Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa GIẢI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chương : Đạo hàm CHƯƠNG V ĐẠO HÀM §1 Đạo hàm & ý nghóa hình học đạo hàm A Tóm tắt giáo khoa Đạo hàm hàm số điểm : Cho hàm số y = f ( x ) xác định khỏang (a,b) xo thuộc khỏang ( a , b ) Đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm xo , ký hiệu f’ ( xo) , giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số số gia hàm số Δy số gia biến số Δx điểm xo số gia biến số dần tới : f '( xo ) = lim x→xo f ( x) − f ( xo ) f ( xo + Δx) − f ( xo ) Δy = lim = lim Δx → Δx Δx → Δx x − xo Chú ý : Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm điểm xo hàm số liên tục điểm xo Đạo hàm hàm số khoảng : D khoảng ( hay hợp nhiều khoảng ) Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm D có đạo hàm điểm xo thuộc D Khi ta có hàm số xác định D : y’ = f’( x ) với x thuộc D Hàm số gọi đạo hàm hàm số y = f ( x ) Đạo hàm số hàm số thường gặp : f ( x) = C f ( x) = x ⇒ f '( x) = ⇒ f '( x) = , ∀x ∈ R , ∀x ∈ R f ( x) = x n (n ∈ N , n ≥ 2) ⇒ f '( x) = nx n −1 , ∀x ∈ R f ( x) = x ⇒ f '( x) = , ∀x ∈ R + x (C số) Ý nghóa hình học đạo hàm : Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm điểm xo , đồ thị hàm số ( C ) Định lý : Đạo hàm hàm số điểm xo hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm Mo( xo , f(xo)) thuộc ( C ) Như , phương trình tiếp tuyến với ( C ) Mo ( xo , yo) thuộc ( C ) có dạng : ( t ) : y = f’( xo) ( x – xo) + f(x0) Hệ số góc tiếp tuyến tanϕ = f’(x0) M f(x0) B Giải tóan Dạng : Tính đạo hàm hàm số x0 ϕ x0 Ta thường thực bước sau : Cho xo số gia Δx tinh số gia Δy Lập tỉ số Δy f ( x) − f ( xo ) f ( xo + Δx) − f ( xo ) = tìm giới hạn tỉ số Δx → = x − xo Δx Δx (hay x → xo) Giới hạn này, có, đạo hàm f’(xo) hàm số điểm xo Ví dụ : Tính đạo hàm số sau xo tương öùng : a) y = f ( x) = x2 + 3x – taïi xo = www.saosangsong.com.vn Chương : Đạo hàm b) y = f ( x ) = 2x +1 taïi xo = x+2 Giải : a) Cho xo = số gia Δx , ta coù : Δy = f ( xo + Δx) − f ( xo ) = ⎡⎣(2 + Δx) + 3(2 + Δx) − 1⎤⎦ − ⎡⎣ 22 + 3.2 − 1⎤⎦ = [4 + 4Δx + ( Δx ) + + 3Δx − 1] − = ( Δx ) + 7Δx Δy Δy Suy ra: = (Δx) +7 => lim = Vậy f’(2) = Δ x → Δx Δx 2 Cách trình bày khác: Ta có: f (x) - f(2) (x + x − 1) - x +3x - 10 = = x −2 x −2 x −2 (x − 2)(x +5) = = x +5 x −2 f (x) - f(2) Suy ra: lim = + = Vậy đạo hàm f’(2) = x →2 x −2 b) Cho xo số gia Δx cho ( xo + Δx) ≠ −2 , ta coù : 2(1 + Δx) + Δy = f (1 + Δx) − f (1) = −1 (1 + Δx) + [2(1 + Δx) +1] − [(1 + Δx)+2] Δx = = (1 + Δx) + + Δx Δy => = Δx 3+Δx Δy Suy ra: lim = Vậy f’(1) = 1/3 Δx → Δx Trình bày khác: 2x +1 −1 f ( x) − f (1) x + x −1 = = ( x − 1)( x + x −1 x −1 1 f ( x) − f (1) => lim = = x →1 x −1 1+ Vaäy f’(1) = 1/3 Dạng tóan : Tính đạo hàm hàm số Ta thường thực bước sau : Gọi x0 giá trị thuộc tập xác định f Tính đạo hàm f’(x0) theo xo Thay x xo ta đạo hàm f’(x) Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số sau : a) y = x3 + 3x – b) y = x+2 x +1 c) y = f ( x) = Giaûi : a) Cho xo số trị x, ta có : Δy = f ( x) − f ( xo ) = ( x3 + x − 2) − ( xo3 + 3xo − 2) = ( x3 − xo ) + 3( x − xo ) = ( x − xo )[( x + xxo + xo ) + 3] => Δy f ( x) − f ( xo ) = = x + xxo + xo + Δx x − xo Δy = xo + xo xo + xo + = xo + Δx → Δx f '( xo ) = lim Vaäy f’( x ) = x2 + b) Ta có : www.saosangsong.com.vn x Chương : Đạo hàm Δy = f ( x) − f ( xo ) = => −( x − xo ) x + xo + − = x + xo + ( x + 1)( xo + 1) Δy =− Δx ( x + 1)( xo + 1) => f '( xo ) = lim Δx → Vaäy f’(x) = − ⎛ ⎞ Δy 1 = lim ⎜ − ⎟=− → x x o Δx ( xo + 1) ⎝ ( x + 1)( xo + 1) ⎠ ( x + 1) c) Ta coù : Δy = h( xo + Δx) − h( xo ) = = 1 − = xo + Δx xo xo − xo + Δx xo + Δx xo −Δx xo xo + Δx ( xo + xo + Δx ) y '( xo ) = lim Δx → hay y '( x) = Δy −1 −1 = lim = Δ → x Δx xo xo + Δx ( xo + xo + Δx ) xo xo −1 2x x Dạng toán : Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M Sử dụng công thức : Phương trình tiếp tuyến M là: y = f’ (xo) (x – xo) + f(xo) Ta thường gặp trường hợp sau: a) Cho hoành độ x0 (hay tung độ f(x0) điểm M) : ta phải tìm f(x0) (hay x0) f’(x0), áp dụng công thức b) Cho biết tiếp tuyến có hệ số góc k : Giải phương trình f’(xo) = k ta tìm xo , suy f(x o ) Rồi áp dụng công thức c) Cho biết tiếp tuyến với ( C ) qua điểm cho trước A ( xA , yA ) : Ta thực bước sau : Viết phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; M f(x ) f(x0)) theo aån x0 laø (t ) : y = f’(xo) ( x – xo) + f(x0) Tiếp tuyến qua A neân : yA – yo = f’(xo) (xA – A xo) Giải phương trình ( ẩn xo ) ta tìm xo x0 Suy PT tiếp tuyến cần tìm Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) = x2 biết a) Tiếp điểm có hòanh độ – b) Tiếp tuyến song song với đường thaúng d : y = 2x + c) Tiếp tuyến qua điểm A (- , - 3) Giải : a)Ta có : y’ = f’(x) = 2x xo= - , suy yo= (- 3)2 = ; f’(xo) = 2(-3) = -6 Vậy phương trình tiếp tuyến : y = - 6( x + 3) + hay y = - 6x - www.saosangsong.com.vn Chương : Đạo hàm b) Phương trình tiếp tuyến với ( C ) điểm (xo, yo) thuộc ( C ) có dạng : y = 2xo(x –xo) + x0 Tiếp tuyến song song với d : y = 2x + neân : 2xo = (hai đường thẳng song song có hệ số góc nhau) hay xo= Vậy phương trình tiếp tuyến : y = 2( x – 1) + hay y = 2x – c)Phương trình tiếp tuyến với ( C ) điểm (xo , yo) thuộc ( C ) có dạng : y = 2xo(x – xo) + x02 Ù y = xox – x02 (1) Tiếp tuyến qua A(-1, -3) neân : - = 2xo ( -1) – x02 Ù xo2 +2xo- = Ù xo= hay xo= - Thế vào (1), ta y = 2x – hay y = -6x – Có tiếp tuyến (C) qua điểm A Ví dụ : ( C ) đồ thị hàm số y = −3 x +1 cho biết : y ' = ( x − 2) x−2 a) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp điểm có tung độ b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3y – x + = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 dạng y = ax + b p dụng: tìm O x điểm A cho tiếp tuyến (C) qua Giải : Ta có : hàm số xác định x ≠ vaø y ' = a) f ( xo ) = ⇔ −3 ( x − 2) xo + = ⇔ xo − = xo + ⇔ x0 = xo − Tiếp điểm T(3, 4) , hệ số góc tiếp tuyến T : y’(3) = - Vậy phương trình tiếp tuyến T laø : y = - 3( x – 3) + Ù y = - 3x + 13 b) d: y = 1 x − => heä số góc đường thẳng d Gọi k hệ số góc tiếp tuyến phải tìm , ta coù 3 3 : k = −1 ⇔ k = −3 ( đường thẳng vuông góc với tích số hệ số góc -1 ) Gọi xo hòanh độ tiếp điểm tiếp tuyến , ta có : y’(xo) = - ⇔ ⎡ xo = => f ( xo ) = −3 = − ⇔ − = ⇔ x ( ) o ⎢ x = => f ( x ) = −2 ( xo − 2) o ⎣ o Vậy phương trình tiếp tuyến : y = - 3(x – 3) + Ù y = - 3x + 13 Hay : y = - 3(x –1) – Ù y = -3x + c) Phương trình tiếp tuyến M : y = f’(xo)(x – x0) + f(xo) = − Ùy= − x + ( xo + 1)( xo − 2) 3x + o ( xo − 2) ( xo − 2) Ùy= - xo + xo − 3x + (1) ( xo − 2) ( xo − 2) x +1 ( x − xo ) + o ( xo − 2) xo − * Gọi A(a, 0) điểm trục Ox Tiếp tuyên qua A Ù (1) thỏa với x = a y = www.saosangsong.com.vn Chương : Đạo hàm Ù0= − 3a + xo + xo − Ù xo + xo − − 3a = ( xo − 2) (2) ( xo ≠ 2) Không có tiếp tuyến qua A Ù (2) VN hay (2) có nghiệm kép baèng ⎡ Δ ' = + 3a < ⎡ a < −1 ⎢ ⎢ Ù ⎢ ⎧Δ ' = + 3a = ⎢ ⎧a = −1 a < −1 ⎨ ⎢⎨ ⎣⎢ ⎩a = ⎣ ⎩2 + − − 3a = C Bài tập rèn luyện 5.1 Tính đạo hàm hàm số sau giá trị xo tương ứng a) y = 2x2 + 3x taïi xo= b) y = 4x3 + x2 – 2x taïi xo = c) y = x +1 taïi x0 = x2 d) y = xo = x+4 5.2 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (x – 3)2 b) y = 2x − x+3 c) y = x x −1 5.3 Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm x = a f’(a) , tìm giới hạn sau : ⎛ f ( a + 4h) − f ( a ) ⎞ a ) lim ⎜ ⎟ h →0 h ⎝ ⎠ 2 x f (a ) − a f ( x) c) lim( ) x →a x−a ⎛ f ( a + 2h) − f (a − 3h) ⎞ b) lim ⎜ ⎟ h →0 h ⎝ ⎠ 5.4 ( C ) đô thị hàm số y = x a) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) điểm M thuộc ( C ) có hòanh độ b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) điểm N thuộc ( C ) có tung độ c) Viết phương trình tiếp tuyến © biết tiếp tuyến qua điểm x2 + x + x+3 x + 6x a) Chứng minh đạo hàm: y ' = ( x + 3) 5.5 ( C ) đồ thị hàm số : y = b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) giao điểm ( C ) với đường thẳng d : y = c)* Gọi M , N điểm ( C ) cho tiếp tuyến với ( C ) M , N song song với Hai điểm M , N đối xứng với qua điểm cố định ? D Hướng dẫn – Đáp số 5.1 a) f’(2) = 11 b) f’(1) = 12 5.2 a) y’ = 2(x – 3) b) y’ = c) f’(1) = - 33 d) f’(0) = - 1/16 11 ( x + 3) 3x − 2 x −1 f ( a + Δx ) − f ( a ) ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ = f '(a ) (Δx = 4h) Δx ⎠⎦ c) y’ = ⎡ ⎛ ⎛ f ( a + 4h) − f ( a ) ⎞ 5.3.a ) lim ⎜ = lim ⎢ ⎜ ⎟ Δx → h ⎝ ⎠ Δx → ⎣ ⎝ ⎡ f (a + 2h) − f (a ) − [ f (a − 3h) − f (a ) ] ⎤ b) lim ⎢ ⎥ = f '(a ) + f '(a ) = f '(a ) h →0 h ⎣ ⎦ www.saosangsong.com.vn Chương : Đạo hàm ⎡ ( x − a ) f (a) − a [ f ( x) − f (a) ] ⎤ ⎡ x f (a ) − a f ( x) ⎤ c) lim ⎢ lim = ⎥ ⎥ x →a ⎢ x →a x−a x−a ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f ( x) − f ( a ) ⎤ ⎡ = lim ⎡⎣( x + a ) f (a) ⎤⎦ − lim ⎢ a = 2af (a) − a f '(a) ⎥ x→a x→a x−a ⎣ ⎦ 5.4 a ) y = 1 ( x + 1) b) y = x +1 c) Phương trình tiếp tuyến điểm (x0 ; Ùy= x o ) © : y = (x − x o )+ x o xo xo x + 2 xo Tiếp tuyến qua điểm (8 ; 3) Ù = xo + x o - x o + = 2 xo x o = hay x o = Ù x0 = hay xo = 16 Ù Vậy coù hai tiếp tuyến y = 1 x + hay y = x + 5.5 a) Phương trình hòanh độ giao điểm d ( C ) : ⎡ x = −2 x2 + x + = ⇔ x − x − 12 = ⇔ ⎢ x+3 ⎣ x=6 Với x = - : y’ = - => Phương trình tiếp tuyến : y = - 8x – 11 Với x = 6: Phương trình tiếp tuyến : y = x− b) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) M , N x1 , x2 hòanh độ tiếp điểm M , N , ta coù : x12 + x1 ( x1 + 3) x2 + 6x ( x + 3) = x22 + x2 ( x2 + 3) = k hay x1 , x2 laø nghiệm phương trình = k ⇔ (k − 1) x + 6(k − 1) x + 9k = ⇒ x1 + x2 −6(k − 1) = = −3 (*) 2(k − 1) Vậy hòanh độ trung điểm I MN – Tung độ trung điểm I : yM + y N ⎛ x12 + x1 + x22 + x2 + ⎞ ⎛ x12 + x1 + x22 + x2 + ⎞ = ⎜ + − ⎟= ⎜ ⎟ x2 + ⎠ ⎝ x1 + x1 + ⎠ 2 ⎝ x1 + x12 − x22 + x1 − x2 ( x1 − x2 )( x1 + x2 + 1) −5( x1 − x2 ) = = = = −5 ( x1 + 3) 2( x1 + 3) 2( x1 + 3) yI = ( (*) cho : x2 + = −( x1 + 3); x1 − x2 = −2( x2 + 3) = 2( x1 + 3) ) Hai điểm M , N nhận I ( - , - ) làm trung điểm nên đối xứng qua I cố định Tóm lại , điểm M , N ( C ) có tiếp tuyến với ( C ) M , N song song với đối xứng qua điểm I ( - , - ) www.saosangsong.com.vn Chương : Đạo hàm §2 Quy tắc tính đạo hàm Hàm số y = u+v-w y = uv y = ku A Tóm tắt giáo khoa Các quy tắc tính đạo hàm (u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) có đạo hàm k số ) Đạo hàm y ’ = u’+v’- w’ y ’ = u’v + uv’ y ’ = ku’ u v k Y= v Y= B Gỉai tóan Dạng tóan : Tính đạo hàm công thức Xét xem hàm số cho thuộc dạng : y = u + v y’= y = f[u( x)] Y = un u y hàm số hợp – w ; y = u.v ; y = v y = f [u ( x)] ( u , v , w hàm số thường y= u ' v − uv ' v2 kv ' y’ = − v y ’ = f’[u(x)]u’( x ) y ’ = n.un – u’ u y‘= u' u gaëp ) áp dụng công thức tính đạo hàm Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số sau : a) y = 3x4- 2x3 + 5x - x2 b) y = x − c) y= ( 2x3—x2) ( 3x + ) d) y = 2x − 3x + Giải : a) Hàm số cho có dạng y = u + v – w , : y’ = 3( x4)’ – 2( x3)’ + 5( x)’ – ( )’ = 12x3 – 6x2 + b) Tương tự , ta có : y’ = x − 5( x −2 ) ' = x + 10 x −3 = x + 10 x3 c) Hàm số cho có dạng : y = u.v , : y’ = (2x3-x2)’(3x + ) + (2x3-x2) (3x +2)’ = (6x2-2x) (3x + 2) +( 2x3 – x2) = 24x3+ 3x2 – 4x u , : v ( x − 3) ' ( 3x + 1) − ( x − 3)( 3x + 1) ' d) Hàm số cho có dạng : y = y’= ( 3x + 1) = ( x + 1) − ( x − 3) ( 3x + 1) = 11 ( 3x + 1) Ví dụ : Tính đạo hàm hàm soá sau : a ) y = ( x + x + 1) d ) y = x 2 x3 + x + b) y = (x + 3x + ) e) y = (2 x − 1)3 ( x + 6)5 Giải : a) Hàm số cho có dạng : y = u5 , : y’ = 5u4u’ = 5( x2+ 3x + 1)4(x2 +3x + )’= 5(x2+3x +1 )4(2x + 3) www.saosangsong.com.vn c) y = f )y = (x + 1) (2 x − 1) x+2 Chương : Đạo haøm ⎡ ( x + x + )5 ⎤ ' ⎣⎢ ⎦⎥ u' b) Hàm số cho có dạng : y = u ⇒ y ' = = u 2 d) Hàm số cho có dạng : y = u.v , : y ' = ( x ) ' x3 + x + + x = = ( x + 3x + ) ( x + 3x + ) ⎡ ⎤ −4v ' −4 ⎢⎣( x + 1) ⎥⎦ ' −24 ( x + 1) x −48 x y = ⇒ y'= = = = v v ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( 2 12 2 ) x3 + x + ' = x x3 + x + + x 2 x(2 x3 + x + 1) + x (3x + x) x3 + x + = c) Hàm số cho có dạng : ( x3 + 3x + ) ( 3x + x ) 12 x2 + x 2 x3 + x + x + 3x3 + x x3 + x + e) y’ = [(2x – 1)3]’ (x + 6)5 + (2x – 1)3[(x + 6)5]’ = 6(2x – 1)2(x + 6)5 + (2x – 1)3 (x + 6)4 = (2x – 1)2(x + 6)5(8x + 35) f) 4(2 x − 1) x + − (2 x − 1) [(2 x − 1) ]' x + − (2 x − 1) [ x + 2]' = x+2 8(2 x − 1)( x + 2) − (2 x − 1) (2 x − 1)(6 x + 17) = = 2( x + 2) x + 2) 2( x + 2) x + 2 y'= Ví dụ : Cho hàm số : y = x+2 x+2 ad − bc ax + b Chứng minh raèng : y ' = (cx + d ) cx + d Áp dụng công thức , tính đạo hàm hàm số sau : 3x − a) y = 2x + Giaûi : Ta coù : y ' = 3− x b) y = 2+ x ⎛ −x ⎞ c) y = ⎜ ⎟ ⎝ 1− x ⎠ d) y = b) a = -1 ; b = ; c = ; d = ⇒ y ' = ( x + 1) −5 ( x + 2) x −1 : a = ; b = ; c = ; d = ⇒ u'= x −1 ( x − 1) −1 −3 x ⎛ x ⎞ = ⎟ ( x − 1) ⎝ x − ⎠ ( x − 1) Vaø y = u3 => y’ = 3u2u’ = ⎜ −10 : a = ; b = ; c = ; d = ⇒u'= (2 x + 3) 2x + −10 u' − (2 x + 3) = u => y ' = = u (2 x + 3) x + 2x + d) Đặt u = Và y = 2x + ( ax + b ) ' ( cx + d ) − ( ax + b )( cx + d ) ' = a ( cx + d ) − ( ax + b ) c = ad − bc 2 ( cx + d ) ( cx + d ) ( cx + d ) a) a = ; b = -2 ; c = ; d = ⇒ y ' = c) Đặt u = www.saosangsong.com.vn 10 Chương : Đạo hàm Dạng tóan : Một số tóan có liên quan đến đạo hàm Ví dụ : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 +10x – , dồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Giải : Hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) tiếp điểm có hòanh độ x : y’ = 3x2 + 6x +10 = ( x + 1)2 +7 ≥ ; dấu “ = “ xảy x = - Vậy tất tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ứng với x = - => f(x9) = f(- 1) = - 11 Phương trình tiếp tuyến laø : y = ( x + ) – 11 hay : y = 7x –4 Ví dụ 2* : f(x) đa thức thỏa hệ thức : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x + 2x – (1) a) Đa thức f(x) có bậc ? b) Xác định đa thức f(x) Giải : a) (1) thành : f’(x).f(x) – f’(x) – f(x) + = 2x3 + 2x2 hay : ( f(x) – ) ( f’(x) – ) = 2x3 + 2x2 Gọi n bậc đa thức f(x) bậc ( f(x) - ) n ; bậc ( f’(x) – ) n – Vậy bậc đa thức vế trái n + n – Do : 2n – = ( bậc đa thức vế phải ) Suy n = Tóm lại , đa thức f(x) có bậc b) Như f(x) có dạng : f(x) = ax2 + bx +c Suy : f’(x) = 2ax + b (1) thaønh : ( ax2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – ) = 2x3 + 2x2 hay 2a2x3 + ( 3ab – a )x2 + ( 2ac – 2a + b2 – b )x + ( b – ) ( c – ) = 2x3 + 2x2 Do : Vậy : f(x) = x2 + x + ⎧ 2a = ⎧a = ⎪ 3ab − a = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨b = ⎨ ⎪2ac − 2a + b − b = ⎪c = ⎩ ⎪⎩ (b − 1)(c − 1) = Ví dụ : f(x) đa thức có bậc lớn hay Chứng minh điều kiện cần đủ để f(x) chia hết cho ( x—a )2 : f(a) = f’(a) = Áp dụng : Chứng minh đa thức f(x) sau chia hết cho ( x – a )2 f(x) = nxn+1 – ( n + 1) axn +an+1 Giải : Điều kiện cần : f(x) chia hết cho ( x – a )2 nên : f(x) = ( x – a )2 g(x) Suy : f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )2 g’(x) Do : f(a) = f’(a) = Điều kiện đủ : Chia f(x) cho ( x – a )2 , ta coù : f(x) = ( x – a )2 g(x) + Ax + B Suy : f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )2 g’(x) + A ⎧ Aa + B = ⎧A = f (a) = f '(a ) = ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ A=0 ⎩B = Vaäy : f(x) = ( x – a )2 g(x) hay f(x) chia heát cho ( x – a )2 Áp dụng : f(a) = nan+1 – ( n + ) a.an + an+1 = nan+1 – nan+1 – an+1 + an+1 = f’(x) = n ( n + ) xn – n ( n + )a xn-1 ; f’(a) = n2an + nan - n2an – nan = Vậy f(x) chia hết cho ( x – a )2 www.saosangsong.com.vn 16 Chương : Đạo hàm Định lí : Ta coù sin x =1 x →0 x lim (với x tính rad) Đạo hàm hàm số lượng giác a) Đạo hàm hàm số y = sinx Định lí : Với x ∈ R , ta có (sinx)’ = cosx Hệ : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm J : (sinu)’ = (cosu).u’ b) Đạo hàm hàm số y = cosx Định lí : Với x ∈ R , ta có (cosx)’ = - sinx Hệquả : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm J : (cosu)’ = (- sinu).u’ c) Đạo hàm hàm số y = tanx Định lí : Với x ≠ π + kπ ( k ∈ Z) , ta coù (tanx)’ = =1 + tan2x cos x Hệ : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm J u(x) ≠ ( k ∈ Z) J thì: (tanu)’ = π + kπ u ' = [1 + tan2u).u’ cos 2u d) Đạo hàm hàm số y = cotx = - (1 + cot2x) sin x Heää : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm J u(x) ≠ kπ ( k ∈ Z) J : (cotu)’ = − u ' = - + cot2u) u’ sin u Định lí : Với x ≠ kπ ( k ∈ Z) ,ta có (cotx)’= − Bảng tóm tắt cần nhớ : (sinx)’ = cosx (sinu)’ = cosu u’ (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - sinu u’ (tanx)’ = =1 + tan2x cos x (cotx)’ = − (tanu)’ = = -{1+cot2x) sin x u’ = [1+ tan2u]u’ cos u (cotgu)’ = − u ' = -(1+cot2u)u’ sin u B Giải toán Dạng : Giới hạn hàm số lượng giác Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi hàm số cần tìm giới hạn dạng lim u ( x )→0 Ví dụ : Tìm giới hạn sau: sin x x sin x − cos x d) lim π 4x − π x→ a) lim x →0 − cos x − cos x c) lim x → tan x x + sin x − cos x e) lim x → + sin kx − cos kx b) lim x→0 www.saosangsong.com.vn sin u ( x) =1 u ( x) 17 Chương : Đạo hàm Giải: sin x s in3 x = lim × = ×1 = x →0 x →0 3x x − cos x 2sin 2 x sin x = lim = lim8 × ( ) =8 b) lim 2 x →0 x →0 x →0 x x 2x a) lim 2 − cos x 2sin 3x ⎛ sin x ⎞ ⎛ x ⎞ = lim = lim18 × ⎜ c) lim ⎟ ×⎜ ⎟ × cos x = 18 × × 1=18 2 x →0 x → sin x x →0 x x tan x sin ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos x π sin( x − ) = π 4( x − ) 4 x x x 2sin + 2sin cos + sin x − cos x 2 = lim e) lim x → + sin kx − cos kx x →0 kx kx kx 2sin + 2sin cos 2 x x x x kx x x sin (sin + cos ) sin sin + cos 2 = lim × ×( 2 )× = lim x →0 x →0 kx kx kx x kx kx kx k sin (sin + cos ) sin sin + cos 2 2 2 1 = 1× 1× 1× = k k sin x − cos x = lim d) lim π π 4x − π x→ x − →0 Dạng : Dùng định nghóa tính đạo hàm hàm số lượng giác Ví du : Dùng địngh nghóa tính đạo hàm hàm số y = xsinx Giải Với x0 ∈ R ta có : Δ y = (x0 + Δ x)sin(x0 + Δ x) – x0sinx0 = x0[sin (x0 + Δ x) – sinx0] + Δ xsin (x0 + Δ x) Δx Δx )sin ] + Δ xsin (x0 + Δ x) 2 Δx sin Δy Δx + sin( x + Δx) = lim x0 cos( x0 + ) × Tìm giới haïn lim Δx → Δx Δx → Δx 2 = x0 [2cos(x0 + = x0cosx0 + sinx0 Vậy y’(x0) = sinx0 + x0cosx0 Ví dụ : Dùng định nghóa tính đạo hàm hàm số y=f(x)= Giaûi Cho xo= π π ⎛ −π π ⎞ cos x ; x ∈ D = ⎜ , ⎟ ; xo = ⎝ 2⎠ số gia Δx cho ( π + Δx) ∈ D , ta có : www.saosangsong.com.vn 18 Chương : Đạo hàm π π cos( + Δx) − cos 3 Δy = f ( + Δx) − f ( ) = cos( + Δx) − cos = 3 3 π ⎛π ⎞ cos ⎜ + Δx ⎟ + cos ⎝3 ⎠ π π π π Δx ⎛ π Δx ⎞ −2sin ⎜ + ⎟ sin ⎝3 ⎠ = π ⎛π ⎞ cos ⎜ + Δx ⎟ + cos ⎝3 ⎠ Δy tính giới hạn tỉ số , ta có : Δx Δx ⎛ π Δx ⎞ π Δx sin −2sin ⎜ + − sin( + Δx) sin ⎟ Δy ⎝3 ⎠ lim = lim = lim Δx →0 Δx Δx →0 Δ x → x Δ ⎛ π π π π⎞ cos( + Δx) + cos Δx ⎜ cos( + Δx) + cos ⎟ 3 3⎠ ⎝ Lập tỉ số π