Biểu diễn dương của ma trận đa thức không âm trên các dải trong ℝ

Dựa vào biểu diễn dương của đa thức (đa thức hệ số thực) không âm trên các dải trong ℝ2 có dạng

1 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 BIỂU DIỄN DƯƠNG CỦA MA TRẬN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN CÁC DẢI TRONG ℝ𝟐 CĨ DẠNG 𝑼 × ℝ VỚI 𝑼 ⊆ ℝ LÀ TẬP COMPACT Vũ Thị Thơm* Hoàng Thị Thoa** Tóm tắt Dựa vào biểu diễn dương đa thức (đa thức hệ số thực) không âm dải ℝ có dạng 𝑈 × ℝ, 𝑈 ⊆ ℝ tập compact tài liệu [1], chúng tơi trình bày chứng minh biểu diễn dương cho ma trận đa thức (đa thức hệ số ma trận) khơng âm 𝑈 × ℝ Cụ thể, chúng tơi trình bày cho ma trận đa thức đường chéo sau ma trận đa thức đối xứng Từ khóa: biểu diễn dương, ma trận đa thức không âm Giới thiệu Lớp đa thức khơng âm tồn khơng gian nghiên cứu lâu cho nhiều kết quan trọng, tiêu biểu toán thứ 17 Hilbert biểu diễn đa thức không âm ℝ𝑡 Tuy nhiên, lớp đa thức không âm miền nói chung lớp đa thức khơng âm dải ℝ𝑡 nói riêng cịn nhiều vấn đề chưa giải Do vậy, năm gần đây, vấn đề biểu diễn đa thức không âm miền nhà khoa học nghiên cứu mở rộng mặt toán học ứng dụng chúng kĩ thuật công nghệ Đặc biệt biểu diễn ma trận đa thức không âm dải ℝ𝑡 vấn đề hấp dẫn Trong báo này, phát biểu chứng minh biểu diễn dương cho ma trận đa thức không âm dải 𝑈 × ℝ, 𝑈 ⊆ ℝ tập compact Điều trình bày cụ thể Mệnh đề Định lý 4, hai kết báo, cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho biểu diễn dương ma trận đa thức Các biểu diễn dương đa thức không âm biểu diễn dương ma trận đa thức khơng âm có ích việc giải toán thiết kế lọc xác định hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân Một số khái niệm Trong báo, kí hiệu ℝ[𝑋] ≔ ℝ[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] vành đa thức hệ số thực 𝑛 biến ∑ ℝ[𝑋]2 tổng bình phương ℝ[𝑋] Cho tập hữu hạn 𝑆 = {𝑠0 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑘 } ⊆ ℝ[𝑋], kí hiệu 𝐾𝑆 = {𝑎 ∈ ℝ𝑛 |𝑠𝑖 (𝑎) ≥ ∀𝑖 = 0, … , 𝑘} tập nửa đại số đóng sinh 𝑆, 𝑇𝑆 tiền thứ tự ℝ[𝑋] sinh 𝑆, tập 𝑇𝑆 gồm phần