Tính duy nhất của nhóm cấp n

Header Page of 126 GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU NGÔ THỊ HOÀI PHƯƠNG Phản biện 1: TS LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm 2011 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Đối tượng phạm vi nghiên cứu MỞ ĐẦU Lí chọn ñề tài Cho n số nguyên dương Bài toán tổng quát Các nhóm hữu hạn Quan hệ ñẳng cấu nhóm Tính chất số học tập số nguyên Phương pháp nghiên cứu nhóm hữu hạn xác ñịnh tất nhóm không ñẳng cấu có Tập hợp hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên cấp n, ñã ñược A Cayley ñặt vào năm 1878 Năm 1951, Định lý quan ñến nội dung ñề tài Đặc biệt tài liệu phân loại ñẳng nhóm Abel hữu hạn sinh ñã cho lời giải toán cấu nhóm hữu hạn ñối với nhóm Abel hữu hạn Tuy nhiên toán tổng quát nhóm hữu hạn toán khó, ñến chưa có lời giải ñầy ñủ Khảo sát tính chất số học tập số nguyên Tìm hiểu hàm Euler Áp dụng tính chất tập số nguyên hàm Euler vào Trong giáo trình Lý Thuyết Nhóm, ñã biết n = n số nguyên tố có nhóm cấp n (tất nhiên nhóm cyclic) Ngoài ra, cách áp dụng ñịnh lý toán phân loại ñẳng cấu nhóm, từ ñó xác ñịnh với số nguyên dương n có nhóm cấp n, ngược lại Cấu trúc luận văn Sylow vào nhóm có cấp pq, p < q, p, q số nguyên tố, chứng minh ñược nhóm Luận văn gồm hai chương: p không chia hết q – Từ ñó, câu hỏi ñược ñặt Chương I: cách tự nhiên “Với số nguyên dương n nào, có Chương trình bày sơ lược lý thuyết nhóm, lý thuyết nhóm cấp n” Nhằm tìm hiểu lời giải cho câu hỏi này, chọn ñề tài luận văn Thạc sĩ : "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP Kiến thức chuẩn bị số số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau Chương II: Tính nhóm cấp n Chương nội dung luận văn, xác ñịnh số n" nguyên dương n cho có nhóm cấp n (sai khác Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu ñẳng cấu) Phần cuối chương xác ñịnh số trường hợp số Nghiên cứu cấu trúc nhóm tính chất nhóm Nghiên cứu lý thuyết số Xác ñịnh số nguyên dương n cho có nhóm cấp n Footer Page of 126 nguyên dương n ñể có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu 3 Header Page of 126 1.1.1.2 Định nghĩa Chương Một p-nhóm nhóm có cấp lũy thừa số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ nguyên tố p Chương trình bày sơ lược cấu trúc nhóm, lý thuyết số số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [1], [2], [3], [4] 1.1.2 Nhóm con, p-nhóm Sylow 1.1.2.1 Định nghĩa Một phận ổn ñịnh A nhóm X nhóm X A với phép toán cảm sinh nhóm, kí hiệu 1.1 CẤU TRÚC NHÓM