Bài giảng môn Xác Suất. Ôn thi cao học. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.Ví dụ: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}. 1. Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là một biến cố.
Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 BÀI GIẢNG TĨM TẮT MƠN TỐN XÁC SUẤT – ÔN THI CAO HỌC A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN §1 ÔN VỀ TỔ HỢP 1.1 Định nghĩa Một tổ hợp chập k n phần tử nhóm khơng có thứ tự gồm k phần tử phân biệt rút từ n phần tử cho Ví dụ: Các tổ hợp chập phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z} k 1.2 Công thức tính tổ hợp: Gọi Cn số tổ hợp chập k n phần tử Ta có cơng thức: Ck = n Ví dụ: C20 = 6!14! 20! n! ( ) k ! n −k ! = 38760 Chú ý: Trên máy tính có phím chức nCr, ta tính C20 cách bấm 20 nCr 6= 1.3 Bài tóan lựa chọn: Một lơ hàng chứa N sản phẩm, có NA sản phẩm loại A N– NA sản phẩm lọai B Chọn ngẫu nhiên n sản phẩm (0 < n < N) Với số nguyên k thỏa k ≤ NA, ≤ n–k ≤ N–NA Tìm số cách chọn n sản phẩm, có k sản phẩm loại A Lời giải Để chọn n sản phẩm, có k sản phẩmloại A ta tiến hành bước: k Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A Số cách chọn CN A Bước 2: Chọn n–k sản phẩm loại B từ N–NA sản phẩm loại B Số cách chọn C n −k N−NA Theo nguyên lý nhân ta có số cách n sản phẩm, có k sản phẩm loại A là: Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 C k Cn −k NA N−NA §2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1 Phép thử biến cố 1) Phép thử thí nghiệm thực điều kiện xác định Một phép thử cho nhiều kết khác nhau, kết gọi biến cố Ví dụ Thực phép thử tung xúc xắc đồng chất mặt Các biến cố xảy là: Xuất mặt chấm; Xuất mặt có chấm chẵn,… Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ơmêga), biến cố thiết phải xảy thực phép thử 2) Ví dụ Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm không 6” biến cố tất yếu 3) Biến cố bất khả, kí hiệu ∅, biến cố không xảy thực phép thử Ví dụ: Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt có số chấm lớn 6” biến cố bất khả 4) Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy khơng xảy thực phép thử Ta thường dùng kí tự A, A 1, A2, B, C,… để biến cố ngẫu nhiên Ví dụ Khi tung xúc xắc mặt, biến cố “Xuất mặt chấm” biến cố ngẫu nhiên Trong ví dụ minh họa sau, tung xúc xắc mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) biến cố “Xuất mặt j chấm” 4) Hai biến cố A B gọi nhau, ký hiệu A = B, A xảy B xảy Ví dụ Tung hai xúc xắc mặt Gọi A biến cố “Tổng số chấm xuất 12” B biến cố “Xuất hai mặt chấm chấm” Ta có A = B Gọi C biến cố “Tổng số chấm xuất 10” D biến cố “Xuất hai mặt chấm chấm” Ta có C ≠ D (khi C xảy khơng thiết D xảy xuất mặt chấm chấm) 5) Biến cố tổng hai biến cố A B, kí hiệu A + B (hay A B) biến cố định bởi: Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 A + B xảy ⇔ A xảy B xảy Có hai biến cố A B xảy Minh họa: Ta mở rộng khái niệm tổng n biến cố A1, A2,…, An sau: A1 + A2 +…+ An xảy ⇔ Có n biến cố A1, A2,…, An xảy Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, gọi A biến cố “Xuất mặt có số chấm khơng 2” B biến cố “Xuất mặt có số chấm chẵn”, ta có: A =A1+A2 B=A2+A4+A6 6) Biến cố tích hai biến cố A B, kí hiệu AB (hay A∩B) biến cố định bởi: AB xảy ⇔ A xảy B xảy Như vậy, biến cố tích AB xảy hai biến cố A B đồng thời xảy Minh họa: Ta mở rộng khái niệm tích n biến cố A1, A2,…, An sau: A1A2…An xảy ⇔ Tất n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố sau: A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt có số chấm lớn hay C: Xuất mặt có số chấm nhỏ hay Ta có: AB = A6 ABC = ∅ Biến cố sơ cấp biến cố khác biến cố bất khả phân tích dạng tổng hai biến cố khác 7) Ta xem biến cố sơ cấp nguyên tử nhỏ phân chia đươc Một biến cố A tổng số biến cố sơ cấp đó, ta gọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Như vậy, biến cố sơ cấp Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013 thuận lợi cho biến cố tất yếu, khơng có biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố bất khả Ví dụ Khi tung xúc xắc mặt, ta có tất biến cố sơ cấp Aj (j = 1,2, …,6) Gọi A biến cố xuất mặt có số chấm lẻ Khi đó: A=A1+A3+A5 Do dó có biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A A1, A3, A5 8) Hai biến cố A B gọi xung khắc AB = ∅, nghĩa A B không đồng thời xảy phép thử Minh họa: Ví dụ Tung xúc xắc mặt, xét biến cố : A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt chấm C : Xuất mặt có số khơng Ta có A B xung khắc A C khơng (AC = A2) 9) Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu A , biến cố định A xảy ⇔ A không xảy Minh họa: Như vậy, A A xung khắc, A + A = Ω, nghĩa thiết phải có hai biến cố A A xảy thực phép thử Ví dụ: Tung xúc xắc mặt, xét biến cố A : Xuất mặt có số chấm chẵn B : Xuất mặt có số chấm lẻ Ta thấy B biến cố đối lập A Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013 10) Các biến cố đồng khả biến cố có khả xảy thực phép thử Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên xúc xắc đồng chất mặt, biến cố sơ cấp Aj (j = 1,2,…,6) đồng khả 2.2 Định nghĩa xác suất Giả sử tiến hành phép thử , có tất n biến cố sơ cấp đồng khả xảy ra, có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Tỉ số m A n gọi xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Như vậy, Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A P(A) = Tổng số biến cố sơ cấp cóthể xảy 2.3 Cơng thức tính xác suất lựa chọn Xét lơ hàng chứa N sản phẩm, dó có NA sản phẩm loại A, lại loại B Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng n sản phẩm (0< n < N) Khi đó, với ≤ k NA thỏa ≤ n – k ≤ N – NA, xác suất để n sản phẩm chọn có k sản phẩm loại A là: p (k) = C k Cn −k NA N −N n A CN n §3 CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 3.1 Công thức cộng xác suất 1) Công thức cộng xác suất thứ Với A B hai biến cố xung khắc, ta có P(A+B) = P(A) + P(B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố xung khắc đơi, ta có: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) 2) Hệ Với A biến cố bất kỳ, ta có P(A) = − P(A) 3) Cơng thức cộng xác suất thứ hai: Với A B hai biến cố bất kỳ, ta có: Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn có: a) Số sản phẩm tốt khơng số sản phẩm xấu b) Ít sản phẩm xấu Lời giải Gọi Aj (j = 0,1,…,4) biến cố có j sản phẩm tốt (4–j) sản phẩm xấu có sản phẩm chọn Khi A0, A1,…,A4 xung khắc đơi theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = (ở loại A loại tốt), ta có: P( Aj ) = Từ ta tính được: P(A2) = a) C j C 4− j 10 C 15 30 40 91 ; P(A3) = 91 ; P(A4) = 13 Gọi A biến cố số sản phẩm tốt khơng số sản phẩm xấu Ta có: A=A4+A3+A2 Từ tính xung khắc đôi A2, A3, A4, Công thức cộng thứ cho ta: P(A) = P(A4) + P(A3) + P(A2) = 30 91 + 40 91 + 13 = 0,9231 b) Gọi B biến cố có sản phẩm xấu sản phẩm chọn Khi đó, biến cố đối lập B biến cố khơng có sản phẩm xấu sản phẩm chọn nên B = A4 Suy xác suất B P(B) = − P(B) = − P(A4) = − 13 = 0,8462 Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, có 60 sinh viên giỏi Tốn, 70 sinh viên giỏi Anh văn 40 sinh viên giỏi hai mơn Tốn Anh văn Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tìm xác suất để chọn sinh viên giỏi hai mơn Toán Anh văn Lời giải Gọi – A biến cố sinh viên chọn giỏi mơn Tốn Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 – B biến cố sinh viên chọn giỏi mơn Anh văn Khi – AB biến cố sinh viên chọn giỏi hai mơn Tốn Anh văn – A + B biến cố sinh viên chọn giỏi hai mơn Tốn Anh văn Do P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 100 60 + 100 70 −100 40 = 0,9 §4 CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 4.1 Xác suất có điều kiện 1) Định nghĩa Xác suất có điều kiện biến cố A biết biến cố B xảy ra, kí kiệu P(A/B), xác suất biến cố A tính trường hợp biến cố B xảy Ví dụ: Thảy xúc xắc đồng chất mặt Xét biến cố sau: - A biến cố xuất mặt có số chấm chẵn - B biến cố xuất mặt có số chấm lẻ C biến cố xuất mặt có số chấm nhỏ hay D biến cố xuất mặt có số chấm lớn hay - Khi - P(A/B) = - P(A/C) = 2/4 = 0,5 P(A/D) = 2/3 - Nhận xét: Trong ví dụ ta có xác suất biến cố A P(A) = 3/6 = 0,5 Do P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A) Điều cho thấy xác suất có điều kiện biến cố A nhỏ hơn, lớn xác suất thơng thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C xảy Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau: 2) Tính độc lập Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa xuất biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất biến cố A, ta nói A độc lập với B 4.2 Cơng thức nhân xác suất thứ Nếu biến cố A độc lập với biến cố B B độc lập với A ta có