tử 𝑖 𝑖 có dạng ∑𝑖 𝜎𝑖 𝑠 𝑖 , 𝑠 𝑖 = 𝑠𝑜0 … 𝑠𝑘𝑘 , 𝑖 = (𝑖0 , … , 𝑖𝑘 ), 𝑖𝑝 nhận giá trị với 𝑝 = 0, … , 𝑘 𝜎𝑖 tổng bình phương ℝ[𝑋], 𝑇𝑆 viết dạng tập * ThS, Trường Đại học Phú Yên ThS ** TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN hợp sau 𝑖 𝑖 𝜎𝑖 ∈ ∑ ℝ[𝑋]2 , 𝑠 𝑖 = 𝑠𝑜0 … 𝑠𝑘𝑘 , 𝑇𝑆 = {∑𝑖 𝜎𝑖 𝑠 | } 𝑖 = (𝑖0 , … , 𝑖𝑘 ), 𝑖𝑝 ∈ {0,1} ∀𝑝 = 1, … , 𝑘 Với 𝑈 ⊆ ℝ tập compact, báo giả sử 𝑈 = [𝑎1 , 𝑏1 ] ∪ [𝑎2 , 𝑏2 ] ∪ … ∪ [𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 ], 𝑎1 ≤ 𝑏1 < 𝑎2 ≤ 𝑏2 < ⋯ < 𝑎𝑘 ≤ 𝑏𝑘 Và định nghĩa tập 𝑆 ⊆ ℝ[𝑥] tương tự tài liệu [1] sau 𝑆 = {𝑥 − 𝑎1 , (𝑥 − 𝑎2 )(𝑥 − 𝑏1 ), … , (𝑥 − 𝑎𝑘 )(𝑥 − 𝑏𝑘−1 ), 𝑏𝑘 − 𝑥} Để thuận tiện, ta đặt 𝑠0 = 𝑥 − 𝑎1 , 𝑠1 = (𝑥 − 𝑎2 )(𝑥 − 𝑏1 ), … , 𝑠𝑘−1 = (𝑥 − 𝑎𝑘 )(𝑥 − 𝑏𝑘−1 ), 𝑠𝑘 = 𝑏𝑘 − 𝑥 Khi 𝑆 = {𝑠0 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑘 } ⊆ ℝ[𝑥] Dễ thấy, tập nửa đại số đóng sinh 𝑆 ℝ (tương ứng ℝ2 ) 𝑈 (tương ứng 𝑈 × ℝ) Xét tập hợp ℳ𝑚 (ℝ[X]) tập hợp ma trận đa thức cấp 𝑚 Ma trận 𝐀 ∈ ℳ𝑚 (ℝ[X]) phần tử ma trận 𝐀 đa thức ℝ[𝑋] hay 𝐀 =[𝑓𝑖𝑗 (𝑋)] , 𝑖 𝑚×𝑚 𝑓𝑖𝑗 (𝑋) ∈ ℝ[𝑋] Khi 𝒮𝑚 (ℝ[𝑋]) = {𝐀 ∈ ℳ𝑚 (ℝ[X]) | 𝐀T = 𝐀} Mỗi phần tử có dạng 𝐀T 𝐀 với 𝐀 ∈ 𝒮𝑚 (ℝ[𝑋]) gọi bình phương Hermit tổng có dạng ∑𝑘𝑖=0 𝐀𝑇𝑖 𝐀𝑖 , 𝑘 ∈ ℕ gọi tổng bình phương Hermit Ta có 𝑁 ∑ A𝛼 𝑋 𝛼 = 𝐀, |𝛼|=0 𝛼 𝛼 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑡 ) ∈ ℕ , |𝛼| ≔ 𝛼1 + ⋯ + 𝛼𝑡 , 𝑋 𝛼 ≔ 𝑥1 … 𝑥𝑡 𝑡 , A𝛼 ∈ ℳ𝑚 (ℝ), 𝑁 giá trị |𝛼| lớn Khi 𝐀 ∈ ℳ𝑚 (ℝ[X]) Do đó, đa thức với hệ số ma trận xem ma trận đa thức Để thống nhất, báo đa thức với hệ số ma trận xem xét ma trận đa thức Cho 𝐀 ∈ ℳ𝑚 (ℝ[X]) gọi nửa xác định dương 𝑦 𝑇 𝐀𝑦 ≥ với 𝑦 ∈ ℝ𝑚 , kí hiệu 𝐀 ≽ 𝐀 gọi xác định dương 𝑦 𝑇 𝐀𝑦 > với 𝑦 ∈ ℝ𝑚 \{0}, kí hiệu 𝐀 ≻ Và 𝐷(𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 ), 𝑟 ≤ 𝑚 ma trận đường chéo với phần tử đường chéo 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 , 0, … ,0, 𝑑𝑖 ∈ ℝ[X] với 𝑖 = 1, … , 𝑟 Các khái niệm liên quan đến phần mà không nhắc đến báo xem [1], [2] [3] Kết Dưới hai kết trích từ tài liệu tham khảo [1] [2], sử dụng để chứng minh Mệnh đề Định lý Định lý [1] Giả sử 𝑈 S định nghĩa trên, 𝑇𝑆 tiền thứ tự sinh S ℝ[𝑥, 𝑦] Khi đó, đa thức hệ số thực 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ[𝑥, 𝑦] khơng âm 𝑈 × ℝ 𝑓 ∈ 𝑇𝑆 Bổ đề [4] Cho 𝐀 ∈ 𝒮𝑚 (ℝ[𝑋]) Khi đó, tồn đa thức khác khơng 𝑏, 𝑑𝑖 ∈ ℝ[X], 𝑗 = 1, … , 𝑟, 𝑟 ≤ 𝑚, ma trận 𝐗 + , 𝐗 − ∈ ℳ𝑚 (ℝ[X]) cho 𝐗 + 𝐗 − = 𝐗 − 𝐗 + = 𝑏𝐈𝑛 , 𝑏 𝐀 = 𝐗 + 𝐃 𝐗 𝑇+ , 𝐃 = 𝐗 − 𝐃 𝐗 𝑇− , D = 𝐷(𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 ) ma trận đường chéo cấp m với hệ số đường chéo 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 , 0, … ,0 𝑡 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 Định lý 1trong báo chúng tơi trích dẫn từ tài liệu [1], kết Victoria Power Ha Nguyen (năm 2012) làm rõ từ định lý biểu diễn dương trường hợp tổng quát nhà toán học Marshall, cụ thể đa thức hệ số thực 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ[𝑥, 𝑦] không âm 𝑈 × ℝ với 𝑈 ⊆ ℝ tập compact 𝑓 ∈ 𝑇𝑆 Dựa vào kết đó, chúng tơi trình bày chứng minh biểu diễn dương cho đa thức hệ số ma trận (ma trận đa thức) khơng âm 𝑈 × ℝ Mệnh đề Cho D = 𝐷(𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 ), 𝑟 ≤ 𝑚 ma trận đường chéo 𝑑𝑖 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦] với 𝑖 = 1, , 𝑟 Khi đó, 𝐃 ≽ dải 𝑈 × ℝ tồn 𝑗 ∗ , 𝑙∗ ∈ ℕ ma trận đường chéo 𝐀𝑗𝑙 ∈ 𝒮𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) với 𝑗 = 0, … , 𝑗 ∗ , 𝑙 = 0, … , 𝑙∗ cho 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝐃 = ∑ ∑(𝐀𝑗𝑙 ) 𝐀𝑗𝑙 𝑠 𝑗 , 𝑗=1 𝑙=1 𝑗 𝑠𝑜0 𝑗 𝑗 … 𝑠𝑘𝑘 , 𝑠 = 𝑗 = (𝑗0 , … , 𝑗𝑘 ), 𝑗𝑝 ∈ {0,1} với 𝑝 = 0, … , 𝑘 Chứng minh: Giả sử 𝐃 ≽ dải 𝑈 × ℝ Với 𝑖 = 1, … , 𝑟, ta có 𝑑𝑖 = 𝑒𝑖𝑇 𝐃𝑒𝑖 ≥ 𝑈 × ℝ nên theo Định lý ta suy 𝑑𝑖 ∈ 𝑇𝑆 , tức tồn 𝑗 ∗ ∈ ℕ, 𝑗 ∗ ≤ 2𝑘+1 𝜎𝑖𝑗 ∈ ∑ ℝ[𝑥, 𝑦]2 cho 𝑗∗ 𝑑𝑖 (𝑥, 𝑦) = ∑ 𝜎𝑖𝑗 𝑠 𝑗 , 𝑗=0 𝑗 𝑗 𝑠𝑜0 𝑗 … 𝑠𝑘𝑘 , ∗ 𝑠 = 𝑗 = (𝑗0 , … , 𝑗𝑘 ), 𝑗𝑝 ∈ {0,1} với 𝑝 = 0, … , 𝑘 Vì ∑ ℝ[𝑥, 𝑦] nên tồn 𝑙 ∈ ℕ 𝑔𝑖𝑗𝑙 (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ[𝑥, 𝑦] cho 𝜎𝑖𝑗 ∈ 𝑙∗ (𝑥, 𝑦) 𝜎𝑖𝑗 = ∑ 𝑔𝑖𝑗𝑙 𝑙=0 Khi D = 𝐷(𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 ) 𝑗∗ 𝑗∗ = 𝐷(∑𝑗=0 𝜎1𝑗 𝑠 𝑗 , … , ∑𝑗=0 𝜎𝑟𝑗 𝑠 𝑗 ) = 𝐷(𝜎10 , … , 𝜎𝑟0 )𝑠 + ⋯ + 𝐷(𝜎1𝑗 ∗ , … , 𝜎𝑟𝑗 ∗ )𝑠 𝑗 ∗ ∗ ∗ (𝑥, (𝑥, = 𝐷 (∑𝑙𝑙=0 𝑔10𝑙 𝑦), … , ∑𝑙𝑙=0 𝑔𝑟0𝑙 𝑦)) 𝑠 + ⋯ + ∗ ∗ 2 𝑙 𝑗 + 𝐷 (∑𝑙𝑙=0 𝑔1𝑗 ∗ 𝑙 (𝑥, 𝑦), … , ∑𝑙=0 𝑔𝑟𝑗 ∗ 𝑙 (𝑥, 𝑦)) 𝑠 ∗ 2 2 ) = (𝐷(𝑔101 , … , 𝑔𝑟01 + ⋯ + 𝐷(𝑔10𝑙 ∗ , … , 𝑔𝑟𝑜𝑙 ∗ )) 𝑠 +…+ 2 2 𝑗∗ + (𝐷(𝑔1𝑗 ∗ , … , 𝑔𝑟𝑗 ∗ ) + ⋯ + 𝐷(𝑔1𝑗 ∗ 𝑙 ∗ , … , 𝑔𝑟𝑗 ∗ 𝑙 ∗ )) 𝑠 Với 𝑙 = 0, … , 𝑙∗ , ta đặt 𝐀0𝑙 = 𝐷(𝑔10𝑙 , … , 𝑔𝑟𝑜𝑙 ) 𝐀1𝑙 = 𝐷(𝑔11𝑙 , … , 𝑔𝑟1𝑙 ) … 𝐀𝑗∗ 𝑙 = 𝐷(𝑔1𝑗∗ 𝑙 , … , 𝑔𝑟𝑗 ∗ 𝑙 ) 𝑇 2 Khi (𝐀𝑗𝑙 ) 𝐀𝑗𝑙 = 𝐷(𝑔1𝑗𝑙 , … , 𝑔𝑟𝑗𝑙 ) với = 0, … , 𝑗 ∗ , 𝑙 = 0, … , 𝑙∗ Từ suy TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 𝑙∗ 𝑙∗ 𝑇 𝐃 = (∑(𝐀0𝑙 )𝑇 𝐀0𝑙 ) 𝑠 + ⋯ + (∑(𝐀𝑗∗ 𝑙 ) 𝐀𝑗∗ 𝑙 ) 𝑠 𝑗 𝑙=1 ∗ 𝑙=1 hay 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝐃 = ∑ ∑(𝐀𝑗𝑙 ) 𝐀𝑗𝑙 𝑠 𝑗 𝑗=1 𝑙=1 ∗ ∗ Ngược lại, giả sử tồn 𝑗 , 𝑙 ∈ ℕ ma trận đường chéo 𝐀𝑗𝑙 ∈ 𝒮𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) với 𝑗 = 0, … , 𝑗 ∗ ; 𝑙 = 0, … , 𝑙∗ cho 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝐃 = ∑ ∑(𝐀𝑗𝑙 ) 𝐀𝑗𝑙 𝑠 𝑗 𝑗=1 𝑙=1 Khi đó, với 𝑦 ∈ ℝ𝑚 bất kỳ, ta có 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝑦 𝑇 𝐃𝑦 = ∑ ∑(𝐀𝑗𝑙 𝑦) (𝐀𝑗𝑙 𝑦) 𝑠 𝑗 ≥ 𝑗=1 𝑙=1 dải 𝑈 × ℝ Từ suy 𝐃 ≽ dải × ℝ Định lý Cho F ∈ 𝒮𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) Khi đó, 𝐅 ≽ dải 𝑈 × ℝ tồn 𝑗 ∗ , 𝑙∗ ∈ ℕ ma trận 𝐕𝑗𝑙 ∈ ℳ𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) với 𝑗 = 0, … , 𝑗 ∗ , 𝑙 = 0, … , 𝑙∗ cho 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝑏 𝐅 = ∑ ∑(𝐕𝑗𝑙 ) 𝐕𝑗𝑙 𝑠 𝑗 , 𝑗=1 𝑙=1 𝑗 𝑗 𝑠𝑜0 𝑗 … 𝑠𝑘𝑘 , 𝑠 = 𝑗 = (𝑗0 , … , 𝑗𝑘 ), 𝑗𝑝 ∈ {0,1} với 𝑝 = 0, … , 𝑘 Chứng minh: Vì F ∈ 𝒮𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) nên theo Bổ đề tồn đa thức khác không 𝑏, 𝑑𝑖 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦], 𝑖 = 1, … , 𝑟, 𝑟 ≤ 𝑚, ma trận 𝐗 + , 𝐗 − ∈ ℳ𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) cho 𝐗 + 𝐗 − = 𝐗 − 𝐗 + = 𝑏𝐈𝑛 , 𝑏 𝐅 = 𝐗 + 𝐃 𝐗 𝑇+ , 𝐃 = 𝐗 − 𝐅 𝐗 𝑇− , D = 𝐷(𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 ) ma trận đường chéo cấp m với hệ số đường chéo 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑟 , 0, … ,0 Vì 𝐅 ≽ dải 𝑈 × ℝ nên với 𝑖 = 1, … , 𝑟 ta có 𝑑𝑖 = 𝑒𝑖𝑇 𝐃𝑒𝑖 = 𝑒𝑖𝑇 𝐗 − 𝐅 𝐗 𝑇− 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖𝑇 𝐃𝑣𝑖 ≥ 𝑈 × ℝ với 𝑣𝑖 = 𝐗 𝑇− 𝑒𝑖 ∈ ℝ𝑚 Do 𝐃 ≽ dải 𝑈 × ℝ Theo Mệnh đề 3, tồn 𝑗 ∗ , 𝑙 ∗ ∈ ℕ ma trận đường chéo 𝐀𝑗𝑙 ∈ 𝒮𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) với 𝑗 = 0, … , 𝑗 ∗ , 𝑙 = 0, … , 𝑙∗ cho 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝐃 = ∑ ∑(𝐀𝑗𝑙 ) 𝐀𝑗𝑙 𝑠 𝑗 , 𝑗=1 𝑙=1 𝑗 𝑠 = 𝑗 𝑠𝑜0 𝑗 … 𝑠𝑘𝑘 , 𝑗 = (𝑗0 , … , 𝑗𝑘 ), 𝑗𝑝 ∈ {0,1} với 𝑝 = 0, … , 𝑘 Khi 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝑏 𝐅 = 𝐗 + 𝐃 𝐗 𝑇+ = ∑ ∑(𝐀𝑗𝑙 𝐗 𝑇+ ) (𝐀𝑗𝑙 𝐗 𝑇+ ) 𝑠 𝑗 𝑗=1 𝑙=1 Đặt 𝐕𝑗𝑙 = 𝐀𝑗𝑙 𝐗 𝑇+ 𝑗 = 0, … , 𝑗 ∗ , 𝑙 = 0, … , 𝑙 ∗ Khi TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 * 2017 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝑏 𝐅 = ∑ ∑(𝐕𝑗𝑙 ) 𝐕𝑗𝑙 𝑠 𝑗 𝑗=1 𝑙=1 ∗ ∗ Ngược lại, giả sử tồn 𝑗 , 𝑙 ∈ ℕ ma trận 𝐕𝑗𝑙 ∈ ℳ𝑚 (ℝ[𝑥, 𝑦]) với 𝑗 = 0, … , 𝑗 ∗ , 𝑙 = 0, … , 𝑙∗ cho 𝑗∗ 𝑙∗ 𝑇 𝑏 𝐅 = ∑ ∑(𝐕𝑗𝑙 ) 𝐕𝑗𝑙 𝑠 𝑗 𝑗=1 𝑙=1 𝑚 Với 𝑦 ∈ ℝ bất kỳ, ta có 𝑗∗ 𝑏 (𝑦 𝑇 𝑙∗ 𝑇 𝐃𝑦) = ∑ ∑(𝐕𝑗𝑙 𝑦) (𝐕𝑗𝑙 𝑦) 𝑠 𝑗 ≥ 𝑗=1 𝑙=1 dải 𝑈 × ℝ Từ suy 𝐅 ≽ dải 𝑈 × ℝ [1] [2] [3] [4] TÀI LIỆU THAM KHẢO Ha Nguyen, Victoria Powers (2012), Polynomials non-negative on strips and halfstrips, Journal of Pure and Applied Algebra, 2225-7232 M Marshall (2010), Polynomials non-negative on a strip, Proceedings AMS 138, 1559-1567 Hoàng Thị Thoa (2016), Biểu diễn đa thức không âm ứng dụng, Thạc sĩ, Đại học Quy Nhơn C.T.Lê (2015), Some positivstellensä tze for polynomial matrices, Positivity, 19(3): 513-528 Abstract Positive expression for non-negative polynomal matrices on strips of the form 𝑼 × ℝ in ℝ𝟐 where 𝑼 ⊆ ℝ is compact Based on the positive expression for non-negative polynomals on strips of the form 𝑈 × ℝ in ℝ2 , where 𝑈 ⊆ ℝ is compact, at article [1], we present and prove the positive expression for non-negative polynomal matrices or polynomals with coefficients of matrices In concrete, we show diagonal polynomal matrices and then polynomial symmetric matrices Keywords: Positive expression, non-negative polynomal matrices ... A