sin Δx − = = ; lim = 1) = Δx → Δx π cos 2 ⎛π ⎞ − Vaäy f’ ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ − sin − Dạng : Dùng công thức tính đạo hàm hàm số lượng giác Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số sau : a) y = 3sinx – 2cosx c) y = xcosx sin x − cos x sin x + cos x e) y = + cot x b) y = d) y = tan x Giải a) Ta có y’ = 3cosx + 2sinx b) Ta coù y’ = (cos x + sin x)(sin x + cos x) + (sin x − cos x)(sin x − cos x) (sin x + cos x) (sin x + cos x) + (sin x − cos x) 2 = = (sin x + cos x) (sin x + cos x) c) y’ = 1cosx – xsinx (tan x) ' = 2 tan x cos x tan x −(1 + cotx) ' = e) y’ = 2 (1 + cot x) sin x(1 + cot x) d) y’ = Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số : a) y = sin + x b) y = cos32x c) y = tan2x – cot(x2 + 1) d) y = sin2xcos4x Giải www.saosangsong.com.vn 19 Chương : Đạo hàm a) y’ = ( x + 1)' × cos x + = x x +1 × cos( x + 1) b) y’ = (3cos 2x).(cos2x)’= - 6sin2xcos22x = -3sin4x.cos2x 2x + 2 cos x sin ( x + 1) d) y = (sin x − sin x) ⇒ y’ = 3cos6x – cos2x − cos x + sin x Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số y = cot x + cos x + sin x c) y’ = Giải thích kết Giải (2sin x + cos x)(1 + cos x + sin x) − (−2sin x + cos x)(1 − cos x + sin x) cot x (1 + cos x + sin x) 1 − cos x + sin x sin x + cos x + sin x 4sin x + cos 2 x + 4sin 2 x cos x − cos x + sin x − y’ = (1 + cos x + sin x) sin x sin x(1 + cos x + sin x) 4(sin x + 1) cos x sin x − (1 + cos x + sin x)(1 − cos x + sin x) = sin x(1 + cos x + sin x) Ta coù y’ = 2sin x(sin x + 1) − (1 + 2sin x + sin 2 x) + cos 2 x = sin x(1 + cos x + sin x) = sin 2 x + cos 2 x − =0 sin x(1 + cos x + sin x) Giải thích kết : 2sin x + 2sin x cos x cos x 2sin x(sin x + cos x) cos x = Ta coù y = =1 cos x + 2sin x cos x sin x cos x(cos x + sin x)sin x Vậy y’ = C.Bài tập rèn luyện 5.17 Tìm giới hạn sau : − cos 2 x a) lim x →0 x sin x cos x d) lim π x→ x − π − cos x tan x − sin x c) lim x → tan x x3 − cos x cos x π e) lim f) lim( x sin ) x →0 x →∞ x x b) lim x→0 5.18 Dùng định nghóa tính đạo hàm hàm số y = cos2x 5.19 Tính đạo hàm hàm số a) y = xcosx – sinx b) y = cos3x d) y = x + cotx - tg x e) y = − cos x c) y = sin3x.cos2x f) y = − cos x + cos x 5.20 Tính đạo hàm hàm số : a) y = sin2x + cos 3x d) y = + tan 4x π b) y = sin33x c) y = cos4 (2x - e) y = (1 – sinx)(1 + tan2 x) f) y = cos2 x( + sin2x) 5.21 Tính đạo hàm hàm số sau giải thích kết www.saosangsong.com.vn ) 20 Chương : Đạo haøm a) y = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x cos2 x b) y = sin x + cos6 x − sin x + cos x − 5.22 Cho y = cos2x - cosx Gíi phương trình y’ = 5.23 Cho hàm số y= 4sinx + 3cosx + mx Định m để để phương trình y’ = có nghiệm D.Hướng dẫn giải − cos 2 x sin 2 x sin x x ×4= 5.17 a) lim ) × = lim = lim( 0 x →0 x → x → x sin x x sin x 2x sin x x 2sin × cos x − cos x − cos x = lim = lim = b) lim x→0 x → (1 + cos x ) tan x x → (1 + cos x ) sin x tan x x sin 2 ) × ( x ) × × cos x = = lim( x →0 x sin x (1 + cos x ) x sin sin x(1 − cos x) sin x 1 tan x − sin x ) × ( )2 × × = lim( = lim = c) lim 3 x→0 x →0 x →0 x x cos x x cos x x π π sin( − x) − sin 2( x − ) cos x =−1 = lim = lim d) lim π π π 4x − π π π x − →0 x − →0 x→ 4( x − ) 4( x − ) 4 4 − cos x cos x lim − cos x + cos x2 (1 − cos x ) = e) lim = x →0 x x →0 x2 − cos x cos x (1 − cos x ) + lim 2 x →0 x → x (1 + cos x ) x x sin sin x cos x )2 + lim ) = × 2( = lim ( x →0 x → (1 + cos x ) x x 2 = lim π x×1 = f) lim( x sin ) = lim π x →∞ π π π x →0 x x π 5.18 sin Δy cos 2( x + Δx) − cos x −2 sin(2 x + Δx) sin Δx = lim = lim Δx → Δx Δx → Δx → Δx Δx Ta coù lim = -2sin2x Vaäy y’ = -2sin2x 5.19 a) y’ = 1.cosx – xsinx – cosx = - xsinx b) y’ = - 3cos2 x.sinx c) y’ = 3sin2 x.cos3 x – 2cosx.sin4 x = sin xcosx( 3cos2 x – sin2 x) d) y’ = - 1 - tan2 x = – (1 + cot2 x) – tan2 x( + tan2 x) 2 sin x cos x = - ( cot2x + tan2x + tan4x ) www.saosangsong.com.vn 21 Chương : Đạo hàm sin x − cos x sin x(1 + cos x) + sin x(1 − cos x) 2sin x = f) y’ = (1 + cos x) (1 + cos x) e) y’ = 5.20 a) y’ = 2cos2x – 3sin3x b) y’ = 9sin23x.cos3x c) y’ = - 4cos3(2x d) y’ = π (1 + tan x) ' + tan x ).2sin(2x - = π ) = - 4sin(4x - 2π π ).cos2(2x - ) 3 cos x + tan x e) y’ = - cosx(1 + tan2x) + (1 – sinx) 2tanx(1 + tan2x) = (1 + tan2x)( - cosx + 2tanx – 2sinxtanx) = − cos x + 2sin x − 2sin x 2sin x − = cos3 x cos3 x − sin x cos x − cos x(cos x) − cos x(− sin x)(1 − sin x) Do y’ = cos x − cos x + 2sin x − 2sin x 2sin x − = = cos3 x cos3 x Caùch khác ta có : y = f) y’ = -2 cosxsinx(1 + sin2x) + cos2x.2cos2x = 2cosx(sinxsin2x – sinx – cosxcos2x) = -2cosx(cos3x + sinx) 5.21 a) Ta coù y’ = 6sin5xcosx – 6cos5xsinx + (2sinxcos3x – 2cosxsin3x) = 6sinxcosx(sin4x – cos4x + cos2x – sin2x) = 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x) + cos2x – sin2x)]= Giải thích ta coù a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a+b) Với a = sin2x b = cos2x a + b = Vaäy y = a3 + b3 + 3ab = [(a + b)3 – 3ab] + 3ab = Suy y’ = b) (sin6x + cos6x – 1)’ = 6sin5xcosx – 6cos5x sinx = 6sinxcosx(sin4x – cos4x) = 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x)] = -3sin2x.cos2x = −3 sin4x (sin4x + cos4x -1)’ = 4sin3xcosx – 4cos3xsinx = 4sinxcosx(sin2x – cos2x) = - 2sin2xcos2x = -sin4x Do y’ = −3 / 2(sin x)(sin x + cos x − 1) + sin x(sin x + cos x − 1) (sin x + cos x − 1) sin x[−3(sin x + cos x − 1) + 2(sin x + cos x − 1)] = (sin x + cos x − 1) = sin x(6sin x cos x − 6sin x cos x) =0 (sin x + cos x − 1) Giải thích : đặt a = sin x b = cos2 x ta coù a + b = sin6x + cos6x – = [(a + b)3 – 3ab – 1] = -3ab sin4x + cos4x – = [(a + b)2 – 2ab – 1] = -2ab Vaäy y= 3/2 Suy y’ = 5.22 y’= -2sin2x + sinx = -2( 2sinxcosx - sinx) = -2sinx(2cosx - 3) www.saosangsong.com.vn 22 Chương : Đạo hàm ⎡ sin x = x = kπ ⎡ ⎢ ⎢ Do y’ = ⇔ ⇔ ⎢ cos x = ⎢ x = ± π + k 2π ⎣ ⎣⎢ 5.23 y’ = 4cosx – 3sin x + m Do y’ = ⇔ 3sinx – 4cosx = m Phương trình có nghiệm m2 ≤ + 16 = 25 ⇔ -5 ≤ m ≤ §4 Vi phân A.Tóm tắt giáo khoa Khái niệm vi phân Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x Δ x số gia biến số x Tích f ’(x) Δ x, kí hiệu df(x),được gọi vi phân hàm số y = f(x) điểm x ứng với số gia Δ x cho Vậy df(x) = f’(x) Δ x * Nếu lấy f(x) = x df(x) = dx = (x)’ Δ x= Δ x Vaäy df(x) = f’(x) dx hay dy = y’dx Ứng dụng vi phân vào phép tính gần Nếu Δx nhỏ f’(x0) = lim Δx → ⇔ f(x0 + Δ x) – f(x0) ≈ f’(x0) Δ x Vaäy f(x0 + Δ x) ≈ f(x0) + f’(x0) Δ x Δy Δy ⇔ ≈ f '( x0 ) ⇔ Δy ≈ f '( x0 )Δx Δx Δx Đây công thức tính gần B.Giải toán Dạng : Tính vi phân Ví dụ : Tính vi phân hàm số f(x) = sinx điểm x = Giải Ta có f’(x) = cosx Do df( π ) = f’( π ) Δ x = cos π π ứng với Δ x = 0,01 Δ x = 0,5 × 0.01 = 0,005 Ví dụ : Tính vi phân hàm số : b) f(x) = x3 – x2 – a) f(x) = xsinx c) f(x) = cos2x Giaûi a) df(x) = (sinx + xcosx)dx b) df(x) = (3x2 – 2x)dx c) df(x) = -2cosxsinxdx = - sin2xdx d) df(x) = x +1 x − 2x − dx Dạng : Tính giá trị gần Ví dụ : Tính giá trị gần sin(300 20’) Giải Xét hàm số y = f(x) = sinx Nếu x tính radian f’(x) = cosx www.saosangsong.com.vn d) f(x) = x2 + x − 23 Chương : Đạo hàm π Với x0 = 300 = ta có f( π + π 540 π ) ≈ f( Vaäy sin(300 20’) ≈ sin( 20 π π π nên lấy Δ x = × = 60 180 540 540 vaø 20’ = π π ) + f’( π π ) + cos( ) π 540 π )× = 0,5 + 6 540 ≈ 0,5 + 0,8660 × 0,0058 ≈ 0,5050 C Bài tập rèn luyện 5.21 Tính vi phân hàm số f(x) = π 540 x điểm x = ứng với Δ x = 0,01 π 5.22 Tính vi phân hàm số f(x) = cos2x điểm x = ứng với Δ x = 0.001 3 5.23 Tính vi phân hàm số : a) y = cos2 x b) y = 2tan3x – cot2x 5.24 Tính giá trị gần : a) 27, 24 b) sin310 c) y = x2 + c) cos60030’ D Hướng dẫn giải 5.21 Ta có f(x) = x f’(x) = Δ x = × 0, 01 = 0.0033 Vậy df(1) = f’(1) 5.22 f’(x) = -2sin2x Vaäy df( π ) = f’( −32 x = 3 x2 π 2π π 0,001 = -2sin 0,001 = 0,0017 3 Δ x = -2sin ) 5.23 a) df(x) = -2cosxsinx.dx = -sin2x.dx b) df(x) = ( c) df(x) = 6 − ).dx cos x sin x x x2 + dx d) df(x) = (cos2x – 2xcosxsinx)dx = (cos2x – xsin2x)dx 5.24 a) Xét hàm số f(x) = Với x0 = 27 va Vậy 3 x ta có f’(x) = Δ x = 0,24 f(27,24) ≈ 27, 24 = 27 + 1 −32 x = 3 x2 f(27) + f’(27).0,24 0,24 ≈ + 0,0088 ≈ 3,0088 3 27 b) Xét hàm số f(x) = sinx ta có f’(x) = cosx với x tính radian Với x0 = 300 = π Δ x = 10 = Vậy sin310 ≈ sin ( π ) + cos( π ) π 180 π ≈ 0,5 + 0,8660 × 0,0174 =0,5150 180 b) Xét hàm số f(x) = cosx ta có f’(x) = -sinx với x tính radian Với x0 = 600 = π Δ x = 30’ = Vaäy cos60030’ ≈ cos( π ) – sin( π π 360 ) π 360 ≈ 0,5 – 0,8660 × 0,0087 www.saosangsong.com.vn d) y = xcos2x 24 Chương : Đạo hàm ≈ 0,5 – 0,0075 = 0,4925 §5 Đạo hàm cấp cao A.Tóm tắt giáo khoa 1.Định nghóa Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai hàm số f(x), kí hiệu f ”(x) hay f(n+2)(x) Tổng quát : Đạo hàm cấp n ( n ∈ N , n ≥ ) hàm số y = f(x) ,kí hiệu f(n)(x) hay y(n) , đạo hàm đạo hàm cấp (n – 1) hàm số f(x) Vậy f(n) (x) = [f(n-1) x]’ Ý nghóa học đạo hàm cấp hai Xét chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t) Ta biết vận tốc thới điểm t0 chất điểm v(t0) = s’(t0) Gia tốc tức thời thời điểm t0 chất điểm giới hạn hữu hạn Δv = v’(t0) Δt → Δt γ (t0 ) = lim Vậy ý nghóa học đạo hàm cấp : Gia tốc tức thời thời điểm t0 chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t) γ (t0) = s’’(t0) B Giải toán Ví dụ : Tính đạo hàm cấp hai hàm số : b) y = tanx a) y = x3 – 