Kiến thức và bài tập tìm công thức tổng quát cảu dãy số

ĐI TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT DÃY SỐ un lim x * ˆ un un un 2n 1 2n TRẦN DUY SƠN Xuân kỷ sửu 2009 Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Giới thiệu Dãy số phần Đại số Giải tích tốn học Dãy số đóng vai trị quan trọng toán học nhiều lĩnh vực đời sống Trong kì thi HSG quốc gia, IMO (Olympic tốn học quốc tế), hay kì thi giải tốn nhiều tạp chí tốn học tốn dãy số xuất nhiều đánh giá mức độ khó Các bạn học sinh làm quen với dãy số từ sớm, từ hồi tiểu học chúng làm quen với tốn dãy số như: tìm quy luật dãy số đơn giản,… Đây giáo trình lí thuyết dãy số mà chuyên đề nhỏ trình bày vấn đề nhỏ lĩnh vực dãy số Tập tài liệu gần viết mở, trao đổi, trị chun, trình bày đường tìm cơng thức tổng quát số dạng dãy số bản, từ ứng dụng để giải số tốn Do chuyên đề đầu tay tôi, nên nội dung cách trình bày tài liệu chắn cịn nhiều thiếu xót, mong bạn đọc thơng cảm có ý kiến đóng góp để viết hồn thiện Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi địa hòm thư: ibelieveicanfly@ymail.com Trần Duy Sơn Xuân kỷ sửu 2009 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Một số kí hiệu dùng tập tài liệu CSN – Cấp số nhân CSC – Cấp số cộng CTTQ – Công thức tổng quát The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Mục lục Trang Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số……………………………………………………… Phương trình sai phân tuyến tính………………………………………………………… 14 Sử dụng phép lượng giác để xác định CTTQ dãy số………………………………… 16 Các toán dãy số chọn lọc…………………………………………………………… 18 Bài tập đề nghị…………………………………………………………………………… 20 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………… 21 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trong phần này, bạn tìm hiểu nêu ý tưởng tìm CTTQ số dạng dãy số Chúng ta bắt đầu tập đơn giản sách giáo khoa sau: Ví dụ 1: (Bài 45, trang 123, Đại số & Giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số (u n ) xác định bởi: un u1 un 1 n Chứng minh un 2n 1 2n Với số nguyên dương n Ý tưởng: Khi gặp dạng hẳn nhiều bạn nghĩ đến việc chứng minh phương pháp quy nạp Nhưng làm chẳng có thú vị, khơng thử tìm cách giải khác cho toán này! Ta nhận thấy đề cho công thức truy hồi xác định dãy (u n ) cho số hạng u1 nên ý tưởng tìm cách đưa (u n ) CSC CSN để dễ dàng liên hệ với u1 cho Giải: Ta viết lại (u n ) : 2u n un 1từ ta tìm cách đưa CSN Nhưng rắc rối nhỏ vế phải công thức truy hồi có số Bây đặt u n 2(v n q d) vn d 1.Từ 2d v1 Mà v u a 2n d v1 v n d thay vào dãy ta được: d (vn ) CSN với công bội un d 2n 2n 1 2n Đến toán coi chứng minh xong! Nhận xét: Bài toán đơn giản điển hình cho dạng tìm CTTQ dãy số Thơng thương dễ dàng giải phương pháp quy nạp Nhưng khơng cho trước CTTQ dãy số phương pháp quy nạp gần vơ hiệu cần có phương pháp cho trường hợp Trong tập tài liệu tơi bạn tìm CTTQ dãy số Tiếp theo ta xét số ví dụ khác sau Ví dụ 2: Tìm CTTQ dãy (u n ) xác định: u1 2, un 2un n n The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Ý tưởng: Tiếp tục ý tưởng ví dụ 1, nhiên ta thấy công thức truy hồi cho xuất đa thức theo n n nên cách làm khác chút Giải: Giả sử: u n an b (2) Thay vào dãy cho ta được: an b a( n 1) b 2n v1 2n a( n 1) a( n 2) n n a b 2n v1 Thay n 1, an b 2( v n 1 2n un b b) n 1,chọn a, b cho ( v )là CSN n Tiếp tục thay a, b vào (2) suy ra: v1 u1 1 n Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) : Giải: Giả sử: u n u1 n Tìm CTTQ (un ) 2n un 3un q 2n (3) q 2n Thay vào dãy số cho ta được: v n q 2n 3n 1v 3q 2n 2n Thay vào (3) suy ra: v1 q 3(v n q 2n ) 2n u1 21 3n un 2n 3n Nhận xét: Từ ba ví dụ trên, chúngta phát biểu toán tổng quát sau: (cách giải tổng qt nói tới phần Phương trình sai phân tuyến tính) Bài tốn tổng qt 1: Cho dãy (u n ) xác định u1 aun c bun f ( n) n Trong a, b, c số f (n) đa thức theo n Tìm CTTQ dãy (un ) The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Các bạn tự tổng qt tốn dạng công thức, với chút kiên nhẫn biến đổi tìm hai CTTQ sau đây, ngồi bạn tự tổng qt cơng thức phức tạp Công thức tổng quát 1: Cho dãy (u n ) xác định: Trong a, b u1 x1 un qu n n d số, có CTTQ là: x ( n 1)d (khi q 1) un qn 1 n q x1 d (khi q 1) q Công thức tổng quát 2: Cho dãy (u n ) xác định: Trong a, b 0, u1 x1 un au n b n n , số i Nếu a un b( n 1) ii Nếu a un an n x1 n b x1 b a n a Thế bắt đầu hình thành phương pháp nhỉ! Chúng ta tiếp tục toán tiếng sau đấy: Một đôi thỏ (gồm thỏ đực thỏ cái) kể từ lúc tròn hai tháng tuổi tháng đẻ đôi thỏ (gồm thỏ đực thỏ cái) Giả sử từ lúc đầu tháng giêng có đơi thỏ sơ sinh., hỏi đến đầu tháng n có đơi thỏ Bài tốn Fibonacci, trích Liber Abaci (sách toán đố) Ý tưởng: Đây toán đố đơn thuần, để tiện cho việc giải toán, ta tìm cách viết lại đề Gọi Fn số đơi thỏ sau n tháng Thì F1 1, F2 Ta dễ thấy đến tháng ba, đôi thỏ tháng giêng đẻ cịn đơi thỏ sinh tháng hai tháng tuổi nên chưa đẻ nên có F3 đơi thỏ, đến tháng thứ tư đơi thỏ tháng giêng tháng hai đẻ nên có F4 đơi thỏ Cứ tiếp tục suy diễn ta suy ra: Fn Fn Fn The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Đề viết lại sau: Ví dụ 4: (dãy Fibonacci) Dãy ( Fn ) xác định F1 1, F2 Fn Fn Fn n Tìm CTTQ ( Fn ) Ý tưởng: Khơng tốn gặp trên, tốn gặp cơng thức truy hồi liên quan tới số hạng dãy Ý tưởng tìm cách biến đổi cơng thức truy hồi dạng đơn giản liên quan tới số hạng dãy Giải: Giải sử: Fn Fn ( Fn n 2 Fn ) ( F2 1F ) 1 Suy , 1,2 2 nghiệm phương trình: Chọn 1 , giải PT ta hai nghiệm , n Fn Fn 1 n F2 F1 n Fn Fn 1 Áp dụng kết công thức tổng quát ta suy ra: n Fn 5 n Chú ý: Bài tốn Leonardo Pisano (khoảng 1170-1250) hay cịn gọi Fibonacci phát biểu lần ttrong sách tên Liber Abaci dạng tốn đố Dãy Fibonacci dãy số có nhiên ứng dụng toán học, kinh tế, sinh học, hội họa,… Có nhiều tính chất tuyệt đẹp dãy Fibonacci khuôn khổ tập tài liệu khơng thể nói đến được, hi vọng bạn trao đổi dãy Fibonacci