, εm = sup |fn (t) − f (t)| < t m 53 Áp dụng Định lý 3.2.4, ta có: t } = 0, εm lim P { Ym − X ≥ t} ≤ lim P { F0 (T ) ≥ m m lim lim P { Yn,m − Xn ≥ t} ≤ lim lim 2P { Fn (T ) ≥ m n m n ≤ lim P { F0 (t) ≥ m t }=0 εm t } = εm Áp dụng Bổ đề 3.5.1 ta có Xn hội tụ theo luật đến X Bổ đề 3.5.1 Cho X không gian Banach tách Xn dãy biến ngẫu nhiên X-giá trị cho với m ∈ N , tồn dãy {Yn,m } biến ngẫu L L nhiên X-giá trị thỏa mãn Yn,m −→ Ym n −→ ∞; Ym −→ X m −→ ∞ L lim lim P { Yn,m − Xn ≥ t} = với t > 0, Xn −→ X n −→ ∞ m n Tiếp tục chứng minh Định lí 3.5.1 L Do lim µ(Em ) = Fn (Em ) −→ F0 (Em ) n −→ ∞ m Áp dụng Định lý 3.2.2, ta có: lim lim P { Fn (Em ) ≥ t} ≤ lim P { F0 (Em ) ≥ t} = m n m Vậy (1) → (2) Cho A tập µ-liên tục Với m, đặt: Em = {t : d(t, A) ≥ }, m Gm = {t : d(t, Ac ) ≥ } m d(t, A) khoảng cách từ điểm t đến A Dễ thấy Em , Gm hai tập đóng rời nhau, tồn hàm liên tục fm cho  1 với t ∈ Gm , fm (t) = 0 với t ∈ E m ≤ fm (t) ≤ Hơn nữa, ta chọn số m −→ ∞ cho tập Em , Gm µ-liên tục 54 Đặt Yn,m = fm dFn , Ym = fm dF0 , Xn = χA dFn X = χA dF0 Khi Yn,m −−−→ Ym theo luật n→∞ Hơn nữa, |fm (t) − χA (t)| = 0, t ∈ Gm ∪ Em c |fm (t) − χA (t)| ≤ ∀t ∈ Bm = Gcm ∩ Em Ta có: ≤ 2P { F0 (Bm ) > t} (fm − χA )dF0 > t P { Ym − X > t} = P Bm P { Yn,m − Xn > t} = P (fm − χA )dFn > t ≤ 4P Fn (B m ) > t Bm Do tập Bm đóng, µ-liên tục lim µ(B m ) = µ(∂A) = theo Định nghĩa 3.5.1 m Định lý 3.3.2, ta có: P { Ym − X > t} −→ m −→ ∞ lim lim P { Yn,m − Xn > t} = m n Áp dụng Bổ đề 3.5.1, ta có Xn hội tụ đến X theo luật Vậy Fn (A) hội tụ đến F0 (A) theo luật Mệnh đề 3.5.1 Nếu X loại E |M (T )| < ∞ LX (T, Σ, µ) ⊂ LX (M ) Hơn nữa, tồn số C > cho 1/2 E f dM ≤ C f dµ ∀f ∈ LX (T, Σ, µ) Chứng minh Giả sử M = M1 + M0 , đó: M1 ∼ [0, m1 , µ], M0 ∼ [k , m0 , µ] m0 (B) = m{B ∩ [−1, 1]}, m1 (B) = m{B ∩ [−1, 1]c } Với A ∈ , ta có: E |M1 (A)| ≤ c1 µ(A), E |M0 (A)| = c0 µ(A) 55 |u| m1 (du) = đó: c1 = |u| m(du) < ∞ (Do E(M (T )) < ∞) |u|>1 c0 = k + u2 m(du) −1 n i=1 xi χAi , Lấy f hàm đơn giản, f = với (Ai ) tập rời Khi đó, n f dM1 ≤ E n xi E |M1 (Ai )| ≤ c1 i=1 xi µ(Ai ) i=1 1/2 = c1 1/2 f dµ ≤ c1 [µ(T )] f dµ Do X loại 2: 1/2 f dM0 ≤ E E f dM0 1/2 n ≤   = E  K xi 2 E |M0 (Ai )| n xi M0 (Ai )  i=1 1/2 n = xi Kc0 i=1 1/2  µ(Ai ) i=1 1/2 = c2 f dµ c2 = (Kc0 )1/2 , K hệ số phụ thuộc X Do đó, f dM ≤ E E với C = c1 f dM1 + E f dM0 ≤ C f dµ µ(T ) + c2 Do tính trù mật hàm đơn giản LX (T, Σ, µ), ta có: LX (T, Σ, µ) ⊂ LX (M ) E f dM ≤ C f dµ Định lý 3.5.2 Cho {Fn }, n ≥ độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị có dạng g dMn , M ∼ (k , m, µn ) g : T −→ X hàm liên tục bị Fn (E) = E chặn 56 Giả sử E |Mn (T )| < ∞ (n ≥ 0) X loại Khi µn hội tụ yếu tới µ0 Fn hội tụ yếu