Đề thi và bài giải môn Toán Xác suất. Ôn thi cao học

Đề thi và bài giải môn Toán Xác suất. Ôn thi cao học. Bài 1: Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác suất để: có 1 khẩu bắn trúng. có 2 khẩu bắn trúng. có 3 khẩu bắn trúng. d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng. e) khẩu thứ 2 bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng.

BÀI GIẢI MƠN TỐN XÁC SUẤT – ƠN THI CAO HỌC Bài 1: Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng e) thứ bắn trúng biết có trúng Lời giải Tóm tắt: Khẩu súng Xác suất trúng I 0,7 II 0,8 III 0,5 Gọi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố thứ j bắn trúng Khi A1, A2, A3 độc lập giả thiết cho ta: P(A1) = 0,7; P(A1) = 0, 3; P(A2) = 0, 8; P(A2) = 0, 2; P(A3) = 0, 5; P(A3) = 0, a) Gọi A biến cố có trúng Ta có A = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 Vì biến cố A1 A A , A1 A A , A A A3 xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có P(A) = P(A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3)  P(A1A2A3) + P(A1A2A3) + P(A1A2A3) Vì biến cố A1, A2, A3 độc lập nên theo công thức Nhân xác suất ta có P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,7.0, 2.0, = 0, 07; P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 3.0, 8.0, = 0,12; P(A1A2A3) = P(A1)P(A32)P(A3) = 0, 3.0, 2.0, = 0, 03 Suy P(A) = 0,22 b) Gọi B biến cố có trúng Ta có B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 Tính toán tương tự câu a) ta P(B) = 0,47 c) Gọi C biến cố có trúng Ta có C = A1A2A3 Tính tốn tương tự câu a) ta P(C) = 0,28 d) Gọi D biến cố có trúng Ta có D= A+B+C Chú ý A, B, C xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có: P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97 e) Gỉa sử có trúng Khi biến cố B xảy Do xác suất để thứ trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/B) Theo công thức Nhân xác suất ta có: P(A2B) = P(B)P(A2/B) Suy P(A2/B) = P(A B) P(B) Mà A 2B = A1 A A + A A A3 nên lý luận tương tự ta P(A2B) = 0,4 Suy P(A2/B) =0,851 Bài 2: Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tính xác suất để bi đỏ b) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng Tính xác suất để bi đỏ bi trắng c) d) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có hộp I Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi đỏ (2 – i) bi trắng có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi – A0, A1, A2 xung khắc đơi ta có: P(A0) = 0; CC P(A1) = P(A2) = 1 9 = 45 ; 36 = 45 C10 C2C0 C10 – B0, B1, B2 xung khắc đơi ta có: P(B0 ) = CC C10 CC P(B1) = P(B2 ) = 1 C10 CC C10 = 45 ; 24 = 45 ; 15 = 45 – Ai Bj độc lập – Tổng số bi đỏ có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo bảng sau: B0 B1 B2 A0 A1 A2 a) Gọi A biến cố chọn bi đỏ Ta có: A=A2B2 Từ đây, tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ cho ta: 36 15 P(A) = P(A2)P(B2) = 45 45 = 0, 2667 b) Gọi B biến cố chọn bi đỏ bi trắng Ta có: B = A0B2 + A1B1 + A2B0 Do tính xung khắc đôi biến cố A0B2 , A1B1 , A2B0, công thức Cộng xác suất cho ta: P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0) Từ đây, tính độc lập , Cơng thức nhân xác suất thứ cho ta: P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133 c) Gọi C biến cố chọn bi đỏ bi trắng Ta có: C = A1B2 + A2B1 Lý luận tương tự ta P(C) = P(A1)P(B2 ) + P(A2)P(B1) = 0,4933 d) Giả sử chọn bi đỏ bi trắng Khi biến cố C xảy Do xác suất để bi trắng có thuộc hộp I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/C) Theo Công thức nhân xác suất , ta có P(A1C) = Suy P(A1/C) P(C)P(A1/C) = P(A C) P(C) Mà A1C = A1B2 nên 15 P(A1C) = P(A1B2) = P(A1)P(B2) = 45 45 = 0, 0667 Do xác suất cần tìm là: P(A1/C) = 0,1352 Bài 3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Lời giải Gọi Ti, Xi biến cố