A X 1.1.2.2 Định lý 1.1.1 Nhóm hữu hạn, p_nhóm 1.1.1.1 Định nghĩa Một phận A nhóm X nhóm X Cho tập không rỗng G phép toán hai G ñược kí hiệu • , cặp (G, • ) ñược gọi nhóm (ii) Tồn phần tử ký hiệu ∈ G, gọi phần tử ñơn vị, x • = • x = x, với x ∈ G, (iii) Với x ∈ G có phần tử nghịch ñảo G, nghĩa có phần tử x ∈ G cho x • x i) Với x, y ∈ A, xy ∈ A iii) Với x ∈ A, x −1 ∈ A (x • y) • z = x • (y • z), −1 ñiều kiện sau ñây thỏa mãn : ii) e ∈ A, với e phần tử trung lập X (i) Với x, y, z ∈ G, cho ≤ −1 −1 = x • x = Nếu với x, y ∈ G, x • y = y • x (G, • ) ñược gọi nhóm abel (hay nhóm giao hoán) Nếu không sợ nhầm lẫn phép toán, ta nói G nhóm thay cho nhóm (G, • ) 1.1.2.3 Hệ Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các ñiều kiện sau ñây tương ñương : i) A nhóm X ii) Với x, y ∈ A, xy ∈ A x −1 ∈ A iii) Với x, y ∈ A, xy −1 ∈ A 1.1.2.4 Định nghĩa i) Nhóm H ñược gọi p-nhóm G H vừa nhóm G vừa p-nhóm Nhóm G ñược gọi nhóm hữu hạn G tập hữu ii) Nhóm H ñược gọi p-nhóm Sylow G hạn Lúc ñó số phần tử tập hợp G ñược gọi cấp nhóm G H p-nhóm G |H| = p n lũy thừa cao ñược kí hiệu |G| Nếu nhóm G nhóm hữu hạn p chia hết |G| ta nói G nhóm (có cấp) vô hạn Footer Page of 126 5 Header Page of 126 1.1.2.5 Định nghĩa (Nhóm cực ñại) 1.1.3.6 Nhận xét Nhóm thực M G ñược gọi nhóm cực ñại G nhóm H G ñể M < H < G Nếu G = x G nhóm hữu hạn cấp r, (r, s) = 1, x s = G 1.1.2.6 Định nghĩa 1.1.3.7 Định nghĩa 10 Giả sử G nhóm với phần tử ñơn vị 1, a ∈ G Nếu Hai nhóm S T nhóm G ñược gọi liên hợp −1 có phần tử g ∈ G cho g Sg = T −1 { −1 } Trong ñó : g Sg = g sg / s ∈ S 1.1.3 Nhóm cyclic 1.1.3.1 Mệnh ñề a ≠ 1, ∀ m ∈ m * dương nhỏ cho a m = m ñược gọi cấp a Cấp phần tử a ñược kí hiệu ord(a) Từ ñịnh nghĩa ta có ord(a) = a , ord(a) = ⇔ a = Giao họ nhóm nhóm G nhóm G 1.1.3.2 Định nghĩa Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập hợp X giao tất nhóm a gọi có cấp vô hạn Nếu m số nguyên 1.1.3.8 Bổ ñề Cho X nhóm với phần tử ñơn vị e, a ∈ X có cấp n Chứng minh a k = e n | k 1.1.3.9 Mệnh ñề G có chứa X, kí hiệu X X = { x1ε1 x2ε L xn ε n / xi ∈ X , ε i = ± 1, n số nguyên dương} Chứng minh X × Y nhóm cyclic (m, n) = 1.1.3.3 Nhận xét 1.1.4.1 Định nghĩa 11 X nhóm nhỏ G có chứa X Cho X Y nhóm cyclic có cấp m n 1.1.4 Nhóm chuẩn tắc Cho G nhóm H nhóm G Khi ñó, Nếu X = G ta nói G nhóm ñược sinh X X tập sinh G lớp trái H G phận có dạng 1.1.3.4 Định nghĩa H G phận có dạng Hx = {y / y = hx, h ∈ H} Nhóm hữu hạn sinh nhóm ñược sinh tập sinh hữu hạn xH = {y / y = xh, h ∈ H} với x ∈ G Tương