P(AB) = P(A) P(B) Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố độc lập đôi, nghĩa với ≤ i ≠ j ≤ n , Ai Aj độc lập, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An) 4.3 Công thức nhân xác suất thứ hai Với A, B hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An n biến cố , ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An–1) Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB) Ví dụ: Có hai lơ hàng, lơ chứa 15 sản phẩm, lô I gồm 10 sản phẩm tốt, sản phẩm xấu; lô II gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có sản phẩm tốt sản phẩm xấu b) Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu Tính xác suất chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lô I Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i sản phẩm tốt (2 – i) sản phẩm xấu có sản phẩm chọn từ lơ I, lơ II Khi – A0, A1, A2 xung khắc đôi ta có: 10 C 0C = ; C152 105 50 1 P( A1) = C C = ; C152 105 45 C C P(A2) = = C15 105 P(A0) = 10 10 10 5 – B0, B1, B2 xung khắc đôi ta có: Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 21 P(B ) = C C = ; C152 105 56 1 C C P(B ) = ; = C15 105 28 P(B2 ) = C C = C152 105 8 - Ai Bj độc lập a) Gọi A biến cố chọn sản phẩm tốt sản phảm xấu Ta có: A = A B + A1 B + A2 B Do tính xung khắc đơi, Cơng thức cộng xác suất cho ta: P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0) Từ đây, tính độc lập, Cơng thức nhân xác suất thứ cho ta: P(A) = P(A0)P(B2) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) 10 28 50 56 45 21 105 105 + 105 105 + 105 105 = 0,3651 Giả sử chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khi biến cố A xảy Do xác suất để chọn sản phẩm tốt sản phẩm xấu từ lô I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/A) b) Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có P(A1A) = P(A)P(A1/A) Suy P(A1/A) = Mặt khác P(A A) P(A) A1A = A1B1 Vì hai biến cố A1 B1 độc lập nên theo Cơng thức nhân thứ ta có: 50 P(A1 A) = P(A1B1 ) = P(A1 )P(B1 ) = 105 Do xác suất cần tìm là: 56 105 = 0,2540 Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013 P(A1/A) = 0,2540 = = 0,6957 P(A) 0,3651 P(A1A) §5 CƠNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 5.1 Hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi Các biến cố A1, A2,…, An gọi hệ biến cố đầy đủ xung khắc đơi hai tính chất sau thỏa: - A1 + A2 +… + An = Ω; ∀ ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = ∅, nghĩa biến cố A1, A2,…, An xung khắc đôi thiết phải có biến cố Aj xảy thực phép thử Nhận xét Với A1, A2,…, An hệ đầy đủ xung khắc đơi ta có P(A1) + P(A2) + … + P(An) = Ví dụ Có hai hộp, hộp chứa 10 viên bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm đỏ, trắng.Từ hộp, chọn bi Xét biến cố sau: – Ai (i = 0, 1,2 ) biến cố có i bi đỏ – i bi trắng có bi lấy từ hộp I – Bj (j = 0, 1,2 ) biến cố có j bi đỏ – j bi trắng có bi lấy từ hộp II Khi ta có hệ sau hệ đầy đủ, xung khắc đôi: – A0 , A1 , A2 – B0, B1, B2 – A0B0, A0B1, A0B2, A1B0, A1 B1, A1B2, A2B0, A2B1, A2B2 – A0B0, A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0, A1B2+ A2B1, A2B2 5.2 Công thức xác suất đầy đủ Cho A1, A2,…, An hệ biến cố đầy đủ xung khắc đơi Khi đó, với A biến cố bất kỳ, ta có: n P(A) = ∑P(A j )P(A/A j ) j=1 5.3 Công thức Bayes Với giả thiết 5.2, ta có với ≤ k ≤ n: P(A k )P(A/A k ) P(Ak /A) P(A = ) k = 10 k )P(A/A P(A) n ∑P(A j )P(A/A j) j=1 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 §4 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 4.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối nhị thức, kí hiệu X∼ B(n, p), n số nguyên dương, < p < 1, X rời rạc nhận n + giá trị nguyên 0,1,…, n với xác suất tính theo theo Cơng thức Bernoulli: P ( X = k) = C k n pk qn−k Trường hợp n = 1, ta cịn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p) 4.2 Các đặc số phân phối nhị thức Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n, p) Khi X có đặc số sau: a) Mode: Mod(X) = k, k số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + b) Kỳ vọng: M(X) = np c) Phương sai:D(X) = npq Ví dụ Một lơ hàng chứa nhiều sản phẩm, tỉ lệ sản phẩm loại tốt 60% Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm chọn Hãy tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X Hỏi giá trị tin X bao nhiêu? Lời giải Ta thấy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6 