chun đề khác! Cơng thức vừa tìm cịn có tên cơng thức Binet nhà tốn học Pháp Binet (1786 – 1856) tìm The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Từ cách làm ví dụ 4, ta rút tốn tổng quát sau: Bài toán tổng quát 2: u1 x1 , u2 x2 un Cho dãy (u n ) xác định au n bu n Trong a, b, x1, x2 số a n 4b Tìm CTTQ dãy (un ) Giải: (tổng quát) Giải phương trình đặc trưng: un u n un u n (un ( x2 a b từ tìm , n u x) n ) đó: n 1 ( u2 2, u) 1 Áp dụng Công thức tổng quát 2: Nếu a 2 a thì: un n x2 a a x1 (n 1) 2 x2 a x1 ( n 1) a x1 n k ( n 1)l a x1 a x1a Trong k , l nghiệm hệ phương trình: k l x2 n n l (sửa) Ví dụ 5: Cho dãy (u n ) xác định: u1 un 1, u2 5un 6un 2n2 2n n Tìm CTTQ (u n ) Giải: Giải sử: un an bn c , cần chọn a, b, c cho: 2n 2n (an bn c ) 5(a (n 1) b (n 1) c ) 6(a (n v n 5v n 6v n (5.2) 2) b (n 2) c ) (5.1) The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Thay n Trần Duy Sơn 0,1,2 vào (5.1) ta có hệ: 19a 7b 2c a 5b 2c a b a 3b 2c 11 c 19 Đến ta giải tiếp (5.2) từ suy (u n ), cơng việc xin dành bạn đọc Ví dụ 6: Tìm CTTQ (u n ) biết: u1 1, un un un n * Giải: un Ta có: un un 2 un un v1 1 un Đặt: v n un un 2n un 2v n 1 2n Nhận xét: Đây dạng tốn tìm CTTQ dãy số cho công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số Chúng ta dễ dàng tổng qt tốn dạng sau đây: Bài toán tổng quát 3: pun q n run s Trong , p, q, r, s số Tìm CTTQ dãy (un ) Cho dãy (u n ) xác định bởi: u1 , un * Giải: (tổng quát) Đặt: un Ta chọn: rt t ( p s )t t p t r t q đó: q s vn p rt rt ( p s) t rvn rt s q Từ tìm CTTQ (vn ) suy (u n ) 10 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Chúng ta tiếp tục xét ví dụ sau dạng xác định CTTQ dãy số biết cơng thức truy hồi có thức Ví dụ 7: Cho dãy (u n ) xác định: u1 2, un un 3u2 n Tìm CTTQ (u n ) Ý tưởng: Ta thấy cơng thức truy hồi có thức nên việc làm khai triển thức, từ tìm cách đưa dãy dạng đơn giản Giải: Viết lại công thức truy hồi: un n ta đươc: un 2 3un un 4un 1un 2un 2 un un 4un 1un 4unun Từ suy ra: un un nghiệm phương trình: x un un 2 un xun un Thay n 2 un un Từ ta đưa dạng quen thuộc, bạn giúp tơi hồn thành nốt tốn này! Ví dụ 8: u1 1, v 1 Cho dãy số (u n ), (v n ) : u n 4u n 2v n un v n Tìm CTTQ (u n ) (v n ) Giải: Thay n n un 4u n un 4u n 1 un 2u n 4u n 2v n 5u n 4u n 2(u n 6u n 1 v n 1) 4u n 2u n 2v n 1 Từ ta có hệ 1ta được: 2v n un 4u n u 1, u 2 un 6u n n 1 5u n un 2n Thay vào hệ cho, suy ra: n 11 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Nhận xét: Đây dạng toán xác định CTTQ dãy số cho hệ phương trình Ta tổng qt tốn dạng: Bài toán tổng quát 4: u1 , v1 Cho dãy (u n ), (v n ) xác định bởi: u n pu n qv n ru n sv n Trong , , p, q, r, s số Tìm CTTQ dãy (u n ), (v n ) Giải: (tổng quát) Thay n n un pu n un pu n qru n (p un qv n s (u n s )u n pu n pu n ta hệ ru n q( ru n pu n ) ( ps qv n sv n 1 sv n 1) (p qr )u n s )u n (qr ps )u n 1 Từ ta đưa dạng Bài tốn tổng qt Ngồi việc tìm CTTQ tốn cho trước, tự