THÔNG TIN TÀI LIỆU
Đ„I HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PH„M THÀ HƯƠNG V— NGUYÊN LÝ ĐÀA PHƯƠNG - TỒN CƯC CHO CÁC D„NG TỒN PHƯƠNG LUŠN VĂN TH„C SĨ KHOA HÅC Hà Nëi - 2017 Đ„I HÅC QUÈC GIA HÀ NËI TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PH„M THÀ HƯƠNG V— NGUYÊN LÝ ĐÀA PHƯƠNG - TOÀN CƯC CHO CÁC D„NG TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Đ„I SÈ VÀ LÝ THUY˜T SÈ Mã sè: LUŠN VĂN TH„C SĨ KHOA HÅC NGƯÍI HƯỴNG DˆN KHOA HÅC: TS ĐÀO PHƯƠNG BãC H Nởi - 2017 LI CM N Luên ny ủc hon thnh dợi sỹ hợng dăn cừa TS Đào Phương B-c Nhân dàp này, xin bày tọ lũng biát n sõu s-c v chõn thnh nhĐt tợi ThƯy Ngới ó cho tụi biát muốn lm khoa håc ph£i håc, ph£i đåc th¸ Đưđc lm viằc dợi sỹ hợng dăn cừa ThƯy, tụi thĐy mỡnh trng thnh hn rĐt nhiÃu ThƯy cng l Ngới ó dnh nhiÃu thới gian, cụng sực hợng dăn, kiºm tra giúp đï tơi hồn thành luªn văn Tơi xin gûi líi c£m ơn đ¸n lãnh Ôo v cỏc thƯy cụ khoa Toỏn C - Tin hồc, trớng Ôi hồc Khoa Hồc Tỹ Nhiờn, Ôi håc Quèc Gia Hà Nëi v· nhúng ki¸n thùc, nhúng iÃu tốt àp m tụi ó nhên ủc suốt quỏ trỡnh hồc têp tÔi Khoa Tụi cng xin gỷi lới cÊm n án Phũng Sau Ôi hồc cừa nh trớng ó tÔo iÃu kiằn cho tụi hon thnh cỏc thõ tưc håc tªp b£o v» luªn văn Ci cùng, tơi mn bày tä lịng bi¸t ơn án gia ỡnh, ngới thõn v bÔn bố Nhỳng ngới luụn bờn cÔnh ởng viờn ừng hở tụi cÊ và vêt chĐt v tinh thƯn cuởc sống v hồc tªp M°c dù b£n thân tơi có nhi·u cè g-ng nhng bÊn luên ny văn khú trỏnh khọi nhỳng thiáu sút Vỡ vêy, tụi rĐt mong nhên ủc sỹ úng gúp ý kián cừa quý thƯy, cụ v cỏc bÔn H Nởi, ngy 28 thỏng 05 nm 2017 PhÔm Th Hng Mửc lửc Nguyờn lý Hasse - Minkowski cho cỏc dÔng ton phng 1.1 Trớng p-adic 1.2 Kí hi»u Hilbert DÔng ton phng trờn Qp v tr 1.3 Các ph£n ví dư cõa ngun lý Hasse-Minkowski cho hằ cỏc dÔng ton phng 2.1 PhÊn vớ dử cừa Lind Reichard 2.2 Ph£n ví dư cõa Birch Swinne 2.3 Hå ph£n ví dư cõa W Aitken 2.4 2.5 Mªt đë ph£n ví dư cõa ngu Líi gi£i mët sè tªp liên quan Danh mưc kí hi»u P: tªp hđp sè nguyờn tố Fq: trớng hỳu hÔn cú q phƯn tû Q: trưíng sè húu t¿ Z: vành sè nguyên Z/m: vành sè nguyên modulo m Zp: vành p-adic Qp: trưíng p-adic x p : kí hi»u Legendre cõa x, p mët sè nguyên tè L/K p : kí hi»u Artin 10 OK : vành nguyên cõa trưíng sè K 11 Gal(L/K): nhóm Galois cõa mð rëng K ⊂ L Líi mð đ¦u Cho mët h» phng trỡnh a thực thuƯn nhĐt vợi hằ số Q Câu häi tü nhiên đ°t li»u h» phương trình có nghi»m húu t (các tåa đë đ·u thuëc Q) ho°c nghi»m nguyên (các tåa đë đ·u ngun) hay khơng? Ti¸p đ¸n có nghi»m liằu têp nghiằm nhiÃu án mực no? Mởt kát qu£ b£n theo hưỵng nghiên cùu ngun lý đàa phương-tồn cưc, hay ngun lý HasseMinkowski (đơi ch¿ gåi đơn gi£n nguyên lý Hasse) Nguyên lý khng nh mởt dÔng ton phng vợi hằ số hỳu t có nghi»m khơng t¦m thưíng Q ch¿ có nghi»m khơng t¦m thưíng måi trưíng p-adic Qp R Câu häi ti¸p theo đưđc đ°t li»u ngun lý Hasse cịn ỳng khụng náu ta thay mởt dÔng ton phng bi mởt hằ cỏc dÔng ton phng, hoc thay vỡ xột dÔng ton phng, ta xột cỏc dÔng cú bêc cao Ta bi¸t câu häi s³ có câu tr£ líi phõ đành theo ph£n ví dư cõa E Selmer (xem [10], ối vợi dÔng bêc ba 3x + 3 4y + 5z = 0), ho°c h» hai dÔng ton phng (Lind-Reichardt, tỡm ởc lêp v gƯn nh ỗng thới, xem [6], [9]) Sau ú cũn cú nhiÃu phÊn vớ dử khỏc và hằ cỏc dÔng tồn phương có thº tìm th§y [5], [13], [8], v.v Mưc đích cõa luªn văn tìm hiºu chùng minh cõa nguyên lý Hasse nhúng ph£n ví dư liên quan, đ°c bi»t lỵp ph£n ví dö cõa W Aitken, F Lemmermeyer (xem [2]) Chương tác gi£ trình bày trình bày sơ lưđc v· sè p-adic, sơ lưñc chùng minh nguyên lý Hasse cho dÔng ton phng Vỡ sỹ phực tÔp cừa chựng minh, tỏc giÊ cƯn thứa nhên khng nh quan trồng và ký hi»u Hilbert (xem Đành lý 1.2.5), sau trình bày cơng vi»c ph¦n chùng minh Đành lý 1.3.11 Chương tác gi£ điºm qua mët sè ph£n ví dư cõa ngun lý HasseMinkowski ta xét h» cỏc dÔng ton phng thay vỡ ch xột mởt dÔng tồn phương Mð đ¦u chương tác gi£ trình bày ph£n ví dư cê điºn cõa Lind Reichardt, sau ph£n ví dư cõa Swinnerton-Dyer (xem mưc 2.2) Ph¦n cõa chương dành cho vi»c trình bày hå ph£n ví dư cho bði W Aitken, F Lemmermeyer (xem [2]) mð rëng trüc ti¸p cõa ph£n ví dư Lind-Reichardt Cư thº ph£n ví dư đưđc cho sau Đành lý Ta xét h» phương trình diophantine cú dÔng u qw uw (1) q ∈ P cho q ≡ 1(8), (2) d 6= 0, khơng có ưỵc phương q - d, ∗ ∗ (3) d ∈ F q \ F q , (4) q ∈ F p vỵi måi p ưỵc ngun tè l´ cõa d Khi h» phương trình nói vi phÔm nguyờn lý Hasse, ngha l hằ cú nghiằm Qp vỵi måi p ∈ P, h» có nghi»m thüc h» khơng có nghi»m húu t¿ (Lưu ý nói đ¸n nghi»m ta ch¿ xét nghi»m khơng tƯm thớng) Bờ à 2.3.11 cho thĐy iÃu ki»n d ∈/ F q đưa đº đ£m b£o h» phương trình khơng có nghi»m Q Ngồi đº ch¿ h» có nghi»m måi trưíng padic Qp, đ¦u tiên ta c¦n kh¯ng đành h» có nghi»m theo måi modulo p, hay nói cách khác h» có nghiằm trờn trớng hỳu hÔn F p iÃu ny ủc trình bày ð Mưc 2.3.2 cho sè ngun tè l Tiáp án ta cƯn chựng minh tỗn tÔi nghiằm mÔnh cho modulo mồi ly thứa cừa p (xem Mửc 2.3.3) Cỏc iÃu kiằn cũn lÔi nh lý ủc a Êm bÊo sỹ tỗn tÔi cỏc nghiằm mÔnh Nhên xột rơng hồ cỏc phÊn vớ dử cừa Aitken-Lemmermeyer nhiÃu vụ hÔn theo nhên xột sau Vợi d = 2, méi sè nguyên tè q ≡ (mod 8) thäa mãn: bình phương khơng lũy thøa bªc modulo q (ví dư q = 17) Bơng viằc sỷ dửng nh lý mêt Chebotarev mët sè tính tốn cho kí hi»u Artin, ta biát têp số nguyờn tố ú l vụ hÔn có mªt đë tªp sè ngun tè Nói riêng [2] Aitken F Lemmermeyer cung cĐp mởt hồ vụ hÔn cỏc phÊn vớ dử kiu Lind-Reichardt Chi tiát cho nhên xột ủc tỏc giÊ trình bày ð mưc 2.4 Ph¦n ci cõa chương tác gi£ trình bày líi gi£i mët sè tªp đưa [2] làm rõ mët sè lưu ý báo [2] Hà Nëi, ngày tháng năm 2017 Sinh viờn PhÔm Th Hng Chng Nguyờn lý Hasse Minkowski cho cỏc dÔng ton phng 1.1 Trớng p-adic Trong möc tác gi£ điºm qua mët sè chi ti¸t vi»c xây düng sè p-adic n n Vỵi måi n ≥ 1, đ°t An = Z/p Z vành lỵp sè ngun modulo p , p mët sè ngun tè cho trưỵc Xột ỗng cĐu n n1 n : An An1, x + p Z 7→x + p Z n−1 Nhªn thĐy õy l mởt ton ỏnh v hÔt nhõn cừa nú l p ỗng cĐu An Khi ú dóy cỏc → An → An−1 → A2 A1 lêp thnh mởt hằ xÔ Ênh vợi têp ch số l Z1 nh ngha 1.1.1 Vnh cỏc số nguyờn p-adic Zp l giợi hÔn xÔ £nh cõa h» {(An, φn)} đưñc cho n Zp = lim Z/p ←− n Nhªn xét 1.1.2 Mët ph¦n tû thuëc Zp = lim(Z/p , φn) mët dãy hình thùc ←− n x = ( , xn, , x1) xn ∈ Z/p φn(xn) = xn−1 vỵi n ≥ Các phép toán cëng nhân Zp đưñc thüc hi»n tøng tåa đë x + y = ( , xn + yn, , x1 + y1), xy = ( , xnyn, , x1y1) n M»nh đ· 1.1.3 (a) Mët ph¦n tû cõa Zp (tương ùng Z/p ) kh£ nghàch ch¿ khơng chia h¸t cho p ∗ (b) N¸u kí hi»u Z p nhóm ph¦n tû kh£ nghàch cõa Zp måi ph¦n ∗ n tû khác cõa Zp Ãu cú th viát dợi dÔng p u vợi u ∈ Z p n ≥ n Chùng minh (a) Theo gi£ thi¸t Zp = lim(Z/p , φn), méi ph¦n tû x ∈ Zp ←− ch¿ nú cú dÔng x = ( , xn, , x2, x1), n m xn ∈ Z/p xn ≡ xm (mod p ) n¸u m ≤ n Gi£ sû x ∈ Zp khơng chia h¸t cho p Th¸ x1, x2, , khơng chia h¸t cho p N¸u x1 60 (mod p), thỡ tỗn tÔi nhĐt y1 6= (mod p) cho: x1y1 ≡ Z/p Ta ch tỗn tÔi y2 Z/p cho: x1y1 ≡ (mod p ) y2 ≡ y1 (mod p) Thªt vªy, kéo theo p - x2, suy (x2, p) = Vªy tỗn tÔi y2 Z/p cho x2y2 (mod p ) M°t khác, x2 ≡ x1 (mod p) ⇒ x2 = x1 + pa ⇒ (x1 + pa)y2 ≡ (mod p ) ⇒ x1y1 ≡ (mod p) ⇒ y2 ≡ y1 (mod p) Lp lÔi thừ tửc ny ta cú n m xnyn = 1( Z/p ) yn ≡ ym(mod p ) n (b) Vỵi x ∈ Zp, x 6= 0, tỗn tÔi n lợn nhĐt cho xn Z/p Ta có x = n ∗ −n p u vỵi u = p ( , xn+2, xn+1, 0, 0, , 0), suy u - p hay u ∈ (Zp) Vỵi x mët ph¦n tû khác khơng cõa Z p, x = ( , xn, , x2, x1) ta xét n ∗ n số lợn nhĐt cho xn = Thá thỡ x = p u vỵi u ∈ Z p Khi sè ngun n đưđc gåi đành giá p-adic cõa x kí hi»u vp(x) Đ°t vp(0) = ∞ ta có vp(xy) = vp(x) + vp(y), vp(x + y) ≥ inf(vp(x), vp(y)) n n Trên Zp ta trang bà mët tôpô tü nhiên sau: Tøng không gian (Z/p ) gỗm p im ta xột tụpụ rới rÔc Khi Z p tªp đóng cõa khơng gian tích Q n n≥1(Z/p ) đưđc trang bà tơpơ c£m sinh tø tơpơ tích M»nh đ· 1.1.4 (xem [11, Prop 3, trang 12]) Tơpơ Zp có thº đành nghĩa bði kho£ng cách sau d(x, y) = e−vp(x−y) Khơng gian Zp mët khơng gian mêtric đ¦y đõ Z trù mªt Ð phép nhúng tø Z vào Zp đưñc cho bði: a n ∈ Z 7→([a]pn := a + p Z)n≥1 ∈ Zp Đành nghĩa 1.1.5 Trưíng sè p-adic, kí hi»u Qp, trưíng thương cõa vành Zp Cho phương trình F (x1, , xm) = 0, F ∈ Z[x1, , xm] mët a thực thuƯn nhĐt vợi hằ số Z cú bêc d dng Mởt bở gỗm m tồa (a1, , am) đưđc gåi nghi»m khơng tƯm thớng cừa phng trỡnh (1.1) náu nú thọa phương trình có nh§t m mët khỏc khụng Mởt phƯn tỷ (bở) gỗm m tồa (a1, , am) ∈ Z đưñc gåi l nguyờn thừy náu ợc chung lợn nhĐt cừa a1, , am b¬ng Tương tü, bë m (a1, , am) ∈ Z đưñc gåi mët nghi»m nguyên thõy modulo N cõa F n¸u bë ngun thõy thäa mãn phương trình F (a1, , am) ≡ (mod N) N¸u F = (mod N) có nghi»m (a1, , am) vỵi kh£ nghàch (modulo N) −1 −1 Gåi a i ph¦n tû nghàch đ£o cõa Z/N hay aia i = (mod N), ∗ ∗ (3) d ∈ F q \ F q , (4) q ∈ F p vỵi måi p ưỵc ngun tè l´ cõa d Khi h» phương trình núi trờn vi phÔm nguyờn lý Hasse, ngha l hằ có nghi»m Qp vỵi måi p ∈ P, h» có nghi»m thüc, h» khơng có nghi»m húu t¿ Chựng minh t C l ớng cong xÔ Ênh P cho bði h» phương trình ∗ nói Vì q nguyên tè, q ≡ 1(8), m°t khác d 6∈F q nên C(Z) = ∅ (theo Bê đ· 2.3.11) 1 C(R) 6= ∅ vì: (u, v, w, z) = (q , q , 1, 0) ∈ C(R) Bây gií ta ch¿ vỵi måi sè nguyên sè p, C có chùa điºm húu t Qp, b¬ng cách xét trưíng hđp sau Trưíng hđp 1: p l´, p - acd ⇔ p - qd: Theo H» qu£ 2.3.8, h» có nghi»m k nguyên thõy modulo p vỵi måi k, hay C(Qp) 6= ∅ (theo M»nh đ· 1.1.6) Trưíng hđp 2: p l´, p | qd: Trưíng hđp 2a: p | q: Vì q sè nguyên tè l´, nên p = q Theo gi£ thi¸t d ∈ ∗ F q , chån m ∈ Z cho d≡m (mod q), suy (u, v, w, z) = (m, 0, 0, 1) mët nghi»m modulo p Theo Đành lý 2.3.7, nghi»m đưñc nâng lên thành mët nghi»m p−đàa phương, hay C(Qp) 6= ∅ Trưíng hđp 2b: p l´, p - q, suy p | d Theo gi£ thi¸t q F p, ngha l tỗn tÔi m cho m ≡ q (mod p), suy (m , m, 1, 0) l mởt nghiằm mÔnh modulo p (z = q p ) LÔi theo nh lý 2.3.7, C(Qp) 6= ∅ Trưíng hđp 3: p = 2: Trưíng hđp 3a: q ≡ (mod 16): Suy (u, v, w, z) = (1, 1, 1, 0) l mởt nghiằm mÔnh modulo 16 (do au = 6≡0 (mod 2)) M°t khác theo Đành lý 2.3.10, C(Qp) 6= ∅ Trưíng hđp 3b: q ≡ (mod 16): Th¸ (u, v, w, z) = (1, 1, 1, 2) l mởt nghiằm mÔnh modulo 16 Suy theo Đành lý 2.3.10, C(Q2) 6= ∅ ∗ ∗ Nhên xột 2.3.13 Vợi d = 2, q P, q ≡ 1(8), ∈ F q \ F q , đưíng cong cho bði (2.12) thäa mãn đi·u ki»n cho đành lý Ngoài {q ∈ P | q ≡ 1(8), ∗ ∗ ∈ F q \ F q } l vụ hÔn vợi mªt đë tªp sè nguyên tè Đi·u đưđc cho mưc 2.4 31 2.4 Mªt đë ph£n ví dư cõa ngun lý Hasse Đành lý 2.4.1 Ta xột hằ phng trỡnh Diophantine thuƯn nhĐt bêc hai u2 − qw2 uw 1) q mët sè nguyên tè cho q ≡ (mod 8), 2) ∗ ∗ ∈ F q \F q ,nghĩa là lũy thøa bªc khơng lũy thøa bªc modulo q Th¸ đưíng cong xác đành bði h» phương trình núi trờn vi phÔm nguyờn lý Hasse, ngha l hằ ln có nghi»m (khơng t¦m thưíng) måi Qp (p sè ngun tè), R, khơng có nghi»m trờn Z (cng nh trờn Q) Nhên xột 2.4.2 Vợi q = 17, Đành lý quy v· ph£n ví dö cõa LindtReichardt Kh¯ng đành sau ch¿ hå ph£n ví dư nêu Đành lý vụ hÔn v mêt cỏc số nguyờn tố q thäa mãn đi·u ki»n Chùng minh kh¯ng đành đưđc tác gi£ tham kh£o [1], có sỷ dửng cỏc kián thực và lý thuyát số Ôi sè đưđc trình bày [4] [7] Đành lý 2.4.3 Mªt đë sè nguyên tè p ∈ P cho p≡1 ∗ ∈ Fp Trợc hát tỏc giÊ nh-c lÔi mởt số kát quÊ cƯn án chựng minh nh lý, c biằt l nh lý mªt đë Chebotarev Đành nghĩa 2.4.4 Cho S mët tªp iđêan ngun tè mët trưíng sè K, ký hi»u P = VK,f = {p ∈ Spec(OK )} Ta núi S cú mêt náu: lim N −→∞ Np dùng đº ch¿ chu©n cõa iđêan 32 Đành lý 2.4.5 (Đành lý mªt đë Chebotarev) Cho L/K l mởt m rởng Galois hỳu hÔn, K mët trưíng sè, G = Gal(L/K), C mët lợp liờn hủp G Thá thỡ têp cỏc iờan nguyên tè cõa p cõa K cho: L/K =C p |C| có mªt đë δ = |G| Các kí hi»u khái ni»m v· ph¦n tû Frobenius [7, trang 140] Ð tác gi£ ch¿ li»t kê v-n t-t mët sè điºm: ∗ Cho L/K mët mð rởng Galois hỳu hÔn G = Gal(L/K), Spec(OL) mët iđêan ngun tè cõa OL n¬m p ∈ Spec(OK ) Gi£ sû thêm p không r³ nhánh L, nghĩa pOL = β1 βr tích iđêan nguyên tè phân bi»t p Thá thỡ = nhĐt cừa G = { G | σβ = β} ⊆ G tác đëng mët tü đ¯ng c§u Frobenius trưíng th°ng dư, nghĩa là: a) σ ∈ Gβ, hay σβ = βr q b) Vỵi måi α ∈ OL, σα = α (mod β) q = |OK /p| vỵi p = OK Lu ý rơng vợi β, β iđêan nguyên tè cõa OL n¬m trờn p, luụn tỗn tÔi G = Gal(L/K) cho: β = τβ Hơn núa L/K = τ L/K τ−1 β β Do kí hi»u Artin L/K ={ L/K | β n¬m p} pβ đưđc hiºu mët lỵp liên hđp cõa Gal(L/K) √ Chùng√minh Cho K = Q( 2, i) mët mð rëng Galois cõa Q b¬ng cách ghép thêm i Khi ∼ Gal(K/Q) = D ha, b | a = b , baba = ei 4= 33 ta có dãy khỵp −→ Gal(K/Q(i)) −→ Gal(K/Q) −→ Gal(Q(i)/Q) −→ vỵi Gal(K/Q(i)) = | a = ei, Gal(Q(i)/Q) = hb | b = ei, (2.14) Ta chùng minh kh¯ng đành sau: (2.15) {p ∈ P | p ≡ (mod 8), p = −1} K/Q = {p ∈ VQ,f | p không r³ nhánh K, p = {a }}, vỵi {a } l lợp liờn hủp ch gỗm mởt phƯn tỷ a D4 Thªt vªy, đ°t K/ Q σ := p Gi£ sû p khơng r³ nhánh K B¬ng tính tốn bi»t thùc 11 disc(OZ(i)/Z) = disc(X + 1) = −4, disc(OL/OK )|disc(L/K) = disc(X − 2) = −2 , suy (2) iđêan nguyên tè nh§t r³ nhánh √trên Q(i) (1 + i) iđêan nguyên tè nh§t cõa Q(i) r³ nhánh Q(i, 2) Do (2) iđêan √ nguyên tè nh§t cõa Z r³ nhánh Q(i, 2) Vªy p 6= Gi£ sû thêm σ = a Theo (2.14) σ=a : K i p Mt khỏc, ta nh-c lÔi rơng (mod ) vợi mồi | p Do vỵi α = 2, σ(α) = σ( 2) ≡ ( 2) (mod β) p √ p √ Th¸ ≡ (mod β) β | p, suy LÔi thay = i, suy Tø (2.16) (2.17), suy p ≡ (mod 8) LÔi thay = (2.16) (2.17) 34 Do khơng ph£i lũy thøa bªc modulo p Vêy vợi mồi p VQ,f thọa p ≡ (mod 8) r³ nhánh K Ta kiºm tra √ Thªt vªy, σ( khơng lũy thøa bªc modulo p, nên ⇒ σ( 2) = − 2( σ( 2) ∈ {± 2, i 2}) p M°t khác, σ(i) ≡ i (mod β), p p ≡ (mod 8) ⇒ i = i (mod β) ⇒ σ(i) ≡ i (mod β) ⇒ σ(i) = i(6= −i) K/Q Suy = a Vªy kh¯ng đành (2.15) đưđc chùng minh Tø dùng Đành p lý mªt đë Chebotarev, ta suy đi·u ph£i chùng minh 2.5 Líi gi£i mët sè tªp liên quan Trong mưc gi£ sû a, b, c ∈ Z, abc khác khơng abc khơng có ưỵc phương Bài tªp 1: ( xem [2, Ex 1, trang 164]) Cho p mët sè nguyên tè Gåi (x0, y0, z0) l mởt bở ba ptêp trung náu nhiÃu nhĐt mởt cỏc thnh phƯn x0, y0, z0 chia hát cho p Ch rơng bĐt kỡ nghiằm nguyờn thừy cừa phương trình 2 2 aX + bY + cZ ≡ (mod p ) đ·u p−tªp trung 35 Chựng minh GiÊ sỷ phÊn chựng rơng tỗn tÔi nghi»m nguyên thõy (x0, y0, z0) cõa phương trình (2.18) khụng l ptêp trung, khụng mĐt tớnh tờng quỏt ta có thº gi£ sû p | x0, p | y0 Khi tø phương trình (2.18) suy cz0 ≡ (mod p ) abc khơng có ưỵc phương, suy c khơng có ưỵc phương, mà p sè nguyên tè nên p | z0, iÃu ny mõu thuăn vợi iÃu kiằn (x0, y0, z0) nghi»m nguyên thõy Bài tªp 2: (xem [2, Ex 2, trang 5]) Cho p | a phương trình 2 aX + bY + cZ ≡ (mod p) cú nghiằm p-têp trung Chựng minh rơng bc mët bình phương modulo p Tø suy n¸u aX + bY 2 + cZ ≡ modulo p cú nghiằm p-têp trung vợi mồi p | a, −bc bình phương modulo |a| Chùng minh Gi£ sû (x, y, z) nghi»m p-tªp trung cõa phương trình (2.19), suy y ho°c z kh£ nghàch modulo p Gi£ sû y kh£ nghàch ta có 2 aX + bY + cZ 2 ⇒ by + cz ⇒ by ⇒ −bc hay −bc bình phương modulo p Vì abc khơng có ưỵc phương nên gi£ sû |a| = p1 pn vỵi pi sè ngun tè phân bi»t Chùng minh tương tü suy −bc bình phương modulo p Áp dưng ∼ n Đành lý th°ng dư Trung Hoa (Z/|a|Z Q Z/p Z), suy = i i=1 i −bc bình phng modulo |a| Nh-c lÔi nh lý Legendre: Cho a, b, c sè ngun khác khơng, khơng có ưỵc phương, ngun tè tøng đơi mët khơng d§u Khi phương trình 2 aX + bY + cZ = có nghi»m nguyờn khụng tƯm thớng náu v ch náu cỏc iÃu ki»n sau thäa mãn 36 −bc bình phương modulo a −ac bình phương modulo b −ab bình phương modulo c Ta s³ dùng k¸t qu£ đº chùng minh tªp sau 2 Bài tªp 3: (xem [2, Ex 3, trang 614]) N¸u phương trình aX +bY +cZ = modulo p có nghi»m p−tªp trung vỵi måi sè ngun tè l´ p | abc, phương 2 2 trình aX + bY trình aX + bY + cZ = có nghi»m khơng t¦m thưíng R phương + cZ = có nghi»m ngun khơng t¦m thưíng Chùng minh Áp dưng chùng minh tương tü Bài tªp ta suy −bc bình phương modulo a, −ac bình phương modulo b, −ab bình phương 2 modulo c M°t khác phương trình aX +bY +cZ = có nghi»m R nên a, b, c khơng d§u Áp dưng Đành lý Legendre suy phương trình aX + bY 2 + cZ = có nghi»m ngun khơng t¦m thưíng Bài tªp 4:(xem [2, Ex 4, trang 614]) Tø Đành lý Legendre suy nguyên lý Hasse đèi vỵi phương trình aX + bY 2 + cZ = Chùng minh Ta có thº gi£ sû a, b, c khơng có ưỵc phương phương trỡnh l thuƯn nhĐt nờn cú th giÊ sỷ a, b, c đôi mët nguyên tè Tø M»nh à 1.1.6 ta ch cƯn chựng minh: Náu phng trỡnh 2 aX + bY + cZ = m (mod p ) m có nghi»m nguyên nguyên thõy (x, y, z) vỵi måi lũy thøa p cõa sè ngun tè p tùy ý, phương trình có nghi»m thüc, có nghi»m ngun khơng t¦m thưíng Vì phương trình có nghi»m thüc khơng t¦m thưíng nên a, b, c khụng cựng dĐu Vợi m = 2, giÊ sỷ p | a Tø Bài tªp suy måi nghi»m nguyên thõy (x, y, z) cõa