3x2 + 2x - c) y = sin2 x d) y = x c) f(x) = , f(3) (x) x +1 Giaûi a) y’ = 3x2 – 6x + vaø y’’ = 6x – b) y’ = + tan2x vaø y’’ = 2tanx(1 + tan2x) c) y’ = 2sinxcosx = sin2x vaø y’’ = 2cos2x −21 −23 −1 −1 = d) y’ = x vaø y’’ = − x = 2 4x x x Ví dụ : Tính đạo hàm đến cấp hàm số sau : a) f(x) = x4 – 2x3 + 3x2 – , f(5)(x) b) f(x) = sin2x , f(4)(x) Giaûi a) f’(x) = 4x3 – 6x2 + 6x f’’(x) = 12x2 – 12x + f(3)(x) = 24x – 12 f(4)(x) = 24 f(5)(x) = b) f’(x) = 2sinxcosx = sin2x f’’(x) = 2cos2x f(3)(x) = - 4sin2x c) f’(x) = − ( x + 1) f’’(x) = f(4)(x) = -8 cos2x ( x + 1)3 f(3) = − ( x + 1) Ví dụ : Tính đạo hàm cấp n hàm số www.saosangsong.com.vn 25 Chương : Đạo hàm a) f(x) = x −1 b) f(x) = sin2x Giaûi ( x − 1) (−1)(−2) 1.2 = f’’(x) = ( x − 1) ( x − 1)3 a) Ta có f’(x) = − Dự đóan f(n) = (−1)n n ! Ta chứng minh công thức qui nạp ( x − 1)n +1 • n = công thức • Giả sử công thức n = k nghóa f(k)(x) = Do f(k+1)(x) =[ (−1)k k ! ( x − 1)k +1 (−1)k k ! (−1) k (−1).k !.(k + 1) (−1) k +1.(k + 1)! ]’ = = ( x − 1)k +1 ( x − 1)k + ( x − 1) k + Vậy công thức ñuùng n = k + Suy theo qui nạp công thức với n ∈ N b) f’(x) = 2cos2x = 2sin(2x + π ) f’’(x) = -4sin2x = 22 sin(2x + Dự đoán f(n)(x) = 2n sin(2x + n π π ) ) Ta chứng minh công thức qui nạp • n = công thức • Giả sử công thức n = k nghóa f(k) (x) = 2k sin(2x + k Do f(k+1) (x) = [2k sin(2x + k π )]’ = 2k+1cos(2x +k = 2k+1 sin[2x + (k+1) π π ) ] Vậy công thức n = k + Suy công thức với n ∈ N Ví dụ : Cho hàm số y = Giải Ta có y’ = 1− 2x x − x2 −2 x − x − y’’ = x − x Tìm hệ thức y y’’ (1 − x) 2 2 x − x = −4( x − x ) − (1 − x) x − x2 4( x − x ) x − x hay y’’.y3 = -4x +4x2 -1 +4x – 4x2 Vậy y’’y3 + = C.Bài tập rèn luyện 5.25 Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau : a) y = sin2xsin3x b) y = x4 + x www.saosangsong.com.vn π ) 26 Chương : Đạo hàm c) y = x x −1 d) y = tan2 x 5.26 Tính đạo hàm cấp ba hàm số sau : a) y = b) y = sin3x x2 5.27 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau : a) y = x2 b) y = cos2x 5.28 Tính đạo hàm cấp n hàm số y = 5.29 Cho hàm số y = 1 Suy đạo hàm cấp n hàm số : y = x+a x + x−2 − x Tìm hệ thức y y” 5.30 Cho hàm soá y = 2sin( ωt + α ) + 3cos( ωt + α ) Chứng minh rằng: y” + ω y = D Hướng dẫn giải 5.25 a) y = 1 (cosx – cos5x) ⇒ y’ = ( -sinx + 5sin5x) 2 ( -cosx + 25cos5x) 1 b) y’ = 4x3 + ⇒ y” = 12x2 x 4x x −1 ⇒ y” = c) y’ = ( x − 1) ( x − 1)3 d) y’ = 2tanx(1+tan2x) = 2tanx + 2tan3x ⇒ y” = 2(1 + tan2x) + 6tan2x(1+tan2x) ⇒ y” = y” = 2(1+ tan2x)(1+3tan2x) −31 −2 −34 x ⇒ y” = x −37 x = ⇒ y’’’ = 27 27 x b) y’ = 3sin2x.cosx ⇒ y” = 3(2sinxcos2x – sin3x) ⇒ y’’’ = 3( 2cos3x – 4sin2xcosx – 3sin2x.cosx) = 3cosx (2cos2x – 7sin2x) 5.26 a) y = x ⇒ y’ = 5.27 a) Ta coù y = 4x-2 ⇒ y’ = -8x-3 =4(-1)1.2!.x-1-2 Dự đoán công thức y(n) = 4(-1)n(n+1)!.x-n-2 va chứng minh qui nạp Giả sử công thức n = k nghóa ta có y(k) = 4(-1)k.(k+1)!x-k-2 Do y(k+1) =[4(-1)k.(k+1)!x-k-2]’ = 4(-1)k+1(k+2)!x-k-3 n = k + Vậy theo qui nạp công thức với n ∈ N b) Tương tự ví dụ 3b ta có y = 2ncos(2x + k π ⇒ y(n)(x) = x+a 1 1 = ( − = Ta coù y = x + x − ( x − 1)( x + 2) x − 5.28 Theo ví dụ 3a ta có : y = Vaäy y(n)(x) = ) (−1)n n ! ( x + a)n +1 ) x+2 (−1) n n ! 1 [ − ] n +1 ( x − 1) ( x + 2) n +1 www.saosangsong.com.vn 27 Chương : Đạo hàm 5.29 y = 1− x2 ⇒ y’ = −x 1− x2 x2 −1 − x + ⇒ y” = − x2 − x2 = −1+ x2 − x2 (1 − x ) − x Vaäy y”y3 + = 5.30 Cho hàm số y = 2sin( ωt + α ) + 3cos( ωt + α ) y’ = ω cos( ωt + α ) - ω sin( ωt + α ) y” = -2 ω 2sin( ωt + α ) – ω 2cos( ωt + α ) = - ω y Vaäy y” + ω y = TRẮC NGHIỆM CUỐI CHƯƠNG A Câu hỏi Cho hàm số y = x3+ 2x Số gia Δy hàm số xo= tính theo số gia Δx biến biểu thức ? a ) ( Δx ) + ( Δx ) + 5Δx b) ( Δx ) + 5Δx c) ( Δx ) + ( Δx ) + 2Δx d ) ( Δx ) + ( Δx ) + 2Δx x Δy Tỉ số xo= biểu thức ? Cho hàm số y = Δx x +1 1 1 a) b) c) d) 2 (1 + Δx ) ( + Δx ) (1 + Δx ) (1 + Δx ) 3 Cho hàm số y = x3+ x2 , đồ thị ( C ) (t) tiếp tuyến với ( C ) có hòanh độ tiếp điểm số dương (t) song song với đường thẳng y = 5x Phương trình tiếp tuyến (t) : a) y = 5x – b) y = 5x – c) y = 5x – d) y = 5x + Cho hàm số y = x2 , đồ thị ( C ) điểm A ( , ) Nếu (t) tiếp tuyến với ( C ) , (t) qua A phương trình (t) có dạng y = ax – tiếp điểm tiếp tuyến có hòanh độ : a) b) – c) d) đáp số khác Cho hàm số y = x2 + x , đồ thị ( C ) y = ax +b ; y = a’x + b’ phương trình hai tiếp tuyến với ( C ) có tung độ tiếp điểm Thế ( a + a’) : a) b) c) d) đáp số khác Cho hàm số y = nhiêu ? a) –5 2x +1 Nếu phương trình y’ = có hai nghiệm tổng hai nghiệm bao x+2 b) – Cho hàm số y = a) 0,75 c) d) đáp số khác x + x + Đạo hàm hàm số có giá trị x = ? b) c) 1,25 d) đáp số khác Bất phương trình y’ < có nghiệm số nguyên ? Cho hàm số y = x + + x+4 a) b) c) d) Cho hàm số y = x3 +ax2 + 3x + Với giá trị a y’ > với giá trị cuûa x ? a) a < -3 b) a > c) – < a < d) moät đáp số khác 10 Cho hàm số : y = x x2 + ( x ≠ 0) Hệ thức sau ? www.saosangsong.com.vn 28 Chương : Đạo hàm a) y ' = y b) y ' = y x ⎛ y⎞ d)y ' = ⎜ ⎟ ⎝x⎠ y c) y ' = ( ) x 11 Cho hàm số : y = sinx Đạo hàm bậc mười hai y(12) hàm số : a) sinx b) cosx c) – sinx d) – cosx 12 Cho hàm số y = sin2x Thế ( 4y2 + y’2 ) ? a) b) c) d) đáp số khác x sin x − x3 + x Khi x → , giới hạn E ( có ) ? 