Cho n là một số nguyên dương. “Khi nào có duy nhất một nhóm cấp n?”. Câu trả lời đã có từ lâu, tuy nhiên không được biết rộng rãi, ngay cả trong những giáo trình về lý thuyết nhóm. Bài viết này sẽ giới thiệu lời giải của câu hỏi nói trên.
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.4 (2012) TÍNH DUY NHẤT CỦA NHĨM CẤP N Nguyễn Ngọc Châu, Ngơ Thị Hồi Phương* TĨM TẮT Cho n số nguyên dương “Khi có nhóm cấp n?” Câu trả lời có từ lâu, nhiên rộng rãi, giáo trình lý thuyết nhóm Bài viết giới thiệu lời giải câu hỏi nói Từ khóa : nhóm cyclic, hàm euler Mở đầu Cho n số nguyên dương Bài toán tổng quát nhóm hữu hạn xác định tất nhóm khơng đẳng cấu có cấp n, A Cayley đặt vào năm 1878, đến chưa có lời giải đầy đủ Chúng ta biết n = n số ngun tố có nhóm cấp n (tất nhiên nhóm cyclic) Ngồi ra, cách áp dụng định lý Sylow vào nhóm có cấp pq, p < q, p, q số nguyên tố, chứng minh nhóm p không chia hết q –1 Từ đó, câu hỏi đặt cách tự nhiên “ Với số ngun dương n nào, có nhóm cấp n ?” Câu trả lời có từ lâu, nhiên rộng rãi, giáo trình lý thuyết nhóm Bài viết giới thiệu lời giải câu hỏi nói trên, cụ thể ta có: Định lý Cho n số nguyên dương Khi nhóm cyclic cấp n nhóm có cấp n, (n, (n)) = 1, hàm Euler Định lý trường hợp riêng kết cho Dickson [1] Định lý phép chứng minh trình bày viết Dieter Jungnickel giới thiệu [2] Các kết dùng để chứng minh Định lý 1.1 Định nghĩa: Cho m số nguyên dương, hàm Euler (m) biểu thị số số tự nhiên không vượt (m -1) nguyên tố với m 1.2 Mệnh đề:[3] Với hai số nguyên dương m1 m2 nguyên tố nhau, ta có (m1.m2) = (m1) (m2) 1.3 Cơng thức tính (m) [3] i) Nếu m = 1, (m) = ii) Nếu m = p , p số nguyên tố số nguyên dương, ( p ) = p − p − = p (1 − ) p TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) iii) Nếu m > m = p11 p22 pkk , pi, i = 1,2, ,k số nguyên tố khác đôi một; i , i = 1,2, , k số nguyên dương, ta có k i =1 (m) = m 1 − pi 1.4 Định nghĩa: Một số nguyên n gọi khơng có nhân tử phương n khơng có nhân tử bình phương số nguyên khác 1.5 Mệnh đề: Giả sử n số ngun dương có nhân tử phương, tức n = mp a , p số nguyên tố không chia hết m, a số nguyên, a Khi đó: i) Có hai nhóm có cấp n khơng đẳng cấu nhóm cyclic C(n) cấp n nhóm C (m) C ( p) a ii) (n, (n)) p Chứng minh: i) Vì a nên phần i) Mệnh đề hiển nhiên ii) Với n = mp a , p số nguyên tố không chia hết m, a số tự nhiên, a 2, (m, p a ) = Suy (n) = ( p ) (m) = p − ( p −1) (m) Do đó, n (n) chia hết cho p Vậy (n, (n)) p Mệnh đề cho phép để chứng minh Định lý, cần xét n số nguyên dương nhân tử phương Trong Bổ đề đây, ta giả sử n số nguyên dương nhân tử phương nhỏ cho (n, (n)) = G nhóm khơng cyclic cấp n 1.6 Bổ đề: Ta có (m, (m)) = 1, với số nguyên dương m ước n Chứng minh: Giả sử ngược lại (m, (m)) Gọi (m, (m)) = h, với h số nguyên lớn Do m ước n nên tồn số nguyên q cho n = mq Từ ta có (n) = (mq) = (m) (q) (n, (n)) = (mq, (m) (q)) h >1 trái với giả thiết (n, (n)) = Vậy (m, (m)) = 1, với số nguyên dương m ước n 1.7 Bổ đề: i) Mọi nhóm thực nhóm thương theo nhóm chuẩn tắc UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.4 (2012) không tầm thường G nhóm cyclic ii) Tâm Z(G) = 1 Chứng minh: i) Theo Bổ đề 2.6, (m, (m)) = 1, với m ước n Do đó, nhóm thực nhóm thương theo nhóm chuẩn tắc khơng tầm thường G cyclic (vì có cấp nhỏ n) ii) Giả sử Z(G) {1} Theo i) nhóm thương G/Z(G) nhóm cyclic Do G nhóm abel nhóm cyclic (vơ lý) Vậy Z(G) = 1 1.8 Bổ đề: Cho x phần tử nhóm cực đại U G Khi U nhóm tâm hóa CG ( x) x G Hơn nữa, hai nhóm cực đại phân biệt U, V G có giao tầm thường Chứng minh: Vì U nhóm thực G nên U nhóm cyclic, suy U CG ( x) Theo Bổ đề 2.7, Z(G) = 1 , nên CG ( x) nhóm thực G Do tính cực đại U, ta có U = CG ( x) Giả sử U, V hai nhóm cực đại phân biệt G cho U V {1} Khi tồn x U V , ta có U = CG ( x) = V (mâu thuẫn) Vậy U V = {1} Bổ đề chứng minh 1.9 Bổ đề: Bất kỳ nhóm cực đại U G nhóm chuẩn hóa N G (U ) U G Ngồi ra, U nhóm cực đại cấp u G, lớp liên hợp U chứa n - n/u phần tử khác Chứng minh: Vì U nhóm thực G nên U N G (U ) , U nhóm cyclic x N G (U ) x −1 ax U, a U Do ánh xạ : U → U , a a x −1 ax , tự đẳng cấu U Nếu U có cấp m,thì nhóm Aut(U) có cấp (m) Vì m | n nên (m) chia hết (n) Do ord(x) | n, nên n (a) = x − n ax n = a, suy n = 1U ord( ) | n Đồng thời ord( ) | (n), (n, (n)) = 1, suy ord( ) = Do tự TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) đẳng cấu đồng U, x CG (U ) Nếu x U U , x = G x Z(G) (trái với Bổ đề 2.7) Vậy x U, N G (U ) U, hay N G (U ) = U Ta biết, số liên hợp U G : NG (U ) Nhưng N G (U ) = U nên G : NG (U ) = n/u Do U nhóm cực đại G, nên liên hợp U nhóm cực đại G Từ Bổ đề 2.8, ta có hai nhóm liên hợp phân biệt U có giao tầm thường nên lớp liên hợp U chứa (u - 1)n/u phần tử khác Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 2.1 Định lý.[2] Cho n số nguyên dương Khi nhóm cyclic cấp n nhóm có cấp n, (n, (n)) = 1, hàm Euler Chứng minh: Nếu n = 1, n số nguyên tố Định lý hiển nhiên Điều kiện cần: Để có nhóm cấp n, theo Mệnh đề 2.5 n số ngun khơng có nhân tử phương, nghĩa n = p1 p2 L pk tích k số nguyên tố phân biệt đơi Theo 2.3 (n) = ( p1 −1)( p2 −1) ( pk −1) Giả sử (n, (n)) Khi đó, tồn số nguyên tố p, q cho n = pqm, với p chia hết q - m khơng chia hết cho p q Ta có Aut(C(q)) nhóm cyclic cấp q-1 Do p chia hết q-1, nên nhóm Aut(C(q)) có phần tử f cấp p, ta có đồng cấu sau → Aut(C(q)) : C(p) = < a > ⎯⎯ at a f t = f o f o o f (t lần) t < p Khi tích nửa trực tiếp C(q)⋊ C(p) nhóm khơng giao hốn cấp pq, [C(q)⋊ C(p) ] C(m) nhóm khơng giao hốn cấp n = pqm Điều trái với giả thiết có nhóm cấp n nhóm cyclic C(n) Vậy (n, (n)) = Điều kiện đủ: Ta chứng minh điều kiện đủ định lý phản chứng Giả sử tồn số nguyên dương m, với (m, (m)) = mà có nhiều nhóm cấp m Gọi n số nguyên dương nhỏ cho (n, (n)) = G nhóm khơng cyclic cấp n UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.4 (2012) Gọi U nhóm cực đại cấp u G, u > (vì G khơng cyclic) Theo Bổ đề 2.9, tồn phần tử x G không chứa liên hợp U Gọi V nhóm cực đại G chứa x khơng liên hợp với U Khi đó, liên hợp U, liên hợp V nhóm cực đại G Theo Bổ đề 2.8, liên hợp U liên hợp V có giao tầm thường Áp dụng Bổ đề 2.9 V, ta có liên hợp V chứa n - n/v phần tử khác Nhưng G có n - phần tử khác 1, từ cho ta bất đẳng thức n - n/u + n - n/v < n uv < u + v điều mâu thuẫn u >1 Vậy định lý chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L E Dickson, Definitions of a group and a field by independent postulates, Trans Amer Math Soc (1905), 198-204 [2] Dieter Jungnickel, On the uniqueness of the cyclic group of order n, Trans Amer Math Soc 93 (1992), 545-547 [3] Ngơ Thị Hồi Phương, Tính nhóm cấp n, Luận văn thạc sỹ khoa học, Đại học Đà Nẵng (2011) THE UNIQUENESS OF THE GROUP OF ORDER N Nguyen Ngoc Chau1, Ngo Thi Hoai Phuong2 The University of Da Nang - University of Science and Education Thanh Khe Secondary School, Lien Chieu Danang ABSTRACT Let n be a positive integer ”When is there a unique group of order n ?” The answer was given to this question but has not been widely known, even in textbooks on group theory In this paper, we would like to introduce an answer to the above question Key words: The Cyclic Group, The Euler Function *Nguyễn Ngọc Châu, E-mail: chaunn@dce.udn.vn, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Ngô Thị Hồi Phương, Trường Phổ thơng Trung học Thanh Khê, Quận Liên Chiểu, Thành phố Đà Nẵng TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) ... Euler Chứng minh: N? ??u n = 1, n số nguy? ?n tố Định lý hi? ?n nhi? ?n Điều ki? ?n c? ?n: Để có nhóm cấp n, theo Mệnh đề 2.5 n số ngun khơng có nh? ?n tử phương, nghĩa n = p1 p2 L pk tích k số nguy? ?n tố ph? ?n biệt... Định nghĩa: Một số ngun n gọi khơng có nh? ?n tử phương n khơng có nh? ?n tử bình phương số nguy? ?n khác 1.5 Mệnh đề: Giả sử n số nguy? ?n dương có nh? ?n tử phương, tức n = mp a , p số ngun tố khơng... chứng minh Định lý, c? ?n xét n số ngun dương khơng có nh? ?n tử phương Trong Bổ đề đây, ta giả sử n số ngun dương khơng có nh? ?n tử phương nhỏ cho (n, (n) ) = G nhóm khơng cyclic cấp n 1.6 Bổ đề: