TÀI LIỆU ÔN TẬP SỨC BỀN VẬT LIỆU

TÀI LIỆU ÔN TẬP SỨC BỀN VẬT LIỆU VINH - 2015 CHƯƠNG NỘI LỰC TRONG BÀI TOÁN THANH 2.1 Hợp lực nội lực tiết diện - ứng lực Như trình bày chương một, nội lực thể phương pháp mặt cắt hệ lực phân bố mặt cắt xét Ứng suất cường độ nội lực, nghĩa nội lực đơn vị diện tích Việc tìm luật phân bố mặt cắt ứng suất nhiệm vụ SBVL Tuy nhiên, đối tượng nghiên cứu SBVL chi tiết hình thanh, đặc trưng mặt cắt ngang trục nên mặt cắt thường xét mặt cắt vuông góc với trục, gọ tiết diện Để đơn giản trình bày khơng làm tính tổng quát cách đặt vấn đề, ta xét toán phẳng cân tác dụng ngoại lực, hình 2.1a Hình 2.1 Ứng lực hợp lực nội lực Tưởng tượng cắt thành hai thành phần A B mặt cắt 1-1 Phần A phải cân tác động ngoại lực thuộc phần A ứng suất p phân bố mặt cắt 1-1, hình 2-1b Ta thay hệ lực phân bố tiết diện lực tập trung R đặt điểm xác định tiết diện 1-1 cho A cân bằng, hình 2-1c R gọi hợp lực nội lực tiết diện – ứng lực Theo quy tắc dời lực, đưa R đưa trọng tâm C tiến diện ta mô men tập trung M lực tập trung R ' , phân R ' thành thành phần: - N : vng góc với mặt cắt theo phương pháp tuyến - Q : lực cắt nằm mặt phẳng tiết diện, vng góc với tiếp tuyến trục 2.2 Biểu đồ ứng lực – phương pháp mặt cắt biến thiên Để tìm ứng suất tiết diện ta dùng phương pháp mặt cắt Khi cho mặt cắt biến thiên dọc theo trục ta hàm ứng lực: N(Z), Q(Z), M(Z) phụ thuộc vào hoành độ z theo trục Từ ta vẽ đồ thị hàm số (chính biểu đồ ứng lực) Thơng q ví dụ sau hiểu rõ biểu đồ ứng lực : Ví dụ 2.3 Vẽ biểu đồ ứng lực dầm công xôn chiều dài l chịu lực tập trung F mút tự Bài giải: Dùng phương pháp mặt cắt biến thiên Cắt mặt cắt 1-1 xét phần trái, đặt vào mặt cắt ứng lực: M, N, Q Áp dụng công thức (2-2) xác định nội lực: N=0 Q = - F số M = - F.z (0 z  l) hàm bậc biến thiên: Tại z =  M = 0; Tại z = l  M = -F.l Hình 2.6 Cho ví dụ 2.3 Quy tắc vẽ biểu đồ nội lực Sức bền vật liệu - Tên biểu đồ đặt ngoặc đơn (M), (N), (Q) - Biểu đồ lực dọc, lực cắt thiết phải ghi rõ dấu (+), (-) - Biểu đồ mô men uốn không cần ghi dấu đặt tung độ biểu đồ phía thớ bị căng - Sau vẽ dạng biểu đồ ta kẻ đường tung độ vng góc với trục - Độ lớn tung độ giá trị ứng lực tiết diện tương ứng 2.3 Quan hệ mô men uốn, lực cắt tải trọng ngang thẳng 2.3.1 Quan hệ vi phân (M), (Q) tải trọng phân bố q Hình 2.9 Quan hệ vi phân ứng dụng tải trọng phân bố Xét thẳng chịu tải trọng phân bố với cường độ q(z), hình 2-9 Điều kiện cân đoạn chiều dài phân tố dz hồnh độ z, mặt bên trái có tọa độ z, mặt bên phải (z + dz) là: Phân tố cân bằng: Y   Q  qdz  (Q  dQ)   dQ q dz qdz2 dM  ( M  dM )   Q dz d M dQ  q Suy ra: dz dz  M C   M  Qdz  (2-3) Từ quan hệ (2-3) ta nhận xét: - Biểu đồ ứng lực đường thẳng đường cong tuỳ theo tải trọng phân bố q - Mô men uốn đạt cực trị tiết diện có lực cắt khơng - Có thể tính giá trị ứng lực tiết diện biết giá trị ứng lực tiết diện khác: B B A A dQ  qdz   dQ   