Suy X nhận giá trị nguyên 0,1,…, với xác suất tính theo theo Cơng thức Bernoulli: P ( X = k) = Ckn pk qn−k = C5k (0,6)k (0,4)5−k Từ ta tính P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776 Vậy luật phân phối X là: X P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776 – Kỳ vọng X M(X) = np = 5.0,6 = – Phương sai X D(X) = npq = 5.0,6 0,4 = 1,2 – Giá trị tin X Mod(X): Mod(X) = k với k số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + ⇔ Vậy giá trị tin X k = 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 0,6 – 0,4 + 2,6 ≤ k ≤ 3,6 k = 21 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 4.3 Định lý Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) Giả sử n nhỏ so với N Khi xấp xỉ X đại N lượng ngẫu nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, Y ∼ B(n,p) với p = NA , nghĩa là: P (X = k) = Cnkp k qn −k (k = 0, 1, …) Ví dụ: Một lơ hàng chứa 10000 sản phẩm, có 8000 sản phẩm tốt 2000 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng 10 sản phẩm Tính xác suất chọn sản phẩm tốt Lời giải Gọi X số sản phẩm tốt có 10 sản phẩm chọn Khi X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) với N = 10000; N A= 8000; n =10 Vì n = 10 nhỏ so với N = 10000 nên ta xem X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p = NA/N = 8000/10000 = 0,8 Do xác suất chọn sản phẩm tốt là: P (X = 7) = C107(0,8)7(0,2)3 ≈ 0,2013 §5 PHÂN PHỐI POISSON 5.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson, kí hiệu X ∼ P(a), số a > 0, X rời rạc nhận vô hạn đếm giá trị nguyên k = 0,1,…, với xác suất định bởi: −a k P ( X = k) = e a k! 5.2 Các đặc số phân phối Poisson Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a) Khi X có đặc số sau: a) Kỳ vọng: M(X) = a b) Phƣơng sai D(X) = a 5.3 Tính chất Giả sử X1, X2 độc lập, có phân phối Poisson X1 ∼ P(a1), X2 ∼ P(a2) Khi X1 + X2 có phân phối Poisson: X1 + X2 ∼ P(a1+ a2) 5.4 Định lý Poisson Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Giả sử n lớn p bé (thông thường p < 0,1) Khi xấp xỉ X đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, Y ∼ P(a) với a = np, nghĩa là: P ( X = k) ≈ e−a ak k! 22 (k = 0, 1, …) Bài giảng Toán Xác suất – Ơn thi cao học 2013 Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi Xác suất để máy hoạt động có ống sợi bị đứt 0,2% Tìm xác suất để có khơng q ống sợi bị đứt Lời giải Gọi X tổng số ống sợi bị đứt hoạt động máy X có phân phối nhị thức X ∼ B(n, p) với n = 1000, p = 0,002 Vì n = 1000 lớn p = 0,002 bé nên ta xem X có phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = Xác suất để có khơng q ống sợi bị đứt hoạt động máy là: P(0≤ X ≤ 2)= P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2) e −2 20 + e −2 21 0!1!2! + e−2 22 = 5e−2 ≈ 0, 6767 §6 PHÂN PHỐI CHUẨN 6.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn, kí hiệu X ∼ N(µ, σ ), µ, σ số σ > 0, X liên tục có hàm mật độ xác định R định bởi: ( x−µ ) fµ,σ (x) = σ 2π e− 2σ 6.2 Các đặc số phân phối chuẩn Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(µ, σ ) Khi X có đặc số sau: a) Mode: Mod (X) = µ a) Kỳ vọng:M(X) = µ b) Phƣơng sai: D(X) = σ 6.3 Hàm Gauss Hàm Gauss f(x) hàm mật độ đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc X ∼ N(0,1): x f (x) = − e 2π Hàm Gauss hàm số chẵn (nghĩa f(–x) = f(x)), liên tục R Người ta lập bảng giá trị hàm Gauss, ghi giá trị f(x) đoạn [0;3,99] Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm chậm, ta xấp xỉ: ∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001 Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có: f(1,14) ≈ 0,2083; f(–2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396; f(–6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001 6.4 Hàm Laplace Hàm Laplace ϕ(x) hàm số xác định R định bởi: 23 Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013 x t e− dt ∫ π ϕ(x) = Hàm Laplace y = ϕ(x) hàm số lẻ (nghĩa ϕ (–x) = – ϕ(x)), liên tục R Người ta lập bảng giá trị hàm Laplace, ghi giá trị ϕ(x) đoạn [0; 5] Khi x > 5, hàm Laplace tăng chậm, ta xấp xỉ: ∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ (5) ≈ 0,5 Ví dụ Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có: ϕ(1,14) ≈ 0,3729; ϕ(– 2,15) = – ϕ(2,15) ≈ – 0,4842 ϕ(– 6,12) = – ϕ(6,12) ≈ – ϕ(5) ≈ – 0,5 6.5 Cơng thức tính xác suất phân phối