Hướng dẫn ôn thi môn Thống kê, ôn thi cao học. Ví dụ 1: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau. Ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%.
HƯỚNG DẪN ÔN THỐNG KÊ THI CAO HỌC Loại 1: Ước lượng giá trị trung bình tiêu X với độ tin cậy γ cho trước (cỡ mẫu n ≥ 30 ) Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng µ = M(X) với độ tin cậy γ = 1– α = ? Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: S n X − zα ; X + zα S n (1) ϕ(zα) = (1 – α)/2 = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = ? Vậy ước lượng khoảng (thế số vào (1)): (?,?) Nói cách khác, với độ tin cậy γ , giá trị trung bình tiêu X từ ? đến ?? Ví dụ 1: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: 11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25 X(cm) Số sản phẩm 12 14 30 29 18 16 12 Ước lượng giá trị trung bình tiêu X với độ tin cậy 95% Giải Lập bảng Xi 12 14 16 18 20 22 24 ni 12 14 30 29 18 16 12 • Cỡ mẫu: n = 131 • Kỳ vọng mẫu X X = n ∑X i n i = 17, 8779(cm) Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X S= n −1 X ∑ = 3, n i ni − n − X 4352(cm) Đây tốn ước lượng khoảng cho kỳ vọng µ = M(X) với độ tin cậy γ = 1– α = 95% = 0,95 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: S n X − zα ; X + zα S n ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: 17,8779 − 1,96 3,4352 ;17,8779 + 1,96 3,4352 = (17,29;18,47) 131 131 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, giá trị trung bình tiêu X từ 17,29cm đến 18,47cm Loại 2: Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình sản phẩm với độ xác đạt độ tin cậy (cỡ 30 )? mẫu n ≥ Yêu cầu tóan: Xác định độ tin cậy γ = − α Giả thiết: – Ước khỏang cho kỳ vọng X – Độ xác ε = ? Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: ε = zα Sn ϕ(zα) = (1− α)/2 = γ /2 Suy zα = , ε n S = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy là: = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(?) = ? = ? % Vậy độ tin cậy đạt ?% Ví dụ 2: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: 11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25 X(cm) Số sản phẩm 12 14 30 29 18 16 12 Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình tiêu X với độ xác 0,6cm đạt độ tin cậy bao nhiêu? Giải Lập bảng Xi 12 14 16 18 20 22 24 ni 12 14 30 29 18 16 12 Cỡ mẫu n = 131 Kỳ vọng mẫu X X = n ∑X i n i = 17, 8779(cm) Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X là: X n ni − = 3, 4352(cm) X n −1 n −1 Yêu cầu tóan: Xác định độ tin cậy γ = 1− α Giả thiết: – Ước khỏang cho kỳ vọng X S= ∑ i 2 – Độ xác ε = 0,6cm Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: S ε = zα n ϕ(zα) = (1− α)/2 = γ /2 Suy zα = ε n = 0, 131 = 2, 00 S 3,4352 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy là: = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 00) = 2.0, 4772 = 95, 44% Vậy độ tin cậy đạt 95,44% Loại 3: Nếu muốn uớc lượng giá trị trung bình tiêu X với độ tin cậy γ độ xác ε phải điều tra thêm số liệu nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε = ? độ tin cậy γ = − α = ? Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: ε = zα S , n ϕ(zα) = (1 − α) /2 = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = ? Suy zS n = Thực tế yêu cầu: α ε = ? n ≥ ? = ?