qdz  QA  QB  Sq B B A A (2-4) dM  Qdz   dM   Qdz  M A  M B  SQ (2-5) SQ, Sq tương ứng diện tích biểu đồ lực cắt tải trọng phân bố đoạn AB 2.3.2 Quan hệ bước nhảy biểu đồ mô men uốn, lực cắt tải trọng tập trung Cho thẳng (hình 2.10) chịu lực ngang tập trung Fo mô men tập trung Mo Xét cân đoạn dz có ngoại lực tập trung: ứng lực tiết diện bên trái: Mtr, Qtr, ứng lực tiết diện bên phải Mph, Qph Hình 2.10 Phương trình cân cho ta: Y   Q  Q  Q  F  M   M  M  M  M ph c tr ph (2.6) tr (2.7) M = Mph - Mtr bước nhảy mô men uốn Q = Qph – Qtr bước nhảy lực cắt Nhận xét: - Tại tiết diện đặt lực tập trung (Fo, Mo) biểu đồ (M), (Q) có bước nhảy - Bước nhảy lực cắt dương (Q > 0) ngoại lực hướng lên, mô men uốn dương mô men tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ Chiều trục z từ trái qua phải 2.4 Cách vẽ biểu đồ theo nhận xét 2.4.1 Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng Khi chịu tác dụng nhiều tải trọng, ta vẽ biểu đồ ứng lực tải trọng gây lần lượt, cộng đại số biểu đồ ứng lực để kết cuối Cách vẽ gặp thuận lợi sử dụng biểu đồ mẫu Bảng 2-1 Biểu đồ mẫu + + - + - - - + + - + - Ví dụ 2.6 Vẽ biểu đồ mơ men dầm (hình 2.11a) phương cộng biểu đồ Bài giải: Tải trọng chia thành ba trường hợp cho Vẽ biểu đồ cho trường hợp: - Trên hình 2.11b biểu đồ mơ men uốn tải trọng phân bố q = kN/m gây ra, - Trên hình 2.11c biểu đồ mơ men uốn tải trọng tập trung F gây ra, - Trên hình 2.11d biểu đồ mơ men uốn tổng cộng cần tìm, tung độ tổng đại số tung độ tiết diện tương ứng hình 2-11b,c c 2,69 m Hình 2.11 Cho ví dụ 2.6 2.4.2 Cách vẽ theo điểm Dựa quan hệ vi phân quan hệ bước nhảy giúp cho việc vẽ biểu đồ cách nhanh đơn giản cách dùng mặt cắt biến thiên Nếu biểu đồ đường cong cần ba giá trị: điểm đầu, điểm cuối nơi có cực trị, khơng có cực trị cần biết chiều lồi, lõm biểu đồ theo dấu đạo hàm cấp hai Ví dụ 2.7 Vẽ biểu đồ mơ men uốn dầm cho hình 2.12a cách vẽ theo điểm Bài giải Xác định phản lực: M M D   YB  41kN   YD  4kN Dầm phân thành ba đoạn AB, BC, CD Biểu đồ lực cắt Q: - B Trong đoạn dầm AB: Tại A có lực tập trung 15 kN nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy 15kN, lực xuống nên bước nhảy xuống - Tại B có QB= QA + SqAB= -15+(-10.1)= -25 kN Trong đoạn BC: - Tại B có lực tập trung nên bước nhảy phản lực B với YB = 41kN hướng lên Do lực cắt đoạn bằng: Qph = Qtr + Q = -25 + 41 = 16 kN; - Tại C có QC= QB + SqBC = 16 +(-10.2) = -4 kN Trong đoạn CD khơng có lực phân bố nên lực cắt số QD = -4 kN - Tìm đoạn có Q=0, giả sử điểm E - QE= QB + SqBE= -16+(-10.BE) =  BE = 1,6m Biểu đồ mô men uốn M: - Trong đoạn AB đường bậc hai có tải trọng phân bố: A khơng có mơ men ngoại lực tập trung nên biểu đồ mô men uốn khơng có bước nhảy MA = 0, MB = MA + SQAB = + - (15+25)/2 = 20 kNm - Đặt tung độ MA , MB ta vẽ biểu đồ mô men uốn đoạn AB - Trong đoạn BC biểu đồ mô men đường bậc hai: Tại E ta có mơ men cực trị: ME = MB + SQBE = -20 + 16.1,6/2 = 7,2 kNm - Trong đoạn CD biểu đồ mơ men có bước nhảy đường bậc nhất: - MCtr = ME + SQEC = -7,2 +(-0,4.4/2) = -8 kNm Tại C có mơ men ngoại lực tập trung quay chiều kim đồng hồ M0 = +12; - MCph = MCtr + M0= -8+12 =4 kNm Tại tiết diện D có MD= MC + SQCD = 4+ (-4.1) = BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 2.1 Vẽ nội lực cho dầm hình vẽ 2.1 Hình 2.1 Bài 2.2 Vẽ biểu đồ nội lực dầm cho hình 2.2 Hình 2.2 Bài 2.3 Vẽ biểu đồ nội lực dầm cho hình 2.3 Hình 2.3 Bài 2.4 Vẽ biểu đồ nội lực dầm cho hình 2.4 Bài 2.5 Vẽ biểu đồ nội lực dầm cho hình 2.5 Hình 2.5 CHƯƠNG THANH CHỊU KÉO HOẶC NÉN ĐÚNG TÂM 3.1 Ứng suất tiết diện 3.1.1 Định nghĩa Một chịu kéo hay nén tâm tiết diện tồn thành phần ứng lực lực dọc N Lực dọc dương chịu kéo, lực dọc âm chịu nén Ví dụ: Cột trụ chịu nén trọng lượng thân, dây cáp kết cấu treo, kết cấu dàn… Có thể thấy dạng chịu lực trường hợp phổ biến thẳng dùng kỹ thuật 3.1.2 Giả thiết biến dạng Để nghiên cứu, ta xét chịu kéo tâm hình 3.1a Giả thiết mặt cắt ngang hình chữ nhật Trước tiên ta vạch lên mặt đường thẳng song song vng góc với trục tạo nên vng hình 3.1a Các đường vng góc với trục đặc trưng cho tiết diện, đường song song với trục đặc trung cho lớp vật liệu Hình 3.1 Quan sát biến dạng thẳng chịu kéo tâm Trên sở quan sát ta nêu lên giả thiết tính chất biến dạng chịu kéo (nén) tâm - Các tiết diện vẵn phẳng vng góc với trục – giả thiết tiết diện phẳng Becnuli - Các lớp vật liệu dọc trục không chèn ép xô đẩy q trình biến dạng, ta bỏ qua ứng suất pháp mặt cắt song song với trục - Các thớ vật liệu dọc trục có biến dạng dài 3.1.3 Biểu thức ứng suất: Từ thí nghiệm, góc vng khơng thay đổi, nên theo định luật Hooke, ứng suất tiếp tiết diện không Ứng suất pháp  số tiết diện (vì biến dạng dài với thớ dọc) tỷ lệ với biến dạng dài:  = E  Ứng lực N tiết diện: N   dA    dA   A    A Trong đó: A N A (3-1) N: Lực dọc tiết diện xét A: Diện tích tiết diện Biểu đồ quy luật phân bố ứng suất pháp tiết diện xem hình 3-2 Hình 3.2 Biểu đồ ứng suất pháp 3.2 Biến dạng 3.2.1 Biến dạng dài dọc trục  N   Ta có: biến dạng tỉ đối E EA Với đơn vị dài dz biến dạng dài là:   với chiều dài thanh: L   dz   L L N dz EA N dz EA (3-2) (3-3) (3-4) N NL số chiều dài L: L  EA EA N  NL  số đoạn chiều dài Li: L     EA i  EA  i  EA số chiều dài L: L  N EA Khi tỷ số (3-5) (3-6) N diện tích biểu đồ lực dọc đoạn chiều dài L 3.2.2 Biến dạng dài theo phương ngang Biến dạng dài dọc trục biến dạng dài theo phương ngang trục có dấu ngược Thực nghiệm lý thuyết cho thấy độ lớn hai loại biến dạng tỷ lệ với nhau, hệ số tỷ lệ tuỳ thuộc vào loại vật liệu Ký hiệu , biến dạng dài theo phương ngang trục, hệ số tỷ lệ           (3-7) E 3.2.3 Các số đàn hồi vật liệu Độ cứng kéo, nén tiết diện Các số đàn hồi E  tìm từ thực nghiệm Hằng số E [lực/(chiều dài)2]: Mô đun đàn hồi kéo (nén), thể độ cứng kéo (nén), (biến dạng) vật liệu