phương trình 2 2 aX + bY + cZ = (mod p ) đ·u p−tªp trung M°t khác (x, y, z) nghi»m p −tªp trung cõa phương trình aX + bY 2 + cZ = (mod p) Tø Bài tªp suy −bc bình phương modulo a Chùng minh tương tü suy −ac bình phương modulo b, −ab bình phương modulo c Vêy cựng vợi iÃu kiằn a, b, c khơng d§u áp dưng Đành lý Legendre suy phương trình có nghi»m ngun khơng t¦m thưíng 37 Bài tªp (xem [2, trang 619]) Chùng minh h» 2 u + 3w = 7z , (2.21) uw = v2 có nghi»m (u, v, w, z) = (1, 1, 1, 2) modulo (thªm chí modulo ) khơng có nghi»m ngun thõy modulo , nói riêng C(Q2 = ∅) Chùng minh Xét modulo 16, gi£ sû (u, v, w, z) mët nghi»m ngun thõy, mët sè phương nhªn giá trà 0, 1, 4, modulo 16 M°t khác (u, v, w, z) mët nghi»m nguyên thõy, nên u, w khụng ỗng thới chđn 2 2 Trớng hñp 1: u ≡ (mod 16) ⇒ w ≡ ho°c (mod 16) ⇒ u + 3w ≡ hoc 27 (mod 16) khụng cú dÔng 7z (mod 16) 2 2 Trưíng hđp 2: u ≡ (mod 16) ⇒ w ≡ 0, 1, 4, (mod 16) ⇒ u + 3w = 2 + 3w ∈ {1, 4, 13, 28} modulo 16 Nhên thĐy 7z {0, 7, 12, 15} modulo 16 loÔi 2 2 Trớng hủp 3: u ≡ (mod 16) ⇒ w ≡ ho°c ⇒ u + 3w ≡ ho°c 15 2 2 2 (mod 16) Tø u + 3w = 7z kéo theo u + 3w = ho°c u + 3w = 15 modulo 16 2 Trưíng hđp 3a: u + 3w ≡ ⇒ u = 4, w = ⇒ u ch®n, w l uw 6= v mõu thuăn loÔi 2 2 Trớng hủp 3b: u + 3w ≡ 15 (mod 16) ⇒ u ≡ 4, w ≡ 9, z ≡ (mod 16) 2 ⇒ u w ≡ 4.9 ≡ (mod 16) ⇒ v ≡ (mod 16) Đi·u vô lý v ≡ 0, 1, 4, (mod 16) v 0, (mod 16) loÔi 2 2 Trưíng hđp 4: u ≡ (mod 16) ⇒ w ∈ {0, 1, 4, 9} ⇒ u +3w ≡ {9, 12, 5, 2 2 2 4} (mod 16) Vì 7z ∈ {0, 7, 12, 15}, nên u + 3w = 7z kéo theo u + 3w = 2 2 2 7z = 12 ⇒ u = 9, w = 1, z = modulo 16, ⇒ u w ≡ (mod 16) uw l´ 2 M°t khác, uw = v l´,⇒ uw = ho°c modulo 16 ⇒ u w ≡ (mod 16), 2 mõu thuăn vợi u w (mod 16) đpcm Bài tªp 6: (xem [2, Ex 5, trang 619]) Xét h» phương trình: 2 au + cw = dz , (2.22) uw = v , 38 a, c, d ∈ Z sè l Chựng minh rơng: náu hằ trờn cú nghiằm nguyờn thõy modulo 16, h» có nghi»m (u, v, w, z) vỵi (u, v, w) ∈ {0; 1} z ∈ {0; 1; 2; 3} Chùng minh Ta làm vi»c theo modulo 16 Gi£ sû (u, v, w, z) mët nghi»m 2 nguyên thõy modulo 16 Vì x ≡ 0, 1, 4, (mod 16), nên tùy theo z ≡ 0, 1, 4, (mod 16) ta có (u : v : w : 0), (u : v : w : 1), (u : v : w : 2), (u : v : w : 3) nghi»m cõa h» (2.22) modulo 16, nói cách khác ta có thº gi£ sû z ∈ {0, 1, 2, 3} modulo 16 Vì nghi»m nguyên thõy, a, c, d l´ nên u, w khơng tính ch®n Vì vai trị cõa u, w gièng nhau, nên ta có thº gi£ sû (u, w) l´ ho°c u ch®n, w l´ 2 Trưíng hđp 1: u, w l´ ⇒ uw = v l´ ⇒ v l´ ⇒ v nhªn giá trà 1, 2 2 2 modulo 16 ⇒ u w = ⇒ u = w = ho°c u = w = 2 Trưíng hđp 1a: u = w = ⇒ a + c = dz ⇒ ta có thº chån nghi»m (u, v, w, z) = (1, 1, 1, z) cõa h» (2.22) modulo 16 2 Trưíng hđp 1b: u = w = ⇒ 9a + 9c = dz modulo 16 Vì a, c l´ nên a + c ch®n, suy a + c = dz (mod 16) ⇒ (1, 1, 1, z) nghi»m cõa