Đáp án đề thi cuối học kỳ II năm học 2017-2018 môn Toán cao cấp C2 - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Đề thi cuối học kỳ II năm học 2017-2018 môn Toán cao cấp C2 cung cấp cho người đọc nội dung đề thi và bài giải chi tiết 6 câu hỏi trong đề thi. Đề thi giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn.

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN CAO CẤP C2 Mã môn học: MATH 130901 Thời gian : 90 phút (14/6/2018) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Câu (1,5 điểm-Tính gần vi phân cấp 1, cấp 2)   Với   bé, tập B (a, b), ε   ( x, y )  R : ( x  a)  ( y  b)  ε gọi   lân cận (a, b) hay gọi tắt '' '' '' lân cận (a,b) Nếu hàm z  f ( x, y ) có tất đạo hàm riêng f x' , f y' , f xx , f yy , f xy lieân tục B(a, b), ε  : ( x, y)  B(a, b), ε  i) L( x, y )  f (a,b) + f x' (a, b)( x  a) + f y' (a, b)( y  b)  f ( x, y ) Công thức xấp xỉ gọi xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) f ( x, y ) lân cận (a, b) '' ii) Q( x, y )  f (a, b) + f x' (a, b)( x  a ) + f y' (a, b)( y  b)  f xy (a, b)( x  a )( y  b)  '' '' ( x, y )  B(a, b), ε   f xx (a, b)( x  a) + f yy (a, b)( y  b)  f ( x, y ) 2 Công thức xấp xỉ gọi xấp xỉ bậc hai (Quadratic approximation) cuûa f ( x, y ) lân cận (a, b) Tìm L( x, y ) Q( x, y ) hàm số f ( x, y )  xe y  x  ln(1  y ) lân cận (2,0) Câu (1,5 điểm-Mô hình tối ưu hóa sản xuất dạng Cobb-Douglas ) Một công ty sử dụng K đơn vị vốn L đơn vị lao động lượng sản phẩm sản xuất Q( K , L)  80.K 0.2 L0.8 Mỗi đơn vị vốn chi phí $50 đơn vị lao động chi phí $25 ; tức chi phí cho vốn lực lượng lao động C  50 K  25 L Hãy xác định K L để lượng sản phẩm sản xuất lớn tính lượng sản phẩm lớn đó, biết số tiền chi phí công ty sử dụng không vượt $500,000 Câu (1,5 điểm- Ứng dụng tích phân suy rộng vào xác suất - Hàm mật độ phân phối mũ) Tính tích phân suy rộng e  x   x f x dx  f x vớ i ( )   3    khi x0 x0 Một công ty hoạt động lónh vực kinh doanh dịch vụ thực khảo sát mô hình hóa  tính thời gian đợi trung bình khách hàng công ty xấp xỉ TTB   x f x dx , với  x thời gian có đơn vị tính phút Hỏi trung bình khách hàng công ty đợi xấp xỉ phút? Câu (1,5 điểm- Mô hình động giá sản phẩm) (thời gian t tính tháng, giá p tính USD) Biết giá p  p(t ) loại sản phẩm(hàng hóa) thời điểm t thỏa phương trình vi phân p' '4 p'3 p  600  e 0.2t p(0)  $300 Giải phương trình vi phân tìm p(t ) Ước tính giá sản phẩm sau khoảng thời gian t đủ lớn Câu (2 điểm-Mô hình tăng trưởng logistic có thu hoạch-Logistic growth with harvesting) Bạn tham gia vào dự án trồng, chăm sóc, bảo tồn, phát triển khai thác bền vững khu rừng Giả sử lượng rừng (tạm sử dụng đơn vị là: đơn vị rừng) thời điểm t (đơn vị tính năm) xấp xỉ hàm y (t ) , thỏa phương trình vi phân logistic có thu hoạch y ' (t )  ky(8  y )  H (t ) k  const  số tỷ lệ, H (t ) tốc độ thu hoạch Giải phương trình tìm y (t ) bieát: k  0.025 , y (0)  (tại thời điểm bắt đầu dự án có đơn vị rừng), H (t ) = 0.2 (tốc độ khai thác liên tục hàng năm 0.2 đơn vị rừng) Lượng rừng xấp xỉ sau khoảng thời gian t đủ lớn? Câu (2 điểm- Mô hình sử dụng, khai thác, lý thiết bị- Resale value problem) Giá trị bán lại r (t ) máy sau t năm giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giá trị giá trị phế liệu máy Tức là, S giá trị phế liệu máy r (t ) thỏa phương trình dr  k r  S  , với k  const  số tỷ lệ dt Giải phương trình xác định r (t ) biết giá