tổng quát số dạng dãy số khác Chúng ta xét ví dụ: xây dựng phương trình phi tuyến bậc cao từ nghiệm phương trình bậc Xét phương trình bậc 2: x dãy số u n un un x 12 n mx có nghiệm x x Xét mộ số thực n 2 x Khi u n x 12 n x2 n un 2 Từ ta có tốn: Ví dụ 9: Cho dãy (u n ) xác định bởi: u 2, u n 2u n Tìm CTTQ (u n ) 12 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Giải: Ta thấy: u n x 12 u0 x 1,2 2 x2 2u n un x1 x 2 un Trần Duy Sơn un 2 Trong trường hợp m x2 2n 4x Lại có: 2n Chú ý: Trong phần vừa tìm hiểu nêu ý tưởng tìm CTTQ số dạng dãy số Tuy nhiên nhiều dạng dãy số khác, khn khổ tài liệu có hạn khơng thể đề cập hết Rất mong bạn thơng cảm tự tìm hiểu, khám phá loại dãy số mới! Trong phần tiếp theo, tơi giới thiệu số tốn mà q trình giải có sử dụng kết phần Nhưng trước tiên, tìm hiểu khái niệm thú vị sau! 13 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Phương trình sai phân tuyến tính Phương trình sai phân tuyến tính cơng cụ mạnh việc tìm CTTQ dãy số Trong phần này, giới thiệu vơi bạn khái qt phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp (bậc nhất) Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng: * bun f (n) n Trong a, b 0, số f (n) biểu thức n cho trước u1 , aun Phương pháp giải: * * ˆ b ta tìm Giải sử: un un un đó: un ˆ nghiệm tổng quát phương trình au n bu n u n nghiệm riêng tùy ý Giải phương trình đặc trưng a phương trình khơng au n bu n * f ( n) Vậy un q n ( q số xác ˆ định sau) Để xác định u n ta làm sau: ˆ 1thì un đa thức bậc với f (n) ˆ ii Nếu (khi dãy (u n ) CSC) u n n g ( n) g ( n) đa thức bậc với f ( n) ˆ ˆ Thay u n phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số u n i Nếu Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: * u1 , u2 , aun bun cun f (n) n Trong , , a, b, c số khác, a f (n) biểu thức n cho trước Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng a i Nếu , b c ta tìm hai nghiệm thực nhau: 1 thì: u n A B.n n A, B xác định biết u1 , u 14 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số ii Nếu , Trần Duy Sơn hai nghiệm thực khác thì: un A n B n A, B xác định biết u1 , u iii Nếu un hai nghiệm phức, giả sử: r n A cos n r x2 B sin n y , tan x iy thì: r (cos i sin ) , đó: y , 2 , A, B xác định biết u1 , u Chú ý: Như bạn thấy, nhiều suy luận phần tìm cơng thức tổng qt dãy số giống với tư tưởng phương trình sai phân tuyến tính Tuy nhiên, suy luận tự nhiên, sáng hồn tồn khơng cần tới cơng cụ cao cấp phương trình sai phân tuyến tính phải khơng bạn ! Phương trình sai phân tuyến tính hay số cơng cụ khác (ví dụ: hàm sinh) khái niệm thuộc toán học cao cấp, có nhiều ứng dụng việc tìm CTTQ dãy số Nhưng để đảm bảo tính sơ cấp tập tài liệu, khái niệm khơng đề cập đây, mong bạn đọc thông cảm! P/s: Nếu bạn muốn tìm hiểu khái niệm nói tham khảo số tài liệu như: [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) - Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo Dục 2008 [2] Các