chọn sản phẩm tốt, xấu lần kiểm tra thứ i a) Gọi A biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: A = T1T2T3 Suy P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2) = (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667 b) Gọi B biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 Suy P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 ) = P(X1) P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(T4/X1T2T3) + P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(T4/T1X2T3) + P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2)P(T4/ T1T2 X3) = (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857 c) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Khi biến cố B xảy Do xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu trường hợp xác suất có điều kiện P(X3/B) Theo Cơng thức nhân xác suất , ta có P(X3B) = P(B)P(X3/B) Suy P(X3/B) = P(X B) P(B) Mà X3B = T1T2X3T4 nên P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952 Suy P(X3/B) = 0,3333 Bài 4: Một hộp bi gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên khơng hịan lại bi bi đỏ dừng lại Tính xác suất để a) bi trắng, bi xanh bi đỏ b) khơng có bi trắng rút Lời giải Gọi Di, Ti, Xi biến cố chọn bi đỏ, bi trắng, bi xanh lần rút thứ i a) Gọi A biến cố rút bi trắng, bi xanh bi đỏ Ta có: T−T−X−D  T−X−T−D A xảy ⇔ Rút   Suy A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4 Từ đây, tính xung khắc đơi biến cố thành phần, ta có: P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 ) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3) = (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66 Suy P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455 b) Gọi B biến cố khơng có bi trắng rút Ta có: D   B xảy ⇔ Rút X−D  X−X−D Suy B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4 Từ đây, tính xung khắc đơi biến cố thành phần, ta có: P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3D4) Theo Cơng thức Nhân xác suất, ta có P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2) + P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3) = 5/12 + (3/12)(5/11)+ (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9) = 5/9 Bài 5: Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Lời giải Tóm tắt: Phân xưởng Tỉ lệ sản lượng Tỉ lệ loại A I 30% 70% II 45% 50% III 25% 90% a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất ta chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm thị trường Khi tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất để sản phẩm thuộc loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố sản phẩm phân xưởng I, II, III sản xuất Khi A 1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A 2) = 50% = 0,5; P(B/A3 = 90% = 0,9 Suy P(B) = 0,66 = 66% Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất 66% b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả phân xưởng sản xuất nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A1/B), P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn sản phẩm có khả phân xưởng thứ i sản xuất nhiều Theo cơng thức Bayes ta có: P(A1/B) = P(A1)P(B/A1) = 0, 3.0,7 21 P(B) 0, 66 = 66 ; P(A2/B) = P(A2 )P(B/A2) 0, 45.0, 22, ; = 0, 66 = 66 P(B) P(A3/B) = P(A3)P(B/A3) = 0, 25.0, 22, = 66 P(B) 0, 66 Vì P(A2/B) = P(A3/B)> P(A1/B) nên sản phẩm loại A có khả phân xưởng II III sản xuất nhiều c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Ap dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có: 1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A P121 (80) = C12180 p 80 q 41 = C12180 (0, 66) 80 (0, 34) 41 = 0, 076 2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A 85 ∑ P 121 85 (k) = k = 80 ∑ C k = 80 121 85 k p k q121 − k = ∑ C121k (0, 66) k (0, 34)121 −k = 0, 3925 k = 80 Bài 6: Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) b) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? Lời giải Tóm tắt: Cửa hàng Tỉ lệ loại A I 70% II III 75% 50% Chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố chọn cửa hàng I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 75% = 0,75; P(B/A3 = 50% = 0,5 Suy P(B) = 0,65 = 65% Vậy xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A 65% b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả khách hàng chọn cửa hàng nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A 1/B), P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn cửa hàng thứ i có nhiều khả chọn Theo cơng thức Bayes ta có: P(A2/B) = P(A1)P(B/A1) = (1 / 3).0, 70 P(B) 0, 65 = 195 ; P(A2 )P(B/A2) (1 / 3).0,75 75 = P(B) 0, 65 = 195 ; P(A3/B) = P(A3)P(B/A3) = (1 / 3).0, = 50 P(B) 0, 65 195 P(A1/B) = Vì P(A2/B) > P(A1/B) > P(A3/B) nên cửa hàng II có nhiều khả chọn Bài 7: Có hai hộp I II hộp chứa 12 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi bỏ sang hộp II; sau lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi a) b) Tính xác suất để lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Giả sử lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để ba bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ bi trắng Lời giải Gọi A biến cố chọn bi đỏ bi trắng từ hộp II Ai (i = 0, 1, 2, 3) biến cố có i bi đỏ (3–i) bi trắng có bi chọn từ hộp I Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: CC ; = 220 P(A0) = 84 C12 CC P(A1) = P(A2) = P(A3) = 84 C12 C2C1 84 C12 C3C0 84 C 48 = 220 ; 112 = 220 ; 56 = 220 12 a) Tính xác suất để lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Theo cơng thức tính xác suất lựa chọn, ta có CC P(A / A0) = P(A / A1) = 10 C15 C3C1 C15 CC P(A / A2) = C15 CC P(A / A3) = C 100 = 1365 ; 180 = 1365 ; 280 ; = 1365 392 = 1365 15 Suy xác suất cần tìm P(A) = 0,2076 b) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Khi biến cố A xảy Do dó xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/A) Ap dụng cơng thức Bayes, ta có: 112 P(A2/A) = 280 P(A )P(A/A ) 220 1365 = = 0, 5030 P(A) 0, 2076 Vậy xác suất cần tìm P(A2/A) = 0,5030 Bài 8: Có ba hộp hộp đựng viên bi hộp thứ có bi trắng, bi đen; hộp thứ hai có bi trắng, bi đen; hộp thứ ba có bi trắng, bi đen a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi 1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng 3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen Lời giải a) Gọi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố lấy bi trắng từ hộp thứ j Khi A1, A2, A3 độc lập ; P(A1) = ; P(A2) = ; P(A2) = ; P(A3) = ; P(A3) = P(A1) = 10 Gọi n số kiện cần kiểm tra D biến cố có kiện nhận Yêu cầu toán xác định n nhỏ cho P(D) ≥ 0,95 Biến cố đối lập D D : khơng có kiện nhận Theo chứng minh trên, xác suất để kiện nhận p = 0,3622 Do Theo cơng thức Bernoulli ta có: P(D) = − P(D) = − q n = − (1 − 0, 3622) n = − (0, 6378) n Suy P(D) ≥ 0, 95 ⇔ − (0, 6378) n ≥ 0, 95  (0, 6378) n ≤ 0, 05  n ln(0, 6378) ≤ ln 0, 05 ln 0, 05 ≈ 6, ⇔n ≥ ln(0, 6378) 6612 ⇔ n ≥ Vậy phải kiểm tra kiện Bài 24: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 80% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn 60% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 100 sản phẩm Tính xác suất để a) có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn c) có khơng 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn Lời giải Gọi X ĐLNN số sản phẩm đạt tiêu chuẩn 100 sản phẩm A1, A2 biến cố chọn máy 1, máy Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo cơng thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: P(X = k) = P(A1 )P(X=k/A1 ) + P(A2 )P(X= k/A2 ) = P(X=k/A )+ P(X=k/A ) (1) 2 Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trường hợp chọn máy 1, máy Khi đó: • (1) cho ta P(X1 =k)+ P(X2 =k) P(X = k) = 2 X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 80% = 0,8 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,8 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(µ1, σ1 ) với µ1 = n1p1 = 100.0,8 = 80; σ1 = n1p1q1 = 100.0, 8.0, = 28 X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 60% = 0,60 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,60 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X ∼ N(µ,σ ) 2 vớiµ2 = n2p2 = 100.0,60 = 60; σ2 = n 2p 2q = 100.0, 60.0, 40 = 4, 8990 a) Xác suất để có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là: 70−µ1 ) + 1 70−µ2 P(X = 80) = P(X1 =70)+ P(X2 =70) = 1 f ( f( ) σ1 σ1 2σ2 σ2 2 f ( 70−60)= f (−2,5) + f (2,04) = f ( 70−80 ) + 4 4,8990 4,8990 4,8990 1 1 = 0,0175 + 4,8990 0,0498 = 0,000727 b) Xác suất để có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là: P(70 P(70≤ X≤ 90)= = [ϕ( 90−µ1 σ1 = [ϕ( 90−80 ≤ X1 ≤ 90)+ P(70 ≤ X2≤ 90) 70−µ2)] )−ϕ( 70−µ1 )] + [ϕ( 90−µ2)−ϕ( σ σ1 σ2 2 )−ϕ( 70−80)] + [ϕ( 90−60 )−ϕ( 70−60 )] 4, 899 4, 899 = [ϕ(2,5) − ϕ(−2,5) + ϕ (6,12) − ϕ(2, 04)] = (0, 49379 + 0,49379 + 0,5 −0, 47932)  0,50413 c) Xác suất có khơng 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn P(70 ≤ X ≤ 100) =0,5072 (Tương tự câu b) Bài 25: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 1% máy khác sản xuất loại sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 2% Chọn ngẫu nhiên máy cho sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất để a) có 14 phế phẩm b) có từ 14 đến 20 phế phẩm Lời giải Gọi X ĐLNN số phế phẩm 1000 sản phẩm A1, A2 biến cố chọn máy 1, máy Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo cơng thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: 29 P(X = k) = P(A1 )P(X=k/A1 ) + P(A2 )P(X= k/A2 ) = P(X=k/A )+ P(X=k/A ) (1) 2 Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số phế phẩm trường hợp chọn máy 1, máy Khi đó: • (1) cho ta P(X = k) = P(X1 =k)+ P(X2 =k) 2 X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 1000 p1 = 1% = 0,001 Vì n1 lớn p1 bé nên ta xem X1 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,01 = 10, nghĩa X2 ∼ P(10) X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 1000 p2 = 2% = 0,002 Vì n2 lớn p2 bé nên ta xem X2 có phân phân phối Poisson: X1 ∼ P(a2) với a2 = n2p2 = 1000.0,02 = 20, nghĩa X2 ∼ P(20) a) Xác suất để có 14 phế phẩm là: P(X = 14) = 1 e−10 1014 e−20 2014 14! + 2 P(X1 =14)+ P(X2 =14) = = 14! 0,0454 b) Xác suất để có từ 14 đến 20 phế phẩm là: P(14 ≤ X ≤ 20) = P(14 ≤ X1 ≤ ∑ k = 14 X2 ≤ 20) 20 20 =2 P(14 ≤ 20)+ e −10 10 k! k + ∑e 20 k k ! = 31,35% −20 k = 14 Bài 26: Một xí nghiệp có hai máy I II Trong ngày hội thi, công nhân dự thi phân máy với máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại A khơng 70 cơng nhân thưởng Giả sử công nhân X, xác suất sản xuất sản phẩm loại A với máy I II 0,6 0,7 a) Tính xác suất để cơng nhân X thưởng b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Lời giải Gọi Y ĐLNN số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm sản xuất A1, A2 biến cố chọn máy I, máy II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo cơng thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: P(Y = k) = P(A1 )P(Y=k/A1 ) + P(A2 )P(Y= k/A2 ) =1 P(Y=k/A )+ P(Y=k/A 2 30 ) (1) Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số sản phẩm loại A có 100 sản phẩm sản xuất trường hợp chọn máy I, máy II Khi đó: • (1) cho ta P(Y = k) = P(X1 =k)+ P(X2 =k) 2 X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 0,6 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,6 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(µ1, σ1 ) với µ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60; σ1 = n1p1q1 = 100.0, 6.0, = 4, 8990 X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 0,7 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,7 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(µ2, σ2 ) với µ1 = n2p2 = 100.0,7 = 70; σ2 = n 2p 2q = 100.0, 7.0, = 4, 5826 a) Xác suất để công nhân X thưởng là: 1 P(70 ≤ Y ≤ 100) = P(70 ≤ X1 ≤ 100)+ P(70 ≤ X2 ≤ 100) = [ϕ( 100 − µ1 )−ϕ( 70−µ1 )] + [ϕ( 100 − µ2 )−ϕ( 70−µ2 )] σ1 σ1 σ σ2 2 = [ϕ( 100 − 60 )−ϕ( 4,899 70−60 )] + [ϕ( 100 − 70 )−ϕ( 4,899 4,5826 70−70 )] 4,5826 = [ϕ(8,16) − ϕ(2,04) + ϕ (6,55) − ϕ(0)]= (0,5 −0,47932 + 0,5) = 0,2603 b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? Gọi Z ĐLNN số lần công nhân X thưởng Khi Z có phân phối nhị thức Z ∼ B(n,p) với n = 50, p = 0,2603 Số lần thưởng tin Mod(Z) Ta có: Mod(Z) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q +  50.0,2603 − 0,7397 ≤ k ≤ 50.0,2603 − 0,7397 +  12,2753 ≤ k ≤ 13,2753 ⇔ k = 13 Vậy số lần thưởng tin công nhân X 13 lần Bài 27: Trong ngày hội thi, chiến sĩ chọn ngẫu nhiên hai loại súng với súng chọn bắn 100viên đạn Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thưởng Giả sử chiến sĩ A, xác suất bắn viên trúng bia súng loại I 60% súng loại II 50% a) Tính xác suất để chiến sĩ A thưởng 31 b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Hỏi số lần thưởng tin bao nhiêu? c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng khơng nhỏ 98%? Lời giải Gọi X ĐLNN số viên trúng 100 viên bắn Gọi A1, A2 biến cố chọn súng loại I, II Khi A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(A1) = P(A2) = 0,5 Theo cơng thức xác xuất đầy đủ, với ≤ k ≤ 100, ta có: P(X = k) = P(A1 )P(X=k/A1 ) + P(A2 )P(X= k/A2 ) = P(X=k/A )+ P(X=k/A ) (1) 2 Như vậy, gọi X1, X2 ĐLNN số viên trúng 100 viên bắn trường hợp chọn loại I, II Khi đó: • (1) cho ta P(X = k) = P(X1 =k)+ P(X2 =k) 2 X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1,p1) với n1 = 100, p1 = 0,6 Vì n1 = 100 lớn p1 = 0,6 không gần không gần nên ta xem X1 có phân phối chuẩn sau: X1 ∼ N(µ1, σ1 ) với µ1 = n1p1 = 100.0,6 = 60; σ1 = n1p1q1 = 100.0, 6.0, = 4, 8990 X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2,p2) với n2 = 100, p2 = 0,5 Vì n2 = 100 lớn p2 = 0,5 không gần không gần nên ta xem X2 có phân phối chuẩn sau: X2 ∼ N(µ2, σ2 ) với µ1 = n2p2 = 100.0,5 = 50; σ2 = n 2p 2q = 100.0, 5.0, = a) Xác suất để chiến sĩ A thưởng là: 1 P(65 ≤ X ≤ 100) = P(65 ≤ X1 ≤ 100)+ P(65 ≤ X2 ≤ 100) = [ϕ( 100 − µ1 )−ϕ( 65−µ1 )] + [ϕ( 100 − µ2 )−ϕ( 65−µ2 )] σ1 σ1 σ2 σ2 2 = [ϕ( 100 − 60 )−ϕ( 4,899 65−60 )] + 4,899 [ϕ( 100 − 50 )−ϕ( 65−50 )] = [ϕ(8,16) − ϕ(1,02) + ϕ (10) − ϕ(3)]= (0,5 − 0,34614 + 0,5 − 0,49865) = 0,0776 b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần Số lần thưởng tin bao nhiêu? 32 Gọi Y ĐLNN số lần chiến sĩ A thưởng Khi Y có phân phối nhị thức Y B(n,p) với n = 10, p = 0,0776 Số lần thưởng tin mod(Y) Ta có: mod(Y) = k ⇔ np − q ≤ k ≤ np − q +  10.0,0776 − 0,9224 ≤ k ≤ 10.0,0776 − 0,9224 +  −0,1464 ≤ k ≤ 0,8536 ⇔ k = Vậy số lần thưởng tin chiến sĩ A lần, nói cách khác, thường chiến sĩ A khơng thưởng lần 10 lần tham gia c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi lần để xác suất có lần thưởng không nhỏ 98%? Gọi n số lần tham gia hội thi D biến cố có lần thưởng u cầu toán xác định n nhỏ cho P(D) ≥ 0,98 Biến cố đối lập D D : khơng có lần thưởng Theo chứng minh trên, xác suất để lần thưởng p = 0,0776 Do Theo cơng thức Bernoulli ta có: P(D) = − P(D) = − q n = − (1 − 0, 0776) n = − (0, 9224) n Suy P(D) ≥ 0, 98 ⇔ − (0, 9224) n ≥ 0, 98  (0, 9224) n ≤ 0, 02  n ln 0, 9224 ≤ ln 0, 02 ln 0, 02 ≈ 48, ⇔n ≥ ln 0, 9224 43 ⇔ n ≥ 49 Vậy chiến sĩ A phải tham gia hội thi 49 lần Bài 28: Một người thợ săn bắn viên đạn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn trúng đích a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải a) Ta thấy X có phân phối nhị thức X∼ B(n,p) với n = 4, p = 0,8 X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 0, 1, 2, , Luật phân phối X có dạng: X P p0 Theo cơng thức Bernoulli ta có: 33 p1 p2 p3 p4 P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = C04(0, 8)0 (0, 2)4 = 0, 0016; C14(0, 8)1(0, 2)3 = 0, 0256; C24(0, 8)2 (0, 2)2 = 0,1536; C34(0, 8)3(0, 2)1 = 0, 4096; C44(0, 8)4 (0, 2)0 = 0, 4096 Vậy luật phân phối X là: X P 0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096 b) Tìm kỳ vọng phương sai X – Kỳ vọng: M(X) = np = 3,2 – Phương sai: D(X) = npq = 0,64 Bài 29: Có hai lơ hàng I II, lô chứa nhiều sản phẩm Tỉ lệ sản phẩm loại A có hai lô I II 70% 80% Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II b) Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số sp loại A có sp chọn từ lơ I, II Khi X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 2; p1 = 70% = 0,7 với xác suất định bởi: P(X = k) = C2k(0, 7) k (0, 3)2 −k Cụ thể X1 P 0,09 0,42 0,49 X2 có phân phối nhị thức X2 ∼ B(n2, p2); n2 = 2; p2 = 80% = 0,8 với xác suất định bởi: P(X = k) = C2k(0, 8) k (0, 2)2 −k Cụ thể X2 P 0,04 0,32 0,64 a) Xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn số sản phẩm loại A lấy từ lô II là: P(X1 ≥ X2) = P[(X1 =2)(X2 =0)+ (X1 =2)(X2 =1)+ (X1 =1)(X2 =0)] = P(X1 =2)P(X2 =0)+ P(X1 =2)P(X2 =1)+ P(X1 =1)P(X2 =0) = 0,1932 b) Gọi X số sp loại A có sp chọn Khi 34 X=X1+X2 Vì X1 , X2 độc lập nên ta có: - Kỳ vọng X M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2p2 = Phương sai X D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2p2q2 = 0,74 Bài 30: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp hai bi a) Tính xác suất để hai bi đỏ hai bi trắng b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Tìm luật phân phối X Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số bi đỏ có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - X1 có phân phối siêu bội X1 ∼ H(N1, N1A, n1); N1 = 10; N1A= 6; n1 = với xác suất định bởi: P(X1 = k) = CC k −k C2 10 Cụ thể X1 P 6/45 24/45 15/45 - X2 có phân phối siêu bội X2∼ H(N2, N2A, n2); N2= 10; N2A = 7; n2 = với xác suất định bởi: P(X2 = k) = CC k −k C2 10 Cụ thể X2 P 3/45 21/45 21/45 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi đỏ có bi rút Khi X=X1+X2 Bảng giá trị X dựa vào X1, X2 sau: X X2 X1 a) 1 2 3 Xác suất để bi đỏ bi trắng là: 35 P(X = 2) = P[(X1=0) (X2=2)+ (X1=1) (X2=1)+ (X1=2) (X2=0)] = P(X1=0) P(X2=2)+ P(X1=1)P(X2=1)+ P(X1=2)P(X2=0)] = (6/45)(21/45) + (24/45)(21/45) + (15/45)(3/45) = 1/3 b) Luật phân phối X có dạng: X P p0 p1 p2 p3 p4 đó: p0 = P(X = 0)= P(X1 =0) P(X2 = 0) = 2/225; p1 = P(X = 1)= P(X1 =0) P(X2 = 1) + P(X1 =1) P(X2 = 0)= 22/225; p2 = P(X = 2) = 1/3; p3 = P(X = 3)= P(X1 =1) P(X2 = 2) + P(X1 =2) P(X2 = 1)= 91/225; p4 = P(X = 4)= P(X1 =2) P(X2 = 2) = 7/45 Vậy luật phân phối X : X P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45 Bài 31: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt có sản phẩm a) Tìm luật phân phối X b) Khơng dùng luật phân phối X, tính M(X), D(X) Lời giải Gọi X1, X2 ĐLNN số sp tốt có sản phẩm máy sản xuất; lấy từ lô hàng Khi X1, X2 độc lập ta có: - X1 có phân phối nhị thức X1 ∼ B(n1, p1); n1 = 3; p1 = 0,9 Cụ thể ta có: P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = C03p q = (0,1) = 0, 001; C13p1q = 3(0, 9)(0,1) = 0, 027; C23p q = 243; P(X = 3) = 3(0, 9) (0,1) = 0, C33p 3q = (0, 9) = 0, 729 - X2 có phân phối siêu bội X ∼ H(N2, N2A, n2); N2 = 10; N2A = 7; n2 = (vì lơ hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30%, nghĩa lô hàng gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu) Cụ thể ta có: 36 P(X2 = 0)= CC  120 ; C3 10 P(X2 = 1)= CC 21  120 ; C 3 10 P(X2 = 2)= CC  120 C3 63 ; 10 P(X2 = 3)= CC  12035 C3 10 a) Ta có X = X1 + X2 Luật phân phối X có dạng: X P p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 đó: p0 = P(X = 0)= P(X1 = 0)P(X2 = 0) = 1/120000; p1 = P(X = 1)= P(X1 = 0)P(X2 = 1) + P(X1 = 1)P(X2 = 0) = 1/2500; p2 = P(X = 2) = P(X1 = 0)P(X2 = 2) + P(X1 = 1)P(X2 = 1) + P(X1 = 2)P(X2 =0) = 291/40000 p3 = P(X = 3) = P(X1 = 0)P(X2 = 3) + P(X1 = 1)P(X2 = 2) + P(X1 = 2)P(X2 =1) + P(X1 = 3)P(X2=0) = 473/7500 p4 = P(X = 4) = P(X1 = 1)P(X2 = 3) + P(X1 = 2)P(X2 = 2) + P(X1 = 3)P(X2 = 1) = 10521/40000 p5 = P(X = 5) = P(X1 = 2) P(X2 = 3) + P(X1 = 3)P(X2 = 2) = 567/1250 p6 = P(X = 6) = P(X1 = 3)P(X2 = 3) = 1701/8000 Vậy luật phân phối X là: X P 1/120000 1/2500 291/40000 473/7500 10521/40000 576/1250 1701/8000 b) Vì X = X1 + X2 X1 , X2 độc lập nên ta có: - Kỳ vọng X - Phương sai X M(X) = M(X1) + M(X2) = n1p1 + n2 p2 = 4,8 (với p2 = N2A/N2) D(X) = D(X1) + D(X2) = n1p1q1 + n2 p2q2(N2 – n2)/(N2 – 1)= 0,76 Bài 32: Cho hai hộp I II, hộp có 10 bi; hộp I gồm bi đỏ, bi trắng hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi a) Tính xác suất để bi trắng 37 b) Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số bi trắng có ba bi rút từ hộp II Tìm luật phân phối X Xác định kỳ vọng phương sai X Lời giải Gọi X ĐLNN số bi trắng có bi rút từ hộp II Ai (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi trắng (2–i) bi đỏ có bi lấy từ hộp I Khi A0, A1, A2 hệ biến cố đầy đủ, xung khắc đôi ta có: C0C2 P(A )= P(A ) = P(A ) = 2 28 8= ; 45 C102 C1 C1 = 45 C102 C2 C0 = 16 ; 45 C102 Với k = 0, 1, 2, theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(X= k) = P(A0)P(X=k/A0) + P(A1)P(X=k/A1) + P(A2)P(X= k/A2) a) Xác suất để ba bi trắng là: P(X= 3) = P(A0)P(X=3/A0) + P(A1)P(X=3/A1) + P(A2)P(X= 3/A2) Mà P(X = 3/ A0) = C3C0 ; = 220 10 = 220 ; C12 CC P(X = 3/ A1) = P(X = 3/ A2) = nên P(X= 3) = 73/2475 b) Luật phân phối X có dạng: X P p0 đó, tương tự ta có: 38 p1 p2 C12 C3C0 C12 p3 20 = 220 p = P(X= 0)= 28 45 C0C3 + 16 C0C3 C 45 12 p = P(X = 1)= 28 45 CC C + p = P(X= 2)= 28 45 C2C1 C + + 45 C CC 16 C 12 + CC 45 p3 = P(X= 3) = 73/2475 Suy luật phân phối X là: X P = 179 / 825; = 223 / 450; 12 C52C17 + C26C16 12 45 C 12 16 6 12 45 12 C C0C3 45 C123 = 1277 / 4950; C123 179/825 223/450 1277/4950 73/2475 Từ suy kỳ vọng X M(X) = 1,1 phương sai X D(X) = 0,5829 Bài 33: Có ba lơ sản phẩm, lơ có 20 sản phẩm Lơ thứ i có i+4 sản phẩm loại A (i = 1, 2, 3) a) Chọn ngẫu nhiên lơ từ lơ lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm loại A b) Từ lô lấy sản phẩm Gọi X tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy Tìm luật phân phối X tính Mod(X), M(X), D(X) Lời giải a) Gọi C biến cố sản phẩm lấy có sản phẩm loại A Gọi A1, A2, A3 biến cố chọn lơ I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = P(A2) = P(A 3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(C) = P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/ A2)+ P(A3)P(C/A3) Theo Công thức xác suất lựa chọn: P(C / A ) = P(C / A ) = P(C / A ) = C15C152  1140 C320 C1 C  C320 14 C17C132 C320 Suy P(C)= 0,4728 b) Luật phân phối X có dạng: 39 525 ; 546 ; 546 1140  1140 X P p0 p1 p2 p3 Gọi Bj (j = 1, 2, 3) biến cố lấy sp loại A từ lô thứ j Khi B1, B2, B3 độc lập 15 13 P(B1) = 20 ; P(B1) = 20 ; 14 P(B2 ) = 20 ; P(B2) = 20 ; P(B3) = 20 ; P(B3) = 20 Ta có   " X = " = B1B B ⇒ P(X = 0) = P(B1 )P(B )p(B ) = 273 / 800 " X = 1" = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒ P(X = 1) = P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2)P(B3) = 71 / 160  " X = 2" = B1B2B3 + B1B2B3 + B1B2B3 ⇒ P(X = 