tự, lớp phải 1.1.4.2 Định nghĩa 12 Cho G nhóm với phép toán nhân, nhóm H 1.1.3.5 Định nghĩa Một nhóm X gọi cyclic X ñược sinh phần tử a ∈ X, kí hiệu a Phần tử a ñược gọi phần tử sinh X Nhóm cyclic cấp n ñược kí hiệu C(n) Footer Page of 126 G ñược gọi nhóm chuẩn tắc G xH = Hx, với phần tử x ∈ G, kí hiệu H < G 7 Header Page of 126 1.1.4.3 Mệnh ñề nhóm, gọi nhóm thương G H Ắt có ñủ ñể nhóm H G nhóm chuẩn tắc G xhx −1 1.1.5.3 Mệnh ñề ∈ H, với x ∈ G với h ∈ H 1.1.4.4 Định lý (Lagrange) Cấp nhóm H nhóm hữu hạn G chia hết Mọi nhóm nhóm thương nhóm cyclic nhóm cyclic 1.1.6 Đồng cấu nhóm 1.1.6.1 Định nghĩa 15 cấp G Giả sử G G’ nhóm (với phép toán nhân) Một ánh 1.1.4.5 Hệ Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp xạ ϕ :G → G ' ñược gọi ñồng cấu nhóm nếu: ϕ ( xy ) = ϕ ( x )ϕ ( y ); ∀x, y ∈ G G 1.1.6.2 Mệnh ñề 1.1.4.6 Hệ Mọi nhóm hữu hạn có câp nguyên tố ñều cyclic ñược Cho X, Y hai nhóm tùy ý, ánh xạ f:X → Y sinh phần tử bất kì, khác phần tử trung lập, nhóm 1.1.4.7 Định nghĩa 13 x a eY ( eY phần tử ñơn vị Y) Số lớp trái (phải) H G ñược gọi số H G, kí hiệu [G : H ] 1.1.4.8 Nhận xét Nếu G nhóm hữu hạn G = H [G : H ] Đồng cấu f ñược xác ñịnh gọi ñồng cấu tầm thường 1.1.6.2 Mệnh ñề Giả sử ϕ :G → G ' ñồng cấu nhóm Khi ñó: i) ϕ chuyển ñơn vị G thành ñơn vị G’, tức là: 1.1.5 Nhóm thương 1.1.5.1 Định nghĩa 14 Cho G nhóm H < G Tập thương G H tập hợp tất lớp trái H G, kí hiệu G / H G / H = {xH / x ∈ G} 1.1.5.2 Định lý Nếu H < G i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp trái xyH ánh xạ từ G / H × G / H ñến G / H ii) G / H với phép toán hai (xH, yH) a xyH Footer Page of 126 ñồng cấu ϕ (1G ) = 1G ' ii) ϕ chuyển nghịch ñảo phần tử x ∈ G thành nghịch ñảo phần tử ϕ ( x) ∈ G ' , tức là: ϕ ( x −1 ) = ϕ ( x) −1 1.1.6.3 Định nghĩa 16 i) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời ñơn ánh ñược gọi ñơn cấu nhóm ii) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời toàn ánh ñược gọi toàn cấu nhóm 10 Header Page of 126 iii) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời song ánh ñược gọi ñẳng cấu nhóm hết cấp G + kp, với k số nguyên không âm ñó 1.1.6.4 Mệnh ñề 1.1.7.2 Bổ ñề Đồng cấu nhóm ϕ :G → G toàn cấu Imϕ = G' Nó ñơn cấu Kerϕ = {1G } , ñó |P| = p P < G e ñơn vị G 1.1.8 Nhóm tâm hóa, nhóm chuẩn hóa ' 1.1.6.5 Mệnh ñề Nếu nhóm G có p-nhóm Sylow P, với r 1.1.8.1 Mệnh ñề 10 Nếu ϕ :G → G ñồng cấu nhóm Kerϕ Imϕ nhóm tương ứng G G’ Tâm G ñược ñịnh nghĩa: ' Z (G) = {a ∈ G :ax = xa, ∀x ∈ G} Rõ ràng e ∈ Z (G ) , G nhóm abel G = Z(G) 1.1.6.6 Mệnh ñề Giả sử G nhóm Gọi Aut(G) tập hợp tất ñẳng Cho A tập nhóm G Khi ñó CG ( A) = {c ∈ G / ca = ac, ∀a ∈ A} nhóm G 1.1.8.2 Định nghĩa 18 Ta gọi CG (A) nhóm tâm hóa A G 1.1.8.3 Mệnh ñề 11 Cho A tập nhóm G Khi ñó NG ( A) = {n ∈ G / nA = An} nhóm G cấu nhóm từ G vào Khi ñó, Aut(G) nhóm ñối với 1.1.8.4 Định nghĩa 18 phép hợp thành ánh xạ Ta gọi NG ( A) nhóm chuẩn hóa A G 1.1.8.5 Mệnh ñề 12 1.1.6.7 Định nghĩa 17 Nhóm Aut(G) ñược xác ñịnh gọi nhóm tự Số liên hợp nhóm S nhóm G số ñẳng cấu G nhóm chuẩn hóa S G 1.1.7 Các ñịnh lý Sylow 1.1.8.6 Mệnh ñề 13 1.1.7.1 Định lý (i) Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết |G| Khi ñó, tồn p-nhóm Sylow G (ii) Mọi p-nhóm G ñều ñược chứa p-nhóm Sylow G (iii) Bất kỳ hai p-nhóm Sylow nhóm hữu hạn G ñều liên hợp Số p-nhóm Sylow phân biệt G chia Footer Page of 126 CG (A) nhóm chuẩn tắc NG ( A) 1.2 TÍCH TRỰC TIẾP, TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 1.2.1 Tích trực tiếp 1.2.1.1 Mệnh ñề Cho H K nhóm, ñó tập tích Đềcác với phép toán • H × K = {(h, k ) / h ∈ H , k ∈ K } Header Page of 126 11 (h1 , k1 ) • (h2 , k2 ) = (h1h2 , k1k2 ) , (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) ∈ H × K nhóm 12 Khi ñó H ×ϕ K ≅ H ×ϕ ' K 1.2.2.5 Mệnh ñề Nếu ϕ = ϕ 'o α với α ∈ Aut(K) H ×ϕ K ≅ H ×ϕ ' K 1.2.1.2 Định nghĩa Nhóm H × K ñược gọi tích trực tiếp hai nhóm H K 1.3.TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN 1.2.1.3 Mệnh ñề 1.3.1 Quan hệ chia hết tập số nguyên Nếu H K nhóm hữu hạn | H × K | = |H||K| H K nhóm chuẩn tắc H × K 1.3.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ Z, b ≠ 1.2.1.4 Mệnh ñề a ñược gọi chia hết cho b, kí hiệu a M b, ∃ q ∈ Z: Cho G nhóm, H K nhóm chuẩn tắc G Khi ñó : Nếu H ∩ K = {1} HK = G G ≅ H × K , với HK = {hk / h ∈ H, k ∈ K} a = b.q Khi ñó, ta nói a bội b hay b ước a hay b chia hết a kí hiệu b | a Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu a M/ b 1.2.2 Tích nửa trực tiếp b /| a 1.2.2.1 Mệnh ñề 1.3.1.2 Tính chất Cho H K hai nhóm ϕ ñồng cấu từ K vào Aut( H) Khi ñó tập tích Đềcác H × K = {(h, k ) / h ∈ H , k ∈ K } với phép toán (h1 , k1 ) • (h2 , k2 ) = ( h1.ϕ (k1 )(h2 ), k1k2 ) , (h1 , k1 ),(h2 , k2 ) ∈ H × K nhóm 1.2.2.2 Định nghĩa 1) ∀ a, b ∈ Z, b ≠ Nếu b | a ±b | ± a 2) ∀ a ∈ Z*, a | a 3) ∀ a ∈ Z, ± | a 4) ∀ a ∈ Z*, a | 5) ∀ a, b ∈ Z* Nếu b | a b ≤ a 6) ∀ a, b ∈ Z* Nếu b | a a | b a = b a = - b Nhóm H × K ñược xác ñịnh gọi tích nửa trực tiếp H K theo ñồng cấu ϕ Kí hiệu H ×ϕ K 8) ∀ a, b ∈ Z*, c ∈ Z Nếu a | b b | c a | c 1.2.2.3 Mệnh ñề 9) ∀ a1, a2, , an ∈ Z, M b ∀i = 1, n H ×ϕ K = H × K ϕ ñồng cấu tầm thường 7) ∀ b ∈ Z* Nếu b | b = b = - ∀ x1, x2, , xn ∈ Z, 1.2.2.4 Mệnh ñề Cho ϕ ϕ ' liên hợp, tức tồn α ∈ Aut(H) cho ϕ '(k ) = α o ϕ (k ) o α −1 , ∀k ∈ K Footer Page of 126 n ∑a x i =1 Trong ñó Z* = Z \ {0} i i M b Header Page of 126 13 1.3.2.2 Định lý (về tồn ước chung lớn nhất) 1.3.1.3 Hệ i) ∀ a1, a2 ∈ Z, b ∈ Z* Nếu b | a1 b | (a1 + a2) b | a2 ii) ∀ ∈ Z, i = 1, n ; ∀ bi ∈ Z*, i = 1, n bi | ai, ∀i = 1, n b1b2 bn | a1a2 an iii) ∀ a, b, c ∈ Z, b, c ≠ Nếu bc | ac b | a 1.3.1.4 Định lý Giả sử a1, a2, , an n số nguyên Khi ñó ước chung lớn n số nguyên ñó tồn 1.3.2.3.Định nghĩa Ta nói hai số nguyên a, b hai số nguyên tố (a, b) = 1.3.2.4 Tính chất ∀ a, b ∈ Z, b ≠ 0, ∃! (q, r ) ∈ Z × Z: a = bq + r, với 0≤r≤ b 1) Nếu d = (a1, a2, , an) ∃ x1, x2, , xn ∈ Z: d = a1x1 + a2x2 + + anxn 1.3.1.5 Định nghĩa (Phép chia có dư) Cho a, b ∈ Z, b ≠ 0, theo ñịnh lý trên, ∃! (q, r ) ∈ Z × Z: a = bq + r, với ≤ r ≤ b Khi ñó, q ñược gọi số thương, r ñược gọi số dư phép chia a cho b 2) (a1, a2, , an) = ⇔ ∃ x1, x2, , xn ∈ Z: a1x1 + a2x2 + + anxn = 3) ∀ m ∈ Z , (ma1, ma2, , man) = m(a1, a2, , an) + 4) Nếu c ∈ Z+ c | ai, ∀i = 1, n (a1 , a2 , , an )  a1 a2 a  =  , , , n  c c c c   1.3.2 Ước chung lớn 1.3.2.1 Định nghĩa i) Cho u ∈ Z* a1, a2, , an ∈ Z u ñược gọi ước chung 14 a1, a2, , an u | ai, ∀i = 1, n ii) Cho n số nguyên a1, a2, , an Ước chung lớn n số nguyên này, kí hiệu (a1, a2, , an) số nguyên dương d thoả hai ñiều kiện sau: 5) Giả sử d ước chung a1, a2, , an Khi ñó d = (a1, a2, , an) ⇔  a1 , a2 , , an  = d  d d 6) Cho a, b, c ∈ Z, b ≠ Nếu b | ac (a, b) = b | c a) d | ai, ∀i = 1, n 7) Cho a, b, c ∈ Z Nếu (a, b) = (ac, b) = (c,b) b) Nếu có số nguyên dương d' mà d' | ai, ∀i = 1, n 8) (a, b1 b2 bn) = ⇔ (a, bi) = 1, ∀i = 1, n d' | d Nói cách khác, (a1, a2, , an) số nguyên dương d lớn mà d | ai, ∀i = 1, n Footer Page of 126 9) (a1a2 am, b1b2 bn) = ⇔ (ai, bj) = 1, ∀i = 1, m , ∀j = 1, n 10) Cho b1, b2, , bn n số nguyên nguyên tố ñôi một, bi | a, ∀i = 1, n (b1b2 bn ) | a 11) ∀ a, b ∈ Z, b ≠ Nếu a = bq + r (a, b) = (b, r) Header Page of 126 15 16 1.3.3.3 Định lý (ñịnh lý số học) 1.3.2.5 Thuật toán Euclide Cho a, b ∈ Z, b ≠ Kí hiệu q thương, r số dư Cho n số tự nhiên lớn Khi ñó, n biểu Nếu r = 0, ta dừng lại diễn cách dạng n = p1α p2α pkα , ñó k, α i , i = 1, k số nguyên dương; pi, i = 1, k số nguyên tố Nếu r > 0, ta chia b cho r nhận ñược ñẳng thức b = thoả mãn phép chia a cho b, ñó, ta có: a = bq + r, với ≤ r < |b| rq1 + r1, ≤ r1 < r k < p1 < p2 < < pk Dạng phân tích ñược gọi dạng khai triển tắc Tiếp tục trình ta nhận ñược a = bq + r, ≤ r < b b = rq1 + r1, ≤ r1 < r r = r1q2 + r2, ≤ r2 < r1 rk-2 = rk-1qk + rk, ≤ rk < rk-1 số n 1.3.4 Đồng dư 1.3.4.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ Z m số nguyên dương Ta nói a ñồng dư b theo môñulô m, kí hiệu a ≡ b(mod m), (a - b) M m rk-1 = rkqk+1 Khi ñó rk = (a,b) 1.3.4.2 Tính chất (tính chất bản) i) Nếu a ≡ b(mod m) c ≡ d(mod m) thì: 1.3.3 Số nguyên tố a + c ≡ b + d(mod m) ac ≡ bd(mod m) 1.3.3.1 Định nghĩa ii) Nếu p số nguyên tố ab ≡ 0(mod p) Một số nguyên lớn 1, ước nguyên dương khác thân ñược gọi số nguyên tố Một số nguyên lớn 1, số nguyên tố ñược gọi hợp số 1.3.3.2 Định lý Ước nhỏ lớn số tự nhiên lớn số nguyên tố a ≡ 0(mod p) b ≡ 0(mod p) 1.3.5 Hệ thặng dư ñầy ñủ, hệ thặng dư thu gọn 1.3.5.1 Định nghĩa Cho m số nguyên dương Tập hợp H gồm số nguyên lấy lớp thặng dư Z m số ñược gọi hệ thặng dư ñầy ñủ môñun m Viết tắt hệ TDĐĐ mod m 1.3.5.2 Định nghĩa Cho m số nguyên dương Tập hợp K gồm số nguyên lấy lớp khả nghịch Z m số ñược Footer Page of 126 17 Header Page 10 of 126 18 gọi hệ thặng dư thu gọn môñun m Viết tắt hệ TDTG mod 1.3.7.2 Hệ i) Tất số nguyên tố ñều số nguyên nhân tử m 1.3.6 Hàm Euler phương 1.3.6.1 Định nghĩa ii) Nếu m số nguyên nhân tử phương, tức Cho m số nguyên dương, hàm Euler Φ ( m) biểu thị số số tự nhiên không vượt (m -1) nguyên tố với m 1.3.6.2 Định lý Với hai số tự nhiên khác không m1 m2 nguyên tố nhau, ta có Φ (m1m2 ) = Φ(m1 )Φ(m2 ) 1.3.6.3 Định lý Euler Nếu a, m số nguyên dương (a, m) = a Φ ( m ) ≡ 1(mod m) 1.3.6.4 Công thức tính Φ ( m ) i) Nếu m = Φ ( m ) = ii) Nếu m = pα , ñó p số nguyên tố α số tự nhiên khác Φ( pα ) = pα − pα −1 = pα (1 − ) p α1 α2 αk iii) Nếu m > m = p1 p2 pk dạng khai triển tắc Khi ñó k   Φ ( m) = m ∏  −  p i =1  i  1.3.7 Số nguyên nhân tử phương (square-free) 1.3.7.1 Định nghĩa 10 Một số nguyên dương n ñược gọi số nguyên nhân tử phương tất thừa số nguyên tố n thừa số xuất lần Nghĩa n có khai triển tắc n = p1 p2 pk , với pi ≠ p j Footer Page 10 of 126 m = p1 p2 pk Φ(m) = ( p1 − 1)( p2 − 1) ( pk − 1) 19 Header Page 11 of 126 Chương 20 2.1.4 Bổ ñề Mọi nhóm G cấp pq (trong ñó p < q số nguyên tố) TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n nhóm cyclic, nhóm không abel với q-nhóm Chương nội dung luận văn, xác ñịnh Sylow chuẩn tắc Trường hợp sau xảy q – chia hết số nguyên dương n ñể có nhóm cấp n (sai khác cho p ñẳng cấu) 2.1.5 Bổ ñề Phần cuối chương xác ñịnh số trường hợp số nguyên dương n ñể có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G cho H ⊂ Z(G) Khi ñó, G/H nhóm cyclic G nhóm abel 2.1 TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n 2.1.1 Mệnh ñề Giả sử H nhóm riêng nhóm G, S tập hữu hạn G cho G = H , S Khi ñó tồn nhóm cực ñại G mà chứa H Đặc biệt, nhóm hữu hạn sinh ñều có nhóm cực ñại 2.1.2 Bổ ñề Cho G nhóm, H ≤ G, |H| < ∞ i) Khi ñó, liên hợp H ñều nhóm G H ñẳng cấu với liên hợp ii) Nếu H nhóm cực ñại G liên hợp 2.1.6 Định lý Mọi nhóm cyclic có cấp vô hạn ñều ñẳng cấu với nhóm cộng số nguyên Z Mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp s ñều ñẳng cấu với nhóm cộng Z s lớp thặng dư theo mô ñun s 2.1.7 Hệ Với số nguyên dương n ñều tồn nhóm cyclic C(n) cấp n 2.1.8 Mệnh ñề Giả sử n số nguyên dương có nhân tử phương, tức n = mp a , ñó p số nguyên tố không chia hết m, a số tự nhiên, a ≥ nhóm cực ñại G Khi ñó: 2.1.3 Mệnh ñề i) (n, Φ (n)) ≥ p i) Nhóm tự ñẳng cấu nhóm cyclic cấp n có cấp Φ ( n) , với Φ hàm Euler ii) Nhóm tự ñẳng cấu nhóm cyclic cấp p, với p số nguyên tố, nhóm cyclic có cấp p - ii) Có hai nhóm có cấp n không ñẳng cấu C(n) C (m) × C ( p)a 2.1.9 Mệnh ñề Nếu G nhóm abel hữu hạn p số nguyên tố chia hết cấp G G có phần tử cấp p Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 21 22 2.1.10 Định lý 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, Giả sử n số nguyên dương cho có nhóm cấp n Khi ñó (n, Φ(n) ) = 1, với Φ hàm Euler 2.1.11 Bổ ñề Ta có (m, Φ ( m ) ) = 1, với số nguyên dương m ước 47, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97 2.2 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỦA n ĐỂ CÓ ĐÚNG HAI NHÓM CẤP n n Trong phần này, khảo sát số trường hợp 2.1.12 Bổ ñề i) Mọi nhóm thực nhóm thương theo nhóm chuẩn tắc không tầm thường G ñều nhóm cyclic số nguyên dương n, ñể có ñúng hai nhóm cấp n không ñẳng cấu 2.2.1 Hệ ii) Tâm Z(G) nhóm G tầm thường 2.1.13 Bổ ñề Nếu N nhóm chuẩn tắc G L nhóm G/N G có nhóm H chứa N Cho x ≠ phần tử nhóm cực ñại U L = H/N Nếu L nhóm chuẩn tắc G/N H G Khi ñó U nhóm tâm hóa CG ( x) x G Hơn nữa, hai nhóm cực ñại phân biệt U, V G ñều có giao tầm nhóm chuẩn tắc G Ngoài ra, H1/N = H/N, với H1 thường 2.2.2 Định lý H ñều nhóm chứa N G H1 = H Nếu G ≠ {1G } G p-nhóm hữu hạn Z(G) có cấp 2.1.14 Bổ ñề Bất kỳ nhóm cực ñại U G ñều nhóm chuẩn hóa NG (U ) U G Ngoài ra, U nhóm cực ñại cấp u G, lớp liên hợp U chứa ñúng n - n/u phần tử khác Định lý sau kết luận văn: 2.1.15 Định lý Cho n số nguyên dương Điều kiện cần ñủ ñể có nhóm cấp n (n, Φ(n) ) = 2.1.16 Hệ Các số nguyên dương n ≤ 100, cho có nhóm cấp n : khác 2.2.3 Hệ Cho G nhóm có cấp pr ( r ≥ 1) Khi ñó nhóm chuẩn tắc có cấp p 2.2.4 Mệnh ñề Cho p số nguyên tố Khi ñó, nhóm có cấp p ñều nhóm abel 2.2.5 Mệnh ñề Cho p số nguyên tố lớn Khi ñó nhóm cyclic C( p ) có cấp p không ñẳng cấu với nhóm C(p) × C(p) 2.2.6 Mệnh ñề Có hai nhóm không ñẳng cấu có cấp p2 Footer Page 12 of 126 G chứa r-1 23 Header Page 13 of 126 24 2.2.7 Định nghĩa Xét ña giác ñều n cạnh Pn với n > Gọi a phép quay mặt phẳng xung quanh tâm P góc có hướng 2π , n n KẾT LUẬN b phép ñối xứng qua ñường thẳng ñi qua tâm Pn ñỉnh Khi ñó, tất phép ñối xứng Pn ñược liệt kê sau: e, a, a , , a n −1 , b, ab, , a n −1 b Chúng l;ập thành nhóm, kí hiệu Dn ñược gọi nhóm dihedral cấp 2n Như Dn biểu thị sau Dn = a, b / a n = e, b = e, (ab) = e 2.2.8 Bổ ñề Giả sử G nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ Khi ñó G có ñúng nhóm K cấp p G i) có ñúng nhóm H cấp 2, ii) G có ñúng p nhóm cấp 2.2.9 Bổ ñề Cho G nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ Nếu G có nhóm cấp G nhóm cyclic cấp 2p 2.2.10 Bổ ñề Giả sử G nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ Nếu G có ñúng p nhóm cấp G ñẳng cấu với nhóm Dp 2.2.11 Định lý Với số nguyên tố lẻ p có ñúng hai nhóm có cấp 2p không ñẳng cấu nhóm cyclic C(2p) nhóm D p Footer Page 13 of 126 Với mục tiêu ñã ñược ñặt ra, luận văn "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n" ñã thực ñược vấn ñề sau: - Thông qua hàm Euler tính chất nó, luận văn ñã xác ñịnh ñược số nguyên dương n cho có nhóm cấp n (sai khác ñẳng cấu) - Xác ñịnh số trường hợp số nguyên dương n ñể có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục ñược phát triển, hoàn thiện mở rộng nhiều  ... Chương 20 2.1.4 Bổ ñề Mọi nhóm G cấp pq (trong ñó p < q số nguy n tố) TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n nhóm cyclic, nhóm không abel với q -nhóm Chương n i dung lu n v n, xác ñịnh Sylow chu n tắc Trường... hỏi n y, ch n ñề tài lu n v n Thạc sĩ : "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP Ki n thức chu n bị số số ki n thức c n thiết ñể chu n bị cho chương sau Chương II: Tính nhóm cấp n Chương n i dung lu n v n, ... lu n v n "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n" ñã thực ñược v n ñề sau: - Thông qua hàm Euler tính chất n , lu n v n ñã xác ñịnh ñược số nguy n dương n cho có nhóm cấp n (sai khác ñẳng cấu) - Xác ñịnh