Hằng số : Hệ số nở ngang hay số poisson không thứ nguyên.Với loại vật liệu giá trị  nằm khoảng    0,5 Ví dụ: Giá trị E  loại vật liệu thường dùng E (kN/cm2) Vật liệu  Thép cán 2,1.10 0,30  0,05 Bê tông 2,4.10 0,2 Gạch 7,0.102 0,25 Nhận xét: - Biến dạng phụ thuộc vào tích EA - Tích lớn L nhỏ, 10 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 5.1 Xác định hệ trục mơ men qn tính trung tâm tiết diện cho hình 5.1 (kích thước theo cm) Hình 5.1 20 CHƯƠNG THANH CHỊU UỐN PHẲNG 7.1 Khái niệm chung Trong chịu uốn, có mơ men uốn lực cắt trường hợp chịu uốn ngang, cịn có mơ men uốn trường hợp chịu uốn túy Hình 7.1 Thanh chịu uốn phẳng Hình 7.2 Thanh chịu uốn không gian 7.2 Ứng suất tiết diện chịu uốn tuý 7.2.1 Các giả thiết - Trước sau biến dạng tiết diện phẳng vng góc với trục - Các lớp vật liệu dọc trục không tác dụng tương hỗ lên nhau, bỏ qua thành phần ứng suất pháp mặt song song với trục  x   y  - Tồn lớp vật liệu song song với trục có chiều dài khơng đổi, gọi lớp trung hịa Giao tuyến lớp trung hoà với tiết diện đường thẳng, gọi đường trung hoà Giả thiết hai sử dụng chương trước; giả thiết thứ ba chấp nhận xét biến dạng bé, tiết diện không biến dạng 7.2.2 Thiết lập cơng thức tính ứng suất Cơng thức tính ứng suất pháp M   x y (7-4) Ix Lấy dấu đại lượng: quy ước trục y hướng xuống, mô men dương làm căng thớ phía hay phía dương trục y 7.2.3 Biểu đồ, trị số lớn ứng suất Từ (7-4) trị số ứng suất pháp hàm bậc tỷ lệ với khoảng cách đến trục trung hồ Do theo chiều cao tiết diện biểu đồ ứng suất pháp đường thẳng, khơng đường trung hồ, đạt giá trị lớn mép giá trị nhỏ mép tiết diện, hình 7-5 Hình 7.5 Biểu đồ ứng suất pháp tiết diện Trị số lớn ứng suất pháp bằng:  max  Mx M yk  x Ix Wx ,k (7-5) Trị số nhỏ ứng suất pháp bằng: 21   Mx M yn  x Ix Wx ,n (7-6) Có thể viết gộp lại sau: M M  max  x y k   x , (lấy dấu + tính  max , dấu (-) tính  ) Ix n Wx ,k (7-7) x ,n Các đại lượng: W x ,k  I Ix W x ,n  x đặc trưng tiết diện, gọi mô men yn yk chống uốn Trường hợp tiết diện đối xứng qua trục x Wx,k  Wx,n  Wx  Các trị số  max ,  nhau:  max   Ix , h/2 Mx Wx Mô men chống uốn số tiết diện thông dụng: bh3 / 12 bh  h2 - Tiết diện hình chữ nhật b x h: Wx  - Tiết diện hình trịn đặc đường kính D: Wx  - Tiết diện hình trịn rỗng, đường kính D, tỷ số Wx  D 32 D / 64 D2  D 32  0,1D d  : D (1   )  0,1D (1   ) Đối với thép định hình, thơng số đặc trưng hình học tiết diện lập sẵn thành bảng tra 7.2.4 Điều kiện bền Trên tiết diện ta tiến hành kiểm tra bền vị trí mép mép tiết diện có trị số ứng suất pháp lớn Vì chịu uốn túy nên phân tố trạng thái ứng suất đơn Điều kiện bền là: M (7-8)  max k  x   k Wx ,k -  m im  Mx   n , (vì   ) Wx ,n (7-9) Trong kết cấu cần kiểm tra cho tiết diện có giá trị mơ men dương mơ men âm lớn Khi tiết diện có tính đối xứng qua trục trung hồ trị số  ,  max nhau, điều kiện bền là: M  max  x   kn (7-10) Wx Với vật liệu dẻo, khả