Ma trận đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Phượng MA TRẬN ĐA THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Phượng MA TRẬN ĐA THỨC Chuyên ngành: Toán hình KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Sau thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung khóa luận với giúp đỡ nhiệt tình tận tâm giảng viên hướng dẫn ThS Phạm Thanh Tâm Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Sự động viên tin tưởng Thầy nguồn động lực để em hoàn thành khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn tới tất Thầy Cô giáo trường ĐHSPHN2 Đặc biệt Thầy Cô giáo khoa Toán trường ĐHSPHN2 , người bạn giúp đỡ em nhiều trình làm khóa luận Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè người thân động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt qua trình học tập vừa qua Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi sai sót cách trình bày Mong góp ý, xây dựng Thầy Cô bạn Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Phượng i Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm Thầy Cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình ThS Phạm Thanh Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài " Ma trận đa thức" trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Phượng ii Mục lục Lời mở đầu iii Danh mục kí hiệu chữ viết tắt v Ma trận 1.1 Định nghĩa 1.2 Các phép toán ma trận 10 1.3 Bài tập 12 Toán tử tuyến tính 19 2.1 Giá trị riêng, vectơ riêng đa thức đặc trưng 19 2.2 Chéo hóa ma trận 23 2.3 Không gian bất biến 27 2.4 Toán tử đa thức đa thức cực tiểu 29 2.5 Bài tập 32 Ma trận đa thức 36 3.1 Định nghĩa 36 3.2 Tính chất 36 3.3 Bài tập 47 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Tài liệu tham khảo 51 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Lời mở đầu Lý chọn đề tài Có thể nói Đại số tuyến tính môn học quan trọng Nó coi sở cho tất môn toán mà sinh viên học Trong ma trận đa thức vấn đề lý thú quan trọng Nó có nhiều ứng dụng chuyên ngành khác : Giải tích, hình học, Vì đề tài ma trận đa thức đề tài hấp dẫn nhiều lớp sinh viên yêu thích môn Đại số tuyến tính Đặc biệt trình học tập môn học em tiếp thu số kiến thức: Ma trận, định thức, vectơ riêng, giá trị riêng Chính kiến thức tạo cho em niềm say mê muốn tìm hiểu kĩ ma trận đa thức Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nghiên cứu kiến thức ma trận đa thức Đối tượng nghiên cứu Ma trận đa thức số tập liên quan Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ma trận đa thức số dạng tập liên quan phạm vi môn Đại số tuyến tính Giả thuyết khoa học Xây dựng hệ thống tập ma trận đa thức làm thành tài liệu giúp bạn sinh viên khóa sau thấy vai trò môn Đại số tuyến tính iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến ma trận đa thức Nghiên cứu số định lý tập ma trận đa thức Phương pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích, tập giải minh họa tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương Chương 1: Ma trận Chương 2: Toán tử tuyến tính Chương 3: Ma trận đa thức Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Phượng iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập số thực Q tập số hữu tỉ R∗ tập số thực khác Rn không gian Euclid n chiều Ker φ hạt nhân φ U⊆V U tập V x∈U x thuộc tập U x∈ /U x không thuộc tập U ∀x ∈ U với x thuộc tập U ∃v tồn v rank (φ − λi In ) hạng ma trận (φ − λi In ) ⊕ tổng trực tiếp v Chương Ma trận 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ma trận m dòng, n cột trường K gọi ma trận kích thước m×n Ta kí hiệu ma trận M(m×n;K) Ma trận vuông ma trận có số cột số dòng, ta kí hiệu M(n×n;K) hay