chuẩn Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(µ, σ ) Khi đó, xác suất để X lấy giá trị thuộc [a; b] là: b−µ P(a ≤ X ≤ b) = ϕ σ a−µ − ϕ σ (1) ϕ(x) hàm Laplace Ví dụ Trọng lượng loại sản phẩm đại lương ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg phương sai 100kg Một sản phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45kg đến 55kg Tính tỉ lệ sản phẩm loại A loại sản phẩm Lời giải Gọi X trọng lượng loại sản phẩm cho Từ giả thiết ta suy X có phân 2 phối chuẩn X ∼ N(µ, σ ) với µ = 50, σ = 100 (σ =10) Vì sản phẩm xếp vào loại A có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất P(45 ≤ X ≤ 55) Áp dụng cơng thức ta có 55−50 45−50 P(45 ≤ X ≤ = ϕ 55) 10 − ϕ 10 = ϕ(0,5) − ϕ(−0,5) 2ϕ(0,5) = 2.0,1915 = 0,383 (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ(0,5) = 0,1915) Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A 38,3% 6.6 Định lý Moivre – Laplace Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n, p) Giả sử n lớn p không gần không gần (thông thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9) Khi xấp xỉ X đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, Y ∼ N(µ, σ ) với µ = np, σ = = – p) nghĩa là: 24 npq (q Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 k −µ a) P ( X = k) ≈ b) P ( k ≤ X ≤ k2 ) ≈ ϕ σ f σ k2 − µ σ (k = 0,1,2,…) k1 − µ )−ϕ f(x) hàm Gauss; ϕ(x) hàm Laplace σ ( k1 < k2) Ví dụ Sản phẩm nhà máy sản xuất đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm, có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: Từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm; thấy có sản phẩm tốt nhận kiện đó, ngược lại loại kiện Kiểm tra 140 kiện nhiều kiện Tính xác suất để có: a) 93 kiện nhận b) Từ 90 đến 110 kiện nhận Lời giải Trước hết ta tìm xác suất để kiện nhận khách hàng kiểm tra kiện Theo giả thiết kiện chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu, khách hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm; thấy có sản phẩm tốt chọn kiện.Do theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để kiện nhận là: p = P3 (2 ≤ k ≤ 3) = P3 (2) + P3 (3) = C6 C + C C = C103 C103 Gọi X tổng số kiện hàng nhận 140 kiện kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ∼ B(n, p) với n = 140, p = 2/3 Vì n = 140 lớn p = 2/3 không gần khơng q gần nên ta xem X có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(µ, σ ) với µ = np = 140.2/3 = 93,3333, = npq = 140.2 / 3.1/ = 5,5777 a) Xác suất để có 93 kiện nhận là: P(X= 93) 93 − 93, 33 σ 5, 5777 1 0, 3982 = 0, f (− 0, 06) f (0, 06) = = 5, 5777 = 5, 5777 5, 5777 0714 = f 93−µ = σ 5, 5777 f (Tra bảng giá trị hàm Gauss ta f(0,06) = 0,3982) b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện nhận là: 25 Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013 P(90 ≤ X ≤ 110) = ϕ 110−µ σ − ϕ 90−µ σ ϕ110 − 93,3333 − ϕ 90 − 93,3333 5,5777 5,5777 ϕ(2,99) − ϕ(−0,6) = ϕ (2,99) + ϕ (0,6) 0,498625 + 0,2257 = 0,724325 (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta ϕ(2,99) = 0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257) TÓM TẮT PHẦN XÁC SUẤT 1) Cơng thức tính xác suất lựa chọn (đi với phân phối siêu bội) p (k ) = Ck Cn −k N A N−N A Cn N n Điều kiện áp dụng: Có tổng số N phần tử, có NA loại A N – NA loại B Dùng tính xác suất để n phần tử chọn có k phần tử loại A 2) Cơng thức Bernoulli (đi với phân phối nhị thức) Pn (k) = Ckn pk qn−k Điều kiện áp dụng: Có n phép thử độc lập, lặp lặp lại điều kiện nhau; phép thử, biến cố A xảy với xác suất p không đổi không xảy với xác suất q = – p Dùng tính xác suất để n phép thử, biến cố A xảy k lần 3) Công thức Cộng Nhân xác suất: Công thức Cộng xác suất: – Với A1, A2, …, An n biến cố xung khắc đơi, ta có: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) – Với A, B hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) Công thức Nhân xác suất: – Với A1, A2, …, An n biến cố độc lập đơi, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An) – Với A1, A2, …, An n biến cố bất kỳ, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/ A1A2 …An–1) Ta thường sử dụng công thức phân tích biến cố cho dạng tổng nhiều biến cố xung khắc đôi, biến cố tích số biến cố 4) Công thức Xác suất đầy đủ Công thức Bayes: 26 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 Với A1, A2,…, An hệ biến cố