diễn đàn: http://maths.vn, http://diendantoanhoc.net, 15 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Sử dụng phép lượng giác để xác định CTTQ dãy số Nhiêu công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ thực phép lượng giác Chúng ta xét ví dụ sau Ví dụ 8: Hãy tìm cách biểu diễn dạng khác Ý tưởng: Đây toán kinh điển lượng giác, tinh mắt chút ta dễ dàng đưa tốn dãy số, cách làm sau: Đặt: u1 2, u2 Từ suy ra: un , , un 2 2 un Giải: Ta thấy: u1 u2 2cos u2 u1 u2 u1 cos 4cos 2cos Từ suy ra: un 2cos 2n (các bạn dùng chứng minh quy nạp để kiểm tra lại) Tiếp tục ý tưởng dùng phép lượng giác, liên tưởng tới công thức To be continue… 16 The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 17 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Các toán dãy số chọn lọc Trong phần đưa số tốn dãy số mà q trình giải có sử dụng kết phần trước Ví dụ: (HSG Quốc gia 1997) Cho dãy số ( xn ) : x1 7, x2 50, xn xn xn 1975 n Chứng minh rằng: x1996 1997 Giải: Ví dụ: (IMO 1967) Trong thi đấu thể thao có m huy chương, phát n ngày thi đấu Ngày thứ phát huy chương 1 số huy chương lại Ngày thứ hai phát hai huy chương 7 số huy chương lại Những ngày lại tiếp tục tương tự Ngày sau lại n huy chương để phát Hỏi có tất huy chương phát ngày? Ý tưởng: Thoạt nhìn ta thấy toán đố đơn thuần, “nhạy cảm” chút ta biến toán dãy số Nếu gọi u k số huy chương phát ngày thứ k thì: u0 u1 u2 uk (m 1), u m , u1 1 uk m 1 (m 1) 1 (m 1) 7 , quy nạp ta chứng minh được: k 6 k uk k k 7 Giải: Từ công thức truy hồi tìm được, ta suy ra: u n m 6n 36 (7 n n n 42) 6 n n (m 36) n (n n 7n 6) n Do (7,6) 6 m 42 n 36 18 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Vậy có 36 huy chương phát ngày To be continue… 19 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Bài tập đề nghị Bài viết đến kết thúc, sau đọc viết này, bạn tự giải số tập đề nghị sau Bài 1: u1 u Cho dãy (u n ) : un un un n Tìm CTTQ (u n ) Bài 2: (HSG Quốc gia bảng A - 1998) Cho dãy số (u n ) : u0 un 20, u 100 4u n 5u n 20 Tìm số nguyên dương h bé cho: u n n h u n 1998 n * To be continue… 20 The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) - Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo Dục 2008 [2] Nguyễn Tất Thu – Chuyên đề hội giảng: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số, 2008 [3] Một số chuyên đề từ Internet 21 The love makes us stronger ... makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trong phần này, bạn tìm hiểu nêu ý tưởng tìm CTTQ số dạng dãy số Chúng ta bắt đầu tập đơn giản sách... The love makes us stronger Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Một số kí hiệu dùng tập tài liệu CSN – Cấp số nhân CSC – Cấp số cộng CTTQ – Công thức tổng quát ... tốn tìm CTTQ dãy số cho cơng thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số Chúng ta dễ dàng tổng quát toán dạng sau đây: Bài toán tổng quát 3: pun q n run s Trong , p, q, r, s số Tìm CTTQ dãy