13 Cho biểu thức : E = x2 a) b) 14 Cho biểu thức : E = a) c) d) đáp số khác − cos x Khi x → , giới hạn E ( có ) ? x2 b) c) d) đáp số khaùc sin x − Khi x → π , giới hạn E ( có ) ? 15 Cho biểu thức : E = π x− d) đáp số khác a) b) c) 2 16 Cho hàm số y = cos2x Hệ thức ? a) y + y” = b) y + 2y” = c)4 y + y” = d) y – 4y” = 17 Cho hàm số y = - x2 – 2x + a Nếu đồ thị hàm số nhậân đường thẳng tiếp tuyến a ? a) b) c) - d) đáp số khác ( 18 Cho hàm số : y = ax + bx + c ? a) ) b) ⎛ ⎝ 10 x − x + x − ( x > ) Neáu y’= 2x −1 c) (a + b + c ) d) đáp số khác 19 Cho hàm số : y = ⎜ x − 1⎞ ⎟ Đạo hàm hàm số x⎠ 1⎞ ⎛ a) ⎜ x − ⎟ x⎠ ⎝ ⎛ ⎞ b)3( x − ) ⎜ x − ⎟ x ⎝ x ⎠ ( x − 1) ( x3 + 1) 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ c) ⎜ x + ⎟ ⎜ x − ⎟ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ d) x4 20 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm xo= a f’(a) biểu thức E = thức x tiến tới a baèng : a) af(a) – f’(a) c) a( f(a) – f’(a) ) B Đáp án 1a 2b 11c 12 d y = 2x – laøm 3c 13c 4a 14b af ( x) − xf ( a ) Giới hạn biểu x−a b) af’(a) – f(a) d) f’(a) – af(a) 5d 15b 6b 16 c 7a 17c 8b 18a C Hướng dẫn giải www.saosangsong.com.vn 9c 19d 10 d 20b 29 Chương : Đạo hàm 1(a) Δy = (1 + Δx ) + (1 + Δx ) − (13 + 2.1) = ( Δx ) + ( Δx ) + 5Δx 3 2 (1 + Δx ) − ( + Δx ) + Δx Δx Δy − = = ⇒ = ( + Δx ) ( + Δx ) Δx ( + Δx ) (1 + Δx ) + 1 + 2(b) Δy = 3(c ) Gọi xo hòanh độ tiếp điểm , ta có : f’(xo) = hay 3xo2 +2xo = hay xo= ( xo> ) Phương trình tiếp tuyến phải tìm : y – = 5( x – 1) hay y = 5x – 4(a) Tiếp tuyến qua A( , ) , ta coù : = 2a – hay a = Gọi xo hòanh độ tiếp điểm , ta có : y’(xo) = hay 2xo= hay xo= 5(d) y = hay x2 + x = hay x = ; x = - Mà y’ = 2x + nên phương trình tiếp tuyến : y – = y’(1) ( x – ) hay y = 3x – ; y – = y’(-2) (x + ) hay y – = - ( x + ) hay y = -3x – Vaäy ( a + a’ ) = – = 6(b) Ta coù : y ' = 7(a) y ' = ( x + 2) 2x + 2 x2 + x + 8(b) y ' = − ( x + 4) = ; y' = 3⇔ ; y '(2) = ( x + 2) = ⇔ x + x + = Vậy tổng hai nghiệm – = 0, 75 ( x + x + 12 ) ( x + 4) ; y ' < ⇔ x + x + 12 < ⇔ −6 < x < −2 Vậy bất phương trình y’ < có nghiệm nguyên : -5 ; - ; - 9(c ) y’ = 3x2 +2ax +3 ; y’ > với x Δ ' < ⇔ a − < ⇔ −3 < a < x + − x 10(d) y ' = 2x 1 y x2 + = ;( )3 = ( )3 = ( x + 1) x2 + ( x + 1) x + x ( x2 + 1) x2 + 11(c) y’= cosx ; y”= -sinx ; y(3)= - cosx ; y(4) = sinx y(5) = cosx ; y(6) = -sinx … Vaäy y(12) = sinx 12(d) y’ = 2cos2x ; 4y2 +y’2 = sin x sin x − x + −x+2= x 2x ⎛ sin x ⎞ lim E = lim x →0 ⎜ ⎟−0+2 = 2+2 = x →0 ⎝ 2x ⎠ 13(c) E = 2sin x ⎛ sin x ⎞ 14(b) E = ;lim E = lim ⎜ ⎟ =2 x →0 x →0 x ⎝ x ⎠ π f ( x) − f ( ) ; lim E = f '( π ) = cos π = 15(b) E = π π 6 x→ x− 6 (do f ( x) = sin x ; f '( x) = cos x ) 16(c) y’= - 2sin2x ; y” = - 4cos2x Do : 4y + y” = 17(c) y’ = - 2x – Gọi xo hòanh độ tiếp điểm tiếp tuyến (t) phải tìm , ta coù : y’(xo) = hay –2 xoy – ( -4 + + a = 2(x + ) hay y = 2x +4 + = hay xo= - Phương trình tiếp tuyến (t) có dạng : a Theo giả thiết + a = -1 hay a = -5 www.saosangsong.com.vn 30 Chương : Đạo hàm 18(a ) y ' = ( 2ax + b ) x − + ( ax + bx + c ) 5ax + ( 3b − 2a ) x + ( c − b ) = 2x −1 2x −1 ⎧ 5a = 10 ⎧a=2 ⎪ ⎪ ⇒ ⎨3b − 2a = −7 ⇔ ⎨b = −1 ⇒ a + b + c = ⎪ c −b = ⎪ c =1 ⎩ ⎩ 3 ⎞ ( x − 1)( x + 1) ⎛ 1⎞ ⎛ 19(d ) y ' = ⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟ = x⎠ ⎝ x ⎠ x4 ⎝ af ( x) − − af (a ) + af (a ) − xf (a ) f ( x) − f (a) = a − f (a) x−a x−a f ( x) − f (a) lim E = a.lim − f (a ) = af '(a ) − f (a ) x→a x→a x−a 20(b) E = www.saosangsong.com.vn ... Đạo hàm CHƯƠNG V ĐẠO HÀM §1 Đạo hàm & ý nghóa hình học đạo hàm A Tóm tắt giáo khoa Đạo hàm hàm số điểm : Cho hàm số y = f ( x ) xác định khỏang (a,b) xo thuộc khỏang ( a , b ) Đạo hàm hàm... Chương : Đạo hàm ≈ 0,5 – 0,0075 = 0,4925 §5 Đạo hàm cấp cao A.Tóm tắt giáo khoa 1.Định nghóa Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai hàm số... f ( x ) có đạo hàm điểm xo hàm số liên tục điểm xo Đạo hàm hàm số khoảng : D khoảng ( hay hợp nhiều khoảng ) Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm D có đạo hàm điểm xo thuộc D Khi ta có hàm số xác