trị mua máy $50,000, giá trị năm sau $10,000 giá trị phế liệu S = $1,000 Một công ty mua máy khai thác năm bán lại Trong năm khai thác máy này, công ty dòng lợi nhuận liên tục f (t )  $12,000 /năm dòng tiền chuyển liên tục vào tài khoản nhận lãi liên tục với lãi suất hàng năm 5% (tức r  0.05 , nhập lãi liên tục vào vốn-compounded continuosly) Tính giá trị dòng lợi nhuận f (t ) sau năm; tính giá trị tiền bán lại máy cuối năm thứ 5; tính giá trị ròng năm mua, khai thác, bán lại máy Cho biết Giá trị dòng tiền chuyển liên tục vào tài khoản khoảng thời gian  t  T với tốc độ cho hàm f (t ) tài khoản nhận lãi suất hàng năm r (nhập lãi liên tục vào vốn-compounded continuosly) tính công thức T PV   f (t )e  rt dt ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………  Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần Câu 1, 2: Tính đạo hàm riêng, vi phân, tìm cực trị, GTLN >NN hàm nhiều biến biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2, , 2.1.4 ; (về kiến thức) Câu 3, 6: Tính tích phân hàm biến biết ứng dụng vào đời sống Câu 4, 5, 6: Giải phương trình vi phân cấp 1, cấp hai và biết ứng dụng vào đời soáng G1: 1.1, 1.2;G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Ngày 12 tháng năm 2018 THÔNG QUA BỘ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN TOÁN C2 (ngày thi 14/6/2018) Câu hỏi Nội dung Câu1 f ( x, y )  xe 2y 1,5ñ TXĐ: D  ( x, y )  R : y   1  x  ln(1  y ) f x'  e y  x , f y'  xe y  Điểm 1 y 0.5ñ (1  y ) i)Tìm L( x, y ) : f (2,0)  2e 20  22  ln(1  0)  , f x' (2, )0  e 20    , f y' (2,0)    2e 20  5 1 L( x, y )  f (2,0) + f x' (2,0)( x  2) + f y' (2,0)( y  0)   5( x  2)  5( y  0) '' '' '' f xx  , f xy  2e y , f yy  xe y  0.25ñ  x  y   xe2 y  x  ln(1  y )  f ( x, y ) , ( x, y )  B(2,0),   0.25ñ '' '' ii) Tìm Q( x, y ) : f xx (2,0  , f xy (2,0)  2e 20  , 7 (1  0) '' Q( x, y )  f (2,0) + f x' (2,0)( x  2) + f y' (2,0)( y  0)  f xy (2,0)( x  2)( y  0)  '' f yy (2,0)    e 20  0.25ñ '' ''  f xx (2,0)( x  2) + f yy (2,0)( y  0) 2  x  y   2( x  2)( y  0)   x2  1 2( x  2)  7( y  0) 2 0.25ñ y  xy  x  y  f ( x, y ) , ( x, y )  B(2,0),   Câu 1,5đ Bài toán trở thành, tìm giá trị lớn hàm số Q( K , L)  80.K L 0.2 0.8 treân K  0, L   mieàn  C  50 K  25L  500000 0.8  ' L QK  16    K Hệ phương trình xác định đểm dừng  vô nghiệm 0.2 Q '  64 K    L L K 0   Xeùt treân bieân:   Q ( K , L)  0  L  20000 L0   Xeùt treân bieân:   Q ( K , L)  0  K  10000 -1- 0.5ñ 0.25ñ 0.25ñ  L  20000  K   x  10000  Xét biên:  đăt Q( K , L)  80.K 0.2 (20000  K )0.8  f ( K ), với  K  10000  20000  K  f ' ( K )  16.  K   0.8 K    128   20000  K   20000  K  f ' ( K )   16.  K    K  2000  L  16000   L  20000  K 0.8 0.2 K    128   20000  K  0.2   K  2000 0.25ñ f (0)  , f (10000)  , f (2000)  844485.0629 Vậy công ty cần sử dụng số đơn vị vốn K  2000 số đơn vị lao động L  16000 để sản xuất lượng sản phẩm lớn 0.25ñ Q(2000,16000)  844485.0629 sản phẩm Câu 1.5đ   x f x dx     1 a  x  x 1  x x.e dx x.0dx  0 x e dx  0 x.e dx  alim    1 a    x a  x   lim  3xe  3 e dx   0 a    0.25ñ 1   x a  x a   lim  xe  9e  0  a    0.25ñ 1  a  a   lim   3ae  9e    3 a    0.25ñ  TTB  0.5ñ  x f x dx  (phút) 0.25đ  Trung bình khách hàng công ty đợi xấp xỉ phút Câu 1,5đ p' '4 p'3 p  600  e 0,2t , p(0)  $300 0.25đ Phương trình tương ứng : p' '4 p'3 p  Phương trình đặc trưng: k  4k    k  1 hay k  3 Nghiệm tổng quát phương trình nhất: Po (t ) = C1e  