2) = P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2)P(B3) + P(B1)P(B2 )P(B3) = 151 / 800  " X = 3" = B1B2B3 ⇒ P(X = 3) = P(B1)P(B2)P(B3) = 21 / 800 Vậy luật phân phối X X P 273/800 71/160 151/800 21/800 Từ luật phânphối X ta suy mode, kỳ vọng phương sai X : - Mode: Mod(X) = - Kỳ vọng: M(X) = 0,9 Phương sai: D(X) = 0,625 - Bài 34: Một người có chìa khóa bề ngồi giống nhau, có chìa mở cửa Người tìm cách mở cửa cách thử chìa mở cửa thơi (tất nhiên, chìa khơng mở loại ra) Gọi X số chìa khóa người sử dụng Tìm luật phân phối X Hỏi người thường phải thử chìa mở cửa? Trung bình người phải thử chìa mở cửa? Lời giải Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 1, 2, 3, Luật phân phối X có dạng: X P p1 p2 p3 p4 Gọi Aj (j = 1,2, 3, 4) biến cố chìa khóa chọn lần thứ j mở cửa Khi đó: P(X=1) = P(A1) = 2/5 40 P(X = 2) = P(A1A2) = P(A1)P(A2 / A1) = (3 / 5)(2 / 4) = / 10; P(X = 3) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2) = (3 / 5)(2 / 4)(2 / 3) = / P(X = 4) = P(A1A2A3A4 ) = P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2)P(A4 / A1A2A3)  (3/5)(2/ 4)(1/ 3)(2/ 2) = 1/10 Vậy luật phân phối X là: X P 2/5 3/10 1/5 1/10 Từ luậtphân phối ta suy ra: – Mode X Mod(X) = - Kỳ vọng X M(X) = ∑x i p i = Bài 35: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn trúng mục tiêu ngay, khơng săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải a) Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 1, 2, , Luật phân phối X có dạng: X P p1 p2 p3 p4 p5 Gọi Aj (j = 1,2, , 5) biến cố viên đạn thứ j trúng đích Khi đó: P(A j ) = 0, 8; P(A j ) = 0, Ta có: P(X=1) = P(A1) = 0,8 P(X = 2) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 0,2.0,8 = 0,16; P(X = 3) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,2.0,2.0,8 = 0,032; P(X = 4) = P(A1A2A3A4 ) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4 ) = 0,2.0,2.0,2.0,8 = 0,0064; P(X = 5) = P(A1A2A3A4 ) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4 ) = 0,2.0,2.0,2.0,2 = 0,0016 Vậy luật phân phối X là: X P 0,8 b) Từ luật phân phối X ta suy ra: – Kỳ vọng X M(X) = 1,2496 – Phương sai X D(X) = 0,3089 41 0,16 0,032 0,0064 0,0016 Bài 36: Một người thợ săn có viên đạn Người săn với nguyên tắc: bắn viên trúng mục tiêu ngay, khơng săn Biết xác suất trúng đích viên đạn bắn 0,8 Gọi X đại lượng ngẫu nhiên số viên đạn người sử dụng săn a) Tìm luật phân phối X b) Tìm kỳ vọng phương sai X Lời giải a) Ta thấy X ĐLNN rời rạc nhận giá trị: 2, 3, Luật phân phối X có dạng: X P p2 p3 p4 Gọi Aj (j = 1,2, 3, 4) biến cố viên đạn thứ j trúng đích Khi đó: P(A j ) = 0, 8; P(A j ) = 0, Ta có: P(X = 2) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 0,8.0,8 = 0,64; P(X = 3) = P(A1A2A3 + A1A2A3) = P(A1A2A3) + P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 = 0,256 P(X = 4) = P(A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3)  P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3)  0,2.0,2.0,2 + 0,8.0,2.0,2 + 0,2.0,8.0,2 + 0,2.0,2.0,8 = 0,104 Vậy luật phân phối X là: X P 0,64 0,256 0,104 b) Từ luật phân phối X ta suy ra: – Kỳ vọng X M(X) = 2,464 – Phương sai X D(X) = 0,456704 –––––––––––––– * ––––––––––––– 42 ... phân phối Poisson: X1 ∼ P(a1) với a1 = n1p1 = 1000.0,0002 =0,2, nghĩa X1 ∼ P(0,2) - Tương tự, gọi X2, X3 ĐLNN số linh kiện B, C bị hỏng máy tính Khi đó, X2 , X3 có phân phối Poisson sau: X2 ∼ P(800.0,0125%)... 151/800 21/800 Từ luật phânphối X ta suy mode, kỳ vọng phương sai X : - Mode: Mod(X) = - Kỳ vọng: M(X) = 0,9 Phương sai: D(X) = 0,625 - Bài 34: Một người có chìa khóa bề ngồi giống nhau, có chìa mở... bị diệt b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Lời giải Tóm tắt: - Số viên bắn ra: 10 viên - Xác suất trúng viên: 0,8 Số viên trúng 2–9 10 Xác suất mục tiêu bị diệt 20% 80% 100%