tới F0 Chứng minh Trước hết ta chứng minh với hàm hàm số h liên tục, bị chặn, X-giá trị hdMn hội tụ đến hdM0 theo luật Thật vậy, áp dụng định lý Prokhorov, với m, tìm tập compact K ⊂ T cho sup µn (T ) = N < ∞, sup µn (K c ) < m−1 n n s Hơn nữa, ta chọn hàm đơn giản hm = xi χAi cho i=1 ,t ∈ K m hm (t) − h(t) < {Ai } tập µ0 -liên tục, sup hm (t) ≤ sup h(t) = L < ∞ t t Đặt Yn,m = hm dMn ; Ym = hm dM0 ; Xn = hdMn ; X= hdM0 Do µn (Ai ) −→ µ0 (Ai ) n → ∞ Mn (Ai ) độc lập nên Yn,m hội tụ đến Ym theo luật Mặt khác, h − hm h − hm dµn = h − hm dµn + Kc K ≤ 1 c µ (K) + (2L) µ (K ) ≤ N + (2L) n n m2 m2 m Áp dụng Định lý 3.5.2, có: E Yn,m − Xn 1 ≤D N + (2L)2 m m 57 dµn với D = c1 N 1/2 + c2 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshep, ta có: lim lim sup P { Yn,m − Xn > t} = m với t > n Tương tự, lim P { Ym − X > t} = m Tiếp tục áp dụng Bổ đề 3.5.1, ta có: Xn −→ X theo luật Vậy hdMn −→ hdM0 Cuối cùng, cần chứng minh với hàm f liên tục bị chặn có giá trị thực f dFn −→ f dF0 theo luật Thật vậy, áp dụng Định lý 3.2.7 f dFn = f g dMn −→ f g dM0 = f dF0 theo luật Theo Định nghĩa 3.5.1 Mệnh đề 3.5.1, ta có: 1/2 √ g dMn ≤ (c1 N + c2 ) E Fn (Em ) = E g dµn Em Em Do µn hội tụ yếu đến µ0 nên lim sup g dµn ≤ Em Vậy lim lim sup E m n g dµ0 Em g dMn = Em Áp dụng bất đẳng thức Chebyshep, ta có điều cần chứng minh Tóm lại: Mối quan hệ dạng hội tụ độ đo vector ngẫu nhiên s.i.s Hội tụ −→ Hội tụ theo phân phối −→ Hội tụ yếu 58 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kì Anh – Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Huỳnh Văn Hồi (2012), Tích phân Bochner, luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh [3] Đặng Hùng Thắng (2010), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [5] Robert G Bartle (1966), The Elements of Integration, John Wiley and Sons, Inc.,New York [6] J DIESTEL and J J UHL, JR (1977), Vector measures, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [7] Dang Hung Thang (20/11/1989), On the convergence of vector random measures, Probability Theory and Related Fields 59 ... tụ độ đo vector ngẫu nhiên, hội tụ theo phân phối độ đo vector ngẫu nhiên, hội tụ yếu độ đo vector ngẫu nhiên Rút kết luận mối liên hệ ba loại hội tụ Để nghiên cứu đề tài ? ?Độ đo vecto độ đo ngẫu. .. 34 Độ đo vector ngẫu nhiên 36 3.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên X-giá trị 36 3.2 Độ đo vector ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên 37 3.3 Hội tụ độ đo vector ngẫu nhiên ... 3.2.2 Cho F độ đo ngẫu nhiên s.i.s X-giá trị với độ đo điều khiển µ Khi F µ-liên tục, tức p − lim F (E) = µ(E)→0 Định nghĩa 3.2.2 Cho F độ đo ngẫu nhiên s.i.s có giá trị thực với độ đo điều khiển