C2e t 0.25đ 3t Nghiệm riêng phương trình p' '4 p'3 p  600 (1) dạng Y1  A Tính Y1'  0, Y1''  -2- Thay vào (1) A  600  A  600  200 0.25ñ Suy Y1  200 Nghiệm riêng phương trình p ' '4 p'3 p  e 0, 2t (2) daïng Y2  Be0, 2t Tính Y2'  0,2 Be 0, 2t , Y2''  0,04 Be 0, 2t Thay vào (2) 0,04 Be 0, 2t  0,8Be 0, 2t  3Be 0, 2t  e 0, 2t  B  Suy Y2  25 56 25  0, 2t e 56 0.25đ Theo nguyên lý chồng chất nghiệm nghiệm riêng phương trình p' '4 p'3 p  600  e 0,2t laø P(t )  Y1  Y2 = 200 + 25  0, 2t e 56 Nghiệm tổng quát phương trình p' '4 p'3 p  600  e 0,2t laø p(t ) = Po (t ) + P(t )  C1e t  C2e 3t + 200 + p(0)  $300  C1  C2 + 200 + 25  0, 2t e 56 25  300 56 Vậy nghiệm cần tìm p(t ) = C1e t  C2e 3t + 200 + 25  0, 2t 5575 e , với C1  C2  56 56 25 Khi t đủ lớn C1e  C2e  e  0.2t  nên p(t )  200 (USD) 56 Sau khoảng thời gian t đủ lớn, giá sản phẩm xấp xỉ $ 200 t 0.5đ 3t Câu 2đ Thay k  0.025 H (t ) = 0.2 vào y ' (t )  ky(8  y )  H (t ) , ta dy y2  y  dy   0.025 y (8  y )  0.2  dt 40 dt  (y (1) 0.5ñ dy   dt (do y (0)  nên y  y   ) y  8y  40   2 nghiệm phương trình (1) không thỏa điều kiện y (0)  ) 0.25đ Tích phân hai vế y dy d ( y  4) t    dt  C1      C1  8y  40 ( y  4)  40 y42 2 y42 t    C1  ln  t  2C1 ln  10 40 y42 y42 -3- 0.25ñ  t4 y42   e 10 y42 2C1  t y42   e 10 e y42 2C1   t y42  Ce 10 y42 (với C  e 2C1  const  ) 0.25ñ  t y42   Ce 10 y42  y   2  Ce  t 10 (với C  const âm dương tùy ý) ( y   2 ) (với C  const tùy ý)  2  (2  4)Ce  y  Ce   t 10 (với C  const tùy ý) t 10 0.25ñ y (0)   C  1 Vậy y (t )   2  (  2 )e 1 e lim y (t )  lim t   t     t 10 t 10  2  (2  4)Ce  Ce   t 10 t 10  42 Sau khoảng thời gian t đủ lớn, lượng rừng xấp xỉ  2 đơn vị Câu 0.5đ 2đ Cách Phương trình viết lại r (0)  50 r'(t)  kr  k , với  (đơn vị $1000)  r (5)  10 0.25đ Nghiệm tổng quát phương trình r (t ) = e   kdt   kdt dt  C  = e kt  kekt dt  C  ke       = e kt  ekt  C  =  Ce kt   (đơn vị $1000) 0.5đ 0.25đ Cách Phương trình viết lại dr  k rS -4- 0.25đ Tích phân hai vế dy 0.25đ  r  S   kdt  ln C  ln r  S   kt  ln C  r  S  e 0.25ñ  kt  ln C  r  S  Ce  kt  r  S  Ce  kt 0.25ñ Hay r (t ) =  Ce kt (đơn vị $1000) r (0)  50    r (5)  10 C  49    C  50      5k  10 k ln( )  0.33891914422 1  Ce  49 Vaäy r (t ) =  49e 0.33891914422t (đơn vị $1000) 0.5đ hay r (t ) = 1000  49000e 0.33891914422t (đơn vị $1) Giá trị dòng lợi nhuận f (t ) sau naêm T PV   f (t )e dt  12000e  0.05t dt  240000 e  0.05t  rt  240000 (1  e  05  )  53087 81206 0.5đ Giá trị tiền bán lại máy cuối năm thứ 10000  e 0.055  7788.007831 Giá trị ròng năm mua, khai thác, bán lại máy ( 53087 81206  7788.007831 ) - 50000 = 10875.81989 Vậy lợi nhuận (tính theo giá trị tiền tại) năm mua, khai thác, bán lại máy xấp xỉ $10,875.82 ……………………………………………………………………Heát………………………………………………………………………… -5- ... phân cấp 1, cấp hai và biết ứng dụng vào đời sống G1: 1.1, 1.2;G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1 Ngaøy 12 tháng năm 2018 THÔNG QUA BỘ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN TOÁN C2 (ngày thi. .. hàng năm 5% (tức r  0.05 , nhập lãi liên tục vào vốn-compounded continuosly) Tính giá trị dòng lợi nhuận f (t ) sau năm; tính giá trị tiền bán lại máy cuối năm thứ 5; tính giá trị ròng năm mua,... 53087 81206 0.5đ Giá trị tiền bán lại máy cuối năm thứ 10000  e 0.055  7788.007831 Giá trị ròng năm mua, khai thác, bán lại máy ( 53087 81206  7788.007831 ) - 50000 = 10875.81989 Vậy lợi