chịu kéo nén (  k   n    ) nên điều kiện bền có dạng: M  max  x    (7-11) Wx 22 Ví dụ 7.1: Xác định mơ men M0 cho phép tác dụng đầu tự công xơn có tiết diện bxh = 1x3 cm2,  = 2,5 kN/cm2 hai trường hợp đặt tiết diện khác hình 7-6a, 7-6b Hình 7.6 Cho ví dụ 7.1 Bài giải Dầm chịu uốn túy với mô men Mx = M0 Theo điều kiện bền, ta có: M0  Wx - Trường hợp thứ (hình 7-6a): Wx = 1.32/3 = cm3  M0  1,5.2 = kNcm - Trường hợp thứ hai (hình 7-6a): Wx = 3.12/3 = 0,5 cm3M0  0,5.2 = kNcm 7.3 Ứng suất pháp tiết diện chịu uốn ngang phẳng 7.3.1 Giả thiết công thức tính Khi chịu uốn tiết diện có lực cắt mô men uốn lúc ta gọi trường hợp chịu uốn ngang phẳng Xét cơng xơn chịu uốn ngang phẳng hình 7.7 Ta thấy: - Các đường kẻ vng góc với trục khơng cịn thẳng - Các góc vng bị thay đổi Giả thiết tiết diện phẳng khơng cịn nữa, biến dạng trượt ứng suất tiếp gây không làm thay đổi chiều dài theo phương ngang trục phương dọc trục Nên ta chấp nhận luật phân bố ứng suất pháp tính theo cơng thức (7-4) M   x y, Ix Trong y khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục trung hồ x (trục qn tính trung tâm tiết diện) Hình 7.7 Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ 7.2 Xác định ứng suất pháp, ứng suất tiếp điểm K tiết diện hình chữ nhật có ứng lực: M = 20 Nm, Q = 1,4 kN (hình 7.11) Bài giải Mơ men qn tính trục trung hòa  12 Ix   576 cm4 12 Mơ men tĩnh phần diện tích cắt: Sxc = 2.4.5 = 40 cm3 Ứng suất pháp ứng suất tiếp điểm K là: Hình 7.11 Cho ví dụ 7.2 23 K  2000  13,9 N/cm2 576 7.4 Điều kiện bền dầm chịu uốn ngang phẳng 7.4.1 Điều kiện bền Tuỳ thuộc vào vị trí điểm tính ứng suất tiết diện mà phân tố trạng thái ứng suất khác nhau: TTƯS đơn: Xuất vị trí mép mép tiết diện đạt giá trị lớn Điều kiện bền là: M M  max  x yk   kn , tiết diện đối xứng qua trục x:  max  x   kn Wx Ix n min Kiểm tra điều kiện tiết diện có trị số mơ men uốn lớn cho dầm có tiết diện khơng đổi BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 7.1 Một dầm gỗ có mặt cắt hình chữ nhật hình 7.1 Hãy vẽ biểu đồ mô men, lực cắt dầm Kiểm tra độ bền dầm theo điều kiện ứng suất tiếp biết [τ] = 120N/cm2, [σ] = 1.100N/cm2 Tính ứng suất pháp ứng suất tiếp điểm K mặt cắt n-n Bài 7.8 Cho dầm có mặt cắt ngang hình 7.8 Xác định tị số đồ dài a cho dầm thỏa mãn điều kiện bền Biết [σ] = 120 MN/m2, q = 20kN/m Hình 7.8 24 CHƯƠNG THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 1.1 KHÁI NIỆM CHUNG 1.1.1 Các trường hợp chịu lực phức tạp Trong chương ta nghiên cứu biến dạng chịu lực đơn giản: kéo, nén tâm, xoắn tuý uốn ngang phẳng Trong thực tế có chịu tác dụng đồng thời nhiều biến dạng bản, ta nói chịu lực phức tạp Tổ hợp trường hợp chịu lực đơn giản gọi chịu lực phức tạp Các trường hợp chịu lực phức tạp: - Uốn xiên - Kéo, nén uốn - Uốn xoắn - Kéo, nén, uốn xoắn 1.1.2 Phương pháp tính Phương pháp cộng tác dụng dựa nguyên lý độc lập tác dụng Các điều kiện áp