h» phương trình (2.22) modulo 16 Trưíng hđp 2: u ch®n, w l´ ⇒ v chđn v u náu (u, v, w, z) mët nghi»m, (0, 0, w, z) nghi»m Trưíng hơp 2a: N¸u w ≡ 1, (0 : : : z) nghi»m 2 Trưíng hđp 2b: N¸u w ≡ 9, 9c ≡ dz (mod 16) N¸u z = 9c ≡ 9d (mod 16) ⇒ c ≡ d ⇒ (u, v, w, z) = (0, 0, 1, 1) nghi»m N¸u z = 9c ≡ d (mod 16) ⇒ 81c ≡ 9d (mod 16) ⇒ c ≡ 9d (mod 16) ⇒ (u, v, w, z) = (0, 0, 1, 3) nghi»m, ⇒ đpcm 39 Tài li»u tham kh£o [1] Nguyạn Xuõn Bỏch, Mởt số ựng dửng cừa lý thuyát trớng cỏc lợp, luên tốt nghiằp Ôi hồc nm 2017, Trớng Ôo hồc Khoa hồc Tỹ nhiờn [2] Aitken W., Lemmermeyer F., Counterexamples to the Hasse principle Amer Math Monthly 118 (2011), no 7, 610–628 [3] Bright M., Counterexamples to the Hasse principle, t tÔi trang web https://homepages.warwick.ac.uk/ maseap/arith/notes/elementary.pdf 2 [4] Cox D., Primes of the form x + ny John Wiley & Sons, Inc 1989 ISBN 0-471-50654-0 [5] Iskovskih V A., A counterexample to the Hasse principle for systems of two quadratic forms in five variables Mat Zametki 10 (1971), 253– 257 [6] Lind C.-E., Untersuchungen uber die rationalen Punkte der ebenen kubis-chen Kurven vom Geschlecht Eins, thesis, University of Uppsala, Uppsala, Sweden, 1940 [7] Milne J S., Algebraic Number Theory, Version 3.06, t tÔi trang web http://www.jmilne.org [8] Nguyen Ngoc Dong Quan, Algebraic families of hyperelliptic curves violating the Hasse principle Pacific J Math 274 (2015), no 1, 141–182 [9] Reichardt H., Einige im Kleinen uberallă lăosbare, im Groòen unlăosbare dio-phantische Gleichungen J Reine Angew Math 184 (1942), 12–18 3 [10] Selmer E., The Diophantine equation ax + by + cz = Acta Math 85 (1951), 203–362 40 [11] Serre J.-P., A course in arithmetic Translated from the French Graduate Texts in Mathematics, No Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973 viii+115 pp [12] Silverman J., The Arithmetic of Elliptic Curves , second Edition Grandu-ate Texts in Mathematics, No 106 Springer-Verlag 2009 ISBN 978-0-387-09493-9 [13] Nguyen Quoc Thang, A note on the Hasse principle Acta Arith 54 (1990), no 3, 171–184 41 ... PH„M THÀ HƯƠNG V— NGUYÊN LÝ ĐÀA PHƯƠNG - TỒN CƯC CHO CÁC D„NG TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Đ„I SÈ VÀ LÝ THUY˜T SÈ Mã sè: LUŠN VĂN TH„C SĨ KHOA HÅC NGƯÍI HƯỴNG DˆN KHOA HÅC: TS ĐÀO PHƯƠNG B•C Hà Nëi... Mởt kát quÊ c bÊn theo hợng nghiờn cựu ny ngun lý đàa phương- tồn cưc, hay ngun lý HasseMinkowski (đôi ch¿ gåi đơn gi£n nguyên lý Hasse) Nguyờn lý khng nh mởt dÔng ton phng vợi hằ sè húu t có... sè håc Đành lý Trung Hoa và giỏ tr thng d, nh lý xĐp x yáu v nh lý Dirichlet và tớnh vụ hÔn cừa số nguyên tè c§p sè cëng Kh¯ng đành l mởt chi tiát quan trồng cƯn án chựng minh Nguyên lý Hasse-Minskowski
Ngày đăng: 19/11/2020, 20:34
Xem thêm: