Bài báo đề cập đến một tri thức phương pháp cụ thể là phương pháp chứng minh phản chứng, trong đó làm rõ nguyên lí chứng minh bằng phản chứng và đề xuất một số cách thức truyền thụ phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, gồm: Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh bằng phản chứng một cách trực tiếp; truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh bằng phản chứng một cách gián tiếp.
ứng để giải như: Chứng minh bất đẳng thức, nghiệm phương trình, tốn lượng giác, tốn hình học Ví dụ 2: Chứng minh a + b = 2cd hai bất đẳng thức sau đúng: c2 ≥ a; d2 ≥ b Giả sử hai bất đẳng thức sai, có nghĩa là: c2 < a ⇒ d2 < b c2 − a < ⇒ c2 − a + d2 − b < ⇒ c2 + d2 − (a + b) < d2 − b < ⇒ c2 + d2 − 2cd < ⇒ (c + d)2 < vơ lí Điều chứng tỏ hai bất đẳng thức sai Vậy có đẳng thức Để chứng minh mệnh đề P ⇒ Q phương pháp phản chứng có hiệu địi hỏi phải nắm phủ định mệnh đề Đặc biệt Q có dạng sau [5;72]: Q = Q1 ∧ Q2 Q = Q1 ∨ Q2 thì Q = ∀x, R(x) Q = ∃x, R(x) 2.2 Q = Q1 ∧ Q2 = Q1 ∨ Q2 ; Q = Q1 ∨ Q2 = Q1 ∧ Q2 ; Q = ∀x, R(x) = ∃x, R(x); Q = ∃x, R(x) = ∀x, R(x) Cách thức truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh dạy học tốn trường Trung học phổ thơng 2.2.1 Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng cách trực tiếp Trong trường hợp này, tri thức phương pháp đối tượng trung tâm tình dạy học cụ thể, kết tri thức trình bày cách tổng quát tường minh dạng quy tắc, thuật toán hay danh sách lời khuyên, dẫn Ở cấp độ này, GV phải rèn luyện cho HS HĐ dựa tri thức phương pháp phát biểu cách tổng quát, không dừng mức độ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phương pháp Từng bước hành động, phải làm cho HS hiểu ngơn ngữ diễn tả bước tập cho họ biết hành động dựa phương tiện ngơn ngữ Ta dạy tường minh tri thức phương pháp chứng minh phản chứng theo quy trình bước Ví dụ 3: Chứng minh rằng, a1 a2 ≥ 2(b1 + b2 ) (*) hai phương trình: x2 + a1 x + b1 = ; x2 + a2 x + b2 = có nghiệm Đứng trước tốn người giáo đưa hệ thống dẫn, lời khuyên hướng học sinh vào hoạt động nhận thức, tiến hành quy trình giải tốn 104 Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng dạy học Tốn HĐ 1(GV): Em có nhận xét giả thiết yêu cầu toán? HĐ (HS): Bài toán cho giả thiết A yêu cầu chứng minh B HĐ (GV): Có thể dùng phương pháp phản chứng giải hay không? Em nêu quy trình gải tốn này? HĐ (HS): Nêu quy trình bước Bước 1: Giả sử phương trình khơng có nghiệm, có nghĩa là: ∆1 = a1 − 4b1 < (I) ∆2 = a2 − 4b2 < Sau HS đưa giả sử dẫn đến KL (I), giáo viên đưa câu hỏi HĐ (GV): Từ kết luận (I) suy điều gì? Và điều có liên hệ với giả thiết (*)? HĐ (HS): Từ học sinh đưa bước Bước 2: Từ (I) ⇒ a1 + a2 − 4(b1 + b2 ) < 0, Kết hợp với (*) ta có: a1 + a2 − 2a1 a2 ≤ a1 + a2 − 4(b1 + b2 ) < ⇒ (a1 − a2 )2 < vơ lí HĐ (GV): Từ em có kết luận gì? Có điều giả sử không? HĐ (HS): Không tồn giả sử phương trình khơng có nghiệm Dẫn đến bước Bước : Kết luận a1 a2 ≥ 2(b1 + b2 ) (*) hai phương trình: x + a1 x + b1 = ; x2 + a2 x + b2 = có nghiệm HĐ (GV): Như vậy, toán giải phương pháp phản chứng Em đề xuất toán tương tự? 2.2.2 Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng cách gián tiếp Khác với cấp độ trên, tri thức phương pháp đối tượng chủ yếu tình dạy học cụ thể mà cần thơng báo q trình dạy học Thơng báo lặp lại nhiều hội khác nhau, nhiều thời điểm khác Đây trường hợp thường áp dụng cho tri thức phương pháp chưa quy định chương trình phải thoả mãn yêu cầu: - Những tri thức phương pháp giúp HS dễ dàng thực số HĐ quan trọng quy định chương trình + Việc thơng báo tri thức dễ hiểu tốn thời gian Chẳng hạn, "quy lạ quen" tri thức phương pháp khơng quy định chương trình thoả mãn hai điều kiện Ví dụ 4: Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c(a = 0) số thực α Nếu af (α) < tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ) x1 < α < x2 Để truyền thụ cho HS theo cấp độ này, đặc biệt tập luyện cho HS hoạt động quy lạ quen Hoạt động thơng báo q trình dạy học, thơng báo lặp lại nhiều thời điểm khác Cụ thể toán này, người giáo viên tiến hành sau: HĐ 1(GV) : Tiến hành thông báo sau: Đối với tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ) có nghĩa ∆ > 105 La Đức Minh HĐ 2(GV): Như để chứng minh tam thức bậc hai có nghiệm phân biệt phương pháp phản chứng ta cần chứng minh nào? HĐ 3(HS): Để chứng minh ∆ > phản chứng ta giả sử HĐ 4(GV): Thơng báo định lí dấu tam thức bậc hai: Với ∆ < af (α) > 0, ∀α ∈ R −b −b Với ∆ = af (α) = 0, α = ; af (α) > 0, ∀α = 2a 2a HĐ 5(GV): Thông báo đến HS để chứng minh x1 < α < x2 phương pháp phản chứng ta phải chứng minh nào? HĐ 6(HS): Ta cần giả sử α ∈ / (x1 , x2 ) HĐ 7(GV): Yêu cầu học sinh đưa quy trình giả tốn phương pháp phản chứng? HĐ 8(HS): Đưa quy trình giả toán phương pháp phản chứng sau: Bước 1: + Giả sử ∆ ≤ α ∈ / (x1 , x2 ) + Giả sử α ∈ / (x1 , x2 ) ⇒ af (α) ≥ 0, trái với giả thiết af (α) < Bước 2: + Với ∆ ≤ ta có: af (α) ≥ 0, trái với giả thiết af (α) < + Với α ∈ / (x1 , x2 ) ⇒ af (α) ≥ 0, trái với giả thiết af (α) < Bước 3: Như không tồn giả sử ∆ ≤ α ∈ / (x1 , x2 ) Kết luận: toán giải GV tập luyện cho HS hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp, tổ chức HĐ theo mục đích xác định Những tri thức phương pháp cần GV vận dụng cách có ý thức việc tập, việc hướng dẫn nhận xét hay bình luận HĐ HS Nhờ việc làm đó, HS làm quen vận dụng q trình HĐ Ví dụ 5: Chứng minh phương trình 5x−2 = − x có nghiệm Đứng trước toán này, người giáo viên nên truyền thụ cho học sinh theo phương án truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc luyện tập hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp Giáo viên nên lặp đi, lặp cách có dụng ý dẫn câu hỏi: HĐ 1(GV): Em nhận dạng phương trình (1); Phương trình (1) có đặc điểm gì? HĐ (HS): Phương trình (1) có dạng: f (x) = g(x), f (x) hàm số đồng biến, g(x) hàm số nghịch biến HĐ (GV): Em có biết quy trình để giải tốn chưa? HĐ (HS): Trả lời tốn chưa có quy trình giải, biến đổi phương trình dạng quen thuộc; HĐ (GV): Việc biến đổi phương trình (1) phương dạng quen thuộc có gặp khó khăn trở ngại khơng? Em dự đốn nghiệm phương trình khơng? HĐ (HS): Dự đốn phương trình (1) có nghiệm x = HĐ (GV): Cơ sở em dự đốn phương trình (1) nghiệm x = HĐ (HS): Vì f (2) = g(2) = 1, nên x = nghiệm phương trình 106 Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng dạy học Toán HĐ (GV): Vậy có phải nghiệm phương trình (1) khơng? Chứng minh nào? Có thể chứng minh phương pháp phản chứng không? HĐ 10 (HS): x = nghiệm phương trình (1) chứng minh sau: Bước 1: Giả sử x = nghiệm nhất, tức phương trình có nghiệm x = Bước 2: Với ⇒ f (x) < f (2) = g(2) < g(x) chứng tỏ phương trình khơng thỏa mãn Với ⇒ f (x) > f (2) = g(2) > g(x) chứng tỏ phương trình khơng thỏa mãn Bước 3: Chứng tỏ điều giả sử sai Vậy phương tình dã cho có nghiệm x = Sau hướng dẫn học sinh giải giáo viên có câu hỏi học sinh phương trình dạng: f (x) = g(x), f (x) hàm số đồng biến, g(x) hàm số nghịch biến có nghiệm, nghiệm có phải nghiệm khơng? Việc chứng minh khẳng định liên tưởng đến phương pháp chứng minh nào? Kết luận Việc vận dụng tri thức phương pháp chứng minh phản chứng vào giải toán cho phép HS giải toán hiệu quả, vấn đề chỗ đứng trước toán người giáo viên hướng học sinh vào hoạt động để lựa chọn công cụ để giải tốn đặt nhận diện sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Chúng, Võ ứng Đoài, Nguyễn Văn Bàng, 1960 Phương pháp tổng qt giảng dạy tốn học trường phổ thơng Nxb Giáo dục [2] Vương Tất Đạt, 1992 Lơgíc hình thức Trường Đại học sư phạm Hà nội I [3] Nguyễn Bá Kim, 2006 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm [4] Goor-ki, 1974 Lơgíc học Nxb Giáo dục [5] Lê Văn Tiến, 2005 Phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng (các tình dạy học điển hình) Nxb Quốc gia Thành phố Hồ chí Minh ABSTRACT Method knowledge of disproof in mathematics for high school students Method knowledge is the knowledge of a method that solve a certain type of task, which is based on the principle of the system, manipulating the system to proform identification purposes Knowledge of method for direct operations and an important influence on the shape of student skills.The paper mentions a specific method of knowledge is the method of feedback-evidence demonstration, which makes the demonstration principles by using feedback- evidence clear and suggests some ways to transmit the method of feedback-evidence demonstration to students in teaching Mathematics in high school, including: Method of transfer knowledge demonstrated by an direct contradiction Method of transfer knowledge demonstrated by an direct disproof 107 ... 106 Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng dạy học Toán HĐ (GV): Vậy có phải nghiệm phương trình (1) khơng? Chứng minh nào? Có thể chứng minh phương pháp phản chứng khơng? HĐ... đề xuất toán tương tự? 2.2.2 Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng cách gián tiếp Khác với cấp độ trên, tri thức phương pháp đối tượng chủ yếu tình dạy học cụ thể mà cần thông báo.. .Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh phản chứng dạy học Toán HĐ 1(GV): Em có nhận xét giả thiết u cầu toán? HĐ (HS): Bài toán cho giả thiết A yêu cầu chứng minh B HĐ (GV):