đơn giản M(n;K) n gọi cấp ma trận Ta thường kí hiệu ma trận chữ in hoa: A, B, Hai cách viết ma trận là:     a · · · a1n a · · · a1n    11  11     A=  ;B =      am1 · · · amn am1 · · · amn Có thể viết ma trận cách đơn giản A = (aij )(m×n) Khi biết rõ m n ta viết A = (aij ); aij ∈ K ; ≤ i ≤ m ; 1≤ j ≤ n Ma trận có dòng (một cột) ta gọi ma trận dòng (ma Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Ví dụ 3.2.1    Tính A10 Cho A =  −1 Cách 1: Áp dụng mệnh đề 3.2 ta có: A2 = 5A − 6I2 Khi ta tính lũy thừa ma trận A A3 = A.A2 = A.(5A − 6I2 ) = 19A − 30I2 A4 = A.A3 = A.(19A − 30I2 ) = 65A − 114I2 A5 = A.A4 = A.(65A − 114I2 ) = 211A − 390I2 A6 = A.A5 = A.(211A − 390I2 ) = 665A − 1266I2 A7 = A.A6 = A.(665A − 1266I2 ) = 2059A − 3990I2 A8 = A.A7 = A.(2059A − 3990I2 ) = 6305A − 12354I2 A9 = A.A8 = A.(6305A − 12354I2 ) = 19171A − 37830I2 A10 = A.A9 = A.(19171A − 37830I2 ) = 58025A − 115026I2 Vậy: A10 = 58025A − 115026I2 Cách 2: Đa thức đặc trưng ma trận A là: PA (t) = t2 - 5t + Xét đa thức f(t) = t10 ; ta chia f(t) cho PA (t) Từ ta có: t10 = (t - 2)(t - 3).q(t)+(at + b) • Cho t = ta được: 2a + b = 210 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG • Cho t = ta được: 3a + b = 310 Suy a = 310 - 210 ; b = 3.210 - 310 Vì t10 = PA (t).q(t)+ (310 - 210 ).t + (3.210 - 310 ) Khi ta có: A10 = (310 - 210 ).A + (3.210 - 310 ).I2 Ví dụ 3.2.2  Cho A =   a  Tính An b Hướng dẫn: Theo định lý Cayley - Hamilton ta có:   a  A2 = (a + d)A − abI =  b   a  A3 = (a + d)A2 − abA =  b Từ ta :   n a  An =  n b Suy :      n+1 a a a  =  = An A =  n n+1 b b b n An+1 Vậy (1) với n = 1,2,3, 39 (1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Với A ma trận dạng đặc biệt ta hoàn toàn đoán An nhiên A ma trận bất kì, ta khó tìm quy luật để dự đoán An Bây ta suy nghĩ đến việc sử dụng định lý Cayley - Hamilton để giải toán Trước hết ta thấy đa thức đặc trưng đa thức bậc 2, phân tích A2 - (a+d)A + (ad - bc)I = thành (A - αI)(A - βI) = +) TH1: α̸=β Khi đó, từ (A - αI)(A - βI) = ta suy (A - αI)A = (A - αI)β Từ theo quy nạp ta dề dàng chứng minh được: (A - αI)An = (A - αI)β n (i) Hoàn toàn tương tự ta có: (A - βI)An = (A - βI)αn (ii) Lấy (ii) - (i) ta được: (α - β)An = (αn - β n )A - (αn β -α β n )I Suy ra: An = αn −β n α−β A - αβ(αn−1 −β n−1 ) I α−β (2) +) TH2: α = β Khi ta có được: (A - αI)2 = Đặt A - αI = B suy A = αI + B với B = Áp dụng khai triển nhị thức Newton: An = (αI)n + C01 (αI)n−1 B + + Bn 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Do B = nên An = αn I+ nαn−1 IB = αn I+nαn−1 ( A - αI) Suy : An = nαn−1 A - (n-1)αn I (3) Ví dụ 3.2.3   −1  Tính An Cho A =  1 Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng A là: PA (t) = t2 - 4t + Theo định lý Cayley - Hamilton: A2 - 4A + 4I = ⇒ (A − 2I)2 = Áp dụng (3) với α = ta được:   n−1 n−1 (n + 2)2 n.2  An = n.2n−1 A - (n-1)2n I =  n−1 n−1 n.2 −(n − 2)2 Trong phương pháp ta sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Nếu nhìn từ khía cạnh đa thức, đa thức đặc trưng ma trận A PA (t) = t2 − (a + d)t + ad − bc Nếu gọi α , β nghiệm PA (t) có trường hợp xảy với α β: +) Trường hợp α ̸= β Theo định lý phép chia đa thức tồn đa thức Q(t) số p, q cho: tn = [t2 - (a+d)t + ad - bc]Q(t) + pt + q Lần lượt thay t = α , t = β vào biểu thức ta thu được: 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG   α + q = αn  βp + q = β n ⇒p= αn −β n α−β q = αβ(αn−1 −β n−1 ) α−β Từ ta thu công thức (2) An = αn −β n α−β A - αβ(αn−1 −β n−1 ) I α−β +) Trường hợp α = β Khi ta có : tn = (t − α)2 Q(t) + pt + q Đạo hàm vế theo t ta : n tn−1 = 2( t - α)Q(t) + (t − α)2 Q’(t) + p Lần lượt thay t = α vào biểu thức ta có:   αn = αp + q  n.