dụng toán: - Vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi, quan hệ biến dạng, nội lực với Hình 1.1 ngoại lực quan hệ bậc (tuân theo định luật Hooke) - Biến dạng chuyển vị bé 1.2 THANH CHỊU UỐN XIÊN 1.2.1 Khái niệm Ta gọi chịu uốn xiên mà mặt cắt ngang có hai thành phần nội lực M x , M y Trong đó, trục x y trục quán tính trung tâm mặt cắt Hình 1.2 Hình 1.3 Như vậy, ta rút định nghĩa khác uốn xiên sau: Một chịu uốn xiên mà mặt cắt ngang có thành phần mômen uốn M nằm mặt phẳng chứa trục z mặt phẳng khơng chứa trục qn tính trung tâm mặt cắt 25 1.2.2 Ứng suất pháp Ta gọi  góc hướng trục x đường tải trọng,   chiều quay từ trục x đến đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ (   90 o ) Khi ta có quan hệ: (1.1) M x  M sin (1.2) M y  M cos Áp dụng phương pháp cộng tác dụng: M M (1.3)   x y y x Ix Iy - x, y toạ độ điểm tính ứng suất Cơng thức kỹ thuật:   Mx Ix y My Iy x (1.4) Dấu (+): Khi M x , M y gây ứng suất kéo Dấu (-): Khi M x , M y gây ứng suất nén 1.2.3 Đường trung hoà biểu đồ ứng suất Nhận xét: Phương trình ứng suất mặt phẳng Giao tuyến mặt phẳng ứng suất với mặt cắt ngang quỹ tích điểm có giá trị ứng suất pháp khơng Giao tuyến đường trung hồ Phương trình đường trung hồ: My Mx y x 0 Ix Iy y M y Ix x Mx Iy (1.5) Ứng suất pháp lớn (đối với mặt cắt bất kỳ): M y k ,n M k ,n  max   x ymax  xmax Ix Iy (1.8) Hình 1.4 26 Mặt cắt có hai trục đối xứng:  max   Mx My  Wx Wy 1.2.4 Kiểm tra độ bền Ba toán Trên mặt cắt nguy hiểm M x max , M y     n (1.9) max  điều kiện bền có dạng: (1.11)  max   k Trong đó:  n  k - ứng suất cho phép nén; - ứng suất cho phép kéo Đối với vật liệu dẻo, mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (hình 1.6),  max    điều kiện bền: (1.12) Hình 1.6 1.2.4.1 Điều kiện bền:  max    (1.13) 1.2.4.2 Bài tốn thiết kế: Bài tốn chọn kích thước mặt cắt ngang phải theo phương pháp thử dần Với mặt cắt ngang có hai trục đối xứng: My  Mx W       M x  x M y      W x  Wy Wx Wy  Đặt k  Wx , ta được: Wy Wx  Mx k My Đối với mặt cắt hình chữ nhật k    (1.14) Wx bh hb h  :  Wy 6 b Đối với mặt cắt I thường chọn k   10 , mặt cắt chữ [ chọn k   1.3 THANH CHỊU UỐN VÀ KÉO (NÉN) ĐỒNG THỜI 1.3.1 Khái niệm chung Thanh chịu uốn kéo nén đồng thời mà mặt cắt ngang có thành phần nội lực mômen uốn ( M x , M y ) lực dọc N (hình 1.8) 1.3.2 Ứng suất pháp 27 Đối với mặt cắt bất kỳ: Giả sử có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu uốn kéo đồng thời Ứng suất điểm A(x, y) thuộc mặt cắt ngang: My N M (1.17)    x y x A Ix Iy Công thức kỹ thuật:  My N Mx  y x A Ix Iy (1.18) Dấu (+): Khi M x , M y gây ứng suất kéo Dấu (-): Khi M x , M y gây ứng suất nén.1.3.4 Ứng Hình 1.8 suất pháp cực tiểu cực đại Ứng suất pháp cực đại cực tiểu điểm tiếp xúc chu tuyến mặt cắt với đường song song với đường trung hoà Đối với tiết diện có hai trục đối xứng: Ứng suất pháp đạt cực trị đỉnh: My N M (1.22)  max   x  A Wx Wy   N Mx My   A Wx Wy 1.3.5 Điều kiện bền Bỏ qua ảnh hưởng ứng suất tiếp Điểm nguy hiểm điểm có ứng suất pháp cực trị Trạng thái ứng suất điểm nguy hiểm trạng thái ứng suất đơn Điều kiện bền: Vật liệu dẻo:  max    (1.24) Vật liệu giòn:  max   k     n  (1.25) Thí dụ 1.2: Dầm giản đơn gỗ, tiết diện hình trịn đường kính D  16 cm , chịu lực hình 1.10 Xác định trị số cho phép tải trọng F theo điều kiện bền Cho biết a  50cm , ứng suất cho phép    1,2kN / cm2 Bài giải: Các lực tập trung nằm theo hai phương vng góc với nhau, phương trục quán tính trung tâm tiết diện, ký hiệu x y Lực F theo phương y, gây biểu đồ mômen uốn M x mặt phẳng yz Lực F theo phương x, gây biểu đồ mômen uốn M y mặt phẳng xz 28 Tại tiết diện đặt lực F : Fa M y  Fa M u  M x2  M y2 Mx   Fa   1,49 Fa Tại tiết diện đặt lực F : Fa 10 My  Fa M u  M x2  M y2 Mx  Fa 2  10  1,7 Fa Như tiết diện đặt lực F tiết diện nguy hiểm Điều kiện bền cho tiết diện tròn chịu uốn xiên là: M  max  u    Wu   M u   Wu  1,7 Fa   Wu F  Wu 1,7 a  1,2.0 ,1.16  ,78 kN 1,7.50 29 1.4 THANH CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM LÕI MẶT CẮT NGANG 1.4.1 Khái niệm chung Kéo (nén) lệch tâm trường hợp đặc biệt uốn kéo (nén) đồng thời Một chịu kéo nén lệch tâm hợp lực ngoại lực lực trục khơng trùng với trục có phương song song với trục (hình 1.11) Khoảng cách e từ điểm đặt lực C(xC, yC) đến trọng tâm O gọi độ lệch tâm Dời F trọng tâm mặt cắt, có thành phần: N  F Hình 1.11 M u   Fe( M x   Fy C  Ny C , M y   FxC  Nx C ) 1.4.2 Ứng suất pháp Áp dụng cơng thức (1.17), ta có cơng thức tính ứng suất pháp:  My Nx N NyC N M  y C x  x y x A Ix Iy A Ix Iy Ix A rx  Đặt ry  (1.26) Iy A N làm thừa số chung: A  y y x x N   C2  C2  A  rx ry  (1.27) Trong đó: rx ,ry - bán kính qn tính trung tâm; xC , yC - tọa độ điểm đặt lực Dấu N dương kéo, âm nén Dấu xC , yC , x , y phụ thuộc vào hệ tọa độ chọn Nhận xét: Bài tốn kéo (nén) lệch tâm tính theo trường hợp kéo (nén) uốn đồng thời ngược lại Tính ứng suất pháp cực trị tương tự phần uốn kéo (nén) đồng thời Thí dụ 1.3: Một cột bê tơng mặt cắt hình vng bị nén lực P đặt lệch tâm trục y (hình 1.12) Cho biết ứng suất điểm A 200 N / cm , điểm B không Xác định tải trọng P tác dụng lên cột, độ lệch tâm tải trọng ứng suất nén lớn cột Bài giải: Nội lực mặt cắt chân cột: N  P ; M x  Ny C ; M y  Ứng suất A B: 30 Hình 1.12 N Ny C  y A  200 N / cm (a) A Ix N Ny (b)  B   C yB  A Ix Đặc trưng hình học mặt cắt: A  40.40  1600 cm 40 Ix   21,333.10 cm 12 Thay vào phương trình (a) (b) ta được: 40 yC  cm N  32.10 N hay P  32.10 N Ứng suất nén lớn cột: N Ny    C  600 N / cm A Wx 1.4.3 Đường trung hoà Từ phương trình: My N M (1.28)    x y x A Ix Iy A  Nhận xét: - Tại x  y  ,   nên đường trung hồ khơng qua gốc toạ độ - Giao tuyến mặt phẳng ứng suất mặt cắt ngang đường trung hồ - Điểm có ứng suất cực trị điểm nằm xa đường trung hoà - Ứng suất điểm đường thẳng