= n 1 [So sánh số n1 với n0 (n0 cỡ mẫu có), hai trường hợp sau xảy ra] - Nếu n1 ≤ n0 ta khơng cần điều tra thêm - Nếu n1 > n0 ta cần điều tra thêm n1 – n0 = ? số liệu Ví dụ 3: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: X(cm) 9,5−12,5 12,5−15,5 15,5−18,5 18,5−21,5 21,5−24,5 24,5−27,5 27,5−30,5 Số sp 11 18 25 24 20 18 11 Nếu muốn uớc lượng giá trị trung bình tiêu X với độ tin cậy 95% độ xác 0,8cm phải điều tra thêm sản phẩm nữa? Giải Ta lập bảng: Xi ni 11 14 17 11 18 25 20 23 26 29 24 20 18 11 Cỡ mẫu n = 127 Kỳ vọng mẫu X X= n ∑X i n i = 19, 8819 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X là: n = X ∑ i ni − 5,2563 n −1 n −1 X S= Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác = 0,8cm độ tin cậy γ = − α = 95% = 0,95 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: S = zα n , ϕ(zα) = (1 − α) /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Suy n= Thực tế yêu cầu: z S 2 α = ε 1, 96.5,2563 0, = 165,84 = 166 = n ≥ 165, 84 n1 Vì n1 = 166 > 127 = n0 (n0 cỡ mẫu có) nên ta cần điều tra thêm 166 – 127 = 39 sản phẩm Loại 4: Những sản phẩm có tiêu X từ ? – ? sản phẩm loại A Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1– α Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1– α = ?% = ? Ta có cơng thức ước lượng khoảng: Fn − z α Fn (1 − Fn ) ; Fn + z n α Fn (1 − Fn ) , n ϕ(zα) = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = ? Ta có tỉ lệ mẫu Fn = m/n = ? (ở m số sản phẩm loại A n cỡ mẫu) Thế vào công thức ta suy ước lượng khoảng là: (?,?) Nói cách khác, với độ tin cậy γ , tỉ lệ sản phẩm loại A từ ? đến ?? Ví dụ 4: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: 11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25 X(cm) Số sản phẩm 12 14 30 29 18 16 12 Những sản phẩm có tiêu X từ 17cm−23cm sản phẩm loại A Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 95% Giải.Lập bảng Xi 12 14 16 18 20 22 24 ni 12 14 30 29 18 16 12 Cỡ mẫu n = 131 Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A Fn = m/n = 63/131 = 0,4809 n =131 sản phẩm có m = 29 + 18 + 16 = 63 sản phẩm có tiêu X từ 17cm – 23cm, nghĩa số sản phẩm loại A có mẫu m = 63 Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = − α = 95% = 0,95 Ta có cơng thức ước lượng khoảng : Fn − z α Fn (1 − Fn ) ; Fn + z n α Fn (1 − Fn ) , n ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: 0, 4809 − 1, 96 0, 4809(1 − 0, 4809) 0, 4809(1 − 0, 4809) ; 0, 4809 + 1, 96 131 131 (39, 53%; 56, 65%) Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, tỉ lệ sản phẩm loại A từ 39,53% đến 56,65% Loại 5: Những sản phẩm có tiêu X từ ? − ? sản phẩm loại A Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ xác ε đạt độ tin cậy bao nhiêu? Đây toán xác định độ tin cậy γ = 1− α ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ xác ε = ?% = ? Ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: Fn (1 − Fn ) , n ε = z α ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ /2 Suy ra: zα = ε Fn (1 − Fn ) n = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy là: = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(?) = ? = ? % Vậy độ tin cậy đạt ?% Chú ý: Fn = m/n tỉ lệ sản phẩm loại A, tỉ số m số sản phẩm loại A với n cỡ mẫu Ví dụ 5: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: 15,5−18,5 18,5−21,5 21,5−24,5 24,5−27,5 27,5−30,5 X(cm) 9,5−12,5 12,5−15,5 Số sp 11 18 25 24 20 18 11 Những sản phẩm có tiêu X từ 12,5cm−21,5cm sản phẩm loại B Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác 9% đạt độ tin cậy bao nhiêu? Giải.Ta lập bảng: Xi ni 11 14 17 20 23 26 29 11 18 25 24 20 18 11 • Cỡ mẫu n = 127 • Tỉ lệ mẫu sp loại B Fn = m 67 n = 127 = 0, 5276 n = 127 sp có m = 18 + 25 + 24 = 67 sp có tiêu X từ 12,5cm−21,5cm Đây toán xác định độ tin cậy γ = 1− α lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác ε = 9% = 0,09 Ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: Fn (1 − Fn ) , n ε = z α ϕ(zα) = (1 − α)/2 = γ /2 Suy ra: n zα= ε Fn (1 − Fn ) 127 = 0,09 0,5276(1 − 0,5276) = 2,03 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 03) = 2.0, 47882 = 95,76% Loại 6: Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = − α độ xác ε phải điều tra thêm sản phẩm nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ xác = ? độ tin cậy γ = − α = ? Ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: Fn (1 − Fn ) , n ε = z α ϕ(zα) = (1 − α) /2 = γ /2 = ? Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = ? Suy zα Fn (1 − Fn ) = n= ? ε Thực tế yêu cầu: n ≥ ? = ?= n 1 [So sánh số n1 với n0 (n0 cỡ mẫu có), hai trường hợp sau xảy ra] - Nếu n1 ≤ n0 ta không cần điều tra thêm - Nếu n1 > n0 ta cần điều tra thêm n1 – n0 = ? số liệu Chú ý: Fn = m/n tỉ lệ sản phẩm loại A, tỉ số m số sản phẩm loại A với n cỡ mẫu Ví dụ 6: Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: 11−13 13−15 15−17 17−19 19−21 21−23 23−25 X(cm) Số sản phẩm 12 14 30 29 18 16 12 Nhữ ng sản phẩm có tiêu X từ 17cm−23cm sản phẩm loại A Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99% độ xác 12% phải điều tra thêm sản phẩm nữa? Giải Yêu cầu tóan: Xác định cỡ mẫu Giả thiết: – Ước khỏang cho tỉ lệ sản phẩm loại A – Độ xác ε = 12% = 0,12 – Độ tin cậy γ = 1– α = 99% = 0,99 Lập bảng Xi 12 14 16 18 ni 12 14 30 29 • Cỡ mẫu: n = 131 • Tỉ lệ mẫu sp loại A Fn = 20 22 18 16 m 24 12 63 n = 131 = 0,4809 n = 131sp có m = 29 + 18 + 16 = 63 sp có tiêu X từ 17cm−23cm Ta có cơng thức tính độ xác ước lượng: Fn (1 − Fn ) , n ε = z α ϕ(zα) = (1– α) /2 = 0,99/2 = 0,495 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,58 Suy n= z Fn (1 − Fn ) α ε 2,58 0,4809(1 − 0,4809) ≈ = 115,39 0,12 Thực tế yêu cầu: n ≥ 115, = 116 = 39 n1 Vì n1 = 116 < 131 = n0 (n0 cỡ mẫu có) nên ta không cần điều tra thêm sản phẩm Loại (Cỡ mẫu n ≥ 30) – Một ý kiến cho giá trị trung bình tiêu X µ Với mức ý nghĩa α, nhận định ý kiến – Trước giá trị trung bình tiêu X µ Các số liệu thu thập sau áp dụng phương pháp Hãy nhận định phương pháp với mức ý nghĩa α – Sau áp dụng phương pháp người ta thấy giá trị trung bình tiêu X µ Hãy nhận định phương pháp với mức ý nghĩa α – Một tài liệu thống kê cũ cho giá trị trung bình tiêu X µ Hãy nhận định tài liệu với mức ý nghĩa α Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng µ = M(X) với mức ý nghĩa α = ?: H0: µ = µ0 với giả thiết đối H1: µ ≠ µ (µ0 số cho đề bài) Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có z= (X − µ ) n S = ? Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z α thoả ϕ(zα) = (1− α)/2 = ? ta zα = ? Bước 3: Kiểm định [So sánh |z| với zα, hai trường hợp sau xảy ra] - Nếu |z| ≤ zα ta chấp nhận giả thiết H0, nghĩa … - Nếu |z| > zα ta bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1, nghĩa ….) Ví dụ 7: Trọng lượng loại sản phẩm theo qui định 10kg Người ta dùng máy để sản xuất 150 sản phẩm thấy trọng lượng trung bình sản phẩm 10,5kg phương sai mẫu 8,5kg2 Máy xem hoạt động bình thường sản phẩm có trọng lượng trung bình trọng lượng qui định Với mức ý nghĩa 1%, nhận định máy Giải Gọi X trọng lượng sản phẩm Giả thiết cho ta: Cỡ mẫu n = 150 Kỳ vọng mẫu X X = 10,5 (kg) Độ lệch mẫu hiệu chỉnh X S 8, = 2, 9155 (kg) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng µ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H0: µ = 10 với giả thiết đối H1: µ ≠ 10 Vì n ≥ 30; σ = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có z = (X − µ0) n S (10,5 − 10) 150 = = 2,1004 2,9155 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1− α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta zα = 2,58 Bước 3: Kiểm định Vì |z|= 2,1004 < 2,58 = zα nên ta chấp nhận giả thiết H0: µ = 10 Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường Loại 8: – Một ý kiến cho tỉ lệ sản phẩm loại A p0 Với mức ý nghĩa α, nhận định ý kiến – Trước tỉ lệ sản phẩm loại A p Các số liệu thu thập sau áp dụng phương pháp Hãy nhận định phương pháp với mức ý nghĩa α – Sau áp dụng phương pháp người ta thấy tỉ lệ sản phẩm loại A p0 Hãy nhận định phương pháp với mức ý nghĩa α – Một tài liệu thống kê cũ cho tỉ lệ sản phẩm loại A p0 Hãy nhận định tài liệu với mức ý nghĩa α – Tỉ lệ phần tử loại A cũ p Sau sử dụng phương pháp mới, kiểm tra n sản phẩm thấy có m sản phẩm loại A Hãy nhận định phương pháp với mức ý nghĩa α Từ giả thiết ta suy ra: Cỡ mẫu n = ? Số sản phẩm loại A có mẫu m = ? Tỉ lệ mẫu sản phẩm tốt Fn = m/n = ? Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm loại A với mức ý nghĩa α = ?: H0: p = p0 với giả thiết đối H1: p ≠ p0 (p0 số cho đề bài) Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có z= (F −p ) n n = ? p (1 − p ) Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z α thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 = ? ta zα = ? Bước 3: Kiểm định [So sánh |z| với zα, hai trường hợp sau xảy ra] - Nếu |z| ≤ zα ta chấp nhận giả thiết H0, nghĩa … - Nếu |z| > zα ta bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1,nghĩa … Ví dụ 8: Một máy sản xuất hàng hóa với tỉ lệ loại tốt 61% Do cố điện, máy bị hỏng Sau sửa chữa cho máy hoạt động lại, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm thấy có 275 sản phẩm tốt Với mức ý nghĩa 5%, tỉ lệ sản phẩm tốt máy sản xuất có bị thay đổi khơng? Giải Từ giả thiết ta suy ra: Cỡ mẫu n = 500 Số sản phẩm loại tốt có mẫu m = 275 Tỉ lệ mẫu sản phẩm tốt Fn = m/n = 275/500 = 0,55 Đây toán kiểm định giả thiết tỉ lệ p sản phẩm tốt với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05: H0: p = 61% = 0,61 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,61 Ta kiểm định sau: Bước 1: Ta có z = (Fn − p ) n p (1 − p ) (0, 55 − 0, 61) = 500 0, 61(1 − 0, 61) = − 2,7507 Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα) = (1 − α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta zα = 1,96 Bước 3: Kiểm định Vì |z| = 2,7507 > 1,96 = zα nên ta bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1: p ≠ 0,61 Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, nói tỉ lệ sản phẩm tốt máy sản xuất bị thay đổi (theo chiều hướng giảm, Fn = 0,55 < 0,61) ––––––––––––––––– 10 ... ?= n 1 [So sánh số n1 với n0 (n0 cỡ mẫu có), hai trường hợp sau xảy ra] - Nếu n1 ≤ n0 ta khơng cần điều tra thêm - Nếu n1 > n0 ta cần điều tra thêm n1 – n0 = ? số liệu Ví dụ 3: Để khảo sát... ?= n 1 [So sánh số n1 với n0 (n0 cỡ mẫu có), hai trường hợp sau xảy ra] - Nếu n1 ≤ n0 ta khơng cần điều tra thêm - Nếu n1 > n0 ta cần điều tra thêm n1 – n0 = ? số liệu Chú ý: Fn = m/n tỉ lệ... = ? Bước 3: Kiểm định [So sánh |z| với zα, hai trường hợp sau xảy ra] - Nếu |z| ≤ zα ta chấp nhận giả thiết H0, nghĩa … - Nếu |z| > zα ta bác bỏ giả thiết H0, chấp nhận giả thiết H1, nghĩa ….)