αn−1 = Suy p  p = n.αn−1  q = −(n − 1)αn Từ ta có công thức (3): An = nαn−1 A - (n-1)αn I Hệ 3.1 Cho f(t) ∈ K[t] bất kì; A ∈ M(n;K) ma trận vuông PA (t) đa thức đặc trưng A Khi r(t) phần dư đa thức f(t) chia cho PA (t) f(A) = r(A) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ví dụ 3.2.4 Cho f(t) = 10t10 NGUYỄN THỊ PHƯỢNG   −5     - 9t + - t A = 5 −7 3 Tính f(A)   −9 Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng ma trận A là: PA (t) = -t3 +t2 Thực phép chia đa thức f(t) cho đa thức đặc trưng PA (t) ta được: f(t) = (-t3 + t2 )(-10t7 - t6 - 9t3 - 2t4 -8t3 -3t2 -7t - 4)+( 6t2 - t) Suy phần dư phép chia : 6t2 - t Do f(A) = r(A) = 6A2 - A Định lý 3.2 Cho A; B hai ma trận vuông cấp f;g ∈ K[t] hai đa thức tùy ý Khi A B giao hoán với f(A) g(B) giao hoán với Chứng minh Giả sử f(A) = an An + an−1 An−1 + + a1 A + a0 In g(B) = bn B m + bm−1 B m−1 + + b1 B + b0 Im Ta giả sử deg f ≥ deg g n = deg f Ta chứng minh theo quy nạp +) Với n =1 ⇒ f(A) = a0 I + a1 A g(B) = b0 I + b1 B ; ta có f(A).g(B) =( a0 I + a1 A )(b0 I + b1 B)= a0 b0 + a1 b0 A + a0 b1 B +a1 b1 AB = (b0 +b1 B)(a0 +a1 A) = g(B)f(A) (đúng) +) Với n > ta viết: 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG f(x) = axn + f1 (x); deg f1 (x) < deg f(x) g(x) = bxn + g1 (x); deg g1 (x) < deg g(x) Ta có An B n = A( An−1 B n−1 )B =( AB n−1 )(An−1 B) = B n−1 (AB)An−1 = B n An Vậy An B n giao hoán với Mặt khác ta có: f(A) = aAn + f1 (A) g(B) = bB n + g1 (B) Ta có: An g1 (B) = An (b0 + + bk B k ); (k < n) = An b0 + + bk An B k = b0 An + + bk An−k Ak B k = b0 An + + bk An−k B k Ak = b0 An + + bk B k An = (b0 + + bk B k )An Suy An giao hoán với g1 (B) Tương tự B n giao hoán với f1 (A) f1 (A) giao hoán với g1 (B) Suy điều phải chứng minh Định lý 3.3 Cho A ∈ M ( n ; R) , f(t) ∈ K[t] λ1 , , λn giá trị riêng A f(λ1 ) , , f( λn ) giá trị riêng f(A) Chứng minh Ta có: Det(A - tIn ) = (−λ)n + + detA Thế λ1 λn = (−1)n detA (−1)n = detA Mặt khác, giả sử : f(t) = am tm + am−1 tm−1 + + a1 t + a0 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Khi đó: f (A) = am Am + am−1 Am−1 + + a1 A + a0 In f (λ) = am λm + am−1 λm−1 + + a1 λ + a0 → với λ giá trị riêng A ứng với vectơ riêng − x: → → f (A).− x = (am Am + + a0 In ).− x → → = a Am − x + + a I − x m = n → → am λm − x + + a0 − x Suy ra: → → f(A).− x = f(λ).− x Vậy f(λ) giá trị riêng f(A) Định lý 3.4 Cho đa thức f(t) ∈ K[t] , A ∈ M(n; K) ma trận vuông thỏa mãn f(A) = Khi giá trị riêng A nghiệm đa thức f(t) Mệnh đề 3.3 Cho A, B ∈ M( n ; K) , A đồng dạng với B Khi f(t) ∈ K[t] f(A) đồng dạng với f(B) Chứng minh Vì ma trận A đồng dạng với ma trận B nên tồn ma trận khả nghịch P cho: A P −1 BP = ⇒ Am = (P −1 BP )m P −1 B m P = 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG P −1 An P = (P −1 AP )n Ta có: P −1 (C + D)P = P −1 CP + P −1 DP f(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + + an tn Suy ra: f (A) = a0 I + a1 A + a2 A2 + + an An n ∑ = a i Ai = n ∑ i=0 P −1 B i P i=0 = P −1 ( n ∑ B i )P i=0 = P −1 f (B)P Suy f(A) đồng dạng với f(B)  A   · · · Mệnh đề 3.4 Cho A ma trận đường chéo khối   · · ·  ··· ···    A2 · · · · · ·   · · · · · ·  · · · · · · Ak Ai ( i =1,2, ,s) ma trận vuông , f(t) đa thức tùy ý Khi  f (A1 ) · · ·    · · · f (A2 )    ··· ···  ··· 46 ···    ··· ···   · · ·    · · · f (Ak ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Nhận xét: Kết mệnh đề hiển nhiên suy từ định nghĩa ma trận đa thức 3.3 Bài tập Bài tập 3.3.1   a b  f(t) đa thức tùy ý Tính f(A) Cho A =  c d Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng A g(t) = t2 - (a+d)t + (ad - bc) nhận A làm nghiệm, suy g(A) = Gọi α β hai nghiệm tam thức bậc Suy ra: g(t) = ( x -α )(x - β) Ta tìm dư r(t) chia f(t) cho g(t) Nếu α = β, theo khai triển Taylor ta suy ra: r(t) = f(α ) + f’(α )( x - α ) Nếu α ̸= β, ta có r(α )= f(α ) r(β ) = f(β ) Ta lại có r(t) = at + b Suy ra: a= f (α)−f (β) α−β ;b= αf (β)−βf (α) α−β Cho nên: f(t) = h(t).g(t) + f (α)−f (β) t α−β + βf (α)−αf (β) α−β Do đó: f(A) = r(A) = f (α)−f (β) α−β Vậy 47 (β) A + βf (α)−αf α−β Khóa luận tốt nghiệp Đại học f(A) = NGUYỄN THỊ PHƯỢNG f (α)−f (β) α−β A + βf (α)−αf (β) α−β (đpcm) Bài tập 3.3.2   1  Tính A50 Cho A = −1 Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng A là: PA (t) = (t − 2)2 Theo định lý Cayley - Hamilton ta có: (A − 2I)2 = Áp dụng công thức (3) với n = 50 , α = ta có: A50   50 50 −24.2 25.2  = 50.250−1 A - (50-1)250 I = 25.250 A - 49.250 I =  50 50 −25.2 26.2 Bài tập 3.3.3    Tính A100 Cho A =  −3 Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng A là: PA (t) = t2 - 5t + Áp dụng định lý Cayley - Hamilton ta có: A2 - 5A +6 = ⇒ (A-2I)(A-3I)= Áp dụng công thức (2) với n =100 , α = 3, β = ta được: A100= (3100 - 2100 )A - (2.3100 - 3.2100)I 3.2100 − 2.3100 2.3100 − 2.3100   = 100 100 100 100 −3.3 + 3.2 3.3 − 3.2 Bài tập 3.3.4 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG  −15     Cho A = 1 −5  Tính A2004   −4  Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng A là: |A − tI| = 4−t −15 3−t −5 −4 − t 2t − − t2 = 1−t t−1 −4 − t = 2(t − 1)2 − (1 − t)(1 − t)(1 + t) (1 − t)3 = Ta sử dụng thuật toán tìm đa thức cực tiểu A là: (t − 1)2 Lấy t2004 chia cho (t − 1)2 ta có: t2004 = (t − 1)2 q(t) + at + b Cho t = suy a + b = Trong (1) lấy đạo hàm cho t = suy a = 2004 b = -2003 Từ ta có: A2004 = (A − 1)2 q(A) + aA + b = 2004A - 2003I với I ma trận cấp với A Bài tập 3.3.5 Cho A ma trận vuông cấp k số nguyên dương Chứng minh 49 (1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ PHƯỢNG Ak = ⇔ A2 = Hướng dẫn:   Nếu Ak = |A| = 0, tức A =  a b  ad - bc = c d Do theo định lý Cayley - Hamilton: A2 - (a+d)A + (ad - bc) = ⇒ A2 = (a+d)A ⇒ Ak =(a + d)k A • Nếu a+d = rõ ràng Ak = ∀ k ≥ • Nếu a+ d ̸= Ak = với k ≥ ⇔ A2 = Như hai trường hợp Ak = ta suy A2 = 50 Kết luận chung Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em xây dựng hệ thống lý thuyết tập ma trận đa thức xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến định lý đại số tuyến tính nói chung ma trận đa thức nói riêng chẳng hạn định lý Cayley - Hamilton, số ví dụ tập ứng dụng định lý này, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đó thành công đề tài Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Hình học, thầy cô khoa Toán Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 51 Tài liệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa , Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội , 2005 [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng , Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 52 ... hạng ma trận (φ − λi In ) ⊕ tổng trực tiếp v Chương Ma trận 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ma trận m dòng, n cột trường K gọi ma trận kích thước m×n Ta kí hiệu ma trận M(m×n;K) Ma trận vuông ma trận. .. định thức cấp k ma trận A Định nghĩa 2.4 Cho A ∈ M(n; R) định thức det(A - tIn ) đa thức bậc n theo biến t gọi đa thức đặc trưng ma trận A kí hiệu PA (t) Ví dụ 2.1.2  Đa thức đặc trưng ma trận. .. logic đặc thù môn Nghiên cứu kiến thức ma trận đa thức Đối tượng nghiên cứu Ma trận đa thức số tập liên quan Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ma trận đa thức số dạng tập liên quan phạm vi