song song đường trung hoà qua gốc toạ độ có trị số Hình 1.13 N A 31 CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN, UỐN 3.1 KHÁI NIỆM CHUNG 3.1.1 Khái niệm ổn định ổn định hệ biến dạng 3.1.1.1 Xét tương đối mảnh hình 3.1 Thanh có chiều dài lớn nhiều so với kích thước mặt cắt ngang, chịu nén tâm N Khi lực nén tâm N bé giữ nguyên dạng thẳng Khi giữ dạng thẳng, ta nói trạng thái ổn định Khi lực nén tâm N lớn, bị cong Khi bắt đầu bị cong, ta nói trạng thái ổn định 3.1.1.2 Cân ổn định không ổn định Nghiên cứu ổn định vị trí vật rắn qua cân cầu bề mặt khác (hình 3.2) Quả cầu đáy lõm (độ cong dương): Nếu ta đẩy khỏi vị trí cân bằng, quay lại vị trí ban đầu Đó vị trí cân ổn định Hình 3.1 Quả cầu đỉnh lồi (độ cong âm): Chỉ cần đẩy nhẹ khỏi vị trí cân ban đầu, tiếp tục rời xa vị trí ban đầu, khơng quay lại vị trí ban đầu Đó vị trí cân khơng ổn định Quả cầu mặt nằm ngang (độ cong khơng): Quả cầu khơng quay lại vị trí ban đầu, không chuyển động xa Đây vị trí cân phiếm định Hình 3.2 3.1.2 Lực tới hạn Trạng thái trung gian gọi trạng thái cân tới hạn (hình 3.4b) Trị số lực nén N th tương ứng gọi lực nén tới hạn Trạng thái tới hạn trạng thái ranh giới hai biến dạng khác (biến dạng nén thẳng biến dạng uốn), theo quy ước, tính ứng suất tới hạn theo biến dạng tương ứng với trạng thái ổn định 3.2 BÀI TOÁN EULER XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN 3.2.1 Thanh thẳng liên kết khớp hai đầu Hình 3.3 Thanh AB hai đầu liên kết khớp bị nén dọc trục hình 3.5 Khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn N th 32 Hình 3.5 Bài tốn Euler Cơng thức lực tới hạn: N th   EI (3.7) l2 3.2.2 Thanh thẳng có liên kết khác hai đầu Đối với có liên kết hai đầu khác nhau, ta lập phương trình vi phân tương tự, giải tốn với điều kiện biên khác tuỳ thuộc vào loại liên kết hai đầu Ta nhận biểu thức lực tới hạn tổng quát:  EI  EI (3.8) N th   ( μl )2 lo2  - hệ số tính đổi chiều dài l o - chiều dài qui đổi tính ổn định 3.3 ỨNG SUẤT TỚI HẠN – GIỚI HẠN ÁP DỤNG CÔNG THỨC EULER 3.3.1 Ứng suất tới hạn Công thức ứng suất tới hạn: N th  EI  th   A ( l )2 A  2E  2E  th   2 max  l  (3.9)   r   Trong I - bán tính quán tính nhỏ tiết diện; A l - độ mảnh lớn max  rmin Độ mảnh  đặc trưng ổn định thanh, trị số lớn khả ổn định nhỏ rmin  33 Độ mảnh cực đại: max  l (3.10) rmin Khi chịu lực tâm, bị ổn định mặt phẳng có độ mảnh cực đại x  y  l max  x , y  rx l (3.11) ry 3.2 Giới hạn áp dụng công thức Euler M , sở để giải toán Euler, EI vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi Do đó, kết tốn vật liệu cịn làm việc giới hạn đàn hồi, tức ứng suất tới hạn phải thoả mãn điều kiện:  2E (3.12)  th    tl Phương trình vi phân đường đàn hồi y' '   max max   Hay E  tl  o Vậy điều kiện áp dụng công thức Euler   o Trong E o   - độ mảnh giới hạn, phụ thuộc vào vật liệu (3.13) (3.14)  tl Kết luận:   o có độ mảnh lớn   o có độ mảnh vừa bé 34