đầy đủ xung khắc đơi, ta có: Công thức xác suất đầy đủ: n P(A) = ∑P(A j )P(A/A j ) j=1 Công thức Bayes: Với ≤ k ≤ n, - P(Ak /A) = P(A )P(A/A k P(A) k ) P(Ak )P(A/A k ) = n P(A j )P(A/A j ) j= Ta thường sử dụng cơng thức tính xác suất biến cố A cho cho biết thêm số điều kiện Dựa vào điều kiện để xây dựng hệ đầy đủ xung khắc đơi 5) Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện biến cố A biết biến cố B xảy ra, kí hiệu P(A/B), xác suất biến cố A tính trường hợp biến cố B xảy Để tính xác suất có điều kiện P(A/B) thường có cách: Cách 1: Dùng công thức Nhân xác suất P(AB) = P(B)P(A/B), suy P(A/B) = P(AB) P(B) Trong trường hợp này, ta cần tính P(AB) P(B) để tìm P(A/B) Cách 2: Dùng cơng thức Bayes cách xây dựng hệ biến cố đầy đủ, xung khắc đôi cho A= Ak với k Khi P(A/B)=P(A /B) = P(A k )P(B/A k k ) P(B) Trong trường hợp này, ta cần tính P(B) cách dùng cơng thức xác suất đầy đủ: n P(B) = ∑P(A j )P(B/A j ) j=1 Luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên Các đặc số đại lượng ngẫu nhiên: Mode, Kỳ vọng, Phƣơng sai Phân phối siêu bội: X ∼ H(N, NA, n) với xác suất định bởi: P( X = k ) = Khi đó: - Kỳ vọng: M ( X ) = C k Cn − k N A Cn N−N A N np với p NA = N 27 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 Phương sai:D( X ) = - npq N − n với q = − p N −1 Phân phối nhị thức: X ∼ B(n,p) với xác suất định bởi: Khi đó: - P ( X = k) = Ckn pk qn−k Mode: Mod(X) = k, k số nguyên thỏa np – q ≤ k ≤ np – q + M(X) = np Kỳ vọng: - Phương sai:D(X) = npq 10 Phân phối Poisson: X ∼ P(a) với xác suất định bởi: Khi đó: - P ( X = k) e−a ak = k! Kỳ vọng: M(X) = a Phương sai:D(X) = a 11 Phân phối chuẩn: X ∼ N(µ, σ ) Khi đó: a) Các đặc số: Mod(X) = µ - Mode: M(X) = µ - Kỳ vọng: D(X) = σ - Phương sai: b) Cơng thức tính xác suất: b −µ P(a ≤ X ≤ b) = ϕ( σ ) −ϕ( a −µ σ ) 12 Xấp xỉ phân phối nhị thức X ∼ B(n,p): X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n lớn Có trường hợp: a) Trƣờng hợp 1: p nhỏ (thông thƣờng p < 0,1) Khi có xem X có phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np, nghĩa là: P ( X = k) ≈ e−a ak k! (k = 0, 1, …) (Thay tính theo cơng thức Bernoulli P (X = k) = b) Cnkp k qn −k ) Trƣờng hợp 2: p không gần nhƣ (thơng thƣờng 0,1≤ p ≤ 0,9) Khi có xem X có phân phối chuẩn: X ∼ N(µ, σ ) với µ = np, σ = (q = 1–p), nghĩa là: P(X = k) f ; ≈ k − µ (k = 0,1,2,…) σ σ npq 28 Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013 P(k k2 − µ ≤ X ≤ k2 ) ≈ ϕ σ f(x) hàm Gauss (Bảng A); ϕ(x) hàm Laplace (Bảng B) k1 − µ )−ϕ (Thay tính theo công thức Bernoulli P (X = k) = σ ( k1 < k2) Cnkp k qn −k ) Chú ý Ta phải tìm xác suất p phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Sau đó, tùy theo p nhỏ hay lớn, mà ta xấp xỉ X phân phối Poisson hay phân phối chuẩn BÀI TẬP Bài Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng e) thứ hai bắn trúng biết có trúng Bài Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tính xác suất để bi đỏ b) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng Tính xác suất để bi đỏ bi trắng Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có c) d) hộp I Bài Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ c) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Bài Một hộp bi gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên khơng hịan lại bi bi đỏ dừng lại Tính xác suất để a) bi trắng, bi xanh bi đỏ b) khơng có bi trắng rút Bài Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất 29 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Bài Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? Bài Có hai hộp I II hộp chứa 12 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi bỏ sang hộp II; sau lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi a) Tính xác suất để lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II b) Giả sử lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để ba bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ bi trắng Bài Có ba hộp hộp đựng viên bi hộp thứ có bi trắng, bi đen; hộp thứ hai có bi trắng, bi đen; hộp thứ ba có bi trắng, bi đen a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi 1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng 3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen Bài Có 20 hộp sản phẩm lọai, hộp chứa nhiều sản phẩm, có 10 hộp xí nghiệp I, hộp xí nghiệp II hộp xí nghiệp III Tỉ lệ phế phẩm xí nghiệp 2%, 4% 5% Lấy ngẫu nhiên hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có phế phẩm b) Giả sử sản phẩm chọn có phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm xí nghiệp I Bài 10 Có 10 sinh viên thi, có thuộc lọai giỏi, trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định sinh viên lọai giỏi trả lời tất cả, sinh viên trả lời 16 câu cịn sinh viên trung bình 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên phát phiếu thi gồm câu hỏi trả lời câu hỏi Tính xác suất để sinh viên thuộc lọai Bài 11 Có hai hộp I II, hộp I chứa 10 bi trắng bi đen; hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp rút ngẫu nhiên bi bỏ đi, sau bỏ tất bi lại hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp III Tính xác suất để bi lấy hộp III có trắng, đen Bài 12 Có hai hộp cỡ Hộp thứ chứa bi trắng bi xanh, hộp thứ hai chứa bi trắng bi xanh Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để viên bi lấy từ hộp lại bi trắng 30 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 Bài 13 Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I b sản phẩm loại II đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc sản phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc thuộc loại I Bài 14 Có hộp phấn, hộp I chứa 15 viên tốt viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt 10 viên xấu Ta gieo xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất mặt chấm ta chọn hộp I; xuất mặt chấm chọn hộp II, cịn xuất mặt cịn lại chọn hộp III Từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất để lấy viên tốt Bài 15 Có hai kiện hàng I II Kiện thứ chứa 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, có sản phẩm loại A Lấy từ kiện sản phẩm Sau đó, sản phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Bài 16 Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào mục tiêu Xác suất để viên đạn bắn trúng mục tiêu 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng mục tiêu chắn bị diệt Nếu có từ đến viên trúng mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80% Nếu có viên trúng mục tiêu bị diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Bài 17 Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng b) Giả sử sản phẩm thu có sản phẩm loại A Tính xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất Bài 18 Có hai lơ hàng, lơ chứa 60% sản phẩm tốt, lơ I chứa 15 sản phẩm, lơ II chứa nhiều sản phẩm Từ lô II lấy sản phẩm bỏ vào lơ I, sau từ lơ I lấy sản phẩm a) Tính xác suất lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I b) Tính xác suất lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I, sp tốt có lô I từ trước c) Giả sử lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I Tính xác suất lấy 2sp tốt, 1sp xấu từ lô II Bài 19 Nước giải khát chở từ Sài Gòn Vũng Tàu Mỗi xe chở 1000 chai bia Sài Gòn, 2000 chai coca 800 chai nước trái Xác suất để chai loại bị bể đường tương ứng 0,2%; 0,11% 0,3% Nếu khơng q chai bị bể lái xe thưởng a) Tính xác suất có chai bia Sài Gịn bị bể b) Tính xác suất để lái xe thưởng c) Lái xe phải chở chuyến để xác suất có chuyến thưởng không nhỏ 0,9? Bài 20 Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B 2000 linh kiện C Xácsuất hỏng ba linh kiện 0,02%; 0,0125% 0,005% Máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với 31 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 a) Tính xácsuất để có linh kiện B bị hỏng b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động c) Giả sử máy có linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động Bài 21 Trọng lượng loại sản phẩm quan sát đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg phương sai 100kg Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong nhiều sản phẩm) Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm loại A b) có khơng q 60 sản phẩm loại A c) có 65 sản phẩm loại A Bài 22 Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 14 sản phẩm có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều số sản phẩm thuộc loại B nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 100 kiện (trong nhiều kiện) Tính xác suất để a) có 42 kiện nhận b) có từ 40 đến 45 kiện nhận c) có 42 kiện nhận Bài 23 Sản phẩm nhà máy đóng thành kiện, kiện gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại A hộp X có phân phối sau: X P 0,9 0,1 Khách hàng chọn cách kiểm tra sau: từ kiện lấy sản phẩm; thấy sản phẩm loại A nhận kiện đó; ngược lại loại kiện Kiểm tra 144 kiện (trong nhiều kiện) a) Tính xác suất để có 53 kiện nhận b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện nhận c) Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện nhận không nhỏ 95%? Bài 24 Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 80% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 60% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn c) có khơng 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn Bài 25 Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 1% máy khác sản xuất loại sản phẩm nầy với tỉ lệ phế phẩm 2% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất để a) có 14 phế phẩm b) có từ 14 đến 20 phế phẩm Bài 26 Một xí nghiệp có hai máy I II Trong ngày hội thi, công nhân dự thi phân máy với máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A khơng 70 cơng nhân thưởng Giả sử công nhân X, xác suất sản xuất sản phẩm loại A với máy I II 0.6 0,7 a) Tính xác suất để cơng nhân X thưởng 32 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Bài 27 Trong ngày hội thi, chiến sĩ chọn ngẫu nhiên hai loại súng với súng chọn bắn 100viên đạn Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thưởng Giả sử chiến sĩ A, xác suất bắn viên trúng bia súng loại I 60% súng loại II 50% a) Tính xác suất để chiến sĩ A thưởng b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Hỏi số lần thưởng tin bao nhiêu? c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng khơng nhỏ 98%? Bài 28 Một người thợ săn bắn viên đạn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn trúng đích a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Bài 29 Có hai lơ hàng I II, lô chứa nhiều sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A có hai lơ I II 70% 80% Lấy ngẫu nhiên từ lơ sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II b) Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm kỳ vọng phương sai X Bài 30 Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp hai bi a) Tính xác suất để hai bi đỏ hai bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Tìm luật phân phối X Bài 31 Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm a) Tìm luật phân phối X b) Không dùng luật phân phối X, tính M(X), D(X) Bài 32 Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi a) Tính xác suất để ba bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi trắng có ba bi rút từ hộp II Tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X Bài 33 Có ba lơ sản phẩm, lơ có 20 sản phẩm Lơ thứ i có i + sản phẩm loại A (i = 1, 2, 3) a) Chọn ngẫu nhiên lơ từ lơ lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm loại A b) Từ lô lấy sản phẩm Gọi X tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm luật phân phối X tính Mod(X), M(X), D(X) Bài 34 Một người có chìa khóa bề ngồi giống nhau, có chìa mở cửa Người tìm cách mở cửa cách thử chìa mở cửa thơi (tất nhiên, chìa khơng mở loại ra) Gọi X số chìa khóa người sử dụng Tìm luật phân phối X Hỏi người thường phải thử bao 33 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 nhiêu chìa mở cửa? Trung bình người phải thử chìa mở cửa? Bài 35 Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn trúng mục tiêu ngay, khơng săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Bài 36 Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn viên trúng mục tiêu ngay, khơng săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X - 34 ... giảng Tốn Xác suất – Ôn thi cao học 2013 P(A3 + A4 + A5) = P(A3) + P(A4) + P(A5) 0,3456 + C54 (0,6)4 (0,4) + (0.6)5 0,68256 13 Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 B – ĐẠI LƢỢNG NGẪU... tổng hai biến cố A B, kí hiệu A + B (hay A B) biến cố định bởi: Bài giảng Tốn Xác suất – Ơn thi cao học 2013 A + B xảy ⇔ A xảy B xảy Có hai biến cố A B xảy Minh họa: Ta mở rộng khái niệm tổng... biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Như vậy, biến cố sơ cấp Bài giảng Toán Xác suất – Ôn thi cao học 2013 thuận lợi cho biến cố tất yếu, khơng có biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố bất khả